考研数学高等数学强化习题-定积分(应用)

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模块七 定积分（应用）

Ⅰ经典习题

一．平面图形的计算

1、曲线()sin 03x

y e

x x π-=≤≤与x 轴所围成图形的面积可表示为（）

()30

sin x

A e xdx π

--⎰ ()30

sin x B e xdx π-⎰

()230

2sin sin sin x x x C e xdx e xdx e xdx ππ

π

π

π

----+⎰⎰⎰

()230

2sin sin x

x D e xdx e xdx π

π

π

---⎰⎰

2、设b 为常数

（1）求曲线321:(2)

x bx L y x x ++=+的斜渐近线（记为l ）的方程

（2）设L 与l 从1x =延伸到x →+∞之间的图线的面积A 为有限值，求,b A

3、曲线2y

x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________.

4、假设曲线1L ：()2

101y x

x =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面

积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.

5、求曲线y =l ,使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的平面图形面

积最小. 6、计算抛物线2

2y

x =与直线4y x =-所围成的图形面积。

7、求椭圆22

221x y a b

+=所围成图形的面积。

8、求下列各曲线围成的图形的面积 （1）2cos a ρ

θ=

（2）()22cos a

ρθ=+

二．简单几何体的体积

9、曲线()2

11y x =--及直线0y =围成的图形绕y 轴旋转而成的立体的体积是（ ）

()(2

1

01A dy π+

⎰ ()(2

1

1B dy π-⎰

()((

2

1

011C dy ππ⎡⎤-⎣⎦

⎰ ()((

2

2

1

011D dy ππ⎡⎤+-⎢⎥⎣

⎦

⎰ 10、设曲线方程为(0).x

y e x -=≥

（1）把曲线、x

y e

x -=轴、y 轴和直线(0)x ξξ=>所围平面图形绕x 轴旋转一周，得一

旋转体，求此旋转体体积();V ξ求满足1

()lim ()2V a V ξξ→+∞

=的a (2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.

11、设抛物线2y

ax bx c =++过原点，当01x ≤≤时0,y ≥又已知该抛物线与x 轴及直线

1x =所围图形的面积为1.3

试确定,,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V

最小.

12、过坐标原点作曲线x y e =的切线，该切线与曲线x

y e =以及x 轴围成的向x 轴负向无限延伸的平面图形记为D （1）求D 的面积

（2）求D 饶直线1x =所成旋转体体积V

13、设曲线2

y ax =（0,0x a ≥>）与曲线2

1y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形D

（1）求D 饶x 轴旋转一周所成的旋转体体积()V a （2）求a 的值使()V a 为最大

14、在曲线2

(0)y x x =≥上某点A 处作切线，使之与曲线及x 轴所围图形的面积为1,12

试求：

（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；

（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积。

15、过原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =以及x 围成平面图形D （1）求D 的面积

（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V

16、求曲线2

3|1|y x =--与x 轴围成的封闭图形绕直线3y =旋转所得的旋转体体积. 17、设曲线2

4y ax =及直线()000x x x =>所围成图形绕x 轴旋转的体积。

三．曲线弧长（*数学一、数学二）

18、曲线()0,0b r ae

a b θ

=>>，从0θ=到()0θαα=>的弧长为（）

()0

b A s ae α

θθ=⎰ ()0

B s θ=⎰

()0

C s θ=⎰

()0

b D s abe α

θ=⎰

19、计算曲线ln y x =x ≤≤ 20、求对数螺旋线a e θ

ρ=，相应于0θϕ≤≤的一段弧长。 21、求曲线1ρθ=，相应于

34

43

θ≤≤的一段弧长。 22、求心形线()1cos a ρθ=+的全长。 23、求抛物线212

y x =

，被圆22

3x y +=所截下的有限部分弧长。 四．旋转曲面面积（*数学一、数学二）

24、已知摆线的参数方程为(sin )

(1cos )

x a t t y a t =-⎧⎨

=-⎩，其中02t π≤≤，常数0a >，设摆线一拱的

弧长的数值等于该弧段饶x 轴旋转一周所围成的旋转曲面面积的数值，求a

25、设有曲线y =

过原点作其切线,求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴

旋转一周所得到的旋转体的表面积. 26、由曲线段1

(02)2

y x x =

≤≤绕x 轴的旋转面面积.