流体动力学基础和方程讲解
流体动力学基本方程
4
τ 21 = c21kl
∂ul ∂u ∂u = c2121 1 = µ 1 ∂xk ∂x2 ∂x2
′ = c21 ′ kl τ 21
′ ∂ul′ ∂u1 ∂u ′ ′ = c2121 =µ 1 ′ ′ ′ ∂xk ∂x2 ∂x2
′ x1 x2
x1
′ x2
cijkl 是四阶张量，考察变换
′ = β im β jnτ mn = β im β jn cmnpq τ ij ∂uq ∂x p = β im β jn cmnpq β kp β lq ∂ul′ ′ ∂xk
——能量方程
二、动能方程
G G G G G dV G G G dV 将动量方程 ρ = ρF + ∇ ⋅ P 两边同时点积 V 得： ρV ⋅ = ρF ⋅ V + V ⋅ (∇ ⋅ P) dt dt G G G G dV 1 d (V ⋅ V ) 1 dV 2 而V ⋅ ，故有动能定理 = = dt 2 dt 2 dt
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 §4.本构方程 数学预备： 二阶张量的坐标变换 记 ∇V = E ，将坐标系旋转，从原坐标系 o-xyz 到旋转后的坐标系 o-x′y′z ′ ，二阶张量 E 的张量元满足 变换：
Chapter 3
流体动力学基本方程
§1 质量连续性方程（质量守恒方程） 一．体系和控制体。 体系（物质体） ：流体团无论运动到哪，如何变形，总由同一批流体质点组成。 控制体：流场中一个确定的子空间，大小、形状、位置都固定。有流体质点不停出入。 二．通量的概念和 Reynolds 输运方程 质量通量：单位时间内穿过曲面 s 的质量
流体动力学基础
流体动力学基础流体动力学是研究流体的运动规律和性质的科学，它是流体力学的分支之一，广泛应用于航空、航天、水力、能源等领域。
本文将介绍流体动力学的基础概念、基本方程以及常用方法。
一、流体动力学的基本概念1. 流体力学与流体静力学的区别流体力学研究流体在运动中的行为，包括流体的流动速度、压力、密度等参数的分布规律；而流体静力学则研究流体在静止状态下的平衡规律，主要关注流体的静压力和浮力等性质。
2. 流体的本构关系流体的本构关系描述了流体的应力与变形速率之间的关系。
常见的本构关系有牛顿黏性流体、非牛顿流体以及理想流体等。
3. 流体的运动描述流体的运动可以通过流体速度场来描述，流体速度场是空间中的矢量函数，它描述了流体的速度分布。
流体速度场的描述可以使用欧拉描述方法或者拉格朗日描述方法。
二、流体动力学的基本方程1. 连续性方程连续性方程描述了质量守恒的原理，即单位时间内通过某一截面的质量是恒定的。
对于稳定流动的不可压缩流体来说，连续性方程可表示为流体密度与速度之积在空间中的量级是恒定的。
2. 动量方程动量方程是描述质点运动定律的基本方程，对流体来说，动量方程体现了运动流体的动力学行为。
对于稳定流动的不可压缩流体来说，动量方程可表示为流体的密度乘以速度与压力梯度的叠加等于外力的结果。
3. 能量方程能量方程描述了热力学系统的能量守恒原则，对于流体来说，能量方程考虑了流体的流动对能量转移的影响，以及热源、做功所导致的能量变化。
三、流体动力学的常用方法1. 数值模拟方法数值模拟是流体动力学研究的重要工具，通过在计算机上建立流体动力学方程的数值解，可以模拟复杂流动现象，如湍流、多相流等。
2. 实验方法实验方法是流体动力学研究的另一重要手段，通过搭建实验平台，测量流体的压力、速度等参数，从而验证理论和数值模拟结果的准确性。
3. 理论分析方法理论分析方法是流体动力学研究中的基础，通过建立假设和推导数学表达式，可以得到流体动力学问题的解析解，为实验和数值模拟提供参考。
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
流体动力学基本原理的内容及成立条件
流体动力学基本原理的内容及成立条件一、流体动力学的基本概念流体动力学是研究流体在运动中所表现出来的各种力学现象的科学。
它是研究流体的物理性质、运动规律和应用的基础。
流体包括气体和液体，其特点是没有固定的形状，在受到外力作用时能够变形。
二、流体动力学基本方程1.连续性方程连续性方程描述了质量守恒原理，即在任意给定时刻，单位时间内通过任意给定截面积内的质量保持不变。
2.动量守恒方程动量守恒方程描述了牛顿第二定律，即物体受到外力作用时会发生加速度变化。
3.能量守恒方程能量守恒方程描述了能量守恒原理，即系统内总能量保持不变。
三、成立条件为了使上述基本方程成立，需要满足以下条件：1.连续性假设：假设流体是连续不断的介质，在微观尺度下不存在空隙或孔隙。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
2.牛顿第二定律适用：流体的运动速度相对于光速较慢，所以牛顿第二定律可以适用于流体运动。
3.稳态假设：假设流体的物理状态在空间和时间上是恒定不变的。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
4.不可压缩性假设：假设流体密度不随时间和位置而变化。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
5.粘性效应：粘性是流体内部分子之间相互作用力导致的，它会影响流体的运动规律。
当流体处于高速运动状态时，粘性效应可以忽略不计；但当流体处于低速运动状态时，粘性效应就会显著影响流体运动规律。
四、结论综上所述，流体动力学基本原理包括连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
为了使这些基本方程成立，需要满足一定条件，如连续性假设、牛顿第二定律适用、稳态假设、不可压缩性假设以及粘性效应等。
这些基本原理和条件对于研究流体的物理性质、运动规律和应用具有重要意义。
流体力学 第三章 流体动力学
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
流体力学第04章流体动力学基础详解
均等于零，于是纳维－斯托克斯方程式就变成静水
力学欧拉平衡方程式。所以纳维－斯托克斯方程式
是不可压缩液体的普遍方程式。
6
二、无粘性流体运动微分方程
理想流体， 0 得：欧拉方程
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
du y dt
fz
1
p z
ux
p
4L
(r02
r2)
上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按 抛物面的规律分布的。
13
第二节 元流的伯怒利方程
一、无粘性流体运动微分方程的伯怒利积分
沿流线积分得
fx
1
p x
dux dt
fxdx f ydy fzdz dp / d(u2 / 2)
以U（x，y，z）表示质量力的势函数 上式变为
fy fz
1
1
p y p z
du y dt duz dt
U p / u2 / 2 C
在重力场中，作用在流体上的质量力只有重力， 即U=-gz，带入得
14
p u2 z C
g 2g
对微小流束上任意两个过水断面有： 15
z1
p1
g
d 2ux p
dr2 2 L
dux dr
p
2L
r
C1
利用轴心处的条件 r 0, dux 0 ，得 C1 0 。故
第4章流体动力学基础1
2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 、连续性微分方程有哪几种形式？ 微分方程说明了什么问题？ 微分方程说明了什么问题？ 质量守恒
第二节 元流的伯努利方程
欧拉运动微分方程组各式分别乘以 ， ， （ 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距 各式分别乘以 ds的坐标分量）： 的坐标分量）： 的坐标分量
1 ( Xdx +Ydy + Zdz) − ρ ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) = dux dx + ∂x ∂y ∂z dt duy dt
dy + duz dz dt
<I> 考虑条件 、 考虑条件 1、恒定流
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
∂p ∂p =0 ∂t
∂ux ∂uy ∂uz = = =0 ∂t ∂t ∂t
∂ux ∂y ∂uy ∂z ∂ux ∂z
= = =
∂uy ∂x ∂uz ∂y ∂uz ∂x
积分得：
z+γ +
p
u2 2g
=c
•
理想势流（无黏性） 理想势流（无黏性）伯努利方程
z+γ +
p
或
u2 2g
=c
p2 u22 2g
z1 + γ +
p1
u12 2g
= z2 + γ +
在同一恒定不可压缩流体重力势流 恒定不可压缩流体重力势流中 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，各点的总比能值相等 即在整个势流场中，伯努利常数 均相等。（应用条件 均相等。（应用条件： 即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。（应用条件：“——”所示） ”所示）
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
流体力学基础连续性方程、流体运动方程与能量方程.PPT
14
根据动量定理
ρd d ud x d y d z (F b P x x P y y P z z)d x d y d z
约去 dxdydz ，得
du x d
Fbx
Pxx x
Pyx y
Pzx z
du y d
Fby
Pyx x
Pyy y
Pyz z
du z d
Fbz
Pzx x
同理
y(ρuyu)dzdxdyΔ
z(ρuzu)dxdydzΔ
10
EXIT
经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为
xuxuy uyu zuzudxdydz
ux
x(u)uy
yuuz
uuux uuy
z
x y
uuzzdxdydz
u•uu•udxdydz + (ρu )dxdydz
微元流体系统的动量变化率为：
第一章 流体力学基础 ——流体运动的微分方程
西安建筑科技大学粉体工程研究所 李辉
1
质量传递——连质续量性守方恒程定律 动量传递——纳动维量－定斯理托克斯方程 能量传递——能能量量方守程恒定律 状态方程
流体运 动微分 方程组
所有流体运动传递过程的通解
2
EXIT
1.3 流体运动的微分方程
• 质量守恒定律——连续性方程 • 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 能量守恒定律——能量方程 • 定解条件
3
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
• 质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动， 物质的总质量总是不变的。
• 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。
单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述： 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体
流体动力学基本方程
u
（ 2 p2 p1 )
2 g ( 1 ) h
皮托管测速计
§4.3 实际流体流束的伯努利方程
实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转 化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体流束的伯努利方程为
整理： 1 p du x fx x dt
1 p du y fy y dt
同理：
1 p du z fZ z dt
1 p fx x 1 p fy y f 1 p Z z
§4.4 理想流体的运动学微分方程的伯努利积分
du x 1 p f x x dt du y 1 p fy y dt 1 p du z fZ z dt
沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得：
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 1 2 2 2 2 d u x u y uz d ( u ) 2 2
du y 1 p p p du x du z f x dx f y dy f z dz dx dy dz dx dy dz x y z dt dt dt
u x u y u z 0 x y z
② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
u x u y u z 0 x y z
第3章2 流体动力学基础-稳定流动量方程及应用
4Q 1、V1 = = 1.132m / s 2 π d1 p1 V12 p2 V2 2 + = + γ 2g γ 2g
4Q V2 = = 4.527m / s 2 π d2
2、取两个断面列伯努利方程：
p2 = p1 +
ρ
2
(V12 − V2 2 ) = 1.964 × 105 Pa
3、选取控制体列动量方程： x方向：p1 A1 − Fx = ρ Q (0 − V1 ) y方向：Fy − p2 A2 = ρ Q (V2 − 0)
流体动力学基础
稳定流的动量方程及其应用
3.5 稳定流的动量方程及其应用
前面我们讨论了流体动力学的两个重要 方程——连续性方程和伯努利方程 连续性方程和伯努利方程。应用这 连续性方程和伯努利方程 两个方程可以解决许多实际问题。但是，在 工程中还要计算流体与固体相互作用的力。 动量方程提供了流体与固体相互作用的动力 动量方程 学规律。
x
O
y
【解】：设平板对流体的作用力为R’，取坐标系XOY，以A0、 A1、A2断面间水体为控制体。 (1)求流体对平板的作用力 列x方向动量方程：
R ' = ρ Q (0 − ( −V0 sin θ )) R ' = ρ A0V0 2 sin θ
因为平板光滑，作用力垂直平板，所以流体对平板面作用力 的大小为 ρ A0V0 2 sin θ ，方向与R’相反。
F = ρ AV = 2 ρ Agh = 2 Aγ h
2
3、自由射流对挡板的压力
y
根据动量方程，x轴向为： − Rx = ρ Q1u1 cos α1 + ρ Q2u2 cos α 2 − ρ Q0u0 y轴 向 为 ：
流体动力学基础 _流体力学
ux
uy
bxdx aydy
积分得流线方程 bx ay c a,b同号，流线是双曲线a,b异号,流线是圆。 (3)由欧拉运动微分方程式，不计质量力：
2 2
1 1
p x
p y
u x uy abx y u y ux aby x
duy dux duz dx dy dz dt dt dt
1 p x
dx dy dz
p y
p z
、
1.引人限定条件： ①．作用在流体上的质量力只有重力：X=Y=0,Z=-g;
( Xdx Ydy Zdz) gdz
②.不可压缩，恒定流： C ,
第二节 元流的伯努利方程
一、理想流体运动微分方程的伯努利积分 理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有 特 定 条 件 下 的 积 分 ， 其 中 最 为 著 名 的 是 伯 努 利 (Daniel Bernoull，1700～1782，瑞士科学家)积分。
u y u x u z 1 p X x u x x u y y u z z u y u y u y 1 p Y y u x x u y y u z z u z u z u z 1 p Z z u x x u y y u z z
1 p x p y p z
du x dt du y dt du z dt
（4—1）
用矢量表示为：
将加速度项展成欧拉法表达式 : u x u x u x u x 1 p X x t u x x u y y u z z u y u y u y u y 1 p Y y t u x x u y y u z z u z u z u z u z 1 p Z z t u x x u y y u z z
流体动力学基础
（x,y,z,t）——欧拉变量
控制体：将孤立点上旳观察站扩大为一种有合适规模旳连续区域。控制体相对于坐 标系固定位置，有任意拟定旳形状，不随时间变化。控制体旳表面为控制面，控制 面上有流体进出。
质点旳加速度
流体质点运动速度在欧拉法中，因为位置又是时间t旳函数，所以流速是t旳复合函 数，对流速求导可得加速度:
性质：不能相交 ，流体质点不能穿过流管表面。 在定常时，形状和位置不随时间变化而变化。 非定常时，形状和位置可能随时间变化而变化。
2、流束 流管内旳全部流体为流束。流束旳极限是一条流线。极限近于一条流线旳流束为微元流束。
3、总流 把流管取在运动液体旳边界上，则边界内整股液流旳流束称为总流。
4、过流断面 流束中到处与速度方向相垂直旳横截面称为该流束旳过流断面。
动量修正系数—K — 是d实mv际动A量ρv与2dA按断面平均流速计算旳动量旳比值。
β
ρv 2 dA
A
ρv 2 A
1
1 v2A
v2dA 1
A
动量修正系数是无量纲数，它旳大小取决于总流过水断面旳流速分布，分布越均匀，β 值越小，越接近于1.0。
层流流速分布 湍流流速分布
圆管层流 圆管紊流
断面流速分布 旋转抛物面
流线旳作法： 在流场中任取一点，绘出某时刻经过该点旳流体质点旳流速矢量u1，再画出距1点很近
旳2点在同一时刻经过该处旳流体质点旳流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …， 若各点无限接近，其极限就是某时刻旳流线。
流线旳方程
根据流线旳定义，能够求得流线旳微分方程：
设ds为流线上A处旳一微元弧长:
z
想一想：恒定、不可压情况下，连续性方程旳微分形式。
流体力学讲义 第三章 流体动力学基础
第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。
主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。
此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。
第一节流体流动的基本概念1.流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
图3-1为流线谱中显示的流线形状。
（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。
图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。
（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。
所以即展开后得到：——流线方程（3-1）（或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
图3-5中烟火的轨迹为迹线。
(2)迹线的微分方程（3-2）式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。
流体力学中的流体动力学方程
流体力学中的流体动力学方程流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，它在能源、环境、航空航天等领域有着广泛的应用。
流体动力学方程是流体力学的基础，它描述了流体在运动过程中的物理现象和力学特性。
本文将介绍流体动力学方程的基本原理和常见的流体动力学方程。
一、连续性方程连续性方程是描述流体质点质量守恒的基本方程。
它表明流体在运动过程中，质量的流入等于流出。
连续性方程可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体质点在运动过程中动量的变化。
根据牛顿第二定律，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p是流体的压力，τ是动态粘性应力张量，g是重力加速度。
三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体内能和外界能量转化的方程。
根据热力学第一定律，能量守恒方程可以表示为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + q其中，E是单位质量的总能量，v是流体的速度矢量，k是热传导率，T是温度，q是单位质量的内部热源。
四、状态方程流体力学中的状态方程描述了流体在热力学过程中的状态特性。
流体的状态方程通常表示为：p = ρRT其中，p是流体的压力，ρ是流体的密度，R是特定流体的气体常数，T是温度。
综上所述，流体动力学方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和状态方程。
这些方程是建立在质点假设和牛顿力学基础上的，可以描述流体在运动过程中的物理现象和运动规律。
通过求解这些方程，可以得到流体的运动速度、压力分布等信息，为解决实际问题提供了重要的理论基础。
在实际应用中，为了解决流体动力学方程的复杂性，常常采用数值模拟等方法进行求解。
数值模拟可以通过离散化方程、引入数值格式和数值算法，得到流体在离散网格上的解。
第三讲 流体动力学基础
流体静压力矢量： F= -∫ApdAn
三、 流体静压力的两个重要特性。 1、流体静压力的方向总是沿受作用面法线方向。
2、平衡流体内任一点处的静压强的数值与其作用 面的方向无关，它只是该点空间坐标的函数。
10
§2-2 流体的平衡微分方程（欧拉平衡微分方程）
1 p f z
1、流量 单位时间内通过某一过流断面的流体量。体积流量qv或Q表示，质量流量 qm 。 qv vdA v A 体积流量（m3/s）： A
质量流量（kg/s）：
qm ρ vdA ρv A
A
2、净通量 在流场中取整个封闭曲面作为控制面，封闭曲面内的空间称为控制体。 流过全部封闭控制面A的流量称为净流量，或净通量。
动量修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面的流速分布， 分布越均匀，β 值越小，越接近于1.0。
41
层流流速分布
湍流流速分布
断面流速分布 圆管层流 圆管紊流 旋转抛物面 对数规律
动能修正系数
动量修正系数 β =4/3 β =1.02~1.05
=2.0 =1.05~1.1
42
§3-3 连续方程式（一元流动）
绝对真空 p=0
15
第三章
流体动力学基础
16
3-1描述流体运动的两种方法
流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和。
描述流体的运动参数在流场中各个不同空间位置上随时 间 连续变化的规律。
拉格朗日法（Lagrange）：流体质点 着眼点不同
跟踪追迹法
欧拉法（ Euler）：空间 设立观察站法
17
一、 拉格朗日法与质点系
32
流线的性质：
1. 在某一时刻，过某一空间点只有一条流线。流线不能 相交，不能突然转折。三种例外： 驻点 相切点
第三节流体流动的基本方程
gZ1
u12 2
P1
We
gZ 2 u22 P2
2
hf
1) 柏努利方程的物理意义：在任一垂直流动方向的截面上，单位质 量流体的总机械能守恒，而每一种形式的机械能不一定相等，可以 相互转换；
2) 当流体静止时，u=0，Σhf=0，We=0，则柏努利方程变为静力学 方程，可见静力学方程式是柏努利方程的特例；
H gZ u2 2
及 H We
则：上式右简化为 △H = qe 或 H2 = H1 + qe
对于方程
U
P
u2 2
gZ
qe
We
设：① 流体不可压缩 ρ1 = ρ2 ② 流动过程流体温度不变（等温流动），△U = 0
③ 流动过程中因流体粘性而产生的机械能损失为hf,并以热的 形式向外散失。（放热为负）
u12 3335 u22 4905 2 1.20 2 1.2
化简得：
u22 u12 13733
(a)
由连续性方程有： u1 A1 u2 A2
u2
u1
d1 d2
2
u2 16u1
(b)
联立(a)、(b)两式
16u1 2 u1 2 13733
u1 7.34m / s
Vh
3600
第三节 流体流动的基本方程
管路计算
流体动力学
流体流动
管内流体 流动现象
流体流动 阻力
流速与流量
流体动力学主要研究流体流动过程中，流速、压强等参数的 变化规律，研究流体流动过程中的能量损失以及为输送流体需对 流体提供的能量，进而总结出流体在管内流动的规律。
1.3.1 流体的流量与流速 一、流量 1. 体积流量
流体动力学基本方程
流体动力学基本方程流体动力学是研究流体运动规律和流体力学性质的分支学科。
它通过建立一套数学模型来描述流体在不同条件下的运动行为，并从中推导出一系列基本方程来描述流体动力学过程。
本文将就流体动力学基本方程展开讨论，探究其应用和意义。
一、质量守恒方程质量守恒方程是流体动力学的基本方程之一。
它描述了流体质量在流动过程中的守恒关系。
其数学表达式为：\[\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0\]其中，\(\rho\)为流体密度，\(\mathbf{v}\)为流体速度矢量，\(\nabla\cdot\)表示散度运算符。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体在外力作用下的运动规律。
它是流体动力学研究的核心之一。
动量守恒方程的数学形式为：\[\frac{\partial(\rho\mathbf{v})}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf{vv}) = -\nabla p + \rho\mathbf{f} +\nabla\cdot\mathbf{\tau}\]其中，\(p\)为流体压力，\(\mathbf{\tau}\)为应力张量，\(\mathbf{f}\)为外力矢量。
三、能量守恒方程能量守恒方程描述了流体在运动过程中能量的转化和守恒规律。
其数学表达式为：\[\frac{\partial(\rho E)}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho E\mathbf{v}) = -\nabla\cdot\mathbf{q} + \rho\mathbf{f}\cdot\mathbf{v} +\nabla\cdot(\mathbf{v}\cdot\mathbf{\tau})\]其中，\(E\)为单位质量流体的总能量，\(\mathbf{q}\)为能量通量矢量。
四、状态方程状态方程是流体动力学基本方程的补充，用来描述流体的热力学性质和状态。
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① 理想 ② 不可压缩均质流体 ③ 在重力作用下 ④ 作恒定流动 ⑤ 并沿同一流线（或微元流束）流动。
第4章 流体动力学基础
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
1、物理意义
z
p
g
u2 2g
c0
位能—— z 压力能—— p
g
势能—— z p
动能—— u 2 2g
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.1 无黏性流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的恒定流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程
§4.2 元流的伯努利方程
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
受力分析： 1、表面力：
p p dx p p dx
x 2
x 2
(p1 pdx) 2 x
x轴正方向 x轴负方向
PM
(p 1 2
p dx)dydz x
PN
(p
1 2
p x
dx)dydz
2、质量力： FBxXdxdydz
§4.2 元流的伯努利方程
元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
pA
u
2 A
pB
+0
g 2g g
uA2 pB pA h
2g g g
机械能—— z p u 2 2g
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相 转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或 表现形式。
§4.2 元流的伯努利方程
2、几何意义
u2 gzp常数 H
2
速位压
总
度置强
水
水水水
头
头头头
1
Z1
0
2 Z2
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
X d x d y d z p p d x d y d z p p d x d y d z d x d y d zD x
x2 x2
D
X 1 p Dux
x Dt
乘以dx
§4.2 元流的伯努利方程
X 1 p xux u xxuy u yxuz u zx
乘以dx
X d 1 x p xd x u x u x xd x u y u y xd x u z u z xd x
恒定流动
流线和迹线重合，则
u y d x u x d y ,u zd x u x d,u z z d y u y dz
Ugdzg zc1
z
p
g
u2 2g
c0
对于同流线上的任意两点1和2，则上式写成
z1pg1 2u1g2 z2pg2 2ug22
理想流体 流线上的 伯努利方
程
uo 若
，上式为静力学基本方程
z
p
g
c0
§4.2 元流的伯努利方程
理想的流体运动方程的积分－Bernoulli方程
适用范围：
z
p
g
u2 2g
c0
流体动力学基础和方 程讲解
第4章 流体动力学基础
流体动力学研究的主要问题是流速和压强在空间的分布。流速 又更加重要。流体流动时，在破坏压力和质量力平衡的同时，出 现了和流速密切相关的惯性力和粘性力。这样，流体由静到动所 产生的两种力，是由流速在空间的分布和随时间的变化所决定的。 因此，流体动力学的基本问题是流速的问题。
Xdx1pxdxuxdux
1 p
Ydy y dy u ydu y
Zdz
1
p z
dz
uzduz
XdxYdyZdz1(pxdxpydypzd)zuxduxuyduyuzduz
dU 1 dpd(u2)
2
§4.2 元流的伯努利方程
dU 1 dpd(u2) 积分 U p u2 c
2
2
质量力只有重力 XY0,Zg
Y 1 p Duy
y Dt
Z1 p Duz
z Dt
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
Z
1
p z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
理想流体的运动微分方程 欧拉运动微分方程
第4章 流体动力学基础
f( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) x ( x 0 ) 2 1 ! f''( x 0 ) x ( x 0 ) 2 ..x . x 0
中心点为A (x,y,z)，
A处的压强 p(x,y,z,t)
(p1 pdx) 2 x
则x向受压面形心点的压强分别为
(p1 pdx) 2 x
恒定流动 u 0 t
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
Z
x
uy
uz y
uz
uz z
X 1 p xux u xxuy u yxuz u zx
乘以dx 乘以dy 乘以dz
流体从静止到运动，质点获得流速，由于粘滞力的作用，改 变了压强的静力特性。但粘滞力对压强随方向变化的影响很小， 在工程中可忽略不计。
以后，流体流动时的压强和流体静压强，一般在概念的命名 上不予区别，一律称为压强。
第4章 流体动力学基础
§4.1 流体的运动微分方程
4.1.1 无黏性流体运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用 牛顿第二定律加以推导。
X d 1 x p xd x u x u x xd x u x u y xd y u x u z xd z
X d 1 p x x d x u x ( u x xd x u y xd y u z xd) z u x dxu
§4.2 元流的伯努利方程
X d 1 p x x d x u x ( u x xd x u y xd y u z xd) z u x dxu
0
§4.2 元流的伯努利方程
Z1pg 1 2 u1 g 2 Z2pg 2 2 ug 2 2
位 压 流单 单 单 置 强 速位 位 位 水 水 水位 压 动 头 头 头能 能 能
测 压总 管水 水头 头
单 位单 势位 能总
机 械 能
1
Z1
0
2
Z2
0
表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过水断 面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。