曲边梯形的面积 PPT

阿基米德问题：求由抛物线y=x2与直 线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．
Archimedes，约公元前 287年—约公元前212年
下面用刚才探究的解题思想来解决一个具 体问题：
解题思想 “细分割、近似和、渐逼近”
探求新知
一、分割
在该曲边梯形内 作若干个小矩形，具 体如何操作？
将区间[0，1]分成n等分，按如图所示 作n个矩形.
1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积， 是一种“以直代曲”的思想，它体现 了对立统一，量变与质变的辨证关系.
2.求曲边梯形面积的“四步曲”：
1°分割
化整为零
2°近似代替
以直代曲
3°求和
积零为整
4°取极限
刨光磨平
课后作业：课本42 页及补充题（见教 学设计）
课后 作业
n nn nn
n
内任意一点对应的函数值
为高作矩形，那么这些小
矩形的面积之和的极限等
于曲边梯形的面积吗？
相等
课堂练习
1、求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以 及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间
[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐 标为高，求所有小矩形的面积之和。 2、求直线x＝0，x＝2， y＝0与曲线y＝x2所围成 的曲边梯形的面积。
y f(b) f(a)
Oa
y=f(x) z.x.x.k
如何求这个 图形的面积？
bx
下面我们来一起回忆一下圆 面积公式的推导过程：
八等分 十六等分 三十二等分
分的份数越多,
…… ……
长= r
长= r
长= r
练习：试以区间右端点的函数 值作高，近似、求和、取极限， 计算此时曲边梯形的面积．
解：
Sn
n1 i1 n
f ( i ) 1 (1 1)(1 1 ) n 3 n 2n
S
lim
n
Sn
lim 1 (1 n 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
探求新知
若分别以区间
[0, 1 ],[ 1 , 2 ],[ 2 , 3 ],L[n - 1,1]
曲边梯形的面积
（高中数学选修2-2§1.5.1）
问题引入:
你会求哪些平面图形的面积？ 这些平面图形有什么特点？
我们已经学会了正方形，三角形， 梯形等面积的计算。
这些图形有一个共同的特征：每条 边都是直的线段。
下面两副图有什么特点？ 你会计算它们的面积吗？
y
y
0
x
0
x
但我们生活与工程实际中经常接触的大 都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？
探求新知
上述n个矩 形，从左到右 各矩形的高分 别为多少？宽 为多少？
第i个矩形的高为 每个矩形的宽为
hi
1.
=，(ni )2
n
探求新知
三、求和
计算,这n个小矩 形的面积之和Sn等于 多少？
探求新知
四、取极限
如何利用各小矩形 的面积之和求曲边梯形 的面积S？所得的结果是 什么？
11 11 s lim (1 )(1 )
曲边梯形的概念：
• 如图所示，我们把由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成 的图形称为曲边梯形．
y
f(b)
y=f(x)
f(a)
Oa
bx
类比圆面积的推导，你能想到求曲边梯形面积的办法吗？
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2
n 3 n 2n 3
探求新知
上述求曲边梯形面积的过程有哪几 个基本步骤?
分割→近似代替→求和→取极限.
分割越细，面积的近似值就越精确。 当分割无限变细时，这个近似值就无限逼 近所求曲边梯形的面积S。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
几何画板演示
例题：求由抛物线y=x2与直 线x=0,x=1,y=0所围成的平 面图形的面积．
长= r
长= r
长= r
长= r
长= r
长= r
长= r
长= r
宽= r
圆的面积S ＝πr×r ＝πr2
长= r
宽= r
看了圆面积公式推导的 演示，你能总结出推导的步 骤和用到的数学思想吗？
用这种数学思想能否解 决我们前面提到的求曲边图 形面积的问题呢？
今天我们一起来学习曲 边梯形的面积。
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
ห้องสมุดไป่ตู้A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
A A1+ A2 + + An