2017数学竞赛命题研讨会材料汇总

2017年全国数学竞赛命题研讨会试题汇编

2017年6月

目录

代数

代数1 不等式…………………………………………………人大附中张端阳1 代数2 不等式…………………………………………………人大附中张端阳1 代数3 不等式……………………………复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利3 代数4 不等式……………………………复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利4 代数5 不等式……………………………复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利7 代数6 不等式…………………………………………华东师大二附中唐立华8 代数7 不等式……………………………………………湖南师大附中张湘君9 代数8 不等式……………………………………………湖南师大附中张湘君10 代数9 不等式……………………………………………湖南师大附中汤礼达11 代数10 不等式……………………………………………湖南师大附中汤礼达12 代数11 不等式………………………………………吉大附中石泽晖、王庶赫13 代数12 不等式…………………………………绵阳东辰学校袁万伦、姚先伟14 代数13 不等式……………………………………………绵阳东辰学校袁万伦15 代数14 三角不等式……………………………………………广州二中程汉波16 代数15 不等式……………………………………………大连二十四中邰海峰17 代数16 数列…………………………………………………东北育才学校张雷18 代数17 不等式………………………………………………东北育才学校张雷19 代数18 不等式………………………………………………大连二十四中李响23 代数19 多项式……………………………………学而思培优苏州分校李家夫24 代数20 不等式…………………………………………………华东师大张丽玉24 代数21 不等式……………………………………………………杭州二中赵斌25

几何

几何1……………………………………复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利28

几何2………………………………………………………湖南师大附中苏林29 几何3………………………………………………………湖南师大附中苏林30 几何4……………………………………………………………郑州一中张甲31 几何5………………………………………………………西安铁－中杨运新32 几何6………………………………………………………西安交大附中金磊33 几何7………………………………………………………西安交大附中金磊34 几何8………………………………………………………西安交大附中金磊35 几何9………………………………………………………西安交大附中金磊36 几何10………………………………………………………西安交大附中金磊36 几何11………………………………………………………西安交大附中金磊37 几何12……………………………………………………东北育才学校缠祥瑞38 几何13………………………………………………学而思培优北京分校陈楷39 几何14………………………………………………学而思培优北京分校陈楷40 几何15 ……………………………………………学而思培优北京分校杨溢非41 几何16 ……………………………………………………………北京四中侯彬42 几何17 ………………………………………………………西安交大附中金磊43

数论

数论1…………………………………………………………东北育才学校张雷45 数论2………………………………………………………………杭州二中赵斌45 数论3………………………………………复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利47 数论4………………………………………………………东北育才学校缠祥瑞48 数论5……………………………………………………………杭州二中胡克元50 数论6………………………………………………学而思培优杭州分校李卓伦52 数论7………………………………………………学而思培优杭州分校李卓伦54 数论8………………………………………………学而思培优武汉分校巩鸿文55 数论9………………………………………………学而思培优武汉分校巩鸿文55 数论10……………………………………………学而思培优深圳分校涂小林58 数论11……………………………………………学而思培优深圳分校涂小林60

组合1……………………………………………………………人大附中张端阳62 组合2…………………………………………………………西安交大附中金磊63 组合3…………………………………………………………西安交大附中金磊64 组合4…………………………………………………………西安交大附中金磊65 组合5………………………………………………学而思培优广州分校余泽伟66 组合6………………………………………………学而思培优广州分校余泽伟67 组合7………………………………………………学而思培优苏州分校李家夫68 组合8………………………………………………学而思培优北京分校杨溢非69 组合9……………………………………………………………北京四中范兴亚71

命题小品

一苇渡江……………………………………………江西科技师范大学陶平生73

代数1(人大附中张端阳)

代数2(人大附中张端阳)

代数3（复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利）

求最佳常数c ，使得对任意1234,,,0a a a a >，有

{}2123414max

4

i j a a a a c ≤<≤+++.

解：注意到对于任意的1234,,,0x x x x >，有如下恒等式：

2

2222

2212341234()2

()x x x x x x x x +++-=-++-. (1)

不妨设1234x x x x ≥≥≥，则{}221414

()max ()i j i j x x x x ≤<≤-=-

14x x ≥. 从而

2

214()x x ≤-. (2)

若14x x =，则 (2) 式显然成立. 当14x x ≠时，令14L x x =-，则3412

01,01x x x x L L

--≤

≤≤≤. 从而 2

2

3434231212()

1x x x x L x x x x x x L L L L L ------⎛⎫⎛⎫+≤+=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. 因此2222123414()()()x x x x L x x -+-≤=-. 结合 (1), (2)两式，得

2222

21234143()x x x x x x +++--.

(3)

令2,1,2,3,4i i a x i ==. 由 (3) 即得

{}2

123414

3

max

44i j a a a a ≤<≤+++.

下面证明若结论成立，则3

4

c ≥. 假设对12340a a a a ≥≥≥>，存在3

4

c <

使得结论成立. 则取12342

1

1,(1)a a a a n n ====

≥，则结论可重写为

2

21

3114n c n +

⎛⎫≤- ⎪

⎝⎭

. (4)

其中3,14

c n <≥.

注意到当n →∞时，左边34

→，右边c →，矛盾！