苏汝铿高等量子力学讲义(英文版)Chapter2 Many Body Problem
合集下载
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.19-2#10第三版
2
m
*
d d * dr dr dr dr 1 d * dr 2 dr 1 * |r r 0 2 2 1 0 2
*
带入得
2 dV r L2 d d * dr 3 dr mr m dr 2 2 2 0 m 令 1
0
2m dV r Fra bibliotek 1 L2 2 dr 2 r 3
0
2
m dV r 1 L2 2 dr 2 r 3
1 为单位）
2 式中 0 是原点的波函数， L 是角动量平方（选
证明：
H
p2 L2 V r 2m 2mr 2 2 d2 2 d L2 ˆ H V r 2 2m dr r dr 2mr 2
得
u
2 l 1 2 u 1 u 0 2
1
方程的解是
Rkl r Ajl kr Bnl kr
当粒子处在基态时，带入边界条件得
0 Aj0 ka Bn0 ka 0 Aj0 kb Bn0 kb
2
C2 sin 2 k r a dr k2 C2 b a 2 k 2
2 ba
Ck
所以基态波函数
k 00 k
1 4
2 ba
2 ba
sin k r a 1 kr 4 r a 1 sin r ba
2.21 证明在非相对论量子力学中，在辏力场 V r 中运动的粒子，其束缚态满足
2.19 设势场为 U r Br A r , A, B 0 ，求粒子的能量本征值。
m
*
d d * dr dr dr dr 1 d * dr 2 dr 1 * |r r 0 2 2 1 0 2
*
带入得
2 dV r L2 d d * dr 3 dr mr m dr 2 2 2 0 m 令 1
0
2m dV r Fra bibliotek 1 L2 2 dr 2 r 3
0
2
m dV r 1 L2 2 dr 2 r 3
1 为单位）
2 式中 0 是原点的波函数， L 是角动量平方（选
证明：
H
p2 L2 V r 2m 2mr 2 2 d2 2 d L2 ˆ H V r 2 2m dr r dr 2mr 2
得
u
2 l 1 2 u 1 u 0 2
1
方程的解是
Rkl r Ajl kr Bnl kr
当粒子处在基态时，带入边界条件得
0 Aj0 ka Bn0 ka 0 Aj0 kb Bn0 kb
2
C2 sin 2 k r a dr k2 C2 b a 2 k 2
2 ba
Ck
所以基态波函数
k 00 k
1 4
2 ba
2 ba
sin k r a 1 kr 4 r a 1 sin r ba
2.21 证明在非相对论量子力学中，在辏力场 V r 中运动的粒子，其束缚态满足
2.19 设势场为 U r Br A r , A, B 0 ，求粒子的能量本征值。
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.31-2#3
则有
x 0
2 x
x 0
eik0 y sin Reik0 y sin Te
ik y y
ik0 cos eik0 y sin Rik0 cos eik0 y sin Tik xe
ik y y
由于势能与 y 无关,则有 k y k0 sin ,上式变为
2 Ze / x, x 0 V x 的结果相比较. , x 0
解:根据维理定律
x 1 1 E V x Ze2 dx 2 2 x 2
如果当 x 0 时, x 不趋于零,上述积分会发散, E 会趋近于负无穷大 .这是不可能的 ,所以 我们得到 0 0 .这样我们就可以用 Laplace 变换来解决这个问题. 势能为 V x 一维薛定谔方程为
2
2
k02 sin 2
ii 在 x 0 区域中,波函数的形式和 i 中一样
在 0 x t 区域中, E V 0 ,薛定谔方程变为
2
/ 2m 2 0
在 y 方向上势能是不变的,我们有 exp ik x exp kx ,其中 k k0 sin ,
C
4ik
eikc e c 1 ik / e c 1 ik /
2 2
因为在 I 中已经取入射波的形式为 eikx ,所以透射系数 T CC * ,则有
T
k
2
2 2
4k 2 2 sinh 2 c 4k 2 2
2
当 c
1 ,即 V0 E
2
s
2
1 1 s 1 s ds
x 0
2 x
x 0
eik0 y sin Reik0 y sin Te
ik y y
ik0 cos eik0 y sin Rik0 cos eik0 y sin Tik xe
ik y y
由于势能与 y 无关,则有 k y k0 sin ,上式变为
2 Ze / x, x 0 V x 的结果相比较. , x 0
解:根据维理定律
x 1 1 E V x Ze2 dx 2 2 x 2
如果当 x 0 时, x 不趋于零,上述积分会发散, E 会趋近于负无穷大 .这是不可能的 ,所以 我们得到 0 0 .这样我们就可以用 Laplace 变换来解决这个问题. 势能为 V x 一维薛定谔方程为
2
2
k02 sin 2
ii 在 x 0 区域中,波函数的形式和 i 中一样
在 0 x t 区域中, E V 0 ,薛定谔方程变为
2
/ 2m 2 0
在 y 方向上势能是不变的,我们有 exp ik x exp kx ,其中 k k0 sin ,
C
4ik
eikc e c 1 ik / e c 1 ik /
2 2
因为在 I 中已经取入射波的形式为 eikx ,所以透射系数 T CC * ,则有
T
k
2
2 2
4k 2 2 sinh 2 c 4k 2 2
2
当 c
1 ,即 V0 E
2
s
2
1 1 s 1 s ds
复旦量子力学讲义qmapter2-
Chapter 2 Many Body Problem
2020/5/29
2020/5/29
§2.1 Second quantization
➢The identical particles cannot be distinguished
2020/5/29
§2.1 Second quantization
2020/5/29
§2.1 Second quantization
➢Bose system
2020/5/29
§2.1 Second quantization
n 1,...,nk,...(r r1,...r rN) N n !i!PPk1(r r1)...
r kN(rN)
2020/5/29
§2.1 Second quantization
Screening Coulomb potential
Positive charge background cancels k=0 part
2020/5/29
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
2020/5/29
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
2020/5/29
§2.1 Second quantization
➢We need to introduce the creation and the annihilation operators to deal with various problem in the many-body system
ni!
A(k1,k2,...,kn,t)
n
N!
C(n1,n2,...,nk,...,t)
2020/5/29
2020/5/29
§2.1 Second quantization
➢The identical particles cannot be distinguished
2020/5/29
§2.1 Second quantization
2020/5/29
§2.1 Second quantization
➢Bose system
2020/5/29
§2.1 Second quantization
n 1,...,nk,...(r r1,...r rN) N n !i!PPk1(r r1)...
r kN(rN)
2020/5/29
§2.1 Second quantization
Screening Coulomb potential
Positive charge background cancels k=0 part
2020/5/29
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
2020/5/29
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
2020/5/29
§2.1 Second quantization
➢We need to introduce the creation and the annihilation operators to deal with various problem in the many-body system
ni!
A(k1,k2,...,kn,t)
n
N!
C(n1,n2,...,nk,...,t)
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.16-2#14
2r 1 a 2 e x dxdydz 3 a 2r 1 3 e a r 2 dxdydz 3a 2r 4 4 而 3 e a r dr 3a 4 a 3 g( )5 4! 3a 2 a2
x
h2 2 h2 h 2 2 x p a 所以 3a 2 3 2
这为适合流超比方程，要使Ｒ（p）在 趋于０则有解
( ) F (S 1
s 1
本征值为
a ), 2s 2, ) 2 Eh
a n 2 Eh
n＝０、１、２…..
且 所以
Enl
2
a2
2h 2 (n s 1)2
2
而 s ( (2l 1) 8 A / h 1) / 2 第 14 组 彭毅 姜麟舜 200431020117 200431020119
2h 2 2ah a3 ( p 2 h / a 2 )2
于是
px | ( p) | px dpx d p y dpz
0
由于被积函数对 px 是奇函数
2 2 px | ( p ) |2 p x dpx d p y dpz
1 | ( p) |2 p 2 dpx d p y dpz 3 8h 5 2 p4 2 5 dp sin d d 3 a 0 0 0 ( p h ) 4 a2 h2 2 3a
a A (a, A 0) ，求粒子的能量本征值。 r r2
14QM-2.1８
设势场为 U (r )
解：由于 E>0 是连续谱，所以仅讨论 E<0 在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为
2 2 E l (l 1) R '' (r ) R ' (r ) [ 2 r h r2 2 a 2 A ] R(r ) 0 h 2 r h 2 r2
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#08
选择 i ，在渐进区域 x 我们有 (1 y)
代表从左边入射的平面波，而第二项代表在金属表面反射的平面波，因此
AI eikx AR eikx
（ x ）
于是反射系数是
R
AR (2 )( )( 1) ……（13） AI (2 )( )( 1)
2 2 如果 V0 E 0 ， 则有 ， 于是 是实数。 当 x 时 y
F 1 e x / a 0 ，
而 们有
y
e x / a 。于是，如果选择 0 ，则解（9）当 x 时为零。如果 E 0 ，我
2 2 ， 因 而 是 纯 虚 数 ， 比 如 说 i 。 于 是 当 x 是 ，
n 2 2 2 8ma 2
F
En a
2
n 2 2 8m
2 a3
2 En a 2 ∴ F E a
dr
0
r 2 e
r i r a
dr
令
r i r x a 1 4 原式 3 ( 2 ) a3
0
x2 ex
1 (a
i
dx )
3
1 8 a3 3 3 ( 2 )3 a3 ( i a)
批注 [JL1]: 即去掉一个 overal 相位 因子, 但好像仍有差别。
2r r2 e y dy 3 0 a 2 4 a0 4 y 3 ( ) 6e 0 a 2 3 （ a a0 ） a 2
2
2） e / r r sin (
2 2 V
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#13
2.13 求势场 U ( x)
U 0 e 1
x a
，入射粒子能量 E 0 时的反射系数。
解：该势场的薛定谔方程为：
U d 2 2m 2 ( E x 0 ) 0 2 dx ea 1
令 y (1 e a ) 1 ，则有 y ( y 1)
x
d 2 d 2 2 (1 2 y) ( ) 0 2 dx dy y (1 y ) y
1
1 2m 2 2m( E V0 ) 2 其中 K 2 E ， k 2 a
1 r / a0
1
2.14 设氢原子处在 （i） r 的平均值；
a
3
e
， a0 为第一波尔半径，求：
（ii）势能 e / r 的平均值；
2
（iii）能量概率的分布函数。 解： （1）首先判断题中所给波函数的归一化情况：
十三组成员 ：李俊华 200431020040
扈俊 200431020122
余功硕 200431020039
4
1
令 i ，当 x ，我们有
(1 y)
e
i x / a
eikx ，这时 1 式中 的第一项代表
代表延 x 轴正向传播的平面波，第二代表反射的平面波 因此
AI eikx AReikx , x ，因此
2
A R R AI
(v 1)(v )(2 ) ，当 E 0 时， 和 v 均为纯虚数，即 (v ) 2 (v 1)
（2）
e 2 4 e2 4e2 1 e2 2 r / a0 2 re dr r a3 a 211 a0 0
U 0 e 1
x a
，入射粒子能量 E 0 时的反射系数。
解：该势场的薛定谔方程为：
U d 2 2m 2 ( E x 0 ) 0 2 dx ea 1
令 y (1 e a ) 1 ，则有 y ( y 1)
x
d 2 d 2 2 (1 2 y) ( ) 0 2 dx dy y (1 y ) y
1
1 2m 2 2m( E V0 ) 2 其中 K 2 E ， k 2 a
1 r / a0
1
2.14 设氢原子处在 （i） r 的平均值；
a
3
e
， a0 为第一波尔半径，求：
（ii）势能 e / r 的平均值；
2
（iii）能量概率的分布函数。 解： （1）首先判断题中所给波函数的归一化情况：
十三组成员 ：李俊华 200431020040
扈俊 200431020122
余功硕 200431020039
4
1
令 i ，当 x ，我们有
(1 y)
e
i x / a
eikx ，这时 1 式中 的第一项代表
代表延 x 轴正向传播的平面波，第二代表反射的平面波 因此
AI eikx AReikx , x ，因此
2
A R R AI
(v 1)(v )(2 ) ，当 E 0 时， 和 v 均为纯虚数，即 (v ) 2 (v 1)
（2）
e 2 4 e2 4e2 1 e2 2 r / a0 2 re dr r a3 a 211 a0 0
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.22-2#11
me 2z 2 4
2 3/ 2
1 a
'3/ 2
e z / a
'
me2 z ' 4 2 exp ,a 2 me2 4
me4 32 2 1 me4 2 2 p p x y 32 2n2 2m
基态能量 E1,0,0
所以电子的能量 E
基态能量。 解：(1)令 X
1 1 x y ,Y x y 2 2
Y , E3 Z
则 E1
X , E2
1 2A E 1 n1 1 , 1 1 2 m 1 2A E2 n2 2 , 2 1 2 m 1 2B E3 n3 3 B 2 , 3 2 m
2.22 一个质量为 m 的粒子在一个三维方势阱 V（r）中运动。 （i）证明：对于一个半径 R 一定的阱，只有阱深至少有一个极小值时，才可能有束缚态， 并计算这一极小值。 （ii）在一维情况下，类似问题的结果和三维的有何不同？ （iii）上述结果中的一半性质对任意形状的势阱是否仍然成立？例如在一维情况下，若
但是
0
0
p2 p2 V x 0 0 Vs x 0 2m 2m
所以
p2 V x 0 0 2m
即题中所给的 V x 形式的势阱均有束缚态。
2.23 一电子在一无限大接地的平面导体上方运动， 它被自己的象电荷吸收， 但电子不能穿透 导体表面， 试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件， 并求出电子的能级和在 基态时，电子和导体表面之间的平均距离。 解： （1）设导体表面法向沿 Z 轴方向，系统电能 V
f ( x) 0 a <x b U ( x) x a或x b 0
2 3/ 2
1 a
'3/ 2
e z / a
'
me2 z ' 4 2 exp ,a 2 me2 4
me4 32 2 1 me4 2 2 p p x y 32 2n2 2m
基态能量 E1,0,0
所以电子的能量 E
基态能量。 解：(1)令 X
1 1 x y ,Y x y 2 2
Y , E3 Z
则 E1
X , E2
1 2A E 1 n1 1 , 1 1 2 m 1 2A E2 n2 2 , 2 1 2 m 1 2B E3 n3 3 B 2 , 3 2 m
2.22 一个质量为 m 的粒子在一个三维方势阱 V（r）中运动。 （i）证明：对于一个半径 R 一定的阱，只有阱深至少有一个极小值时，才可能有束缚态， 并计算这一极小值。 （ii）在一维情况下，类似问题的结果和三维的有何不同？ （iii）上述结果中的一半性质对任意形状的势阱是否仍然成立？例如在一维情况下，若
但是
0
0
p2 p2 V x 0 0 Vs x 0 2m 2m
所以
p2 V x 0 0 2m
即题中所给的 V x 形式的势阱均有束缚态。
2.23 一电子在一无限大接地的平面导体上方运动， 它被自己的象电荷吸收， 但电子不能穿透 导体表面， 试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件， 并求出电子的能级和在 基态时，电子和导体表面之间的平均距离。 解： （1）设导体表面法向沿 Z 轴方向，系统电能 V
f ( x) 0 a <x b U ( x) x a或x b 0
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.10-2#07
x Nne
1 2 x2 2
H n x
Ek
势能平均值
2 p2 2 , 2m 2m x 2
Ep
1 m 2 x 2 2
1 E p n* x m 2 x 2 n x dx 2 m 2 2 2 y2 2 3 N n y e H n y dy 2
a
1 n* x n x
0
An 2 sin 2
0
a
n xdx a
a 2 An 2
a 0 a
1 * x x A2 x 2 a x dx
2 0
a5 2 A 30
得：
A
30 , a5
An
2 a
由态叠加定理有：
2
2m
2
Nn2 e
1 2 x2 2
H n x
2 x2 2 1 2 e H n x dx 2 x
2m
2
N n 2 e
1 y2 2
H n y y 2 1 H n 4nyH n 1 4n n 1 H n 2 e
可想而知，对两个方势垒，则需解八元一次代数方程组，这是不好做的。
我们认为近似处理可以得到： D D1D2 e
2 [ 2 m (U1 E )a 2 m (U 2 E ) c b ]
12.证明对于一维谐振子，无论处在哪个本征态，它的动能平均值恒等于势能平均值。 证明： 一维谐振子的波函数是
6
其中，查表可得：
480 2 ma 2 4 5 2 ma 2
苏汝铿高等量子力学讲义
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Discussions The wave function is already symmetric nk is the particle number operator of k state
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.5 Superfluidity theory
Landau superfluidity theory New idea: elementary excitation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Landau theory Introducing “order parameter ”
p , T ,
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Van Laue criticism Can 2nd order phase transition exist?
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.7-2#11
* *
ipx
2
2
1 4
（2）将波函数从坐标表象变到动量表象有
1 C p 2
而
ipx 2 x2 2
x e
1 dx 2
2
1/ 2
e
i t 2
e
ipx 2 x2 2
dx
e
dx e
2 x2
2
x 2 2 px px px 2 i sin cos dx e 2 cos dx 20 e 2 2
2x 2.7 一维谐振子处在 x e 1/ 2
（1） 势能的平均值； （2） 动量的概率分别函数； （3） 动能的平均值。 解： （1）
2 2
i t 2
状态，求：
dr
* 1/ 2
*
Hale Waihona Puke e x dx 2 2
1 1/ 2 2
1/ 2
e
2 x
振子处于第一激发态的概率
I1 x 1 x
2
e 2
2 2
x
4 2 x 2
由概率最大有
dI1 x 0 即 dx
2 2 2 2 3 2 2 xe x x 2 2x e x 0
解；设该无限深势阱的势场 U(x )为
o U x
x 0, x a
0<x<a
则其对应的波函数为
2 n sin x n x a 0
x 0, x a
ipx
2
2
1 4
（2）将波函数从坐标表象变到动量表象有
1 C p 2
而
ipx 2 x2 2
x e
1 dx 2
2
1/ 2
e
i t 2
e
ipx 2 x2 2
dx
e
dx e
2 x2
2
x 2 2 px px px 2 i sin cos dx e 2 cos dx 20 e 2 2
2x 2.7 一维谐振子处在 x e 1/ 2
（1） 势能的平均值； （2） 动量的概率分别函数； （3） 动能的平均值。 解： （1）
2 2
i t 2
状态，求：
dr
* 1/ 2
*
Hale Waihona Puke e x dx 2 2
1 1/ 2 2
1/ 2
e
2 x
振子处于第一激发态的概率
I1 x 1 x
2
e 2
2 2
x
4 2 x 2
由概率最大有
dI1 x 0 即 dx
2 2 2 2 3 2 2 xe x x 2 2x e x 0
解；设该无限深势阱的势场 U(x )为
o U x
x 0, x a
0<x<a
则其对应的波函数为
2 n sin x n x a 0
x 0, x a
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.10-2#12
1 4 2 x 2 2 2 2 m 2 x 2 , 2 2m 2m
2 2 2
m
, x
Vn n x Vdx
2
N n H n e
2 2 2
2m
d
又由厄秘多项式 H n 的递推式 2 H n H 2 n1 2nH n1
2
a 0
2
于是 A 30a
5
下面考虑粒子能量的概率分布和能量的平均值：
2 n sin x 对一个无限深的势阱，其能级为 En 的波函数为： n x a a
0
a
x 是各个能级的波函数的叠加，故设
x cn n x cn
n n
2 n sin x a a
2 D exp 2m U 0 E b a
U1
又
a
U2
b
D R 1 ，D 是贯穿系数，R 是反射系数，
所以 D 是粒子透过势垒的概率，而由概率论知识， 粒子连续贯穿两个方势垒的概率等于 分别单独贯穿这两个势垒的概率之积。 于是
E
图 2
a b
a
0
5 2 E x dx 2 ma
2
2.10
设两个方势垒的形状分别是：
0 U x U1
x 0 , 0 x a
0 U x U 2
a x b, x c b x c
U
E
图1
求粒子连续贯穿两个方势垒的贯穿系数。 解：如图（1） ，对低能入射，贯穿一个方势垒的贯穿系数为
苏汝铿量子力学课后习题及答案
Exercises for the Course of Quantum Mechanics, 2007
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
Prof.
Ru-Keng Su
Shaoyu Yin Jia Zhou & Yi Li Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China
2ikA ˜ 2ik−V ˜A V ˜ 2ik−V
(13)
(14)
(15)
= = 3
ik A, ik−mV /¯ h2 2 mV /¯ h A. ik−mV /¯ h2
(16)
So the transmission ratio is
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
T =
h ¯ω p2 C (p, t) C (p, t)dp = =− 2m 4
∗
h ¯ 2 d2 ψ (x, t) ψ (x, t)dx. 2m dx2
∗
Or using the Virial theorem (QM book of Su, Chapter 3.8, P117 ), T = 1 dU 1 h ¯ω x = U = E = . 2 dx 2 4 (9)
1/3
1.41 ∗ 10−12 eV.
(23)
2.4. (QM book of Su, Ex.2.14.) The state of electron in Hydrogen atom is ψ = √1 3 e−r/a0 , where a0 is the Bohr radius. Try to find: (i) The expectation value of r.
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
Prof.
Ru-Keng Su
Shaoyu Yin Jia Zhou & Yi Li Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China
2ikA ˜ 2ik−V ˜A V ˜ 2ik−V
(13)
(14)
(15)
= = 3
ik A, ik−mV /¯ h2 2 mV /¯ h A. ik−mV /¯ h2
(16)
So the transmission ratio is
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
T =
h ¯ω p2 C (p, t) C (p, t)dp = =− 2m 4
∗
h ¯ 2 d2 ψ (x, t) ψ (x, t)dx. 2m dx2
∗
Or using the Virial theorem (QM book of Su, Chapter 3.8, P117 ), T = 1 dU 1 h ¯ω x = U = E = . 2 dx 2 4 (9)
1/3
1.41 ∗ 10−12 eV.
(23)
2.4. (QM book of Su, Ex.2.14.) The state of electron in Hydrogen atom is ψ = √1 3 e−r/a0 , where a0 is the Bohr radius. Try to find: (i) The expectation value of r.
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.31-2#14
(射系T (的势83B计.解： 其中22所以由边界条件1(2ik 或12t k =+处的反射有'()2((]k x b x e ϕ--+ ,02(x ϕ由'2ϕ1T t =2T (ii) Tlα'0ik r i tik r i tωω⋅-⋅-在1(,)x y ϕ=在2222mϕ∇=2)E V +在2'2(0,)(0,(0,)(0,y y ϕϕ=='sin yik y θ由上述二式得00c o s s i n xxk k R k k θθ-=+ 反射回来的概率2200c o s s i n x xk k P R k k θθ-==+ 222022()s i n x m E V k k θ+=- 2022mE k =（ii ）在x<0时，波函数与（1）中相同，在0<x<t 时Schrodinger 方程为2202mϕ-∇=若取iky kx e ϕ+=，则有：'220k k -+=即 'k k =± 所以0<x<t 的波函数为 '''2(,)()k x k xi k yx y a e b eeϕ-=+综上所述 1(,)()y xxik yik x ik x x y e re eϕ=+ ,0x <''2(,)()y ik yk x k x x y ae be eϕ-=+ ,0x t <<3(,)x i k xx y c e ϕ= ,x t >x k θ='s i n k θi n y k θ=利用边界条件121200(0)(0)()()x x x x d x d x x dx dx ϕϕϕϕ=====⎧⎪⎨=⎪⎩2322()()()()x t x t x t x t d x d x dx dx ϕϕϕϕ=====⎧⎪⎨=⎪⎩得 ''''1(1)'()''x x xik t k t k tik t k t k t xr a bik r k a b ce ae be ik ce k ae k be --+=+⎧⎪-=-⎪⎨=+⎪⎪=-⎩ 解得：2'22'11k t k te r e β-=- ''k i k xk i k x β-=+ 2'2'222'2'22cos 4k t k t k t k t e e R r e e θ--+-==+-14QM-2.33求一维薛定谔方程在势场()2/V x Ze x =-下的能级和波函数,并与势场()()()2/,0,0Ze x x V x x ⎧->⎪=⎨∞≤⎪⎩的结果相比较. 解:根据维里定律()()221122x E V x Ze dx xψ∞-∞==-⎰如果当0x →时,()x ψ不趋于零,上述积分会发散,E 会趋近于负无穷大.这是不可能的,所以我们得到()00ψ=.这样我们就可以用Laplace 变换来解决这个问题. 势能为()V x 一维薛定谔方程为()()()22222d x Ze x E x m dx xψψψ--= ()1 进行变量代换0xζγ==>则()1式变为()()2210d d ψζγψζζζ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()2 对上式使用Laplace 变换,在0ζ>的区域,有()()()()211010sd ss s ds d ψφγφζ+∞''-+-=⎰, ()3其中()()10s s ed ζφψζζ∞-=⎰()()()000lim d d ζψψζψζζ++∆→+∆-=∆解（3）式得：()/212111B s s s s γφ-⎛⎫= ⎪-+⎝⎭/211s s γ-⎛⎫ ⎪+⎝⎭是一个多值函数,但是()1s φ必须是单值的,所以我们有2n γ= 1,2,3,n =则有()12111nB s s s s φ-⎛⎫= ⎪-+⎝⎭其中()0d B d ψζ+=.则()()()()1111Re 1,2;21n s n s s B e B e F n s ζζψζζζ--+=-⎡⎤-==-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦ ()0ζ> ()1,2;2F n ζ-是合流超比函数.对0ζ<的区域,引入变换0t ζ=->则()2式变为()()2210d t t dt t ψγψ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ ()4 解为()22111nC s s s s φ+⎛⎫= ⎪--⎝⎭则有()()()()()()111212!1!n k tk n n n k t Ce t t k k ψ-=⎡⎤---=+⎢⎥+⎣⎦∑我们看到(),,t s t ψ→∞→-∞→∞自然边界条件要求()t ψ→∞有限,则必须有0C =.于是在0ζ<区域中0ψ=. 所以题目中的两种势函数都有相同的解()()1,2;2,00,0B e F n ζζζζψζζ-⎧->⎪=⎨≤⎪⎩由2n γ= 1,2,3,n =以及γ=可得2422,1,2,3,2n mZ e E n n=-=。
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
.
解：(i)
(ii) 10 当
时，显然
20 假设当
时，满足
成立； ，则
这就是说当 综上 10,20 可知 3.4 证明：
时，满足 对于任意
；
；
；
. 的整数恒成立.
. 证：1)
由角动量与坐标算符的对易子
，知
同理有
，
即
6
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
角动量算符与动量算符的对易子 2)
，同上可证
式中 是坐标， , 是相应于 态和 态的能量，求和对一切可能的状态进行. (注：由于质量 与态 字母一样，故将质量 改为 ,避免混淆)
解：
,
,
故
4.6 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.
证:(充分性)
.设使 对角化的幺正变换 ,则
.
的变换矩阵元
即
于是
即时
,
时
故
是对角矩阵的元素，
的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其他势
径向波函数所满足的边界条件是 径向部分的薛定谔方程
. .
5
引入变换 的解是
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
,
,基态
,代入边界条件有
,可化为
即 而 归一化 即 基态波函数 归一化
粒子的基态能量
基态波函数
3.1 若算符 、 满足
,求证:
（i）
；
（ii）用数学归纳法证明：
(必要性) 能同时将 对角化,即
的变换矩阵元
是对角矩阵， 能用同一个幺正变换 对角化. , (同充分性)
4.7 已知在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为：
量子力学答案(第二版)苏汝铿第2章课后答案2#01
（2） 、当
U, z U new ， , z
即
U, 0 U new , 0
时，方程（1）中的方程①、②均不变，因此其本征值 E1n , E2 n 不变，方程③变为
2 1 d 2T1 B 2 E3 , 0 2 ， T1 0, 0 ……④ 2m T1 d T 0 0 1
2
……①
2 d 2S 1 (1 ) Av 2 E2 2 2m S dv 2
2
……②
1 d 2T B 2 E3 2m T d 2
2
……③
其中 E1 E2 E3 B 2 E 0 对于一维谐振子有
2 d2 1 m 2 x 2 x E x 2 2m dx 2
第一组： 第二章 2.24 一 个 质 量 为 m 的 非 相 对 论 性 粒 子 在 一 势 场 中 运 动 ， 势 场 是
U ( x, y, z )
的，求：
2
A ( x2பைடு நூலகம் y 2
x) y2 (B，其中 z 2 A )0 z ， B 0 ， 1 ， 是任意
(1) 能量的本征值；
E001 1 2
3 3 B 2 （ n1 n2 0, n3 1 ） 2
2.25
一个刚体具有惯性矩 I z ， 可以自由地在 x y 平面中转动， 令 为 x 轴与转动轴之间的夹角， 求： （1）能量本征值和相应的本征函数； （2）若在 t 0 时，转子由波包 (0) A sin 2 描述，求在 t 0 时的 (t ) .
(t )
1 1 (e2i ei 2 3 2 3
U, z U new ， , z
即
U, 0 U new , 0
时，方程（1）中的方程①、②均不变，因此其本征值 E1n , E2 n 不变，方程③变为
2 1 d 2T1 B 2 E3 , 0 2 ， T1 0, 0 ……④ 2m T1 d T 0 0 1
2
……①
2 d 2S 1 (1 ) Av 2 E2 2 2m S dv 2
2
……②
1 d 2T B 2 E3 2m T d 2
2
……③
其中 E1 E2 E3 B 2 E 0 对于一维谐振子有
2 d2 1 m 2 x 2 x E x 2 2m dx 2
第一组： 第二章 2.24 一 个 质 量 为 m 的 非 相 对 论 性 粒 子 在 一 势 场 中 运 动 ， 势 场 是
U ( x, y, z )
的，求：
2
A ( x2பைடு நூலகம் y 2
x) y2 (B，其中 z 2 A )0 z ， B 0 ， 1 ， 是任意
(1) 能量的本征值；
E001 1 2
3 3 B 2 （ n1 n2 0, n3 1 ） 2
2.25
一个刚体具有惯性矩 I z ， 可以自由地在 x y 平面中转动， 令 为 x 轴与转动轴之间的夹角， 求： （1）能量本征值和相应的本征函数； （2）若在 t 0 时，转子由波包 (0) A sin 2 描述，求在 t 0 时的 (t ) .
(t )
1 1 (e2i ei 2 3 2 3
高等量子力学-chapter2
ˆ2 假设 H p ˆ) V (x 2m
则 ˆ2 ˆ2 p p xj | | x j 1 dp' dp x j | p' p' | | p p | x j 1 2m 2m dp i p2 exp[ p( x j x j 1 )] 2 2m 同理
dp i ˆ ) | x j 1 x j | V (x exp[ p( x j x j 1 )]V ( x j ) 2
其中
x j ( x j x j 1 ) / 2
得到
x j | H | x j 1 dp i exp[ 2 p( x j x j 1 )] H ( p, x j )
一维简谐振子
2 iEnt 1 m 1 m x un ( x) exp( ) n/2 ( ) 4 exp( ) 2 2 n!
m 1 Hn ( x) exp[ i (n )t ] 2
传播子为:
m im K ( x" , t; x' ,0) exp{[ ] 2i sin t 2 sin t [(x"2 x'2 ) cost 2 x" x' ]}
K 的另一表示形式： iH (t t0 ) K ( x" , t ; x ' , t0 ) x"| exp[ ] | x'
传播子的性质:
(1) t t0 , K ( x", t; x ' , t0 ) 满足Schrodinger方程
(2) limt t0
ˆ (t ) e x
i H ( t t0 )
ˆ (t0 )e x
复旦量子力学讲义qmapter2-
2020/4/7
§2.1 Second quantization
➢Discussions ➢The wave function is already symmetric ➢nk is the particle number operator of k state
2020/4/7
§2.1 Second quantization
➢Example: Free electron gas in the metal
2020/4/7
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
Uk 1 eikrrr
e2drre2
r
0 0
2eikrcos1r2drsin
0
r
dd
4e2
k
0sinkrdr
§2.1 Second quantization
2020/4/7
§2.1 Second quantization
k (12nm) mk
2020/4/7
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
➢Key: two-body problem “one-body problem” + “mean field”
2020/4/7
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
2020/4/7
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
2020/4/7
§2.3 Superconductive theory
Experimental results
Screening Coulomb potential
§2.1 Second quantization
➢Discussions ➢The wave function is already symmetric ➢nk is the particle number operator of k state
2020/4/7
§2.1 Second quantization
➢Example: Free electron gas in the metal
2020/4/7
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
Uk 1 eikrrr
e2drre2
r
0 0
2eikrcos1r2drsin
0
r
dd
4e2
k
0sinkrdr
§2.1 Second quantization
2020/4/7
§2.1 Second quantization
k (12nm) mk
2020/4/7
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
➢Key: two-body problem “one-body problem” + “mean field”
2020/4/7
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
2020/4/7
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
2020/4/7
§2.3 Superconductive theory
Experimental results
Screening Coulomb potential
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.16-2#09
2.16 设氢原子处在基态，求：（i ）它在动量表象中的表达式；（ii ）x p 和2x p 的平均值；（iii ）x 和2x 的平均值。
解：（i ）位置表象中的基态波函数为 ()32100r a r e ψ--=变换到动量表象为()()()2310032322221222p riap ed x a p aψψππ∞∙--∞==+⎰（ii）()22sin cos sin 0x p p p p dpd d θϕψθθϕ==⎰这是因为积分区间是对称的且被积函数关于p 是奇函数。
()22222222sin cos sin 3x p p p p dpd d a θϕψθθϕ==⎰（iii ）()()222100100sin cos sin 0x x r dr r r r drd d ψθϕψθθϕ===⎰⎰()2222221002234322sin cos sin sin cos rax r r r drd d a r edr d d aππθϕψθθϕθθϕϕπ∞--===⎰⎰⎰⎰2.17 利用氢原子的能谱公式，写出:(i) 电子偶素（positronium ）, 即e e +--形成的束缚态的能级； (ii)以μ-子代表核外所形成的μ原子的能级； （iii ）μ+和e -形成的束缚态的能级。
解：（i ）电子偶素的约化质量为12e e e e e m m m m m μ==+由类氢离子的能谱公式442222224e n m e e z E n nμ=-=- ， ()1,2,...n =（ii ）μ原子的约化质量为 m M m Mμμμ=+ （M 为原子核质量）由类氢离子的能谱公式有：424222222n m M e z e E n n m Mμμμ=-=-+ (iii) 根据与前面同样的理由有约化质量为: e em m m m μμμ=+能级为：4222e n em m e E n m m μμ=-+2.18 设势场为()()2,0a AU r a A r r =-+>，求粒子的能量本征值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
Energy gap equation
§2.4 Landau phase transition theory
Van Laue criticism Can 2nd order phase transition exist?
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
ξ = k − k0
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
( E0 < E0 N )
Stable state
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
A~0 real, stable
img,forbidden
§2.4 Landau phase transition theory
Landau theory Ehrenfest equation
§2.4 Landau phase tdity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Landau theory Introducing “order parameter η ”
µ = µ ( p , T ,η )
§2.4 Landau phase transition theory
Ehrenfest equation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Bose system
§2.1 Second quantization
Πni ! r r r r Φ n1 ,..., nk ,... (r1 ,...rN ) = ∑ Pϕk1 (r1 )...ϕkN (rN ) N! P
§2.1 Second quantization
A(k1 , k2 ,..., kn , t ) =
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
Bogoliubov-Valatin canonical transformation
§2.1 Second quantization
We need to introduce the creation and the annihilation operators to deal with various problem in the many-body system
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Discussions The wave function is already symmetric nk is the particle number operator of k state
m≤k
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
Key: two-body problem “one-body problem” + “mean field” Example: Free electron gas in the metal
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.3 Superconductive theory
Frohlisch Hamiltonian: e-p-e interaction + + Cooper pair: ak ↑ a− k ↓ 0 BCS Theory (Variational method) e-e attraction
Variational wave function
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.5 Superfluidity theory
Landau superfluidity theory New idea: elementary excitation
1 ikr ⋅rr e 2 r e 2 ∞ π 2π ikr cosθ 1 2 Uk = ∫ e dr = ∫ ∫ ∫ e r dr sin θ dθ dϕ 0 0 0 Ω r Ω r 4π e 2 ∞ = ∫0 sin krdr Ωk
Screening Coulomb potential
Positive charge background cancels k=0 part
Chapter 2 Many Body Problem
§2.1 Second quantization
The identical particles cannot be distinguished
§2.1 Second quantization
The essence of the identical principle is that the state of a system should be described in terms of the particle number in a certain quantum state and the many-body problem should be discussed in the particle number representation instead of the original coordinate representation
§2.5 Superfluidity theory
Experiments: Superfluidity 10^-5~10^-4 cm (η 0) κ ∞ Mendelson effect λ- point
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
Spin effect
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
min, stable
max,instalble
phase transition point
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
For Fermions
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
υk = ∏ (1 − 2nm )
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Second quantization
§2.1 Second quantization