相空间重构参数选择方法的研究

１　前言

混沌时间序列分析与预测的基础是Ｔａｋｅｎｓ，Ｐａｃｋａｒｄ等提出的状态空间的重构

理论［１，２］

，即把具有混沌特性的时间序列重建为一种低阶非线性动力学系统。通过相空间重构，可以找出混沌吸引子在隐藏区的演化规律，使现有的数据纳入某种叫描述的框架之下，从而为时间序列的研究提供了种崭新的方法和思路［３］。相空间重构

相空间重构参数选择方法的研究

谢忠玉１，２　张　立２

１．哈尔滨工程大学自动化学院　１５０００１；　２．黑龙江工程学院电子工程系　１５００５０

是非线性时间序列分析的重要步骤，重构的质量将直接影响到模型的建立和预测。而重构相空间或者说构造一个非线性时间序列的嵌入，需要选择两个重要参数——嵌入维数ｍ和延迟时间τ。对于无限长、无噪声数据序列，延迟时间τ的选取理论上没有限制，而嵌入维数ｍ可以选择充分的大。实际中，由于数据长度有限并可能带噪，τ和ｍ的选择对相空间的重构质量就尤其重要。关于嵌入维数ｍ和延迟时间τ的选取，现在主要有两种观点。一种观点认为两者是互不相关的，如求时延的自相关法、互信息法，求嵌入维的Ｇ－Ｐ算法、ＦＮＮ（ｆｌａｓｅ　ｎｅａｒｅｓｔ　ｎｅｉｇｈｂｏｒｓ）　法等。另一种观点认为两者是相关的，如时间窗口法、Ｃ－Ｃ法和嵌入维、时间延迟自动算法等［４］

。多数研究人员认为，第２种观点在工程实践中更为实用、合理。有关嵌入维和延迟时间联合算法的研究是混沌时间序列分析的热点之一。

本文在国内外学者工作的基础上，结合时间窗法［５］和互信息法［６］，提出一种新的确定嵌入维数和时间延迟的联合算法。在

仿真试验中用本方法确定的嵌入参数计算

Ｌｏｒｅｎｚ系统的混沌不变量（关联维数Ｄ），

算例表明本文提出的方法是有效的。

２时间窗口法及互信息法

提出联合算法以时间窗口法及互信息法为基础计算嵌入维和延迟时间，时间窗口法及互信息法的基本原理和存在的问题如下：

２．１　时间窗口法

１９９６年Ｋｕｇｉｕｍｔｚｉｓ提出延迟时间τ的选取不应该独立于嵌入维数ｍ，而应该依赖延迟时间窗口

τｗ＝（ｍ－１）τ （１）

具体算法为：首先根据原时间序列的波动求出平均轨道周期τｐ，在保证嵌入维数ｍ大于序列本身关联维Ｄ的前提下，均匀τｗ值后依据式（１）变换ｍ和τ的值，使用关联维作为验证指标，逐渐改变

τｗ的大小来确定最优的时间窗长度。经过多次试验发现，在一定时间窗长度下，大

致为τｗ≥τｐ，只要ｍ和τ的值满足式（１），最后求出的关联维就保持不变。时间窗口法的优势是：能够同时确定ｍ和τ，但时间窗口在确定ｍ和τ的值时经过大量的试验，因此计算量较大。２．２　互信息法互信息法是估计重构相空间延迟时间的一种有效方法，它在相空间重构中有着

广泛的应用。考虑两个离散信息系统｛ｓ１，ｓ２，…ｓｎ｝和｛ｑ１，ｑ２，…ｑｎ｝构成的系统Ｓ和Ｑ。根据信息论的知识，从两个系统测量中所获得的平均信息量，即信息熵分别为：在给定Ｓ的情况下，我们得到的关于

系统Ｑ的信息，称为Ｓ和Ｑ的互信息，用下

式表示：

其中Ｐｓｑ（ｓｉ，ｑｊ）为事件ｓｉ和事件ｑｊ的联合

分布概率。

互信息函数是两个随机变量间一般性

随机关联的度量，是非线性的分析方法，在

延迟时间的选取上要优于自相关函数法。

这种通过计算互信息函数第一极小值来确

定延迟时间的方法效果较好。但通过互信

息法只能得到延迟时间一个重构参数，不

能同时确定嵌入维数。

３　相空间重构联合算法

联合算法借鉴了Ｋｕｇｉｕｍｔｚｉｓ提出的时

间窗长度是综合考虑延迟时间τ和嵌入维

ｍ的重要参数的思想，利用了互信息法确

定延迟时间的效果较好的优势。在联合算

法中时间窗τ

ｗ

的确定过程如下：

可以让τ

ｗ

稍大于平均轨道周期τ

ｐ

。

事实上当然希望所得的时间窗越小越好，

这样反推得到的嵌入维应该也比较小，所

以一般就认为平均轨道周期τ

ｐ

下界就是时

间窗。另外，τ

ｗ

的估值随系统初值不同及

噪声影响而有较大波动。原则上，若序列无

限长，没有噪声影响，可以选择充分大的τ

ｗ

而得到充分大的嵌入维数ｍ；实际中，

由于时间序列长度限制，嵌入维数ｍ不能

取得太大，所以实际中倾向于选择τ

ｗ

可能

取值的最小者，即τ

ｗ

＝τ

ｐ

。

文献［５］指出，一般情况下可认为，混

沌时间序列的平均轨道周期和它的平均峰

值时间（ｍｔｂｐ，ｍｅａｎ　ｔｉｍｅ　ｂｅｔｗｅｅｎ

ｐｅａｋｓ）是相等的，即τ

ｐ

＝ｍｔｂｐ。这样，

τ

ｗ

＝ｍｔｂｐ。

求取原始时间序列的ｍｔｂｐ可以采用

快速傅里叶变换（ＦＦＴ）来提取信号的主要频

率ｆ的方法获得，　ｍｔｂｐ＝１／ｆ。

在用ＦＦＴ求取ｍｔｂｐ时，并不是以功

率谱的大小作为选择ｍｔｂｐ的惟一条件［７］，

除了功率谱的大小作为选择ｍｔｂｐ的一个条

件外，还应结合下列两个条件：

１）提取的ｍｔｂｐ应尽量小，只有这样

才能较好地描述信号中全部成分，不至于

丢掉信号中变化较快的成分；

２）　ｍｔｂｐ所对应的谱线应尽可能地接近

离散谱线，这样保证了ｍｔｂｐ所对应的成

分是信号中周期性较强的成分。因此

ｍｔｂｐ的确定需要在上述二个条件中进行均

衡。

本文提出的联合算法为：

（１）利用互信息法求出延迟时间

τ；

（２）求取原始时间序列的平均轨道周

期τ

ｐ

，让τ

ｗ

＝τ

ｐ

＝ｍｔｂｐ；

（３）由τ

ｗ

＝（ｍ－１）τ直接求得

ｍ。

４　仿真试验

仿真试验采用ＭＡＴＬＡＢ平台，考察

了Ｌｏｒｅｎｚ混沌系统（式（４））的ｘ分量，用四阶

Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法积分方程组，选择初始值

为：

图１是Ｌｏｒｅｎｚ混沌系统的互信息函数

对延迟时间的关系图，取互信息函数的第

一个极小值可得延迟时间τ＝１７；图２是

Ｌｏｒｅｎｚ混沌系统的平均峰值时间，从图中

可以看出：当横轴为１０３时，功率谱最大，

因此，１０３所对应的信号周期为要求的

ｍｔｂｐ。ｍｔｂｐ＝１０３（已除以采样周期后的

值）。

图１　互信息与延迟时间之间的关系

（Ｌｏｒｅｎｚ）

结合以上两步的计算结果，由

。

为了检验本文提出的联合算法的有效

性，对ｌｏｒｅｎｚ系统选取τ＝１７，ｍ＝７重构相

空间，求取混沌不变量关联维数Ｄ。本文利

用Ｇ－Ｐ算法确定关联维数，图３为公式（４）

对应的ｌｏｒｅｎｚ时间序列的Ｄ（ｍ）－ｍ的关

系图，从图３中可以看出，当ｍ≥７时，Ｄ

（ｍ）的值近似稳定，得到的值为２．０５１，与

ｌｏｒｅｎｚ系统关联维数理论值（２．０６）近似。

图３　ｌｏｒｅｎｚ系统的Ｄ（ｍ）－ｍ关系图

表１

表１为用公式（４）对应的Ｌｏｒｅｎｚ系统的

ｘ分量，选取τ＝１７，ｍ＝７重构相空间后，

关联维数的计算结果。

ａＡｌｇｏｒｉｔｈｍ　Ｉ：　时间延迟自动算法［８］

ｂＡｌｇｏｒｉｔｈｍ　ＩＩ：　本文提出的联合算法

从表１可以看出，改进算法的计算误

差明显小于传统算法的误差。

５　结论

本文通过深入研究相空间重构常用方

法，借鉴Ｋｕｇｉｕｍｔｚｉｓ提出的时间窗长度概

念，结合互信息法提出了一种新的联合算

法。新方法在综合考虑嵌入窗宽的基础上，

可同时确定嵌入延迟和嵌入维数。利用联

合算法分析的结果进行相空间重构，为下

一步混沌序列的预测、分析等工作奠定了

更好的基础。

图２　Ｌｏｒｅｎｚ混沌系统的平均峰值时间