概率论与统计学的重要公式和解题思路

一、基本概率公式及分布

1、概率常用公式：

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ; 如A、B独立，则P(AB)=P(A)P(B) ; P()=1-P(A) ;

B发生的前提下A发生的概率==条件概率：P(A|B)=;

或记：P(AB)=P(A|B)*P(B) ;

2、随机变量分布律、分布函数、概率密度

分布律：

离散型X的取值是x k(k=1,2,3...), 事件X=x k的概率为：

P{X=x k}=P k, k=1,2,3...; --- 既X的分布律；

X X1 X2 .... xn

Pk P1 P2 ... pn

X的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。

分布函数：

F(x)=P(X), -; 是概率的累积！

P(x1

离散型rv X; F(x)= P{X;(把X

性质：F(; F(;

二、常用概率分布：

①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)

P{X=k}=，k=0,1,2,...n; E(X)=np, D(X)=np(1-p);

②离散：泊松分布：X～Π(λ)

P{X=k}=,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=λ;

③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b),

则：密度函数：f(x)=

分布函数F(x)==

④连续型：指数分布，参数为，f(x)=

F(x)=;

⑤连续型：正态分布：X～N(most importment!

密度函数f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ, E(X)=µ,方差D(X)=; 当µ=0，时，N(0,1)称标准正态，图形为：

分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。当X～N(0,1)，F(x)=Φ(x)(换个叫法）, 由对称性有Φ(-a)=1-Φ(a)；

看到X～N(,求概率的题，一定要变成标准正态N(0,1);

既把X变成；则～N(0,1)；

例题：已知X～N(；求P(-1

解：(思路：µ=1，σ=2；变换式：)

P(-1

P()= Φ(1)- Φ(-1)= Φ(1)-[1-Φ(1)]=2Φ(1)-1;查表正态性质：如X～N(N(；则Z=aX+bY也是正态；Z～N(,其中µz=aµ1+bµ2 ; σz²=a²σ1²+b²σ2²；

三、二维随机变量：

离散型：（X,Y)可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,...).

联合分布律：P{X=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,3,..)

联合分布律的表格形式:

X

Y

Y1 Y2 Y3 P(X=I)

X1 P11 P12 P13 P11+P12+P

13

X2 P21 P22 P23 P21+P22+P

23

X3 P31 P32 P33 P31+P32+P

33

P(Y= J) P11+P21+P

31

P12+P22+P

32

P13+P23+P

33

边缘分布：

P(X=1)=P11+P12+P13(横排相加）; P(X=2)，P(X=3)同样计算

P(Y=1)=P11+P21+P31（竖排相加）; P(Y=2) ，P(Y=3)类似计算；

条件概率：

X=X1条件下Y的分布律：P{Y=yj|X=x1}==; P{Y=y1|X=x1}=; P{Y=y2|X=x1}=; P{Y=y3|X=x1}=

连续型：设f(x,y)是联合概率密度；（注意x,y常常有取值范围D的）则：F(x,y)=P(X

如XY独立，则f(X,Y)=fx(X)*fy(Y); 反之也成立；

X,Y二维正态密度中的参数则X,Y独立；

题型：1、f(x)有未知常数，求未知常数；

思路：注意x的定义域，利用F(∞)=求出参数；

2、求P(X1)类，先画出x=y,x+y=1的图，确定积分上下限，并求积分；

3、求Z=X+Y的分布：密度公式

四、数学期望、方差

数学期望E(X), 方差D(X) :

离散：E(X)=; E(g(X))=;

连续：E(X)=E(g(X))=

性质：E(C)=C, E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)

如X,Y独立，则E(XY)=E(X)*E(Y)；

D(X)=E(X; D(C)=0，D(CX)=C²X

如X,Y独立，D(X

五、样本及抽样分布

中心极限定理：E(X)=µ,D(X)=σ²的独立同分布的

X1,X2,X3...Xn，当n充分大时，有：～N(0,1);

是Xi的和；

样本及抽样分布：从总体X中抽取一个个体，独立抽n次，记为X1,X2,...Xn, 它们组成独立、同分布的随机变量，叫随机样本，n是样本容量，X1,X2,..Xn的观测值x1,x2,x3...xn叫样本值。

如总体X的分布函数是F，密度是f; 则：

F(x1,x2,..xn)=F(x1)*F(x2)*...*F(xn)=;