Dijkstra算法

Dijkstra 算法Dijkstra 算法（狄克斯特拉算法） 算法（狄克斯特拉算法）目录[隐藏]• • • • • o •1 2 3 4 5Dijkstra 算法概述 算法描述 虚拟码 时间复杂度 Dijkstra 算法案例分析 5.1 案例一:基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[1] 6 参考文献[编辑]Dijkstra 算法概述Dijkstra 算法 算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉（Dijkstra）于 1959 年提出的，因此 又叫狄克斯特拉算法。

是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法， 解决的是有向图中最短 路径问题。

其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。

当所有边权 都为正时， 由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点， 所以这个点的距离永远不会再被改 变， 因而保证了算法的正确性。

不过根据这个原理， Dijkstra 求最短路的图不能有负权边， 用 因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离， 有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的 性质。

举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。

Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。

Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。

我 们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。

每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。

(u,v)表示从顶点 u 到 v 有路径相连。

我们以 E 所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞]定义。

因此，w(u,v)就是从顶点 u 到顶点 v 的非负花费值(cost)。

边的花费 可以想像成两个顶点之间的距离。

任两点间路径的花费值， 就是该路径上所有边的花费值总 和。

已知有 V 中有顶点 s 及 t， Dijkstra 算法可以找到 s 到 t 的最低花费路径(i.e. 最短路径)。

这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点 s 到任何其他顶点的最短路径。

[编辑]算法描述这个算法是通过为每个顶点 v 保留目前为止所找到的从 s 到 v 的最短路径来工作的。

初 始时，源点 s 的路径长度值被赋为 0（d[s]=0）， 同时把所有其他顶点的路径长度设为无 穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于 V 中所有顶点 v 除 s 外 d[v]= ∞）。

当算法结束时， d[v]中储存的便是从 s 到 v 的最短路径， 或者如果路径不存在的话是无穷大。

Dijstra 算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从 u 到 v 的边，那么从 s 到 u 的最短路 径可以通过将边(u,v)添加到尾部来拓展一条从 s 到 v 的路径。

这条路径的长度是 d[u]+w(u,v)。

如果这个值比目前已知的 d[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前 d[v]中的 值。

拓展边的操作一直执行到所有的 d[v]都代表从 s 到 v 最短路径的花费。

这个算法经过组 织因而当 d[u]达到它最终的值的时候没条边(u,v)都只被拓展一次。

算法维护两个顶点集 S 和 Q。

集合 S 保留了我们已知的所有 d[v]的值已经是最短路径 的值顶点，而集合 Q 则保留其他所有顶点。

集合 S 初始状态为空，而后每一步都有一个顶 点从 Q 移动到 S。

这个被选择的顶点是 Q 中拥有最小的 d[u]值的顶点。

当一个顶点 u 从 Q 中转移到了 S 中，算法对每条外接边(u,v)进行拓展。

[编辑]虚拟码在下面的算法中,u:=Extract_Min(Q)在在顶点集 Q 中搜索有最小的 d[u]值的顶点 u。

这 个顶点被从集合 Q 中删除并返回给用户。

1 2 3 4 5 6 7function Dijkstra(G, w, s) for each vertex v in V[G] d[v] := infinity previous[v] := undefined d[s] := 0 S := empty set Q := set of all vertices // Dijstra 算 // 初始化8 while Q is not an empty set 法主体 9 10 11 12 13 14 u := Extract_Min(Q) S := S union {u} for each edge (u,v) outgoing from u if d[v] > d[u] + w(u,v) d[v] := d[u] + w(u,v) previous[v] := u// 拓展边(u,v)如果我们只对在 s 和 t 之间寻找一条最短路径的话， 我们可以在第 9 行添加条件如果满 足 u=t 的话终止程序。

现在我们可以通过迭代来回溯出 s 到 t 的最短路径1 S := empty sequence 2 u := t3 while defined u 4 5 insert u to the beginning of S u := previous[u]现在序列 S 就是从 s 到 t 的最短路径的顶点集. [编辑]时间复杂度我们可以用大 O 符号将 Dijkstra 算法的运行时间表示为边数 m 和顶点数 n 的函数。

Dijkstra 算法最简单的实现方法是用一个链表或者数组来存储所有顶点的集合 Q,所以 搜索 Q 中最小元素的运算(Extract-Min(Q))只需要线性搜索 Q 中的所有元素。

这样的话算法 的运行时间是 O(n2)。

对于边数少于 n2 稀疏图来说，我们可以用邻接表来更有效的实现 Dijkstra 算法。

同时 需要将一个二叉堆或者斐波纳契堆用作优先队列来寻找最小的顶点(Extract-Min)。

当用到二 叉堆的时候，算法所需的时间为 O((m+n)log n)，斐波纳契堆能稍微提高一些性能，让算法 运行时间达到 O(m + n log n)。

相关问题和算法 在 Dijkstra 算法的基础上作一些改动，可以扩展其功能。

例如，有时希望在求得最短路 径的基础上再列出一些次短的路径。

为此，可先在原图上计算出最短路径，然后从图中删去 该路径中的某一条边，在余下的子图中重新计算最短路径。

对于原最短路径中的每一条边， 均可求得一条删去该边后子图的最短路径，这些路径经排序后即为原图的一系列次短路径。

OSPF（open shortest path first, 开放最短路径优先）算法是 Dijkstra 算法在网络路由 中的一个具体实现。

与 Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford 算法可用于具有负花费边的图，只要图中不存在 总花费为负值且从源点 s 可达的环路（如果有这样的环路，则最短路径不存在，因为沿环 路循环多次即可无限制的降低总花费）。

与最短路径问题有关的一个问题是旅行商问题(traveling salesman problem)， 它要求找 出通过所有顶点恰好一次且最终回到源点的最短路径。

该问题是 NP 难的；换言之，与最短 路径问题不同，旅行商问题不太可能具有多项式时间算法。

如果有已知信息可用来估计某一点到目标点的距离，则可改用 A*算法，以减小最短路 径的搜索范围。

[编辑]Dijkstra 算法案例分析[编辑]案例一:基于 案例一 基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[1]电子商务是依托于互联网和信息技术的一种新型商务活动。

目前,我国的电子商务发展 势头迅猛,已经成为国民经济中的重要组成部分。

相对于新生的电子商务来说,物流配送出现 得比较早但是真正把它当作一个完整的系统来研究还是在 20 世纪 50 年代初。

在电子商务尤其是 B2C 业务开展之初,国内还没有一家物流公司具有电子商务的配送经 验,各个电子商务公司只能求助于具有国内最大覆盖网络的中国邮政速递公司,EMS 但是在 经历一段时间之后,EMS 由于自身体制的僵化分割,管理无法协调、 服务水平无法提高、 费用 居高不下,对很多问题都是心有余而力不足,无法满足电子商务发展的快速要求。

鉴于此种情景,国内的许多大型电子商务公司都在积极地寻找出路,有的自己投资组建 配送队伍,但是要将自己的网点覆盖全国实在太难、投资太大有的积极寻找新近进人电子商 务配送领域的配送公司,但是后来者的实力和发展速度着实无法满足需求也有求助传统的第 三方物流公司,在电子商务覆盖需求如此广大,服务环节如此复杂,业务特点往往品种多、 数量 少、利润低等实际问题面前,传统的物流公司往往是望而却步。

商品配送成本过高电子商务公司的配送不仅面向批发商和零售商,还要直接面对大批的 最终消费者,况且电子商务不受时间、地域的限制,因此较难形成集中的、有规模的配送流量, 由此造成配送任务复杂而琐碎,成本居高不下。

降低配送服务价格,就要解决电子商务公司与 物流配送企业之间在配送服务价格之间的矛盾,需要双方的共同努力。

一方面电子商务公司考虑配送成本,尽量将网上销售的商品控制在与物流企业协议确定 的配送范围之内,并尽量使之相对集中且形成规模。

另一方面,物流配送企业应积极协作,选择最短路径作为配送路径降低配送成本,并加强 管理,开源节流,降低物流成本和配送服务的价格,同时还应尽可能与电子商务公司建立长期 稳定的协作关系,这样做有利于物流企业制定长远投资和服务计划,有利于加快新的物流配 送技术的应用,加大配送渠道和设施的建设力度,最终有利于加快实现物流配送系统的信息 化、自动化、网络化和智能化从长远看,有利于持续稳定地降低物流配送的成本和价格。

目前关于物流配送的问题已经有很多方法,大致可分为定性和定量两大类。

定性方法是 指凭借个人或集体的经验来做出决策,它的执行步骤一般是先根据经验确定评价指标对各待 选中心利用评价指标进行优劣性检验,根据检验结果作出决策。

定性方法的优点是注重历史经验、简单易行,其缺点是容易犯经验主义和主观主义的错 误,并且当可选地点较多时不易做出理想的决策。

定量方法根据各种约束条件和所要达到的 目标,把选址问题转化为函数,再利用合适的算法进行求解,求出最符合条件的解即具体的地 点作为配送路径。

基于最短距离改进问题的算法的物流配。

一、最短路径法 采用图论中的最短路径算法来建立物流配送路径选择模型。

它的主要思想是从代表两个 顶点的距离的权矩阵开始,每次插人一个顶点比较任意两点间的已知最短路径和插人顶点作 为中间顶点时可能产生的路径距离,然后取较小值以得到新的距离权矩阵。

当所有的顶点均 作为顶点时,得到的最后的权矩阵就反映了所有顶点间的最短距离信息。

最短距离者作为费 用最小者,即最佳的选址位置。