课时达标检测(十七)抛物线
抛物线测试题
抛物线测试题2020年12月14日时长：30分钟满分：100分一、选择题（本大题共4小题，共20分）1.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，则|PQ|等于A. 9B. 8C. 7D. 62.抛物线的准线方程是y=12，则其标准方程是()A. y2=2xB. x2=−2yC. y2=−xD. x2=−y3.已知抛物线ax2=y的焦点到准线的距离为12，则实数a等于( )A. ±1B. ±2C. ±14D. ±124.若抛物线x2=ay(a>0)的焦点到准线的距离为1，则a=()A.2B. 4C. 12D. 14二、填空题（本大题共4小题，共20分）5.若抛物线y2=mx与椭圆x29+y25=1有一个共同焦点，则m=____________．6.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为______．7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24−y2=1的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，则p的值为______．8.已知抛物线C：x2=4y，则其焦点坐标为______，直线y=x+1与抛物线C交于A，B两点，则|AB|=______．三、解答题（本大题共2小题，共60分）9.已知抛物线C：x2=4y，过点P(1,0)作直线l．(1)若直线l的斜率存在，且与抛物线C只有一个公共点，求直线l的方程．(2)若直线l过抛物线C的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，求弦长|AB|．10.已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点为O，准线方程为x=−1．2(1)求抛物线方程；(2)过点(1,0)且斜率为1的直线l与抛物线交于P，Q两点，求△OPQ的面积．答案和解析1.【答案】B解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=−1.根据题意可得，|PQ|=|PF|+ |QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8．2.【答案】B解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，设抛物线标准方程为：x2=−2py(p>0)，∵抛物线的准线方程为y=12，∴p2=12，∴p=1，∴抛物线的标准方程为：x2=−2y．3.【答案】A解：因为抛物线ax2=y的标准形式为x2=1a y，所以焦点到准线的距离为|12a|=12，解得a=±1．4.【答案】A解：由题意抛物线x2=ay(a>0)，则p=a2，故焦点到准线的距离为a2=1，即a=2．5.【答案】±8解：椭圆x29+y25=1的焦点为(−2,0)，(2,0)，显然抛物线y2=mx的焦点在x轴上，当m<0时，其焦点为(m4,0)，∴m4=−2，即m=−8；当m>0时，其焦点为(m4,0)，∴m4=2，即m=8；综上所述，m=±8，6.【答案】x=−4解：∵抛物线方程为y2=2px∴抛物线焦点为F(p2,0)，准线方程为x=−p2又∵点M(1,m)到其焦点的距离为5，∴p>0，根据抛物线的定义，得1+p2=5，∴p=8，∴准线方程为x=−4．故答案为：x=−4．由题意得：抛物线焦点为F(p2,0)，准线方程为x=−p2.因为点M(1,m)到其焦点的距离为5，所以点M到抛物线的准线的距离为：1+p2=5，从而得到p=8，得到该抛物线的准线方程．7.【答案】2√3双曲线x24−y2=1的右焦点为(√3,,0)，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(p2,0)，则p2=√3，所以p的值为2√3，故答案为2√3．8.【答案】(0,1) 8解：已知抛物线C ：x 2=4y ，则其焦点坐标为(0,1)，由{y =x +1x 2=4y ，可得：x 2−4x −4=0，直线y =x +1与抛物线C 交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点， 所以x 1+x 2=4，x 1，x 2=−4，所以|AB|=√1+12×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2×√16+16=8．故答案为：(0,1)，8． 9.【答案】解：(1)设直线l 的方程为y =k(x −1)，联立{y =k(x −1)x 2=4y，消去y 得，x 2−4kx +4k =0，则△=16k 2−16k =0，解得k =0或k =1，故直线l 的方程为y =0或y =x −1； (2)抛物线C 的焦点为F(0,1)，则直线l 的方程为y =−x +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =−x +1x 2=4y ，消去x 得，y 2−6y +1=0，则y 1+y 2=6，故|AB|=y 1+y 2+p =8．10.【答案】解：(1)抛物线C:y 2=2px(p >0)的准线方程为x =−12，F 为抛物线的焦点，可得F(12,0)，即p2=12,p =1，抛物线的方程为y 2=2x ； (2)设直线l 方程为x =1+y,p(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),{x =1+yy 2=2x ⇒y 2−2y −2=0,则{Δ=12>0y 1+y 2=2y 1.y 2=−2,所以PQ =√1+12|y 1−y 2|=√2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√6,∵d =1+1=√22,∴S △OPQ =12×√22×2√6=√3．。
课时提升作业(十七)2.4.1
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课时提升作业(十七)抛物线及其标准方程(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014·安徽高考)抛物线y=14x 2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2【解析】选A.y=14x 2⇔x 2=4y ，所以抛物线的准线方程是y=-1.2.(2015·大连高二检测)点M(5，3)到抛物线y=ax 2准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ( )A.y=12x 2B.y=12x 2或y=-36x 2C.y=-36x 2D.y=112x 2或y=-136x 2 【解析】选D.分两类a>0，a<0可得y=112x 2，y=-136x 2.3.抛物线y 2=ax(a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a|4B.|a|2C.|a|D.-a2【解析】选B.因为y 2=ax ，所以p=|a|2，即焦点到准线的距离为|a|2.故选B.4.(2015·青岛高二检测)已知等轴双曲线C 与抛物线x 2=4y 有一个共同的焦点，则双曲线C 的方程为 ( )A.2y 2-2x 2=1 B.x 22-y 22=1C.y 2-x 2=1 D.y 22-x 22=1【解析】选A.抛物线x 2=4y 的焦点为(0，1)，由题意，得双曲线的焦点为 (0，1)，所以设双曲线的标准方程为y 2a 2-x 2b 2=1(a>0，b>0)，且{a =b,a 2+b 2=1,解得a=b=√22，即双曲线的方程为2y 2-2x 2=1.5.(2015·重庆高二检测)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=4√2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=4√2，则△POF 的面积为 ( ) A.2 B.2 C.2√3 D.4【解题指南】由|PF|=4√2及抛物线的定义求出点P 的坐标，进而求出面积. 【解析】选C.抛物线C 的准线方程为x=-√2，焦点F(√2，0)，由|PF|=4√2及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P =3√2，从而y P =±2√6， 所以S △POF =12|OF|·|y P |=12×√2×2√6=2√3.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·邢台高二检测)若点P 到直线y=-1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________.【解析】由题意可知点P 到直线y=-3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0，3)为焦点，以y=-3为准线的抛物线，且p=6，所以其标准方程为x 2=12y. 答案：x 2=12y7.若抛物线y 2=-2px(p>0)上有一点M ，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为________. 【解析】由抛物线方程y 2=-2px(p>0)，得其焦点坐标为F(-p2，0)，准线方程为x=p 2，设点M 到准线的距离为d ，则d=|MF|=10，即p 2-(-9)=10，所以p=2，故抛物线方程为y 2=-4x. 将M(-9，y)代入抛物线方程，得y=±6， 所以M(-9，6)或M(-9，-6). 答案：(-9，-6)或(-9，6)【补偿训练】(2015·皖南八校联考)若抛物线y 2=2x 上一点M 到坐标原点O 的距离为√3，则点M 到抛物线焦点的距离为________.【解析】设M(x ，y)，则由{y 2=2x,x 2+y 2=3,得x 2+2x-3=0. 解得x=1或x=-3(舍).所以点M 到抛物线焦点的距离d=1-(−12)=32. 答案：328.已知F 是抛物线y=14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________.【解析】由y=14x 2得x 2=4y ，所以F(0，1).设线段PF 的中点M(x ，y)，P(x 0，y 0)，则{x =x 0+02,y =y 0+12,即{x 0=2x,y 0=2y −1.又P(x 0，y 0)在x 2=4y 上， 故4x 2=4(2y-1)，得x 2=2y-1. 答案：x 2=2y-1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·吉林高二检测)已知动圆M 与直线y=2相切，且与定圆C ：x 2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【解题指南】设动圆圆心为M(x ，y)，半径为r ，则由题意可得M 到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求.【解析】设动圆圆心为M(x ，y)，半径为r ，则由题意可得M 到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x 2=-12y.10.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米.一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解题指南】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y 轴重合，问题转化为求出x=2时的y 值.【解析】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系(如图).设抛物线的方程是x 2=-2py(p>0)， 由题意知(4，-5)在抛物线上， 故：16=-2p ×(-5)⇒p=85，则抛物线的方程是x 2=-165y(-4≤x ≤4)，设水面上涨，木船两侧面与抛物线形拱桥接触于B ，B ′时，木船开始不能通航. 设B(2，y ′)，所以22=-165y ′⇒y ′=-54，即水面与拱顶相距为0.75+54=2(米)，故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船开始不能通航.(20分钟 40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·武汉高二检测)若点P 到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则点P 的轨迹方程为 ( )A.y 2=8xB.y 2=-8xC.x 2=8yD.x 2=-8y【解析】选C.由题意知点P 到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，因此点P 到点F(0，2)的距离与到直线y+2=0的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，y=-2为准线的抛物线，其方程为x 2=8y.2.已知点A(2，0)，抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|∶|MN|= ( )A.2∶√5B.1∶2C.1∶√5D.1∶3 【解题指南】利用射线FA 的斜率和抛物线的定义求解. 【解析】选C.射线FA 的方程为x+2y-2=0(x ≥0). 由条件知tan α=12，所以sin α=√55，由抛物线的定义知|MF|=|MG|，所以|FM||MN|=|MG||MN|=sin α=√55=√5.故选C.二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是________.【解析】依题意得F(p2，0)，设P(y 122p，y 1)，Q(y 222p，y 2)(y 1≠y 2).由抛物线定义及|PF|=|QF|，得y 122p+p2=y 222p +p2，所以y 12=y 22，所以y 1=-y 2.又|PQ|=2，因此|y 1|=|y 2|=1，点P(12p，y 1).又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|=12p +p 2=2，由此解得p=2±√3. 答案：2±√34.(2015·延边高二检测)已知抛物线y=18x 2与双曲线y 2a2-x 2=1(a>0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线上，则OP →·FP →的最小值为________. 【解析】抛物线y=18x 2，即x 2=8y 的焦点为F(0，2).所以a 2=22-12=3，故双曲线的方程为y 23-x 2=1.设P(x ，y)，因为点P 在x 轴上方，故由双曲线的性质可得 y ≥√3.OP →=(x ，y)，FP →=(x ，y-2)，OP →·FP →=x 2+y(y-2)=x 2+y 2-2y=y 23+y 2-2y-1=43y 2-2y-1=43(y 2−32y)-1=43(y −34)2-74.因为y=34<√3，故函数t=43(y −34)2-74在[√3，+∞)上单调递增，当y=√3时，取得最小值，最小值为43×(√3)2-2×√3-1=3-2√3.所以OP →·FP →的最小值为3-2√3. 答案：3-2√3三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·温州高二检测)已知点A(0，4)和抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F ，若线段FA 的中点B 在抛物线上，求B 到该抛物线准线的距离. 【解析】依题意可知F 的坐标为(p2，0)，所以B 的坐标为(p4，2)代入抛物线方程得p=2√2，所以抛物线准线方程为x=-√2， 所以点B 到抛物线准线的距离为√22+√2=3√22. 6.抛物线y 2=2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y=2x ，斜边长为5√13，求此抛物线方程.【解析】设抛物线y 2=2px(p>0)的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y=2x ，另一直角边所在直线方程为y=-12x.解方程组{y =2x,y 2=2px,可得点A 的坐标为(p2，p)；解方程组{y =−12x,y 2=2px,可得点B 的坐标为(8p ，-4p). 因为|OA|2+|OB|2=|AB|2，且|AB|=5√13， 所以(p 24+p 2)+(64p 2+16p 2)=325.所以p=2，所以所求的抛物线方程为y 2=4x.关闭Word 文档返回原板块。
高中数学2.3抛物线课时提升作业(十七)2.3.2.2抛物线方程及性质的应用检测(含解析)人教A版选修1_1
课时提升作业(十七)抛物线方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线y=x2的焦点关于直线x-y-1=0的对称点的坐标是( )A.(2,-1)B.(1,-1)C. D.【解析】选A.y=x2⇒x2=4y,焦点为(0,1),其关于x-y-1=0的对称点为(2,-1).2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则=( )A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.3.已知抛物线C:x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.∪C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-)∪(,+∞)【解析】选D.显然t≠0,直线AB的方程为y=x-1,代入抛物线方程得2tx2-4x+t=0.由题意Δ=16-8t2<0,解得t<-或t>.【补偿训练】设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线斜率的取值范围是( )A. B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]【解析】选C.准线x=-2,Q(-2,0),设y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当k=0时,x=0,即交点为(0,0),当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或0<k≤1,综上所述,k的取值范围是[-1,1].4.(2015·黄冈高二检测)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )A.4B.3C.4D.8【解析】选C.由抛物线的定义知AF=AK,又∠KAF=60°,所以△AFK是正三角形.联立方程组消去y得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.由题意得A(3,2),所以△AKF的边长为4,面积为×4×2=4.5.(2015·成都高二检测)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则( )A.n=0B.n=1C.n=2D.n≥3【解题指南】借助抛物线及正三角形的对称性求解本题,注意数形结合.【解析】选C.根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于x轴对称,且过焦点的两条直线倾斜角分别为30°和150°,如图,所以正三角形的个数n=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为(抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).【解析】由直线y=-2平行于抛物线的对称轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.答案:x=-27.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是.【解析】设直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2),其中点为P(x0,y0),由题意得消去y,整理得(x-1)2=4x,即x2-6x+1=0.所以x0==3,y0=x0-1=2.所以P(3,2).答案:(3,2)【一题多解】=4x2,=4x1,-=4x2-4x1,=4.所以y1+y2=4,即y0=2,因此x0=y0+1=3.故中点为P(3,2).答案:(3,2)8.(2015·吉林高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l 相交于点A,与抛物线的一个交点为B,若=,则p= .【解析】由题知准线l为x=-(p>0),过点M且斜率为的直线为y=(x-1),则A,设B(x,0),由=可知M为AB的中点,又M(1,0),所以即代入y2=2px可知,p2+4p-12=0,即p=2或p=-6(舍去).答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值.(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解题指南】利用直线l与抛物线C相切,联立方程,由Δ=0求实数b的值;由直线与圆相切求圆的方程.【解析】(1)由得x2-4x-4b=0.(*)因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.10.(2015·济南高二检测)如图,已知点P(-3,0),点Q在x轴上,点A在y轴上,且·=0,=2.当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.【解题指南】设出点M的坐标,利用·=0,=2,求动点M的轨迹方程.【解析】设动点M(x,y),A(0,b),Q(a,0),因为P(-3,0),所以=(3,b),=(a,-b),=(x-a,y),因为·=0,所以(3,b)·(a,-b)=0,即3a-b2=0.①因为=2,所以(x-a,y)=2(a,-b),即x=3a,y=-2b.②由①②得y2=4x.所以动点M的轨迹方程为y2=4x.【补偿训练】若动点P在y=2x2+1上移动,求点P与Q(0,-1)连线中点的轨迹方程.【解析】设PQ中点为M(x,y),P(x0,y0),则所以又因为y0=2+1,所以2y+1=8x2+1.即y=4x2为所求的轨迹方程.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2014·辽宁高考)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )A. B. C. D.【解题指南】由直线与C相切求B点的坐标,由斜率公式求直线BF的斜率.【解析】选D.因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-,且点A(-2,3)在准线上,所以p=4.设直线AB 的方程为x+2=m(y-3),与抛物线方程y2=8x联立得到y2-8my+24m+16=0,由题易知Δ=0,解得m=-(舍)或m=2,这时B点的坐标为(8,8),而焦点F的坐标为(2,0),故直线BF的斜率k BF==.2.(2014·四川高考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.D.【解析】选B.由题意可知,F.设A(,y1),B(,y2),所以·=y1y2+=2,解得y1y2=1或y1y2=-2.又因为A,B两点位于x轴两侧,所以y1y2<0,即y1y2=-2.当≠时,AB所在直线方程为y-y1=(x-)=(x-),令y=0,得x=-y1y2=2,即直线AB过定点C(2,0).于是S△ABO+S△AFO=S△ACO+S△BCO+S△AFO=×2|y1|+×2|y2|+×|y1|=×(9|y1|+8|y2|)≥×2=3,当且仅当9|y1|=8|y2|且y1y2=-2时,等号成立.当=时,取y1=,y2=-,则AB所在直线的方程为x=2,此时求得S△ABO+S△AFO=2××2×+××=.而>3,故最小值为3.【误区警示】本题在求解时常因忽略条件“点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧”导致解题错误.二、填空题(每小题5分,共10分)3.平面上有三个点A(-2,y),B,C(x,y),若AB⊥BC,则动点C的轨迹方程为.【解析】=-(-2,y)=,=(x,y)-=.因为AB⊥BC,所以·=0,所以·=0,即y2=8x.所以动点C的轨迹方程为y2=8x.答案:y2=8x4.(2015·漳州高二检测)已知过抛物线y2=4x焦点的一条弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2),则+= .【解析】弦AB是过焦点F(1,0)的弦,又过点(0,2),所以其方程为x+=1,2x+y-2=0与y2=4x联立得y2+2y-4=0,y1+y2=-2,y1y2=-4,+===.答案:【补偿训练】线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦,且|AB|=4,则线段AB的中点C到直线x+=0的距离是.【解析】线段AB的中点C到准线x=-的距离为|AB|长的一半,则中点C到直线x+=0的距离为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC,交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.【证明】设k AB=k(k≠0),因为直线AB,AC的倾斜角互补,所以k AC=-k(k≠0),AB的方程是y=k(x-4)+2.由方程组消去y后,整理得k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.因为A(4,2),B(x B,y B)的横坐标是上述方程的解,所以4·x B=,即x B=.以-k代换x B中的k,得x C=,所以k BC=====-.所以直线BC的斜率是定值.【补偿训练】如图,已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O,A,B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°.(1)证明直线AB必过一定点.(2)求△AOB面积的最小值.【解析】(1)设OA所在直线的方程为y=kx(k≠0),则直线OB的方程为y=-x,由解得或即A点的坐标为.同理由解得B点的坐标为(2k2,-2k).所以AB所在直线的方程为y+2k=(x-2k2),化简并整理,得y=x-2.不论实数k取任何不等于0的实数,当x=2时,恒有y=0.故直线过定点P(2,0).(2)由于AB所在直线过定点P(2,0),所以可设AB所在直线的方程为x=my+2.由消去x并整理得y2-2my-4=0.所以y1+y2=2m,y1y2=-4.于是|y1-y2|====2.S△AOB=×|OP|×(|y1|+|y2|)=|OP|·|y1-y2|=×2×2=2.所以当m=0时,△AOB的面积取得最小值为4.6.(2014·安徽高考)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1∥A2B2.(2)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.【解题指南】(1)设出两条直线的方程,联立抛物线方程,求出点A1,A2,B1,B2的坐标,利用向量证明平行关系.(2)利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解.【解析】(1)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则由⇒A1,由⇒A2,同理可得B1,B2,所以==2p1,==2p2,故=,所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,A1C1∥A2C2,所以△A1B1C1相似于△A2B2C2,因此=,又由(1)中的=知=,故=.。
(2021年整理)抛物线练习题(含答案)
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错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（）A.错误! B．－错误! C．8 D．－84．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．4 B．6 C．8 D．125．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（）A．相交B．相切 C．相离D．以上答案都有可能6．过点F(0，3）且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为（)A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y7．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为( ) A．20 B．8 C．22 D．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A．2错误! B.错误! C。
课时提升作业 十七 2.3.2.2
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课时提升作业十七抛物线方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·衡阳高二检测)已知不过原点的直线l与y=x2交于A,B两点,若使得以AB为直径的圆过原点,则直线l必过点( )A. B. C. D.【解析】选A.设直线方程为y=kx+b,代入整理得:x2-kx-b=0,设A,B,则x1+x2=k,x1x2=-b,y1y2==b2,以AB为直径的圆过原点,则·=x1x2+y1y2 =b2-b=0,因为b≠0,得b=1.直线方程为y=kx+1,必过定点.2.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为( ) A.2 B.2 C.2 D.2【解析】选B.设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由直线AB斜率为-2,且过点(1,0)得直线AB的方程为y=-2(x-1),代入抛物线方程y2=8x得4(x-1)2=8x,整理得x2-4x+1=0,则x1+x2=4,x1x2=1,|AB|===2.3.已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若=2(其中点B位于A,C之间),且=4,则此抛物线的方程为( ) A.y2=2x B.y2=6xC.y2=4xD.y2=8x【解析】选C.过A作AD垂直于抛物线的准线,垂足为D,过B作BE垂直于抛物线的准线,垂足为E,P为抛物线的准线与x轴的交点,由抛物线的定义知:=,==4,因为=2,所以=2,所以∠BCD=30°,所以=2=8,所以=8-4=4,所以==2,即p==2,所以抛物线的方程为y2=4x.【补偿训练】过抛物线y2=2px焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且=3=3,则此抛物线的方程为 ( )A.y2=xB.y2=3xC.y2=xD.y2=9x【解析】选B.设抛物线准线交x轴于F′,分别过A,B作准线的垂线,垂足为A′,B′,直线l交准线于C,如图所示:则AA′=AF=3,BB′=BF=1,AB=4,FF′=p,所以=,即=,解得BC=2,又=,即=,解得p=,所以抛物线方程为y2=3x.4.(2018·铜仁高二检测)已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,过点F的直线与抛物线C相交于P,Q两点,且点Q在第一象限,若3=,则直线PQ的斜率是( ) A.1 B. C. D.【解析】选D.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由抛物线的方程可知,抛物线的焦点F(1,0), 因为3=,则3(1-x1,-y1)=(x2-1,y2),所以y2=-3y1,又设过焦点的直线的斜率为k,所以方程为y=k(x-1),联立方程组得y2-y-4=0,所以y1+y2=,y1y2=-4,代入可得k=.【补偿训练】若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为( )A.-3B.3C.2D.-2【解析】选D.因为抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,所以=-1,所以=-1,所以y1+y2=-1.因为y1y2=-1,所以x1+x2=+=(y1+y2)2-2y1y2=3,所以两点A(x1,y1),B(x2,y2)中点坐标为.代入y=x+b,可得b=-2.5.(2018·大庆高二检测)过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为的直线,交抛物线于A,B两点,若=λ(λ>1),则λ= )A.3B.4C.5D.6【解析】选A.设A,B,联立直线与抛物线的方程,可得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=,因为=λ,所以>,并且=λ,所以由抛物线的定义知,的值分别等于A,B到准线的距离,=x1+1,=x2+1,===3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为2,则|AB|=________.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),因为抛物线的准线方程为x=-1,焦点为F(1,0),则根据抛物线的定义可知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以|AB|=x1+1+x2+1=2x M+2=2×2+2=6.答案:67.(2018·三明高二检测)抛物线y2=4x上的点到直线x-y+4=0的最小距离为________.【解析】可判断直线y=x+4与抛物线y2=4x相离,设y=x+m与抛物线y2=4x相切,则由消去x得y2-4y+4m=0.所以Δ=16-16m=0,m=1.又y=x+4与y=x+1的距离d==,则所求的最小距离为.答案:【补偿训练】已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B 两点,=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为________.【解析】假设抛物线方程为y2=2px,则焦点坐标为,将x=代入y2=2px可得y2=p2,=12,即2p=12,所以p=6,点P在准线上,到AB的距离为p=6,所以△ABP的面积为〓6〓12=36.答案:368.抛物线y2=2px(p>0)焦点为F,点N在x轴上且在点F右侧,线段FN的垂直平分线l与抛物线在第一象限的交点为M,直线MN的倾斜角为135°,O为坐标原点,则直线OM的斜率为____________.【解析】设点M,由题意得△MFN是以M点为顶点的等腰直角三角形,|FN|=2,y=x-,由抛物线的定义得x+=MF=,代入上式得到:=2x-p,得x=p,y=p,所以k OM==2-2.答案:2-2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线被直线x-2y-1=0截得的弦长为,求此抛物线方程.【解题指南】先设所求抛物线的方程为x2=ay,联立抛物线与直线的方程消去y得2x2-ax+a=0,再设直线与抛物线交于A,B,由根与系数的关系求x1+x2,x1x2,再由弦长公式==,即可求a及抛物线的方程.【解析】设抛物线方程为:x2=ay,由方程组消去y得:2x2-ax+a=0,因为直线与抛物线有两个交点,所以Δ=-4〓2〓a>0,即a<0或a>8,设两交点坐标为A,B,则x 1+x 2=,x 1x 2=,弦长为===,因为=,所以=,即a 2-8a-48=0,解得a=-4或a=12,所以,所求抛物线方程为:x 2=-4y 或x 2=12y.10.(2018·全国卷I)设抛物线C ：y 2=2x ，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点.世纪金榜导学号02352175 (1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程. (2)证明：∠ABM=∠ABN.【解析】(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x=2，可得M 的坐标为(2，2)或(2，-2).所以直线BM 的方程为y=12x+1或y=-12x-1. (2)当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y=k(x-2)(k ≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0. 由()2y k x 2,y 2x,⎧=-⎪⎨=⎪⎩得ky 2-2y-4k=0，可知y 1+y 2=2k，y 1y 2=-4.直线BM ，BN 的斜率之和为()()()21121212BM BN 1212x y x y 2y y y yk k .x 2x 2x 2x 2++++=+=++++① 将1212y yx 2x 2k k=+=+，及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=()12122y y4k y y880.k k++-+==所以k BM+k BN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN.综上，∠ABM=∠ABN.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018·天津高二检测)曲线y=2x2上两点A,B关于直线y=x+m 对称,且x1·x2=-,则m的值为( )A. B.2 C. D.3【解析】选A.设直线AB的方程为y=-x+b,代入y=2x2得2x2+x-b=0,所以x1+x2=-,x1x2=-=-,所以b=1,即AB的方程为y=-x+1.设AB的中点为M(x0,y0),则x0==-,代入y0=-x0+1,得y0=.又M在y=x+m上,所以=-+m,所以m=.2.(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )世纪金榜导学号02352176A.16B.14C.12D.10【解析】选A.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立方程得x2-2x-4x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以x1+x2=-=,同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=,由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=++4=++8≥2+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知A,B是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线的交点,O是坐标原点,且满足=3,S△OAB=|AB|,则|AB|的值为________.【解析】不妨设直线AB的斜率k>0,如图所示,分别过A,B作抛物线准线的垂线,垂足分别为C,D,过B作BE⊥AC于E,因为=3,所以=2,所以||=2||,即有|AC|=2|BD|,所以E为AC的中点,即|AE|=|AB|,所以|BE|==|AB|,因为S△OAB=S△OAF+S△OBF=|BE|·|OF|=|AB|,S△OAB=|AB|,所以|AB|=|AB|,即p=2,由|AE|=|AB|,易知直线AB的斜率为k AB=〒2,不妨取直线AB的方程为y=2(x-1),联立y2=4x得2x2-5x+2=0,所以|AB|=3|x2-x1|=3〓=.答案:4.设直线y=2x+b与抛物线y2=4x交于A,B两点,已知弦AB的长为3,则b=________.【解析】由消去y,得4x2+4(b-1)x+b2=0.由Δ>0,得b<.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1-b,x1x2=.所以|x1-x2|==.所以|AB|=|x1-x2|=·=3,所以1-2b=9,解得b=-4<,所以b的值为-4.答案:-4三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2018·淮北高二检测)已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,斜率为的直线交抛物线于A,B两点,且=6.(1)求该抛物线C的方程.(2)已知过原点O作抛物线的两条弦OD和OE,且OD⊥OE,判断直线DE是否过定点?并说明理由.【解题指南】(1)直线AB的方程为:y=,与抛物线方程联立,利用弦长公式根据=6列方程可求得p=2,从而可得该抛物线C的方程.(2)直线DE的方程为:x=my+t,联立得y2-4my-4t=0,根据根与系数的关系及平面向量数量积公式可得t=4,从而可得结果.【解析】(1)拋物线的焦点F,所以直线AB的方程为:y=.联立方程组消元得:x2-2px+=0,所以x A+x B=2p,x A x B=.所以==·=6,解得p=2.所以抛物线C的方程为:y2=4x.(2)由(1)知直线DE的斜率不为0,设直线DE的方程为:x=my+t,联立得y2-4my-4t=0,则Δ=16m2+16t>0①.设D,E,则y1+y2=4m,y1y2=-4t.·=x1x2+y1y2=+y1y2=-4t=t2-4t=0,所以t=4或t=0(舍),所以直线DE过定点(4,0).6.(2018·岳阳高二检测)过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C 交于A,B两点,当点A的纵坐标为1时,|AF|=2.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线l的斜率为2,问抛物线C上是否存在一点M,使得MA⊥MB,并说明理由. 【解题指南】(1)运用抛物线的定义建立方程+1=2求出p=2.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线l的斜率为k.借助题设条件MA⊥MB建立方程(x1+x0)(x2+x0)+16=0,再运用根与系数的关系得到方程+4kx0+12=0,通过对判别式的研究发现有解,即所设的点存在.【解析】(1)由抛物线的定义可得+1=2⇒p=2,故抛物线方程为x2=4y.(2)假设存在满足题设条件的点M(x0,y0),则设直线AB:y=kx+1,代入x2=4y,可得x2-4kx-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.因为=(x1-x0,y1-y0),=(x2-x0,y2-y0),则由MA⊥MB可得:(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0,即(x1-x0)(x2-x0)·=0,也即(x1+x0)(x2+x0)+16=0,所以+4kx0+12=0,由于判别式Δ=16k2-48=16(4-3)>0,此时x0=-2或x0=-6,则存在点M(-2,1),M(-6,9),即存在点M(x0,y0)满足题设.关闭Word文档返回原板块。
高中数学课时作业：抛物线
课时作业54 抛物线一、选择题1．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的准线经过点(1,－1),则抛物线的焦点坐标为( A )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)D ．(2,0)解析:由抛物线x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p2＝－1,得p ＝2,故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．2．(河北五名校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点,且与该抛物线交于A ,B 两点,若线段AB 的长是8,AB 的中点到y 轴的距离是2,则此抛物线的方程是( B )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2,∴－x 1＋x 22＝2,∴x 1＋x 2＝－4,∴p ＝4,∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.3．设抛物线C :y 2＝4x 的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A ,过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线,垂足为Q .若△QAF 的面积为2,则点P 的坐标为( A )A ．(1,2)或(1,－2)B ．(1,4)或(1,－4)C ．(1,2)D ．(1,4)解析:设点P 的坐标为(x 0,y 0)．因为△QAF 的面积为2,所以12×2×|y 0|＝2,即|y 0|＝2,所以x 0＝1,所以点P 的坐标为(1,2)或(1,－2)．4．(福州四校联考)已知抛物线C 的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与抛物线的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,且|AB |＝8,M 为抛物线C 准线上一点,则△ABM 的面积为( A )A ．16B ．18C ．24D ．32解析:不妨设抛物线C :y 2＝2px (p >0),如图,因为直线l 过抛物线C 的焦点,且与抛物线的对称轴垂直,所以线段AB 为通径,所以2p ＝8,p ＝4,又M 为抛物线C 的准线上一点,所以点M 到直线AB 的距离即焦点到准线的距离,为4,所以△ABM 的面积为12×8×4＝16,故选A.5．(陕西质量检测)抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出,经过抛物线上的点A 反射后,再经抛物线上的另一点B 射出,则直线AB 的斜率为( B )A.43 B ．－43 C ．±43D ．－169解析:将y ＝1代入y 2＝4x ,可得x ＝14,即A (14,1)．由抛物线的光学性质可知,直线AB 过焦点F (1,0),所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43.故选B.6．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,点N 在x 轴上且在点F 的右侧,线段FN 的垂直平分线l 与抛物线在第一象限的交点为M ,直线MN 的倾斜角为135°,O 为坐标原点,则直线OM 的斜率为( A )A ．22－2B ．22－1 C.2－1D ．32－4解析:解法1:设点M (m 22p ,m )(m >0),因为点M 在FN 的垂直平分线上且点N 在焦点F 的右侧,所以N (2m 2－p 22p ,0),又MN 的倾斜角为135°,所以2pmp 2－m 2＝－1,解得m＝(2＋1)p ,所以点M (3＋222p ,(2＋1)p ),所以直线OM 的斜率为2(2＋1)3＋22＝22－2,故选A.解法2:如图,设直线L 为抛物线的准线,过点M 向准线引垂线,垂足为A ,交y 轴于点B ,设|MF |＝t ,因为点M 在FN 的垂直平分线上,且直线MN 的倾斜角为135°,所以直线MF 的倾斜角为45°,由抛物线的定义得t ＝|MA |＝p ＋22t ,即t ＝2p 2－1＝(2＋2)p ,所以|OB |＝22t ＝(2＋1)p ,|BM |＝t －p 2＝(3＋22)p2,设直线OM 的倾斜角为θ,则∠OMB ＝θ,所以直线OM 的斜率为tan θ＝|OB ||MB |＝2(2＋1)3＋22＝22－2,故选A.7．如图,过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及其准线于点A ,B ,C ,若|BC |＝2|BF |,且|AF |＝3,则抛物线的方程为( B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析:如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,交准线于点E ,D ,设|BF |＝a ,则|BC |＝2a , 由抛物线的定义得,|BD |＝a , 故∠BCD ＝30°,在直角三角形ACE 中,因为|AE |＝|AF |＝3,|AC |＝3＋3a ,2|AE |＝|AC |, 所以6＝3＋3a ,从而得a ＝1, 因为BD ∥FG ,所以|DB ||FG |＝|BC ||FC |. 即1p ＝23,解得p ＝32, 因此抛物线方程为y 2＝3x . 二、填空题8．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上,且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12,则点P 到x 轴的距离为2.解析:设点P 的坐标为(x P ,y P ),抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1,根据抛物线的定义,点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离,故x P x P －(－1)＝12,解得x P ＝1,所以y 2P ＝4,所以|y P |＝2.9．(合肥市质量检测)抛物线E :y 2＝4x 的焦点为F ,准线l 与x 轴交于点A ,过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线PQ ,垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16,则点P 的坐标为(4,4)．解析:设P (x ,y ),其中x >0,y >0,由抛物线的定义知|PF |＝|PQ |＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2,|QA |＝y ,则⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x ＋1)＋2＋y ＝16，y 2＝4x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－6(舍去)． 所以点P 的坐标为(4,4)．10．(潍坊市统一考试)已知抛物线y 2＝4x 与直线2x －y －3＝0相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,设OA ,OB 的斜率分别为k 1,k 2,则1k 1＋1k 2的值为12.解析:设A (y 214,y 1),B (y 224,y 2),易知y 1y 2≠0,则k 1＝4y 1,k 2＝4y 2,所以1k 1＋1k 2＝y 1＋y 24,将x ＝y ＋32代入y 2＝4x ,得y 2－2y －6＝0, 所以y 1＋y 2＝2,1k 1＋1k 2＝12.三、解答题11．过抛物线C :y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,且|AB |＝8.(1)求直线l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ,抛物线的准线与x 轴的交点为E ,求证:B ,D ,E 三点共线．解:(1)F 的坐标为(1,0),则l 的方程为y ＝k (x －1),代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0,由题意知k ≠0,且[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2,x 1x 2＝1,由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8, ∴2k 2＋4k 2＝6,∴k 2＝1,即k ＝±1, ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)证明:由抛物线的对称性知,D 点的坐标为(x 1,－y 1),又E (－1,0), ∴k EB －k ED ＝y 2x 2＋1－－y 1x 1＋1＝y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1),y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)＝y 2(y 214＋1)＋y 1(y 224＋1)＝y 1y 24(y 1＋y 2)＋(y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1y 24＋1)．由(1)知x 1x 2＝1, ∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16, 又y 1与y 2异号,∴y 1y 2＝－4, 即y 1y 24＋1＝0,∴k EB ＝k ED , 又ED 与EB 有公共点E , ∴B ,D ,E 三点共线．12．(洛阳高三统考)已知F 是抛物线C 1:y 2＝2px (p >0)的焦点,曲线C 2是以F 为圆心,p2为半径的圆,直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1,C 2从上到下依次相交于点A ,B ,C ,D ,则|AB ||CD |＝( A )A ．16B ．4 C.83D.53解析:解法1:因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心),故|BF |＝|CF |＝p 2,所以|AB ||CD |＝|AF |－p 2|DF |－p 2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ,|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0, 即(8x －p )(x －2p )＝0,可得x A ＝2p ,x D ＝p 8, 故|AB ||CD |＝x A x D＝2pp 8＝16.故选A.解法2:同解法1得|AB ||CD |＝|AF |－p 2|DF |－p 2.过A ,D 作抛物线准线的垂线,垂足分别为A 1,D 1,该直线AF 交准线于点E ,准线交x 轴于点N ,则由FN ∥AA 1得|EF ||EA |＝|NF ||AA 1|,由直线AF 的斜率为43得tan ∠A 1AF ＝43, 故|AA 1||AE |＝35.又|AA 1|＝|AF |, 故|NF ||AA 1|＝|EF ||EA |＝25,所以|AF |＝|AA 1|＝52|NF |＝52p . 同理可得|DD 1||NF |＝|ED ||EF |,又|DD 1|＝|DF |, 所以|DD 1||NF |＝53|NF |－|DD 1|53|NF |,故|DF |＝|DD 1|＝58|NF |＝58p , 故|AB ||CD |＝52p －p 258p －p 2＝218＝16.故选A.13．(河北名校联考)如果点P 1,P 2,P 3,…,P 10是抛物线y 2＝2x 上的点,它们的横坐标依次为x 1,x 2,x 3,…,x 10,F 是抛物线的焦点,若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5,则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝10.解析:由抛物线的定义可知,抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P (x 0,y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2,在y 2＝2x 中,p ＝1,所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.14．(惠州市调研考试)在平面直角坐标系xOy 中,过点C (2,0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．(1)求证:y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在,求出该直线的方程和弦长,如果不存在,说明理由．解:(1)证法1:当直线AB 垂直于x 轴时,不妨取y 1＝22,y 2＝－22,所以y 1y 2＝－8(定值)．当直线AB 不垂直于x 轴时,设直线AB 的方程为y ＝k (x －2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，得ky 2－4y －8k ＝0, 所以y 1y 2＝－8.综上可得,y 1y 2＝－8为定值． 证法2:设直线AB 的方程为my ＝x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x －2，y 2＝4x得y 2－4my －8＝0, 所以y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8为定值． (2)存在．理由如下: 设存在直线l :x ＝a 满足条件,则AC 的中点E (x 1＋22,y 12), |AC |＝(x 1－2)2＋y 21,因此以AC 为直径的圆的半径 r ＝12|AC |＝12(x 1－2)2＋y 21＝12x 21＋4, 点E 到直线x ＝a 的距离d ＝|x 1＋22－a |, 所以所截弦长为2r 2－d 2 ＝214(x 21＋4)－(x 1＋22－a )2＝x 21＋4－(x 1＋2－2a )2＝－4(1－a )x 1＋8a －4a 2,当1－a ＝0,即a ＝1时,弦长为定值2,这时直线的方程为x ＝1. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(福州市测试)已知圆C :(x －5)2＋(y －12)2＝8,抛物线E :x 2＝2py (p >0)上两点A (－2,y 1)与B (4,y 2),若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切,则E 的准线方程为( C )A ．x ＝－12B ．y ＝－1C ．y ＝－12D ．x ＝－1解析:由题意知,A (－2,2p ),B (4,8p ),∴k AB ＝8p －2p 4－(－2)＝1p ,设抛物线E 上的切点为(x 0,y 0),由y ＝x 22p ,得y ′＝x p ,∴x 0p ＝1p , ∴x 0＝1,∴切点为(1,12p ), ∴切线方程为y －12p ＝1p (x －1), 即2x －2py －1＝0,∵切线2x －2py －1＝0与圆C 相切,∴圆心C (5,12)到切线的距离为22,即|9－p |4＋4p2＝22, ∴31p 2＋18p －49＝0, ∴(p －1)(31p ＋49)＝0, ∵p >0,∴p ＝1.∴抛物线x 2＝2y 的准线方程为y ＝－12,故选C.。
抛物线测试题含答案
抛物线测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．抛物线22x y =的焦点坐标是 （ ）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0(D ． )41,0( 2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 （ ）A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ．y x 82-= 3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 （ ）A ．15B ．152C ．215D ．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）A.y x 292-=或x y 342= B.x y 292-=或y x 342= C.y x 342= D.x y 292-= 5．点)0,1(P 到曲线（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,, 成等差数列，则（ ） A ．321,,x x x 成等差数列 B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PB PA + 取得最小值时点P 的坐标是 （ ）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21( 8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(),,(2211y x B y x A , 则关系式的值一定等于 （ ）A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 和FQ 的长分别是q p ,，则= （ ）A ．a 2B ．a21 C ．a 4 D ．a 4 10．若AB 为抛物线y 2=2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是 （ ）A ．2aB ．2pC ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________．12、直线x y --=10截抛物线y x 28=，所截得的弦中点的坐标是13、抛物线y px p 220=>()上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点和准线的距离为14、设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=15、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y 轴上； （2）焦点在x 轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y 2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______．三、解答题16．（12分）已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心和此抛物线的焦点F 重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程.17．（12分）已知抛物线12-=ax y 上恒有关于直线0=+y x 对称的相异两点，求a 的取值范围.18．（12分）抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.19、（12分）已知抛物线C 的方程C ：)0(22>=p px y 过点A （1，-2）. （I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 和抛物线C 有公共点，且直线OA 和l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．（13分）已知抛物线y 2=4ax (0＜a ＜1＝的焦点为F ，以A(a +4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点．（1）求｜MF ｜+｜NF ｜的值；（2）是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.21．（14分）如图, 直线y=21x 和抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线和直线y=－5交于Q 点.（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.参考答案答案 C D A B B A CB C D11． 12． 13． 15． （2），（5）三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y 22=上，有2282⋅=p ，解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322=，焦点F 的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的 定比分点，且，设点M 的坐标为),(00y x ，则02128,8212200=++=++y x ，解得4,1100-==y x ，所以点M 的坐标为（11，－4）．（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：).0)(11(4≠-=+k x k y由消x 得0)411(32322=+--k y ky ，所以，由（2）的结论得，解得.4-=k因此BC 所在直线的方程为：.0404=-+y x16．（12分）[解析]：设在抛物线y=ax 2－1上关于直线x +y=0对称的相异两点为P(x ,y),Q(－y,－x )，则②①，由①－②得x +y=a (x +y)(x －y),∵P、Q 为相异两点，∴x +y≠0，又a ≠0，∴，代入②得a 2x 2－ax －a +1=0，其判别式△=a 2－4a 2(1－a )＞0，解得43>a ． 17．（12分）[解析]：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)21,2(+y x C ，L:y=k x －1,代入抛物线方程得x 2－4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2－16＞0，即|k|＞1 ①，2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点. ∴⇒，消去k 得x 2=4(y+3),由① 得，4>x ，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)( 4>x )．18．19．（14分）[解析]：（1）F （a ,0）,设),(),,(),,(002211y x P y x N y x M ，由0)8()4(222=++-+⇒a a x a x ，)4(2,021a x x -=+∴>∆ ，8)()(21=+++=+a x a x NF MF（2）假设存在a 值，使的NF PF MF ,,成等差数列，即42=⇒+=PF NF MF PF a x -=4042)2(41616)24(16)(212221221202202022020y y y y y y y a a y y a y a x ++=+=-=⇒=+-⇒=+-212121212)(444244x x a x x a ax ax ax ax ++=++==⇒++-a a a a a 82)4(22=++-a a a a a 82)4(222416a a -1=⇒a100000202121<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>>+>∆a y x x x x 矛盾.∴假设不成立．即不存在a 值，使的NF PF MF ,,成等差数列．或解: 4=PF a x -=40⇔40=+a x 知点P 在抛物线上. 矛盾.20．（14分）【解】(1) 解方程组 得 或即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程 y －1=21(x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5)． (2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , 81x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离 d==,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8.∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30．。
高中数学 课时达标检测(十二)抛物线及其标准方程 新人教A版选修21
课时达标检测（十二） 抛物线及其标准方程一、选择题1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4x B ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4y D ．y 2＝4x 或x 2＝－4y解析：选C 设抛物线方程为y 2＝－2p 1x 或x 2＝2p 2y ，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2.故抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .2．已知点P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且点P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选B 准线方程为x ＝－p ， ∴8＋p ＝10，p ＝2.∴焦点到准线的距离为2p ＝4.3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.4．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：选A 点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.二、填空题6．抛物线x ＝14my 2的焦点坐标是________．解析：解析：方程改写成y 2＝4mx ，得2p ＝4m ，∴p ＝2m ，即焦点(m,0)． 答案：(m,0)7．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：148．对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足； 设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④ 三、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2.作MN ⊥l ，垂足为N ， 则|MN |＝|MF |＝5， 而|MN |＝3＋p 2，3＋p2＝5， 即p ＝4.所以抛物线方程为x 2＝－8y ， 准线方程为y ＝2. 由m 2＝－8×(－3)＝24， 得m ＝±2 6.法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26， 准线方程为y ＝2.10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)．解：如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2＝－5y.(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．。
(完整版)抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，±62B.⎝⎛⎭⎫74，±72C.⎝⎛⎭⎫94，±32D.⎝⎛⎭⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．125．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－210．抛物线y ＝1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，m 4 B.⎝⎛⎭⎫0，－m 4 C.⎝⎛⎭⎫0，14m D.⎝⎛⎭⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题13．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1= 。
抛物线及其标准方程课时同步练(人教A版选择性必修第一册)(教师版)
抛物线及其标准方程课时同步练一、单选题1．过点(3,0)A 且与y 轴相切的圆的圆心轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．抛物线【答案】D【解析】设点P 为满足条件的一点，因为点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，由抛物线定义可得，点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上. 故选D .2．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线【答案】A【解析】∵点()1,1在直线23x y ＋＝上，故所求点的轨迹是过点()1,1且与直线23x y ＋＝垂直的直线． 故选A .3．抛物线24y x =的焦点为F ，点(),Ρx y 为该抛物线上的动点，又已知点()2,2A 是一个定点，则F PA +P 的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】如下图所示，过点P 作准线的垂线，垂足为M ，由抛物线定义可知，PF PM =，过点A 作准线的垂线AN ，垂足为N ，则3PA PF PA PM AN +=+≥=， 故选B.4．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．8【答案】C【解析】点A 到抛物线的准线：14x =-的距离为：014d x =+，利用抛物线的定义可得：001544x x +=， 求解关于实数0x 的方程可得：01x =. 故选C .5．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据抛物线的定义式得到焦点在x 轴上，焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12x =- ，故焦点到准线的距离为1. 故选B.6．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A ．()1,0B ．()0,1C ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】24y x =即214x y =,故抛物线焦点在y 轴上,11248p p =⇒=,焦点纵坐标为1216p =.故焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选D7．已知抛物线的焦点(,0)(0)F a a <，则抛物线的标准方程是（ ）A ．24y ax =B ．22y axC ．24y ax =-D ．22y ax =-【答案】A【解析】以(,0)F a 为焦点的抛物线的标准方程为24y ax =.故选A8．以坐标轴为对称轴，焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ）A ．216x y =或212y x =B ．216y x =或212x y =C ．216y x =或212x y =-D ．216x y =或212y x =-【答案】C【解析】直线34120x y --=与x 轴，y 轴的交点分别是(4,0),(0,3)-， 所以抛物线的焦点为(4,0)或(0,3)-， 即42p=或32p =-，解得：8p =或6p =-，因此，所求抛物线的标准方程为216y x =或212x y =-．故选C.9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1(P x ，1)y 、2(Q x ，2)y 两点，若123x x p +=，则PQ 等于（ ）A ．4pB ．5pC ．6pD ．8p【答案】A【解析】由抛物线的定义可知1212()()422p pPQ x x x x p p =+++=++=． 故选A ．10．已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F ．射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ）A ．2B ．1:2C ．1:D ．1:3【答案】C【解析】抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F （0，1），定点A （2，0）， ∴抛物线C 的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P ，则FM ：MN =FP ：FN ， 又F （0，1），A （2，0）， ∴直线FA 为：x +2y-2=0， 当y=-1时，x=4，即N （4，-1），FPFN∴==， :FM MN=故选C11．已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点()01,M y 在抛物线C 上，05||4y MF =，则tan FAM ∠=（ ） A ．25 B ．52 C ．54D ．45【答案】D【解析】过M 向抛物线的准线作垂线，垂足为N ，则005||24y p MN y =+=，故02y p =． 又()01,M y 在抛物线上，故012y p =，于是122p p =，解得12p =，∴055||44y MN ==， ∴||4tan tan ||5AN FAM AMN MN ∠=∠==．故选D ．12．设抛物线22y px = (0p >)的焦点为F ,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 3则p 的值为（ ）A ．33B ．33C ．62D ．263【答案】C【解析】过点B 作BM l ∥交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ， 设点()()1122,,A x y B x y 、， 由3AF BF =得12322p p x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即123x x p -=……①， 又因为NF AM ∥,所以14NF BF AM AB ==, 所以()1214NF x x =-， 所以()212142pOF ON NF x x x =+=+-=……②， 由①②可解得123,26p px x ==， 在Rt ABM ∆中，1283AB x x p p =++=， 124=3AM x x p -=， 所以228443333BM p p p ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以143323CDF S P P ∆=⨯=, 解得62p =或62p =-（舍去），故选 C二、填空题13．抛物线y 2=6x 的准线方程为_____________．【答案】32x =-【解析】因为抛物线的焦点在x 轴上，2p =6，那么其准线方程为32x =-. 故填32x =-14．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的标准方程是__________.【答案】28y x = 【解析】由题意可知：22p=，4p ∴=且抛物线的标准方程的焦点在x 轴的正半轴上 故可设抛物线的标准方程为：22y px =将p 代入可得28y x =.故填28y x =.15．一个动圆与定圆F ：22(2)1x y ++=相外切，且与定直线l ：1x =相切，则此动圆的圆心M 的轨迹方程是__________.【答案】28y x =-【解析】由题意知，点M 到定点(2,0)F -的距离减去1等于到定直线l ：1x =的距离， 即点M 到定点(2,0)F -的距离等于到定直线l '：2x =的距离.由抛物线的定义知，点M 的轨迹方程为抛物线且焦点坐标为(2,0)F -， 准线方程为l '：2x =，即该点的轨迹方程28y x =-. 故填28y x =-.16．已知抛物线方程为24y x =-，直线l 的方程为240x y +-=，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则m n +的最小值为______.【答案】6515- 【解析】如图，焦点为()1,0F -，抛物线的准线方程为1x =， 过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，则AH n =，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，则AB m =，1AC m =+， 根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+， 所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，则1246555FH --==, 当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，为1655FH =， 此时，m n +取得最小值6515-. 故填6515-.17．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若FPM为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为________.【答案】26y x =【解析】因为FPM 为等边三角形，所以PM PF =，由抛物线的定义可得PM 垂直于抛物线的准线，设2(,)2m P m p ，则点,2p M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，FPM 是等边三角形，所以222622()622m p p p p m ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得2273m p ⎧=⎨=⎩. 因此抛物线方程为26y x =.故填26y x =18．已知O 为坐标原点，抛物线2:2C y px =上一点A 到焦点的距离为4，若点M 为抛物线C 准线上的动点，且|||OM MA +∣最小值为213p 等于___________. 【答案】4【解析】设原点关于准线的对称点B ，则MB MO =，当AB 与准线的交点为M 时，|||OM MA +∣取到最小值，此时213AB =F ，由题意知，A 到准线的距离为4AF =，设()00,A x y ，则042p x +=，所以042px =-， 因为A 在抛物线上，所以220022482p y px p p p ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭. 由A 做x 轴的垂线，垂足为C ，则42pBC =+，在ABC 中，由勾股定理可知，222AC BC AB +=，即()()22222048421322p p y p p ⎛⎫⎛⎫++=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，23481440p p -+=，解得4p =或12.又因为当12p =时，0446202px =-=-=-<，不符合题意，所以4p =. 故填4.三、解答题19．求满足下列条件的曲线的标准方程：（1）10a =，35e =，焦点在x 轴上的椭圆； （2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线20x y -+=上抛物线的方程. 【解析】（1）由10a =，35e =解得6c =，所以，2221003664b a c =-=-= 故所求的椭圆方程为22110064x y +=；（2）直线20x y -+=与坐标轴的交点坐标分别是(2,0),(0,2)-，当焦点坐标为(2,0)-时，4p =，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：28y x =-当焦点坐标为(0,2)时，4p =，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：28x y =．20．已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点(3,2)A ．（1）求||||PA PF +的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标； （2）求点P 到点1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到直线12x =-的距离之和的最小值．【解析】（1）将3x =代入22y x =，得y =62>，∴点A 在抛物线的内部．过点P 作PQ 垂直拋物线的准线1:2l x =-，垂足为Q ，结合抛物线的定义，知||||||||PA PF PA PQ +=+，当,,P A Q 三点共线时，||||PA PQ +的值最小，为17322AQ ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即||||PA PF +的最小值为72；此时点P 的纵坐标为2，代入22y x =，得2x =， ∴点P 的坐标为(2,2)； （2）易知点1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线的外部．设点P 到准线1:2l x =-的距离为d ．结合抛物线的定义，得||||||||PB d PB PF BF +=+，当且仅当,,B P F 三点共线（P 在线段BF 上）时取等号．又2BF ==， ∴所求距离之和的最小值为2．21．已知抛物线()2:20C y px p =>，焦点为F ，准线为l ，抛物线C 上一点A 的横坐标为3，且点A 到准线l 的距离为5.（1）求抛物线C 的方程；（2）求以点()3,2M 为中点的弦所在直线方程.【解析】（1）抛物线22(0)y px p =>的准线方程为：2p x =-， 抛物线C 上一点A 的横坐标为3，且点A 到准线l 的距离为5，∴根据抛物线的定义可知，352p+=， 4p ∴=∴抛物线C 的方程是28y x =；（2）设以点()3,2M 为中点的直线与抛物线交于两点(),A x y ，()22,B x y21122288y x y x ⎧=⎨=⎩①②①－②得()2212128y y x x -=-得 12121282y y x x y y -==-+.即2AB K =. 所以以点()3,2M 为中点的直线方程为()223y x -=-得240x y --=.22．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？【解析】如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方程为，由题意可知， B （4，-5）在抛物线上，所以，得，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A （），由得，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以=2米。
抛物线测试题
抛物线测试题一、选择题1、点P 到点⎪⎭⎫⎝⎛0,21A ，()2,a B 及到直线21-=x 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是( )A ．21B ．23C ．21或23D ．21或21-2、设[]πα,0∈，则方程1cos sin 22=+ααy x 不能表示的曲线为( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆3、已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=3，则|QF|=( )A．25 B ．38C．3 D ．6 4、抛物线()022>=p px y 的焦点为F ，准线为，A ，B 是抛物线上的两个动点，设线段AB 的中点M 在上的投影为N） A5、抛物线y=2x 2的焦点坐标是（）A ．（0B ．（0C ．0）D ．0）6、已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点 A．C．7、已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）A．1 C8、抛物线281x y =的焦点到双曲线1322=-x y 的一条渐近线的距离为( ) A ． 1 B ．2 C ．D ．9、已知抛物线()022p px y =与双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为( ) A ．+2 B ．+1 C ．+1 D ．+110、已知抛物线的方程为，一条长度为的线段的两个端点、 在抛物线上运动，则线段的中点到轴距离的最小值为（）A 、B、 11、已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和的最小值是（）A ．D12、设抛物线的焦点为F ，顶点为O ，M A二、填空题13、抛物线x y 22=的弦AB垂直x 轴，若，则焦点到AB 的距离为14、AB 是抛物线y=x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为．15、若抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点与双曲线x 2﹣y 2=2的右焦点重合，则p 的值为 .16l l ()2,0A C :24x y =F F A C M N 1:21:3F x y =2A B AB y C 22(0)y px p =>4p AB A B C AB D y 2p 3p P 24y x =P :230l x y -+=y 224y x =线截得的弦长为． 三、解答题17、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，焦点在双曲线12422=-y x 上，求抛物线方程.18、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）设直线l 是抛物线的准线，直线AF 与抛物线交于另一点B ，求证：以AB 为直径的圆与准线l 相切．19、已知点P 为抛物线y 2=2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是点M ，点A 的坐标是(，4)，求|PA|+|PM|的最小值.20、如图，已知直线：交抛物线于、两点，试在抛物线这段曲线上求一点，使的面积最大，并求这个最大面积．21、已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若AF ＝4，求点A 的坐标；(2)求线段AB 的长的最小值．22、如图K52－1，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A . (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．l 24y x =-24y x =A B AOB P ABP △参考答案一、单项选择 1、【答案】D 2、【答案】C 3、【答案】B 4、【答案】C 5、【答案】B 6、【答案】C 7、【答案】C 8、【答案】C 9、【答案】D 10、【答案】C 11、【答案】D ． 12、【答案】B 二、填空题 13、【答案】 214、【答案】 15、【答案】416、三、解答题 17、【答案】抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x ．试题分析：先表示出双曲线的顶点，根据题意即可求出抛物线的方程.试题解析：由题意知抛物线的焦点为双曲线的顶点，即为（－2,0）或（2,0），所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x.考点：1、双曲线的性质；2、抛物线的定义． 18、【答案】（1）y 2＝2x ．（2）见解析试题分析：（1）设出抛物线的标准方程，把点的坐标代入可求得参数；（2）只要证明的中点到准线的距离等于长的一半（圆的半径）即可，由于过抛物线的焦点，因此利用抛物线的定义可证．试题解析：（1）设抛物线方程为，则，解得，所以抛物线方程为．（2）记及的中点到准线的距离分别为，即圆心到准线的距离等于直径的一半，所以以AB 为直径的圆与准线l 相切．考点：抛物线的标准方程，抛物线的定义． 19、【答案】x=时，y 2=2x=2×=7，∴|y|=<4，故A 在抛物线弧“外部”，设P 在准线l 上的射影为M'，依据抛物线的定义，应有|PM'|=|PF|(F 为抛物线的焦点)，∵P 在抛物线上运动，故总有|PA|+|PF|≥|AF|，如图，焦点F(，0)，当P ，A ，F 三点共线时，|PA|+|PM|才有最小值，此时|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-，即|PA|+|PM|的最小值为|FA|-=-=5-=.21、【答案】由y ＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F(1，0)． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．22y px =(2,2)p AB AB AB 22y px =2222p =⨯1p =22y x =,A B AB m 12,,d d d AB(1)由抛物线的定义可知，AF＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2.∴点A的坐标为(3，2)或(3，－2)．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋.由抛物线的定义可知，AB＝x1＋x2＋p＝4＋>4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1，2)，B(1，－2)，此时AB＝4，所以，AB≥4，即线段AB的长的最小值为4.。
课时达标检测 抛 物 线
课时达标检测（四十七） 抛 物 线[练基础小题——强化运算能力]1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．2．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．3B ．4C ．7D ．13解析：选B 依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4.3．若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A.22B.24 C.12 D.14解析：选B 由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ，解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24. 4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA |＋|FB |＋|FC |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA |＋|FB |＋|FC |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 5．直线l 过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线截圆x 2＋y 2－2y －1＝0所得弦长为2，则p ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：选B 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，圆心M (0,1)，半径r ＝2，圆心到准线的距离为p 2，所以⎝⎛⎭⎫p 22＋⎝⎛⎭⎫222＝(2)2，解得p ＝2.2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12B ．1C ．2D ．4解析：选A 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知直线y ＝k (x －2)过抛物线焦点(2,0)，所以|PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4.联立直线与抛物线方程消去y ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ＝⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0－2.由已知得，AF ·AM ＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4.由|MF |＝5得，8p ＋p2＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .5．(2017·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A.13 B.23 C.34D.43解析：选A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与圆(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)有且只有一个公共点，则( ) A ．r ＝a ＝p B ．r ＝a ≤p C ．r <a ≤pD ．r <a ＝p解析：选B 当r <a 时，根据圆与抛物线的对称性可知，圆(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)要么没有公共点，要么有两个或四个公共点，与题意不符；当r >a 时，易知圆与抛物线有两个公共点，与题意不符；当r ＝a 时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(x －a )2＋2px ＝r 2(x ≥0)有且仅有一个解x ＝0，可得a ≤p .二、填空题7．抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．解析：设抛物线的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，则根据抛物线的性质有p2＋6＝10，解得p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.答案：88．(2017·邢台模拟)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为________．解析：由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1.则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，则|AA 1|＋|BB 1|≥6，即2|MM 1|≥6，所以|MM 1|≥3，故M 到x 轴的最短距离为3－1＝2.答案：29．(2015·荆门质检)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB是正三角形，则△AFB 的边长为________．解析：由题意可知A ，B 两点一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x 的焦点为(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x －1)，y 2＝4x ，化简得y 2－43y －4＝0，解得y ＝23＋4或y ＝23－4，所以△AFB 的边长为8＋43或8－4 3.答案：8＋43或8－4 310．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1为________．解析：由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.答案：π2三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43.∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2，联立⎩⎨⎧y ＝43(x －1)，y ＝－34x ＋2，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.12.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C 于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋p，代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)．由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.又直线AB的斜率k AB＝y3－y1x3－x1＝2py1＋y3，直线MN的斜率k MN＝y4－y2x4－x2＝2py2＋y4，∴k ABk MN＝y2＋y4y1＋y3＝－2p2y1＋－2p2y3y1＋y3＝－2p2y1y 3y1＋y 3y1＋y3＝2.故直线AB与直线MN斜率之比为定值．课时达标检测（三十一）等比数列及其前n项和[练基础小题——强化运算能力]1．(2017·湖北华师一附中月考)在等比数列{a n}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝() A．1 B．±1C．2 D．±2解析：选A因为数列{a n}是等比数列，所以a2a3a4＝a33＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝a3q2＝1，故选A.2．(2017·安徽皖江名校联考)已知S n是各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝()A．32 B．64C．128 D．256解析：选C∵a2·a4＝a23＝16，∴a3＝4(负值舍去)①，又S3＝a1＋a2＋a3＝a3q2＋a3q＋a3＝7②，则联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－23或q＝2，∵a n>0，∴q＝2，∴a1＝a3q2＝1，∴a8＝27＝128.3．等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.13(4n －1) B.13(2n －1) C ．4n －1D ．(2n －1)2解析：选A 由题知a 1＝1，公比q ＝2，故数列{a 2n }是首项为1，公比为4的等比数列，故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1×(1－4n )1－4＝13(4n －1)，故选A.4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0.由a 25＝a 3a 7得a 24＝4a 3a 7＝4a 25＝4a 24q 2，所以q 2＝14，q ＝12.又a 1＋2a 2＝a 1＋2a 1q ＝3，即2a 1＝3，所以a 1＝32，所以a n ＝a 1q n －1＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . 答案：32n5．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________.解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∵S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.答案：73[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，a 9＝a 2a 3a 4，则公比q 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选D 由a 9＝a 2a 3a 4得a 1q 8＝a 31q 6，所以q 2＝a 21，因为等比数列{a n }的各项都为正数，所以q ＝a 1＝3.2．(2016·杭州质检)在等比数列{a n }中，a 5a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5＝( )A ．3B ．－13C ．3或13D ．－3或－13解析：选C 根据等比数列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧(a 3q 5)2＝3，a 3(1＋q 10)＝4，化简得3q 20－10q 10＋3＝0，解得q 10＝3或13，所以a 15a 5＝a 5q 10a 5＝q 10＝3或13.3．(2017·长沙模拟)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.4．(2016·衡阳三模)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －1解析：选C 因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2q n －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，即a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，则a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，即a n (1＋q 2－2q )＝0，所以q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.5．(2017·福州质检)已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( ) A ．512 B ．256 C ．81D ．16解析：选A 由题意知，a 3a 4a 7q ＝a 3a 7(a 4q )＝a 3a 7a 5＝a 35＝8，Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95，所以Ⅱ9＝83＝512.6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192 里B ．96 里C ．48 里D ．24 里解析：选B 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96 里，故选B.二、填空题7．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2的值为________．解析：因为1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.又1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，易知b 2>0，所以b 2＝3，所以b 2a 1＋a 2＝310. 答案：3108．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －19．在等比数列{}a n 中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.解析：∵S 99＝30，∴a 1(299－1)＝30.又∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，∴a 3＋a 6＋a 9＋…a 99＝4a 1(1－833)1－8＝4a 1(299－1)7＝47×30＝1207.答案：120710．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 016积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________．解析：由题可知a 1a 2a 3·…·a 2 016＝a 2 016， 故a 1a 2a 3·…·a 2 015＝1，由于{a n }是各项均为正数的等比数列且a 1＞1， 所以a 1 008＝1，公比0＜q ＜1，所以a 1 007＞1且0＜a 1 009＜1，故当数列{a n }的前n 项的乘积取最大值时n 的值为1 007或1 008.答案：1 007或1 008 三、解答题11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1.又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －2＝2n －2.当n ＝1时a 1＝1，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13.12．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2， ∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n .。
抛物线及其标准方程课堂检测练习含答案解析高二数学北京海淀
课时自测·当堂达标
1.若抛物线x2=4y上的点P到其焦点的距离为5,则n= ( )
A. B. C.3 D.4
【解析】选D.抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,
根据抛物线定义可知:5=n+1,即n=4.
2.已知抛物线y=mx 2的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合,则
m=________.
【解析】将抛物线y=mx 2的方程化为标准方程是x2=y,所以其焦点是,因为抛物线y=mx 2的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合,因此-2=,解得m=.
答案:
3.抛物线y=2x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为
________.
【解析】由题意得,抛物线的标准方程为x2=y,准线方程为y=-,设点
M(x0,y0),根据抛物线的定义可知,点M到焦点的距离等于点M到准线的距离,所以y0+=1,解得y0=.
答案:
1
4.抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点P(m,1)到焦点的距离为4,求抛物线的标准方程.
【解析】因为P在抛物线上,可设抛物线方程为x2=2py(p>0),
由抛物线的定义可知,P到准线y=-的距离为4,
所以-=-3,
解得p=6,
所以抛物线的标准方程为x2=12y.
2。
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课时达标检测（四十七） 抛 物 线[练基础小题——强化运算能力]1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．2．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．3B ．4C ．7D ．13解析：选B 依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4.3．若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A.22B.24 C.12 D.14解析：选B 由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ，解得b ＝±2，所以S △MFO＝12×12×2＝24. 4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA |＋|FB |＋|FC |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA |＋|FB |＋|FC |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 5．直线l 过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线截圆x 2＋y 2－2y －1＝0所得弦长为2，则p ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：选B 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，圆心M (0,1)，半径r ＝2，圆心到准线的距离为p 2，所以⎝⎛⎭⎫p 22＋⎝⎛⎭⎫222＝(2)2，解得p ＝2.2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12B ．1C ．2D ．4解析：选A 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知直线y ＝k (x －2)过抛物线焦点(2,0)，所以|PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4.联立直线与抛物线方程消去y ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ＝⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0－2.由已知得，AF ·AM ＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4.由|MF |＝5得，8p ＋p 2＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .5．(2017·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A.13 B.23 C.34D.43解析：选A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与圆(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)有且只有一个公共点，则( ) A ．r ＝a ＝p B ．r ＝a ≤p C ．r <a ≤pD ．r <a ＝p解析：选B 当r <a 时，根据圆与抛物线的对称性可知，圆(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)要么没有公共点，要么有两个或四个公共点，与题意不符；当r >a 时，易知圆与抛物线有两个公共点，与题意不符；当r ＝a 时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(x －a )2＋2px ＝r 2(x ≥0)有且仅有一个解x ＝0，可得a ≤p .二、填空题7．抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．解析：设抛物线的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，则根据抛物线的性质有p2＋6＝10，解得p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.答案：88．(2017·邢台模拟)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为________．解析：由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1.则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，则|AA 1|＋|BB 1|≥6，即2|MM 1|≥6，所以|MM 1|≥3，故M 到x 轴的最短距离为3－1＝2.答案：29．(2015·荆门质检)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是正三角形，则△AFB 的边长为________．解析：由题意可知A ，B 两点一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x 的焦点为(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x －1)，y 2＝4x ，化简得y 2－43y －4＝0，解得y ＝23＋4或y ＝23－4，所以△AFB 的边长为8＋43或8－4 3.答案：8＋43或8－4 310．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1为________．解析：由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.答案：π2三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43.∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2，联立⎩⎨⎧y ＝43(x －1)，y ＝－34x ＋2，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.12.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3y 1＋y 3y 1＋y 3＝2. 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．。