专题 空间几何中的平行与垂直

专题空间几何中的平行与垂直

考点

点、线、面位置关系的判断

一

1.(优质试题浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n

满足m∥α,n⊥β,则( ).

A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l

D.m⊥n

【解析】∵α∩β=l,∴l⊂β.∵n⊥β,∴n⊥l.

【答案】C

2.(优质试题安徽卷)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,

则下列命题正确的是( ).

A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行

B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行

C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线

D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面

【解析】A项,α,β可能相交,故错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;C项,若m⊂α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确.故D项正确.

【答案】D

3.(优质试题广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平

面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ).

A.l与l1,l2都不相交

B.l与l1,l2都相交

C.l至多与l1,l2中的一条相交

D.l至少与l1,l2中的一条相交

【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行也不相交,故l1,l2中至少有一条与l相交.

【答案】D

4.(优质试题全国Ⅲ卷)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( ).

A.A1E⊥DC1

B.A1E⊥BD

C.A1E⊥BC1

D.A1E⊥AC

【解析】连接B1C,由题意得BC1⊥B1C.

∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1⊂平面B1BCC1,

∴A1B1⊥BC1,

∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1ECB1,

∵A1E⊂平面A1ECB1,∴A1E⊥BC1.故选C.

【答案】C

5.(优质试题上海卷)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( ).

A.直线AA1

B.直线A1B1

C.直线A1D1

D.直线B1C1

【解析】根据异面直线的概念可以看出直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线,直线B1C1和直线EF在同一平面内,且这两条直线不平行,∴直线B1C1和直线EF相交,即选项D正确.

【答案】D

考点

求异面直线所成的角

二

6.(优质试题全国Ⅲ卷)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三

角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:

①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;

②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;

③直线AB与a所成角的最小值为45°;

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)

【解析】依题意建立如图所示的空间直角坐标系.设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.

由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆.

设直线a的方向向量为a=(0,1,0),直线b的方向向量为b=(1,0,0),以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为

θ,θ∈[0,2π),则B(cos θ,sin θ,0),

∴=(cos θ,sin θ,-1),||=

设直线AB与a所成的角为α,

则cos α==|sin θ|∈,

∴45°≤α≤90°,∴③正确,④错误.

设直线AB与b所成的角为β,

则cos β==|cos θ|.

当直线AB与a的夹角为60°,即α=60°时,

则|sin θ|=cos α=cos 60°=,

∴|cosθ|=.∴cosβ=|cos θ|=.

∵0°≤β≤90°,∴β=60°,即直线AB与b的夹角为60°.

∴②正确,①错误.

【答案】②③

7.(优质试题全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( ).

A. B. C. D.

【解析】设平面CB1D1∩平面ABCD=m1.

∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m.

又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,

且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,

∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.

∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1,

且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,

同理可证CD1∥n.

因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形,

故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为.

【答案】A

8.(优质试题全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1

中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ).

A. B. C. D.

【解析】

将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图所示,连接AD1,B1D1,BD.

由题意知∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,

所以AD1=BC1=,AB1=,∠DAB=60°.

在△ABD中,由余弦定理知BD2=22+12-2×2×1×cos 60°=3,所以BD=,所以B1D1=.