空间曲线曲率挠率和Frenet公式

dt ds
）2

dr dt
d 2t ds 2
r，（， dt ）2 r，d 2t
ds
ds2
g
r
gg
r

r
,

r（,,
dt
）3
ds
Q
dt ds

1 r,
k

r, r,, r, 3
r, r,, k r, 3
例： 空间曲线：r = r(s)为直线的充要条件是 曲率k(s)=0.
证明 若为直线 r = s a + b，其中a和b都是常向 gg
曲率中心轨迹设对应Y，则有
Y r(t) 1
k
容易证明C在P点与曲率圆相切， 且在P点的曲率相同
例1 求圆柱螺线r={a cos t, a sin t, bt}(a>0, b>0均为常数)的 曲率、挠率、曲率中心和曲率圆.
解 r，={-a sin t, a cos t, b}， r，，={-a cos t, -a sin t, 0}， r,,,={a sin t, -a cos t, 0}.
得 n 0
. 从而 kn 0
.
若k
=
0,
gg
则r

0.
于是（s）
0
若
k

0， n=0，又 n

0

g
n

0,

0
g
r
反过来 Q 0, 0 c, (rg )g 0
r(s) r0 (r(s) r0 ) 0
（有大小又有方向）我们用副法向量的转动速度来刻画
曲线的扭转程度。
现在设曲线 (C) 上一点 P 的自然参数为 s ,另一邻近点P1
的自然参数为
s

s
，在
P,
P
两点作曲线
1
(C
)
的副法向
量 (s)和 (s s),此两个副法向量的夹角是
由第一节命题知扭转程度大小为
g

lim

s0 s
量，并且| a | = 1，则k(s)= | r(s) | 0;
gg
反之, 若k(s)=0, 则 | r(s) | 0
于是
Leabharlann Baidu
gg r r 0
r = s a + b. 所以该曲线是直线.
对于空间曲线，曲线不仅弯曲（曲线偏离切线程度由曲
率表示）而且还要扭转（偏离密切平面，否则为平面曲
线），所以类似相应有刻画曲线扭转程度的量－挠率。
所以命题成立。
空间曲线 (C) 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲
线 (C ) 上一点 P(s) 的主法线的正侧取线段PC
使 PC
的长为
1 k
。 以 C 为圆心，以 1 k
为半径在密切
平面上确定一个圆，这个圆称为曲线(C)在 P(s)点的密切
圆（曲率圆），曲率圆的中心称
为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。
由于密切平面把空间分成上下两部分，对扭转程 度要考虑付法向量向上还是向下即有方向，即有 下面的定义
定义：曲线 (C) 在 P 点的挠率为

(s)



g

g
,当
和 异向，

g

g
，当
和同向。

挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于 弧长的旋转速度。
由定义
g

（
g
）g

g

(s） k(s） k(s） + (s）
则有基本向量导向量与基本向量的关系，即 微分几何的的重要公式
空间曲线的伏雷内公式

g
＝k(s)
g
k(s) (s)
g
(s)

这组公式是空间曲线论的基本公式。它的特点是基
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转
速度
g
gg
g
下面考虑扭转方向,因



g


r
gg
r


k（s）
所以
g
k(s）
g
g
g
（ ）g
g
g
k(s）
g
g
g
g
， || ||
| || r |，
gg
g gg
g 2 gg2 g gg
gg2
k(s) | r |,Q (r r)2 r r (r r)2 r
gg g gg
k(s) | r || r r |
一般参数下空间曲线曲率计算公式
g
r

dr
dt

r，dt
dt ds ds
gg
r

d 2r（ dt 2
3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式
定义： 空间曲线 (C) 在 p 点的曲率为
k(s) lim
s0 s
其中 s 为 p 点及其邻近点 p1间的弧长， 为 曲线在点 p 和 p1 的切向量的夹角。
曲率刻画了曲线的弯曲程度，刻画了曲线偏离切线 程度。
空间曲线曲率计算公式（自然参数）
所以曲线为平面曲线
命题： 空间曲线 : r r(t) 为平面曲线的
充要条件是 (r, , r,, , r,,, ) 0
证 由上例曲线为平面曲线充要条件是 （s） 0
g gg ggg
而

(s)

(r,
r, , r,
gg 2
)
r
所以 （s） 0
等价于 (r, , r,, , r,,, ) 0
g
gg gg
gg ggg
gg gg
g
=( r,
r
gg
,(
r )g)
gg
g
(r,
r
gg
,
r
|r
| r | r
gg 2
|)
rr
r
r
g gg ggg

(r,
r, r,
gg 2
)
r
曲率和挠率的一般参数表示式
已给出 C3 类曲线 r r(t) 一般参数曲率的表示式
r , r ,,
k
r, 3
一般参数表示的挠率计算公式（与曲率求法类似）
＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）
注：曲率和挠率是几何不变量，即在参数变换下 不变（易证）
命题 曲线为平面曲线充要条件是 （s） 0 .
证明 设的方程为r = r(s). 在某平面 (r r0 )n 0
( r0 为上的一个定点对应的向量, n为平面的单位法
向量). 对上式两边求导,
r , r ,,
于是 k r, 3 = ＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）=
所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.
. 故曲率中心的半径向量为
可以求出密切平面为 于是曲率圆为
本向量 ，， 关于弧长 s 的微商可以用
，， 的线性组合来表示。系数组成反称的方阵
0 k(s) 0
k(s) 0 (s) 0 (s) 0
挠率的计算公式
g
(s) ,
g gg ggg

(s)

(r,
r, , r,
gg 2
)
r
g
g
g
(s) ( ) ( , , ）

s

|
1|
s

|
M¼M s
，|

|
uuuur ， MM |
s
| |
M¼M ，| uuuur ， MM |
（s+Vs）-（s） | M¼M ，|
|
s
| uuuur， | MM |
Q
lim
s0
| |
M¼M ，| uuuur ， MM |

1 lim s0

s
g gg