高中数学竞赛初赛

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全国高中数学联赛初赛涉及内容有哪些，说
一说
跟高考内容差不多，但难度上有所提高。

联赛开始时大多数高中的数学课还未讲完，但这并不影响什么，如果你的高中数学成绩一直在135以上，联赛初试应该能过的。

但联赛这玩意应该在高一时就准备，初赛很用以就会过，但到复试时，只准备1个多月还是很难获得1等奖。

我当年花了40多天准备，只获得了2等（还是压边）.
对了，还有，除了高中课程外，一般初赛还会有一道平面几何题，单此题难度不大，不会涉及到例如梅捏劳斯定理等二试内容，看看初中时的书也就能搞定。

顺便说一下复赛分为一试和二试，如果不准备准备二试很有可能会得零分~~~~
总之，祝你好运。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分，要求直接将答案写在横线上。

）1.已知点P(4,1)在函数$f(x)=\log_a(x-b)$（$b>0$）的图像上，则$ab$的最大值是______。

解：由题意知，$\log_a(4-b)=1$，即$a+b=4$，且$a>0$，$a\neq 1$，$b>0$，从而$ab\leq 4$。

当$a=b=2$时，$ab$的最大值是4.2.函数$f(x)=3\sin(2x-\frac{\pi}{4})$在$x=\frac{3\pi}{4}$处的值是______。

解：$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$，所以$f(\frac{3\pi}{4})=3\sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=-\frac{3}{\sqrt{2}}$。

3.若不等式$|ax+1|\leq 3$的解集为$\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则实数$a$的值是______。

解：设函数$f(x)=|ax+1|$，则$f(-2)=f(1)=3$，故$a=2$。

4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是______。

解：有两类情况：同为白球的概率是$\frac{3}{25}\times\frac{10}{25}=\frac{6}{125}$，同为红球的概率是$\frac{7}{25}\times\frac{6}{25}=\frac{42}{625}$，所求的概率是$\frac{6}{125}+\frac{42}{625}=\frac{72}{625}$。

5.在平面直角坐标系$xOy$中，设焦距为$2c$的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$有相同离心率$e$，则$e$的值是______。

2023四川高中数学竞赛初赛试卷

高中数学竞赛初赛试卷一、单选题1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0),-∞上单调递增的是（） A ．2(1)f x x = B ．()21f x x =+ C ．()2f x x =D ．()2xf x -= 2.已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]3.若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件 4.某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（） A ．120 B ．35 C ．310 D ．9105．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.2525 5 D.56.袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（） A ．16 B ．13 C ．34 D ．567.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 8．定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（）A.1B.2C.3D.12 9.函数2x y +=的定义域为( )A ．{|21}x x x >-≠且B ．{|21}x x x ≥-≠且C ．)[(21,1,)-⋃+∞D ．)((21,1,)-⋃+∞10.2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（）A ．40B ．50C ．80D ．10011.已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)1,0-B.[)0,∞+C.[)1,-+∞D.[)1,+∞二、填空题12．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_______13.已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______.三、解答题14.已知函数()()21log 01+=>-ax f x a x 是奇函数（1）求a 的值与函数()f x 的定义域；（2）若()232log g x x =-对于任意[]1,4x ∈都有()()22log >⋅g x g x k x ，求k 的取值范围.15.已知x+y=7,xy=-8，求：（1）x 2+y 2的值；（2）（x-y ）2的值.（3）若不等式f （2x ）≧m ·2x 对x ЄR 恒成立，求实数m 的取值范围。

全国高中数学联赛初赛试卷含答案

全国高中数学联赛初赛试卷含答案
全国高中数学联赛初赛试卷时间：120分钟满分：150分姓名：一、填空题（本题共10小题，每小题107分，满分70分.要求直接将
答案写在横线上.）函数的值域为____.已知，其中，是虚数单位，则的值为____.圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为_____.设函数，则不等式的解集为_____.已知等差数列的前12项的和为60，则的最小值为_____.已知
正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为_____.在中，，且,设是平面上的一点，则的最小值为_____.设，其中，表示与的最大公约数，则的值为=_____.将，这9个数随即填入33的方格中，每个小方格恰填写一个数，且所填的数各不相同，则使每行、每列所
填的数之和都是奇数的概率为____.在中，能写成的形式，且不能被3整除的数有______个.二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，与轴交于点，设，求证：为定值.已知是公差为的
等差数列，且，求实数的值；若正整数满足，求数组和相应的通项公式.如图，在圆内接四边形中，对角线与交于点，与的内心分别为和，直线分
别与交于点，求证：.从这2050个数中任取2018个数组成集合，把中的每个数染上红色或蓝色，求证：总存在一种染色方法，是使得有60
0个红数及600个蓝数满足下列两个条件：①这600个红数的和等于这600个蓝数的和；②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平
方和.参考答案：（1）；（2）5；（3）；（4）；（5）60；（6）；（7）；（8）520；（9）；（10）；（1
1）；（12）①，；②，；。

全国高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准

C B
5. 设数列 {an } : a0 2, a1 16, an2 16an1 63an , n N*, 则 a2005 被
64 除的余数为
A. 0
B. 2
C. 16
D. 48
答: [ C ]
解：数列 {an } 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故选 C．
解：由题意知由 a1 S1 得又由 ① 式得
an 2 (a 2) 2 2Sn ，即 Sn n . 2 8
……… ①
a1 2 2a1 , 从而 a1 2 . 2
Sn 1
(an 1 2)2 (n 2) , 8
(an 2)2 (an 1 2) 2 (n 2) , 8 8
全国高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档. 其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本评分标准适当划分评分档次, 3 分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.
1 的最小值是 b( a b )
C. 4
D. 5
答: [ C ]
解：由 a b 0 , 可知
a2 a 1 0 b( a b ) (b ) 2 a 2 , 4 2 4
所以， a
2
1 4 a 2 2 4 . 故选 C． b( a b ) a
1
1
4. 设四棱锥 P ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面去截此四棱锥, 使得

数学高中初赛试题及答案

数学高中初赛试题及答案一、选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像经过点（1，1），则下列选项中正确的是：A. a + b + c = 1B. a + b + c = 0C. a + b + c = 2D. a + b + c = -1答案：A解析：将点（1，1）代入函数f(x) = ax^2 + bx + c中，得到a + b + c = 1。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，d = 2，则S5的值为：A. 15B. 25C. 35D. 45答案：A解析：根据等差数列前n项和公式Sn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入n = 5，a1 = 1，d = 2，得到S5 = 5/2 * (2 * 1 + (5 - 1) * 2) = 15。

3. 若复数z = (1 + i) / (1 - i)，则|z|的值为：A. 1B. √2C. 2D. 3答案：B解析：将z化简为z = (1 + i) / (1 - i) = (1 + i)^2 / (1 - i)(1 + i) = (1 + 2i + i^2) / (1 - i^2) = (1 + 2i - 1) / 2 = i，所以|z| = |i| = √2。

4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，若f'(x) = 0，则x的值为：A. 1B. 2C. 1或2D. 0答案：C解析：求导得到f'(x) = 3x^2 - 6x，令f'(x) = 0，解得x = 0或x = 2，但题目中给出f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，所以x = 0不符合题意，故选C。

5. 已知双曲线C：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1（a > 0，b > 0），若双曲线的一条渐近线方程为y = (√3)x，则双曲线的离心率为：A. √3B. 2C. √6D. 3答案：A解析：双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x，由题意知b/a = √3，所以b = √3a。

高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准

江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知函数2sin y x =，则（ B ）.（A ）有最小正周期为π2 （B ）有最小正周期为π （C ）有最小正周期为2π（D ）无最小正周期解：)2cos 1(21sin 2x x y -==，则最小正周期π=T . 故选（B ）． 2．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是（ C ）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-解：方程02022=--a ax x 的两根是14x a =-，25x a =，则由关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，得9|9|||21≤=-a x x ，即11≤≤-a . 故选（C ）．3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线的三点是（ A ）.（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D 解：2BD BC CD =+=a 4+b 2AB =，所以A 、B 、D 三点共线. 故选（A ）． 4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ D ）. （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥解：（A ）选项缺少条件m α⊂；（B ）选项当//αβ，βγ⊥时，//m β；（C ）选项当 α、β、γ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=时，m β⊂；（D ）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D ）．5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ C ）（A ）60个（B ）70个（C ）90个（D ）120个解：由6514233=+=+=+及题设知，个位数字的选择有5种. 因为321=+=7610=+-，故（1）由321=+知，首位数字的可能选择有2510⨯=种；（2）由37610=+-及54123=+=+知，首位数字的可能选择有248⨯=种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90⨯+=种. 故选（C ）． 6．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（ D ）. （A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个解：由题设知()f x 为偶函数，则考虑在11≤≤-x 时，恒有 ()2(1232007)20082007f x =⨯++++=⨯．所以当21321a a -≤-+≤，且111a -≤-≤时，恒有2(32)(1)f a a fa -+=-．由于不等式21321a a -≤-+≤的解集为3322a ≤≤，不等式 111≤-≤-a 的解集为20≤≤a ．因此当2253≤≤-a 时，恒有 2(32)(1)f a a f a -+=-. 故选（D ）．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若105=S ，510-=S ，则公差为 1-=d . 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d . 8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点 (28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，，化简得2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，；2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.9．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-，．解：因为 (2lg 6lg111x x -+>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．10．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．11．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为 ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=．故 sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．三、解答题（本题满分60分，每小题15分） 13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C .过点F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点为(,)P x y2=，即224x y -=．由P D ∈知0x y +>，x －y <0，即x 2－y 2<0．所以y 2－x 2＝4(y ＞0)，即曲线C 的方程为y 24－x 24＝1(y ＞0)．…………5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则以线段AB 为直径的圆的圆心为1212()22x x y y Q ++，. 因为以线段AB 为直径的圆L 与y 轴相切，所以半径 12122x x r AB +==，即12AB x x =+． ① …………10分因为直线AB 过点F (22，0)，当AB ⊥ x 轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －22)．代入双曲线方程y 24－x 24＝1(y ＞0)得，k 2(x －22)2－x 2＝4，即(k 2－1)x 2－42k 2x ＋(8k 2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A ，B 两点，所以k ≠±1．B CE 所以x 1＋x 2＝42k 2k 2－1，x 1x 2＝8k 2－4k 2－1．所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 2k 2－12－4⋅8k 2－4k 2－1]＝|x 1＋x 2|＝|42k 2k 2－1|，化简得：k 4＋2k 2－1＝0，解得k 2＝2－1（k 2＝－2－1不合题意，舍去）．由△＝(42k 2)2－4(k 2－1) (8k 2－4) ＝3k 2－1＞0，又由于y ＞0，所以－1<k <－ 33．所以k ＝－2－1 …………………15分14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 证：（1）设1AA 中点为D ，连C 、D . 因为AB B A =1，所以1AA BD ⊥．因为面C C AA A ABB 1111⊥，所以⊥BD 面C C AA 11．又1ACC ∆为正三角形，111A C AC =，所以 11AA D C ⊥. 从而11AA BC ⊥． ………………6分（2）由（1），有1BD C D ⊥，11BC CC ⊥，1CC ⊥面1C DB ．设1A 到面ABC 的距离为h ，则1113ABC B CAC B CDC hS V V ∆--==. 因为11113C C DB C DB V CC S -∆=⨯，所以1C DB ABCS h S ∆∆=．又 1C D BD =，且（第14题）B 1BA 1C 1AC432211==⨯=∆BD BD D C S DB C . 设ABC ∆的高为AE ，则2512312221212=+=+=+=BD CC BC BC ， 8325411=⋅-=AE ， 41583252=⋅=∆ABC S . 于是有 515153==h ，即1A 到平面ABC 的距离为515． ………………15分15．已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .解：由题设，22n n a a +≥+，则2007200520031222210032007a a a a ≥+≥+⨯≥≥+⨯=. ………5分由 22n n a a +≥+，得22n n a a +≤-，则3223231(1)n n n n a a a a n +++≤+≤-+=+≥. ………………10分于是 200720062005200219991123123212a a a a a ≤+≤+⨯≤++⨯≤+⨯+⨯136********a ≤≤+⨯+⨯=，所以 a 2007=2007．易知数列11a =，22a =，，n a n =符合本题要求． ………………15分注意：猜得答案n a n =或20072007a =，给2分．16．已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论．解：存在直线l ，与每个圆都有公共点．证明如下：如图，先作直线0l ，设第i 个圆在直线0l 上的正投影是线段i i A B ，其中i A 、i B 分别是线段的左右A 1A k A 2B 1B 2 B m端点．10个圆有10个投影线段，有10个左端点，有10个右端点． ………………5分因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设k A 是最右边的左端点，则所有右端点都在k A 的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个圆相交矛盾． ………………10分再设m B 是最左边的右端点，同理所有左端点都在m B 的左边. k A 与m B 不重合，线段k m A B 是任意一条投影线段的一部分，过线段k m A B 上某一点作直线0l 的垂线l ，则l 与10个圆都相交． ………………15分。

2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题参考答案

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题参考答案和评分标准本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A x x−=≤ − 集合2{20}Bx x x m =++≤。

若A B ⊆，则实数m 的取值范围为。

答案 3m ≤− 解集合11,2A xx=<≤要使A B ⊆，则21210m +×+≤，解得3m ≤−。

2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 []()1()f f x f x −=，则这样的函数有_______个. 答案：10 解令()1{1,2,3}yf x =−∈，则()1f y y =+。

对(1)2f =以下三种情况都满足条件(2)(3)2;(2)(3)3;(2)(3)4f f f f f f ======，共3种。

同理对(2)3,(1)(3)f f f ==有3种情况；(3)4,(1)(2)f f f ==也有3种情况。

又(1)2,(2)3,(3)4f f f ===显然满足条件。

所以满足已知条件的函数共有331×+= 10个。

（可以看出这种映射的限制仅在值域上，因此也可对值域大小分类讨论。

）3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为。

答案：34解令sin ,11t x t =−≤≤ ，原式变形11,1y t t=++当0t ≠时13,22y ≤≤。

当0t =时，1y =。

所以y 的最大、最小值分别为3122，，其积为34。

4.已知数列{}n x满足：111n x x x n +=≥，则通项n x =__________。

答案解将已知条件变形得22111111n n x x n n +−=−+，将上式从1到n 叠加得到 2211111n x x n−=−，即n x =。

5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，若1,60BC BDC =∠= ，球心到平面BDC 的距离为______________。

2024年江西省高中数学联赛初赛试卷答案

2024年全国高中数学联赛江西省预赛试题参考答案（6月23日上午9:3012:00−−）一、填空题（每小题7分，共56分）1.设集合{2,3,4,,4050}A =,集合{(,)|log 8log 6,,}a b B a b b a a A b A =+=∈∈,则集合B 的元素个数为．答案：68．解：由题log 2a b =或4,又22463396940504096648=<<==,所以集合B 的元素个数为(631)(71)68−+−=.2.设复数z 满足242||021z z z −+=−,则|1|z +的值为．答案：2．解：由题12z ≠, 所以 22(42)(21)||0|21|z z z z −−+=−.从而2221(21)|21|||2z z z −=−−,得||z =设21z bi −=(其中R b ∈),再由|2||1|z bi ==+得27b =,所以1|1||3|22z bi +=+==.3.P 是棱长为的正四面体ABCD 面BCD 的中心,,M N 分别是面,ABD ACD 上的动点,则PM MN NP ++的最小值为．答案解：如图1,点,S T 分别是点P 关于面ABD ,面ACD 的对称点,线段,PS ST 分别和面ABD 交于点0,Q M ,线段,PT ST 分别和面ACD 交于点0,R N ,点,E F 分别是棱,DB DC 的中点.则线段ST 的长度与PM MN NP ++相等，且是所求的最小值.点P 和线PS 在面ACE ,点P 和线PT 在面ABF 上,从而QR 在面AEF 上,且////QR EF ST ,2ST QR =.为便于计算边长比例和角度,我们先设正四面体的棱长为6,则EA EC ==,EP =从而222761cos 2273PEQ ⋅−∠==⋅,139EQ EQ EQ EA EC EP ===,所以8822,99ST QR EF BC ==⋅=故PM MN NP ++4.222444cos 20cos 40cos 80sin 20sin 40sin 80++++的值为．答案：43．解：注意到,22222222222cos 20cos 40cos 80cos 20cos (6020)cos (6020)1313cos 20(cos 20sin 20)(cos 20sin 20)222233(cos 20sin 20);22++=+−++=+−++=+=444444444222sin 20sin 40sin 80sin 20sin (6020)sin (6020)3131sin 20(cos 20sin 20)(cos 20sin 20)222299(cos 20sin 20).88++=+−++=+−++=+=故所求值为43. 5.设,b c 为实数,满足关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有6个互不相等的实数解,其中11()||||2f x x x x x=−−++,则(2025)(2024)f b f c ++的最小值为． B 图1答案：20231012．解: ()f x 的定义域{|0}D x x =≠关于原点对称,且对任意x D ∈,()()f x f x −=,所以()f x 是偶函数,且22,01,()22, 1.x x f x x x −+<<⎧⎪=⎨−⎪⎩画出()f x 的图像,如图2.由图可得:原方程有6个互不相等的实数解当且仅当关于t 的一元二次方程20t bt c ++=的两个根12,t t 满足120,02t t =<<,此时20,(2,0)c b t ==−∈−.再结合函数图像得最小值为22023(1)(2024)022*******f f −+=+−=.6.正实数,,x y z 满足2222248x y x y z ++=,则428log log log x y z ++的最大值为．答案：13．解：由2222248244x y x y z x y =++⋅得3624x y z ,其中不等式在222242x y x y z ===,即12,4x y z ===时取到等号,所以 36242864641log log log log log 4.3x y z x y z ++== 故所求最大值为13. 7.平面上同时和三直线34,(5),043y x y x y ==−−=相切的所有圆的半径的乘积为．答案：36．图2解：设满足条件圆的圆心坐标为(,)a b ,半径为R ,将直线方程化成标准方程再由点到直线的距离公式得|34||4320|||55a b a b R b −+−===,所以 222(3)(3)0,25(34)(4320)(25)(210)0.a b a b b a b a b a b a b −+=⎧=−=+−⇔⎨+−−−=⎩当3a b =时,得(55)(510)0b b −−=,解得121, 2.b b == 当13a b =−时,得55(5)(10)033b b −−−=,解得343, 6.b b ==− 故所有圆的半径的乘积为123636⨯⨯⨯=.8.已知正整数n 的所有正因数排列为: 1231,d d d =<<<则在1,2,3,,2024中使得1088d =的所有数之和为．答案：2376．解: 注意到388211=⨯的全部(31)(11)8+⨯+=个正因数从小到大依次为: 1,2,4,8,11,22,44,88.要使1088d =当且仅当n 是88的倍数且另有2个小于88的正因数.当n 只有2和11两个素因子时,此时增加n 中11的幂次不影响其小于88的正因数个数,626488=,得5211(1)k n k =⨯,又2024n ,所以5211352n =⨯=.当n 有三个以上素因子时,若第3个素因子23p <,则,2,4p p p 是n 的小于88且不整除88的正因数,与1088d =矛盾,所以23p.再注意到3202421123=⨯⨯,所以,此种情形符合题意的只有2024n =.故所求和为35220242376+=.二、解答题（共64分）9.(14分) 双曲线2222:1x y a b Γ−=的左右顶点,A B 的距离为4.,M N 是Γ右支上不重合的两动点且满足20BN AM k k +=(,AM BN k k 是相应直线的斜率).求动直线MN 经过的定点的坐标.解:设直线0:MN x my x =+,1122(,),(,)M x y N x y .由题得24a =,02,x >120,y y <0102(2)(2)0,x y x y −⋅+>从而 0102(2)(2)0.x y x y −++≠联立2222044b x y b x my x ⎧−=⎨=+⎩，，得22222200(4)2(4)0b m y mb x y x b −++−=,则 22200121222222(4),,44mb x b x y y y y b m b m −−+==−− 从而222001212220(4)4().42mb x x my y y y b m x −−==+−又由20BN AM k k +=得 120221************2012022200102022200102012010(2)22222(2)4()(2)2(4)(2)24(2)(4)2()(2)2my y x y y x y x y x y y x y my y x y x y y x y x x y x y x x x y x y x y y x y x ++++−=⋅==−−+−−+++−+++===−−+−−++−，即有00242,x x +=−+解得06x =,所以直线MN 过定点(6,0).10.(15分)实数,,a b c 满足44ab bc ca ++=,求222(4)(4)(4)a b c +++的最小值.解: (1)令222(4)(4)(4)D a b c =+++.我们先考虑,,a b c 均是正数情形,此时22222222(4)(4)164()(4)4(),a b a b a b ab a b ++=+++=−++所以2222222(4)(4)(4)((4)4())(4)(2(4)2())a b c ab a b c ab c a b +++=−+++−++ 22(2()8)806400,ab bc ca =++−==等号成立当且仅当42()2ab a b c−+=,即 4()abc a b c =++且44ab bc ca ++=.注意到(,,)(2,4,6)a b c =符合取等条件,故在,,a b c 均是正数情形,D 的最小值为6400.注意到题设条件的对称性,在,,a b c 均是负数情形,D 的最小值也为6400.(2)若0abc =,即,,a b c 中存在取值为0情形,由题不妨设0c =,此时44ab =. 2222(4)(4)(4)4446400.D a b c =+++>⋅>(3)最后考虑,,a b c 的取值为两负一正或一负两正情形,由对称性,不妨设0ab >,此时44()44ab a b c =−+>,也有24446400.D >⋅>综上,D 的最小值为6400,在(,,)(2,4,6)a b c =时取得该最小值.11.(15分)点H 为锐角ABC ∆的垂心,H 与边BC 切于点M 且与边,AB AC 无交点,,BD CE 分别与H 切于点,D E (均异于点M ), ,CF BG 为ABC ∆的高.证明：,,,D E F G 四点共线．证明:如图3,联结,,,,HD HE FD DE EG得,,,HF FB HD DB HG GC HE EC ⊥⊥⊥⊥,BH 平分DBC ∠,CH 平分EBC ∠,且有,,,;,,,H D F B H E G C 分别四点共圆.又360()DHE BHC DHB EHC ∠=−∠+∠+∠360(9090)BHC HBC HCB =−∠+−∠+−∠ 36022BHC A =−∠=∠,所以90180HDE A ABG HDF ∠=−∠=∠=−∠, 故180HDE HDF ∠+∠=,所以,点F 在直线DE 上.同理点G 在直线DE 上.所以,,,D E F G 四点共线.12.(20分)是否存在实数λ和2024次的实系数多项式()P x 和()Q x 满足对任意实数x ,都有22(1)(2)P x x Q x x λ−+=++.请说明理由.解: 不存在.对任意非零多项式()h x ,用deg(())h x 表示其次数.我们这里证明一般的结论:当()P x 不是常数多项式,即deg(())1P x 时,不存在实数λ和实系数多项式()P x 和()Q x 满足对任意实数x ,都有22(1)(2)P x x Q x x λ−+=++.(反证法) 假设存在满足条件的实数λ和多项式()P x 和()Q x .设deg(())P x m =,则1m ,2deg((1))2deg(())2P x x P x m −+==.由代数基本定理方程2(1)(1)P x x P −+=最多有2m 个互异实根.另一方面,由题得对任意实数x ,22(1)(2)P x x Q x x λ++=−+.所以图322222(1)(2)((2)2(2))((2)(2)1)(57).P x x Q x x Q x x P x x P x x λλ−+=++=+−++=++++=++ 令22()1,()57,f x x x g x x x =−+=++则(),()f x g x 均在[1,)+∞上严格单调递增,()()f x g x <,(1)1,(1)13f g ==,从而可按如下方式规范定义取值在[1,)+∞上的数列{}n a 和{}n b :111,1,()()n n n a n b g a f a +===.此时,对任意1n ,有111,1n n n n a a b b ++>>>,1(())(())()(())n n n n P f a P g a P b P f a +===.递推得21(1)(())(())(1),n n n P a a P f a P f a P −+===即严格单调递增的实数列{}n a 的每一项都是方程2(1)(1)P x x P −+=的实根,这与2(1)(1)P x x P −+=最多有2m 个互异实根矛盾,故假设不成立,结论得证.。

高中数学竞赛初赛试题(含答案)

高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4，那么常数 a 和 b 的值分别是多少？A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中，点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少？A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 9，那么 a 的值是多少？A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8)，那么常数a 和b 的值之和为多少？A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，前 n 项和为 S_n。

下列哪个等式是正确的？A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段，第一段比第二段长 2cm，第二段比第三段长4cm，三段的长度之和是 50cm。

请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。

答案：第一段：12cm，第二段：14cm，第三段：24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数，并且 a × b = 147，那么 a 和 b 的值分别是多少？答案：a = 1，b = 147 或 a = 147，b = 15. 在平面直角坐标系中，顶点为 (0,0)，椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上，且长轴长为 8，短轴长为 6。

2023全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

2023全国高中数学联赛安徽省初赛试卷一、选择题1.下列四个数中，最小的是（）。

A. 0 B. -1 C. 1 D. -22.已知a、b为实数，且满足a^2 + b^2 = 1。

则a + b的取值范围是（）。

A. (-∞, ∞) B. [-∞, ∞] C. [-1, 1] D. (-1, 1)3.若曲线y = f(x)的图象在点(1, 3)处的切线方程是y = 2x + 1，则函数f(x)的解析式是（）。

A. f(x) = 2x + 1 B. f(x) = x + 1 C. f(x) = 2x - 1 D. f(x) = x - 14.在等腰三角形ABC中，角B的度数是60°，BC = 2。

若从点B向侧边AC作高BD，交边AC于点D，那么BD的长度为（）。

A. √3 B. 1 C. 1/√3 D. 2/√3二、填空题1.已知函数f(x) = (x + 1)e^x，则f(-1)的值为______。

2.若函数f(x) = log(a^2x + a^(2x+1))是定义在实数集上的函数，其中a为正实数，则a的取值范围是________。

3.在第一象限内，过点P(2, -3)且与直线2x - 3y + 4 =0垂直的直线方程为________。

4.设a为正实数，若二次函数f(x) = ax^2 - 2ax + a + 1对于任意x都恒大于0，则实数a的取值范围是________。

三、解答题1.设点P(x, y)在椭圆x^2/16 + y^2/4 = 1上，直线y = kx与椭圆交于A、B两点（其中A点在坐标原点的右侧），若A、B两点的横坐标之和为2，则k的取值范围是多少？2.已知数列{an}满足a1 = 3，an+1 = an - 2（n = 1，2，3，…），求a10的值。

3.在下图所示的直角梯形ABCD中，AB // CD，已知AB = 5，BC = 7，DE = 3，EF = 2，求CD的长度。

2024年全国高中数学联赛初赛试题+答案[北京、广西、吉林、内蒙、四川、浙江、重庆]

2024年重庆市高中数学联赛初赛试题 2 2024年浙江省高中数学联赛初赛试题 3 2024年四川省高中数学联赛初赛试题 4 2024年吉林省高中数学联赛初赛试题 5 2024年广西省高中数学联赛初赛试题 7 2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题 9 2024年北京市高中数学联赛初赛一试 10 2024年北京市高中数学联赛初赛二试 11一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.已知复数z 使得z -4z为纯虚数，则z -1-i 的最小值为.（其中i 为虚数单位）2.设函数f x =2x -2-x 的反函数为y =f -1x ，则不等式f -1x -1 <1的解集为.3.若点A -12,32关于直线y =kx 对称的点在圆x -2 2+y 2=1上，则k =.4.在△ABC 中，已知AB ⋅AC =2BC ⋅BA =3CA ⋅CB，则△ABC 最大角的正弦值为.5.数列a n 满足a 1=1，a n +1-a n a n =a n +2-a n +1a n +2n ∈N * ，若a 1a 2+a 2a 3+⋯+a 6a 7=3，则a 2024=.6.由1，2，⋯，9这九个正整数构成的所有圆排列中，任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为.7.已知四面体ABCD 满足AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB =BC =CD =1，且异面直线AD 与BC 所成的角为60°，则四面体ABCD 的外接球的体积为.ABCD A 1D 1O 1O 8.一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生：有p 0≤p ≤1 的概率消失，有1-p3的概率保持不变，有1-p 3的概率分裂成两个，有1-p3的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过12，则p 至多为.二、解答题：共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.16分已知函数f x =ln x -sin x ，若两不相等的实数x 1，x 2∈0,π 满足曲线y =f x 在点x 1,f x 1 和点x 2,f x 2 处的切线斜率相等，求证：f x 1 +f x 2 >-2.10.20分已知抛物线Ω：y =x 2，动线段AB 在直线y =3x -3上(B 在A 右侧)，且AB =2 3.过A 作Ω的切线，取左边的切点为M .过B 作Ω的切线，取右边的切点为N .当MN ⎳AB 时，求点A 的横坐标.11.20分设x 1=3，x n +1=x n +14-x n +2n ∈N * ，求x 1+x 2+⋯+x n 的值.(其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.)一、填空题(每小题8分，共计96分)1.设集合A =x x -12x -1≤0 ，集合B =x ∣x 2+2x +m ≤0 .若A ⊆B ，则实数m 的取值范围为.2.设函数f ：{1,2,3}→{2,3,4}满足f f x -1 =f x ，则这样的函数有个.3.函数y =sin 2x +sin x +1sin 2x +1的最大值与最小值之积为.4.已知数列x n 满足：x 1=22，x n +1=x n n n +1x 2n+n n +1，n ≥1，则通项x n =.5.已知四面体A -BCD 的外接球半径为1，若BC =1，∠BDC =60°，球心到平面BDC 的距离为.6.已知复数z 满足z 24=z -1 510=1，则复数z =.7.已知平面上单位向量a ，b 垂直，c 为任意单位向量，且存在t ∈0,1 ，使得向量a +1-t b 与向量c -a 垂直，则a +b -c的最小值为.8.若对所有大于2024的正整数n ，成立n2024=2024i =0a i C in ，a i ∈N ∗，则a 1+a 2024=.9.设实数a ，b ，c ∈(0,2]，且b ≥3a 或a +b ≤43，则max {b -a ,c -b ,4-2c }的最小值为.10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为x 212+y 24=1，F 1为E 的左焦点；圆C 的方程为x -a 2+y -b 2=r 2，A 为C 的圆心.直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点P 3,1 .当∠OAF 1最大时，实数r =.11.设n 为正整数，且nk =0-1 kC knk 3+9k 2+26k +24=1312，则n =.12.设整数n ≥4，从编号1，2，⋯，n 的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号.若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为.二、解答题(13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54)13.正实数k 1，k 2，k 3满足k 1<k 2<k 3；实数c 1，c 2满足c 1=k 2-k 1，c 2-c 1=2k 3-k 2 ,定义函数f x =k 1x ,0≤x ≤1k 2x -c 1,1<x ≤2,k 3x -c 2,x >2 g x =k 1x ,0≤x ≤1k 2x -c 112,1<x ≤2k 3x -c 212,x >2 试问，当k 1，k 2，k 3满足什么条件时，存在A >0使得定义在[0,A ]上的函数g x +f A -x 恰在两点处达到最小值？14.设集合S ={1,2,3,⋯,997,998}，集合S 的k 个499元子集A 1，A 2，⋯，A k 满足：对S 中任一二元子集B ，均存在i ∈{1,2,⋯,k }，使得B ∈A i .求k 的最小值.15.设f x ，g x 均为整系数多项式，且deg f x >deg g x .若对无穷多个素数p ，pf x +g x 存在有理根，证明：f x 必存在有理根.(考试时间：2024年5月19日9:00∼11:00)一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.设函数f x =ln x +x -2的零点都在区间[a ,b ]a ,b ∈Z ,a <b 内，则b -a 的最小值为.2.已知a >b >1，若log a b +log b a =52，则ba +4的最大值为.3.设a ∈R ，若函数f x =ax -ax-2ln x 在其定义域内为单调递增函数，则实数a 的最小值为.4.用f X ,Γ 表示点X 与曲线Γ上任意一点距离的最小值.已知⊙O :x 2+y 2=1及⊙O 1：x -4 2+y 2=4，设P 为⊙O 上的动点，则f P ,⊙O 1 的最大值为.5.设△ABC 中，AC =2，∠ABC =2∠BAC ，则△ABC 面积的最大值为.6.将边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1绕着其中心旋转45°得到一个十面体ABCD -EFGH (如图)，则该十面体的体积为.7.若T =100k =1299+k ⋅3101-k ，则T 的末尾数字0的个数为.8.记I ={1,4,5,6}，U ={1,2,3,⋯,25}，集合U 的子集A =a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 ，满足a i -a j ∉I ∀1≤i <j ≤5 ，则符合条件的集合A 的个数为.(用具体数字作答)二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(16分)已知t 为正实数，若曲线y =t ⋅e x 与椭圆C ：x 22+y 2=1交于A 、B 两个不同的点，求证：直线AB 的斜率k <22.10.(20分)设复数x ，y ，z 满足：x +2y +3z =1.求x 2+y 2+z 2+x 2+y 2+z 2的最小值.11.(20分)给定正整数n ≥2，数组a 1,a 2,⋯,a n 称为“好数组”是指：a 1，a 2，⋯，a n 均不为0，a 1=1，且对任意的1≤k ≤n -1，均有a k +1+a k a k +1-a k -1 =0.求“好数组”a 1,a 2,⋯,a n 的组数.一、选择题：本大题共6小题，每小题x 分，满分x 分.1.记S =32+432-4+42+442-4+52+452-4+⋯+132+4132-4，则与S 最接近的整数为()A.14B.15C.16D.172.在四边形ABCD 中，AB ⎳CD ，AC =λAB +μAD λ,μ∈R .若λ+μ=32，则CDAB=()A.13B.12C.1D.23.函数f x =ax 3-6x a ∈R ，若f x ≤2对∀x ∈-1,12成立，则()A.f x ≤1对∀x ∈-12,12 成立B.f x ≤32对∀x ∈-12,12成立C.f x ≤18对∀x ∈-32,32成立D.f x ≤352对∀x ∈-32,32成立4.在正四面体ABCD 中，棱AD 的中点和面BCD 的中心的连线为MN ，棱CD 的中点和面ABC 的中心的连线为PQ ，则MN 与PQ 所成角的余弦值为()A.118B.117C.116D.1155.已知函数f x =2x 4-18x 2+12x +68+x 2-x +1，则()A.f x 的最小值为8 B.f x 的最小值为9C.f x =8有1个实根D.f x =9有1个实根6.已知A ，B ，C 是平面上三个不同点，且BC =a ，CA =b ，AB =c ，则c a +b +bc的最小值为()A.2-12B.22-12C.2-22D.1-22二、填空：本大题共6小题，每小题x 分，满分x 分.7.设集合S ={1,2,3,4,5}.若S 的子集A 满足：若x ∈A ，则6-x ∈A ，则称子集A 具有性质p ，现从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质p 的概率为.8.函数f x =log a 4-ax (a >0，且a ≠1)，若f x ≥1对∀x ∈[1,2]成立，则实数a 的取值范围.9.已知甲、乙、丙、丁四位同学对某10道判断题的解答情况如下表：题号12345678910甲×√××√×√√√×乙××√√×√√√××丙√√×√√√×√×√丁××√√××√√××若甲、乙、丙三人均答对7题，则丁答对的题数为.10.已知函数f x =ln x -1x2+2ax -ax .若∃m >0，使得f m ≥a 2，则实数a 的最大值为11.设函数f x =sin x⋅sin3x，若关于x的方程f x =a在(0,π]上有奇数个不同的实数解，则实数a的值为.12.在△ABC中，AP平分∠BAC，AP交BC于P，BQ平分∠ABC，BQ交CA于Q，∠BAC=30°，且AB+BP =AQ+QB，则∠ABC的度数为.三、解答：本大题共4小题，每小题x分，满分x分.13.已知椭圆C1的中心为坐标原点O，焦点在坐标轴上.圆C2的圆心为坐标原点O，过点A-2,0且倾斜角为30°的直线与圆C2相切.(1)求圆C2的方程；(2)过圆C2上任意一点P x0,y0x0⋅y0≠0作圆C2的切线，与椭圆C1交于A，B两点，均有∠AOB=90°成立.判断椭圆C1是否过定点？说明理由.14.已知数列a n满足：a1=1，a2=2，a n+1=1a n+an-1n≥2.求证：2024k=11a k>88.15.如图，⊙O1、⊙O2外切于点A，过点A的直线交⊙O1于另一点B，交⊙O2于另一点C，CD切⊙O1于点D，在BD的延长线上取一点F，使得BF2=BC2-CD2，连接CF交⊙O2于E，求证：DE与⊙O2相切.16.全体正有理数的集合Q+被分拆为三个集合A，B，C(即A∪B∪C=Q+，且A∩B=B∩C=C∩A=∅，满足B*A=B，B*B=C，B*C=A，这里H*K={h⋅k∣h∈H,k∈K}.(1)给出一个满足要求的例子(即给出A，B，C)；(2)给出一个满足要求的例子，且1，2，⋯，35中的任意两个相邻正整数均不同时在A中.2024年广西省高中数学联赛初赛试题一、填空题(本大题共8小题，每小题10分，共80分).1.设函数f x =log2x.若a<b且f a =f b ，则a+2024b的取值范围是.2.已知椭圆x 2a2+y2b2=1a>b>0的焦点为F1，F2，M为椭圆上一点，∠F1MF2=π3，OM=153b.则椭圆的离心率为.3.若正实数x，y满足x-2y=2x-y，则x的最大值为.4.方程3x=x37的正整数解为.5.设x1，x2，x3，x4均是正整数，且x i x j x k∣1≤i<j<k≤4=18,36,54.则x1+x2+x3+x4=.6.正三棱雉P-ABC中，AP=3，AB=4.设D是直线BC上一点，面APD与直线BC的夹角为45°，则线段PD的长度是.7.已知四次多项式x4-25x3+ax2+61x-2024的四个根中有两个根的乘积是-253，则实数a=.8.设数列x n满足x1=2001，x n+1=x n+y n，其中y n等于x n的个位数，则x2024=.二、解答题(本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)9.(15分)如图所示，AD=CD，DP=EP，BE=CE，DP<AD<BE，∠ADC=∠DPE=∠BEC=90°.证明：P为线段AB的中点.10.(15分)设A为数集{1,2,3,⋯,2024}的n元子集，且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系.求n 的最大值.11.(20分)用[x]表示不超过x的最大整数.设数列x n满足：x1=1，x n+1=4x n+11x n.求x2024的个位数.12.(20分)图G是指一个有序二元组V,E，其中V称为顶点集，E称为边集.一个图G中的两点x，y的距离是指从x到y的最短路径的边数，记作d x,y.一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值，记作diam G.∣x,y∈G，即diam G=max d x,y记Z n={[0]，[1]，[2]，⋯，[n-1]}是模n的剩余类，定义Z n上的加法和乘法，均是模n的加法和乘法，例如在Z12={[0]，[1]，[2]，⋯，[11]}中：[3]+[4]=[7]，[6]+[9]=[3]；[3]⋅[4]=[0]，[6]⋅[9]=[6].在Z n中，设[x]≠[0].若存在[y]≠[0]使得[x]⋅[y]=[0]，则称[x]是Z n的一个零因子.记Z n的所有零因子的集合为D Z n，它是以={[2]，[3]，[4]，[6]，[8]，[9]，[10]}.Z n的零因子图，记为ΓZ n .例如D Z12D Z n为顶点集，两个不同的顶点[x]，[y]之间有一条边相连当且仅当[x]⋅[y]=[0].下图是ΓZ12的例子.证明：对一切的整数n≥2，都有diamΓZ n≤3.2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题(2024年5月19日，8:30-9:50)一、填空题(本题满分64分，每小题8分)1.集合M ={1,2,3,5,6}的全部非空子集的元素和等于.2.设a ，b ，c 是实数，满足a +b +c =1，a 2+b 2+c 2=1，a ≠0，bca 3的取值范围为.3.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长为4，底面边长为2，过点A 的一个平面截此棱柱，与侧棱BB 1，CC 1分别交于点M ，N ，若△MNA 为直角三角形，则△MNA 面积的最大值为.4.已知在△ABC 中BC =3，A =π3，BD =14BC，则线段AD 的最大值为.5.从1，2，⋯，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为.6.O 是原点，椭圆x 24+y 25=1，直线l 过1,0 且与椭圆交于A ，B 两点，则△ABO 面积的最大值为.7.数列a n 中，a 1=110，且对任意n ∈N *，a n +1=a 2n +a n ，求2024n =11a n+1 的整数部分是.8.已知关于x 的方程x 3-3x +4=0的三个复数根分别为z 1，z 2，z 3，则z 1-z 2 2z 2-z 3 2z 3-z 1 2的值为.二、解答题(本题满分56分)9.(16分)已知双曲线C ：x 24-y 23=1，直线l ：y =kx +1与双曲线C 的左右支分别相交于A ，B 两点，双曲线C 在A ，B 两点处的切线相交于点P ，求△ABP 面积的最小值.10.(20分)已知函数f x =e x -1-xax 2-2x +1.(1)当a =0时，讨论f x 在-4,12上的极值.(2)若x =0是f x 的极小值点，求a 的取值范围.11.(20分)设n 是一个给定的正整数，集合S n =i ,j ∣1≤i ,j ≤2n ,i ,j ∈N * ，求最大的正数c =c n ，使得对任意正整数d 1，d 2，都存在集合S n 的子集P ，满足集合P 至少有cn 2个元素，且集合P 的任两个元素i ,j ，k ,l 均有i -k2+j -l 2≠d 1，i -k 2+j -l 2≠d 2.2024年北京市高中数学联赛初赛一试考试时间：8:00-9:20一、填空题(1-8题每题8分，第9题16分，第10，11题每题20分，共120分)1.设整数集合A=a1,a2,a3,a4,a5，若A中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为B={-30,-15, -10,-6,-5,-3,2,6,10,15}，则集合A={-30,-15,-10,-6,-5,-3,20,10,15}，则集合A=.2.已知函数f x =x+2,x<0；ln12x+1,x≥0.若关于x的方程f f x=m恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3且满足x1<x2<x3，则2x1+9ln x2+4的取值范围是.3.从1，2，⋯，2024中任取两个数a，b a≤b，则3a+7b的值中，个位数字为8的数有个.4.设复数z满足3z-2i=6，令z1=z2-10z+74z-5+7i，则z1的最大值是.5.已知函数f x =x,若x为无理数；q+1p,若x=qp,其中p,q∈N*,且p,q互质,p>q.则函数f x 在区间89,910上的最大值为.6.对于c>0，若非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0，且使2a+b最大，则3a-4b+2c的最小值为.7.已知函数f x =cos4x+sin4x+a sin4x-b，且f x+π6为奇函数.若方程f x +m=0在[0,π]上有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则fx1+x2+x3+x44的平方值为.8.已知A⊆{1,2,⋯,2625}，且A中任意两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，则A 的最大值为.9.设多项式f x =x2024+2023i=0c ix i，其中c i∈{-1,0,1}.记N为f x 的正整数根的个数(含重根).若f x 无负整数根，N的最大值是.10.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1上的一点，且A1E=1，F为截面A1BD上的动点，则AF+FE的最小值等于.11.数列a n定义如下：设2n!n!n+2024!写成既约分数后的分母为A n ，a n等于2A n 的最大质因数，则a n的最大值等于.2024年北京市高中数学联赛初赛二试考试时间：9:40-12:301.(40分)设a，b，c是三个正数，求证：2a2a2+b2+c2+2ba2+2b2+c2+2ca2+b2+2c2≤32a+b+c5a2+5b2+5c2+ab+bc+ca.2.(40分)如图所示，锐角△ABC的三条高线AD，BE，CF交于点H，过点F作FG⎳AC交直线BC于点G，设△CFG的外接圆为⊙O，⊙O与直线AC的另一个交点为P，过P作PQ⎳DE交直线AD于点Q，连接OD，OQ.求证：OD=OQ.3.(50分)有n个球队参加比赛，球队之间的比赛计划已经安排好了.但是每场比赛的主场客场还没有分配好.这时每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数.最终组委会发现这些次数加在一起恰好是比赛的总场次，并且组委会还发现任意挑出若干支球队，他们能够接受的客场次数之和都要大于等于他们之间的比赛总场次.请问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意，请证明你的结论.4.(50分)设a1，a2，⋯，a n为n个两两不同的正整数且a1a2⋯a n恰有4048个质因数.如果a1，a2，⋯，a n中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方，求n的最大值.2024年重庆市高中数学联赛初赛试题 2 2024年浙江省高中数学联赛初赛试题 3 2024年四川省高中数学联赛初赛试题 4 2024年吉林省高中数学联赛初赛试题 5 2024年广西省高中数学联赛初赛试题 7 2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题 9 2024年北京市高中数学联赛初赛一试 10 2024年北京市高中数学联赛初赛二试 112024年重庆市高中数学联赛初赛试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.已知复数z 使得z -4z为纯虚数，则z -1-i 的最小值为2-2.（其中i 为虚数单位）【答案】2-2【解析】z -4z 为纯虚数⇒z -4z =-z -4z⇔z +z =4z +zzz.当z +z=0时，，z -1-i min =1；当z +z≠0时，，则z =2，，此时z -1-i min =2-2<1，，当z =21+i 可取等号.2.设函数f x =2x -2-x 的反函数为y =f -1x ，则不等式f -1x -1 <1的解集为-12,52 .【答案】-12,52 【解析】因为f x 为R 上单调递增的奇函数，，且值域为R ，，所以f -1x 也为R 上单调递增的奇函数.注意f 1 =32，，故f -1x -1 <1⇔-32<x -1<32⇔-12<x <52.3.若点A -12,32 关于直线y =kx 对称的点在圆x -2 2+y 2=1上，则k =3.【答案】3【解析】注意点A 在圆x 2+y 2=1上，，且A 关于直线y =kx 对称的点必然在圆x 2+y 2=1上，，而圆x 2+y 2=1与圆x -2 2+y 2=1仅有唯一公共点B 1,0 ，，因此对称点只能是B .易知∠AOB =120°，，因此k =tan60°= 3.4.在△ABC 中，已知AB ⋅AC =2BC ⋅BA =3CA ⋅CB ，则△ABC 最大角的正弦值为31010.【答案】31010【解析】设△ABC 的内角A ，，B ，，C 所对的边分别为a ，，b ，，c ，，由条件知b 2+c 2-a 22=a 2+c 2-b 2=3a 2+b 2-c 2 2，，解得b 2=85a 2，，c 2=95a 2，，故最大角为角C ，，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =1010⇒sin C =31010.5.数列a n 满足a 1=1，a n +1-a n a n =a n +2-an +1a n +2n ∈N * ，若a 1a 2+a 2a 3+⋯+a 6a 7=3，则a 2024=62029.【答案】62029【解析】由a n +1-a n a n =a n +2-a n +1a n +2可得1a n +1a n +2=2a n +1，，则数列1a n 为等差数列，，首项为1a 1=1，，设公差为d ，，则a 1a 2+a 2a 3+⋯+a 6a 7=11+d +11+d 1+2d +⋯+11+5d 1+6d=1d 1-11+d +11+d -11+2d +⋯11+5d -11+6d =61+6d =3⇒d =16，，故1a 2024=1+20236=20296⇒a 2024=62029.6.由1，2，⋯，9这九个正整数构成的所有圆排列中，任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为21600.【答案】21600【解析】一个圆排列满足要求当且仅当该排列中8，，9与7，，9这两对数均不能相邻.设满足8，，9相邻的圆排列有N1个，，满足7，，9相邻的圆排列有N2个，，满足8，，9相邻且7，，9相邻的圆排列有N3个，，则N1= N2=A22⋅7!，，N3=A22⋅6!，，从而由容斥原理，，满足要求的排列的个数为N=8!-N1+N2-N3=21600.7.已知四面体ABCD满足AB⊥BC，BC⊥CD，AB=BC=CD=1，且异面直线AD与BC所成的角为60°，则四面体ABCD的外接球的体积为55π6.ABC DA1D1 O1O【答案】55π6【解析】由题设条件，，可将四面体补成直三棱柱ABD1-A1CD，，如图所示.由题知∠A1AD=60°，，AA1=1，，于是A1D=AD1=3，，又AB=BD1=1，，则∠ABD1=120°.设四面体ABCD的外接球球心为O，，则O在平面ABD1的投影O1为△ABD1的外心，，且OO1=12.由正弦定理知，，O1A=1，，从而外接球半径R=OA=52，，于是V=43πR3=55π6.8.一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生：有p0≤p≤1的概率消失，有1-p3的概率保持不变，有1-p3的概率分裂成两个，有1-p3的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过12，则p至多为5 17.【答案】517【解析】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为f1 =q≤12，，那么若开始有n个珍稀生物、最终灭绝的概率则为f n =q n.由题知，，f1 =p+1-p3f1 +1-p3f2 +1-p3f3 ，，从而有q=p+1-p3q+1-p 3q2+1-p3q3即q-11-p3q2+2q+3-1∣=0，，由于q≤12，，则0=1-p3q2+2q+3-1≤1-p 3⋅174-1，，得p≤517.故p至多为517.注：该题也可以用母函数.其第n天的母函数为f n x ，，其中f x =p+1-p3x+1-p3x2+1-p3x3，，考虑limn→+∞f n 0 ≤12即可.二、解答题：共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.16分已知函数f x =ln x-sin x，若两不相等的实数x1，x2∈0,π满足曲线y=f x 在点x1,f x1和点x2,f x2处的切线斜率相等，求证：f x1 +f x2 >-2.【解析】先证一个引理：对x>0，，有sin x<x.引理的证明：令φx =sin x-x，，φ x =cos x-1≤0，，故φx 为减函数，，所以当x>0时，，φx <φ0 =0，，引理得证！4分回到原题：f x =1x-cos x，，由题知f x1=f x2 .不妨x 1>x 2，，则x 1-x 22∈0,π2，，于是由f x 1 =f x 2 并结合引理可得x 1-x 2x 1x 2=cos x 2-cos x 1=2sin x 1+x 22sin x 1-x228分≤2sin x 1-x 22<2×x 1-x22=x 1-x 2，，因此x 1x 2>1.12分所以f x 1 +f x 2 =ln x 1x 2-sin x 1-sin x 2>-sin x 1-sin x 2≥-2.16分10.20分已知抛物线Ω：y =x 2，动线段AB 在直线y =3x -3上(B 在A 右侧)，且AB =2 3.过A 作Ω的切线，取左边的切点为M .过B 作Ω的切线，取右边的切点为N .当MN ⎳AB 时，求点A 的横坐标.【解析】设M x 1,x 21 ，，N x 2,x 22 ，，注意k MN =x 22-x 21x 2-x 1=x 1+x 2，，从而当MN ⎳AB 时，，k MN =k AB =3⇒x 1+x 2= 3.5分因为y =2x ，，所以k AM =2x 1，，可得切线AM 的方程为y -x 21=2x 1x -x 1 ，，即y =2x 1x -x 21.同理可得切线BN 的方程为y =2x 2x -x 22.由题设中A ，，B 的要求，，可设A t ,3t -3 ，，B t +3,3t ，，10分将A t ,3t -3 代入切线AM 的方程，，得3t -3=2tx 1-x 21，，即x 21-2tx 1+3t -3=0，，可求得x 1=t -t 2-3t +3，，这里取较小的根是因为M 为左边的切点.同理可求得x 2=t +3+t 2+3t +3.15分于是x 1+x 2=3⇒t -t 2-3t +3+t +3+t 2+3t +3=3，，整理得t 1+3t 2-3t +3+t 2+3t +3=0⇒t =0.故点A 的横坐标为0.20分11.20分设x 1=3，x n +1=x n +14-x n +2n ∈N * ，求x 1+x 2+⋯+x n 的值.(其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.)【解析】设f x =x +14-x +2=12x +14+x +2.对于x >0，，f x 连续且单调递减.由于x 1>2，，则0<x 2=f x 1 <f 2 =2，，进而依次可以得到x 3>2，，0<x 4<2，，即0<x 2k <2，，x 2k +1>2.5分令g x =x +f x .由于g x =1+12x +14-12x +2>0恒成立，，故当x ≥0时，，g x 单调递增.又由于g 2 =4，，故当x >2时，，g x >4；当0<x <2时，，g x <4.10分当n 为偶数时，，设n =2k k ∈N * ，，有x 1+⋯+x 2k =x 1+x 2 +x 3+x 4 +⋯+x 2k -1+x 2k =g x 1 +g x 3 +⋯+g x 2k -1 >4k ，，且x 1+⋯+x 2k =x 1+x 2+x 3 +x 4+x 5 +⋯+x 2k -2+x 2k -1 +x 2k =x 1+g x 2 +g x 4 +⋯+g x 2k -2 +x 2k <4k +1，，故x 1+x 2+⋯+x 2k =4k =2n .当n 为大于1的奇数时，，设n =2k +1k ∈N * ，，有x 1+⋯+x 2k +1=x 1+x 2 +x 3+x 4 +⋯+x 2k -1+x 2k +x 2k +1=g x 1 +g x 3 +⋯+g x 2k -1 +x 2k +1>4k +2x 1+⋯+x 2k +1=x 1+x 2+x 3 +x 4+x 5 +⋯+x 2k +x 2k +1=x1+g x2+g x4 +⋯+g x2k<4k+3，，故x1+x2+⋯+x2k+1=4k+2=2n.当n=1时，，x1=3.综上，，当n=1时，，x1=3；当n≥2时，，x1+x2+⋯+x n=2n.20分2024年浙江省高中数学联赛初赛试题一、填空题(每小题8分，共计96分)1.设集合A=x x-12x-1≤0，集合B=x∣x2+2x+m≤0.若A⊆B，则实数m的取值范围为m≤-3.【答案】m≤-3【解析】集合A=x 12<x≤1，，要使A⊆B，，则12+2×1+m≤0，，解得m≤-3.2.设函数f：{1,2,3}→{2,3,4}满足f f x -1=f x ，则这样的函数有10个.【答案】10【解析】令y=f x -1∈{1,2,3}，，则f y =y+1.对f1 =2以下三种情况都满足条件f2 =f3 =2；f2 =f3 =3；f2 =f3 =4，，共3种.同理对f2 =3，，f1 =f3 有3种情况；f3 =4，，f1 =f2 也有3种情况.又f1 =2，，f2 =3，，f3 =4显然满足条件.所以满足已知条件的函数共有3×3+1=10个.(可以看出这种映射的限制仅在值域上，，因此也可对值域大小分类讨论.)3.函数y=sin 2x+sin x+1sin2x+1的最大值与最小值之积为34.【答案】34【解析】令t=sin x，，-1≤t≤1，，原式变形y=1+1t+1t ，，当t≠0时，，12≤y≤32.当t=0时，，y=1.所以y的最大、最小值分别为32，，12，，其积为34.4.已知数列x n满足：x1=22，x n+1=xnn n+1x2n+n n+1，n≥1，则通项x n=n3n-1.【答案】n3n-1【解析】将已知条件变形得1x2n+1-1x2n=1n-1n+1，，将上式从1到n叠加得到1 x2n -1x21=1-1n，，即x n=n3n-1.5.已知四面体A-BCD的外接球半径为1，若BC=1，∠BDC=60°，球心到平面BDC的距离为6 3.【答案】63【解析】因为球心在平面BDC上的投影就是△BDC的外心，，由已知求得△BDC的外接圆半径为33，，所以球心到平面BDC的距离为1-332=63.6.已知复数z满足z24=z-1510=1，则复数z=12±32i.【答案】12±32i【解析】由已知得z =z-1=1，，解得z=12±3i2.显然这两个解满足题设条件.。

高中数学竞赛初赛试题(含答案)

高中数学竞赛初赛试题一选择题1. 如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4AB ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。

这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个64862ABCD２.设函数()()lg 101xf x -=+,()()122x x f f --=方程的解为()()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足.,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}ku 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( )2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}na ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 959778366ABCD6.设A B ==1+cos871-cos87 则():A B =...A B C D 22二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的na 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x f f x ==()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD绕直线AC旋转所得的旋转体的体积为_______________ 三解答题 13.已知椭圆22412:3y x+=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A BΓ过且与交于两点(可以重合).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.14. 数列{}nx 由下式确定:112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s取此最大值时, ,,x y z 的取值.安徽省高中数学联赛初赛试题一、选择题1. 若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =的图象重合，则（）（A ）()()1g x fx -=- （B ）()()1g x f x -=（C ）()()1g x fx -=--（D ）()()1g x f x -=-2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（）（A ）椭圆（B ）双曲线的一部分（C ）抛物线的一部分（D ）矩形 3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++最接近的是（）（A ）-2008 （B ）-1 （C ）1 （D ）2008 4.四面体的6个二面角中至多可能有（）个钝角。

全国高中数学联赛初赛试卷(含答案)

全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10 小题，满分 70 分，每小题7 分．要求直接将答案写在横线上．）1．已知点 P(4， 1)在函数 f(x)＝ log a (x － b) ( b ＞ 0)的图象上，则ab 的最大值是．2解：由题意知， log a (4－ b)＝ 1，即 a ＋ b ＝ 4，且 a ＞ 0， a ≠ 1， b ＞ 0，从而 ab ≤ (a ＋b) ＝ 4，4 当 a ＝b ＝ 2 时， ab 的最大值是 4．π 43π2．函数 f(x)＝ 3sin(2x －4)在 x ＝ 24处的值是．π 43π π 40π 10π4π43π 4π3．解： 2x －＝－＝＝＝ 2π＋，所以 f(24 )＝ 3sin ＝－4 12 4 12 3 3 323．若不等式 |ax ＋ 1|≤ 3 的解集为 { x |－ 2≤ x ≤ 1} ，则实数 a 的值是．解：设函数 f(x)＝ |ax ＋ 1|，则 f(－ 2)＝ f(1)＝ 3，故 a ＝ 2．4．第一只口袋里有3 个白球、 7 个红球、 15 个黄球，第二只口袋里有10 个白球、 6 个红球、9 个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是．解：有两类情况：同为白球的概率是3×10＝ 30，同为红球的概率是7×6 ＝ 42 ，所求的25×25 62525× 25 625概率是72．6252 22 2xyxy5．在平面直角坐标系 xOy 中，设焦距为 2c 的椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a ＞b ＞ 0)与椭圆 b 2＋ c 2＝ 1 有相同的离心率 e ，则 e 的值是．c 2 c 2－ b 2c 2 b 2－ c 2－1＋ 5解：若 c ＞ b ，则 a 2＝ c 2 ，得 a ＝ b ，矛盾，因此c ＜b ，且有 a 2＝ b 2 ，解得 e ＝2． 6．如图，在长方体ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，对角线 B 1D 与平面 A 1BC 1 交于 E 点．记四棱锥 E －ABCD 的体积为V 1 ，长方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 的体D 1C 1积为 V ，则V 1的值是．2V 2A 1B 1EDCAB（第 6 题图）解：记四棱锥 B 1－ ABCD 的体积为 V ．C 1D 12O如图， DE ＝ DB 1，A 13B 1从而 V 1＝ 2V ．又 V ＝1V 2，所以V 1＝2．E33V 2 9CDAB（第 6 题图）7．若实数集合 A ＝ {31 x ，65y} 与 B ＝ {5 xy ，403} 仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素之积的值是．解：因为 31x × 65y ＝ 5xy ×403＝ 2015xy ．若 xy ≠ 0，则集合 A 和集合 B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝ 0，从而 A ∪ B 中所有元素之积的值为 0．8．设向量 a ＝ (cos α，sin α)，b ＝ (－ sin α，cos α)．向量 x 1，x 2，， x 7 中有 3 个为 a ，其余为 b ；向量 y 1，y 2，， y 7 中有 2 个为 a ，其余为 b ．则7．i i 的可能取值中最小的为x yi=1 解：因为 aa ＝b b ＝ 1， a b ＝ 0，所以 7x y 的最小值为 2．···i=19．在 3× 3 的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余 6 个数之和为．1 解：如图，设幻方正中间的数为 x ，则由题意知2a ＝－ 2012，从而对角线上三个数的和为 x － 2011．2015因此 b ＝ x － 2014， c ＝－ 4026， d ＝－ 2013， e ＝x ＋ 2014．（第 9题图）由 b ＋e ＋ x ＝ x － 2011，解得 x ＝－2011． 2这 9 个数的和为 3× (－2011－ 2011)＝－18099，22所以幻方中其余 6 个数之和为－18099－ 2018＝－ 22135．22e c 1dx 2a2015b（第 9 题图）10．在平面直角坐标系xOy 中，设 D 是满足 x ≥ 0， y ≥0， x ＋y ＋ [x]＋[ y]≤ 19 的点 (x ， y)形成的区域（其中 [x]是不超过 x 的最大整数）．则区域 D 中整点的个数为．解：区域 D 中整点的个数为 1＋ 2＋3＋＋ 10＝ 55．420 8011{ a n }a 2 2 qS n { a n }nT n{ a 2n }nS 2n 2T nqq1a n a 2 2 a 2n 4S 2n 4n T n 4n S 2n ≠ 2T nq1a n 2× ( 1)n a 2n 4S 2n 0 T n 4n S 2n ≠2T n522n42nq × (1 q ) 2 × (1 q )n －2 a 2 4q2n － 4q 2q ± 1a n 2qS 2n T nn1 q1 q15S2T41 q 2q 4 0q1± 172nnq(1 q)2117117q202212ABC AB AC DEAB AC BD CE BACADE A PCAP B CPDPE PCAPDE,PAD PED PAF PDEAP BACPAD PAFEDABP(第 12题图)CEDABFPPEDPDE (第 12题图)PD PE 10ADPAEPBDPCEPBD CE BDP CEP PBD PCE PBA PCA所以 A 、 P 、B 、 C 四点共圆．10 分13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆 O 1、圆 O 2 都与直线 l ：y ＝kx 及 x 轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P(2， 2)，求直线 l 的方程．解：由题意，圆心O 1， O 2 都在 x 轴与直线 l 的角平分线上．yl若直线 l 的斜率 k ＝ tan α，α2tP2．O 2设 t ＝ tan，则 k ＝1－ t2O 1圆心 O 1， O 2 在直线 y ＝ tx 上， Ox可设 O 1(m ，mt)，O 2(n ， nt)．(第 13题图)交点 P(2， 2)在第一象限， m ， n ， t ＞ 0． 4 分所以⊙ O 1： (x － m)2+(y －mt)2 =(mt)2，⊙O 1： (x － n)2+(y － nt) 2=(nt)2 ，(2－ m) 2＋ (2－ mt)2＝ (mt)2，m 2－ (4＋ 4t)m ＋ 8＝ 0，8 分所以 (2－ n)2 ＋(2－ nt)2＝ (nt)2，即n 2 －(4 ＋4t)n ＋ 8＝ 0，所以 m ， n 是方程 X 2－ (4+4 t)X ＋ 8=0 的两根， mn ＝ 8．由半径的积 (mt)(nt)＝ 2，得 t 2＝1，故 t ＝ 1．16 分42所以 k ＝ 2t 1＝4420 分2 ＝，直线 l ： y ＝ x ．1－ t1331－ 414．将正十一边形的 k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色．（ 1）当 k ＝ 2 时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（ 2） k 取何值时，三个顶点同色 (同红色或同蓝色 )的等腰三角形个数最少？并说明理由．解：（ 1）设正十一边形的顶点 A 1， A 2 ，A 3，， A 11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以 A i (i ＝ 1，2，3，，11)为顶角顶点的等腰三角形有11－ 1＝ 5 个，这些三角形均不是等边三角形，即当j ≠ i 时，以 A j 为顶角2顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．故所有的等腰三角形共有5× 11＝ 55 个．5 分当 k ＝ 2 时，设其中 A m ，A n 染成红色，其余染成蓝色．以 A m 为顶角顶点的等腰三角形有5 个，以 A m 为底角顶点的等腰三角形有 10 个；同时以 A m ，A n 为顶点的等腰三角形有3 个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(5＋10)× 2－ 3＝ 27 个．注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有 55－ 27＝ 28 个．10 分（ 2）若 11 个顶点中 k 个染红色，其余 11－k 个染蓝色．则这些顶点间连线段 (边或对角线 )中，两端点染红色的有k(k － 1)条，两端点染蓝色的有(11－ k)(10－ k)条，两端点染一红22一蓝的有 k(11－k)条．并且每条连线段必属于且仅属于3 个等腰三角形．把等腰三角形分4 类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1 个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2 个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3 个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4 个，则按顶点颜色计算连线段， 3x 1＋x 3＝ 3×k(k － 1)，①23x 2＋x 4＝ 3× (11－ k)(10－ k)，②22x 3＋2x 4 ＝3× k(11－ k)，③3由①＋②得 3(x 1＋ x 2 )＋ x 3＋x 4＝2[k(k － 1)＋ (11－ k)(10－ k)]，用③代入得11 2x 1＋ x 2＝ [ k(k － 1)＋ (11－k)(10 －k)－ k(11－ k)]＝ (3k － 33k ＋ 110)．221当 k ＝ 5 或 6 时， (x 1＋ x 2)min ＝ 2(5× 4＋ 6× 5－ 5× 6)＝ 10．即顶点同色的等腰三角形最少有10 个，此时 k ＝ 5 或 6．20 分。

高中数学初赛试题及答案

高中数学初赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，x∈R，则f(x)的最小值是：A. 3B. -1C. 0D. 12. 已知等差数列{an}的前三项依次为1，3，5，则该数列的通项公式为：A. an = 2n - 1B. an = n + 1C. an = 2n + 1D. an = 2n - 23. 函数y=x^3-3x^2+4的零点个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量a=(3,4)，向量b=(-1,2)，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ > 0B. cosθ < 0C. cosθ = 0D. θ不存在6. 圆x^2+y^2-6x+8y-24=0的圆心坐标是：A. (3,-4)B. (-3,4)C. (3,4)D. (-3,-4)7. 已知函数f(x)=x/(x^2+1)，x∈R，若f(a)=1/3，则a的值为：A. √2B. -√2C. √3D. -√38. 抛物线y^2=4x的焦点坐标是：A. (1,0)B. (0,1)C. (1,0)D. (0,1)9. 已知等比数列{bn}的前三项依次为1，2，4，则该数列的公比q为：A. 1B. 2C. 3D. 410. 函数y=ln(x+√(x^2+1))的值域是：A. (0,+∞)B. (-∞,0)C. [0,+∞)D. (-∞,+∞)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x^2+4的极大值是______。

2. 已知等差数列{an}的前三项依次为2，5，8，则该数列的第五项a5为______。

3. 函数y=x^2-6x+8的顶点坐标是______。

4. 集合A={x|x^2-3x+2=0}，集合B={x|x^2-5x+6=0}，则A∪B的元素个数是______。

河南高中数学竞赛流程

河南高中数学竞赛流程
河南高中数学竞赛的流程一般包括以下几个环节：
1. 报名阶段：学校组织有兴趣参赛的学生进行报名，一般需要填写个人信息和相关参赛意向。

2. 初赛阶段：初赛一般由学校或地区进行组织。

学生会参加一场笔试或者在线考试，主要测试数学知识和解题能力。

3. 复赛阶段：初赛中取得优异成绩的学生，会晋级复赛。

复赛一般是一场更加难度较高的笔试，也可能包括面试、实际解题等环节。

4. 决赛阶段：复赛中脱颖而出的学生会进入决赛。

决赛一般是一场更加综合、复杂的考试，要求学生在有限时间内解决多种类型的数学问题。

5. 颁奖阶段：比赛结束后，组织方会根据学生的成绩进行排名，颁发奖项给获奖者，如一等奖、二等奖、三等奖等。

需要注意的是，不同年份和地区的数学竞赛可能会有一些差异，具体的流程各地有所不同，参赛学生需要及时了解和关注相关通知。

同时，为了取得更好的成绩，学生还应该进行系统的备考，加强数学知识和解题技巧的学习和训练。

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关于参加2015年全国高中数学联赛
陕西赛区预赛的通知
各县区教研室、宝鸡中学：
按照省数学竞赛委员会（2015）001号文件精神，现就参加2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛，有关事宜通知如下：
一、考试时间
2015年4月19日（星期天）上午：8：30－11：00
一试、二试连续考（中间不休息）
二、参赛对象
在校高中学生（特别优秀的初中学生也可参加）。

坚持学生自愿报名参赛的原则，由学校统一组织。

三、命题原则
主要考查高中数学的基础知识、基本技能、基本方法及分析和解决问题的能力。

命题的基本原则是：立足基础、贴近高考，注重能力、体现竞赛。

四、考试范围
严格遵循现行高中数学教学大纲以及新的高中数学课程标准，以高二学生所学知识范围为主，适当照顾高一学生。

五、考试形式及试卷结构
1、考试形式
（1）考试采用书面笔答、闭卷形式。

不得使用计算器。

（2）试卷分值满分150分。

（3）试卷分为第一试（填空题、解答题）和第二试（解答题）。

2、试卷结构
第一试（满分50分）为填空题，共10小题。

每小题5分，计50分。

试题难度相当于高考中的容易题和中档题，但在方法的要求上有所提高。

第二试（满分100分）为解答题，共6小题，其中有一道平面几何题和一道杂题，其余四道题相当于高考中的中、高档题。

六、收费标准
两试每生共收报名费14元，由市上统一上交省数学竞赛委员会办公室，作为命题、制卷、阅卷、成绩统计与打印等费用。

七、初选人数
1、按全省参赛总人数的12%确定初选人数。

2、全省原则上按预赛成绩统一划定分数线，对边远地区适当予以照顾。

3、初选学生成绩及名单将于5月中旬通知各市（区）。

4、初选学生将参加2015年9月中旬举行的全国高中数学联赛（通知另行下发）。

八、注意事项
1、本次预赛是一次资格赛，不评奖，主要是为2015
年9月举行的全国高中数学联赛（陕西赛区决赛）选拔优秀学生。

2、对于参加2015年全国高中数学联赛（陕西赛区决赛）的考生，将按预赛初选人数的50%确定获奖人数，按比例划定一、二、三等奖，并颁发由中国数学会制作的获奖证书。

3、获一、二、三等奖的学生原则上都有资格参加全国重点大学自主招生考试。

4、各县（区）应于2015年3月19前将参赛人数上报（上报电子表格和纸质报名报）市教研室高中组。

附：宝鸡市2015年高中数学联赛报名表（样表，电子表格请在《宝鸡教研》网下载）
宝鸡市教研室
2015年3月12日。