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函数的单调性与曲线的凹凸性(Word)

1．讨论函数()sin f x x x =-在[0,2]π上的单调性。

【解法一】因为'()1cos 0f x x =-≤由于cos 1x ≤，得[0,2]π上恒成立'()1cos 0f x x =-≥，而等号仅在0x =和2x π=两个孤立点上成立，可知，函数()sin f x x x =-在[0,2]π上单调增加。

【解法二】因为'()1cos 0f x x =-<在(0,2)π上恒成立，可知，函数()sin f x x x =-在(0,2)π上单调增加，亦即在[0,2]π上单调增加。

2．求下列函数的单调区间：⑴3229123y x x x =-+-；【解】函数3229123y x x x =-+-的定义域为(,)-∞+∞，由于2'61812y x x =-+6(2)(1)x x =--，得函数有两个驻点2x =和1x =，无不可导点，作图表分析：1 22 1'x x y y ---+--++−−−−−−−−−→+-+可知，函数3229123y x x x =-+-分别在(,1)-∞和(2,)+∞内单调增加，在(1,2)内单调减少。

【课本答案漏了在(,1)-∞内单调增加】⑵y x =-【解】函数y x =-(,)-∞+∞，由于'1y ==1x =和一个不可导点1x =，作图表分析：0 11' y -++---+−−−−−−−−−→+-+y可知，函数y x =-分别在和(1,)+∞，在(0,1)内单调减少。

【课本答案漏了在(,0)-∞内单调增加】⑶33y x x =-；【解】函数33y x x =-的定义域为(,)-∞+∞，由于2'33y x =-3(1)(1)x x =-+，得函数有两个驻点1x =和1x =-，无不可导点，作图表分析： -1 11 1'x x y y ---++-++−−−−−−−−−→+-+可知，函数33y x x =-分别在(,1)-∞-和(1,)+∞内单调增加，在(1,1)-内单调减少。

2016学年高二人教版数学选修1-1练习：3.3.1函数的单调性与导数 Word版含答案

►基础梳理1．函数的单调性与其导数的正负的关系．在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．根据导数与函数单调性的关系，求函数单调区间的一般程序．(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；(4)写单调区间．3．利用导数判断函数单调性和确定单调区间的注意事项．(1)必须首先确定函数的定义域，在具体的解决问题过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)了解在某一区间内f′(x)＞0[或f′(x)＜0]是函数f(x)在该区间为增(或减)函数的充分不必要条件；(3)函数的单调区间可以都用开区间表示，如果一个函数具有相同单调性的单调区间有几个，它们不能用并集符号“∪”连接，要用逗号或文字“和”、“及”等隔开；(4)若函数中含有参数，必须根据具体问题，对参数进行分类讨论，然后分别求出单调区间；(5)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数图象就比较“陡峭”(向上或向下)，反之，函数的图象就“平缓”一些．,►自测自评1．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内恒有(A)A．f(x)＞0B．f(x)＜0C．f(x)＝0D．不能确定解析：由f′(x)＞0知，f(x)在(a，b)上单调递增，∴f(x)＞f(a)≥0，即f(x)＞0，故选A.2．函数y＝x3－3x的单调增区间是________________________________________________________________________ ____________．答案：解析：y′＝3x2－3，令y′＞0，即3x2－3＞0，解得x＞1，或x＜－1，∴函数y＝x3－3x的单调增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)，(1，＋∞)3．函数y ＝x ln x 的单调递减区间是________．解析：y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋1，令y ′＜0，∴ln x ＋1＜0，∴0＜x ＜1e，∴函数y ＝x ln x 的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e .1．f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间为(A) A.⎝⎛⎭⎫15，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，15 C.⎝⎛⎭⎫－15，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－15 2.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数(B) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)解析：y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于等于0即可．只有当x ∈(π，2π)时，y ′＞0恒成立，∴只有B 符合题意．3．已知导函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，请根据图象写出原函数y ＝f (x )的递增区间是________．解析：从图象可知f ′(x )＞0的解为－1＜x ＜2或x ＞5，∴f (x )的递增区间为(－1，2)，(5，＋∞)．答案：(－1，2)，(5，＋∞)4.设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．求g (x )的单调区间．解析：由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，故(0，1)是g (x )的单调减区间．当x ∈(1，＋∞]时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间． 5.若f (x )＝ax 3＋x 在区间[－1，1]上单调递增，求a 的取值范围．分析：利用不等式f ′(x )≥0在[－1，1]上恒成立，确定a 的取值范围．解析：f ′(x )＝3ax 2＋1，∵f (x )在区间[－1，1]上单调递增，∴f ′(x )＝3ax 2＋1≥0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，显然成立，当x ≠0时，a ≥－13x2，∵13x 2在x ∈[－1，0)∪(0，1]的最大值为－13， ∴a ≥－13.故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－13，＋∞.1．若f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，且x ∈(a ，b )时，f ′(x )＞0，又f (a )＜0，则(D ) A ．f (x )在[a ，b ]上单调递增，且f (b )＞0 B ．f (x )在[a ，b ]上单调递增，且f (b )＜0 C ．f (x )在[a ，b ]上单调递减，且f (b )＜0D ．f (x )在[a ，b ]上单调递增，但f (b )的符号无法判断 2．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数(B ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)解析：y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于等于0即可，只有当x ∈(π，2π)时，y ′＞0恒成立，∴只有B 符合题意．3．下列函数在区间(－1，1)内不是增函数的是(D )A ．y ＝e x ＋xB ．y ＝sin xC ．y ＝x 3－6x 2＋9x ＋2D ．y ＝x 2＋x ＋1解析：A 中y ＝e x ＋x ，y ′＝e x ＋1＞0在(－1，1)上成立；B 中y ＝sin x ，y ′＝cos x ＞0在(－1，1)上成立；C 中y ＝x 3－6x 2＋9x ＋2，y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －2)2－3≥0在(－1，1)上成立；D中y ＝x 2＋x ＋1，y ′＝2x ＋1，在⎝⎛⎭⎫－12，1上y ′＞0，在⎝⎛⎭⎫－1，－12上，y ′＜0. 4．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0，2)内单调递减，则实数a 的值是(C )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：依题意，x ＝0或x ＝2是方程f ′(x )＝6x 2＋2ax ＝0的两个实数根，解得a ＝－6. 5．如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是(A )解析：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有答案A 满足．6．已知函数y ＝x 3－ax 在[1，＋∞)内是单调增函数，则实数a 的最大值为(D) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：∵f ′(x )＝3x 2－a 在[1，＋∞)上有3x 2－a ≥0恒成立，∴a ≤(3x 2)min ＝3. 7．下列命题中正确的是________．①若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对于任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )＞0； ②若在(a ，b )内f ′(x )存在，则f (x )必为单调函数；③若在(a ，b )内的任意x 都有f ′(x )＞0，则f (x )在(a ，b )内是增函数； ④若x ∈(a ，b )，总有f ′(x )＜0，则在(a ，b )内f (x )＜0.解析：①y ＝x 3在x ∈(－∞，＋∞)为增函数，而y ′＝2x 2≥0，故①错．②错．③正确．④由f ′(x )＜0能判断f (x )为减函数，但不能判定f (x )＜0. 答案：③8．函数f (x )＝lnx－12x 2的单调增区间是________________________________________________________________________．解析：函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x，令f ′(x )＞0，即1－x 2x＞0，解得0＜x ＜1，∴f (x )在(0，1)上为增函数．答案：(0，1)9．函数f (x )＝x ln x (x ＞0)的单调递增区间是__________________．解析：令f ′(x )＝ln x ＋1≥0，得x ≥1e，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 10．函数f (x )在其定义域(－1，1)上的导数满足f ′(x )＜0，当a ，b ∈(－1，1)，且a ＋b ＝0时，f (a )＋f (b )＝0.则不等式f (1－m )＋f (1－m 2)＞0的解集是________．解析：根据已知，得知f (x )是定义在(－1，1)上的单调递减的奇函数．所以f (1－m )＋f (1－m 2)＞0 ⇔f (1－m )＞－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－m ＜1，－1＜m 2－1＜1，1－m ＜m 2－1，解得1＜m ＜2，即原不等式的解集为(1，2)．答案：(1，2)11．(2013·茂名一模)已知函数g (x )＝13ax 3＋2x 2－2x ，若a ＝1，求g (x )的单调减区间．解析：当a ＝1时，g (x )＝13x 3＋2x 2－2x ，g ′(x )＝x 2＋4x －2.由g ′(x )＜0解得：－2－6＜x ＜－2＋ 6. ∴当a ＝1时，函数g (x )的单调递减区间为(－2－6，－2＋6)． ►体验高考 1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是(D )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0＜1x＜1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．2．(2014·湖南卷)若0<x 1<x 2<1，则(C )A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 2＜x 1e x 1解析：令f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x （x －1）x 2.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0，1)上单调递减，因为0＜x 1＜x 2＜1，所以f (x 2)＜f (x 1)，即e x 2x 2＜e x 1x 1，所以x 2e x 1＞x 1e x 2. 3．(2013·浙江卷)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是(B )解析：在(－1，0)上，f ′(x )单调递增，所以f (x )图象的切线斜率呈递增趋势；在(0，1)上，f ′(x )单调递减，所以f ′(x )图象的切线斜率呈递减趋势．故选B.4．(2014·全国卷)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＝0的判别式Δ＝36(1－a )． ①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R 上是增函数． ②由于a ≠0，故当a ＜1时f ′(x )＝0有两个根：x 1＝－1＋1－a a，x 2＝－1－1－aa，若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(x 2，x 1)上是减函数；(2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＞0，所以当a ＞0时，f (x )在区间(1，2)是增函数．若a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－54，0∪(0，＋∞)． 5．已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a .(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0. 解析：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a ，当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫x －a 6⎝⎛⎭⎫x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a6， a 6；单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 6，⎝⎛⎭⎫ a 6，＋∞. (2)由于0≤x ≤1，当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2. 当a >2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1，0≤x ≤1，则 g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33. 于是g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫33＝1－439>0.当0≤x ≤1时， 2x 3－2x ＋1>0. 故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2>0.。

2024版函数的单调性一等奖

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典型例题解析与思路分享
例题1
判断函数$y = log_{frac{1}{2}}(x^2 - 2x)$ 的单调性。
VS
思路分析
首先观察内层函数$t = x^2 - 2x$，这是一个二次函数，其单调性需要根据定义域来判断。然后观察外层函数$y = log_{frac{1}{2}}t$，这是一个对数函数，其单调性取决于底数的大小。最后根据内外层函数的单调性，结合复合函数的单调性判断原则得出答案。
人口预测模型
在人口学中，可以利用函数的单调性来构建人口预测模型，预测未来人口的数量和变化趋势。
交通流量模型
在交通规划中，可以利用函数的单调性来构建交通流量模型，分析道路拥堵情况和优化交通布局。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
01 02
函数单调性的定义
对于函数y=f(x)，如果在其定义域内的某个区间上，对于任意两个自变量的值x1, x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2) （或f(x1)≥f(x2)），则称函数y=f(x)在该区间上是单调增（或单调减）函数。
典型例题解析与思路分享
例题2
求函数$y = (x^2 - 2x + 3)$的单调区间。
思路分析
首先观察内层函数$t = x^2 - 2x + 3$，这是一个完全平方的形式，可以化简为$(x-1)^2 + 2$，其单调性显然。然后观察外层函数$y = sqrt{t}$，这是一个幂函数，在定义域内是单调递增的。最后根据内外层函数的单调性，结合复合函数的单调性判断原则得出答案。
判断函数单调性的方法
通过求导判断函数的单调性，若导数大于0，则函数在该区间内单调增；若导数小于0，则函数在该区间内单调减。

完整版)函数的单调性练习题及答案

完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。

[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。

[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。

4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。

b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。

y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。

1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。

0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。

3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。

证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。

11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。

(完整word版)函数单调性典型例题

函数的单一性及典型习题一、函数的单一性1、定义：（1）设函数y f (x) 的定义域为A，区间 M A ，假如取区间 M 中的随意两个值x1, x2 ,当改变量x 2 x1时，都有f ( x 2) f ( x1 ) 0，那么就称函数y f ( x) 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量x2x10 时，都有 f ( x2 ) f (x1) 0，那么就称函数y f (x) 在区间M上是减函数，如图（2）注意：函数单一性定义中的x1,x2有三个特点,一是随意性，二是有大小，三是同属于一个单一区间．2、稳固观点：1、定义的另一种表示方法假如关于定义域I内某个区间 D 上的随意两个自变量x1,x2,若f ( x1)f (x2 )0 即x1x2y，则函数 y=f(x)是增函数，若f ( x1 ) f ( x2 )0 即y0 ，则函数y=f(x)为减函数。

x1x2x x 判断题：①已知 f (x)11) f(2) ，因此函数 f ( x) 是增函数．由于 f (x②若函数 f ( x) 知足 f (2) f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数．③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和 (2,3) 上均为增函数，则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数．④ 因为函数1在区间,0),(0,) 上都是减函数，所以 f ( x)1 f ( x)在x x( ,0)(0, ) 上是减函数.经过判断题，重申几点：①单一性是对定义域内某个区间而言的，走开了定义域和相应区间就谈不上单一性．②关于某个详细函数的单一区间，能够是整个定义域( 如一次函数 ) ，能够是定义域内某个区间 ( 如二次函数 ) ，也能够根本不但一 ( 如常函数 ) ．③单一性是对定义域的某个区间上的整体性质，不可以用特别值说明问题。

④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不可以以为函数在A B 上是增（或减）函数．熟记以下结论，可快速判断函数的单一性．1．函数 y ＝－ f （ x ）与函数 y ＝ f （ x ）的单一性相反．12．当 f （ x ）恒为正或恒为负时，函数y ＝ f ( x)与 y ＝ f （ x ）的单一性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等3．判断函数单一性的方法（ 1）定义法．（ 2）直接法．运用已知的结论，直接获得函数的单一性，如一次函数，二次函数的单调性均可直接说出．（ 3）图象法．例 1、证明函数 f ( x)1 ）是减函数．在（ 0， + x练习 1：证明函数f ( x) x 在 0,上是增函数．11 x例 2、设函数 f （x ）＝ x2 ＋ lg 1 x ,试判断 f （ x ）的单一性，并给出证明．例 3、求以下函数的增区间与减区间(1)y ＝ |x 2＋ 2x － 3| x 22x (2)y ＝1|1 |x(3)y ＝x 22x 3例 4、函数 f(x) ＝ ax 2－ (3a － 1)x ＋ a 2在 [－ 1，＋∞ ]上是增函数，务实数 a 的取值范围．例 5、已知二次函数 y ＝ f(x)(x ∈ R)的图像是一条张口向下且对称轴为 x ＝ 3 的抛物线，试比较大小：(1)f(6) 与 f(4)(2)f(2) 与 f( 15)例 6、函数 f (x) ＝ | x | 和 g (x) ＝x (2 － x )的递加区间挨次是( )A. (, 0], ( , 1] B. ( , 0], [1, ) C. [0, ), ( , 1] D. [0, ), [1, )例 7、已知 a 、b 是常数且 a ≠ 0, f (x)ax 2 bx , 且 f ( 2) 0 , 并使方程 f ( x)x 有等根 .(1) 求 f (x ) 的分析式 ; (2) 能否存在实数 m 、 n (m n) , 使 f (x ) 的定义域和值域分别为[ m, n] 和 [ 2m, 2n] ?同步训练：一、选择题1．以下函数中，在区间（0，1）上为增函数的是2A ． y ＝ |x 2－ 1|B ． y ＝ xC ． y ＝ 2x 2－ x ＋ 1D ． y ＝ |x|＋ 12．假如奇函数 f （ x ）在区间［ 3， 7］上是增函数且最小值为5，那么 f （ x ）在区间［－ 7，－ 3］上是A. 增函数且最小值为－ 5 B ．增函数且最大值为－ 5 C ．减函数且最小值为－ 5D ．减函数且最大值为－53．若函数分析式为 y ＝ f （x ），则以下判断正确的选项是A 、若 f （ x ）在（－∞ ,0）和（ 0，＋∞）上均是增函数，则 f （ x ）在（－∞ ,0）∪（ 0,＋∞）上也是增函数B 、若 f （ x ）在（－∞ ,0）和（ 0，＋∞）上均是减函数，则f （ x ）在（－∞， 0）∪（ 0，＋∞）上也是减函数C 、若 f （x ）是偶函数，且在（ 0，＋∞）上是增函数，则 f （ x ）在（－∞， 0）上也是增函数D 、若 f （ x ）是奇函数，且在（ 0，＋∞）上是增函数，则 f （x ）在（－∞ ,0）上是增函数二、填空题4．已知函数 y ＝－ x 2＋ 2x ＋ 1 在区间［－ 3，a ］上是增函数，则 a 的取值范围是 ______________ 5．设函数 y ＝ f （ x ）是定义在（－ 1，1）上的增函数，则函数 y ＝ f （ x 2－ 1）的单一递减区间是______________b6．若函数 y ＝ ax,y ＝－ x 在（ 0，＋∞）上都是减函数，则函数（填单一性）．三、解答题已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，且知足 f （－ x ）＝c（ c 为常数）在［ a,b ］（a ＜ b ＝上是单一递减函数，判断并证明性．f( x)＞ 0，又 g （ x ）＝ f （ x ）＋g （ x ）在［－ b,－ a ］上的增减课后稳固：1、利用函数单一性定义证明函数f(x) ＝－ x 3＋ 1 在 (－∞，＋∞ )上是减函数．2、.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，对 m 、 n R 恒有f (mn)f ( m) f (n) ，且当 x0 时，0 f ( x) 1。

(完整word版)导数单调性分类讨论

类型二：导数单调性专题类型１。

导数不含参。

类型２.导数含参。

类型３：要求二次导求单调性一般步骤：(1) 第一步：写出定义域，一般有()0ln >⇒x x(2) 第二步:求导，(注意有常数的求导）若有分母则通分。

一般分母都比0大，故去死若无分母，因式分解（提公因式,十字相乘法）或求根(观察分子）判断导函数是否含参，再进行讨论（按恒成立与两个由为分界）(3) 第三步由()()⎩⎨⎧≤≥解出是减区间解出是增区间00x f x f(4) 下结论类型一：导函数不含参：()()()⎪⎩⎪⎨⎧-+=--++=++=21223,22,,x x e m e x f x x c bx ax x f x b kx x f 如指数型如：二次型如：一次型对于这类型的题，直接由导函数大于0，小于0即可（除非恒成立）例题１求函数()()x e x x f 3-=的单调递增区间解：()()()23'-=-+=x e e x e x f x x x 由()()202'>⇒>-=x x e x f x 所以函数在区间()+∞,2单调递增由()()202'<⇒<-=x x e x f x所以函数在区间()2,∞-单调递减例题２：求函数()()2211x e x x f x --=的单调区间解：()()()()x e e x e x xe e x f x x x x x +-=-+-=-+-=11111'由()()()01011'>-<⇒>+-=x x x e x f x 或所以函数在区间(][)∞+-∞-，和01,单调递增由()()()01011'<<-⇒<+-=x x e x f x 所以函数在区间()0,1-单调递减例题３：求函数()xxx f ln =的单调区间例题４：已知函数()()()R k kx e x x f x ∈--=21 （1)若1=k 时，求函数()x f 的单调区间例题５．（2010·新课标全国文，21）设函数f (x ）＝x （e x －1)－ax 2.(1）若a ＝错误!，求f (x )的单调区间；例题６:已知函数()()112++-=x e ax x f x (1）若0=a ，求函数()x f 的单调区间7。

数学必修4：第12课时正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值 Word版含解析

第12课时正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值课时目标1.理解正、余弦函数单调性的意义，会求其单调区间． 2．会求正、余弦函数的最大(小)值．识记强化1．y ＝sin x 单调递增区间⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ，单调递减区间⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k πk ∈Z .x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最大值1，x ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最小值－1.2．y ＝cos x 单调递增区间[－π＋2k π，2k π]k ∈Z ，单调递减区间[2k π，2k π＋π]k ∈Z .x ＝2k π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最大值1，x ＝2k π＋π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最小值－1.课时作业一、选择题1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π＋5π12(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 答案：C解析：∵2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z.2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1取得最大值时，x 的值应为( ) A ．2k π－π3，k ∈Z B ．k π－π6，k ∈ZC ．k π－π3，k ∈ZD ．k π＋π6，k ∈Z答案：B解析：依题意，当cos(2x ＋π3)＝1时，y 有最大值，此时2x ＋π3＝2k π，k ∈Z ，变形为x＝k π－π6，k ∈Z .3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数答案：D解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，所以f (x )是偶函数，故D 错． 4．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案：B解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12.所以，所求值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.5．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 答案：C解析：画出y ＝|sin x |的图象，如图．由图象可知，函数y ＝|sin x |的一个递增区间是⎝⎛⎭⎫π，3π2. 6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11° 答案：C解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y ＝sin x 的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.二、填空题7．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________．答案：⎣⎡⎦⎤π2，π解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案：π6解析：令2×43π＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π－136π，k ∈Z ，当k ＝2时，|φ|min ＝π6.9．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为________．答案：3解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3.三、解答题10．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos2x )．解：(1)由题意可知函数y ＝sin x2的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π(k ∈Z )，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )．∴函数y ＝1－sin x2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)由题意，得cos2x ＞0，∴2k π－π2＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .∵函数y ＝log 12x 在定义域内单调递减，∴函数y ＝cos2x (x ∈(k π－π4，k π＋π4)，k ∈Z )的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，∴x 只需满足2k π＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z .∴k π＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .∴函数y ＝log 12(cos2x )的单调递增区间为(k π，k π＋π4)，k ∈Z .11．设a ＞0,0≤x <2π，若函数y ＝cos 2x －a sin x ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求该函数取得最大值和最小值时x 的值．解：y ＝cos 2x －a sin x ＋b ＝－(sin x ＋a 2)2＋a 24＋b ＋1，由－1≤sin x ≤1，a ＞0，知①若0＜a2≤1，即0＜a ≤2，当sin x ＝－a 2时，y max ＝a 24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4，解得a ＝2，b ＝－2.②若a2＞1，即a ＞2，当sin x ＝－1时，y max ＝－(－1＋a 2)2＋a24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a24＋b ＋1＝－4，解得a ＝2，b ＝－2不合题意，舍去．综上，a ＝2，b ＝－2，当x ＝3π2时，y max ＝0；当x ＝π2时，y min ＝－4.能力提升12．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如：1] .答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 解析：在同一直角坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，结合a *b 的新定义可知．f (x )的最小值为－1，最大值为22，故其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.13．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )．据题意，⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )．从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3π2ω≥π4ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32. 倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

2019-2020学年高中数学(苏教版选修2-2)教师用书：第1章 1.3.1 单调性 Word版含答案

1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1．利用导数研究函数的单调性．(重点)2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)3．由单调性求参数的取值范围．(易错点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与其导数的关系阅读教材P28“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的单调性与其导数的关系(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：(2)2．导数与函数图象间的关系(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．判断正误：(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.( )(2)函数f(x)＝1x在其定义域上是单调减函数．( )(3)函数f(x)＝x3－2x在(1，＋∞)上单调递增．( )(4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．( )【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．【解析】f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2.【答案】(2，＋∞)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)0)内是减函数．(2)判断函数f(x)＝ln xx在区间(0,2)上的单调性．【精彩点拨】求出导数f′(x)，然后判断导数的符号即可．【自主解答】(1)证明：由于f(x)＝e x－x－1，所以f′(x)＝e x－1，当x∈(0，＋∞)时，e x>1，即f′(x)＝e x－1>0.故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，当x∈(－∞，0)时，e x<1，即f′(x)＝e x－1<0. 故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．(2)由于f(x)＝ln x x，所以f′(x)＝1x·x－ln xx2＝1－ln xx2.由于0<x<2，所以ln x<ln 2<1，x2>0.故f′(x)＝1－ln xx2>0.∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数．1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立．2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在( a，b)内的符号；(3)得出结论．[再练一题]1．证明：函数y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．【证明】显然函数的定义域为{x|x>0}，又f′(x)＝(ln x＋x)′＝1x＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝exx－2；(3)f (x )＝－x 3＋3x 2.【精彩点拨】首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间．【自主解答】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x＝错误!.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝错误!＝错误!.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0.由f ′(x )>0，解得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0，解得x <3，又x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．当0<x <2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0,2)；当x <0或x >2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，解出相应的x 的范围；当f ′(x )>0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )<0时，f (x )在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．[再练一题]2．若函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则函数f (x )的单调递增区间为________.【导学号：01580011】【解析】由已知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x2－2x －4x，由f ′(x )>0得x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2，又x >0，所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．【答案】 (2，＋∞)[探究共研型]探究【提示】由已知得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.探究2 若函数f (x )＝x ＋ax ＋ln x (a ∈R )在(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．【提示】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax2＋1x ＝x2＋x －ax由题意知，f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x 2＋x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋x －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122－14－a ，则g (x )＞2－a ，从而2－a ≥0，∴a ≤2. 当a ＝2时，f ′(x )＞0在(1，＋∞)上恒成立，因此实数a 的取值范围是(－∞，2]．已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b .(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．【自主解答】 y ′＝3x 2－a .(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数．则y ′＝3x 2－a ≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立，即a ≤3x 2在x ∈(1，＋∞)时恒成立，则a ≤(3x 2)最小值．因为x >1，所以3x 2>3.所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]． (2)令y ′>0，得x 2>a3.若a ≤0，则x 2>a3恒成立，即y ′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符．若a >0，令y ′>0，得x >a 3或x <－a 3.因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．解答本题注意：可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ，b )上恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．[再练一题]3．将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y′＝3x2－a，当a<0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝a3或x＝－a3(舍去)．依题意，有a3>1，∴a>3，所以a的取值范围是(3，＋∞)．[构建·体系]1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1-3-1所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )图1-3-1【解析】当x＜0时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，排除①，③；当x＞0时，f(x)先增后减再增，对应f ′(x )先正后负再正．故选④.【答案】 ④2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________(填序号)． ①y ＝2－3x 2；②y ＝ln x ；③y ＝1x －2；④y ＝sin x .【解析】显然，函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上是不单调的；函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求；对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝错误!<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝错误!在区间(－1，1)上是减函数；函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以函数y ＝sin x 在区间(－1,1)上也是增函数．【答案】 ③3．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．【解析】 f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. 【答案】 (1,2)4．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝错误!，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，125．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．【解】 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x恒成立，所以a ≥G (x )最大值，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14，1，所以G (x )最大值＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716. 当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x2－32x16x＝错误!.因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝错误!≤0，即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－716，＋∞.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。

(完整word版)高中数学函数的单调性练习题及其答案(word文档良心出品)

函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析：设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

高中数学--函数的单调性与导数-Word版含答案

函数的单调性与导数选择题1、函数f(x)=xlnx的单调递增区间是( )A(01) B(1+∞)C D【解析】选D因为f(x)=xlnx(x>0)所以f′(x)=lnx+1令f′(x)>0得lnx+1>0即x>所以函数f(x)的单调递增区间是2、下列函数中在(0+∞)内为增函数的是( )Ay=sinx By=xe2Cy=x3-x Dy=lnx-x【解析】选B对于Ay=sinx在(0+∞)内有增有减对于By′=(xe2)′=e2>0故y=xe2在(0+∞)内是增函数;对于Cy′=3x2-1=3当x∈时y′<0;故y=x3-x在上是减函数对于Dy′=-1=当x∈(1+∞)时y′<0故y=lnx-x在(1+∞)上是减函数3、(2016·临沂高二检测)已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一且其导函数y=f′(x)的图象如图所示则该函数的图象是( )【解析】选B由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象知f(x)的图象是上升的且先由“平缓”变“陡峭”再由“陡峭”变“平缓”观察图象可得B正确4、若f(x)=e<a<b则( )Af(a)>f(b) Bf(a)=f(b)Cf(a)<f(b) Df(a)f(b)>1【解题指南】先判断f(x)的单调性再比较f(a)与f(b)的大小【解析】选A因为f′(x)==当x∈(e+∞)时1-lnx<0所以f′(x)<0所以f(x)在(e+∞)内为单调递减函数故f(a)>f(b)5、(2016·烟台高二检测)若a>0且f(x)=x3-ax在B(-11]C(-11) D上是单调函数求a的取值范围【解析】f′(x)=(2x-2a)e x+(x2-2ax)e x=e x令f′(x)=0即x2+2(1-a)x-2a=0解得x1=a-1-x2=a-1+其中x1<x2当x变化时f′(x)f(x)的变化情况见下表:x (-∞x1) x1(x1x2) x2(x2+∞) f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗↘↗因为a≥0所以x1<-1x2≥0f(x)在(x1x2)上单调递减由此可得f(x)在上是单调函数的充要条件为x2≥1即a-1+≥1解得a≥故所求a的取值范围为10(2016·青岛高二检测)已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(02)且在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0(1)求函数y=f(x)的解析式(2)求函数y=f(x)的单调区间【解析】(1)由y=f(x)的图象经过点P(02)知d=2所以f(x)=x3+bx2+cx+2f′(x)=3x2+2bx+c由在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0知-6-f(-1)+7=0即f(-1)=1f′(-1)=6所以即解得b=c=-3故所求的解析式是y=f(x)=x3-3x2-3x+2(2)f′(x)=3x2-6x-3令f′(x)>0得x<1-或x>1+;令f′(x)<0得1-<x<1+故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞1-)和(1++∞)单调递减区间为(1-1+)1已知对任意实数x有f(-x)=-f(x)g(-x)=g(x)且当x>0时有f′(x)>0g′(x)>0则当x<0时有( )Af′(x)>0g′(x)>0 Bf′(x)>0g′(x)<0Cf′(x)<0g′(x)>0 Df′(x)<0g′(x)<0【解析】选B由题知f(x)是奇函数g(x)是偶函数根据奇偶函数图象特点知当x<0时f(x)的单调性与x>0时相同g(x)的单调性与x>0时恰好相反因此当x<0时有f′(x)>0g′(x)<0 2(2016·南昌高二检测)设f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x<0时f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A(-30)∪(3+∞) B(-30)∪(03)C(-∞-3)∪(3+∞) D(-∞-3)∪(03)【解析】选D因为′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)所以当x<0时′>0所以f(x)·g(x)在(-∞0)上是增函数又g(-3)=0所以f(-3)g(-3)=0所以当x∈(-∞-3)时f(x)g(x)<0;当x∈(-30)时f(x)g(x)>0又因为f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数所以f(x)g(x)在R上是奇函数其图象关于原点对称所以当x∈(03)时f(x)g(x)<0综上选D【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数f(-1)=0当x>0时xf′(x)-f(x)<0则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A(-∞-1)∪(01) B(-10)∪(1+∞)C(-∞-1)∪(-10) D(01)∪(1+∞)【解析】选A记函数g(x)=则g′(x)=因为当x>0时xf′(x)-f(x)<0故当x>0时g′(x)<0所以g(x)在(0+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数故函数g(x)是偶函数所以g(x)在(-∞0)上单调递增且g(-1)=g(1)=0当0<x<1时g(x)>0则f(x)>0;当x<-1时g(x)<0则f(x)>0综上所述使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞-1)∪ (01)二、填空题(每小题5分共10分)3(2016·泰安模拟)如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1k+1)上不是单调函数那么实数k的取值范围是【解析】显然函数f(x)的定义域为(0+∞)y′=4x-=由y′>0得函数f(x)的单调递增区间为;由y′<0得函数f(x)的单调递减区间为由于函数在区间(k-1k+1)上不是单调函数所以解得1≤k<答案:4(2016·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)e x在(0+∞)上单调递增则实数m的取值范围是【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)e x由题意得f′(x)≥0在(0+∞)上恒成立令g(x)=mx+m-1则解得m≥1答案:令f′(x)=0得x1=1x2=a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以4≤a-1≤6解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为方法二:f′(x)=x2-ax+a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以即解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为6(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)e x其中e是自然对数的底数a∈R(1)若a=1求曲线f(x)在点(1f(1))处的切线方程(2)若a=-1求f(x)的单调区间【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)e x所以f′(x)=(2x+1)e x+(x2+x-1)e x=(x2+3x)e x所以曲线f(x)在点(1f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e又因为f(1)=e所以所求切线方程为y-e=4e(x-1)即4ex-y-3e=0(2)f(x)=(-x2+x-1)e x因为f′(x)=-x(x+1)e x令f′(x)<0得x<-1或x>0f′(x)>0得-1<x<0所以f(x)的减区间为(-∞-1)(0+∞)增区间为(-10)关闭Word文档返回原板块。

典型高考数学试题解读与变式考点导数与函数的单调性Word版含解析

典型高考数学试题解读与变式2018版考点十一：导数与函数的单调性【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值.预计2017年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖．【典型高考试题变式】（一）原函数与其导函数的图像问题例 1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（）.【答案】D【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ．【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.C.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数．且导函数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸.【变式1】【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项.【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2017陕西渭南市二质检】函数()2sin 20142x f x x =++，则()'f x 的大致图象是（） A. B. C. D.【答案】B（二）用导数求不含参数的单调区间例2.【2017全国2卷（文）】设函数()()21e xf x x =-.（1）讨论()f x 的单调性.【答案】()f x 在区间(),21-∞，()21,+∞是减函数，在区间()221-是增函数.【解析】（1）()()()222e 1e 12e x x x f x x x x x '=-+-=--，令()0f x '=得2210x x +-=，解得121x =-，221x =，所以()f x 在区间(),21-∞-，)21,+∞是减函数，在区间()221-是增函数.【方法技巧归纳】利用导数求不含参数的单调性容易出错的地方就是：求导，求解不等式，写出单调区间.单调性相同的两个区间一般要用“和”或“，”连接，不能用“或”或“ ”.【变式1】【改编函数条件，函数中含分式】【2016全国2卷（理）】（1）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> 【答案】()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，在]2,2(-上单调递减.（三）用导数求含参函数的单调区间例3.【2017全国1卷（理）】已知函数()()2e 2e xx f x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--，故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x a a a '=+--=-+.①当0≤a 时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立． ()f x 在R 上单调递减.②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．x()ln a -∞-， ln a - ()ln a -+∞，()f x ′ -+()f x极小值综上，当0≤a 时，在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增.【方法技巧归纳】1.求函数的单调区间方法一：①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数''()y f x =；③解不等式'()0f x ≥，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式'()0f x ≤，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2.求函数的单调区间方法二：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数''()y f x =，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定'()f x 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷（文）改编】已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【变式2】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】【2016全国1卷（文）改编】已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）先求得()()()'1e 2.x f x x a =-+再根据1,0,2a 的大小进行分类确定()f x 的单调性；试题解析：（Ⅰ）()()()()()'1e 211e 2.x x f x x a x x a =-+-=-+（Ⅰ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以f （x ）在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.【变式3】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】【2015天津卷（理）改编】已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ）当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.【解析】（Ⅰ）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论：（1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. （2）当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.【变式4】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数需要二次求导型】【2016北京卷（理）】设函数()ea xf x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+.（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2,e a b ==；（Ⅱ） ),(+∞-∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出)(x f '，根据(2)2e 2,(2)e 1f f '=+=-求a,b 的值即可；（Ⅱ）由题意判断)(x f '的符号，即判断1()1e x g x x -=-+的单调性，知g(x)>0，即)(x f '>0，由此求得f(x)的单调区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()e e xf x x x -=+.由21()e(1e )xx f x x --'=-+及2e 0x ->知，)(x f '与11e x x --+同号.令1()1e x g x x -=-+，则1()1ex g x -'=-+.所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值，从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x .故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. 【数学思想】分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【处理导数与单调性问题注意点】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法. 【典例试题演练】1．【2018河南郑州一中测试题】如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为 ( ) A. [)1,+∞ B. 0,3⎡⎤⎣⎦C. []0,1 D. 1,3⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】因()()''213131,[](1)2222f x f x x x x x x =-=-+=-'，故210{ 310x x-≥-≤，解之得13x ≤≤，应选答案D.2．【2018河南南阳一中上学期第二次考试（文）】已知函数()252ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是__________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞3．【2018辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模（文）改编】已知函数()()222xx a x af x e+-+-=， 0a ≤（e 为自然对数的底数）.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上为减函数；当0a <时，则()f x 在(][),,0,a -∞+∞上为减函数；在[],0a 上为增函数；【解析】(Ⅰ) ()()xa x xf x e-'=，令()1200,f x x x a =⇒=='；①0a =时，则()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号）()f x ⇒在(),-∞+∞上为减函数； ②当0a <时，则()()()(),0,0x a f x f x ∈-∞⋃+∞<⇒'⇒在(][),,0,a -∞+∞上为减函数； ()()(),00x a f x f x '∈⇒>⇒在[],0a 上为增函数；4．【2017陕西省西安市长安区第一中学4月模考（理）】已知函数()ln f x x =，()()2g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；若0a ≥，并试讨论函数()g x 的单调性；（2）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点()()1122,,,A x y B x y12()x x <，求证：2111k x x <<．【答案】(1) 21b a =-- ，单调性见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)求导，利用导数的几何意义确定a 与b 的关系，再利用导函数的符号变换和分类讨论思想确定函数的单调性；(2)先利用直线的斜率公式确定不等关系，再构造函数，利用导数求函数的最值即可求解 . 试题解析：（1）()()22ln g x f x ax bx x ax bx =++=++， ()12g x ax b x∴=++'，由题意得()1120g a b '=++=， 21b a ∴=--； ()()()211112221(0)ax x g x ax b ax a x x x x--=++=+--=>'， ①当0a =时， ()()1(0)x g x x x'--=>，当1x >时， ()0g x '<， ∴函数()g x 在()1,+∞单调减；当01x <<时， ()0g x '>， ∴函数()g x 在()0,1单调增；④当12a >时．即112a<， ()()1212(0)a x x a g x x x ⎛⎫-- ⎪⎭'⎝=>， ∴函数()g x 在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭单调减区间；函数()g x 在()1,+∞和10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调增；（2）由题设210x x >>，21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<- 21212121ln ln x x x xx x x x --⇔<-< 22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ① 令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则()111(1)x h x x x x-'=-=>， 1x ∴>时， ()0h x '<， ∴函数()g x 在()1,+∞是减函数，而()10h =， 1x ∴>时， ()()10h x h <=210x x >>， 211x x ∴>， 222111ln 10x x x h x x x ⎛⎫∴=-+< ⎪⎝⎭，即2211ln 1x xx x <-， ② 令()1ln 1(1)H x x x x =+->，则()22111(1)x H x x x x x-=-=>'， 1x ∴>时， ()0H x '>， ∴ ()H x 在()1,+∞是增函数，1x ∴>时， ()()10H x H >=， 2221111ln 10x x H x x x x ⎛⎫∴=+-> ⎪⎝⎭，即221111ln x x x x -< ③由①②③得2111k x x <<． 5．【2017陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试（理）】已知函数()244ln x f x k x k x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中常数0k >. （Ⅰ）讨论()f x 在()0,2上的单调性；【答案】（Ⅰ）见解析;【解析】试题分析：（1）求导数，对k 分类讨论，利用导数的正负，即可得到()f x 在区间()0,2上的单调性；试题解析：（Ⅰ）由已知得， ()f x 的定义域为()0,∞+，且()()222244444(0)x k x x k x k k k k f x k x x x x⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭='=-=->， ①当02k <<时，40k k >>，且42k >，所以()0,x k ∈时， ()0f x '<； (),2x k ∈时， ()0f x '>.所以，函数()f x 在()0,k 上是减函数，在(),2k 上是增函数；②当2k =时， 42k k==， ()0f x '<在区间()0,2内恒成立，所以()f x 在()0,2上是减函数；③当2k >时， 4402,k k k <，所以40,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<； 4,2x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '> 所以函数在40,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在4,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数.6．函数.（Ⅰ）讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）当时，时，单调递减；当时，单调递增；当时，时，单调递增；当时，单调递减；【解析】试题分析：（1）求出()'f x ，讨论两种情况分别令()'0f x >可得增区间， ()'0f x <可得得减区间；7．【2018河北省石家庄二中八月高三模拟数学（文科）】已知函数()()()212ln f x ax a x x a R =+--∈.（Ⅰ）若0a <，讨论()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ）当12a =-时， ()f x 的减区间是()0,+∞，无增区间，当102a -<<时， ()f x 的增区间是11,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,1,,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，当12a <-时， ()f x 的增区间是1,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，减区间是()10,,1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ） ()f x 的定义域为()0,+∞，当0a <时，()()()221211212ax a x f x ax a x x+--=+--=' ()()()1212112a x x ax x a x x⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==，（ⅲ）若112a -<，即12a <-， 1,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时， ()0f x '>， ()f x 是增函数， 10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时， ()0f x '<， ()f x 是减函数， ()1,x ∈+∞时， ()0f x '<， ()f x 是减函数；综上可得，当12a =-时， ()f x 的减区间是()0,+∞，无增区间，当102a -<<时， ()f x 的增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，减区间是()10,1,,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，当12a <-时， ()f x 的增区间是1,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，减区间是()10,,1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 8．【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数()11ln f x m x x m x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，其中常数0m >. （1）当2m =时，求()f x 的极大值；（2）试讨论()f x 在区间()0,1上的单调性.【答案】（1）()532ln222f =-；（2）当01m <<时， ()f x 在()0,m 上单调递减，在(),1m 上单调递增；当1m =时， ()f x 在()0,1上单调递减；当1m >时， ()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 【解析】试题分析：（1）借助题设条件将2m =代入函数解析式可得()51ln 2f x x x x=+-，进而求导，运用导数与函数的单调性之间的关系求解；（2）先对函数()11ln f x m x x m x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭求导，再借助分类整合思想及导数与函数的单调性之间的关系进行分类求其单调区间：（2）()()()2211110,0x m x m m m f x x m x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=->'--=>，当01m <<时， ()f x 在()0,m 上单调递减，在(),1m 上单调递增；当1m =时， ()f x 在()0,1上单调递减；当1m >时， ()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 9．【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数()()211ln 2f x x a x a x =+--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()f x 的定义域为()0,+∞，求导数，若0a ≤，若0a >，判断导函数的符号，然后推出函数的单调性；试题解析：（Ⅰ） ()f x 的定义域为()0,+∞，求导数，得()()()()211'1x a x a x x a a f x x a x x x+--+-=+--==.若0a ≤，则()'0f x >，此时()f x 在()0,+∞上单调递增，若0a >，则由()'0f x =，得x a =.当0x a <<时， ()'0f x <；但x a >时， ()'0f x >，此时()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增.10．【2017河北省唐山市三模（理）改编】已知函数()()2ln 1f x x ax =++， 0a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得()2221'1ax ax f x x ++=+，分0∆<， 0∆=， 0∆>，三种情况讨论可得单调区间.试题解析：（Ⅰ） ()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++， 1x >-，令()2221g x ax ax =++， ()24842a a a a ∆=-=-，若0∆<，即02a <<，则()0g x >，当()1,x ∈-+∞时， ()'0f x >， ()f x 单调递增，若0∆=，即2a =，则()0g x ≥，仅当12x =-时，等号成立，当()1,x ∈-+∞时， ()'0f x ≥， ()f x 单调递增.若0∆>，即2a >，则()g x 有两个零点()12a a a x ---=， ()22a a a x -+-=，由()()1010g g -==>， 102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得121102x x -<<-<<，当()11,x x ∈-时， ()0g x >， ()'0f x >， ()f x 单调递增；当()12,x x x ∈时， ()0g x <， ()'0f x <， ()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时， ()0g x >， ()'0f x >， ()f x 单调递增.综上所述，当02a <≤时， ()f x 在()1,-+∞上单调递增；当2a >时， ()f x 在()21,a a a ⎛⎫--- ⎪- ⎝⎭和()2,a a a ⎛⎫-+- ⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增，在()()22,a a a a a a ⎛⎫----+- ⎪⎝⎭上单调递减. 11．【2018河北省武邑中学第一次月考（理）改编】已知函数()e xf x ax =-（R a ∈， e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）见解析【解析】试题分析：（1）求函数的导数()xf x e a '=- 通过0a ≤和0a ＞两种情况分类讨论，分别判断函数的单调性．12．【2018湖南省岳阳市一中第一次月考（理）改编】已知函数()()()21ln 102f x a x a x x a =-++->. （1）讨论()f x 的单调性；【答案】(1) 当1a =时， ()f x 在()0,+∞上单调递减；当01a <<， ()f x 的单调递增区间为(),1a ；单调递减区间是()0a ，和()1,+∞；当1a >， ()f x 的单调递增区间为()1,a ，单调递减区间是()01，和(),a +∞；【解析】试题分析：（1）求出()f x 的导数，通过1,01,1a a a =<的讨论，分别令()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间；试题解析：（1）()()()()2111x a x a x a x a f x a x x x x-++---+=-++-=='， ()()()()11x a x a f x a x x x---=++-=-'， ①当1a =时， ()()()10x a x f x x ---'=≤，∴()f x 在()0,+∞上单调递减； ②当01a <<，由()0f x '>解得1a x <<，∴()f x 的单调递增区间为(),1a ，单调递减区间是()0a ，和()1,+∞；③当1a >，同理可得()f x 的单调递增区间为()1,a ，单调递减区间是()01，和(),a +∞.。

函数的单调性·典型例题精析

函数的单调性·例题解析1 2．3．】求下列函数的增区间与减区间【例123|2x(1)y＝|x－＋2x2?x＝(2)y|1x?1?|23xx??2(3)y＝?224＋1)．x－＋2x－3＝(x(1)解令f(x)＝轴轴下方的图像翻到x轴及x轴上方部分，把它在x先作出f(x)的图像，保留其在x2 1所示．．3－＋2x－3|的图像，如图2＝就得到y|x 由图像易得：) [1，＋∞，－1]，递增区间是[－31]，[，－1递减区间是(－∞，－3] 分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．(2) ．＝－xy且x≠2，则函数0≥且x－1≠1时，得x≥1解当x－1 ．－2时，则函数y＝x1≠－时，得x＜1且x≠01当x－＜0且x－11) (0，(－∞，0)和∴增区间是)(2，＋∞[1，2)和减区间是2 ．1≤x≤2x＋3≥0，得－(3)解：由－x3－2在x∈[－1，－4．在x∈[3，－1]1]上是＋xu令＝＝g(x)＝－＋－2x3＝－(x1)2＋上是．而y＝u在u≥0上是增函数．∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．22在[－1，＋∞a1)x(3a＝函数2【例】f(x)ax－－＋]上是增函数，求实数a的取值范围．上是增函数．，＋∞)＝0时，f(x)＝x在区间[1解当a1?3a，＝时，对称轴x当a≠0a2?0 ＞a ?．1a≤a＞0时，由得0＜若?1?3a，1≤?a2? 0时，无解．若a＜1．∴a的取值范围是0≤a ≤的抛物线，＝3＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x【例3】已知二次函数y 试比较大小：f(4)(1)f(6)与15)(2)f(2)与f(6时，f(x)为减函数，又＝3，∴x≥3解(1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是xf(4)f(6)＜＞4＞3，∴3在x≥＜15＜4，函数f(x)(2)∵对称轴x＝3，∴f(2)＝f(4)，而3时为减函数．∴f(15)＞f(4)，即f(15)＞f(2)．ax(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性．【例4】判断函数f(x)＝2?1x解任取两个值x、x∈(－1，1)，且x＜x．2121a(xx?1)(x?x)1122＝f(x))∵f(x－2212?1x)x?1)((2122∵－1＜x＜x＜1，xx＋1＞0，x－x＞0，x－1＜0，x－1＜0．11222111(xx?1)(x?x)1212＞0∴22?1)(x)(x?121当a＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．x【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－证取任意两个值x，x∈(－∞，＋∞)且x＜x．211222＋xx＋x))＝(x－x)(x这里有三种证法：∵f(x)－f(x11122221222＝(x＋x)－x＋时，0x＋xxxx＞0x)证法(一当x＜212122112122＞x0x时，x＋x＋≥当xx0212121又∵x－x＜0，∴f(x)＜f(x) 1122 上是减函数．)－∞，＋∞(在f(x)故．1312222＝(x＋x)＋＋xx，这里x＋x证法(二)∵x＋xx2112122122241与x不会同时为0，否则若x＋x＝0且x＝0，则x＝0这与x＜x2112122222．x0＞矛盾，∴x＋xx＋2112上是减函数．(－∞，＋∞)得f(x)在222223x＝－x－4x＋x，其判别式Δ(三)令t＝x＝＋xx证法1122111223x ＝－，若＝xΔ＞0时，则x＝0，那么x≠0，∴t≤0，若Δ＝0112222＋xx＋x＞0，从而f(x)＜f(x)，∴f(x)在(＜0，则t＞0，即x－∞，121212＋∞)上是减函数．1的单调性，并画出它的大致图像．x＋【例6】讨论函数f(x)＝x解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x、x，且x＜x．2211xx 121∵f(x)－f(x)＝(x－x)，又x－x＜0，221211xx21∴当0＜x＜x≤1或－1≤x＜x＜0时，有xx－1＜0，xx＞0，f(x)＞f(x) 2211221112∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x＜x或x＜x≤－1时，有xx－1＞0，xx＞0，f(x)＞f(x)，∴f(x)在(－2211112212∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)maxmin＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致1的图像如图2．3＋－2．x画出y＝x说明1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)是分层讨论，要逐步培养．6°例4．例题：已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0，求：当-3≤x≤3时，求f(x)的最大值与最小值。

函数单调性的七类经典题型(可编辑修改word版)

3 单调性类型一：三角函数单调区间⎛ ⎫1. 函数 y = tan x - ⎪ 的单调增区间为．⎝ ⎭⎛5⎫ 【答案】 k - 6 , k + 6 ⎪ , k ∈ Z⎝⎭【解析】试题分析: 因为 k - < x - 2 < k + 3 ,所以 k - 2 < x < k + 6 5, k ∈ Z ,故应填答 6⎛5⎫ 案 k - 6 , k + 6 ⎪ , k ∈ Z .⎝⎭2. 已知函数 f (x )＝ x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为()A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选 B 设 t ＝x 2－2x －3，由 t ≥0，即 x 2－2x －3≥0，解得 x ≤－1 或 x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数 t ＝x 2－2x －3 的图象的对称轴为 x ＝1，所以函数 t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数 f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3. 设函数 f (x )＝Error!g (x )＝x 2f (x －1)，则函数 g (x )的递减区间是．g (x )＝Error!如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)22 2 2 2类型二：对数函数单调区间1. 函数 f(x)＝ln(4＋3x －x2)的单调递减区间是()A.(－∞，3] B.[3，＋∞) C.(－1，3] D.[3，4)解析：函数 f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x ＋4＝－(x －3)2＋25的减区间为[3，4)， ∵e ＞1，∴函数 f(x)的单调减区间为[3，4).2 4 22. 函数 f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选 A 由于 f (x )＝|x －2|x ＝Error! 结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．类型三：分段函数单调性⎧(a - 2)x -1, x ≤ 11.已知函数 f(x)＝ ⎨⎩ log a x , x >1 ,若 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围为( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)解析：要保证函数 f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．2 2 2 2 3若 f(x)＝(a －2)x －1 在区间(－∞，1]上单调递增，则 a －2＞0，即 a ＞2.若 f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则 a ＞1.另外，要保证函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤loga1＝0，即 a≤3. 故实数 a 的取值范围为 2＜a≤3.答案：C类型四：利用单调性求参数范围1. 已知函数 f( x ) 为定义[2 - a , 3] 在上的偶函数，在[0, 3] 上单调递减，并且f ⎛-m 2 - a ⎫ > f (-m 2 + 2m - 2) ，则 m 的取值范围是．5 ⎪ ⎝⎭【答案】1- ≤ m < 12【解析】试题分析: 由偶函数的定义可得2 - a + 3 = 0 ,则 a = 5 ,因为m 2 + 1 > 0, m 2 - 2m + 2 = (m - 1)2 + 1 > 0 ,且f (-m 2 - 1) = f (m 2 + 1), f (-m 2 + 2m - 2) = f (m 2 - 2m + 2) ,所以m 2 + 1 < m 2 - 2m + 2 ≤ 3 ,解之得1- ≤ m < 1 .故应填答案1- ≤ m < 1 .2 22. 已知 y ＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若 f(m －1)＜f(1－2m)，则 m 的取值范围是．1 2解析：依题意，原不等式等价于Error!⇒Error!⇒－＜m ＜ .2 3答案：(－1，2)3. 已知函数 f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则 a 的取值范围是．10 10 102 2解析：因为函数 f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得 a ≤1.答案：(－∞，1]a 4.若 f (x )＝－x 2＋2ax 与 g (x )＝＋在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是．x 1解析：∵函数 f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1.a 又∵函数 g (x )＝＋在区间[1,2]上也是减函数，x1∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]．5.若函数 f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数 a 的取值范围是．1 2解析：由于 f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有 0<a <3a －1≤1，解得 <a ≤ .2 3答案：(1，2]2 3类型五：范围问题1. 设函数 f (x )是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足不等式 f (1)<f (lgx )的 x 的取值范围是 .10押题依据利用函数的单调性、奇偶性求解不等式是高考中的热点，较好地考查学生思维的灵活性.答案 (0,1)∪(100，＋∞)xx x x解析由题意得，f (1)<f (|lg 10|)⇒1<|lg |⇒lg >1 或 lg <－1⇒x >100 或 0<x <1.2. 已知 f (x )是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数 a 满足 f (2|a －1|)>f (－2)，则 a 的取值范围是 .答案(1，3)解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，22 ∴在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝f( 2)，∴f(2|a－1|)>f( 2)，∴2|a－1|< 2＝1，21 1 1 1 3 ∴|a－1|< ，即－<a－1< ，即<a< .2 2 2 2 23.设函数f(x)＝x|x－a|，若对∀x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式实数a 的取值范围是.答案(－∞，3] f(x1)－f(x2)x1－x2>0 恒成立，则解析由题意分析可知条件等价于f(x)在[3，＋∞)上单调递增，又因为f(x)＝x|x－a|，所以(a)(a )当a≤0 时，结论显然成立，当a>0 时，f(x)＝Error!所以f(x)在－∞，上单调递增，在，a2上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以0<a≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3].类型六：综合题1.（作图）已知f(x)是定义在实数集R 上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( )A．{x|x≤0或1≤x≤4}B．{x|0≤x≤4}C．{x|x≤4}D．{x|0≤x≤1 或x≥4}解析：画出函数f(x)和g(x)的草图如图，由图可知当f(x)g(x)≥0 时，x 的取值范围是x≤0 或1≤x≤4，即{x|f(x)g(x)≥0}＝{x|x≤0 或1≤x≤4}，故选A.1＋1722.函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f x(x－1)<0若f x(x－1)<0＝f(1)，∴Error!2 2 4 4f x(x－1)<0＝f(－1)，∴Error!( 2 )的解集．（数形结合）解：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝0.又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，( 2 )1 1 1－17即0<x(x－)<1，解得<x< 或<x<0.( 2 )∴x(x－1)<－1，解得x∈∅.∴原不等式的解集是Error!.3.已知函数f(x)＝Error!则不等式f(a2－4)>f(3a)的解集为( )A．(2,6) B．(－1,4)C．(1,4) D．(－3,5)解析：作出函数f(x)的图象如，图所示则，函数f(x)在R 上是单调递减的由．f(a2－4)>f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a－4)<0，解得－1<a<4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：Bf(x)4.如果函数y＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数y＝x在区间I 上是减函数，那么称函数y＝3 3 1 3f (x )是区间 I 上的“缓增函数”，区间 I 叫作“缓增区间”．若函数 f (x )＝ x 2－x ＋是区间 I 上2 2 的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为() A ．[1，＋∞) B ．[0， 3] C ．[0,1]D ．[1， 3]1 3解析：因为函数 f (x )＝ x 2－x ＋的对称轴为 x ＝1，所以函数 y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上2 2 f (x ) 13 1 3 1 3是增函数，又当 x ≥1 时，＝ x －1＋，令 g (x )＝ x －1＋ (x ≥1)，则 g ′(x )＝－＝x 2－3x 2 2x 2 2x f (x ) 1 3 2 2x 22x 2 ，由 g ′(x )≤0 得 1≤x ≤ ，即函数 x ＝2x －1＋2x 在区间[1， ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3]．答案：D6. 若函数 f (x )＝Error!(a >0，且 a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数 a 的取值范围是．解析：因为 f (x )＝Error!所以当 x ≤2 时，f (x )≥4；又函数 f (x )的值域为[4，＋∞)，所以Error! 解得 1<a ≤2，所以实数 a 的取值范围为(1,2]．答案：(1,2]7. 已知函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，且当 x >0 时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R ).若∀x ∈R ，f (x ＋2016)>f (x )，则实数 a 的取值范围是 . 数形结合当 a ＝0 时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当 a <0 时，f (x )＝Error!为 R 上的单调递增函数，也满足条件；当 a >0 时，f (x )＝Error!要满足条件，需 4a <2 016 ，即 0<a <504，综上实数 a 的取值范围是 a <504.。

(word完整版)高中数学必修一函数单调性专题练习(2021年整理)

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函数的单调性1。

下列函数中，在区间上为增函数的是（）.A ．B ．C ．D ． 2．函数的增区间是（ )。

A ．B ．C ．D ． 3．在上是减函数，则a 的取值范围是（）。

A ．B ．C ．D ． 4．当时，函数的值有正也有负,则实数a 的取值范围是( ）A ．B ．C ．D ．5。

若函数)(x f 在区间（a ，b)上为增函数，在区间(b ，c ）上也是增函数,则函数)(x f 在区间（a,c ）上（）（A ）必是增函数（B)必是减函数(C ）是增函数或是减函数 (D ）无法确定增减性6。

设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数,则),2(-f )(πf ，)3(-f 的大小关系是（）A )2()3()(->->f f f πB )3()2()(->->f f f πC )2()3()(-<-<f f f πD )3()2()(-<-<f f f π7.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 A ．（13,23） B ．（∞-，23） C ．(12，23） D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32 8。

函数的单调性例题和答案

函数的单调性【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用【典型例题】例1．(1)()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( D) A ．12a ≥B ．12a ≤C ．12a >-D ．12a < 提示：2a -1<0时该函数是R 上的减函数.(2)函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( A )A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象(3)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+- 提示：0a b +≤可转化为a b ≤-和b a ≤-在利用函数单调性可得D. (4) 如下图是定义在闭区间上的函数()y f x = 的图象,该函数的单调增区间为 [-2,1]和[3,5] 提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并. (5) 函数223y x x =+-的单调减区间是(,3]-∞-提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域. 例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++解：(1)2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩ 即22(1)2(0)(1)2(0)x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 如图所示，单调增区间为(,1][0,1]-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)-+∞和（2）当2230,13x x x -++≥-≤≤得，函数2223(1)4y x x x =-++=--+ 当2230,13x x x x -++<<->得或，函数2223(1)4y x x x =--=--即22(1)4(13)(1)4(13)x x y x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和(1) (2)例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．证明：设1212,x x R x x ∈<且则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++12x x <因为 210x x ->所以，且在 1x 与 2x 中至少有一个不为0，不妨设 20x ≠，那么222222121123()24x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数例4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。

2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：14导数与函数的单调性Word版含解析

课时作业14导数与函数的单调性一、选择题础巩1.下列函数中，在(0，+*)上为增函数的是(B )A . f(x) = sin2x B. f(x) = xe xC. f(x) = x3—xD. f(x)=- x+lnx解析：对于A, f(x) = sin2x的单调递增区间是Ik T— k n+ f(k € Z);对于B, f f (x) = e x(x + 1),当x€ (0,+乂)时,f f (x)>0，二函数f(x) = xe x 在(0,+乂)上为增函数；对于C, f‘ (x) = 3x1 2- 1,令F (x)>0，得x>¥或x<-¥，二函数f(x) = x3—x 在:-x,—¥和囂^+乂”单调递增；对于Df (x) = —1+〒，令f f (x)>0, 得0<x<1,「.函数f(x) = —x+lnx在区间(0,1)上单调递增.综上所述，故选B.1解析：因为函数f(x)的定义域为(0,+*),且F (x)= lnx+ x^ =zve .3. (2019河南新乡二模)若函数y =芸在(1,+工)上单调递减, 则称f(x)为P函数.下列函数中为P函数的为(B )1① f(x)= 1;② f(x) =X ；③ f(x) =-:④ f(x)= x.zvA .①②④B .①③C .①③④D .②③1 1解析：x €(1,+X )时，inx>o , x 增大时，磁，后都减小，二y1 1 1=磁，y =x^在(1,+^)上都是减函数，f(x) = 1和f(x)=-都是P函数；二耐，二x € (1, e)时，<°，x € (e , + X )时，孟)>0,即y =击在(1, e)上单调递减，在(e ,+^)上单调递增， /f(x) = x 不是P 函数；紺=翥存* (1，自时，爲’<0, x € @,+切时，啓)>0,即y = ^在(1, e 2)上单调递减，在(e 2, + x )上单调递增，.f(x)= ,x 不是P 函数.故选B.4. 已知函数y =xf ‘ (x)的图象如图所示(其中f ‘(x)是函数f(x)的2 .函数f(x) =3 + xlnx 的单调递减区间是(B )-汽e ) (nBA 0, e 丿C.D. 1 lnx +1,令f f (x)<0，解得0<x<e ,故f(x)的单调递减区间是0, D解析：由题图知当0<x<1时，xf‘ (x)<0,此时f‘ (x)<0,函数f(x)递减.当 x>1 时，xf ‘(x)>0，此时 f ‘(x)>0,函数 f(x)递增.所以当x = 1时，函数f(x)取得极小值.当 x< - 1 时，xf ‘ (x)<0,此时 f ‘ (x)>0,函数 f(x)递增，当一1<x<0 时，xf ‘ (x)>0，此时f ‘ (x)<0，函数f(x)递减，所以当x =- 1时，函数取得极大值.符合条件的只有C 项. 15. 已知函数f(x) = qx 2-tcosx ,若其导函数f ‘ (x)在R 上单调递增，则实数t 的取值范围为(C )A. - 1,-C . [- 1,1]D. - 1, 3 解析：因为 f(x) = 2，x 2- tcosx ,所以 f ‘ (x)= x + tsinx.令 g(x) = f ‘ (x),因为f ‘(x)在R 上单调递增，所以g ‘ (x)= 1 + tcosx > 0恒成立，所以1<t < 1,即实数t 的取值范围为[-1,1].6. 定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)>1 - f ‘ (x), f(0) = 0, f ‘ (x) 是f(x)的导函数，贝S 不等式 gf(x)>e x —1(其中e 为自然对数的底数)的解集为(A )A . (0,+乂 )B . (— = ,— 1)U (0,+乂)C . ( — = , 0)U (1,+乂 )D . (- 1,+乂 )tcosx > — 1 恒成立，因为 cosx € [ — 1,1],所以 lt >- 1,所以一解析：设g(x) = e x f(x)-e，则g‘ (x) = e x f(x) + e x f' (x)-e x.由已知f(x)>1 -f‘(x),可得g‘ (x)>0在R上恒成立，即g(x)是R上的增函+ x )数.因为f(0) = 0,所以g(0) = - 1,则不等式e x f(x)>e x - 1可化为 g(x)>g(0)，所以原不等式的解集为(0,+^).■ n n n7 .已知函数 y = f(x)对于任意 x € — 2，2丿满足f (x)cosx +f(x)sinx>0(其中f ‘(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是(A )解析：构造F(x) = CO,形式,Tf ‘ (x)cosx +f(x)sinx>0，贝U F ‘ (x)>0, F(x)在「2，2增.把选项转化后可知选A.、填空题8.函数f(x) = lnx -2x 2-x + 5的单调递增区间为0, 丿.1解析：函数f(x)的定义域为(0,+x ),再由f (x) = ■■ — x — 1>0ZV可解得0<x< 2 —.9. (2019湖北襄阳调研)已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数 y =f ‘ (x),满足 f (x)<f(x), f(0) = 1,则不等式 f(x)<e x 的解集为｛0, 解析：令 F(x)=g ，则 F(0) = 1,f ‘(xJe T — f(xb x f (x )—f(x) F ‘ (x) = e 2^ = e <0,f ‘ x cosx +f x sinx则L (x) = ------------ 昴故F(x)为R上的减函数，有f(x)ve x等价于F(x)<1，即F(x)<F(O).故不等式f(x)ve x的解集为(0,+ 乂).10. (2019陕西渭南质检)已知函数f(x)= ax3+ bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+ 9y= 0垂直.若函数f(x) 在区间[m, m+ 1]上单调递增，则m的取值范围是( — = 31 U [0,解析：,-f(x) = ax3+ bx2的图象经过点M(1,4),•••a+ b= 4①，f‘ (x) = 3ax2+ 2bx,则f‘ (1)= 3a + 2b.(n由题意可得f‘ (i) —9 = —i,即3a + 2b = 9②.联立①②两式解得a= 1, b= 3,/.f(x) =x3+ 3x2, f‘ (x) = 3x2+ 6x.令f‘ (x) = 3x2+ 6x>0,得x>0 或x< —2. v函数f(x)在区间[m, m+ 1]上单调递增，• [m, m+ 1]? (—^,—2] U [0,+乂)，二m》0 或m+ 1 < —2,即m》0 或m W—3.三、解答题11. (2019云南玉溪模拟)已知函数f(x) = xlnx.(1)设函数g(x) = f(x)—a(x—1)，其中a € R，讨论函数g(x)的单调性；⑵若直线I过点(0,—1),并且与曲线y=f(x)相切，求直线I的方程.解:(1) *.f(x) = xlnx, -*g(x) = f(x) —a(x—1) = xlnx—a(x—1),则g‘ (x) =lnx+ 1 —a.由g‘ (x)<0，得lnx+1 —a<0,解得0<x<e a—1;由g‘ (x)>0,得lnx+ 1 —a>0,解得x>e a_ 3. -g(x)在(0, e a-1)上单调递减，在(e a_ 1, + g) 3②当o<a<e时，lna< —1,由f‘ (x)>o，得x<lna 或x> —1;由f‘ (x)<o，得lna<x< —1,所以单调递增区间为(一g, lna), (—1,+ g)，单调递减区间为(lna, —1).1③当a>e时，lna> —1,由f‘ (x)>o，得x< —1 或x>lna;由f‘ (x)<o, 得一1<x<lna,所以单调递增区间为(一g , —1), (lna,+g)，单调递减区间为(一1, lna).1 1综上所述，当a = e时，f(x)在R上单调递增；当o<a<e时，单调13. 设函数f(x)在R上存在导函数f‘(x),对任意的实数x都有f(x) = 4X2—f( —x),当x€ (—o, 0)时，f，(x)+2<4x,若f(m+ 1)<f(—m) + 4m+2,则实数m的取值范围是(A )；1 、— 3 、A. —2,+oB. —2,+oC. [—1,+o)D. [ —2,+o )解析：令F(x) = f(x) —2x2，因为F(—x)+ F(x) = f( —x) + f(x) —4x2 =0,所以F( —x) = —F(x),故F(x) = f(x) —2x2是奇函数.则当x€ (—1o,0)时，F‘ (x) = f‘ (x) —4x< —2<0,故函数F(x) = f(x) —2x2在(一o,0)上单调递减，故函数F(x)在R上单调递减.不等式f(m+ 1)<f(—m) + 4m + 2 等价于f(m + 1) —2(m+ 1)2<f( —m) —2m2，即F(m +1上单调递增.⑵设切点坐标为(x o, y o),则y o= x o lnx o，切线的斜率为lnx°+ 1. 切线l 的方程为y—X o lnx o = (lnx o + 1)(x —x o).又切线l 过点(o, —1)，二一1 —X o lnx o = (lnx o+ 1)(o—x o)，即一1 —x o lnx o = —x o lnx o—x o，解得x o = 1, y o = o.二直线l 的方程为y= x—1.12. (2019 山东枣庄调研)已知函数f(x) = xe x—a~x2+ xj(a€ R).(1) 若a = o,求曲线y= f(x)在点(1, e)处的切线方程；(2) 当a>o时，求函数f(x)的单调区间.解：(1)a = o 时，f‘ (x) = (x+ 1)e x,所以切线的斜率k= f‘ (1)= 2e 又f(1) = e,所以y=f(x)在点(1, e)处的切线方程为y—e= 2e(x—1), 即2ex—y—e= o.(2)f‘ (x) = (x+ 1)(e x—a)，令f‘ (x) = o,得x=—1 或x= lna.1①当a= e时，F (x)>o恒成立，所以f(x)在R上单调递增.递增区间为(一00 , lna), (—1,+x)，单调递减区间为(Ina, —1);11)< F( —m)，由函数的单调性可得m+ 1 > —m,即卩m》一2.故选A.14. (2019西安八校联考)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x) = f(2 —x)，且(x—1f (x)<0，若a= f(0), b= f? , c= f(3),则a, b, c 的大小关系是b>a>c.解析：解法1:因为f(x) = f(2 —x)，所以函数f(x)的图象关于直线x= 1对称.因为(x—1)f‘ (x)<0.所以当x>1时，f‘ (x)<0,所以函数f(x)在(1,+o)上单调递减；当x<1时，f (x)>0,所以函数f(x)在(一o,当a>e时，单调递增区间为(一O,—1), (lna,+o),单调递减区间为(—1, Ina).力提升练1)上单调递增.据此，可画出一个符合题意的函数f(x)的大致图象,如图所示.c= f(3)是图中点C的纵坐标，故由图可得b>a>c.解法2:因为f(x) = f(2-x)，所以函数f(x)的图象关于直线x= 1 对称.因为(x- 1)f‘ (x)<0,所以当x>1时，f‘ (x)<0，所以函数f(x) 在(1,+乂)上单调递减；当x<1时，f (x)>0,所以函数f(x)在(一乂，1)上单调递增.取符合题意的函数f(x)=- (x-1)4 5，贝y a = f(0)=- 1, b= f(2)=1 皿—4, c= f(3) = - 4,故b>a>c.尖子生小题库一一供重点班学生使用，普通班学生慎用15. (2019益阳、湘潭调研考试)n是圆周率，e是自然对数的底数，在3e,e3,e n, n，3n, n六个数中，最小的数与最大的数分别是(A )4 —lnx=—h,当f‘ (x)>0,即0<x<e 时，函数f(x)单调递增；当f‘ (x)<0,A . 3e,3n B. 3e, e nC. e3, nD. £3”lnx解析：构造函数f(x) = ~x，f(x)的定义域为(0, +x),求导得f (x)即x>e 时，函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0, e), 单调递减区间为 (e , + g). v e<3< n-eln3<eln , n lne< n 即3In3e <ln n Ine n<ln3 ".又函数y = Inx , y = e x , y = n 在定义域上单调递增，故3e < T t < n 3，e 3ve”<3n，故这六个数中的最大数为n t 或3”，由e<3< n In ，口 “In 兀 In3 Ine 「In n In3及函数f(x) = 2的单调性，得f( n f3)vf(e),即二，由=<~T ，得In 3<In3 ；二3"，在3e ，e 3，e n ，n 3,3n ，n 六个数中的最大的数是3n，同理得最小的数为3e .故选A. 116. (2019重庆六校联考)已知函数f(x) = qx 2— ax + (a — 1)Inx.(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 若对任意的 X 1, X 2 € (0，+^)，洛>乂2,恒有 f(xj — f(X 2)>X 2 — x ，求实数a 的取值范围.=x (x - 1)[x — (a — 1)],① 若 a>2,由 f ‘ (x)>0,得 0<x<1 或 x>a — 1,由 f ‘ (x)<0,得 1<x<a —1,则f(x)在(0,1), (a — 1,+工)上单调递增，在(1, a — 1)上单调递减；② 若a =2,则f ‘ (x)>0, f(x)在(0,+工)上单调递增；③ 若 1<a<2，由 f ‘ (x)>0，得 0<x<a — 1 或 x>1，由 f ‘ (x)<0,得 a — 1<x<1，则 f(x)在(0, a — 1), (1,+工)上单调递增，在(a —1,1)上单调递减；④ 若 a < 1,由 f ‘ (x)>0，得 x>1,由 f ‘ (x)<0，得 0<x<1,则 f(x) 在(1,+x )上单调递增，在(0,1)上单调递减.解: (1)f‘ (x x 2 — ax + a —1综上，若a>2,则f(x)在(0,1), (a—1,+乂)上单调递增，在(1, a—1)上单调递减；若a= 2,则f(x)在(0,+乂)上单调递增；若1<a<2，则f(x)在(0, a—1), (1, +乂)上单调递增，在(a—1,1) 上单调递减；若a< 1,则f(x)在(1，+乂)上单调递增，在(0,1)上单调递减.(2)f(x” —f(X2)>x —X1 ? f(x” + X1>f(X2)+ x,1 2令F(x) = f(x) + x= 2x —ax+ (a —1)lnx + x,对任意的X1, (0,+X), xQX2，恒有f(xd —f(X2)>X2 —X1 等价于函数F(x)在(0 ,+x)上是增函数.a —1 1f‘ (x) = x—a+1 + = Jx2-(a—1)x + a—1],令g(x) = x2—(a—1)x + a —1,a—1当a—1<0,即a<1 时，x=—厂<0,故要使f‘ (x)>0在(0, +=) 上恒成立，需g(0)>0,即a— 1 >0, a> 1,无解.a —1当a—1>0, 即卩a> 1 时，>0,故要使f‘ (x)>0 在(0,a —1 a —1 2 a —1+ x)上恒成立，需g( 2 )》0,即(2 )—(a —1)、2+ a —1》0, 化简得(a —1)(a —5)w 0,解得1 w a w 5.综上，实数a的取值范围是[1,5].。

导数与函数的单调性(word解析版)

导数与函数的单调性(word解析版) x在区间[0,2]上可导，且f(0)=0，f(2)=2，则函数f(x)在区间[0,2]上的单调递增区间为（）.A。

[0,1] B。

[1,2] C。

[0,2] D。

[0,1]∪[1,2]答案】B解析】根据题意，f(x)在[0,2]上可导，且f(0)=0，f(2)=2，因此可以利用导数求解其单调性.首先求导数f'(x)，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.由于f'(x)=1+cosx，当x∈[0,2]时，cosx的取值范围是[-1,1]，因此f'(x)的取值范围是[0,2].因此函数f(x)在[0,2]上单调递增，单调递增区间为[1,2]，故选B选项.方法技巧归纳】1.求导数f'(x)，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.2.对于多项式函数一般不超过三次的情况，可以直接利用导数求解其单调性和极值.3.对于含参数的函数，可以先求导数，然后根据参数的取值范围来判断函数的单调性和极值.变式1】【2018江苏高考】设函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c为常数，且f(x)在[0,1]上单调递增，则（）.A。

a>0，b>0，c>0 B。

a>0，b0 C。

a0，c>0 D。

a0答案】C解析】根据题意，f(x)在[0,1]上单调递增，因此可以利用导数求解其单调性.首先求导数f'(x)，得到f'(x)=3x2+2ax+b，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.由于f(x)在[0,1]上单调递增，因此f'(x)在[0,1]上恒大于等于0.又因为f'(x)是一个二次函数，因此其开口向上，当x∈[0,1]时，f'(x)的最小值为0，即当x=0时，f'(x)取到最小值，此时有f'(0)=b.由于f'(x)在[0,1]上恒大于等于0，因此b≥0.又因为f(x)为单调递增函数，因此其二次项系数a>0.又因为f(x)在[0,1]上单调递增，因此f(1)>f(0)，即1+a+b+c>0，因此c>-(1+a+b).综上所述，可得a0，c>0，故选C选项.变式2】【2018山东高考】设函数f(x)=x3+3x2+3x+k，其中k为常数，则f(x)在区间（-∞，0）上单调递（增/减）；在区间（0，+∞）上单调递（增/减）.答案】单调递减，单调递增解析】根据题意，可以利用导数求解函数f(x)的单调性.首先求导数f'(x)，得到f'(x)=3x2+6x，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.当x∈(-∞，0)时，f'(x)的取值范围是[0，+∞)，因此f(x)在(-∞，0)上单调递减；当x∈(0，+∞)时，f'(x)的取值范围是(-∞，0]，因此f(x)在(0，+∞)上单调递增，故选单调递减，单调递增.讨论函数$f(x)=1-x^2e^x$的单调性。

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函数的单调性及典型习题
一、函数的单调性
1、定义：
（1）设函数y f (x) 的定义域为A，区间 M A ，如果取区间 M 中的任意两个值x1, x2 ,当改变量x 2 x1
时，都有f ( x 2) f ( x1 ) 0，那么就称函数y f ( x) 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量x2x10 时，都有 f ( x2 ) f (x1) 0，那么就称函数y f (x) 在区间M上是减函数，如图（2）
注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．2、巩固概念：
1、定义的另一种表示方法
如果对于定义域I内某个区间 D 上的任意两个自变量x1,x2,若f ( x
1
)
f (x2 )0 即
x1x2
y
，则函数 y=f(x)是增函数，若f ( x1 ) f ( x2 )
0 即y0 ，则函数y=f(x)为减函数。

x1x2
x x 判断题：
①已知 f (x)1
1) f(2) ，所以函数 f ( x) 是增函数．
因为 f (
x
②若函数 f ( x) 满足 f (2) f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数．
③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和 (2,3) 上均为增函数，则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数．
④ 因为函数
1
在区间,0),(0,) 上都是减函数，所以 f ( x)
1 f ( x)在
x x
( ,0)(0, ) 上是减函数.
通过判断题，强调几点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域
( 如一次函数 ) ，可以是定义域内某个
区间 ( 如二次函数 ) ，也可以根本不单调 ( 如常函数 ) ．
③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。

④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在
A B 上
是增（或减）函数．
熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性．
1．函数 y ＝－ f （ x ）与函数 y ＝ f （ x ）的单调性相反．
1
2．当 f （ x ）恒为正或恒为负时，函数
y ＝ f ( x)
与 y ＝ f （ x ）的单调性相反．
3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等
3．判断函数单调性的方法
（ 1）定义法．
（ 2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单
调性均可直接说出．
（ 3）图象法．
例 1、证明函数 f ( x)
1 ）是减函数．
在（ 0， + x
练习 1：证明函数
f ( x) x 在 0,
上是增函数．
1
1 x
例 2、设函数 f （x ）＝ x
2 ＋ lg 1 x ,试判断 f （ x ）的单调性，并给出证明．
例 3、求下列函数的增区间与减区间
(1)y ＝ |x 2
＋ 2x － 3| x 2
2x (2)y ＝
1|
1 |x
(3)y ＝
x 2
2x 3
例 4、函数 f(x) ＝ ax 2－ (3a － 1)x ＋ a 2
在 [－ 1，＋∞ ]上是增函数，求实数 a 的取值范围．
例 5、已知二次函数 y ＝ f(x)(x ∈ R)的图像是一条开口向下且对称轴为 x ＝ 3 的抛物线，试比
较大小：
(1)f(6) 与 f(4)
(2)f(2) 与 f( 15)
例 6、函数 f (x) ＝ | x | 和 g (x) ＝x (2 － x )的递增区间依次是
( )
A. (
, 0], ( , 1] B. ( , 0], [1, ) C. [0, ), ( , 1] D. [0, ), [1, )
例 7、已知 a 、b 是常数且 a ≠ 0, f (x)
ax 2 bx , 且 f ( 2) 0 , 并使方程 f ( x)
x 有等根 .
(1) 求 f (x ) 的解析式 ;
(2) 是否存在实数 m 、 n (m n) , 使 f (x ) 的定义域和值域分别为
[ m, n] 和 [ 2m, 2n] ?
同步训练：
一、选择题
1．下列函数中，在区间（
0，1）上为增函数的是
2
A ． y ＝ |x 2－ 1|
B ． y ＝ x
C ． y ＝ 2x 2－ x ＋ 1
D ． y ＝ |x|＋ 1
2．如果奇函数 f （ x ）在区间［ 3， 7］上是增函数且最小值为
5，那么 f （ x ）在区间
［－ 7，－ 3］上是
A. 增函数且最小值为－ 5 B ．增函数且最大值为－ 5 C ．减函数且最小值为－ 5
D ．减函数且最大值为－
5
3．若函数解析式为 y ＝ f （x ），则下列判断正确的是
A 、若 f （ x ）在（－∞ ,0）和（ 0，＋∞）上均是增函数，则 f （ x ）在（－∞ ,0）∪（ 0,＋∞）
上也是增函数
B 、若 f （ x ）在（－∞ ,0）和（ 0，＋∞）上均是减函数，则
f （ x ）在（－∞， 0）∪（ 0，＋
∞）上也是减函数
C 、若 f （x ）是偶函数，且在（ 0，＋∞）上是增函数，则 f （ x ）在（－∞， 0）上也是增函
数
D 、若 f （ x ）是奇函数，且在（ 0，＋∞）上是增函数，则 f （x ）在（－∞ ,0）上是增函数二、填空题
4．已知函数 y ＝－ x 2＋ 2x ＋ 1 在区间［－ 3，a ］上是增函数，则 a 的取值范围是 ______________ 5．设函数 y ＝ f （ x ）是定义在（－ 1，1）上的增函数，则函数 y ＝ f （ x 2－ 1）的单调递减区间是
______________
b
6．若函数 y ＝ ax,y ＝－ x 在（ 0，＋∞）上都是减函数，则函
数（填单调性）．
三、解答题已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，且满足 f （－ x ）＝c
（ c 为常数）在［ a,b ］（a ＜ b ＝上是单调递减函数，判断并证明性．
f
( x)
＞ 0，又 g （ x ）＝ f （ x ）＋
g （ x ）在［－ b,－ a ］上的增减
课后巩固：
1、利用函数单调性定义证明函数
f(x) ＝－ x 3
＋ 1 在 (－∞，＋∞ )上是减函数．
2、.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，对 m 、 n R 恒有
f (m
n)
f ( m) f (n) ，且当 x
0 时，
0 f ( x) 1。

（1）求证： f (0) 1；
（ 2）证明： x R 时恒有 f ( x) 0 ；
（3）求证： f (x) 在 R 上是减函数；（ 4）若 f ( x) f (2
x) 1 ，求 x 的范围。

y ＝ ax 2＋ bx 在（ 0,＋∞）上是 ________
1。