2013-2014(1)《微积分(I)》期末试卷A
高等数学微积分期末试卷及答案
选择题〔6×2〕1~6 DDBDBD一、填空题1 In x + 1 ;2 y = x3 一 2x 2 ; 3 y = log 2 x1一x,(0,1), R ; 4(0,0) lim (x 一 1)(x + m) = lim x + m = 1 + m = 25 解：原式= x )1 (x 一 1)(x + 3) x )1 x + 3 4：m = 7 ：b = 一7, a = 6二、判断题1 、 无穷多个无穷小的和是无穷小〔 〕2 、 假设 f(*)在x 处取得极值，则必有 f(*)在x 处连续不可导〔 〕0 03 、 设 函 数 f (*) 在 [0,1] 上 二 阶 可 导 且f '(x) 想 0令A = f '(0)， B = f '(1),C = f (1)一 f (0), 则必有A>B>C( )1~5 FFFFT三、计算题11 用洛必达法则求极限 lim x2 e x 2x )01 1e x 2 e x 2 (一2x 一3 ) 122 假设 f (x) = (x3 +10)4 , 求f ''(0)f '(x) = 4(x 3 +10)3 . 3x 2 = 12x 2 (x 3 +10)3解： f ''(x) = 24x . (x 3 +10)3 + 12x 2 . 3 . (x 3 +10)2 . 3x 2 = 24x . (x 3 +10)3 +108x 4 (x 3 +10)2：f ''(x) = 043 求极限lim(cos x)x 2x )04 求y = (3x 一 1)35x 一 1 的导数x 一 2 j tan 3 xdxx 解：原式= lim = lim = lim e x 2 = +w x )0 1 x )0 一2x 一3 x )0 5求j x arctanxdx6四、证明题。
大一微积分期末试卷及答案
大一微积分期末试卷及答案Final revision by standardization team on December 10, 2020.微积分期末试卷选择题（6×２）1~6 DDBDBD一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1x y R x=-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m limlim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT三、 计算题1用洛必达法则求极限2120lim x x x e → 解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解： 3 24lim(cos )x x x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰6arctan x xdx ⎰求四、 证明题。
1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。
证明：设3()1f x x x =+-2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（） 五、 应用题1、描绘下列函数的图形 3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222--- 50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示：2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。
郑州大学2013级微积分(上)试题(a卷)及其参考答案
dy dx
tan y
C1 .
④
④为可分离变量型，由④得到
tan
1 y
C1
dy
dx
即
ln siny C1 x ln C2
化简得
siny C1 C2e x
为①的通解.又注意到当 p 0 时，当 y 0 时，可得①的平凡解 y C .
10.求方程 y 2 y y xe x e x ① 的一个特解. 【解】与①对应的齐次方程的特征方程为 r 2 2r 1 0 ，解之得， r1 r2 1.
将②、③、④代入①有
e x 6ax 2b x 1e x ，即
6ax 2b x 1
⑤
第5页
郑州大学 2013—2014 学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案
比较⑤式知
6a 1, 2b 1,
，解之得
a
1 6
,
b
1 2
.
故
y*
x 2e x
1 6
x
1 2
.
二、求解下列各题（每题 10 分，共 20 分） 1．（1）设平面图形 A 由抛物线 y x2 ，直线及 x 轴所围成， 求平面图形 A 绕 x 轴旋转一周所形成的立体体积.
x
2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x
解： y
x2 1
x2 1 2
1； x2 1 3
微积分A第一学期期末试卷A及答案
《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级 学号 姓名 成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1） 求图形D 的面积；（2） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。
现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。
郑州大学2013级微积分(上)试题(A卷)及其参考答案
＝1
得分 评卷人
【解】
lim
x
2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x
0
f
sin
xdx .
【证明】
（1）
设
2 2
g u du
I .令 u t
则
I
2
g tdt
2
2
2
g
t
dt
2 2
g
u du
（因为
gu
为奇）
2
2
g u du
I
，
即得到
I I .因此必有
1 1 ex
dx
ex 1 ex
dx
1 1 ex
d
1
ex
ln 1 ex C ；
【解法二】
1 1 ex
dx
1
ex 1
ex
e
x
dx
dx
1
1 e
x
d
1
e
x
x ln 1 e x
C；
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分期末试卷及答案
一、填空题（每小题5分，共30分）1、 设(,)f u v 具有连续偏导数，(,)y x z f x y =，则z x ∂=∂ 1ln y x f fyx y y u v-∂∂+∂∂ 。
2、 二次积分23211d d y x x e y --⎰⎰的值是 41(1)2e -- 。
3、 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 240x y +-= 。
解 设(,,)23z F x y z z e xy =-+-，该点的法向量{}{}(1,2,0)(1,2,0),,2,2,122,1,0.x F F F n y x e x y z ⎧⎫∂∂∂==-=⎨⎬∂∂∂⎩⎭切平面方程为2(1)(2)0x y -+-=。
4、 若3(,)[cos ()](sin )x x du x y e y yf x dx x e y dy =++-，则()f x 23x ，(,)u x y = 3c o s xx y e y C++ 。
5、 设L 为闭域D 的正向边界闭曲线，则22()(sin )x Le y dx x y dy -++⎰可以通过A表示为 2A 。
（A 为D 的面积） 解：由格林公式22()(sin )x Le y dx x y dy -++⎰()d d 2d d 2DDQ Px y x y A x y ∂∂=-==∂∂⎰⎰⎰⎰。
6、 级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑收敛性为 条件收敛 。
解： 111ln(1)n n n u n ∞∞===+∑∑， 因为1ln(1)lim11n n n→∞+=，由比较判别法的极限形式知 111ln(1)nn n u n ∞∞===+∑∑发散！ 厦门大学《高等数学B 》课程试卷主考教师：高数B 组 试卷类型：（A 卷）考试时间：2013.06.14 8:00—10:00但作为交错级数的原级数满足莱布尼兹判别条件：（1）111ln(1)ln(1),1n n u u n n ++>+>+即；（2）1lim ln(1)0n n→∞+=，故，111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑是条件收敛。
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷选择题(6×２）cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（ ）。
Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（ ）Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ）Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ）Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线1～6 DDBDBD一、填空题1d 12lim 2,,x d xax ba b →++=ｘｘ２２１１、（ ）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。
这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3１ In 1x + ; 2 322y x x =-; ３ 2log ,(0,1),1xy R x=-； 4（0,0) 5解:原式=11(1)()1mlimlim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ )2、 0sin limx xx→-∞+∞在区间（，）是连续函数（）3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（）4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有ｆ(x ）在0x 处连续不可导（ )5、 设函数f(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~５ FFF ＦT三、计算题1用洛必达法则求极限212lim x x x e →解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x--→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解:33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= ３24lim(cos )xx x →求极限4I cos 224I cos lim 022000002lim 1(sin )4costan cos lim cos lim lim lim lim 22224n xx x n x xx x x x x x e e x In x x x x In x x x x xxe →→→→→→→-=---=====-∴=解：原式=原式４ (3y x =-求 511I 31123221531111'3312122511'(3312(1)2(2)n y In x In x In x y y x x x y x x x x =-+---=⋅+⋅-⋅---⎤=-+-⎢⎥---⎦解：53tan xdx ⎰2222tan tan sec 1)tan sec tan tan sin tan tan cos 1tan tan cos cos 1tan cos 2x xdx x xdx x xdx xdx xxd x dxx xd x d xxx In x c=----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：原式=（ = = = =６arctan x xdx ⎰求22222222211arctan ()(arctan arctan )22111(arctan )2111arctan (1)211arctan 22xd x x x x d x x x x dx x x x dx x x xx c=-+--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦+-+⎰⎰⎰⎰解：原式= = = =四、证明题。
微积分下学期末试卷及答案
微积分下期末试题（一）一、填空题(每小题3分,共15分)f(x y,y) x21、 已知xy2 f(x,y) ,则___x2(1 y) 1 y __________.2、 已知,2e dxx则0x1 2exdx___________.3、函数 f(x,y) x2 xy y2 y 1在点取得极值.4、已知 f(x,y)x(xarctany) arctany,则fx(1,0)__1______.5、以 y(C 1C x)e3x ( C ,C21为任意常数)为通解的微分方程是2____________________.y" 6y' y 0二、选择题(每小题3分,共15分6知0e(1 p)xdxe dx 1 ln x与 x p 1 均收敛,则常数p 的取值范围是(C ).(A) p 1(B) p 1(C) 1 p 2(D) p 2f (x, y) 7数4x , x2 y2 0 x2 y20,x2y20 在原点间断,是因为该函数( B ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值I 18、若3 1 x2x2 y2 1y2 dxdy I 2 ,3 1 x21 x2 y2 2y2 dxdy I 3 ,1 x232 x2 y2 4y2 dxdy ,则下列关系式成立的是(A).(A)I 1I 2I 3(B)I2I1I3(C)I 1I 2I 3(D)I2I1I39、方程 y6y9y5(x3x1)e具有特解(D ).(A) y ax b(B) y (ax b)e3x(C) y (ax2 bx)e3x(D) y (ax3 bx2)e3xa2( 1)n a10、设 n 1 n 收敛，则 n 1n(D ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散(D) 不定311、求由 y x2 , x 4 , y 0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体的体积.解 ： y x32 的 函 数 为 x y32,y 0 。
《微积分》期末考试试卷(含ABC三套)
四、计算题 1、求极限 lim
x 。 （6 分） x 0 2 4 x
B、 lim f (0 x) f (0)
x 0
f (x) f (0) x
）
D、 lim
x 0
f ( x x) f ( x) x
4、 (ln x)dx =（ A、 ln x
2
B、 ln x C ）
C、
2
1 x
1 D、 C x
5、定积分为零的是（ A、 ( x 3 x 5 )dx
四、计算题 1、求极限 lim
1 cos x 。 （6 分） x 0 x2
2、 y ln( x x 2 a 2 ), 求y 。 （8 分）
3、 y cos x , 求dy 。 （8 分）
4、求 arctan xdx 。 （10 分）
2 sin 3 xdx 。 5、求 （10 分） 2
sin x A、 lim 1 x x
2
sin
B、 lim
x 0
1 x
1 x 1
C、 lim
x
2
tan x 1 x
D、 lim x sin
x
1 1 x
）
3、若函数 y f ( x) 在点 x=0 处可导，则 f (0) =（ A、 f (0) C、 lim
x 0
2 2
B、 ( x 3 x 5 1)dx
2 2
C、 x sin xdx
2
D、 x 2 cos xdx
2
二、填空题（每空 3 分，共 18 分） 1、若函数 y f ( x) 在点 x。连续，则 lim f ( x) f ( x0 ) =
微积分试卷及答案4套
微积分试卷及答案4套微积分试题(A卷)一.填空题(每空2分,共20分)1.已知$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=A$，则对于$\forall\epsilon>0$，总存在$\delta>0$，使得当$x\to1^+$时，恒有$|f(x)-A|<\epsilon$。
2.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n^2+bn+5}{n^2+3n-2}=2$，则$a=1$，$b=3$。
3.若当$x\to x_0$时，$\alpha$与$\beta$是等价无穷小量，则$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\alpha-\beta}{\beta}=0$。
4.若$f(x)$在点$x=a$处连续，则$\lim\limits_{x\toa}f(x)=f(a)$。
5.函数$f(x)=\ln(\arcsin x)$的连续区间是$(0,1]$。
6.设函数$y=f(x)$在$x$点可导，则$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+3h)-f(x)}{h}=3f'(x)$。
7.曲线$y=x^2+2x-5$上点$M$处的切线斜率为6，则点$M$的坐标为$(-1,2)$。
8.$\dfrac{d(xf'(x))}{dx}=xf''(x)+2f'(x)$。
9.设总收益函数和总成本函数分别为$R=24Q-2Q^2$，$C=Q+5$，则当利润最大时产量$Q=6$。
二.单项选择题(每小题2分,共18分)1.若数列$\{x_n\}$在$a$的$\epsilon$邻域$(a-\epsilon,a+\epsilon)$内有无穷多个点，则（B）数列$\{x_n\}$极限存在，且一定等于$a$。
2.设$f(x)=\arctan\dfrac{2}{x-1}$，则$x=1$为函数$f(x)$的（A）可去间断点。
《微积分I》期末模拟考题(参考答案,小字)
模拟卷一:一、选择题（每小题4分，共20分）1、设()(1)(2)(3)f x x x x x =+++，则()f x '与()f x ''的零点个数分别为（ B ）A 、4个；3个B 、3个；2个；C 、2个；1个；D 、1个；0个 2、设1()1xf x dx C x+=+-⎰，则()f x =（ B ） A 、22(1)x -- B 、22(1)x - C 、22(1)x x -- Ｄ、22(1)xx - 3、下列等式错误的是（ D ） A 、()()()f x dx f x '=⎰ B 、()()f x dx f x C '=+⎰C 、()(2)(2)f x dx f x '=⎰ D 、(2)(2)f x dx f x C '=+⎰4、曲线 ln xy x=（ D ） Ａ、没有渐近线 Ｂ、只有一条水平渐近线Ｃ、只有一条垂直渐近线 Ｄ、即有水平渐近线又有垂直渐近线5*、设()f x dx C =⎰，则2()xf x dx =⎰（ A ）A 、1sin 2x C + B 、12C C 、21sin 2C D 、21sin 2x C +二、填空题（每小题4分，共20分）1、函数()arctan f x x =在[]0,1上满足拉格朗日中值定理的点ξ=2211(1)(0)(),()arctan1,11104f f f x f x πξξξ-''======++-解：2、设()f x 的一个原函数为xe -，则()f x dx =⎰xe -+C ，()f x dx '=⎰-xe -+C . 3、2211d()d()1d ln ||.()()x a x a x x a C x a x a x a x a x a ⎛⎫+++=+=--+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰.5、99(23)x dx +=⎰1001(23)200x C ++. 三、求极限（每小题５分，共１５分）1、20sin 1lim sin x x e x x →--=2000sin 1cos sin 1lim lim lim .222x x x x x x e x e x e x x x →→→---+===2、0000cos ln sin sin sin lim lim lim lim 1.cos ln sin sin sin x x x x a ax a aax ax ax ax b ax bb bx bx bx bx+→→→→==== (a 、b >0)３、求 10lim 2xxxx a b →⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中0,0,a b a b >>≠。
微积分期末练习题
2013-2014学年第一学期《微积分》期末练习题一、单项选择题.1. 1()arcsin2x f x -=的定义域是（ ） A ．[]1,3- B ．()1,3 C ．[]0,3 D ．[]0,2 2. 1()lg |5|f x x =-的定义域是（ ）A ．(,5)(5,)-∞+∞B ．(,6)(6,)-∞+∞C ．(,4)(4,)-∞+∞D ．(,4)(4,5)(5,6)(6,)-∞+∞ 3. 1()arcsin2x f x -=的定义域是（ ） A ．[]1,3 B ．()1,3 C ．[]0,3 D ．[]0,24. 211y x=+-的定义域是（ ） A ．()()()2,11,11,---+∞ B ．[)()()2,11,11,---+∞ C ．()()2,11,---+∞ D ．[)()2,11,-+∞ 5. 设()f x 的定义域是[0,1]，则(ln )f x 的定义域为（ ） A ．[]0,ln1 B ．[]0,e C ．[]1,eD ．()1,e6. 1()arctanf x x=的连续区间为（ ） A ．(,3)-∞ B ．(,3]-∞ C ．(,0)(0,3]-∞ D ．(,0)(0,3)-∞ 7. lg 3y -=）A ．()(),11,3-∞-B ．()(],11,3-∞-C ．(),3-∞D ．()()(),11,11,3-∞-- 8. ()lg 38y x =-的定义域是（ ）A ．()(),23,-∞+∞B ．()()8,2,33,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．()3,+∞D ．()8,2,+3⎛⎫-∞∞ ⎪⎝⎭9. 设()sin 2f x x =，则()f x 的周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2πD ．4π10. 设()sin f x x =，则()f x 的周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2πD ．4π11. 设()sin+cos 23x xf x =，则()f x 的周期是（ ） A ．6π B ．4π C ．12π D ．9π 12. 下列各对函数中，相同的一对函数是（ ）A ．3x y x=与2y x = B ．2ln y x =与2ln y x =C ．y =与y x = D ．2y x =与2u v =13. 下列各对函数中，相同的一对函数是（ ）A ．3x y x=与2y x = B ．2ln y x =与2ln y x =C ．y =与y x = D ．y =与y x =14. 函数()(ln f x x =是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数，也非偶函数15. 函数()2x xe ef x --=是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数，也非偶函数 16. 函数arctan y x =在(),-∞+∞内是（ ）A ．有界函数B ．无界函数C ．偶函数D ．周期函数17．设函数2,012,12⎧≤<=⎨-<≤⎩x x y x x ，则1x =是它的( ).A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点18．设函数2,013,12x x y x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1x =是它的( ).A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点 19. 函数()1ln1x f x x -=+是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数，也非偶函数20. 数列n x 与n y 的极限分别是A 与B ，且≠A B ，那么数列112233,,,,,,x y x y x y 的极限是（ ） A ．A B ．B C ．+A B D ．不存在 21. 下列数列发散的是（ ）A ．1,0,1,0,1,0,B ．111,0,,0,,0,248C ．325476,,,,,,234567D ．11111111,,,,,,,,325374922. 设()f x 的定义域为),(+∞-∞，则()()f x f x --的图形是关于（ ）对称 A ．y x = B ．x 轴 C ．y 轴 D ． 坐标原点23. “函数)(x f 在0x x =处有定义”是当0x x →时)(x f 有极限的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件24. “函数)(x f 在0x x =处有定义”是“函数)(x f 在0x x =处连续”的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件25. “()f x 在点0x x =处可微”是“()f x 在点0x x =处连续”的（ ） A ．充分且必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分非必要条件 D ．既非充分也非必要条件26. “()f x 在点0x x =处可微”是“()f x 在点0x x =处可导”的（ ） A ．充分且必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分非必要条件 D ．既非充分也非必要条件27. “0()0f x ''=”是“()f x 的图形在点0x x =处有拐点”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．非必要充分条件 D ．既非充分也非必要条件 28. 当0x →时，下列变量中与2sin x 为等价无穷小量的是（ ）AB ．xC ．3xD ．2x29. 当0x →时，下列变量中与2x 不是等价无穷小量的是（ ）A ．2sin xB 1C ．()2ln 1x +D ．2sin x30. 函数()|1|f x x =-（ ） A ．在点1=x 处连续可导B ．在点1=x 处不连续C ．在点0=x 处连续可导D ． 在点0=x 处不连续 31. 设4103y x e =，则(10)y =（ ）A ．0B ．1C ．10eD ．e 32. 设sin y x =，则(2013)y =（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x - 33. 设32321=+++y x x x ，则(4)y =（ ）. A ．6 B ．1 C ．0 D ．1234. 函数 ()ln sin f x x =在区间5[,]66ππ上满足罗尔定理的ξ是( ).A ．34πB ． 23πC ．2πD ．3π35. 设()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且()0f x '>，则( ). A ．(1)(0)f f > B ．(1)(0)f f < C ．(1)0f > D ．(0)0f <36. 设函数()y f x =在点0x x =处可微，()()00y f x x f x ∆=+∆-，则当0x ∆→ 时，必有（ ）A ．dy 是比x ∆高阶的无穷小量B ．dy 是比x ∆低阶的无穷小量C ．y dy ∆-是比x ∆高阶的无穷小量D ． y dy ∆-是与x ∆同阶的无穷小量 37. 函数2()23=--f x x x 在区间[1,3]-上满足罗尔定理的ξ是( ). A ．1- B ．1 C ．0 D ．2 38. 设()f x '存在，则()df x =⎰（ ）A ．()f xB ．()f xC + C ．C x f +')(D ．)(x f ' 39. 设()f x 的导数为sin x ，则下列选项中是()f x 的原函数的是（ ） A ．1sin x + B ．1sin x - C ．1cos x + D ． 1cos x - 40. 下列等式中正确的是（ ）A ．()()d f x dx f x =⎰B ．()()df x dx f x C dx =+⎰ C ．()()d f x dx f x dx =⎰ D ． ()()df x dx f x dx dx=⎰ 41. 设()f x '存在，则()df x '⎡⎤⎣⎦⎰（ ）A ．()f xB ．()f x 'C ．()f x C +D ． ()f x C '+42.arcsind =⎰（ ）A ．B ．C +C ．D ．C43. d =⎰（ ）A ．B ．C +C ．D ．C44. 不定积分21()1dx x'=+⎰（ ） A ．tan arc x B ．tan +arc x C C ．211+x D ．211++C x二、填空题.1. 01lim sinx x x →= . 2. 1lim sin x x x →∞= .3. 0sin 2lim 3x x x→= . 4. 0sin 2lim tan 5→=x xx .5. 01lim x x e x →-= .6. 201cos lim x x x →-= .7. 0x →= . 8. sin lim x x xx→∞+= .9. arctan limx x xx→∞+= .10. 设xxx f +=1)(，则[()]f f x = .11. arcsin cos x arc x += . 12. arctan cot x arc x += . 13. [(cos )]f x '= . 14. [(ln )]f x '= .15. 设232lim83x x x cx →++=-，则c = . 16. 设232lim83x x x cx →-+=-，则c = . 17. arctan limx xx→∞= .18. 当x → 时，函数2)1(1-=x y 是无穷大量. 19. lim arctan x x →+∞= . 20. ()()n x e = .21. ()()sin n x = . 22. ()()cos n x = .23. 设()cos x f x e x =，则()df x = .24. 设函数()2,1,0, 1.x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则()1lim x f x →= 2 .25. 函数22ln y x x =-的单调增区间是 .26. 设函数211xy -=，则间断点是 27. 设函数()f x 在0x 处可导且在0x 处取得极值，则0()f x '= .28. 函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x x ∆→-∆-+∆=∆ .29. 已知(0)1f '=，则0(2)()lim →--=h f h f h h._________________30. 函数()f x 在0x 处可导，则000()()lim x f x f x x x∆→--∆=∆ .31. 曲线arctan y x =的水平渐近线是 . 32. ln xdx =⎰._________________ 33. 21xdx x =+⎰. 34. 221x dx x =+⎰ 35 . 211dx x =+⎰ . 36. dxx =⎰._________________ 37. 2x e dx =⎰ . 38. 21()1dx x'=+⎰ .三、计算题（一）. （写清解题步骤） 1．求极限30tan sin limsin x x xx→-. 2.求极限x →.3. 求极限()120lg 100lim arcsin x x x a x→⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦. 4. 求极限()0ln 12limsin 3x x x→+.5．求极限22lim 1xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.6．求极限1lim 1xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭. 7. 求极限111lim(1)242→∞++++ n n8. 求极限22212lim()111n nn n n →∞++++++ .9. 求极限()10lim 1sin xx x →+.10．利用等价无穷小代换求极限)21arcsin lim tan →x xx .11．利用等价无穷小代换求极限lim x +→.12. 求极限240sin sin cos lim x x x x xx →-.13. 求极限sin lim arcsin x x x e x -→-301.14. 求极限lim xx x +→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1321.15．求极限lim x xx e e x-→-0.16．求极限ln limx xx →-11. 17．求极限lim x x x x x x →-+--+32321321.18．求极限sin lim x x x +→0.19. 求极限sin sin limx a x ax a→--.20. 求函数()2ln 1y x =+在区间[]1,2-上的最大值与最小值. 21. 求曲线2ttx ey e-⎧=⎪⎨=⎪⎩在0t =处的切线方程及法线方程. 22．求21,110,1x x y xx ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩的间断点，并判断其间断点的类型. 23．若limx x ax bx →++=-2151，求a ，b 的值. 24．若lim x x ax bx x →++=--22222，求a ，b 的值. 25．求函数3237y x x =-+的极值.26．利用二阶导数，求函数32395y x x x =---的极值. 27．求函数4225y x x =-+在区间[]2,2-上的最大值与最小值. 28．设3333x x y x x =+++，求x y '.29. 设函数1arcsin y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求x y '.30．设()()22sin cos y f x f x =+，求x y '.31．求函数y =.32．已知cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，求dydx .33．已知2323x t t y t t ⎧=-⎨=-⎩，求dx dy34．已知()2arctan ln 1x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩，求dydx . 35．设函数()f x 有连续的导函数，()00f =且()0f b '=，若函数()()sin ,0,0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处连续，求常数A . 36．求隐函数x y xye +=的微分dy . 37．求不定积分⎰.38. 求不定积分()22arctan 1x dx x+⎰.39. 求不定积分xxe dx -⎰. 40. 求不定积分⎰.41．求不定积分2xxe dx ⎰.42．求不定积分tan xdx ⎰. 43．求不定积分.44．求不定积分cos x xdx ⎰. 45. 求不定积分2cos2x dx ⎰. 46．求不定积分2xx e dx ⎰. 47．求不定积分25sin cos x xdx ⎰.48.求不定积分.49. 求不定积分(1sin 5)x dx +⎰.50. 求不定积分2xx e dx -⎰.四、计算题（二） （写清解题步骤）1．求椭圆4cos 3sin x t y t=⎧⎨=⎩在相应于4t π=点处的切线方程.2．方程()sin sin yx y x =确定y 是x 的函数，求x y '. 3．方程()2sin 0xy y π-=确定y 是x 的函数，求0x y =''.4. 设()21,1,1⎧-≤=⎨+>⎩x x f x ax b x 在点1x =处可导，求,a b 的值.5. 设(0,0,1)x a ba b x a y a b b x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用取对数求导法求x y '.6.求ln1.01的近似值.7. 求函数y =.8. 已知2323x t t y t t⎧=-⎨=-⎩，求22,dy d ydx dx . 9. 已知()2arctan ln 1x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩，求dydx . 10. 设函数()()20,0x f x x g x x >=≤⎩，其中()g x 是有界函数，求()0f '.11.利用取对数求导法求函数y =的导数. 12．设()()ln 11001x x f x x +-<≤⎧⎪=<<，讨论()f x 在点0x =处的连续性与可导性.13．设()21021012122x x x f x x x xx≤⎧⎪+<≤⎪=⎨+<≤⎪⎪<⎩，讨论()f x 在点0x =，1x =，2x =处的连续性与可导性.14. 求函数()2332f x x x =-的单调增减区间和极值.15. 求曲线4321=-+y x x 的凹凸区间与拐点.16. 方程1-=y y xe 确定y 是x 的函数，求0='x y 及0=''x y . 17..18．方程()2sin 0xy y π-=确定y 是x 的函数，求01x y y ==-'及01x y y ==-''.1920．求arctan1.02的近似值 21．求不定积分22156--+⎰x dx x x . 22. 设函数()f x 有连续的导函数，()00f =且()0f b '=，若函数()()sin ,0,0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处连续，求常数A . 23．设()P x 是多项式，且32()lim 2,→∞-=x P x x x 0()lim 1→=x P x x，求()P x24. 求极限()21lim 1tan 2x x x π→⎛⎫-⎪⎝⎭25. 设()1sin ,00,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩x x f x x x ，()21sin,00,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩x x g x xx ，试判定()(),f x g x 在点0x =处的连续性与可导性.五、证明题1．（利用拉格朗日中值定理证明）证明不等式()212112arctan arctan x x x x x x -≤-<.2．（利用拉格朗日中值定理证明）证明不等式 ()()1ln 1ln 01x x x x+->>+.3．证明：当0x >时，1x e x >+.4．证明函数()2ln 1y x x =-+单调增加.5．证明函数sin y x x =-单调减少.6．（利用拉格朗日中值定理证明）证明不等式 2121sin sin x x x x -≤-7．若1202x x <<<，证明：122212x x e e x x >.8．证明：531x x -=在0和2之间至少存在一个实根. 9．证明：arctan cot 2x arc x π+=.六、应用题（写清解答步骤）1．欲做一个底为正方形，容积为3108m 的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？2. 已知某商品的成本函数为()21004Q C C Q ==+，求：（1）当产量10Q =时的总成本、平均成本及边际成本. (2) 当产量Q 为多少时，平均成本最小？ 3. 已知某产品的需求函数为105QP =-，成本函数为502C Q =+，求产量Q 为多少时总利润()L Q 最大？并验证是否符合最大利润原则.4. 某工厂生产某种产品，固定成本20000元，每生产一单位产品，成本增加100元。
2013期末微积分考试详解
T
′ x +T ⎛ ⎜ ∫ x f (t ) dt ⎞ ⎟ = f ( x + T ) − f ( x) ， ⎝ ⎠
故 f ( x + T ) = f ( x),
′ T ⎛ ⎜ ∫0 f (t )dt ⎞ ⎟ =0 ⎝ ⎠
即 f ( x) 是周期为 T 的函数。
（充分性）方法 1： 设 f ( x) 是周期为 T 的函数，则 所以， ∀x ∈ (−∞, + ∞ ),
）
B．是与 ∆x 同阶的无穷小量； D．不是无穷小量；
∆y = f ′( x0 ) ≠ 0 知，应选 B。 ∆x → 0 ∆x
x
（ 8．微分方程 y′′ + y′ = e + x 的特解 y * 的待定形式应写为（ a 、 b 、 c 为待定常数） A． y* = ae + bx + c
x
） 。
B． y* = ae + bx + cx
○17A.[8 分]设 f ( x) 在区间 ( − ∞, + ∞ ) 连续， T > 0 ，证明：对于任何 x 均有
∫
x +T x
f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt 的充分必要条件是 f ( x ) 是周期为 T 的函数。
0
T
证
（必要性）设对任何 x 均有
∫
x +T x
f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt ，则对 x 的导数也相等。而
x3 − x3 + x2 x +1
或者 = lim
x → +∞
= lim
x → +∞
1 =− ， 2 x + 1( x 3 + x 3 + x 2 )
微积分期末测试题及答案
微积分期末测试题及答案 Prepared on 22 November 2020一 单项选择题(每小题3分,共15分)1.设lim ()x af x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)limh f a h f a h h→+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ).①(-1,1) ②,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分)sin lim sin x x x x x→∞-=+. 31lim(1)x x x+→∞+=.3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________.三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1x x x →-- 2.t t x e y te ⎧=⎨=⎩,求22d y dx3.ln(y x =,求dy 和22d y dx .4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.6.lim(32x x →∞=,求常数a ,b . 四 证明题(每小题10分,共30分)1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()lim lim 0x x f x f x x x→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2()lim 0x f x x→+∞=. 3.证明函数1sin y x=在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续. 答案一 单项选择题(每小题3分,共15分)1.④2.①3.④4.③5.②二 填空题(每小题5分,共15分)sin lim sin x x x x x→∞-=+ . 2.31lim(1)x x x+→∞+= __e_.3.()f x =那么左导数(0)f -'=__-1__,右导数(0)f +'=__1__.三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)2.t t x e y te⎧=⎨=⎩,求22d y dx3.ln(y x =,求dy 和22d y dx .4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx. 5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.6.lim(32x x →∞=,求常数a ,b . 四 证明题(每小题10分,共30分)1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()lim lim 0x x f x f x x x→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2()lim 0x f x x →+∞=. 3.证明函数1sin y x=在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.。
2013-2014微积分Ⅰ期末试题(B卷)含答案
广东财经大学试题纸2013-2014学年第_1__学期考试时间共120分钟课程名称微积分I（B 卷）课程代码100013课程班号13级经管、理工类_共_2_页-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题（每题3分，共30分）1、函数xx y 1arctan3+-=的定义域是____________.2、设xx f -=11)(则=))((x f f ________________.3、已知432lim23=-+-→x kx x x ，则k =________________.4、=-→20cos 1limxxx ____________.5、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,)1()(1x a x x x f x 为),(+∞-∞上的连续函数，则a =____________.6、已知)(0x f '存在，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000.7、若)(xe f y =,f 可导，则=''y .8、曲线2224+-=x x y 的单调递减区间是__________________.9、若xxsin 是)(x f 的一个原函数，则⎰='dx x f x )(_____________.10、=⎰xdx 2tan _____________.二、单选题（每题3分，共15分）1、=++→xx x x x 21sin)3(lim 32（）A ．∞; B.1;C.2; D.0.2、设12)11(-=-x x x f ,则)(x f '=（）A ．x +11 B.x-11 C.2)1(1x --D.2)1(1x -3、24)(2--=x x x f 的间断点是（）A.2=x 与2-=x B.2=x C.2-=x D.无间断点4、当0→x 时，3tan x 是)21ln(3x +的（）。
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北京联合大学 第 1 页 共 6 页 《微积分》（Ⅰ）课程期末考试 （2013—2014学年 第一学期） 本科 专科□ 课程考试代码 1105 A 卷 B 卷□ C 卷□ （考试时间90分钟） 一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1．0lim x x x →=（ ）。
（A ）1- （B ）1 （C ）不存在 （D ）0 2．直线l 与x 轴平行且与曲线e x y x =-相切，则切点坐标为（ ）。
（A ）(0,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,1) （D ）(1,1)- 3．设1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值，则 ( ) 。
（A ）1π,23a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为极大值 （B ）1π,23a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为极小值 （C ）π2,3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为极小值 （D ）π2,3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为极大值 4．设()f x '存在，则d ()f x '⎡⎤=⎣⎦⎰（ ）。
（A ）()f x ' （B ）()f x （C ）()f x C + （D ）()f x C '+ 5．“0()0f x ''=” 是()f x 的图形在0x x =处有拐点的（ ）。
（A ）必要非充分条件 （B ）既非必要条件也非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）充分非必要条件 6．一曲线通过原点，且该曲线在任一点处切线的斜率等于该点横坐标的4倍，则该曲线方程为（ ）。
（A ）22y x x =-
（B ）2y x = （C ）22y x =
（D ）ln(1)y x =+ （密封线内勿答题） 姓名 学号 学院（系） 年级 班（密封线内勿答题）
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二、计算下列极限（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
7． 0111lim sin x x x x →⎛⎫- ⎪⎝
⎭。
8． 2
221lim 1x x x x →∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭。
三、求下列函数的导数或微分（本大题共4个小题，每小题7分，共28分）
9．设函数2
cos(1)+ln3y x =+，求x y d d ，22d d x y 。
北京联合大学 第 3 页 共 6 页 10．设(tan )y f x =+)(e x f ，其中f 可导，求x y d d ，d y 。
11．已知cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩（t 为参数，,a b 为常数），求π4d d t y x =。
12．求由方程2e 1x y xy -=所确定的隐函数的导数d d y x 。
（密封线内勿答题）
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四、计算下列不定积分（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 13．2111sin d x x x x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭⎰
14．31
d 11x x ++⎰
15. 2e d x x x ⎰
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五、解答下列各题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 16．列表求曲线32631y x x x =-++的凹凸区间与拐点。
17. 出版销售一种新科技书x 本，其成本费共为250005C x =+元，由经验公式。
出售x 本时，每本售价为3016000x P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭元，问应销售多少本时，盈利最大？这时书的的售价每本为多少元？
（密封线内勿答题）
姓名 学号 学院（系） 年级 班（密封线内勿答题）
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第 6 页 共 6 页 六、解答题（本大题共1个小题，共5分）
18．设()f x 的一个原函数为2ln(1)x x ++，求()d xf x x '⎰。
附加题（本大题共1个小题，共10分）
19．设在],[b a 上0)(≥''x f ，证明：函数a
x a f x f x --=)()()(ϕ在],[b a 上是单调增加的。