流体动力学基础和方程讲解
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§4.2 元流的伯努利方程
4.2.1 无黏性流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的恒定流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程
§4.2 元流的伯努利方程
Ugdzg zc1
z
p
g
u2 2g
c0
对于同流线上的任意两点1和2，则上式写成
z1pg1 2u1g2 z2pg2 2ug22
理想流体 流线上的 伯努利方
程
uo 若
，上式为静力学基本方程
z
p
g
c0
§4.2 元流的伯努利方程
理想的流体运动方程的积分－Bernoulli方程
适用范围：
z
p
g
u2 2g
c0
X d 1 x p xd x u x u x xd x u x u y xd y u x u z xd z
X d 1 p x x d x u x ( u x xd x u y xd y u z xd) z u x dxu
§4.2 元流的伯努利方程
X d 1 p x x d x u x ( u x xd x u y xd y u z xd) z u x dxu
Xdx1pxdxuxdux
1 p
Ydy y dy u ydu y
Zdz
1
p z
dz
uzduz
XdxYdyZdz1(pxdxpydypzd)zuxduxuyduyuzduz
dU 1 dpd(u2)
2
§4.2 元流的伯努利方程
dU 1 dpd(u2) 积分 U p u2 c
2
2
质量力只有重力 XY0,Zg
Y 1 p Duy
y Dt
Z1 p Duz
z Dt
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
Z
1
p z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
理想流体的运动微分方程 欧拉运动微分方程
第4章 流体动力学基础
0
§4.2 元流的伯努利方程
Z1pg 1 2 u1 g 2 Z2pg 2 2 ug 2 2
位 压 流单 单 单 置 强 速位 位 位 水 水 水位 压 动 头 头 头能 能 能
测 压总 管水 水头 头
单 位单 势位 能总
机 械 能
1
Z1
0
2
Z2
0
表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过水断 面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。
f( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) x ( x 0 ) 2 1 ! f''( x 0 ) x ( x 0 ) 2 ..x . x 0
中心点为A (x,y,z)，
A处的压强 p(x,y,z,t)
(p1 pdx) 2 x
则x向受压面形心点的压强分别为
(p1 pdx) 2 x
乘以dx
§4.2 元流的伯努利方程
X 1 p xux u xxuy u yxuz u zx
乘以dx
X d 1 x p xd x u x u x xd x u y u y xd x u z u z xd x
恒定流动
流线和迹线重合，则
u y d x u x d y ,u zd x u x d,u z z d y u y dz
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
受力分析： 1、表面力：
p p dx p p dx
x 2
x 2
(p1 pdx) 2 x
x轴正方向 x轴负方向
PM
(p 1 2
p dx)dydz x
PN
(p
1 2
p x
dx)dydz
2、质量力： FBxXdxdydz
机械能—— z p u 2 2g
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相 转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或 表现形式。
§4.2 元流的伯努利方程
2、几何意义
u2 gzp常数 H
2
速位压
总
度置强
水
水水水
头
头头头
1
Z1
0
2 Z2
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
X d x d y d z p p d x d y d z p p d x d y d z d x d y d zD x
x2 x2
D
X 1 p Dux
x Dt
§4.2 元流的伯努利方程
元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
pA
u
2 A
pB
+0
g 2g g
uA2 pB pA h
2g g g
流体从静止到运动，质点获得流速，由于粘滞力的作用，改 变了压强的静力特性。但粘滞力对压强随方向变化的影响很小， 在工程中可忽略不计。
以后，流体流动时的压强和流体静压强，一般在概念的命名 上不予区别，一律称为压强。
第4章 流体动力学基础
§4.1 流体的运动微分方程
4.1.1 无黏性流体运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用 牛顿第二定律加以推导。
① 理想 ② 不可压缩均质流体 ③ 在重力作用下 ④ 作恒定流动 ⑤ 并沿同一流线（或微元流束）流动。
第4章 流体动力学基础
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
1、物理意义
z
pห้องสมุดไป่ตู้
g
u2 2g
c0
位能—— z 压力能—— p
g
势能—— z p
动能—— u 2 2g
流体动力学基础和方 程讲解
第4章 流体动力学基础
流体动力学研究的主要问题是流速和压强在空间的分布。流速 又更加重要。流体流动时，在破坏压力和质量力平衡的同时，出 现了和流速密切相关的惯性力和粘性力。这样，流体由静到动所 产生的两种力，是由流速在空间的分布和随时间的变化所决定的。 因此，流体动力学的基本问题是流速的问题。
恒定流动 u 0 t
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
Z
1
p z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
X 1 p xux u xxuy u yxuz u zx
乘以dx 乘以dy 乘以dz
4.2.1 无黏性流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的恒定流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程
§4.2 元流的伯努利方程
Ugdzg zc1
z
p
g
u2 2g
c0
对于同流线上的任意两点1和2，则上式写成
z1pg1 2u1g2 z2pg2 2ug22
理想流体 流线上的 伯努利方
程
uo 若
，上式为静力学基本方程
z
p
g
c0
§4.2 元流的伯努利方程
理想的流体运动方程的积分－Bernoulli方程
适用范围：
z
p
g
u2 2g
c0
X d 1 x p xd x u x u x xd x u x u y xd y u x u z xd z
X d 1 p x x d x u x ( u x xd x u y xd y u z xd) z u x dxu
§4.2 元流的伯努利方程
X d 1 p x x d x u x ( u x xd x u y xd y u z xd) z u x dxu
Xdx1pxdxuxdux
1 p
Ydy y dy u ydu y
Zdz
1
p z
dz
uzduz
XdxYdyZdz1(pxdxpydypzd)zuxduxuyduyuzduz
dU 1 dpd(u2)
2
§4.2 元流的伯努利方程
dU 1 dpd(u2) 积分 U p u2 c
2
2
质量力只有重力 XY0,Zg
Y 1 p Duy
y Dt
Z1 p Duz
z Dt
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
Z
1
p z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
理想流体的运动微分方程 欧拉运动微分方程
第4章 流体动力学基础
0
§4.2 元流的伯努利方程
Z1pg 1 2 u1 g 2 Z2pg 2 2 ug 2 2
位 压 流单 单 单 置 强 速位 位 位 水 水 水位 压 动 头 头 头能 能 能
测 压总 管水 水头 头
单 位单 势位 能总
机 械 能
1
Z1
0
2
Z2
0
表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过水断 面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。
f( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) x ( x 0 ) 2 1 ! f''( x 0 ) x ( x 0 ) 2 ..x . x 0
中心点为A (x,y,z)，
A处的压强 p(x,y,z,t)
(p1 pdx) 2 x
则x向受压面形心点的压强分别为
(p1 pdx) 2 x
乘以dx
§4.2 元流的伯努利方程
X 1 p xux u xxuy u yxuz u zx
乘以dx
X d 1 x p xd x u x u x xd x u y u y xd x u z u z xd x
恒定流动
流线和迹线重合，则
u y d x u x d y ,u zd x u x d,u z z d y u y dz
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
受力分析： 1、表面力：
p p dx p p dx
x 2
x 2
(p1 pdx) 2 x
x轴正方向 x轴负方向
PM
(p 1 2
p dx)dydz x
PN
(p
1 2
p x
dx)dydz
2、质量力： FBxXdxdydz
机械能—— z p u 2 2g
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相 转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或 表现形式。
§4.2 元流的伯努利方程
2、几何意义
u2 gzp常数 H
2
速位压
总
度置强
水
水水水
头
头头头
1
Z1
0
2 Z2
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
X d x d y d z p p d x d y d z p p d x d y d z d x d y d zD x
x2 x2
D
X 1 p Dux
x Dt
§4.2 元流的伯努利方程
元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
pA
u
2 A
pB
+0
g 2g g
uA2 pB pA h
2g g g
流体从静止到运动，质点获得流速，由于粘滞力的作用，改 变了压强的静力特性。但粘滞力对压强随方向变化的影响很小， 在工程中可忽略不计。
以后，流体流动时的压强和流体静压强，一般在概念的命名 上不予区别，一律称为压强。
第4章 流体动力学基础
§4.1 流体的运动微分方程
4.1.1 无黏性流体运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用 牛顿第二定律加以推导。
① 理想 ② 不可压缩均质流体 ③ 在重力作用下 ④ 作恒定流动 ⑤ 并沿同一流线（或微元流束）流动。
第4章 流体动力学基础
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
1、物理意义
z
pห้องสมุดไป่ตู้
g
u2 2g
c0
位能—— z 压力能—— p
g
势能—— z p
动能—— u 2 2g
流体动力学基础和方 程讲解
第4章 流体动力学基础
流体动力学研究的主要问题是流速和压强在空间的分布。流速 又更加重要。流体流动时，在破坏压力和质量力平衡的同时，出 现了和流速密切相关的惯性力和粘性力。这样，流体由静到动所 产生的两种力，是由流速在空间的分布和随时间的变化所决定的。 因此，流体动力学的基本问题是流速的问题。
恒定流动 u 0 t
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
Z
1
p z
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ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
X 1 p xux u xxuy u yxuz u zx
乘以dx 乘以dy 乘以dz