函数的定义域求法
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法方法一：直接根据函数的定义进行求解。
这是最基本的一种方法，即根据函数的定义来求解定义域。
例如，对于一个多项式函数f(x)，定义为f(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们可以直接根据定义域的限制条件来求解。
由于多项式函数的定义域是全体实数，因此该函数的定义域为(-\infty, +\infty)。
方法二：挑选一些特殊的数进行验证。
这是一种常用的方法，即通过挑选一些特殊的数进行验证，看它们是否在函数的定义域内。
例如，对于一个有理函数g(x)，定义为g(x) = \frac{1}{x}，我们可以挑选x的一些特殊值进行验证。
首先，x不能为0，否则分母为零，函数无定义。
另外，由于有理函数对应的分母不能为零，因此定义域为(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)。
方法三：求解不等式得到定义域的范围。
对于一些复杂的函数，可以通过求解不等式来得到定义域的范围。
例如，对于一个开方函数h(x)，定义为h(x) = \sqrt{x^2 - 4x}，我们可以通过求解不等式x^2 - 4x \geq 0来确定定义域的范围。
首先，将不等式化简为(x-2)(x-2) \geq 0，得到x \leq 2或x \geq 2，因此定义域为(-\infty, 2] \cup [2, +\infty)。
方法四：分段定义域的求解。
对于一些函数是在不同区间有不同定义域的情况，可以采用分段定义域的求解方法。
例如，对于一个分段函数j(x)，定义为j(x) = \begin{cases}2, & \text{if } x\leq 0\\\sqrt{x}, & \text{if } x > 0\end{cases}这个函数在x\leq 0时有定义，且在x > 0时也有定义。
因此定义域为(-\infty, 0] \cup (0, +\infty)。
方法五：利用基本函数的定义域性质进行推导。
高中数学函数定义域的求法
高中数学函数定义域的求法
求函数定义域的方法有以下几种：
1. 根据函数的解析式确定：
- 如果函数的解析式为有理式，那么函数的定义域就是使得
有理式的分母不为零的实数值。
- 如果函数的解析式为无理式，那么函数的定义域就是使得
无理式的被开方数不小于零的实数值。
- 如果函数的解析式为指数、对数函数，那么函数的定义域
就是使得指数的底不为零或负数，对数的底大于零且不等于1。
2. 根据函数的图象确定：
- 如果函数的图象是一个连续的曲线，那么函数的定义域就
是曲线所覆盖的所有实数值。
- 如果函数的图象是一个离散的点集，那么函数的定义域就
是这些点的横坐标所组成的集合。
3. 根据问题的实际意义确定：
- 如果函数表示一个实际问题，如时间、长度、面积等，那
么函数的定义域就是使得问题有意义的实数值范围。
需要注意的是，在某些情况下，函数的定义域可能是一个给定的特定集合，如正整数集、实数集等，这时需要根据题目要求进行判断和筛选。
同时，也要留意函数的特殊性质，如间断点、极值点等，可能会对函数的定义域有影响。
函数定义域的求法
函数定义域的求法
定义域是函数研究中一个重要的概念，它指函数能够接受输入值的范围，也叫定义域。
它是构成函数的数学集合，这些数字满足函数关系，在这些数字的输入上都可以得出函数的输出结果。
换言之，可以把这些特定的输入值称为“函数定义域”。
一般来说，函数定义域由两个部分组成：一部分是函数表达式本身，另一部分是函数表达式中变量的值范围。
函数定义域的求法是以函数表达式为基础，仅考虑函数表达式中涉及的变量的值的范围，将它确定为一个可以接受输入的数学集合。
函数定义域求法的具体步骤如下：
1.弄清楚函数表达式，即把函数表达式中的变量和操作符分解开，此外，要注意函数的限制条件，包括变量是否为实数、实数的有限范围等；
2.确定变量值的定义域，有些变量可以很容易确定，但是另外一些变量可能比较难，需要仔细推理；
3.按照定义域要求，逐步转换函数表达式，使其满足定义域要求；
4.把函数表达式中变量的值替换成定义域表达式进行测试，以确定函数是否能够接受定义域中的输入；
5.最后，根据测试的结果，确定函数的定义域，并进行实际的应用。
函数定义域求法的应用可以说是数学模型中的重要环节。
它不仅可以为函数的实际使用提供依据，还可以帮助研究者在数学建模中更
好地节省时间。
通过函数定义域求法，可以更好地理解函数及其关系，并能够有效地控制模型性能。
总之，函数定义域求法是数学模型研究中比较重要的一个方面，它既可以帮助理解函数表达式，又可以保证函数的推导和应用的准确性。
如果正确地掌握它，可以有效地提高研究者的生产效率，从而获得更好的成果。
函数定义域的求法
函数定义域的求法一、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。
例1求函数f(x)=211x x -+的定义域二、含偶次根式的函数注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念， 例1 求函数y ＝3-ax （a 为不等于0的常数）的定义域.三、复合型函数注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例1 求函数y ＝23-x ＋3323-+x x ）（的定义域．1、求下列函数的定义域。
⑴y=xx -||1 ⑵y=3102++x x （3）y=||11x - ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( （5）2143)(2-+--=x x x x f四、抽象函数 （一）、已知的定义域，求的定义域， 其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
例1. 设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为________。
（2）函数的定义域为__________。
练习1已知f(x)的定义域为[1,3],求f(x-1)的定义域. 2已知函数)x (f 的定义域为（0，1），则函数)1x 21(f -的定义域是________。
4．（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（二）、已知的定义域，求的定义域。
其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
例2. 已知函数的定义域为，则的定义域为________。
1已知函数)4x2(f +的定义域为（0，1），则函数)x (f 的定义域是________。
2已知f(2x-1)的定义域为[-1，1]，求)x (f 的定义域（三）、已知的定义域，求的定义域。
求定义域的方法
求定义域的方法
一、代数法求定义域。
对于一些简单的函数，可以通过代数方法来求其定义域。
例如
对于多项式函数，有理函数，指数函数和对数函数等，可以通过对
函数进行分析，找出函数中自变量的取值范围，从而求出定义域。
二、图像法求定义域。
对于一些复杂的函数，可以通过绘制函数的图像来求其定义域。
通过观察函数的图像，可以直观地看出函数的定义域是什么样的。
这种方法对于一些无法通过代数方法求解的函数来说是非常有效的。
三、条件法求定义域。
对于一些复杂的函数，可以通过条件法来求其定义域。
例如对
于含有根号的函数，需要满足根号中的值大于等于0，才能使得函
数有意义。
因此可以通过这种条件来求解函数的定义域。
四、综合法求定义域。
对于一些特殊的函数，可能需要综合运用代数法、图像法和条件法来求解其定义域。
通过综合运用多种方法，可以更准确地求解函数的定义域。
综上所述，求定义域的方法有代数法、图像法、条件法和综合法。
不同的函数可能需要采用不同的方法来求解其定义域，需要根据具体情况来选择合适的方法。
在实际应用中，求定义域是解决函数定义范围的重要问题之一，对于深入理解函数的性质和特点具有重要意义。
希望以上方法能够帮助到大家，更好地理解和掌握函数的定义域求解问题。
求函数定义域的方法
求函数定义域的方法
函数定义域是指函数可以接受的输入值的集合。
在数学中，函数定义域提供了唯一的映射方式来定义函数，即函数的每一个输入值都有且仅有一个输出值。
大多数函数定义域被表示为实数集，但也可以使用其他类型的集合，如两个实数的整数集和复数集。
如何求函数定义域？
1.先，应确定函数的表达式，以便求出函数的定义域。
2.后，针对表达式中的不同项，设定约束条件，以确定函数定义域范围。
3.下来，针对约束条件，求出函数定义域的边界值。
4.后，将函数定义域的边界值整合在一起，就可以求出函数定义域的范围。
例子一：求f（x）=2x-1的定义域
此函数的限制是所有实数域。
因此，f（x）=2x-1的定义域为(-∞,∞)，也就是所有实数。
例子二：求f（x）=√x的定义域
此函数的限制是x≥0。
因此，f（x）=√x的定义域为[0,+∞），也就是大于等于0的实数。
函数定义域的应用
函数定义域一般用于描述函数的性质，以决定其特定值的行为，并为求解函数方程提供帮助。
它也可以用来确定函数的局部极值，以及函数的极值点和拐点。
总结
函数定义域是指函数可以接受的输入值的集合，定义域范围不同，其可接受的输入值也不尽相同。
求函数定义域的步骤是：1、确定函
数的表达式；2、设定约束条件；3、求出函数的定义域的边界值；4、将函数定义域的边界值整合在一起。
函数定义域一般用于描述函数的性质，并且为求解函数方程提供帮助。
函数定义域的几种求法
函数定义域的几种求法函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。
求函数定义域的几种方法有：1、根据函数的表达式或方程求解法这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集，从而求出函数定义域。
例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域；由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。
2、根据函数的几何图形特征求解法这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。
例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这个函数的定义域为 x>0。
3、根据定义求解法例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。
4、根据解析学原理求解法对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但可以非常准确的求解函数定义域的方法。
例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ，并且通过解析学原理可以得到y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。
根据等式 y - 1 =0 我们可以得到|x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。
所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法定义域是指一个函数中所有可能输入的集合。
具体来说，定义域是指函数中的自变量可以取得的所有值。
在数学中，求定义域是解决一个函数的自变量的取值范围的问题。
下面是八种常见的方法来求定义域。
方法1：显式定义对于一些函数，定义域可以通过其显式定义来确定。
例如，对于函数f(x)=1/x，定义域可以通过注意到除数不能为零来确定，即x不能为0。
因此，定义域就是除去0之后的实数集合：R\{0}。
方法2：关系定义有些函数的定义域可以通过直接观察定义函数的关系来确定。
例如，对于函数f(x)=√(2x-1)，注意到根号内的表达式必须大于等于零，即2x-1≥0。
解这个不等式可以得到定义域为x≥1/2方法3：对数函数对于对数函数，定义域必须满足底数必须大于零且不等于1，并且实数必须大于零。
例如，对于函数f(x) = log₂(x + 3)，定义域为x + 3 > 0，即x > -3方法4：分式函数对于分式函数，定义域必须使分母不等于零。
例如，对于函数f(x)=1/(x-2)，定义域为x≠2方法5：根式函数对于根式函数，定义域必须使根号内的表达式大于等于零。
例如，对于函数f(x)=∛(x-4)，根号内的表达式必须大于等于零，即x-4≥0，解不等式可得x≥4、因此，定义域为x≥4方法6：三角函数对于三角函数，定义域是实数的所有值，因为三角函数在整个数轴上都有定义。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，定义域为所有实数：(-∞, ∞)。
方法7：反三角函数对于反三角函数，定义域必须使其定义范围内的表达式满足相应的条件。
例如，对于函数f(x) = arcsin(x)，由于反正弦函数的定义域是[-1, 1]，因此定义域必须满足-1 ≤ x ≤ 1方法8：参数化定义对于一些函数，可以通过将函数参数化来求取定义域。
例如，对于函数f(x)=√(x²-1)，我们可以通过取x²-1≥0来求取定义域。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法在数学领域中，关于定义域的求解方法有许多种。
下面将介绍其中的八种方法。
方法一：根据函数公式求取定义域。
对于一些简单的函数，可以通过函数的公式直接求取定义域。
例如对于一个分式函数，如f(x)=1/(x-2)，由于分母不能为0，所以定义域为{x，x≠2}。
方法二：分析函数的基本性质。
有些函数拥有特定的性质，根据这些性质可以求得函数的定义域。
例如对于多项式函数，常数函数和指数函数，它们都定义在实数域上，因此定义域为实数集。
方法三：考虑函数中的根。
对于包含根的函数，定义域不能使这些根使得函数的值出现未定义的情况。
例如对于开方函数f(x)=√(x-3)，由于根号下的值不能为负，所以定义域为{x，x≥3}。
方法四：考虑函数的分段定义。
对于分段定义的函数，需要分别考虑每个分段的定义域。
例如对于函数f(x)=，x，分段定义为{x当x>=0时；-x当x<0时}，因此定义域为实数集。
方法五：考虑函数的限制条件。
有时函数在定义域上有一些限制条件。
例如对于对数函数f(x) =ln(x)，由于对数函数只对正数有定义，所以定义域为{x ， x > 0}。
方法六：考虑函数的参数限制。
对于含有参数的函数，需要考虑参数的限制条件。
例如对于双曲正弦函数f(x) = sinh(x)，由于双曲正弦函数对所有实数都有定义，所以定义域为实数集。
方法七：考虑函数的复合性质。
对于复合函数，需要分析组成函数的定义域。
例如对于函数f(g(x))，需要保证g(x)的定义域是f(x)的定义域。
例如对于函数f(g(x)) = 1/x，如果g(x) = sin(x) + 2，由于sin(x)的定义域为实数集，所以g(x)的定义域与f(x)的定义域保持一致。
方法八：考虑函数的图像。
对于一些函数，通过画出函数的图像可以直观地确定定义域。
例如对于一个二次函数f(x)=x^2+1，通过函数的图像我们可以看到函数的定义域为实数集。
求定义域的方法总结
求定义域的方法总结
8种求定义域的方法
可根据不同函数的八种类型，分为以下八种方法来求函数的定义域:
①整式的定义域为R。
整式可以分为单项式还有多项式，单项式比如y＝4x，多项式比如y＝4x+1。
这时候无论是单项式还是多项式，定义域均为｛x｜x∈R｝，就是x可以等于所有实数。
②分式的定义域是分母不等于0。
例如y＝1/（x-1），这时候的定义域只需要求让分母不等于即可，即x-1≠0，定义域为｛x｜x≠1｝。
③偶数次方根定义域是被开方数≥0。
例如根号下x-3，这时候定义域就是让x-3≥0，求出来定义域为｛x｜x≥3｝。
④奇数次方根定义域是R。
例如三次根号下x-3，定义域就是｛x｜x∈R｝。
⑤指数函数定义域为R。
比如y＝3^x，定义域为｛x｜x∈R｝。
⑥对数函数定义域为真数＞0。
比如log以3为底（x-1）的对数，让x-1＞0，即定义域为｛x｜x＞1｝。
⑦幂函数定义域是底数≠0。
比如y＝（x-1）^2，让x-1≠0，即定义域为｛x｜x≠1｝。
⑧三角函数中正弦余弦定义域为R，正切函数定义域为x≠π/2+kπ。
这时候求定义域画个图就可以看出来了，只要记住三角函数图像，即可求出定义域。
这八种类型是常见函数类型，求定义域时首先要分辨清楚它们属于哪个类型的函数，然后根据基本的定义域来求复杂函数定义域。
函数的定义域常见求法
函数的定义域常见求法一、函数的定义域的定义函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈.3、指数函数xy a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且.4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且.5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2x x k k z ππ≠+∈.7、复合函数的定义域的求法（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.8、求函数()()y f x g x =+的定义域一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B ，则A B 就是所求函数的定义域.9、求实际问题中函数的定义域不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式.四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法.五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】方法一 直接法使用情景 函数的结构比较简单.解题步骤直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域.【例1】求函数2253y x x =+-的定义域.【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域. 【反馈检测1】求函数21x y x +=+. 方法二 求交法使用情景函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为()()()f x g x h x =+型.解题步骤一般先分别求函数()g x 和()h x 的定义域A 和B ,再求AB ,A B 就是函数()f x 的定义域.【例2】求函数225y x =-3log cos x 的定义域.【解析】由题得⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-∴⎩⎨⎧>≥-zk k x k x x x 2222550cos 0252ππππ∴}52322235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或所以函数的定义域为}52322235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或【点评】（1）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先求()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求AB ，则A B 就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式cos 0x >时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）求552222x k x k k zππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩的解集时，只需给参数k 赋几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要仔细认真. 学科#网【例3】求函数 02)23(3|3|)lg(-+-+-=x x x x y 的定义域.【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.【例4】求函数log (1)(01)xa y a a a =->≠且的定义域.【解析】由题得 0101=xxa a a ->∴>1a >当时，x>0;当0<a<1时，x<0.1{a ∴>当时，函数的定义域为x|x>0}, 1{a <当0<时，函数的定义域为x|x<0}.【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数a 的取值范围，一般要分类讨论.【反馈检测2】求函数2ln1)23xy a x x =---+（的定义域.方法三 抽象复合法 使用情景涉及到抽象复合函数.解题步骤利用抽象复合函数的性质解答：（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.【例5】求下列函数的定义域：（1）已知函数f （x)的定义域为[2,2]-，求函数2(1)y f x =-的定义域； （2）已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （x)的定义域； （3）已知函数f （x)的定义域为[1,2]-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域.【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.第2小题就是典型的例子.（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求AB ，则A B 就是所求函数的定义域.【反馈检测3】已知函数(tan 2)y f x =的定义域为[0,]8π，求函数()f x 的定义域.【反馈检测4】 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，求函数)(log 2x f 的定义域.方法四 实际法使用情景 数学问题是实际问题.解题步骤先求函数的自变量的取值范围，再考虑自变量的实际限制条件，最后把前面两者的范围求交集，即得函数的定义域.【例6】用长为L 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与关于x 的函数解析式，并求出它的定义域. 【解析】如图，【点评】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义，还要保证满足实际意义.（2）该题中在考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都有意义，即2x 02x 02x π⎧⎪⎨⎪⎩＞L －－＞，不能遗漏.【反馈检测5】 一个圆柱形容器的底部直径是dcm ,高是hcm .现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.参考答案【反馈检测1答案】{|12}x x x >-≤-或【反馈检测1详细解析】由题得(2)(1)012201011x x x x x x x x ++≥≥-≤-⎧⎧+≥∴∴⎨⎨+≠+≠-⎩⎩或所以12{|12}x x x x x >-≤-∴>-≤-或函数的定义域为或.【反馈检测2答案】当1a >时，函数的定义域为{|01}x x <<；当01a <<时，函数的定义域为{|30}x x -<<.【反馈检测3答案】[0,1]【反馈检测3详细解析】由题得0020tan 2184x x x ππ≤≤∴≤≤∴≤≤，所以函数的定义域为[0,1].【反馈检测4答案】{}42|≤≤x x【反馈检测4详细解析】依题意知：2log 212≤≤x 解之得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x【反馈检测5答案】函数解析式为24vtx dπ=,函数的定义域为{t |0≤t ≤2hd 4v π}，值域为{x |0≤x ≤h }. 【反馈检测5详细解析】向容器内注入溶液经历时间为t 秒后,容器中溶液的高度为xcm .故t 秒后溶液的体积为＝底面积×高＝π⎪⎭⎫⎝⎛2d 2x ＝vt 解之得：x ＝24vt d π又因为0≤x ≤h 即0≤24vt d π≤h ⇒ 0≤t ≤2hd 4v π，故函数的定义域为{t |0≤t ≤2hd 4vπ}，值域为{x |0≤x ≤h }.。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法定义域是数学中常用的一个概念，指函数能够接受的输入值的集合。
求函数的定义域，即要找出函数的全部合法输入。
以下是常见的求解函数定义域的8种方法：方法一：检查函数表达式中的分式，确定分母是否为零。
如果分母为零的取值在实数范围内，那么该取值不属于该函数的定义域。
例子1：对于函数f(x) = 1/(x-1)，x-1=0，得到x=1。
所以定义域是R- {1}。
方法二：检查函数表达式中的平方根、立方根等根式，确定根式内的值是否为负数。
如果根式内的值为负数，那么该取值不属于该函数的定义域。
例子2：对于函数g(x) = √(x+2)，根式内的x+2≥0，所以定义域是[-2，+∞)。
方法三：检查函数表达式中的对数。
对于以e为底的指数函数来说，取值只能是正数。
对于以其他底数a（a>0 且a≠1）的对数函数来说，取值只能是大于0且底数a不能等于1的数。
例子3：对于函数h(x) = log3(x)，x>0且x≠1。
所以定义域是(0, +∞)。
方法四：检查函数表达式中的三角函数。
注意到三角函数是周期性的，并且在某些点处不连续。
所以要考虑到函数在一个周期内的定义域，并将所有周期内的定义域取并集。
例子4：对于函数i(x) = sin(x)，它的定义域是R。
方法五：检查函数表达式中的指数。
有些指数函数定义在整个实数集合上，而有些定义域只在实数集合的部分区间上。
例子5：对于函数j(x) = e^x，定义域是R。
方法六：当函数表示为两个函数的复合时，可以分别求出两个函数的定义域，并找出它们的交集作为最后的定义域。
例子6：对于函数k(x) = arcsin(x^2)，x^2≤1，即-1≤x≤1。
所以定义域是[-1, 1]。
方法七：设函数为二次函数，可以通过求解一元二次不等式的解集来确定函数的定义域。
例子7：对于函数l(x) = 2x^2 + 3x - 1，由2x^2 + 3x - 1≥0得到x≥(-3+√17)/4 或x≤(-3-√17)/4。
函数定义域的一般求法
函数定义域的一般求法
函数定义域是指一种函数在允许运算结果中所有可能取值的集合，简称function domain。
归纳起来，定义域的求法有三种：以定义式求定义域、以图形求定义域、以表示式求定义域。
首先，以定义式求定义域的话，先要确定要求的函数的实在定义式上的取值范围，然后以此计算出它的定义域，这最容易理解。
比如，如果给定函数定义式为f(x)=x-2，这里我们可以看出f(x)只能取大
于-2的值，于是函数定义域就是大于-2的所有实数。
再者，以图形求定义域，即根据函数图像中定义域范围内所有可能取值，就可以得出函数定义域。
比如，如果函数图像中，定义域为x∈[2,7]，那么函数定义域就是[2,7]中所有实数。
最后，以表示式求定义域，即根据表达式中函数的取值条件，就可以求出函数定义域。
比如，如果给定表达式为f(x)=x2+2，可以
看出表达式中函数没有任何取值条件，所以函数定义域就是所有实数。
总之，函数定义域可以通过定义式、图像、表达式等来求得，其中定义式求法最容易理解，而表示式求法最常用。
从定义式或图像得出函数定义域，需要仔细分析函数图像，并认真观察它的定义式，只有把这些要素都理解透彻，才能更好地求出函数定义域。
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8种求定义域的方法
8种求定义域的方法求解函数的定义域是数学中一个常见的问题，定义域是指函数在实数范围内的所有可能取值。
下面介绍八种常见的方法来求解函数的定义域。
1.显式定义法：通过查看函数的表达式来确定定义域。
例如，对于函数f(某)=√(某+3)，由于根号下面是正数，所以可以推断出定义域为某≥-3。
2.有理函数定义法：对于有理函数，定义域由其分母确定。
分母中不能包含使分母为零的值，因为这会导致函数的定义出现问题。
例如，对于函数f(某)=1/(某-2)，分母不能为零，所以定义域为某≠2。
3. 指数函数与对数函数定义法：对于指数函数 f(某) = a^某和对数函数 f(某) = log_a 某，定义域取决于底数 a 的取值。
指数函数中，基数 a 必须大于 0 且不等于 1，所以定义域为(0, +∞)。
对数函数中，底数 a 必须大于 0 且不等于 1，所以定义域为(0, +∞)。
4. 三角函数定义法：对于三角函数 f(某) = sin(某), f(某) =cos(某), f(某) = tan(某)，定义域是所有实数。
5.意义域法：对于函数f(某)，通过确定其意义域和反向推导出定义域。
例如，若f(某)=√(1-某)，意义域为[0,+∞)，则可以推断出定义域为某≤1。
6.集合法：可以通过绘制函数对应的图像来确定定义域。
对于连续函数，定义域是所有图像上的点的集合。
对于离散函数，定义域是所有函数被定义的点的集合。
7.奇偶性法：对于偶函数f(某)=f(-某)，定义域可以取所有实数。
对于奇函数f(某)=-f(-某)，定义域可以取所有实数。
8.综合法：可以通过综合运用以上方法来求解复杂函数的定义域。
例如，对于函数f(某)=√(1/(某-1))，首先排除某=1的因数，然后通过意义域法可以确定某>1，综合得出定义域为某>1。
通过以上八种方法，可以求解函数的定义域。
根据函数的表达式、分母、底数、意义域、图像、奇偶性和综合分析等不同特点，选择合适的方法来确定函数的定义域。
函数定义域的求法
函数定义域的求法函数定义域是指函数能够接受哪些特定的输入值。
确定函数定义域的主要目的是确保函数在被定义的集合上有良好的意义。
对于某些函数，定义域可能是实数集、整数集或其他特定集合。
在本文中，我们将介绍不同类型函数定义域的求法。
一元函数的定义域求法：对于一元函数，即只有一个自变量x的函数，通常有几种常见的定义域求法方法。
下面将详细介绍其中的几种方法。
1. 显式定义域：某些函数可以通过直接观察其定义式来确定其定义域。
例如，对于函数f(x) = √x，由于不能计算负数的平方根，因此定义域需要满足x ≥ 0。
因此，该函数的定义域为非负实数集合{ x | x ≥0 }。
2. 对数函数的定义域求法：对于对数函数，由于对数函数的自变量必须是正实数才有定义，因此对数函数的定义域必然是自变量大于0的实数集。
例如，对数函数f(x) = log(x)，定义域为x > 0。
3. 分式函数的定义域求法：对于分式函数，要注意分母不可以为0，因此我们需要找出分母为0的条件，以确定定义域。
例如，考虑函数f(x) = 1 / (x - 2)，由于分母不能为0，因此需要求解方程x - 2 = 0，解得x = 2。
所以，该函数的定义域为{x | x ≠ 2}。
两个自变量的函数的定义域求法：对于具有两个自变量的函数，我们需要同时考虑两个自变量的定义域条件。
下面将介绍两种常见的两个自变量函数的定义域求法方法。
1. 二元函数的显式定义域求法：对于某些二元函数，可以通过观察定义式来确定其定义域。
例如，考虑函数f(x, y) = √(x^2 - y)，由于不能计算负数的平方根，因此要求x^2 - y ≥ 0。
因此，该函数的定义域为{(x, y) | x^2 ≥ y }。
2. 二元函数的隐式定义域求法：有些二元函数的定义域比较复杂，无法通过观察得到。
对于这种情况，可以利用方程求解的方法来求解定义域。
例如，考虑函数f(x, y) = 1 / (x - y)，分母不可以为0，所以需要求解方程x - y = 0。
函数定义域的求法
一、函数定义域（一）、求函数定义域的类型： ⑴已知解析式求函数的定义域；⑵已知原函数的定义域求复合函数的定义域； ⑶已知复合函数的定义域求原函数的定义域； ⑷已知复合函数f [φ﹙x ﹚]的定义域求另一复合函数f[h ﹙x ﹚]的定义域；⑸求实际问题或几何问题中的定义域； ⑹已知函数的定义域求参数的取值范围； ⑺求抽象函数的定义域； （二）、分解类型（1）：①若f(x)为整式，其定义域为实数集R ；②若f(x)为分式，其定义域为使分母不为0的实数集合；③若f(x)为偶次根式，其定义域为使被开方数是非负数的实数集合；④若f(x)为奇次根式，其定义域为实数集； ⑤若f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑥若f(x)是初等函数类型，其定义域是是初等函数有意义的实数集合；说明：初等函数有：一次函数；正比例函数；反比例函数；二次函数；指数函数；对数函数；幂函数；⑦f(x) ＝x 0的定义域是﹛x │x ∈R ，且x ≠0﹜ 例题求下列函数的定义域： 1、y ＝3－12x2、y ＝1x －23、y ＝ 3x ＋24、y ＝ x ＋1 ＋ 12－x5、y ＝﹙x ＋3﹚│x │－x6、y ＝ x 2－3 ＋ 5－x 27、y ＝ x －1x ＋1＋ 6－x －x 28、y ＝ x 2－3x ＋2│x │－x9、y ＝ x ＋2＋1x 2－x －610、y ＝x 0·x 2＋2x │x ＋1│－2＜归纳总结＞如何根据函数解析式求定义域： ①列出使解析式有意义的所有式子（往往是一个不等式组）；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合（或者区间）的形式作为函数的定义域； （二）、分解类型（2）：说明：已知f(x)的定义域为A ，求f [φ﹙x ﹚]的定义域，其实质是已知φ﹙x ﹚的取值范围为A ，求出x 的取值范围。
已知原函数的定义域求复合函数的定义域的步骤：①将φ﹙x ﹚放入f(x)的定义域之内，即φ﹙x ﹚∈A ； ②解不等式φ﹙x ﹚∈A ，求x 的范围；如：已知f(x)定义域为[1，2 ]，求f(2x －1)定义域，只需解不等式1≤2x －1≤2； ③结论 例题：1、已知f(x)的定义域为[0，1]，求f(2x ＋1)的定义域；2、已知y ＝f(x)的定义域为[0，2]，求下列函数的定义域：⑴f(x 2) ； ⑵f(│2x －1│) ；⑶f( x －2)3、已知函数f(x)的定义域是[0，2]， 求函数g(x) ＝f ﹙x 2﹚x －1的定义域。
函数定义域的求法
函数定义域的求法函数定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。
在数学中，函数定义域是一个非常重要的概念，它的定义能帮助我们更好地理解和解决函数的问题。
本文将讨论函数定义域的求法以及定义域的特殊情况。
一、定义域的求法1、定义域的求法主要有三种：(1)式定义域。
即函数的变量可取的值集合是函数定义中定义明确的，在这种情况下，定义域就是函数定义中列出的取值范围。
例如：函数 f(x)=2x+3定义域为全体实数。
(2)式定义域。
此时函数的变量可取的值集合不能从函数定义中直接获取，它是由函数的不等式约束所决定的，即需要将函数的不等式解出取值范围，这就是函数的定义域。
例如：函数 f(x)=2x-3>0定义域为x>3/2。
(3)合定义域。
当函数中既有显式定义域又有隐式定义域时，这种定义域叫做混合定义域。
例如：函数 f(x)=2x-3，其定义域为x>3/2 且 x∈R，即混合定义域。
2、定义域特殊情况特殊情况一：当函数定义域为全体实数时，即f(x):R→R，其定义域为R。
特殊情况二：当函数定义域为实数正部分时，即f(x):R+→R+，其定义域为R+。
特殊情况三：当函数定义域为实数负部分时，即f(x):R-→R-，其定义域为R-。
二、定义域的示例下面给出三个定义域的示例：例1：f(x)=x+1，其定义域为R；例2：f(x)=2x+2，其定义域为R；例3：f(x)=√(x-1)，其定义域为x≥1。
三、结论从上面的内容可以看出，定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。
定义域的求法主要有显式定义域、隐式定义域和混合定义域，它们对理解和解决函数的问题有重要意义。
函数定义域的几种求法
函数定义域
求函数的定义域的基本方法有以下几种：
一、已知函数的解析式,若未加特殊说明,则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围;一般有以下几种情况：
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数或式大于或等于零；
指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零;
正切函数
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域;
例1. 函数的定义域为 ;
例题2.函数的定义域是____
例题3. 14.湖南卷函数fx＝的定义域是
A．－∞,0 B．0,＋∞C．－∞,0 D．－∞,＋∞
二、抽象函数的定义域的求法;
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．
1、已知的定义域,求的定义域
例1已知函数的定义域为,求的定义域．
例2若函数的定义域为,则的定义域为 ;
2、已知的定义域,求的定义域
例3已知函数的定义域为,求函数的定义域．
例4 若的定义域为,求的定义域．。
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函数的定义域求法
高中数学
函数的定义域求法
四川省万源市第三中学校赵宾竹
函数—中学数学的灵魂，它在整个高中，对数学的学习与理解起着决定性的作用. 函数的定义域是构成的三大要素之一，看似简单，但在解决问题中稍不注意，就会使学生误入歧途. 在高中数学学习中，我们尤其要注重函数的学习. 笔者现将函数定义域的求法作简单说明.
函数的形式多样，有已知解析式的基本初等函数，还有复合函数、分段函数. 我们通过举例来浅析函数定义域的求法.
1常规型函数的定义域
例1求函数
f (x ) =l
g x 2-2x 的定义域．
2⎧⎧x >2或x 0解：要使函数有意义，只需要：⎧，即，故定义域是⎧2⎧⎧-30
(-3, 0) (2, 3) .
说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零；若有偶次根式则被开方数大于或等于零；若有对数式，则真数大于零，底数大于零且不等于1. 求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集.
2 抽象型函数的定义域
对于复合函数y =f (g (x ))、令t =g (x )、y =f (t )，分清内外函数与复合函数的关系是关键，只有这样才能很好地解决复合函数问题. 若内函数的值域是外函数的定义域，则内函数的定义域为复合函数的定义域，外函数的值域为复合函数的值域. 复合函数由内外函数共同决定.
例2 ：已知函数f (x )的定义域为[-2,4]，求f (x 2-3x )的定义域. 解：由题意可知-2≤x 2-3x ≤4，则-1≤x ≤1或2≤x ≤4,
故函数的定义域为[-1, 1] [2, 4].
说明：本题实质上是求复合函数的定义域，我们把y =f (x 2-3x )看成是由y =f
(u )、u =x 2-3x 两个函数复合而成的，因为-2≤u ≤4，则-2≤x 2-3x ≤4，进而求出x 的范围. 另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同
号，取倒数后不等式的方向改变，这里也是学生运算时常常容易发生错误的地方，应
加以重视.
例3 已知f (2x +1) 的定义域为［1，2］，求f (x ) 的定义域．
解∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴3≤2x +1≤5，
即函数f (x ) 的定义域是{x 3≤x ≤5}．
说明：已知f [g (x )]的定义域是[a , b ]，求f (x ) 定义域的方法是：由a ≤x ≤b 求g (x ) 的值域，即所求f (x ) 的定义域．
3 分段函数型的定义域
例4 若对于任何实数x ，不等式x -+2x -2>a 恒成立，求实数a 的取值范围.
解:令f (x )=x -+2x -2，去绝对值号把f (x )表示成分段函数后为
⎧5-3x , x
⎧3x -5, x >2⎧
y =f (x )的图像，如图所示，由此可知f (x )的
最小值为1，f (x )>a 对一切实数x 恒成立，则a
说明：本题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解，则比
较繁琐，而如果注意到不等式左边是一个关于x 的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就能很快解决问题了，这种解题思想应该引起我们的注意. 另外对于函数f (x )=x -+2x -2，只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图像，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间、值域等一切问题都迎刃而解了.
4 在实际问题中，我们把实际问题转化为函数模型
例5 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域．
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个
半圆组成的图形的面积，如图：因为CD =AB =2x ，
⌒ =πx ，所以AD =(L -AB -CD ⌒ ) ÷2=(L -2x -πx ) ÷2，故所以CD
πL -2x -πx πx 2
=-(2+) x 2+Lx . y =2x ⋅+222
2x >0⎧L ⎧L -2x -πx 00π+2⎧2⎧
L π) . 故函数的解析式为y =-(2+) x 2+Lx ，定义域(0, π+22
说明：这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识. 要确定定义域，就是要确定实际问题中自变量应满足的范围. 这类问题需要我们在解题时足够细心，一定不能遗忘定义域的优先法则，忘记这一点，后面就会出现一连串问题，所以务必要细心，谨记定义域优先是关键．
总之，函数的定义域是高考经常考的内容，既是重点也是难点，特别是在高中引入了
函数的新的概念，让学生用集合这一概念来重新理解定义域，是比较困难的. 因此在教学
过程中应该结合学生的特点来进行．。