空间曲线曲率挠率和Frenet公式
课件二：曲率、挠率、伏雷内公式
，所以挠率的绝对值刻画了曲线
扭转的程度；其符号实际上规定了：右旋曲线 τ ( s ) > 0 左旋曲线τ ( s ) < 0 。（将在下节给出解释， 同学们预习时 注意一下看是怎样说明的）。
r r γ& = τ ( s ) β ；（由定义即得） ②
③ 曲面是平面曲线，则τ ( s ) = 0
④ 挠率不恒等于零的曲线叫做挠曲线 挠曲线。 挠曲线
伏雷内(Frenet) (Frenet)公式 3 伏雷内(Frenet)公式 r r 简单地说，Frenet公式是由基本向量表示其导 & = κ (s)β ②应用伏雷内(Frenet)时应 α r 矢的式子。它是： r 注意:公式中等号左边是基本向 r r & r
说明 ①伏雷内(Frenet) 曲率和挠率也是伏雷内公式的 r r r r & = k ( s ) β，γ& ( s ) = τ ( s ) β 已经知道，只须证 公式又叫曲线论基本公式. r r r r & 证明： α & β = α β 一个应用： κ = α r r r 它沟通了曲率、挠率、基 r r r & 第二式。 β = γ ×α 两边求微商并将上两式带入得： & β = γr β （为什么？） 在 τ = γ 本向量及其导矢之间的关 r r r & β = k ( s )α + τ ( s ) γ ( s ) ④ 伏雷内公式的另一形式: 系.遇到问题就微分,遇到 r r r r & 0 αr = ωrκ×(s) 0 α &，&，& 就用伏雷内公式, α β γ 该式其系数构成反对称矩阵： r r r & β ) kr(s= ωr ×0 β ，τ (s) 这是微分几何中解决问题 & γ0 = ωτ (γr) 0 × s r 的重要技巧和方法; r r 其中 ω = τα + κγ
曲线的挠率和Frenet公式
r(t ) a(sin t , cos t ,0),
所以 (r, r, r) a2b,
b . a2 b2
注：方法二(弧长参数)及不变量公式.
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二、挠率
s 是弧长 定理4.2 设曲线 r r (s) 的曲率 ( s) 和挠率 ( s ) 都不为零，
r 例 求圆柱螺线 (t ) (a cos t , a sin t , bt ) 的挠率. 解 r(t ) (a sin t, a cos t, b), r(t ) (a cos t , a sin t ,0), | r(t ) | a2 b2 , r | a a2 b2 , r r (absin t, ab cos t, a2 ) a(b sin t, b cos t, a), | r
由条件设曲线所在的球面半径是a球心是411求导得到412再求导利用frenet公式得413其中略去了自变量sdsds414将412两边平方可得由证明过程中的413第3式还可得dsds416在一般参数下挠率的计算公式
微分几何
第二章
曲 线 论
§ 2.4 曲线的挠率和Frenet公式
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注记. 由证明过程中的(4.13)第3式还可得
d 1 d 1 0. ds ds
（4.16）
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课外作业：
习题1(2, 4)，4，9,11(选)
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（4.9）
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二、挠率
曲率挠率Frenet标架与Frenet公式
+ r(s)
d ds
1 r(s)
)
(r(s) , r(s) , r(s))
=
r(s)2
(r(s) , r(s) , r(s))
=
(s)2
．
一．挠率
定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的充要 条件是其挠率函数恒等于零．
证明 由上节例4的结论可知，只要证明“从法向量恒等 于常向量”等价于“挠率函数恒等于零”，
T N B
．
曲线论基本方程包含了曲线几何的最基本信息：弧长，
曲率，挠率．
鉴于其重要地位，称为Frenet-Serret公式，或简称为 Frenet公式，并通常写为
dr ds
=T ；
(4.5)
d ds
T N B
=
00
0
0
0
T N B
三. 曲线的曲率和 Frenet 标架
一．曲率
考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率． 定义1 曲率向量；曲率；曲率半径． 曲率和曲率向量的定义不依赖于正则参数的选取． 定理2 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s)
合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的曲率 (s) 与 *(s) 总相等．
挠率的计算
在一般参数下，挠率的 用位置向量表示的计算 公式可以利用复合求导 而由弧长参数下的计算 公式 (4.2) 式和 (3.9) 式 推出（参见习题 4 ）， 也可以从 (3.8) 式和 (3.9) 式导出
(
dr dt
,
d2r dt2 ,
d3r dt3
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线.本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得drdsr ==α是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=?γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +?.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +?α.两个切向量的夹角是??，也就是把点1p 的切向量()s s +?α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +?α的夹角为??.我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率.定义[]1空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s s→?=?，其中s ?为p 点及其邻近点1p 间的弧长，??为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角.再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +?，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +?γ.此两个副法向量的夹角是??(如图一).(γ（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去，得到lims s→?=?γ，此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβrα，即()k s =αβ. (2) 对=?γαβ求微商，有()()k s =?=?+?=?+?=?αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下：定义[]1 曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ?+??=??-??γγβγγβ，当和异向，，当和同向挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4）另外，对=?βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=?=?+?=-?+?=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ?=??=-+??=-??αββαγγβ，这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ?? ?- ? ?-??2.2 曲率的一般参数表示式的推导若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds ds r r ds dt dt== ，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt =+=+=+ ? ? ?，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt=?+=??? ? ?????????，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ??=.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=，因而有3,,,,r r k r ?=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r=.2.3挠率的一般参数表示式的推导再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,k k k k k k k k r r r τ??=-==? ?=?+ ? ? ? ?????????????=?+ ? ? ? ???????=?? ???=γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ再把,dsr rdt=22,,2ds d s r r r dt dt ??=+323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ??=++ γγγ代入(),,,,,,r r r ??中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt== ? ? ??γγγγγγ ，所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ??=. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1 求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率. 解由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ=-=---123e e e r r,,,?=r r代入曲率和挠率的公式得,,,322,,ak a b ?===+r r r()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明已知0,k =≡r因而,=r 0由此得到 =r a（常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线. 证明若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ （常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet 公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.。
弗雷内公式
发展历史
发展历史
这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内（于1847年的博士论文中）和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷 （于1851年）分别提出。
弗雷内公式
向量微积分中的公式
01 定义
03 应用
目录
0net formula)，亦称弗勒内-塞雷公式，是向量微积分中，用来描述欧几里得空间R3中的粒 子在连续可微曲线上的运动的数学公式。描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。
定义
定义
谢谢观看
应用
应用
弗勒内公式有时也被称作弗勒内定理，并且可以写做矩阵的形式： 其中的矩阵是反对称矩阵。 对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。
影响意义
影响意义
弗雷内公式 弗雷内公式(Frenet formula)是经典曲线论的基本公式，也是弗雷内标架的微分公式。在光 滑曲线C:r=r(s)的每一点都有弗雷内标架.曲线的弯曲性质反映为邻近点上弗雷内标架之间的相对位置关系.为此 要考虑T(s),N(s),B(s)关于弧长:的导向量T(s),1V(s),B(s)，而它们可由标架向量T,N,B线性表示，即弗雷内 公式。
fuleki公式
弗雷内公式(Frenet formula)，亦称弗勒内-塞雷公式，是向量微积分中，用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动的数学公式。
描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。
单位切向量T，单位法向量N，单位副法向量B，被称作弗勒内标架，他们的具体定
义如下：
•T是单位切向量，方向指向粒子运动的方向。
•N是切向量T对弧长参数的微分单位化得到的向量。
•B是T和N的外积。
弗勒内公式如下：
其中d/ds是对弧长的微分，κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。
弗勒内公式描述了
空间曲线曲率挠率的变化规律。
(整理)空间曲线的曲率挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式摘要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明.关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet公式Spatial curvature,torsion and Frenet formulas Abstract:This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof.Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k>时为直τ=时为平面曲线.线,0本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1.空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得dr dsr ==α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=⨯γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率.定义[]1 空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s sϕ∆→∆=∆， 其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角.再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去， 得到lims sϕ∆→∆=∆γ， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβr α， 即()s s γ+∆()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下： 定义[]1 曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩γγβγγβ，当和异向，，当和同向 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导 根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4） 另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩αββαγγβ， 这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.2 曲率的一般参数表示式的推导 若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds dsr r ds dt dt==，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯+=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=， 因而有3,,,,r r k r ⨯=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r⨯=.2.3挠率的一般参数表示式的推导 再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,kk k k k k k k r r r τ⎛⎫=-==⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ 再把,ds r rdt= 22,,2ds d s r r r dt dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭γγγ 代入(),,,,,,r r r ⨯⨯中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭γγγγγγ，所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ⨯⨯=⨯. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率.解 由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,β于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ⨯=-=---123e e e r r,,,⨯=r r代入曲率和挠率的公式得(),,,3322,,ak a b⨯===+r r r ()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明 已知0,k =≡r 因而,=r 0由此得到 =r a （常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线. 证明 若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ（常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.精品文档精品文档。
空间曲线的曲率与挠率理解空间曲线的曲率与挠率的计算方法
空间曲线的曲率与挠率理解空间曲线的曲率与挠率的计算方法空间曲线的曲率与挠率是数学中关于曲线性质的重要概念，它们可以帮助我们理解曲线在不同点上的弯曲程度以及曲线的扭转情况。
本文将介绍空间曲线的曲率与挠率的概念，并讨论它们的计算方法。
一、空间曲线的曲率空间曲线的曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。
具体而言，曲率可以用曲率圆的半径来表示，即在曲线上某一点处，与曲线相切且与曲线处处相切的所有圆中，半径最小的那个圆的半径就是曲率。
曲率的计算方法如下：设空间曲线为C，参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中t表示参数。
为了计算曲线在某一点的曲率，我们需要求得曲率向量k(t)，该向量与切线方向相同，其模长为曲率。
曲率向量的计算公式为：k(t) = | r''(t) | / | r'(t) |其中，r'(t)表示曲线的切向量，r''(t)表示曲线的二阶导数。
通过加减法、乘除法等运算，我们可以得到曲率向量的具体数值。
曲率越大，曲线的弯曲程度就越大；反之，曲率较小则曲线的趋势更为直线。
二、空间曲线的挠率空间曲线的挠率描述了曲线在某一点的扭转情况。
具体而言，挠率是指曲线在某一点的切线方向与曲线法平面法向量的夹角的大小。
挠率的计算方法如下：设空间曲线为C，参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中t表示参数。
为了计算曲线在某一点的挠率，我们需要求得挠率向量v(t)，该向量与法平面法向量相同，其模长为挠率。
挠率向量的计算公式为：v(t) = ( r'(t) × r''(t) ) / | r'(t) |^3其中，×表示叉乘运算，r'(t)表示曲线的切向量，r''(t)表示曲线的二阶导数。
通过叉乘、模长计算等方法，我们可以得到挠率向量的具体数值。
挠率的大小与曲线的扭转程度成正比，挠率越大，曲线的扭转程度就越大。
空间曲线曲率挠率和Frenet公式讲解
的自然参数为
s
s
，在
P,
P
两点作曲线
1
(C
)
的副法向
量 (s)和 (s s),此两个副法向量的夹角是
由第一节命题知扭转程度大小为 lim
s0 s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转
速度
下面考虑扭转方向,因
r r
k（s）
所以
k(s）
r , r ,,
于是 k r, 3 = ＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）=
所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.
. 故曲率中心的半径向量为
可以求出密切平面为 于是曲率圆为
3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式
定义： 空间曲线 (C) 在 p 点的曲率为
k(s) lim
s0 s
其中 s 为 p 点及其邻近点 p1间的弧长， 为 曲线在点 p 和 p1 的切向量的夹角。
曲率刻画了曲线的弯曲程度，刻画了曲线偏离切线 程度。
空间曲线曲率计算公式（自然参数）
,当
和 异向，
，当 和同向。
挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于 弧长的旋转速度。
由定义 （ ） (s） k(s） k(s） + (s）
则有基本向量导向量与基本向量的关系，即 微分几何的的重要公式
s
|
1|
s
|
MM s
，|
|
MM s
，
|
| |
MM MM
空间曲线曲率挠率和Frenet公式-PPT课件
这组公式是空间曲线论的基本公式。它的特点是基 ， 关于弧长 本向量 ， 的微商可以用 ， ， 的线性组合来表示。系数组成反称的方阵
s
k (s) 0 0 k (s) 0 ( s ) 0 ( s ) 0
挠率的计算公式 ( s ) ( r , r , , r , ) 2
(s)
(r,r,,r,)
2
（） s 0
r
所以 （） s 0
等价于
(r ,r ,r ) 0
,( C ) 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲 线 ( C ) 上一点 P ( s ) 的主法线的正侧取线段 P C 1 1 使 P C 的长为 k 。 以 C 为圆心，以 k 为半径在密切 平面上确定一个圆，这个圆称为曲线( C ) 在 P ( s ) 点的密切 圆（曲率圆），曲率圆的中心称 为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。 曲率中心轨迹设对应Y，则有
r , r ,, r
, 3
例： 空间曲线：r = r(s)为直线的充要条件是 曲率k(s)=0. 证明 若为直线 r = s a + b，其中a和b都是常向 量，并且| a | = 1，则k(s)= | r ( s ) | 0 ; 反之, 若k(s)=0, 则 | r ( s ) | 0 于是
lim
s 0
s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转 速度
下面考虑扭转方向,因
r r
k （ s）
所以
k ( s） （ ）
k ( s）
， || ||
r
曲率挠率Frenet标架与Frenet公式
(4.2) = (TN)•N = (TN ) •N = (T , N , N )
= (r(s) , r(s) , r(s) r(s) r(s)
+ r(s)
d ds
1) r(s)
(r(s) , r(s) , r(s))
=
r(s)2
(r(s) , r(s) , r(s))
=
(s)2
．
一．挠率
定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的充要 条件是其挠率函数恒等于零．
证明 由上节例4的结论可知，只要证明“从法向量恒等 于常向量”等价于“挠率函数恒等于零”，
而这由 B (s) = N ，即可得证． = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠
率 (s) 与 *(s) 总相等．
证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应量 的记号总打星号表示，并设矩阵 ASO(3) 和位置向量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
一．挠率
❖ 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s)
定义1 对于无逗留点的曲线 C ，称 = B •N 为曲线的
挠率函数，其中 B 为从法向量对弧长的导数；当挠率非 零时，称其倒数为挠率半径．
可证（习题2.4.1）挠率在容许参数变换下不变．
一．挠率
❖ B ∥N ．
❖ 对于无逗留点的曲线 C ，称 = B •N 为曲线的挠率
函数，其中 B 为从法向量对弧长的导数． ❖ 计算：按挠率定义和Frenet标架的单位正交右手性质，
空间曲线曲率和挠率的介绍
(s)
k
(s)
k(s) (s)
于是有
kk((ss))
(s)
(s)
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系
0 k(s) 0
数组成一反称方阵 k(s) 0 (s) 0 (s) 0
lim
MM lim (s s) (s)
s0
s
MM s0
s
(s) (s) (s) r r r
例： 空间曲线，r r (s) 为直线的充要条件是曲率
证明：若为直线
(s) 0 r sa
微分几何的应用
理论物理
广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说， 空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的 参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的 关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓 Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出 曲率等几何量。
Einstein方程说：
ds
r
ds dt dt dt
r
(r)
ds dt
r
d 2s dt 2
dr ds
ds dt
2
r
d 2s dt 2
r
ds dt
2
r
d 2s dt 2
,
所以
r r
r
ds
r
ds
2
若曲线方程为 x ( y), x
frenetserret公式
frenetserret公式Frenet-Serret公式是描述曲线在三维空间中运动的一种数学工具。
它由法国数学家Jean Frenet和法国物理学家Joseph Serret在19世纪中叶独立发现，并分别于1851年和1852年发表。
Frenet-Serret公式通过计算曲线上一点处的切向量、法向量和副法向量的变化率，揭示了曲线的几何性质和运动规律。
在三维空间中，曲线可以被参数化表示为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t是曲线上的参数，可以是时间或其他参数。
Frenet-Serret 公式描述了曲线上任意一点处的切向量T(t)、法向量N(t)和副法向量B(t)的变化率。
这三个向量是互相垂直的单位向量，分别表示曲线在该点处的切线方向、向外的法线方向和副法线方向。
具体而言，Frenet-Serret公式可以表示为以下三个方程：dT/dt = κNdN/dt = -κT + τBdB/dt = -τN其中，κ是曲线的曲率，表示曲线在该点处的弯曲程度；τ是曲线的挠率，表示曲线在该点处的扭转程度。
这些参数都是随着参数t 的变化而变化的。
曲率和挠率是描述曲线几何性质的重要指标，它们决定了曲线的形状和变化。
根据Frenet-Serret公式，我们可以得到曲线上任意一点处的切向量、法向量和副法向量的变化规律。
通过积分这些方程，我们可以还原出整条曲线的形状和运动轨迹。
这对于研究曲线的性质、计算曲线的长度和曲率、以及模拟曲线的运动等方面都具有重要意义。
Frenet-Serret公式的应用广泛。
在计算机图形学中，它可以用于描述和生成曲线和曲面。
在计算机动画和游戏开发中，它可以用于模拟物体的运动轨迹和变形效果。
在物理学和工程学中，它可以用于描述和分析物体的运动和变形。
此外，Frenet-Serret公式还在微分几何、微分方程和偏微分方程等数学领域有广泛的应用。
Frenet-Serret公式是描述曲线在三维空间中运动的一种重要数学工具。
空间曲线曲率和挠率的介绍
1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
dr 2 r r ( s ) r 1) 给出C 类曲线 得一单位向量 ， ds dr 称 r 为 曲线（C）上 P 点的单位切向量。 ds r 称 为曲线在 P 点的主法向量, r 它垂直于单位切向量。 γ(s) 称 为曲线在 P 点的次法向量。
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
( s) lim r s 0 s
P ( s) M P1 (s s) M
MM MM 1 lim lim lim s 0 s s 0 s 0 s s MM ( s s ) ( s ) MM ( s s ) ( s ) lim lim s 0 s s MM s 0 ( s ) ( s ) ( s ) r r r
3)由任意两个基本向量所确定的平面
分别叫做: 密切平面： ( R r ) 0 ( R r , , ) 0 法平面：
γ(s) 法平面 C r(s) β(s) 密切平面 α(s) 从切平面 O
( R r ) 0
从切平面： ( R r ) 0
而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的 基本三棱形。
k (s) (s) (s)
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系
于是有
k ( s)
k (s) 0 0 0 (s) 数组成一反称方阵 k ( s ) 0 (s) 0
空间曲线曲率和挠率的介绍ppt课件
.
说明: 设曲线弧 yf(x) 二阶可导,
y
则曲率计算公式为
(1
y 2
)3 2
d
ds
当y 1时 ,有曲率近似计算公式 y
若曲线由参数方程
x x(t)
y
y(t)
给出, 则
xy xy
( x2 y2)32
若曲线方程为 x(y),
x
则
(1
x
2
)
3 2
若曲线由参数方程
x x(t)
.
微分几何的应用
▪ 理论物理
➢ 广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说， 空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的 参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的 关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓 Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出 曲率等几何量。
➢ Einstein方程说： 时空的物理量（能量动量张量） 等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。
由 0
(
)
(
1
)
(
1
)
((
1
)
1
)
( r 1 r ) [( 1 ) r 1 r ]
( r , r , r )
2
r 6 ( r , r , r )
( r r) 2
r rrrds3
可得 r 挠率(r 公式d d为st2rd d22 st()(• rr, rdr,trd d )2) st3r
.
1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
1) 给称出C2r类 曲dr线为r曲线r（(sC)）得上一单P 位点向的量单位切r向 量dd。rs ，
ds
称
r r
空间曲线——精选推荐
空间曲线本节内容：研究空间曲线的基本理论，研究刻画空间曲线在某一点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量——曲率和挠率，以及曲线在一点邻近的近似形状。
复习内容：切线、切向量；()r t 对自然参数的导矢是单位向量；()r t 具有固定长()()r t r t '⇔⊥ ；单位向量()r t 对于t 的旋转速度等于其微商的模。
一 空间曲线的密切平面、副法线1 密切平面、副法线的定义：过曲线上P 点的切线和P 点的邻近一点Q 可作一平面σ，当Q 点沿着曲线趋于P 点时平面σ的极限位置π 称为曲线在P点的密切平面。
密切平面在P 点的法线称为曲线在P 点的副法线。
2 密切平面、副法线的方程设曲线(c)为2C 类曲线，P 点的径矢00(),()r t Q r t t +∆ 点的径矢 2000001()()()(())(),lim 02t r t t r t r t t r t t εε∆→'''+∆-=∆++∆= PQ= 。
20001()()(())()2r t r t r t t ε''''⨯⨯+∆ PQ=‖00()(())r t r t ε'''⨯+ ，当Q P →时， 000,0,()()t r t r t ε'''∆→→→⨯这个矢积。
如果00()()0r t r t '''⨯≠ ，则该矢量为密切平面法线上的一个非零矢量，它和P 点完全确定了密切平面，方程是：000(()()())0r t r t r t ρ'''-= ，，副法线方程：000()()())r t r t r t ρλ'''=⨯+( 副法线的标准方程是：000()()(),x x t y y t z z t X Y Z---== 00{,,}()()X Y Z r t r t '''=⨯ 其中。
微分几何 3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式
这组公式是空间曲线论的基本公式。它的特点是基 本向量 α，β，γ 关于弧长 s 的微商可以用 α，β，γ 的线性组合来表示。系数组成反称的方阵
k ( s) 0 0 −k ( s) 0 τ ( s) 0 −τ ( s ) 0
挠率的计算公式 τ ( s) = (r , r ,, r , ) 2
证 而 由上例曲线为平面曲线充要条件是
τ (s) =
(r , r ,, r , )
2
τ s） 0 （ =
r
所以 τ s） 0 （ =
等价于
(r , r , r ) = 0
, ,, ,,,
所以命题成立。
空间曲线 (C ) 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲 线 (C ) 上一点 P( s) 的主法线的正侧取线段 PC 1 1 使 PC 的长为 k 。 以 C 为圆心，以 k 为半径在密切 平面上确定一个圆，这个圆称为曲线(C ) 在 P ( s )点的密切 圆（曲率圆），曲率圆的中心称 为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。 曲率中心轨迹设对应Y，则有
1 Y = r (t ) + β k
容易证明C在P点与曲率圆相切， 且在P点的曲率相同
例1 求圆柱螺线r={a cos t, a sin t, bt}(a>0, b>0均为常数)的 曲率、挠率、曲率中心和曲率圆. 解 r， sin t, a cos t, b}， ={-a ={-a cos t, -a sin t, 0}， r，， r ,,,={a sin t, -a cos t, 0}. 于是 k
r , × r ,, r
, 3
例： 空间曲线：r = r(s)为直线的充要条件是 曲率k(s)=0. 证明 若为直线 r = s a + b，其中a和b都是常向 量，并且| a | = 1，则k(s)= | r ( s ) |= 0; 反之, 若k(s)=0, 则 | r ( s) |= 0 r 于是
任意参数形式下的frenet公式
任意参数形式下的frenet公式Frenet公式是描述曲线在三维空间中运动的重要工具，通过提供切线、法线和曲率的信息，可以描绘曲线的几何性质。
Frenet公式基于欧几里得空间的三维坐标系统，对于任意参数形式的曲线，有以下形式的Frenet公式：1.切线向量公式：曲线的切线是描述曲线运动方向的向量。
给定曲线的任意参数形式表示为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中t是曲线的参数，Frenet公式中的第一个方程是切线向量公式：T(t)=r'(t)/，r'(t)其中，r'(t)是曲线的导数(x'(t),y'(t),z'(t))，r'(t)，表示导数的长度。
2.法线向量公式：曲线的法线是描述曲线运动方向的垂直于切线的向量。
Frenet公式中的第二个方程是法线向量公式：N(t)=B(t)xT(t)其中，x表示向量的叉乘运算符，B(t)是曲线的副法线向量，计算方式如下：B(t)=T'(t)/，T'(t)其中，T'(t)是曲线切线的导数，T'(t)，表示切线导数的长度。
3.曲率公式：曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的度量。
Frenet公式中的第三个方程是曲率公式：k(t)=，T'(t)，/，r'(t)其中，k(t)表示曲线在参数值t处的曲率，T'(t)，表示曲线切线导数的长度，r'(t)，表示曲线导数的长度。
4.弯曲量公式：曲线的弯曲量是描述曲线在参数值t处的曲线弯曲程度的度量。
Frenet公式中的第四个方程是弯曲量公式：κ(t)=，B'(t)，/，r'(t)其中，κ(t)表示曲线在参数值t处的弯曲量，B'(t)，表示曲线副法线导数的长度，r'(t)，表示曲线导数的长度。
Frenet公式提供了描述曲线在三维空间中运动的重要工具，通过切线、法线、曲率和弯曲量这四个基本元素，可以描绘曲线的几何性质。
利用空间曲线的一般方程计算其曲率和挠率
由⑧式和⑩式,得挠率为
参考文献
[1] 黄宣国. 空间解析几何, 上海：复旦大学出版社, 2003.
[2] 梅向明, 黄敬之. 微分几何（第三版）, 北京：高等教育出版社, 1988.
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）
.(5)
= .(6)
且由(4)式和(5)式可知
= .
= .
= .(7)
将(4)式两端对弧长 求导,由Frenet公式,有
+
(8)
这里, 是单位主法向量.
将(4)式与(8)式两端分别作外积
(9)
这里, 是单位副法向量.
因为 = －
=－ (10)
=
= . (11)
将(10)式和(11)式代入(9)式,有
Abstract:In this paper, give the general equation of a space curve
,
wecalculatethe formulas of thecurvatureand torsion.
Keywords:curvature; torsion; the general equation of a space curve
= － . (12)
由(3)式知
=
. (13)
=
. (14)
则由(5)式和(14)式,有
=
=
＋
＋ (15)
= ＋
＋
.
由(5)式和(13)式,有
=
=
＋
＋ (16)
= ＋
又由(3)式和(12)式,有
=
(17)
由(15)式和(16)式,有
曲线论(六)
2
ds ,| | | 是单位向量， | r | ） r r rr r | ，而 （注意到 r ， dt
| r | | r r | | | r r 1 3 。 3 | r | ds dt
r r r 由伏雷内公式， , | r | | r | , , r r | r | r r (| r |) (r r , r ) (r r , r) 。 2 | r| | r |2 | r |2
( s) k ( s ) ( s ) ( s )
k ( s) ， ( s) ( s) 已经知道，只须证第二式。 证明：
简单地说，Frenet 公式是由基本向量表示其导矢的式子。它是：
， 所以挠率的绝对值刻画了曲线扭转的程
（将 度；其符号实际上规定了：右旋曲线 ( s) 0 ；左旋曲线， ( s) 0 。 在下节给出解释，同学们预习时注意一下看是怎样说明的） 。
（由定义即得） ② ( s) ；
③ 曲面是平面曲线，则 ( s) 0 ； ④ 挠率不恒等于零的曲线叫做挠曲线。 3 伏雷内(Frenet)公式
2 挠率 空间曲线在一点的扭曲与曲线在这点的密切平面密切相关， 如果 曲线不扭曲，即为平面曲线，则其所有点的密切平面是同一个，即曲
线所在平面，其副法向量 是常矢：如果曲线不是平面曲线，曲线扭
曲得越厉害，则曲线离开它的密切平面越快，从一个点到另一个点副
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s
|
1|
s
|
M¼M s
，|
|
uuuur ， MM |
s
| |
M¼M ，| uuuur ， MM |
（s+Vs）-（s） | M¼M ，|
|
s
| uuuur， | MM |
Q
lim
s0
| |
M¼M ，| uuuur ， MM |
1 lim s0
s
g gg
所以命题成立。
空间曲线 (C) 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲
线 (C ) 上一点 P(s) 的主法线的正侧取线段PC
使 PC
的长为
1 k
。 以 C 为圆心，以 1 k
为半径在密切
平面上确定一个圆，这个圆称为曲线(C)在 P(s)点的密切
圆（曲率圆），曲率圆的中心称
为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。
（有大小又有方向）我们用副法向量的转动速度来刻画
曲线的扭转程度。
现在设曲线 (C) 上一点 P 的自然参数为 s ,另一邻近点P1
的自然参数为
s
s
，在
P,
P
两点作曲线
1
(C
)
的副法向
量 (s)和 (s s),此两个副法向量的夹角是
由第一节命题知扭转程度大小为
g
lim
s0 s
g
gg gg
gg ggg
gg gg
g
=( r,
r
gg
,(
r )g)
gg
g
(r,
r
gg
,
r
|r
| r | r
gg 2
|)
rr
r
r
g gg ggg
(r,
r, r,
gg 2
)
r
曲率和挠率的一般参数表示式
已给出 C3 类曲线 r r(t) 一般参数曲率的表示式
r , r ,,
k
r, 3
一般参数表示的挠率计算公式（与曲率求法类似）
3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式
定义： 空间曲线 (C) 在 p 点的曲率为
k(s) lim
s0 s
其中 s 为 p 点及其邻近点 p1间的弧长， 为 曲线在点 p 和 p1 的切向量的夹角。
曲率刻画了曲线的弯曲程度，刻画了曲线偏离切线 程度。
空间曲线曲率计算公式（自然参数）
由于密切平面把空间分成上下两部分，对扭转程 度要考虑付法向量向上还是向下即有方向，即有 下面的定义
定义：曲线 (C) 在 P 点的挠率为
(s)
g
g
,当
和 异向，
g
g
，当
和同向。
挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于 弧长的旋转速度。
由定义
g
（
g
r , r ,,
于是 k r, 3 = ＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）=
所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.
. 故曲率中心的半径向量为
可以求出密切平面为 于是曲率圆为
所以曲线为平面曲线
命题： 空间曲线 : r r(t) 为平面曲线的
充要条件是 (r, , r,, , r,,, ) 0
证 由上例曲线为平面曲线充要条件是 （s） 0
g gg ggg
而
(s)
(r,
r, , r,
gg 2
)
r
所以 （s） 0
等价于 (r, , r,, , r,,, ) 0
）g
g
(s） k(s） k(s） + (s）
则有基本向量导向量与基本向量的关系，即 微分几何的的重要公式
空间曲线的伏雷内公式
g
＝k(s)
g
k(s) (s)
g
(s)
这组公式是空间曲线论的基本公式。它的特点是基
本向量 ，， 关于弧长 s 的微商可以用
，， 的线性组合来表示。系数组成反称的方阵
0 k(s) 0
k(s) 0 (s) 0 (s) 0
挠率的计算公式
g
(s) ,
g gg ggg
(s)
(r,
r, , r,
gg 2
)
r
g
g
g
(s) ( ) ( , , ）
＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）
注：曲率和挠率是几何不变量，即在参数变换下 不变（易证）
命题 曲线为平面曲线充要条件是 （s） 0 .
证明 设的方程为r = r(s). 在某平面 (r r0 )n 0
( r0 为上的一个定点对应的向量, n为平面的单位法
向量). 对上式两边求导,
量，并且| a | = 1，则k(s)= | r(s) | 0;
gg
反之, 若k(s)=0, 则 | r(s) | 0
于是
gg r r 0
r = s a + b. 所以该曲线是直线.
对于空间曲线，曲线不仅弯曲（曲线偏离切线程度由曲
率表示）而且还要扭转（偏离密切平面，否则为平面曲
线），所以类似相应有刻画曲线扭转程度的量－挠率。
得 n 0
. 从而 kn 0.源自若k=0,gg
则r
0.
于是（s）
0
若
k
0， n=0，又 n
0
g
n
0,
0
g
r
反过来 Q 0, 0 c, (rg )g 0
r(s) r0 (r(s) r0 ) 0
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转
速度
g
gg
g
下面考虑扭转方向,因
g
r
gg
r
k（s）
所以
g
k(s）
g
g
g
（ ）g
g
g
k(s）
g
g
g
g
， || ||
曲率中心轨迹设对应Y，则有
Y r(t) 1
k
容易证明C在P点与曲率圆相切， 且在P点的曲率相同
例1 求圆柱螺线r={a cos t, a sin t, bt}(a>0, b>0均为常数)的 曲率、挠率、曲率中心和曲率圆.
解 r，={-a sin t, a cos t, b}， r，，={-a cos t, -a sin t, 0}， r,,,={a sin t, -a cos t, 0}.
| || r |，
gg
g gg
g 2 gg2 g gg
gg2
k(s) | r |,Q (r r)2 r r (r r)2 r
gg g gg
k(s) | r || r r |
一般参数下空间曲线曲率计算公式
g
r
dr
dt
r，dt
dt ds ds
gg
r
d 2r（ dt 2
dt ds
）2
dr dt
d 2t ds 2
r，（， dt ）2 r，d 2t
ds
ds2
g
r
gg
r
r
,
r（,,
dt
）3
ds
Q
dt ds
1 r,
k
r, r,, r, 3
r, r,, k r, 3
例： 空间曲线：r = r(s)为直线的充要条件是 曲率k(s)=0.
证明 若为直线 r = s a + b，其中a和b都是常向 gg