八年级数学下册 第十八章《平行四边形》18.2 特殊的平行四边形 18.2.2.2 菱形的判定习题课
魏县第九中学八年级数学下册 第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形第1课
（ 3） 30 m 5mn 24 n （ 4n2 ）
请计算 ： 25 36
类比分数的通分与约分你能联想 分式的通分与约分是怎样的吗 ？
∴菱形的周长=4×5=20（cm）.
课堂小结
菱形的性质：
1.菱形的四条边都相等. 2.菱形的对角都相等. 3.菱形的两条对角线互相垂直平分，并 且每一条对角线平分一组对角. S菱形= 对角线乘积的一半F. 求证： ∠AEF=∠AFE.
证明：如图，连接AC, ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC=CD，∠ECA=∠FCA. 又∵BE=DF，∴EC=FC. ∴△AEC≌△AFC， ∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE.
结束
语 八年级数学下册 第十八章 平行四边形18.2 特殊
的平行四边形18.2.2 菱形第1课时 菱形的性质课 件 （新版）新人教版-八年级数学下册第十八章平 行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课 时菱形的性质课件新版新人教版
八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形第1 课时 菱形的性质课件 （新版）新人教
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时菱形的性质课件新版新人教版
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来
知识点 2 菱形性质的应用
比较菱形的对角线和平行四边形的对角 线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个 全等的直角三角形，而平行四边形通常只被 分成两对全等三角形.
由菱形两条对角线的长 ，你能求出它的面积吗？
1 S菱形ABCD=2 AC ·BD
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m， ∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两 位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
人教版八年级数学下册18.2 特殊的 平行四边形第二课时 矩形的性质课件
(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x， 则∠OCD＝∠ODC＝3x. ∵∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°， ∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°， ∴∠ODC＝3×18°＝54°， ∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.
（1）证明：方法一 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平 行四边形． ∵AB＝AE，∴DC＝AE， ∴四边形ACED是矩形．
证明：方法二 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，BC＝CE， ∴AC⊥BE，∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形．
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( C )
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
2.如图 ABCD 中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
1 2
AC，OB=OD= 1
八年级数学下册 第18章 平行四边形 18.2 平行四边形的判定第1课时课件 华东师大版
2.(2013·郴州中考)如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE. 求证：四边形DEBF是平行四边形.
【证明】因为BE∥DF，所以∠AFD=∠CEB， 又因为∠ADF=∠CBE，AF=CE， 所以△ADF≌△CBE，所以DF=BE. 又BE∥DF， 所以四边形DEBF是平行四边形.
3.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF， BE=CF.
求证：(1)△ABC≌△DEF. (2)四边形ABED是平行四边形.
【证明】(1)∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF. 又∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴△ABC≌△DEF. (2)∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE. ∵AB=DE，∴四边形ABED是平行四边形.
【总结提升】从边的角度判定平行四边形的三点注意 (1)判定一个四边形是平行四边形需要两个条件. (2)对于已知两组对边的情况：可以通过判定这两组对边分别 平行，也可以判定这两组对边分别相等来证明四边形是平行四 边形. (3)对于已知一组对边的情况：需要证明这一组对边平行且相 等.
题组一：从两组对边的角度判定平行四边形 1.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC 于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是( )
于点O，图中共有
个平行四边形.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC∥EF，AB∥GH∥CD.
所以是平行四边形的有：□AEOG，□EOHB，□OFCH， □GDFO；□ADFE，□EFCB，□AGHB，□GDCH；□ABCD；
共9个. 答案：9
3.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.
赵县五中八年级数学下册 第18章 平行四边形18.2 平行四边形的判定第2课时由对角线判定平行四边形
2x－3y＝5， 8．(2019·潍坊)已知关于 x，y 的二元一次方程组x－2y＝k 的解 满足 x＞y，求 k 的取值范围．
解：2xx－－23y＝y＝k5②①，， ①－②，得 x－y＝5－k， ∵x＞y，∴x－y＞0. ∴5－k＞0.解得 k＜5
9．(2019·天门)不等式组x5－－12＞x≥01， 的解集在数轴上表示正确的是( C)
13．如图，▱ ABCD 的对角线相交于点 O，直线 EF 经过点 O，分别与 AB、CD 的延 长线交于点 E、F，求证：四边形 AECF 是平行四边形．
解：证△BOE≌△DOF 或△AOE≌△COF 得 OE＝OF，易知 OA＝OC， ∴四边形 AECF 是平行四边形．
14．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E、F，BG ⊥AC，DH⊥AC，垂足分别为 G、H.判断四边形 GEHF 的形状，并说明理由．
请用这种方法解决下面的问题： 如图，在△ABC 中，AB＝AC，延长 AB 到点 D，使 DB＝AB，E 是 AB 的中点．求证： CD＝2CE.
解：延长 CE 到点 F，使 EF＝CE，连结 AF、BF， ∵EF＝CE，E 是 AB 的中点，∴四边形 ACBF 是平行四边形， ∴AF 平行且等于 BC，∴∠FAB＝∠ABC. ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝∠FAB， ∴∠FAC＝∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC＝∠DBC. 又∵AC＝AB＝BD，AF＝BC，∴△AFC≌△BCD(S.A.S.)，∴CF＝CD＝2CE.
解：四边形 BECF 是平形四边形，理由如下：∵CF∥BE，∴∠FCD＝∠EBD. ∵D 是 BC 的中点，∴CD＝BD.∵∠FDC＝∠EDB，∴△CDF≌△BDE(A.S.A.)， ∴DF＝DE.又∵DC＝DB，∴四边形 BECF 是平形四边形．
晴隆县实验中学八年级数学下册 第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形第2课
第2课时矩形的判定【知识与技能】理解并掌握矩形的判定方法，能用判定定理判断一个四边形是否是矩形.【过程与方法】在观察、探究的过程中，逐步感受矩形的判定定理，增强学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度】进一步锻炼学生的数学应用能力，增强合作交流，探究创新意识.【教学重点】矩形的判定定理.【教学难点】对角线相等的平行四边形是矩形及对角线相等且互相平分的四边形是矩形的理解.一、情境导入，初步认识问题在前面，我们己探讨出判别一个四边形是平行四边形还是矩形？也可以说，用什么方法来判别一个四边形是矩形呢？想想看，与同伴交流.二、思考探究，获取新知【教学说明】教师提出问题，让学生思考，在相互交流中加深认识.同时，教师可根据学生的探讨结论进行适当评析，帮助学生获取正确认知.请观察图（1），在四边形ABCD 中，尽管AC=BD，但它不是矩形，图（2）中，在ABCD中，若有AC=BD，则此ABCD是一个矩形.你能说明理由吗？【教学说明】教师引导学生对图（2）进行论证，此时只要证明△ABC≌△DCB即可得到∠ABC=∠DCB,又AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB=90°，由定义知，ABCD是矩形.【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形.也可以说：对角线相等且互相平分的四边形是矩形.想一想工人师傅在做门框或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它的对角线是否相等，以确保图形是矩形.请你说说其中的道理，不妨试试看.练一练求证：有三个角是直角的四边形是矩形.【教学说明】这一结论的证明不难，可由学生自己完成.教师应关注学生是否能规范地画图，写已知，求证，并给予证明.【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.三、典例精析，掌握新知例1 如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC=8cm，若AOB是等边三角形，求此平行四边形的面积.解：在ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∴OA=OC，OB=OD.又∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB，∴OA=OB=OC=OD，∴ABCD是矩形.又∵AC=8cm,∴OA=OB=AB=4cm.在Rt△ABC中,AC=8cm,AB=4cm，∴BC=43cm.∴S ABCD=AB×BC=4×43=163cm2.例2 如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，试说明四边形EFGH为矩形.解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°.∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，∴∠GBC+∠GCB=12×180°=90°，得∠BGC=90°.同理可知∠AFB=∠AED=90°.∴∠GFE=90°.∴四边形EFGH为矩形.【教学说明】以上两例也可先让学生探究，然后教师予以评讲，加深学生对矩形判定定理的理解和应用.四、运用新知，深化理解1.如图，在ABCD中，点E、F为BC边上的点，且BE=CF，AF=DE，求证：ABCD 是矩形.2.如图，O是直线MN上一点，C是射线OP上一点，OA、OB分别平分∠MOP，∠NOP，F 为CO的中点，过F作DE∥MN，交OA、OB于点D、E.求证：四边形CDOE为矩形.【教学说明】让学生自主探究，独立完成，然后相互交流，探寻结论，教师巡视，发现问题及时予以点拨.【答案】1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD，∵BE＝CF，∴BF=CE.又∵AF ＝DE，∴△ABF≌△DCE.∴∠B=∠C，又∵AB∥CD，∠B+∠C＝180°，∴∠B=∠C＝90°.∴ABCD是矩形.2.证明：∵DE∥MN，∴∠1=∠3，而∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴OF=EF.同理可得OF=DF，∴DF=EF.又CF=OF，故FC=FD=FO=FE.∴四边形CDOE为矩形.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获？与同伴交流.【教学说明】学生在反思学习的过程中，巩固矩形的判定定理的理解，系统地掌握本节知识.1.布置作业：从教材“习题18.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本课时是有关矩形判定的问题.由于有前面的知识作铺垫,教师可让学生自己尝试探讨矩形的判定方法，并将矩形的判定与平行四边形的判定作比较，再与其他同学交流，说出矩形与平行四边形的区别与联系，进而更好地掌握知识.在本课时的教学中，教师应最大限度地将课堂交给学生，提高学生学习的积极性与主动性.第2课时 等腰三角形的判定1．掌握等腰三角形的判定定理及其推论．(重点)2．掌握等腰三角形判定定理的运用．(难点)一、情境导入某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A 点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B 点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C 处时，测得∠ACB 为30度，这时，地质专家测得BC 的长度是50米，就可知河流宽度是50米．同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC 的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．二、合作探究探究点一：等腰三角形的判定 【类型一】 确定等腰三角形的个数如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解析：共有5个．(1)∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠BCD .∵△ABC 是等腰三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴△BCE 是等腰三角形；(3)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°.又∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE 和△BCD 也是等腰三角形．故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】在坐标系中确定三角形的个数已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，3)，在y轴上确定点P，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6解析：因为△AOP为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO＝AP(有一个)．此时只要以A为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P；(2)AO＝OP(有两个)．此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择；(3)AP＝OP(一个)．作AO的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择．综上所述，共有4个．故选B.方法总结：解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏．【类型三】判定一个三角形是等腰三角形如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型四】等腰三角形性质和判定的综合运用如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE .(1)求证：△DEF 是等腰三角形；(2)当∠A ＝50°时，求∠DEF 的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B ＝∠C ，利用“边角边”证明△BDE 和△CEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE ＝EF ，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE ＝∠CEF ，然后求出∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE ，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B ＝∠DEF .(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△BDE ≌△CEF (SAS)，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；(2)解：∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE .∵∠B ＋∠BDE ＝∠DEF ＋∠CEF ，∴∠B ＝∠DEF .∵∠A ＝50°，AB ＝AC ，∴∠B ＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF ＝65°.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．三、板书设计等腰三角形的判定方法：(1)根据定义判定；(2)两个角相等的三角形是等腰三角形．学生通过回顾总结等腰三角形的性质为学习等腰三角形的判定做了知识铺垫．之后将本节课的教学目标展示给学生，让学生做到心中有数，让学生带着问题看书，加强自主探索的能力．通过学生观察、思考例题，自然地渗透分类讨论的数学解题思想．通过课堂小结，让学生归纳比较等腰三角形的性质和判定的区别，同时将等腰三角形的性质定理与判定定理有机的结合起来，重在培养学生对两个知识点的综合运用，鼓励学生积极思考．整节课的目标基本实现，重点难点落实得比较到位，唯一欠缺的是时间有点紧，课堂小结比较仓促．数据的表示扇形统计图考查各部分占总体大小的百分比①各部分的百分比之和等于或者等于1②各部分的百分比不等于1，不能用扇形统计图表示条形统计图考查各部分具体数据各部分的具体数据为频数折线统计图考查总体的变化趋势常运用于股市与气温的统计综合考查①扇形统计图与条形统计图一起考，条形统计图的具体数据为频数，扇形统计图的百分比为频率，从而可以根据公式计算出总次数②根据统计表，会制作条形统计图（单位值，间隔值要相等）③根据统计表，会制作扇形统计图（计算百分比和百分数）④扇形圆心角的度数=百分比⑤扇形的面积之比=各部分所占百分数之比=各部分圆心角之比知识点内容备注。
八年级数学下册18-2特殊的平行四边形18-2-1矩形第1课时矩形的性质新版新人教版
B.4
C.3
D.5
【点拨】
∵BF是Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BF＝
AC.∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝ AC.∴BF＝DE＝6.
7.[2023·兰州]如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一
点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过
AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝
对应点为点E，AE与CD交于点F.
(1)求证：△DAF≌△ECF；
【证明】由题意得AD＝BC＝EC，
∠D＝∠B＝∠E＝90°.在△DAF和△ECF中，
∠＝∠，
∴△DAF≌△ECF(AAS).
ቐ∠＝∠，
＝，
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数.
∠CAB＝25°.
利用矩形的性质求线段长
10.[2023·兰州]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别
交OD，AD于点F，G，连接DE.
(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
【解】(1)四边形OCDE是菱形.
理由如下：
∵CD∥OE，∴∠FDC＝∠FOE.
∵CE是线段OD的垂直平分线，
知识点1 矩形的定义及边角性质
1.[2023·苏州 新考法·化动为静法]如图，在平面直角坐标系
中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，
OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，
以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，
当移动时间为4秒时，AC·EF的值为( D )
学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创
人教版八年级数学下册第十八章18.2特殊的平行四边形(教案)
最后，我意识到教学过程中与学生的互动非常重要。通过提问和鼓励学生回答问题，我可以更好地了解他们的学习情况，并及时调整教学策略。在未来的课堂中，我会更加注重与学生的互动，创造一个更加活跃和参与感强的学习环境。
另外，小组讨论的环节似乎很受学生们的欢迎。他们在这个环节中能够积极地交流想法，互相学习。不过，我也观察到有些小组在讨论时可能会偏离主题，或者花费太多时间在非关键的问题上。为了提高讨论的效率，我考虑在下次活动中提供更明确的讨论指导，并在讨论过程中适时地给予引导。
我还发现，在讲解难点时，用简单的语言和图示来解释复杂的几何关系非常有效。学生们反馈说，这样的讲解方式更容易帮助他们理解和记忆。因此，我会在今后的教学中继续采用这种方法，并且尝试找到更多有趣且直观的教学工具。
五、教学反思
在上完这节特殊的平行四边形的课程后，我有一些想法想要记录下来。首先，我发现学生们对于矩形、菱形和正方形的性质与判定的掌握程度参差不齐。在讲授过程中，我尽量通过生动的例子和直观的图形来解释这些概念，但显然，对于一些学生来说，这些知识点还是有一定的难度。
我注意到，当涉及到实际应用问题时，学生们往往不知道如何将所学的理论知识运用到具体情境中。这可能是因为我们在教学中缺乏足够的实际案例分析和练习。在未来的课程中，我需要增加更多的实际问题，让学生们有更多的机会去实践和运用。
4.培养学生团队合作意识，提高交流表达与概括总结能力，在学习过程中形成严谨的科学态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-矩形、菱形、正方形的性质与判定：这是本节课的核心内容，学生需要掌握这三种特殊平行四边形的基本性质，并能运用这些性质进行判定。
人教版数学八年级下册18.2《特殊平行四边形》说课稿
人教版数学八年级下册18.2《特殊平行四边形》说课稿一. 教材分析《特殊平行四边形》是人教版数学八年级下册第18章的一部分，本节内容是在学生掌握了平行四边形的性质和判定之后进行学习的。
通过学习本节内容，学生能够了解和掌握矩形、菱形、正方形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探索和发现特殊平行四边形的性质，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了平行四边形的性质和判定，具备了一定的几何知识基础。
但是，对于特殊平行四边形的性质和应用，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生可能对矩形、菱形、正方形的性质有一定的了解，但是不够系统和深入，需要通过本节内容的学习来进行补充和完善。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握矩形、菱形、正方形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等活动，学生能够培养自己的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂学习，克服困难，自主探索，体验成功的喜悦，培养对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：矩形、菱形、正方形的性质及其应用。
2.教学难点：特殊平行四边形性质的推导和证明，以及在不同情境下的应用。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、演示法、探究法和小组合作法等多种教学方法。
通过多媒体课件和实物模型的演示，帮助学生直观地理解特殊平行四边形的性质。
同时，引导学生进行观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的思考能力和解决问题的能力。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习平行四边形的性质和判定，引出特殊平行四边形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：学生通过阅读教材，了解矩形、菱形、正方形的性质，并尝试解决相关问题。
3.课堂讲解：教师讲解矩形、菱形、正方形的性质，通过实例和图形的演示，帮助学生直观地理解。
新人教版八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课时菱形的性质1
归纳 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有 性质，但平行四边形不一定是菱形.
活动探究
1.做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： 问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？ 问题2:菱形中有哪些相等的线段？
2.发现菱形的性质：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴(直线AC和直线 BD).
（2）AC⊥BD；
B
O
A
C
（3）∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
D
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD; ∴AB = BC = CD =AD.
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形,
•
11、人总是珍惜为得到。21.4.410:27:0 810:27 Apr-214 -Apr-21
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12、人乱于心，不宽余请。10:27:0810 :27:081 0:27Sunday, April 04, 2021
菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD). 菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD)，且每条对角线平分
一组对角(∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠BDCA=∠BCA).
O
A
C
D
3.证明菱形性质: 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交
于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD；
质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角.
八年级数学下册 第十八章 平行四边形 . 特殊的平行四边形菱形
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角
线乘积的一半
第二十二页，共二十五页。
课后作业(zuòyè)，分层提升
必做：课本(kèběn)第57页练习题第1、2题；
课本60页5题
选做：课本第61页练习题第11题。
第二十三页，共二十五页。
第二十四页，共二十五页。
内容(nèiróng)总结
周长为______2．4
第十七页，共二十五页。
典
例
新课讲解
精
(jiǎngjiě)
讲
例3：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O，下列(xiàliè)结论：
①AC⊥BD； ②OA＝OB；
③∠ADB＝∠CDB； ④△ABC是等边三角形，
其中一定成立的是( ) D A．①② B．③④ C．②③ D．①③
(jiě xī)课 典例讲解
(yìngyòng)
典 例 精 讲
例1：如图，在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中，若∠ABC=2∠BAD，
则∠BAD= 60 ° ，△ABD为
等边三角形．
第十六页，共二十五页。
典
新课讲解
例
(jiǎngjiě)
精
讲
例2：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，点E为AD的中点(zhōnɡ diǎn)，若OE＝3，则菱形ABCD的
第十八页，共二十五页。
典
例
新课讲解
精
(jiǎngjiě)
讲
例4：如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，
∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和
BD．求两条小路的长（结果(jiē guǒ)保留小数点后两位）
初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形-章节测试习题
章节测试题1.【题文】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=CD，点E在AD上，DE=BD，M、N分别是AB、CE的中点．（1）求证：△ADB≌△CDE；（2）求∠MDN的度数．【答案】见解析【分析】（1）由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，根据已知条件即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠DCE，根据直角三角形的性质得到AM=DM，DN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，等量代换得到∠ADM=∠CDN，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD与△CDE中，∵AD=CD，∠ADB=∠ADC，DB=DE，∴△ABD≌△CDE；（2）解：∵△ABD≌△CDE，∴∠BAD=∠DCE，∵M、N分别是AB、CE的中点，∴AM=DM，DN=CN，∴∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，∴∠ADM=∠CDN，∵∠CDN+∠ADN=90°，∴∠ADM+∠ADN=90°，∴∠MDN=90°．2.【题文】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG且EG⊥CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立，即EG=CG且EG⊥CG.【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;【解答】解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴，同理，在Rt△DEF中，，∴CG=EG；（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：在△D AG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG，在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG，在矩形AENM中，AM=EN.，在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG，（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。
八年级数学下册人教版18.2特殊的平行四边形优秀教学案例
1.培养学生对数学学科的兴趣，树立自信心，形成积极的数学学习态度；
2.培养学生勇于探索、坚持真理的精神，锻炼学生的意志品质；
3.培养学生团队协作、互相帮助的良好品质，提高学生的人际沟通能力；
4.通过对特殊平行四边形的探究，使学生认识到数学在实际生活中的重要性，培养学生的社会责任感。
5.教学内容的逻辑性和连贯性：教师从导入新课到讲授新知，再到学生小组讨论、总结归纳和作业小结，教学内容的安排具有逻辑性和连贯性，使学生能够系统地学习和掌握特殊平行四边形的性质及其应用。
在教学过程中，我以“以人为本”的教育理念为指导，充分考虑学生的认知规律和学习兴趣，采用多元化的教学方法和评价方式，激发学生的学习积极性，提高学生的数学素养。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解矩形、菱形、正方形的定义及其性质；
2.学会运用特殊平行四边形的性质解决实际问题；
3.掌握平行四边形到特殊平行四边形的判定方法；
3.及时反馈学生的学习情况，指导学生调整学习策略，提高学习效果。
在教学过程中，我将注重学生的反思与评价，帮助学生发现自己的优点和不足，指导学生调整学习方法，提高学生的综合能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际生活中的矩形、菱形、正方形实例，如建筑、设计、工程等，引导学生关注特殊平行四边形在现实中的应用；
在教学过程中，我将关注学生的情感态度与价值观的培养，以爱心、耐心和责任心对待每一个学生，营造和谐、民主的课堂氛围，使学生在愉悦的情感状态下学习，提高学生的情感态度与价值观。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的建筑、设计、工程等为例，引入特殊平行四边形的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系；
人教版初中数学八年级下册《第18章 平行四边形：18.2 特殊的平行四边形》同步练习卷2020.2
人教新版八年级下学期《18.2 特殊的平行四边形》2020年同步练习卷一．选择题（共33小题）1．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°2．在Rt△ABC中，若斜边AC＝，则AC边上的中线BD的长为（）A．1B．2C．D．3．如图，已知A（3，6）、B（0，n）（0＜n≤6），作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P（，0），则PM的最小值为（）A．3B．C．D．4．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是（8，2），D 点坐标是（0，2），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（）A．2B．8C．8D．125．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 6．菱形的对角线不一定具有的性质是（）A．互相平分B．互相垂直C．每一条对角线平分一组对角D．相等7．如图，周长为28的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，H为AD边中点，OH的长等于（）A．3.5B．4C．7D．148．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤10．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（）A．8B．10C．10.4D．1211．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC 的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF ＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（）A．EF＝DO B．EF⊥AOC．四边形EOF A是菱形D．四边形EBOF是菱形13．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．1514．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别为AD、CD上的动点，连接BE、BF、EF．若∠EBF＝60°，则（1）BE＝BF；（2）△BEF是等边三角形；（3）四边形EBFD面积是菱形面积的一半；（4）△DEF面积的最大值是．以上结论成立的是（）A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（2）（3）（4）15．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．416．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为（）A．6B．6C．3D．317．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线互相平分B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形D．矩形的对角线相等18．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1B．1.3C．1.2D．1.519．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG 的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是（）A．四边形CEDF是平行四边形B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O．AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（）A．4B．3C．5D．521．在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC 交于点F，若AB＝7，3DF＝4FC，则BC的长为（）A．7﹣1B．4+2C．2+5D．4+322．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为（）A．B．C．12D．3223．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量其中三个角是否都为直角B．测量对角线是否相等C．测量两组对边是否分别相等D．测量对角线是否相互平分24．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件中能判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2 25．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以BC为边作等边△BCM，连接AM并延长交CD于N，则CN的长为（）A．B．C．D．26．如图，将一个正方形剪去一个角后，∠1+∠2等于（）A．120°B．170°C．220°D．270°27．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（）A．45°B．15°C．10°D．125°28．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形29．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．则四边形AODE一定是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．不能确定30．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD31．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当∠ABC＝90°时，它是矩形B．当AB＝BC时，它是菱形C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当AC＝BD时，它是正方形32．下列说法中，正确的有（）个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A．1B．2C．3D．433．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD 面积为16，则DE的长为（）A．3B．2C．4D．8二．填空题（共9小题）34．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，则AB＝．35．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，BD．若∠EBD＝32°，则∠BCD的度数为度．36．如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为．37．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为．38．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD边上且不与点A和点D重合，点O是对角线BD的中点，当△OED是等腰三角形时，AE的长为．39．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为．40．已知正方形ABCD的对角线长为8cm，则正方形ABCD的面积为cm2．41．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2．则△ABC的面积为．42．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为．三．解答题（共8小题）43．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．44．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．45．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．46．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．47．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形DECO是矩形；（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时，求AF的长度．48．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）DF⊥AC，若∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF的度数是多少？49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF ⊥AC于点F．求证：四边形CFDE是正方形．50．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD＝AF；（2）填空：①当∠ACB＝°时，四边形ADCF为正方形；②连接DF，当∠ACB＝°时，四边形ABDF为菱形．人教新版八年级下学期《18.2 特殊的平行四边形》2020年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共33小题）1．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF＝EF，再根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故选：C．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．2．在Rt△ABC中，若斜边AC＝，则AC边上的中线BD的长为（）A．1B．2C．D．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵斜边AC＝，∴AC边上的中线BD的长＝AC＝，故选：D．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．如图，已知A（3，6）、B（0，n）（0＜n≤6），作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P（，0），则PM的最小值为（）A．3B．C．D．【分析】作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝6，由△AHB∽△CEA，得出比例式，推出AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，推出B（0，6﹣x），C（3+2x，0），由BM＝CM，推出M（，），得出PN＝ON﹣OP＝x，在Rt△PMN中，由勾股定理得出PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+，根据二次函数的性质得出PM2最小值为，即可得出结果．【解答】解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝6，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，∴OC＝HE＝3+2x，OB＝6﹣x，∴B（0，6﹣x），C（3+2x，0）∵BM＝CM，∴M（，），∵P（，0），∴PN＝ON﹣OP＝﹣＝x，∴PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+，∴x＝时，PM2有最小值，最小值为，∴PM的最小值为＝．故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．4．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是（8，2），D 点坐标是（0，2），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（）A．2B．8C．8D．12【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD＝2，求出DE＝4，AD＝2，即可得出答案．【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），∴OD＝2，BD＝8，∴AE＝OD＝2，DE＝4，∴AD＝＝2，∴菱形的周长＝4AD＝8；故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 【分析】证出四边形ABCD是菱形，由菱形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；故选：A．【点评】本题考查了菱形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．6．菱形的对角线不一定具有的性质是（）A．互相平分B．互相垂直C．每一条对角线平分一组对角D．相等【分析】根据菱形的对角线性质，即可得出答案．【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的对角线性质，熟记菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．7．如图，周长为28的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，H为AD边中点，OH的长等于（）A．3.5B．4C．7D．14【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB＝OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH＝AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD，∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH＝AB＝3.5．故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD【分析】由条件OA＝OC，OB＝OD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，A、∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠AOB＝60°，不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定；关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤【分析】根据平行四边形的性质可得OB＝BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由∠BAC≠30°可判断⑤错误．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，又∵BD＝2AD，∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确；∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF＝CD，∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE＝AB＝AG＝BG∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，故②错误；∵BG＝EF，AB∥CD∥EF，∴四边形BGFE是平行四边形，∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正确；∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，∵AG＝GE，∴∠GAE＝∠AEG，∴∠AEG＝∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，若四边形BEFG是菱形∴BE＝BG＝AB，∴∠BAC＝30°与题意不符合故⑤错误，故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．10．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（）A．8B．10C．10.4D．12【分析】由矩形和菱形的性质可得AE＝EC，∠B＝90°，由勾股定理可求AE的长，即可求四边形AECF的周长．【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大，∵四边形AECF是菱形∴AE＝CF＝EC＝AF，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴AE2＝1+（5﹣AE）2，∴AE＝2.6∴菱形AECF的周长＝2.6×4＝10.4故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长度是本题的关键．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC 的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF ＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，由线段中点的定义得到AF＝AD，BG＝BC，于是得到四边形ABGF是平行四边形，根据平行线的性质得到CE⊥FG；故①正确；根据AD＝2AB，AD＝2AF，得到AB＝AF，于是得到四边形ABGF是菱形，故②正确；延长EF，交CD延长线于M，根据全等三角形的性质得到FE＝MF，∠AEF＝∠M，推出∠AEC＝∠ECD＝90°，根据直角三角形的性质得到FC＝EF＝FM，故③正确；得到∠FCD＝∠M，推出∠DCF＝∠DFC，于是得到∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点F、G分别是AD、BC的中点，∴AF＝AD，BG＝BC，∴AF＝BG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB∥FG，∵CE⊥AB，∴CE⊥FG；故①正确；∵AD＝2AB，AD＝2AF，∴AB＝AF，∴四边形ABGF是菱形，故②正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EF＝FM，故③正确；∴∠FCD＝∠M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．12．如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（）A．EF＝DO B．EF⊥AOC．四边形EOF A是菱形D．四边形EBOF是菱形【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的性质进行解答即可．【解答】解：∵菱形ABCD，∴BO＝OD，BD⊥AC，∵E、F分别是边AB、AD的中点，∴2EF＝BD＝BO+OD，EF∥BD，∴EF＝DO，EF⊥AO，∵E是AB的中点，O是BD的中点，∴2EO＝AD，同理可得：2FO＝AB，∵AB＝AD，∴AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形EOF A是菱形，∵AB≠BD，∴四边形EBOF是平行四边形，不是菱形，故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，理解中位线定理和菱形的性质是关键．13．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．15【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，得到AD＝CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO＝3，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．14．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别为AD、CD上的动点，连接BE、BF、EF．若∠EBF＝60°，则（1）BE＝BF；（2）△BEF是等边三角形；（3）四边形EBFD面积是菱形面积的一半；（4）△DEF面积的最大值是．以上结论成立的是（）A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（2）（3）（4）【分析】证明△ABE≌△DBF，可得出BE＝BF，又∠EBF＝60°，可证出△BEF是等边三角形；由全等得出四边形EBFD面积＝S△BED+S△DBF＝S△ABE+S△BED＝S△ABD＝，则知（1）（2）（3）成立，设AE＝DF＝x，DE＝1﹣x，过点F作FH⊥AD 于点H，可求出FH，由面积公式表示出△DEF面积，利用二次函数的性质可求出面积的最大值为．【解答】解：（1）如图1，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°，∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°，∴∠A＝∠CDB，∵∠EBF＝60°，∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，∴∠ABE＝∠DBF，在△ABE和△DBF中，，∴△ABE≌△DBF（AAS），∴BE＝BF，故（1）成立；（2）∵BE＝BF，∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形；故（2）成立；（3）∵△ABE≌△DBF，∴S△ABE＝S△DBF，∴四边形EBFD面积＝S△BED+S△DBF＝S△ABE+S△BED＝S△ABD，∵，∴四边形EBFD面积是菱形面积的一半，故（3）成立；（4）设AE＝DF＝x，∴DE＝1﹣x，如图2，过点F作FH⊥AD于点H，∵∠ADF＝120°，∴∠FDH＝60°，∴∴＝，＝﹣，∴当x＝时，S有最大值为．故（4）成立；故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定，二次函数的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．15．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．4【分析】根据勾股定理求得OD＝，然后根据矩形的性质得出CE＝OD＝．【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．16．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为（）A．6B．6C．3D．3【分析】根据已知得出四边形AEMF是矩形，得出EF＝AM，要使EF最小，只要AM最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】解：∵∠BAC＝90°，ME⊥AB，MF⊥AC，∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEMF是矩形，∴EF＝AM，要使EF最小，只要AM最小即可，过A作AM⊥BC于M，此时AM最小，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，∴AM＝AB＝3，即EF＝3故选：C．【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．17．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线互相平分B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形D．矩形的对角线相等【分析】根据矩形的性质和判定对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、矩形的对角线互相平分；正确；B、有一个角是直角的四边形是矩形；错误；C、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；正确；D、矩形的对角线相等；正确；故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．18．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1B．1.3C．1.2D．1.5【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM 的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠EAF＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP•BC＝AB•AC，∴AP•BC＝AB•AC．∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴5AP＝3×4，∴AP＝2.4，∴AM＝1.2；故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．19．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG 的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是（）A．四边形CEDF是平行四边形B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形【分析】根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形，正确；B、∵四边形CEDF是平行四边形，∵CE⊥AD，∴四边形CEDF是矩形，正确；C、∵四边形CEDF是平行四边形，∵∠AEC＝120°，∴∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，正确；D、当AE＝ED时，不能得出四边形CEDF是菱形，错误；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O．AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（）A．4B．3C．5D．5【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故选：B．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．21．在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC 交于点F，若AB＝7，3DF＝4FC，则BC的长为（）A．7﹣1B．4+2C．2+5D．4+3【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC+CG进行计算即可．【解答】解：延长EF和BC，交于点G，∵3DF＝4FC，∴＝，∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝7，∴直角三角形ABE中，BE＝＝7，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG＝∠DEF，∵AD∥BC，∴∠G＝∠DEF，∴∠BEG＝∠G，∴BG＝BE＝7，∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，∴△EFD∽△GFC，∴＝，设CG＝3x，DE＝4x，则AD＝7+4x＝BC，∵BG＝BC+CG，∴7+4x+3x＝7，解得x＝﹣1，∴BC＝7+4x＝7+4﹣4＝3+4，故选：D．【点评】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．22．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为（）A．B．C．12D．32【分析】由矩形的性质得出OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE＝3，求出BE＝1，由勾股定理求出AB，即可得出答案．【解答】解：连接AE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，∵OE⊥AC，∴AE＝CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝1，∴AB＝＝＝2，∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝2×4＝8；故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB是解题的关键．23．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量其中三个角是否都为直角B．测量对角线是否相等C．测量两组对边是否分别相等D．测量对角线是否相互平分【分析】由矩形的判定定理和平行四边形的判定定理即可得出答案．【解答】解：A、测量其中三个角是否都为直角，能判定矩形；B、测量对角线是否相等，不能判定平行四边形；C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；D、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；故选：A．【点评】本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．24．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件中能判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2【分析】根据矩形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、∵AB＝BC，∴▱ABCD为菱形，错误；B、∵AC⊥BD，∴▱ABCD为菱形，错误；C、∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，正确；D、∵∠1＝∠2，∴▱ABCD为菱形，错误；故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．25．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以BC为边作等边△BCM，连接AM并延长交CD于N，则CN的长为（）A．B．C．D．【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出CN．【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG＝GC，AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∵MH⊥CD，∠D＝90°，∴MH∥AD，∴NH＝HD，∵△MBC是等边三角形，∴MC＝BC＝2，由题意得，∠MCD＝30°，∴MH＝MC＝1，CH＝，DH＝CD﹣CH＝2﹣，HN＝DH＝2﹣CN＝CH﹣HN＝﹣（2﹣）＝2﹣2故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、熟记正方形的各种性质以及平行线的性质是解题的关键．26．如图，将一个正方形剪去一个角后，∠1+∠2等于（）A．120°B．170°C．220°D．270°【分析】根据三角形外角的性质可得∠1+∠2的度数＝三角形三个内角的和+∠A的度数，再根据三角形内角和定理和正方形的性质即可求解．【解答】解：∵∠1＝∠A+∠3，∠2＝∠A+∠4，∴∠1+∠2＝∠A+∠3+∠4+∠A＝180°+90°＝270°．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质和三角形外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是得到∠1+∠2＝（∠A+∠3+∠4）+∠A．27．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（）A．45°B．15°C．10°D．125°【分析】由等边三角形的性质可得∠DAE＝60°，进而可得∠BAE＝150°，又因为AB ＝AE，结合等腰三角形的性质，易得∠AEB的大小，进而可求出∠BED的度数．【解答】解：∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE＝DE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAB＝90°，AD＝AB∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AE＝AB∴∠AEB＝30°÷2＝15°，∴∠BED＝60°﹣15°＝45°，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∠AEB的度数，难度适中．28．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意．B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，比如筝形，故本选项不符合题意．C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项符合题意．D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项符合题意．。
人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形18.2.2菱形 课件(2课时共64张)
OA·OB＝
1 2
×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
B
O
D
∵ AB AO2 BO2 52 122 13,
C
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ 11230.
课堂检测
能力提升题
求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE．
B
F
C
EA
又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．
D
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
课堂小结
边
菱
形 的
角
性
O
C
形
的
菱形的两组对角分别相等 角
性
菱形的邻角互补
质
B
怎样判断一 个四边形是 菱形？
菱形的两条对角线互相平分
对角线 菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
素养目标
2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比 思想，体会研究图形判定的一般思路. 1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已 知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 .
B
O
D
C
= AC(BO+DO)
= AC·BD. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
探究新知 素养考点 1 利用菱形的面积公式解答问题
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的 长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.
八年级数学下册第十八章平行四边形特殊的平行四边形菱形菱形的性质教案新版新人教版
18.2.2 菱 形第1课时 菱形的性质1．掌握的定义和性质及菱形面积的求法；(重点)2．灵活运用菱形的性质解决问题．(难点)一、情境导入将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．二、合作探究探究点一：菱形的性质【类型一】 利用菱形的性质证明线段相等如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB交AB 延长线于E ，CF ⊥AD 交AD 延长线于F .求证：CE ＝CF .解析：连接AC .根据菱形的性质可得AC 平分∠DAB ，再根据角平分线的性质可得CE ＝FC .证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAB .∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF .方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【类型二】 利用菱形的性质进行有关的计算如图，O 是菱形ABCD 对角线AC与BD 的交点，CD ＝5cm ，OD ＝3cm.过点C 作CE ∥DB ，过点B 作BE ∥AC ，CE 与BE 相交于点E .(1)求OC 的长；(2)求四边形OBEC 的面积．解析：(1)在直角三角形OCD 中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形OBEC 为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .在直角三角形OCD 中，OC ＝CD 2－OD 2＝52－32＝4(cm)；(2)∵CE ∥DB ，BE ∥AC ，∴四边形OBEC 为平行四边形．又∵AC ⊥BD ，即∠COB ＝90°，∴平行四边形OBEC 为矩形．∵OB ＝OD ，∴S 矩形OBEC ＝OB ·OC ＝4×3＝12(cm 2)．方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题．【类型三】 运用菱形的性质证明角相等如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.解析：根据“菱形的对角线互相平分”可得OD＝OB，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得OH＝OB，∠OHB＝∠OBH，根据“两直线平行，内错角相等”求出∠OBH＝∠ODC，然后根据“等角的余角相等”证明即可．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，∴OH＝12BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.方法总结：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．【类型四】运用菱形的性质解决探究性问题感知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF.探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展：如图③，在▱ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE的度数．解析：探究：△ADE与△DBF全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE≌△DBF；拓展：因为点O在AD的垂直平分线上，所以OA＝OD，再通过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE的度数．解：探究：△ADE与△DBF全等．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB＝BD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB＝∠ADB＝60°，∴∠EAD＝∠FDB＝120°.∵AE＝DF，∴△ADE≌△DBF；拓展：∵点O在AD的垂直平分线上，∴OA＝OD.∴∠DAO＝∠ADB＝50°，∴∠EAD＝∠FDB＝130°.∵AE＝DF，AD＝DB，∴△ADE≌△DBF，∴∠DEA＝∠AFB＝32°，∴∠EDA＝∠OAD－∠DEA＝18°.方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉相关的基础知识并进行联想．探究点二：菱形的面积已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是( )A．16 3 B．8 3 C．4 3D．8解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，OA＝12AC＝2，OB＝12BD，AC⊥BD，∠BAD＋∠ABC＝180°.∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝4，∴OB＝AB2－OA2＝42－22＝23，∴BD＝2OB＝43，∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝12×4×43＝8 3.故选B.方法总结：菱形的面积有三种计算方法：①将其看成平行四边形，用底与高的积来求；②对角线分得的四个全等三角形面积之和；③两条对角线的乘积的一半．三、板书设计 1．菱形的性质菱形的四边条都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．2．菱形的面积S 菱形＝边长×对应高＝12ab (a ，b 分别是两条对角线的长)通过剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数需要教师加以引导．但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，因此问题就上升到证明这个环节．在整个新知生成过程中，探究活动起了重要的作用．课堂中学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维状态，切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气．。
人教版数学八年级下册18.2《特殊平行四边形》教学设计
人教版数学八年级下册18.2《特殊平行四边形》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册18.2《特殊平行四边形》是学生在学习了平行四边形的性质和判定之后，进一步研究特殊平行四边形的特征和应用。
本节内容主要包括矩形、菱形、正方形的性质，以及它们之间的关系和转化。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探索和发现特殊平行四边形的性质，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了平行四边形的性质和判定，对平行四边形有了初步的认识。
但特殊平行四边形的性质和判定对他们来说还是新的内容，需要通过实例和探究活动来进一步理解和掌握。
学生在学习过程中应具备观察和分析图形的能力，能够运用已学的知识解决实际问题。
三. 教学目标1.了解矩形、菱形、正方形的定义和性质。
2.掌握特殊平行四边形的判定方法。
3.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
4.能够运用特殊平行四边形的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.特殊平行四边形的性质和判定。
2.矩形、菱形、正方形之间的关系和转化。
五. 教学方法1.情境教学法：通过展示实际生活中的特殊平行四边形，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和讨论，培养学生解决问题的能力。
3.合作学习法：学生分组讨论和探究，培养学生的团队协作能力。
4.直观教学法：利用图形和教具，直观展示特殊平行四边形的性质和判定。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示特殊平行四边形的图形和实例。
2.教学道具：准备一些特殊的平行四边形模型，如矩形、菱形、正方形等。
3.练习题：准备一些有关特殊平行四边形的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些特殊的平行四边形，如矩形、菱形、正方形等，引导学生观察和思考：这些图形有什么特殊的性质？它们之间的关系如何？2.呈现（10分钟）教师简要介绍矩形、菱形、正方形的定义和性质，引导学生通过观察和分析，发现它们之间的关系和转化。