2021版高考数学二轮复习专题限时集训8空间位置关系的判断与证明文2020147

专题限时集训(八) 空间位置关系的判断与证明

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．若a ，b 是空间中两条不相交的直线，则过直线b 且平行于直线a 的平面( )

A ．有且仅有一个

B ．至少有一个

C ．至多有一个

D ．有无数个

B [∵a ，b 是空间中两条不相交的直线．∴a ，b 可能平行或异面．若a ，b 平行，则过直线b 且平行于直线a 的平面有无数个；若a ，b 异面，在b 上取一点O ，过O 作c ∥a ，则b ，c 确定平面α，∴a 平行于α，此时过直线b 且平行于直线a 的平面只有一个．故选B.]

2．(2019·长沙模拟)已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧棱长为4，底面边长为2 3.若点M 是线段A 1C 的中点，则直线BM 与底面ABC 所成角的正切值为( )

A.12

B.13

C.23

D.34

C [过点M 作MN ⊥AC 于N ，连接BN (图略)，则∠MBN 为直线BM 与底面ABC 所成角，由

题意可知MN ＝2，BN ＝3，所以tan∠MBN ＝MN BN ＝23

.] 3．已知α，β表示两个不同的平面，l 表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β，若以其中两个推出另一个构成命题，则正确命题的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

C [由①②⇒③、①③⇒②是真命题，而由②③不能得到①，故选C.]

4．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A ­BCD ，则在三棱锥A ­BCD 中，下列命题正确的是( )

A ．平面ABD ⊥平面ABC

B ．平面AD

C ⊥平面BDC

C ．平面ABC ⊥平面BDC

D ．平面ADC ⊥平面ABC

D [因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，CD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ，即平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.]

5．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间与三条直线A 1D 1，

EF，CD都相交的直线有________条．

无数[在A 1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α(如

图所示)，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，

连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性

知，有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．]

6．(2019·银川模拟)如图，四面体ABCD中，CD＝4，AB＝2，E、F

分别是AC、BD的中点，若EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于________．

30[如图，取AD的中点M，连接ME、MF，则ME∥CD，MF∥AB，

因为EF⊥AB，所以EF⊥MF，则∠MEF为EF与CD所成的角，又ME＝2，

MF＝1，故∠MEF＝30°.]

7．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，

点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________．2[如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距

离．

再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，

连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.

又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，

所以CO为∠ACB的平分线，

即∠ACO＝45°.

在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，

所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝32－12＝ 2.]

8．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．

图1 图2

262－1[先求面数有如下两种方法．

法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有

8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．

法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V )＋面数(F )－棱数(E )＝2.(欧拉公式)

由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.

故由V ＋F －E ＝2，得面数F ＝2＋E －V ＝2＋48－24＝26.

再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为

1的正方形上的正八边形ABCDEFGH ，如图，设其边长为x ，则正八边形的边长

即为棱长．

连接AF ，过H ，G 分别作HM ⊥AF ，GN ⊥AF ，垂足分别为M ，N ，则

AM ＝MH ＝NG ＝NF ＝22x . 又AM ＋MN ＋NF ＝1，∴22x ＋x ＋22x ＝1. ∴x ＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1.]

9．(2019·永州模拟)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BCD ＝60°，

AC 与BD 交于点O .以BD 为折痕，将△ABD 折起，使点A 到达点A 1的

位置．

(1)若A 1C ＝6，求证：平面A 1BD ⊥平面ABCD ；

(2)若A 1C ＝22，求三棱锥A 1­BCD 体积．

[解] (1)证明：∵在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BCD ＝60°，AC 与BD 交于点O .

以BD 为折痕，将△ABD 折起，使点A 到达点A 1的位置，A 1C ＝6，

∴A 1O ⊥BD ，OC ＝OA 1＝3，∴OC 2＋OA 21＝A 1C 2

，∴OC ⊥OA 1，

∵OC ∩BD ＝O ，∴OA 1⊥平面ABCD ，

∵OA 1⊂平面A 1BD ，∴平面A 1BD ⊥平面ABCD .

(2)设点A 1到平面BCD 的距离为d ，

∵OC ＝OA 1＝3，A 1C ＝22，

∴12×3×d ＝12×22×3－2，解得d ＝263， S △BCD ＝12×BD ×OC ＝12

×2×3＝3，

∴三棱锥A 1­BCD 体积V ＝13×d ×S △BCD ＝13×263×3＝223

. [能力提升练]

(建议用时：15分钟)

10．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.