考研数学高等数学强化习题-定积分(应用)
高等数学第六章 定积分应用试题及答案
第六章 一元函数定积分的应用一、微元法（元素法）实际问题中可化为定积分来计算的待求量A ，一般总可按“分割、近似求和、取极限”这三个步骤导出它的积分表达式。
但为了简捷实用起见，常常采用微元法（又称元素法）。
微元法的关键就在于寻找待求量A 的微小增量（部分量）能近似表达为x ∆的线性形式，()x x f A ∆≈∆而且当0→∆x 时，()()x x x f A ∆=∆-∆0，亦即()dx x f dA =，其中()x f 为[]b a ,上的某一个连续函数。
量dA 称为待求量的微元素。
然后把()dx x f 在[]b a ,上积分，即待求量⎰=badx x f A )(。
这就是微元法。
在采用微元法时，必须注意如下几点：（1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题。
（2）待求量A 具有以区间的可加性，即A =∑∆A ；（3）取好微元x x f d )(，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定A ∆的线性主部，这关系到结果正确与否的问题。
定积分的几何应用一、平面图形的面积 1．直角坐标的情形求)(1x y ϕ=与)(2x y ϕ=与所围图形的面积方法（1）以x 为积分变量由)(1x ϕ)(2x ϕ=解出两个常数值a x =，b x =，面积元素dA =dx x x )]()([12ϕϕ-，面积A =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰，（b x a ≤≤）。
方法(2) 以y 为积分变量由)(1x y ϕ=、)(2x y ϕ=解出x 的两个表达式)(1y x ϕ=，)(2y x ϕ=，再根据)(1y ϕ)(2y ϕ=解出y 的两个常数值c y =，d y =，面积元素dA =dy y y )]()([12ϕϕ-，面积A =y y y dc d )]()([12ϕϕ-⎰，（d y c ≤≤）。
以x 还是y 为积分变量，要视具体情况分析，总之要让计算最简单。
（1）X — 型平面图形的面积 （2） Y — 型平面图形⎰-=badx x g x f S )()( ⎰-=dcdy y g y f S )()(2．参数方程情形求)(x f y =、a x =、b x =以及x 轴所围图形的面积（b a x f <≥,0)(），如果曲边)(x f y =的方程为参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x φϕ，则其面积dx y A ba ⎰==dt t t )(')(ϕφβα⎰，其中)(),(βϕαϕ==b a3．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=围成的曲边扇形。
定积分及其应用练习 带详细答案
设f（x）= ，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C.
详解：
根据题意作出函数的图象：
根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=
故选C
变式训练二
题面：
已知函数 的图象与x轴所围成图形的面积为（ ）
A．
1/2
B．
1
C．
2
D．
3/2
答案：D.
详解：
由题意图象与x轴所围成图形的面积为
答案： .
详解：
设A(x0,0)，则ωx0＋φ＝ ，∴x0＝ － .
又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为 ，
∴|AC|＝ ，C .
依题意曲线段 与x轴围成的面积为
S＝－∫ － ＋ － ωcos(ωx＋φ)dx＝2.
∵|AC|＝ ，|yB|＝ω，∴S△ABC＝ .
∴满足条件的概率为 .
变式训练二
题面：
（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
题二
题面：
如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()．
A． B． C． D．
变式训练一
题面：
函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
若在曲线段 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．
答案：4.
详解：
作出 在 上的图象如右
与 轴交于0、 、 ，所
求积
题二
题面：
高等数学定积分应用习题答案
第六章定积分的应用习题6-2(A) 1．求以下函数与x轴所围部分的面积：(1)y x26x8,[0,3](2)y2x x2,[0,3]2．求以下各图中暗影部分的面积：1.图6-13．求由以下各曲线围成的图形的面积：(1) y e x,y e x与 x1;(2)y lnx与x0,y lna,y lnb(ba0);(3)y2x x2与y x,y0;(4)y22x,y2(x1);(5)y24(1x)与y2x,y0;(6)y x2与y x,y2x;(7)y2sinx,y sin2x(0x);(8)y x2,x2y2（两部分都要计算）;2814．求由曲线y ln x与直线y0,x e1,x e所围成的图形的面积。
5．求抛物线y x24x3及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。
6．求抛物线y22px及其在点(p,p)处的法线所围成的图形的面积。
27．求曲线x y a与两坐标轴所围成的图形的面积。
x2y21所围图形的面积。
8．求椭圆2b2a9．求由摆线x a(t sint),ya(1cost)的一拱（0t2)与横轴所围图形的面积。
10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x轴之间的图形的面积。
11．求由以下各方程表示的曲线围成的图形的面积：(1)2asin(a0);(2)2a(2cos)(a0);(3)22cos2（双纽线）;12.把抛物线y24ax及直线x x(x00)所围成的图形绕x轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。
13.由y x3,x2,y0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。
14．求以下已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：(1)y achx0,x a,y0,绕x轴;与xa(2)y sinx与y2x,绕x轴;(3)y sin x与y cosx(0x),绕x轴;2(4)y lnx,与x2,y0绕y轴;(5)y2x x2与y x,y0绕y轴;(6)(x5)2y216,绕y轴;15.求由抛物线y24(1x)及其在(0,2)处的切线和x轴所围的图形绕x轴旋转产生的旋转体的体积。
考研数学三(定积分及应用)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学三（定积分及应用）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设M=cos4xdx，N=(sin3x+cos4x)dx，P=(x2sin3x-cos4x)dx，则有( )．A．N＜P＜MB．M＜P＜NC．N＜M＜PD．P＜M＜N正确答案：D解析：cos4xdx=0．N=(sin3x+cos4x)dx=cos4xdx＞0，P=(x2sin3x-cos4x)dx=cos4xdx＜0，则P＜M＜N，选D．知识模块：定积分及应用2．曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围成的图形面积可表示为( )．A．-∫02x(x-1)(2-x)dxB．∫01x(x-1)(2-x)dx-∫12x(x-1)(2-x)dxC．-∫01x(x-1)(2-x)dx+∫12x(x-1)(2-x)dxD．∫02x(x-1)(2-x)dx正确答案：C解析：曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴的三个交点为x=0，x=1，x=2，当0＜x＜1时，y＜0；当1＜x＜2时，y＞0，所以围成的面积可表示为C的形式，选C．知识模块：定积分及应用填空题3．=________.正确答案：解析：知识模块：定积分及应用4．∫0xxsin(x-t)2dt=________．正确答案：∫0xsinuxn-1f(xn)du+xsinxxn-1f(xn)解析：由∫0xxsin(x-t)xn-1f(xn)dt=x∫0xsin(x-t)xn-1f(xn)dtx∫0xsinuxn-1f(xn)du，得∫0xxsin(x-t)xn-1f(xn)dt=(x∫0xsinuxn-1f(xn)du)=∫0xsinuxn-1f(xn)du+xsinxxn-1f(xn)．知识模块：定积分及应用5．∫02πx｜sinx｜dx=_________．正确答案：4π解析：∫02πx｜sinx｜dx=∫0πx｜sinx｜dx+∫π2πx｜sinx｜dx，∫0πx｜sinx｜dx=∫0πxsinxdx=∫0πsinxdx=sinxdx=π。
大学高等数学第五章 定积分及其应用答案
第五章 定积分及其应用习 题 5-11. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A AA A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S.( 2 )( 1 )( 3 )(4)解：=s ⎰+t t d )12(053. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.4. 利用定积分定义计算120d x x ⎰.解：上在]1,0[)(2x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i nix ξ;1,,2,1,-==取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===∆=∆=∆ni i i ni i i ni i i x x x x f 12121)(ξξ=∑∑===ni ni in n n i 1232111)(=311(1)(21)6n n n n ⋅++ =)12)(11(61nn ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 120d x x ⎰=31．5. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 35093(1)11,(0)5,(),(1)781024f f f f -====的大小，知min max 5093,111024f f ==，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即14315093(425)d 22512x x x -≤-+≤⎰. 6. 利用定积分的性质说明⎰1d xe x与⎰1d 2x e x ，哪个积分值较大？解：在[]0,1区间内：22xx x x e e ≥⇒≥ 由性质定理知道：⎰1d xe x≥⎰1d 2x e x7. 证明：⎰---<<2121212d 22x e ex 。
定积分及其应用计算题
3
(1) 求它与 x 轴所围成的面积; (2) 求它的弧长; (3) 求它与 x 轴围成区域绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积和 表面积. 15* 设曲线 y ax a 0, x 0 与 y 1 x 相交于点 A ,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y ax 围成一个平面图形,问 a 为何值时,该 图形绕??轴旋转一周所得的旋转体的体积最大 ?最大体积为多 少? 16. 过点 1,0 作曲线 y x 2 的切线,该切线与上述曲线及 x 轴 围成一个平面图形 A .(1) 求 A 的面积; (2) 求 A 绕 x 轴旋转 一周所成的旋转体的体积. 17* 设函数 f x 在闭区间 0,1 上连续,在开区间 0,1 内大于零, 并满足 3a xf x f x x (a 为常数);
1 2
y a1 cos t ,
(1) 求它绕 x 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积; (2) 求它绕 y 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积. 12. 13. 14.
x 2 求曲线 y 在 0 x 2 区间段的弧长. 2 x at sin t , 求外旋轮线的方程为 0 t 2 , a 0 的弧长. y a1 cos t ,
要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之 比为常数 r ( 0 r 1 ).问: (1) 汽锤击打 3 次后,可将桩打进地下多深? (2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? 广义积分问题 1. 计算
3 2 1 2
dx xx
x2 0
2
.
考研数学强化班讲义-微积分第4讲(学员版)定积分应用综合
（6） 旋转体的侧面积
直角坐标系中曲线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 绕 x 轴旋转生成的旋转体
∫ 的侧面积为
A = 2π
b
f (x)
1 + [ f ′(x)]2 dx 。
a
参数方程下曲线 x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β 绕 x 轴旋转生成的
∫ 旋转体的侧面积为
∫ 绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法）Vx
=
bπ
a
f 2 (x)dx 。
∫ 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法）Vy
=
b 2xπ
a
f (x)dx 。
（5）平面光滑曲线的弧长
直 角 坐 标 系 中 的 光 滑 曲 线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 的 弧 长 为
∫ l = b 1+ [ f ′(x)]2 dx 。 a
设区域的边界由曲线 L :
⎧ x = x(t)
⎨ ⎩
y
=
y(t)
(α ≤ t ≤ β ) 确定, 其中
∫ x(t), y(t) 连续可导, y(t) ≥ 0 , 则区域的面积为 A = β y(t)x′(t)dt 。 α
（3） 极坐标系下区域的面积
设 区 域 D 为 D = {(x, y) x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, α ≤ ϕ ≤ β , 0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ)} ，
D = {(x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)}
∫ 的面积为 A = b [g(x) − f (x)]dx 。 a ∫b
注：若连续函数 f (x) 在区间[a, b] 上变号，则 A = f (x)dx 表示正负面 a 积的代数和，有时称为代数面积。 （2） 参数方程下区域的面积
考研高等数学重要知识点解析定积分的应用
考研高等数学重要知识点解析定积分的应用开城研究生训练营，引导学生，服务学生！高等数学考研重点知识点分析:定积分考研即将到来，不到50天，考研复习将进入冲刺阶段考生基本上已经了解了高分的总数，也许许多考点只是粗略的回顾，并不深入。
没关系。
这里的研究生入学考试导师帮助考生分析定积分的应用命题规则，并对定积分的应用进行深入分析。
定积分的应用主要是基于微分单元法，而微分单元法是基于定积分的定义。
因此，划分、逼近、总结和取极限是计算某些几何量和物理量的指导思想多年来，定积分及其应用在真问题的研究中有多种形式。
它们可以以客观问题的形式或问题的解决方式出现。
他们经常结合其他知识点来考察，如极限、导数、微分中值定理、极值等知识点来给出问题。
在这部分中，需要掌握用微元法计算的平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体体积和侧向面积，以及已知的立体体积、功、重力、压力、质心和平行截面面积的质心。
对于三个，只需要计算平面图形的面积和旋转体的体积。
其中，旋转体体积的求解和微积分在几何中的应用与最大值问题相结合是常见试题的关键类型，应得到大多数考生的充分重视。
对于定积分的应用，首先需要掌握微元法在过去的几年里，有大量真正的研究生入学考试([微博)的试题使用微元法求解方程，而微元法的巧妙应用是写作试题的教师青睐的知识点之一。
然而，由于微元法本身思维的飞跃，灵活有效的方法只有通过充分的练习才能真正实现。
本文将功能图像与微元方法的相应核心类型相结合，总结出三种常见的微元方法:，第1页，共1页开城研究生训练营，指导学生，服务学生！2。
煎饼第2页共2页启成研究生入学考试训练营，指导学生，为他们服务！第3页，共3页开城考研训练营，指导学生，服务学生！第4页第4页第4页开城研究生训练营，指导学生，为他们服务！第5页共5页开城考研训练营指导学生并为他们服务！通过以上三个例子谈了一点对微元法特点的认识这种方法的灵活应用只能通过自助解决问题的经验来实现，因为表面上有些逻辑不符合常规思维，但这也许就是为什么研究生入学考试老师喜欢微元方法的原因。
考研数学三(定积分及应用)模拟试卷6(题后含答案及解析)
考研数学三（定积分及应用）模拟试卷6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列广义积分发散的是( )．A．∫-11B．∫-11C．∫0+∞e-x2dxD．∫2+∞正确答案：A解析：∫-11中，x=0为该广义积分的瑕点，且sinx～x1，由1≥1，得广义积分∫-11发散；为该广义积分的瑕点，且收敛，同理∫01也收敛，故∫-11收敛；∫0+∞e-x2dx中，e-x2为连续函数，因为x2e-x2=0，所以∫0+∞e-x2dx收敛；根据广义积分收敛的定义，∫2+∞收敛，选A．知识模块：定积分及应用2．设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m，则由曲线y=g(x)，y=f(x)及直线x=a，x=b所围成的平面区域绕直线y=m旋转一周所得旋转体体积为( )．A．π∫ab[2m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dxB．π∫ab[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dxC．π∫ab[m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dxD．π∫ab[m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx正确答案：B解析：由元素法的思想，对[x，x+dx] [a，b]，dV={π[m-g(x)]2-π[m-f(x)]2)dx=π[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x]dx．则V=π∫ab[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx，选B．知识模块：定积分及应用填空题3．=________.正确答案：ln2-解析：=∫01xln(1+x2)dx=ln(1+x2)d(1+x2)∫12lntdt=lnt｜12=∫12t=ln2- 知识模块：定积分及应用4．∫02=________.正确答案：解析：知识模块：定积分及应用5．=_______．正确答案：解析：知识模块：定积分及应用6．=_________.正确答案：解析：因为在[-a，a]上连续的函数f(x)有∫-aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx，所以知识模块：定积分及应用7．设f(x)=e-t2dt，则∫01=_________.正确答案：e-1-1解析：=-2∫01=-∫01e-xdx=e-1-1．知识模块：定积分及应用8．∫0+∞x7e-x2dx=______．正确答案：3解析：∫0+∞x7e-x2dx=∫0+∞x6e-x2d(x2)=∫0+∞t3e-tdt==3．知识模块：定积分及应用9．曲线y=x4e-x2(x≥0)与x轴围成的区域面积为________．正确答案：解析：A=∫0+∞x4e-x2dx∫0+∞t2e-t.e-tdt 知识模块：定积分及应用解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
微积分经济类考研基础习题第六章定积分的应用
微积分经济类考研基础习题第六章 定积分的应用一、填空题2,x x y e y e -==与直线1x =-所围成的图形的面积是 .2.曲线)20(sin π≤≤=x x y 与直线0,2==y x π围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转题的体积是 .二、选择题)2)(1(--=x x x y 和x 轴所围成的平面图形的面积为（ ）.（A ）⎰--10)2)(1(dx x x x （B ）⎰--10)2)(1(dx x x x +⎰---21)2)(1(dx x x x （C ）⎰--20)2)(1(dx x x x （D ）⎰--10)2)(1(dx x x x +⎰--21)2)(1(dx x x x 2x y =与4=y 所围成图形的面积为S.则下列各式中，错误的是（ ）.（A ）dx x S ⎰-=202)4(2（B ）dy y S ⎰=402 （C ）dx x S ⎰-=202)4(2 （D ）dx x S ⎰=402 3.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 绕x 轴旋转得到的旋转体的体积1V 与绕y 轴旋转得到的旋转体的体积2V 之间的关系为（ ）.（A ）21V V > （B ）21V V < （C ）21V V > （D ）213V V =4.2x y =与2y x =绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积为（ ）.（A ）π53 （B ）103π （C ）2π （D ）43π三、计算题1.求由下列各曲线所围成的图形的面积：(1)221y x =+与直线10x y --=；(2)曲线x y sin =和x y cos =及两直线2π±=x ；（3）232x y -=与622-=x y .2ax y =与3x y =所围成面积为8，求a 值（设0>a ）.x x x y 223++-=与x 轴所围成图形的面积.4.求位于曲线xe y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积.6.求由下列曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积（1）4,2==x y x ，分别绕x 轴，y 轴；（2）222)(a b y x =-+，0>>a b 所围成的平面图形绕 x 轴.7.求由曲线),3(x x y -=直线2=y 及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积y V .8.已知曲边三角形由抛物线x y 22=及直线1,0==y x 所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）该曲边三角形绕1=y 旋转所成旋转体的体积.四、附加题 b ax y +=与直线1,0,0===x x y 所为成梯形面积等于A ，试求b a ,使这块面积绕x 轴旋转所得体积最小.（其中0,0≥≥b a ）x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面D（1）求D 的面积；（2）求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积.)(x f 在闭区间[]1,0上连续，在开区间[0,1]上0)(>x f ，并满足()xf x '=23()2a f x x +（a 为常数），又曲线)(x f y =与0,1==y x 所围成的图形S 的面积为2，求函数)(x f y =，并问a 为何值时，图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小.。
高等数学(同济大学第五版)第六章 定积分的应用
习题6−21. 求图6−21 中各画斜线部分的面积:(1)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为61]12[)(12231=−=−=x x dx x x A . 2300∫ 解法一x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为0 画斜线部分在y 轴上的区间为[1, e ]. 所求的面积为(2)画斜线部分在 1|)()(11=−=−=∫x x e ex dx e e A ,0 解法二投影 1)1(|ln ln =−−=−==∫∫e e dy y y ydy A e e e . 111(3)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[−3, 1]. 所求的面积为332]2)3[(132=−−=∫−dx x x A . (4)解 [−1, 3]. 所求的面积为画斜线部分在x 轴上的投影区间为 332|)313()32(3132312=−+=−+=−−∫x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:(1) 221x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解:388282)21222228(2020020221−−=−−=−−=∫∫∫∫dx x dx x dx x dx x x A 323cos 16402+=−=∫πtdt . 48π346)212−=−ππS . 2(2=A (2)xy =1与直线y =x 及x =2; 解:所求的面积为∫=A −=−202ln 23)1(dx x x . e x , y =e −x 与直线x =1;解:所求的 (3) y =面积为∫−+=−=−1021)(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).解所求的面积为a b e dy e A ba yb a y −===∫ln ln ln ln3. 求抛物线y =−x 2+4x −3及其在点(0, −3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 过点(0, −3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x −3)., 切线方程为y =−2x +6.y ′=−2 x +4.过点(3, 0)处的切线的斜率为−2两切线的交点为)3 ,23(, 所求的面积为 49]34(62[)]34(34[2302332=−+−−+−+−+−−−=∫∫dx x x x x x x A . 4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p 处的法线所围成的图形的面积. 解2y ⋅y ′=2p .在点处, 1),2(==′p p y p y ,),2(p p 法线的斜率k =−1, 法线的方程为)2(p x p y −−=−, 即y p x −=23.),2(p p 求得法线与抛物线的两个交点为和)3,29(p p −. 法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p p pp =−−=−−=−−∫. 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积;(1)ρ=2a cos θ ;解:所求的面积为∫∫==2221πθθ −202cos 4)cos 2(2ππθθd a d a A =πa 2. a cos 3t , y =a sin 3t ;解2(2)x =所求的面积为∫∫∫===204220330sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t a t a d t a ydx A a 2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=−=∫∫.(3)ρ=2 解所求的面积为a (2+cos θ ) 2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(221a d a d a A πθθθθθππ=++=+=∫∫. 6. 求由摆线x =a (t −sin t ), y =a (1−cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积. 解:所求的面积为∫∫∫−=−−==a a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a =++−=∫. 7. 求对数螺线ρ=ae θ(−π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积.解所求的面积为)(42)(2ππ−−∫∫e d e a d ae 11222222πππθπθθθ−−===e a . 8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.(1)ρ=3cos θ 及ρ=1+cos θ解曲线ρ=3cos θ 与ρ=1+cos θ 交点的极坐标为A)3,23(πA , )3,23(π−B . 由对称性, 所求的面积为 πθθθθπππ45])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=∫∫d d A . (2)θρsin 2=及解θρ2cos 2=.6,22(π.曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M 所求的面积为 2316]2cos 21)sin 2(21[24602−+=+=∫∫πθθθθπππd d A .于曲线e x 下方, 9. 求位y =该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积. 解 设直线y =kx 与曲线y =e x 相切于A (x 0, y 0)点, 则有x y e y kx y x x 00)(0000, , y 0=e , k =e .所求面 ⎪⎩⎪⎨⎧==′==ke 求得x 0=1积为21ln 21)ln 1(00020e dy y y y y y e dy y y e e e e e=⋅+−=−∫∫. 10. 求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解 设弦的倾角为α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为10A A A +=. 显然当2πα=时1=0; 当, A 2πα1因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 <时, A >0. 20300383822a x a dx ax A a a ===∫. 1. 把抛物线y 2=4ax 及直线x =x 0(x 0>0)所围成的图形绕x 轴旋转, 计算得旋转体的体积.1所 解 所得旋转体的体积为20022224000x a axdx dx y V xx x πππ====∫ 00x a π∫. 12. 由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得转所得旋转体的体积为两个旋转体的体积.解 绕x 轴旋πππ712871207206202====∫∫x dx x dx y V x . 绕y 轴旋转所得旋转体的体积为∫∫−=−⋅⋅=803280223282dy y dy x V y ππππ ππ56453328035=−=y . 所围成的图形, 绕x 轴旋, 计算所得旋转体的体积. 解 由对称性, 所求旋转体的体积为13. 把星形线转3/23/23/2a y x =+ dx x a dx y V a a ∫=2222π∫−=0333)(2π 0 3024224210532)33(2a dx x x a x a a a π=−+−=∫.14. 用积分方法证明图中球缺的体积为)(2H R H V −=π.3证明 ∫∫−−−==R H R RH R dy y R dy y x V )()(222ππ)3()1(32y y R R H R =−=−ππ 32H R H −.15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的体积:(1的旋转体)2x y =,2y x =, 绕y 轴; πππ)(22=−=∫∫dy y ydy V 解 103)5121(10521010=−y y . (2)ax a y ch =, x =0, x =a , y =0, 绕x 轴; 解 ∫∫∫===102ch udu 302202 ch )(a x dx a x a dx x y V a aπππ令 au1022)()2(u u u du e e −=++=∫2231032122144u e u e a a −−+ππ )2sh 2(43+a π= . (3)216)5(2=−y , 绕x 轴.解 +x ∫∫−−−−−−+=44224422)165()165(dx x dx x Vππ 24021601640π∫=−=dx x .x =(t −sin t ),=a (1−cos t )的一拱, y =0, 绕直线y =2a . 解 a dy y a dx a V02202)2()2( 23237)8πππa t a a =+−=. 16. 求圆盘 (4)摆线a y a 2∫∫−−=ππππ∫−+−=πππ202223)sin (])cos 1([8t t da t a a 0sin cos 1(tdt a ∫232222a y x ≤+绕x =−b (b >a >0)旋转所成旋转体 解 的体积.∫∫−−−−−−+=a a a a dy y a b dy y a b V222222)()(ππ 2202228ππb a dy y a b a=−=∫.17. 设有一截锥体, 其高为h , 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴2a 、2b 和2A 、求这截锥体的体积.解 建立坐标系如图. 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面, 则 易得其长分别为2B , 平面与截锥体的截面为椭圆,长短半轴分别为y h a A A −−, y hb B B −−. 积为π)()(y 截面的面h h B B y a A A −⋅b −−−.于是截锥体的体积为])(2[61)()(b V h=∫0AB a h dy y h b B B y h a A A +++=−−⋅−−π.计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角.x 且垂直于x () 件知, 它是边长为bA aB 18. 形的立体体积 解 设过点轴的截面面积为A x ,由已知条xR −2的等边三角形的面积, 其值为)(3)(22x R x A −=, 322334)(3R dx x R VR=−=∫R所以 − a.如图, 在x 处取一宽为dx 的边梯形, 小曲边梯形绕y 积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ⋅f (x )dx ,y 轴旋转所成的旋转体的体积为==bab dx x xf dx x xf V)(2)(2ππ.用题19和结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 解.19. 证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为=bdx x xf V )(2π∫ 证明 小曲轴旋转所得的旋转体的体于是平面图形绕 ∫a∫ 20. 利2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+−=−==∫∫x x x x xd xdx x V .y =ln x 上相应于83≤≤ 21. 计算曲线x 的一段弧的长度.解 ∫∫∫+=+=′+=82838x32321)1(1)(1dx x x dx dx x y s ,t 12−=t x ,x +21=, 即 则令23ln 211111113223232222322+=−+=t s −=−⋅−=∫∫∫∫dt t dt d t t dt t tt t .)3(x − 22. 计算曲线3弧的长度. x y =上相应于1≤x ≤3的一段 解x x x y 3−=, 1x y 2−=′,x 121x x y 4112+−=′, 214)(12x y +=′+,121x为所求弧长3432)232(21)1(213131−=+=+=∫x x x dx xx s .23. 计算半立方抛物线被抛物线32x y =32)1(32−=x y 截得的一段弧的长度.解 由⎪⎩⎪⎨⎧=−=3)1( 32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为36 ,2(, )36 ,2(−. 所求弧长为∫′+=21212dx y s .因为2y x y 2)1(−=′,)1(23)1()134−=−2)1(2−=′y y x ,32()1(242−−==′y x y 所以 x x x . ]1)25[(98)1)1−x 3(13232(231232121−=−=−+=∫∫d x dx x s . 抛物线y 2=2px 从顶点到这曲线上的一点M (x , y )的弧长.24. 计算∫∫∫+=+=′+=y yydy sy p p dy p y dy y x 02202021)(1)(1 解y y p y p p 2222])2[+++=y p y 02ln(21+p 2y p y py p py 2222ln2++++=.25. 计算星形线t a x 3cos =, 的全长.解 用参数方程的弧长公式.t a y 3sin = dt t y t x s =∫′+′2022)()(4π∫⋅+−⋅=202222]cos sin 3[)]sin (cos 3[4πdt t t a t t aa tdt t 6cos sin 1220==∫π.26. 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直, 使细线与圆周始终相切, 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线, 它的方程为 )sin (cos t t t a x +=, )cos (sin t t t a y −=.计算这曲线上相应于t 从0变到π的一段弧的长度. 解 由参数方程弧长公式∫∫+=′+′=ππ022022)sin ()cos ()]([)]([dtt at t at dt t y t x s 0∫22ππa tdt a ==.cos t )上求分摆线第一拱成1: 3 解 设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0), 则 27. 在摆线x =a (t −sin t ), y =a (1−的点的坐标.∫∫+−=′+′=0220220]sin [)]cos 1([)]t ([)]([)(t t dt t a t a dt y t x t s)2cos 1(42sin 2000ta dt t a t −==∫.当t 0=2π时, 得第一拱弧长s (2π)=8a . 为求分摆线第一拱为1: 3的点为A (x , y ), 令a ta 22cos 1(40=−,32解得0π=t , 因而分点的坐标为:a a x )32()2sin 2(−=−=πππ, 横坐标23 纵坐标33a a y 23)32cos1(=−=π,故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a −π. ρθa e =相应于自θ=0到的一段弧长 28. 求对数螺线θ=ϕ. 解 用极坐标的弧长公式. θθθρθρϕθθϕd ae e d a a ∫∫+=′+=22022)()()()(s )1−θ(11202+=+=∫ϕθθa a e aa d e a .29线1相应于自 . 求曲ρθ=43=θ至34=θ.的一段弧长 极坐标公式可得所求的弧长 解 按∫∫−+=′+=344322234322)1()1()()(θθθθθρθρd d s23ln 1251134322+=+=∫θθθd .30. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长. 解 用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ==2 ∫∫−++′+0222022)sin ()cos 1()()(2a d a 82∫cos 4==πθθ.习题6−31. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功.解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为18216260===∫s k ksds W k(牛⋅厘米).2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻−马定律知:ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV .设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则ππ80000)]80)(10[()(2=−⋅x x P , π−=80800)(x P .功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π,所求功为 2ln 8008018000080800)10(400402πππππ=−=−⋅⋅=∫∫dx dx W(J).3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是 hR mgRhW +=,其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径;(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km .证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为dy ykMm dW 2=, 所求的功为 )(2h R R mMh k dy y kMm W hR R+⋅==∫+.(2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6×=×+×××××⋅×=−W (kJ).4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以23)(cxt x v =′=, 阻力4229t kc kv f −=−=. 而32)(cx t =, 所以34323429)(9)(x kc cx kc x f −=−=. 功元素dW =−f (x )dx , 所求之功为 37320343203432072799)]([a kc dx x kcdx x kc dx x f Wa aa ===−=∫∫∫. 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在击第一次时, 将铁钉击入木板1cm . 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次时, 铁钉又击入多少？解 设锤击第二次时铁钉又击入h cm , 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比, 即f =kx , 功元素dW =f dx =kxdx , 击第一次作功为 k kxdx W 21101==∫,击第二次作功为 )2(212112h h k kxdx W h+==∫+.因为, 所以有 21W W =)2(21212h h k k +=, 解得12−=h (cm).6. 设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3210−=, 功元素为dx x x dx r x dW 22)3210(−=⋅=ππ,所求功为 ∫−=1502)3210(dx x x Wπ∫+−=15032)9440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力. 解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为xdx dx x dP 221=⋅⋅=, 闸门上所受的水压力为21252252===∫x xdx P (吨)=205. 8(kN).8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力.解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为11)43()43(2222=+−y x .压力元素为dx x x dx x y x dP 22)43()43(38)(21−−⋅=⋅⋅=,所求压力为∫∫−⋅⋅+=−−⋅=222322cos 43cos 43)sin 1(4338)43()43(38ππtdx t t dx x x Pππ169cos 49202==∫tdx (吨)=17.3(kN). (提示: 积分中所作的变换为t x sin 4343=−)9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m , 高为20m . 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力.解 建立坐标系如图. 直线AB 的方程为x y 1015−=,压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21−⋅=⋅⋅=,所求压力为1467)5110(200=−⋅=∫dx x x P (吨)=14388(千牛).10. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所受的压力. 解 建立坐标系如图.腰AC 的方程为x y 32=, 压力元素为dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=,所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=∫x x dx x x P (克)=1.65(牛).11. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为dy ya Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为dF r a dF x −=, dF rydF y =.2202222022)(1)(l a a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +−=++−=+⋅−=∫∫μμμ,)11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +−=++=+⋅=∫∫μμμ. 12. 设有一半径为R 、中心角为 ϕ 的圆弧形细棒, 其线密度为常数 μ . 在圆心处有一质量为m 的质点F . 试求这细棒对质点M 的引力. 解 根据对称性, F y =0.θμcos 2⋅⋅⋅=Rdsm G dF xθθμθθμd R Gm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=,θθμϕϕd R Gm F x ∫−=2cos2sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==∫. 引力的大小为2sin 2ϕμR Gm , 方向自M 点起指向圆弧中点.总 习 题 六1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足∫∫+=+300112111dt t dt t x.因为212]12[110−+=+=+∫x t dt t x x, 112[2111213030=+=+∫t dt t ,所以1212=−+x ,45=x (m).2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积. 解∫++⋅=43222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S24322241)2sin 1(28a d a a −=++=∫πθθπππ.3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线与直线x =1, y =0所围图形的面积为c bx ax y ++=294,且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.y c bx ax +=+ 解 因为抛物线2y 通过点(0, 0), 所以c =0, 从而 bx ax +=2.bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为抛物线23)(102b a dx bx ax S +=+=∫. 令9423=+b a , 得968a b −=. 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 )235()(221022ab b a dx bx ax V ++=+=∫ππ)]968(2)968(315[22a a a a −+−+=π. 令0)]128(181********[=−+−⋅+2=a a a ddV π, 得35−=a , 于是b =2. 4. 求由曲线23x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 所求旋转体的体积为πππ751272224027403=⋅=⋅=∫x dx x x V . 5. 求圆盘1)2(22≤+−y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 )2(122312∫−−⋅⋅=dx x x Vπ 2224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=−∫−tdt t t x 令.6. 抛物线221x y =被圆322=+y x 所需截下的有限部分的弧长. 解 由⎪⎩⎪⎨⎧==+222213x y y x 解得抛物线与圆的两个交点为)1 ,2(−, )1 ,2(, 于是所求的弧长为2022202])1ln(2112[212x x x x dx x s ++++=+=∫ )32ln(6++=.,解 建立坐标系如图. 将球从水中取出时, 球的各点上升的高度均为2r . 在x 处取一厚度为dx 的薄片, 在将球从水中取出的过程中, 薄片在水下上升的高度为r +x ,在水上上升的高度为r −x . 在水下对薄片所做的功为零,在水上对薄片所做的功为dx x r x r g dW ))((22−−=π,对球所做的功为g r x d x r x r g W rr 22234))((ππ=−−=∫−. 8. 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成α 角斜沉于液体内,长边平行于液面而位于深h 处, 设a >b , 液体的比重为ρ, 试求薄板每面所受的压力.解 在水面上建立x 轴, 使长边与x 轴在同一垂面上, 长边的在x 轴上的投影区间为[0, b cos α], 在x 处x 轴到薄板的距离为h +x tan α. 压力元素为 上端点与原点对应. 长边dx x h ga dx a x h g dP )tan (cos cos )tan (ααρααρ+=⋅⋅+⋅=, 薄板各面所受到的压力为)sin 2(21)tan (cos cos 0αρααραb h gab dx x h ga P b +=+=∫. 9. 设星形线t a x 3cos =,t a y 3sin =上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方, 在原点O 处有一单位质点, 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力. 解 取弧微分ds 为质点, 则其质量为ds y x ds y x 322322)()(+=+, 其中tdt t a dt t a t a ds cos sin 3])sin [(])cos [(2323=′+′=.设所求的引力在x 轴、y 轴上的投影分别为F x 、F y , 则有∫+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds y x x y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==∫π, ∫+⋅++⋅⋅=22222322)()(1πds y x y y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==∫π, 所以)53 ,53(22Ga Ga =F .。
考研数学高等数学强化习题-定积分
考研数学高等数学强化习题-定积分(计算)(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--模块六 定积分（计算）Ⅰ经典习题一．定积分的比较1、设⎰=41tan πdx x x I ,dx xxI ⎰=402tan π, 则( )(A) 12.4I I π>> (B) 12.4π>>I I(C) 21.4I I π>>(D)21.4I I π>>2、设410sin x I dx x π=⎰，420sin xI dx xπ=⎰，则( ) (A) 124I I π<< (B) 124I I π<<(C)124I I π<< (D) 214I I π<<3、设函数()f x 与()g x 在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，且对任何(0,1)C ∈( ) (A) 1122()()ccf t dtg t dt ≥⎰⎰(B) 1122()()c cf t dtg t dt ≤⎰⎰(C) 11()()ccf t dtg t dt ≥⎰⎰(D) 11()()ccf t dtg t dt≤⎰⎰4、()2cos cos x t xF x e tdt π+-=⎰，则()F x （）为正常数.为负常数.恒为零. 不为常数. 5、已知广义积分2ln 1xdx x +∞+⎰是收敛的，则它的数值（） 为正数. 为负数 为零.无法确定正负.6、证明200I x dx =>.()A ()B ()C ()D ()A ()B ()C ()D二．微积分基本定理7、设2,(),x e x f x x a x ⎧≤=⎨+>⎩，1()()x F x f t dt -=⎰，则()F x 在0x =处（ ）（A ）极限存在但不连续 （B ）连续但不可导（C ）可导 （D ）是否可导与a 的取值有关8、设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则 ( )(A) ()F x 在0x =点不连续.(B) ()F x 在(,)-∞+∞内连续，但在0x =点不可导. (C) ()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足)()(x f x F ='. (D) ()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.三．定积分的基本计算方法9、设()f x 为连续函数，0()s t I t f tx dx =⎰，其中0,0t s >>，则I 的值（ ） （A ）依赖于,s t （B ）依赖于,,s t x （C ）依赖于,t x ，不依赖于s （D ）依赖于s ，不依赖于t 10、（1）41⎰（2）4⎰（3）22sin 0sin 21π+⎰xx dx e（4）1arcsin ⎰x xdx （5）41011-⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰x dx x （6）30⎰ （7）1214⎰（8）()()12ln 12+-⎰x dx x（9）41cos 2π+⎰x dx x （10）0⎰a11、设()f x 是连续函数，且()()12f x x f x dx =+⎰，则()f x = 。
定积分（历年考研真题）
定积分（历年考研真题）第六章定积分（历年考研真题）1、222d 2x x x x-+=+?。
2、设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x >，则⽅程1()d d 0()x x abf t t t f t +=?在开区间(,)a b 内的根有（）(A)0个. (B)1个. (C)2个. (D)⽆穷多个. 3、设函数()f x 有导数，且1(0)0,()()d x n n nf F x tf x t t -==-?。
证明：20()1lim(0)2nx F x f xn→'=。
4、已知曲线(0)y a =>与曲线lny =00(,)x y 处有公切线，求（1）常数a 及切点00(,)x y ；（2）两曲线与x 轴围成的平⾯图形的⾯积。
5、设1lim d ax a tx x te t x -∞→∞+??，则常数a = 。
6、下列⼴义积分发散的是（） (A)111d sin x x-?. (B)1x -?. (C)2ed xx +∞-?. (D)221d ln x x x+∞?.7、设(),()f x g x 在区间[,](0)a a a ->上连续，且()f x 满⾜条件()()f x f x A +-=（A 为常数），()g x 为偶函数。
（1）证明0()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=?；（2）利⽤（1）的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-8、计算2ed (1e )x xx x -+∞-+?。
9、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()d ()b af x x f b b a=-?。
求证：在(,)a b 内⾄少存在⼀点ξ，使()0f ξ'=。
10、设1321()()d 1f x xf x x x=++?，则1()d f x x =? 。
11、设(),()f x x ?在点0x =的某邻域内连续，且当0x →时，()f x 是()x ?的⾼阶⽆穷⼩。
定积分的应用习题精品文档34页
1y2dx
dy
B．曲线弧为
x y
(t) (t)
o a x xdxb x
(t)
其 中 ( t)( ,t) 在 [,] 上 具 有 连 续 导 数
弧长
s
2(t)2(t)dt
C．曲线弧为 rr() ()
弧长
s
r2()r2()d
(4) 旋转体的侧面积 y
yf(x)
y f ( x ) 0 ,a x b
x (t)
y
(t
)
曲边梯形的面积 Att12(t)(t)dt
（ 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ）
在 [t1,t2]（ 或 [t2,t1]） 上 x(t)具 有 连 续 导 数 ， y (t)连 续 .
极坐标情形
r()
d
r1()
r2()
o
x
和 ；
（ 3 ） 部 分 量 U i 的 近 似 值 可 表 示 为 f ( i ) x i ；
就 可 以 考 虑 用 定 积 分 来 表 达 这 个 量 U .
4、解题步骤
1 )根 据 问 题 的 具 体 情 况 ， 选 取 一 个 变 量 例 如 x为 积 分 变 量 ， 并 确 定 它 的 变 化 区 间 [a,b ]；
2）设想把区间[a,b]分成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[x, xdx]，求出相应于这小区
间的部分量U的近似值．如果U能近似地表 示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f (x)与 dx的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作 dU，即dU f(x)dx； 3） 以 所 求 量 U的 元 素 f(x)d为 x被 积 表 达 式 ， 在
(完整版)高等数学定积分应用习题答案
第六章 定积分的应用习题 6-2 (A)1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积：]3,0[,86)1(2+-=x x y ]3,0[,2)2(2x x y -=2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1.图 6-13．求由下列各曲线围成的图形的面积：;1,)1(===-x e y e y x x 与;)0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与;0,2)3(2==-=y x y x x y 与;)1(,2)4(22--==x y x y;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与;2,)6(2x y x y x y ===与;)0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y;8,2)8(222（两部分都要计算）=+=y x x y4．的图形的面积。
所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 15．的面积。
处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y6．的面积。
处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2(22p ppx y = 7．形的面积。
与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+8．所围图形的面积。
求椭圆12222=+by a x9．。
与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x10．轴之间的图形的面积。
的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x =11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ;)0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ;2cos 2)3(2（双纽线）θρ=抛物体的体积。
轴旋转，计算所得旋转所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>==体的体积。
旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133===14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x axcha y ====;,2sin )2(轴绕与x xy x y π== ;,)20(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π≤≤==;0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-=;,16)5()6(22轴绕y y x =+-。
考研专题第3讲 定积分的应用模块
二、旋转体体积
例题：13年 数三 T16 10分
例题：15年 数二 T16 12分
二、旋转体体积
例题：16年 数二 T20 11分
三、截面面积为已知的立体体积（限数一数二）
历年真题：
四、求弧长（限数一数二）
四、求弧长（限限数一数二）
五、求旋转体的侧面积（限数一数二）
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第3讲 定积分的应用
陈玉松
一、平面区域的面积
一、平面区域的面积
一、平面区域的面积
例题：12年 数三 T12 4分
例题：14年 数三 T10 4分 练习：1.求曲线 y 4 , x 2 及 y 2 所围图形面积.
x
一、平面区域的面积
例题：14年 数二 T20 11分
例题：18年 数二 T20 11分
一、平面区域的面积
例题：19年 数一 T17 10分
例题：19年 数二 T19 10分
一、平面区域的面积
例题：12年 数一 T18 10分
例题：13年 数二 T11 4分
二、旋转体体积
二、旋转体体积
二、旋转体体积
二、旋转体体积
二、旋转体体积
例题：11年 数三 T12 4分
例题：12年 数二 T17 12分
历年真题：
2024年考研高等数学一定积分的应用历年真题
2024年考研高等数学一定积分的应用历年真题【2024年考研高等数学一定积分的应用历年真题】对于考研高等数学一定积分的应用历年真题的解析与讨论首先，我们先来回顾一下高等数学一定积分的基本概念和相关定理。
一定积分是定积分的另一种称呼，是定义在一个区间上的连续函数的积分。
而定积分的求解可以通过反求导的方式进行，即通过原函数的求解来得到。
接下来，我们重点关注2024年考研高等数学一定积分的应用历年真题。
以下是一些典型的历年真题，我们将结合这些题目进行详细的讨论和解析。
[题目一]计算定积分\[I=\int_{0}^{1} \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3}{dx}\]解答：首先，我们观察到被积函数中存在(x+1)和(x+2)两种形式，因此可以尝试使用分部积分法来解答这个题目。
令\[u = (x+1)^2, dv = \frac{1}{{(x+2)^3}}dx\]则\[du = 2(x+1)dx, v = -\frac{1}{2(x+2)^2}\]根据分部积分公式，\[I = \left[(x+1)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2(x+2)^2}\right)\right]_0^1 -\int_{0}^{1} (2(x+1) \cdot \left(-\frac{1}{2(x+2)^2}\right))dx\]化简得\[I = -\frac{1}{8} - \left[-\frac{1}{2(x+2)}\right]_0^1 + \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+2)^2}dx\]继续求解，得\[I = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} - \left[-\frac{1}{x+2}\right]_0^1\]最后得到\[I = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{24}\][题目二]已知函数f(x)在区间[0,1]上可导，且满足f(0)=0，f(1)=1。
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模块七 定积分（应用）Ⅰ经典习题一．平面图形的计算1、曲线()sin 03xy ex x π-=≤≤与x 轴所围成图形的面积可表示为（）()30sin xA e xdx π--⎰ ()30sin x B e xdx π-⎰()2302sin sin sin x x x C e xdx e xdx e xdx πππππ----+⎰⎰⎰()2302sin sin xx D e xdx e xdx πππ---⎰⎰2、设b 为常数（1）求曲线321:(2)x bx L y x x ++=+的斜渐近线（记为l ）的方程（2）设L 与l 从1x =延伸到x →+∞之间的图线的面积A 为有限值，求,b A3、曲线2yx =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________.4、假设曲线1L ：()2101y xx =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.5、求曲线y =l ,使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的平面图形面积最小. 6、计算抛物线22yx =与直线4y x =-所围成的图形面积。
7、求椭圆22221x y a b+=所围成图形的面积。
8、求下列各曲线围成的图形的面积 （1）2cos a ρθ=（2）()22cos aρθ=+二．简单几何体的体积9、曲线()211y x =--及直线0y =围成的图形绕y 轴旋转而成的立体的体积是（ ）()(2101A dy π+⎰ ()(211B dy π-⎰()((21011C dy ππ⎡⎤-⎣⎦⎰ ()((221011D dy ππ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦⎰ 10、设曲线方程为(0).xy e x -=≥（1）把曲线、xy ex -=轴、y 轴和直线(0)x ξξ=>所围平面图形绕x 轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积();V ξ求满足1()lim ()2V a V ξξ→+∞=的a (2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.11、设抛物线2yax bx c =++过原点，当01x ≤≤时0,y ≥又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为1.3试确定,,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.12、过坐标原点作曲线x y e =的切线，该切线与曲线xy e =以及x 轴围成的向x 轴负向无限延伸的平面图形记为D （1）求D 的面积（2）求D 饶直线1x =所成旋转体体积V13、设曲线2y ax =（0,0x a ≥>）与曲线21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形D（1）求D 饶x 轴旋转一周所成的旋转体体积()V a （2）求a 的值使()V a 为最大14、在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作切线，使之与曲线及x 轴所围图形的面积为1,12试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积。
15、过原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =以及x 围成平面图形D （1）求D 的面积（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V16、求曲线23|1|y x =--与x 轴围成的封闭图形绕直线3y =旋转所得的旋转体体积. 17、设曲线24y ax =及直线()000x x x =>所围成图形绕x 轴旋转的体积。
三．曲线弧长（*数学一、数学二）18、曲线()0,0b r aea b θ=>>，从0θ=到()0θαα=>的弧长为（）()0b A s ae αθθ=⎰ ()0B s θ=⎰()0C s θ=⎰()0b D s abe αθ=⎰19、计算曲线ln y x =x ≤≤ 20、求对数螺旋线a e θρ=，相应于0θϕ≤≤的一段弧长。
21、求曲线1ρθ=，相应于3443θ≤≤的一段弧长。
22、求心形线()1cos a ρθ=+的全长。
23、求抛物线212y x =，被圆223x y +=所截下的有限部分弧长。
四．旋转曲面面积（*数学一、数学二）24、已知摆线的参数方程为(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩，其中02t π≤≤，常数0a >，设摆线一拱的弧长的数值等于该弧段饶x 轴旋转一周所围成的旋转曲面面积的数值，求a25、设有曲线y =过原点作其切线,求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积. 26、由曲线段1(02)2y x x =≤≤绕x 轴的旋转面面积.五．物理应用（*数学一、数学二）27、曲线()sin x a t t =-，()()1cos ,02y a t t π=-≤≤的质心为()4,3A a a π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()2,3B a a π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()5,4C a a π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()7,4D a a π⎛⎫ ⎪⎝⎭28、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需要多少功？29、一圆柱形的贮水桶高为5m ，底圆半径为3m ，桶内盛满水，试问要把桶内的水全部吸出来需要做多少的功。
30、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm 。
如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等，问铁锤第二次时，铁钉又击入多少？31、等腰梯形的闸门，它的两条底边各长10m 和6m ，高为20m ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力(重力加速度按29.8/m s 计算)。
32、一底为8cm ，高为6cm 的等腰三角形片，铅直的沉入到水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm ，试求它的每面所受的压力(重力加速度按29.8/m s 计算)。
33、求下列平面图形的形心坐标： （1）平面区域：(){}221,|1,0,0D x y xy x y =+≤≥≥；（2）曲线：221,0,0x y x y +=≥≥； （3）平面区域：(){}222,|1,11,01D x y xy x y =+≥-≤≤≤≤.Ⅱ参考答案一．平面图形的计算1、()C2、【解析】：（1）321:(2)x bx L y x x ++=+的斜渐近线为3221lim lim2(2)x x y x bx x x x →+∞→+∞++==+ 3332212124lim (2)lim [2]lim 4(2)(2)x x x x bx x bx x x y x x x x x x →+∞→+∞→+∞++++---=-==-++ 所以斜渐近线方程为：24y x =-（2）311115121(8)122[(24)][](2)(2)2A b x bx b x S x dx dx dx x x x x x x+∞+∞+∞+++++=--==++++⎰⎰⎰ 215111lim[(215)ln(2)ln ]lim[ln (2)(215)ln 3]22t b t t b x x t t b +→+∞→+∞=+++=+-+ 若21510b ++≠，即如果8b ≠-，无论8,8b b >-<-均有215lim ln (2)b t t t +→+∞+=∞ 这与A 的面积为有限值矛盾，所以当8b =-时，215lim ln (2)lim ln2b t t t t t t +→+∞→+∞+==+0，此时ln 32A S = 3、【答案】92【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰22311192.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭4、【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：由()()221010y x x y ax a ⎧=-≤≤⎪⎨= >⎪⎩得 11x ,a a y .a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以 112120(1)S S S ydx x dx =+==-⎰⎰1301233x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,()()2221110111a aS x ax dx a x dx ++⎡⎤⎡⎤=--=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰1301331aa x x a++⎡⎤=-=⎢+⎣⎦.又因为12S S =,所以22331a=⋅+,即12a +=,解得3a .= 5、【解析】过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中当0()y x '存在时,0()k y x '=.如图所示,设曲线上一点(,)t t 处的切线方程为()2y t x t t-=-,化简即得 2ty t=+. 面积 24()232t S t x dx t t t ⎡⎤⎛⎫=+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦⎰, 其一阶导数 3/21/211()222S t t t t t--'=-+=. 令()0S t '=解得唯一驻点1t =,而且S '在此由负变正,即()S t 在(,1]-∞单调递减,在[1,)+∞单调递增,在此过程中()S t 在1t =时取极小值也是最小值,所以将1t =代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为122x y =+. 6、答案：187、答案：ab πy O2tt8、（1）答案：2a π（2）答案：218a π二．简单几何体的体积9、()D10、【解析】：（1）2220()(1),2x V y dx e dx e ξξξπξππ--===-⎰⎰2lim (),()(1).22a V V a e ξππξ-→+∞==-要 1()lim (),2V a V ξξ→+∞=即2(1),24a e ππ--=得1ln 2.2a = （2）设切点为(,),eαα-则切线方程为().y e e x ααα---=--令0x =得(1);y e αα-=+令0y =得1.x α=+切线与坐标轴所夹面积22111(1),(1)(1)(1)(1).222S e S e e e ααααααααα----'=+=+-+=+-令 0S '= 得1221,1().其中舍去ααα==-由于当1α<时，0;S '>当1α>时，0.S '<故当1α=时，面积S 有极大值，即最大值。