集合.知识框架

集合

内容基本要求

集合的含义会使用符号或堡”表示元素与集合之间的关系；

集合的表示能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；

理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等

集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念.在具体情景中，了解空集和全集的含义；

理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与

并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集

的补集

集合的基本运算掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算. 能使用维恩图表达集合之间的关系和运算.

:hL知识内容

i•集合：某些指定的对象集在一起成为集合

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a・A ;若b不是集合A的元素, 记作b 'A；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因

此，同一集合中不应重复出现同- 」元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

模块框

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内;

例如：{1, 2, 3, 4, 5} , {1, 2, 3, 4, 5,卅

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号｛｝内。

例如：大于3的所有整数表示为：｛X- Z|x 3｝

方程x2 -2x -5 =0的所有实数根表示为：｛x・R | x2—2x —5=0｝

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，

再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，

一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N ;

*

正整数集，记作N或N ;

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R。

＜教师备案＞（1）集合是数学中最原始的概念之一，不能用其他的概念给它下定义，所以集合是不定义的概念，只能做描述性的说明.

⑵构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何.. 对象.

例：｛小明，机器猫，哈里波特｝

⑶正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征.

①任何一个对象都能确定它是不是某一个集合的元素，这是集合中元素的最基本的

特征一一确定性，反例：“很小的数”，“个子较高的同学”；

②集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素

一一互异性，事实告诉我们，集合中元素的互异性常被忽略，从而导致解题出

错.例：方程（X-1）2（X-2）=0的解集不能写成｛1,1,2｝，而应写成｛1,2｝

③在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序一一无序性

例：集合｛a,b,c｝与集合｛b,c,a｝是相同集合

⑷用描述法表示集合，对其元素的属性要准确理解.

例如：集合(x y =x J■表示自变量x值的全体，即\x x R -;集合:y y = x ｝表示函

数值y的全体，即:y y ＞ 0?;集合「(x, y)y=x2?表示抛物线y = x2上的点的全体，是

点的集合(一条抛物线)；而集合Cy=x2?则是用列举法表示的单元素集.

⑸关于集合的表示方法之间的转换

「6 ]

例如：①A=$x|——€ Z ,X E N卜用列举法表示为A=｛0,1,2,4,5,69｝

L 3 -X

②A=xx=?，b, a , b是非零实数,用列举法表示为A-J2,0, 2

I a b J

2•集合的包含关系：

(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),

记作A B (或A B );

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A B且B二A ,则称A等于B，记作A=B ;若A B且A M B ,则称A是B的真子集，记作A B;

(2)简单性质：1) A-A; 2) ; 3)若A^B , B^C,

贝U C; 4)若集合A

是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2 - 1个真子集)；

3•全集与补集：

(1)包含了我们所

要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ;

(2)若S是一个集合，A S,则，C s = ｛x|x・S且x^A｝称S中子集A的补集；

(3)简单性质：1) C S(C S)=A ; 2) C s S=：」,C s" =S。

＜教师备案＞(1)强调说明，加深印象：

①表示元素和集合之间的关系：属于”和不属于“"

②表示集合与集合之间的关系：

包含关系：如果对于任意a A= a・B ,则集合A是集合B的子集，记为A B

或B = A ;注意提示：A」A , ' • - A

真子集关系：对于两个集合 A与B，若A^B且A = B，则集合A是集合B的

真子集,

记作A u B (或BY A )

相等关系：对于两个集合A与B，如果AGB，且B匸A，那么集合A与B相

等，记作A=B

注意提示：如果“ A B ”，那么有A=B或A u B，两种情况二者必居其一；而A u B

是不允许A = B，所以即使A B，A u B不一定成立；反之，A u B可以说

A二B ； A二B也可说A二B

不包含关系：如果集合 A中存在着不属于集合B的元素，那么集合A不包含于B，

或B不包含A .分别记作A赲B，或B? A

⑵0，｛0｝，、，｛、｝之间的区别与联系

①0与｛0｝是不同的，0只是一个数字，而｛0｝则表示集合，这个集合中含有一个元

素0，它们的关系是0 ｛0｝

②、与｛0｝是不同的，•一中没有任何元素，｛0｝则表示含有一个元素0的集合，它

们的关系是两个集合之间的关系(..u「0?)

③•一与｛•_｝是不同的，•一中没有任何元素，｛•-｝则表示含有一个元素•一的集

合，它们的关系是「｛•_｝或-L ｝或•一u A；

④显然，0= , 0讥一｝

⑶集合中的计数问题

当研究有限集合问题时，常有一些计数问题. 在计数时常用下列结论：设集合A中

元素个数为n，则①子集的个数为2n，②真子集的个数为2n -1，③非空真子集的个

数为2n—2

4.交集与并集：

(1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的

交集。交集A「B =｛x | x A且x B｝。

(2)—般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与

B的并集。并集A 一 B二｛x|x，A或B｝。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并

集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方

＜教师备案＞1 •理解两个集合的并集、交集、补集的含义，会求两个简单集合的并集与交集