导数求导练习题.
微积分练习题及答案
微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。
在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。
下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。
答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。
答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。
答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。
答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。
答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解微分方程dy/dx = e^x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。
3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。
答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。
求导练习题带答案
求导练习题带答案求导是微积分中的一项基本技能，它可以帮助我们理解函数的变化率以及找到函数的极值点。
以下是一些求导的练习题及其答案，适合初学者练习。
练习题1：求函数 f(x) = x^3 的导数。
解：根据幂函数的求导法则，对于函数 f(x) = x^n，其导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。
因此，对于 f(x) = x^3，我们有 f'(x) = 3 *x^(3-1) = 3x^2。
练习题2：求函数 g(x) = sin(x) 的导数。
解：根据三角函数的求导法则，sin(x) 的导数是 cos(x)。
所以，g'(x) = cos(x)。
练习题3：求函数 h(x) = 2x^2 + 3x - 1 的导数。
解：根据多项式的求导法则，我们可以分别对每一项求导，然后将结果相加。
对于 h(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们有 h'(x) = 2 * 2x^(2-1) + 3 * 1x^(1-1) - 0 = 4x + 3。
练习题4：求函数 k(x) = (x^2 - 1)^3 的导数。
解：这里我们使用链式法则和幂函数的求导法则。
首先，设 u = x^2- 1，那么 k(x) = u^3。
u 的导数是 u' = 2x，而 u^3 的导数是3u^2。
应用链式法则，我们得到 k'(x) = 3u^2 * u' = 3(x^2 - 1)^2 * 2x = 6x(x^2 - 1)。
练习题5：求函数 m(x) = e^x 的导数。
解：根据指数函数的求导法则，e^x 的导数是它自身。
所以，m'(x) = e^x。
练习题6：求函数 n(x) = ln(x) 的导数。
解：自然对数函数 ln(x) 的导数是 1/x。
因此，n'(x) = 1/x。
练习题7：求函数 p(x) = (3x - 2)^5 的导数。
解：使用链式法则和幂函数的求导法则。
专升本基础导数练习题
专升本基础导数练习题导数作为微积分的重要概念，在数学学科中占据了重要地位。
它不仅可以帮助我们求解函数在某一点的斜率，还可以用来解决一些实际问题。
对于专升本考试的学习者来说，掌握基础导数练习题是非常关键的。
本文将为大家提供一些基础导数练习题，希望对大家的学习有所帮助。
1.求下列函数的导数：(1) $f(x) = 5x^3$(2) $g(x) = \sqrt{x}$(3) $h(x) = \frac{1}{x}$(4) $y = e^x$解析：(1) 根据幂函数的求导法则，对于函数$f(x) = 5x^3$，我们可以得到$f'(x) = 3 \cdot 5x^{3-1} = 15x^2$。
(2) 对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，我们可以将其写成指数形式，即$g(x) = x^{1/2}$。
根据指数函数的求导法则，我们可以得到$g'(x) =\frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。
(3) 对于函数$h(x) = \frac{1}{x}$，可以利用倒数的求导法则，得到$h'(x) = -\frac{1}{x^2}$。
(4) 对于函数$y = e^x$，根据指数函数的求导法则，我们可以得到$y' = e^x$。
2.求下列复合函数的导数：(1) $y = (\sin x)^2$(2) $y = \cos(2x)$解析：(1) 对于复合函数$y = (\sin x)^2$，可以将其写成$y = (\sin x) \cdot (\sin x)$的形式。
根据乘法的求导法则，我们可以得到$y' = (\sin x)'\cdot (\sin x) + (\sin x) \cdot (\sin x)' = 2(\sin x)(\cos x)$。
(2) 对于复合函数$y = \cos(2x)$，根据复合函数的求导法则，我们可以得到$y' = \cos'(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$。
高中数学《导数的概念及其运算》练习题
§3.1 导数的概念及运算1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．(2021·安徽江南十校联考)曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝03．(2020·广元模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )4．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 5.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2)6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x7．已知函数y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程是y ＝3x ＋1，则f (2)＋f ′(2)＝ .8．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ . 9．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________.10．(2021·山东省实验中学四校联考)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ．11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．12．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．13．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x14．已知函数f (x )＝x ＋a 2x，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是 ．15．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为 ． 16．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．§3.2 导数与函数的单调性课时精练1．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f (x )＝sin 2xB ．g (x )＝x 3－xC ．h (x )＝x e xD ．m (x )＝－x ＋ln x3．(2020·甘肃静宁一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋a x ，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)4．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln 2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a5．(多选)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．26．(多选)若函数 g (x )＝e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝x7．函数y ＝2ln x －3x 2的单调递增区间为________．8．若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．9．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 10．(2020·济南质检)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．11．函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e －x ，若f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为6x －y －5＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．13．(多选)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1B ．x 1＋ln x 2<x 2＋ln x 1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x xx x < 14．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________．15．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x <2f (1)的解集为________． 16．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t ,3)上总不是单调函数，求实数m 的取值范围．§3.3 导数与函数的极值、最值课时精练1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝02．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是( ) A.1e B.2e 2 C ．0 D.12e3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 24．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.1635．(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的最小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3,1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零6．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e2，则t 的最小值为2 7．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________．8．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有两个极值点，则实数c 的取值范围为______________．9．已知函数f (x )＝sin x －13x ，x ∈[0，π]，cos x 0＝13，x 0∈[0，π]． ①f (x )的最大值为f (x 0)； ②f (x )的最小值为f (x 0)；③f (x )在[0，x 0]上是减函数； ④f (x 0)为f (x )的极大值．那么上面命题中真命题的序号是________．10．已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________．11．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．12．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．13．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3 B.⎣⎡⎦⎤0，4π3－3 C.⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2π D ．[0,2π]14．(2020·邢台模拟)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．16．(2019·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．高考专题突破一 高考中的导数综合问题第1课时 利用导数研究恒(能)成立问题1．设函数f (x )＝ln x ＋a x(a 为常数)．(1)讨论函数f (x )的单调性； (2)不等式f (x )≥1在x ∈(0,1]上恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝x ln x (x >0)．(1)求函数f (x )的极值；(2)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≤－x 2＋mx －32成立，求实数m 的最小值．3．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x －ln x ，g (x )＝x 2＋x ＋2a ＋1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[1，e]时，f (x )<g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．4．已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)<g (x 2)成立，求a 的取值范围．5．(2020·衡水中学检测)设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意a ∈(4,5)及任意x 1，x 2∈[1,2]，恒有a －12m ＋ln 2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．第2课时利用导函数研究函数的零点1．已知函数f(x)＝e x(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝f(x)－3e x－m有两个零点，求实数m的取值范围．2．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．3．已知函数f(x)＝e x＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．4．(2020·潍坊检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R.(1)证明：ln x≤x－1；(2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数．5．已知函数f(x)＝e x＋1－kx－2k(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明x1＋x2>－2.第3课时利用导数证明不等式1．(2021·莆田模拟)已知函数f(x)＝x e x－1－ax＋1，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线l的斜率为3e－2.(1)求a的值及切线l的方程；(2)证明：f(x)≥0.2．(2021·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.3．已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－e x＋2e x≤0.4．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：e x －e 2ln x >0恒成立．5．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.。
一元一次方程求导练习题
一元一次方程求导练习题一、基本求导题1. 求导数：y = 3x + 52. 求导数：y = 7 2x3. 求导数：y = 4x 64. 求导数：y = 5x + 85. 求导数：y = 9x 12二、含常数项求导题1. 求导数：y = 4x + 102. 求导数：y = 3x 83. 求导数：y = 6x + 154. 求导数：y = 8x 205. 求导数：y = 11x + 26三、含系数求导题1. 求导数：y = 5x^2 + 2x2. 求导数：y = 8x^3 3x3. 求导数：y = 4x^2 + 6x4. 求导数：y = 9x^3 5x5. 求导数：y = 7x^2 + 10x四、复合函数求导题1. 求导数：y = (3x + 4)^22. 求导数：y = (5 2x)^33. 求导数：y = (7x 6)^24. 求导数：y = (9x 8)^35. 求导数：y = (11 10x)^2五、实际应用题1. 某物体的速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系为v = 4t + 3，求物体在t = 2s时的加速度。
2. 某商品的成本C（单位：元）与生产数量x（单位：件）的关系为C = 5x + 10，求生产100件商品时的边际成本。
3. 某企业的产量Q（单位：件）与时间t（单位：天）的关系为Q = 6t 4，求企业在第3天的日产量增长率。
4. 某城市的人口P（单位：万人）与时间t（单位：年）的关系为P = 8t + 2，求该城市在未来第5年的人口增长率。
5. 某商品的销售额S（单位：万元）与广告费用x（单位：万元）的关系为S = 10x + 5，求广告费用为20万元时的销售额增长率。
六、参数方程求导题1. 已知参数方程 x = 2t + 1，y = 3t 2，求 dy/dx。
2. 已知参数方程 x = 4t^2 3，y = t^3 + 2，求 dy/dx。
3. 已知参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，求 dy/dx。
完整版)导数求导练习题
完整版)导数求导练习题1.若 $f(x) = \sin\alpha - \cos x$，则 $f'(\alpha)$ 等于什么？答：$f'(\alpha) = \cos\alpha$。
2.函数 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 2$，若 $f'(-1) = 4$，则 $a$ 的值等于什么？答：$f'(x) = 3ax^2 + 6x$，代入 $x=-1$ 得 $-3a + (-6) = 4$，解得 $a = -\frac{10}{3}$。
3.函数 $y=x\sin x$ 的导数是什么？答：$y' = \sin x + x\cos x$。
4.函数 $y=x^2\cos x$ 的导数是什么？答：$y' = 2x\cos x - x^2\sin x$。
5.若 $y=(2x^2-3)(x^2-4)$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = 4x^3 - 16x$。
6.若 $y=3\cos x - 4\sin x$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = -3\sin x - 4\cos x$。
7.与直线 $2x-6y+1=0$ 垂直，且与曲线 $y=x^3+3x^2-1$ 相切的直线方程是什么？答：曲线在点 $(-1.-1)$ 处的斜率为 $9$，所以切线方程为$y+1 = 9(x+1)$。
8.质点运动方程是 $s=t^2(1+\sin t)$，则当 $t=2$ 时，瞬时速度为什么？答：$v(t) = 2t(1+\sin t) + t^2\cos t$，代入 $t=2$ 得 $v(2) = 8+4\sqrt{2}$。
9.求曲线 $y=x^3+x^2-1$ 在点 $P(-1,-1)$ 处的切线方程。
答：曲线在点 $(-1,-1)$ 处的斜率为 $3(-1)^2+2(-1) = -1$，所以切线方程为 $y+1 = -(x+1)$。
高二分式求导练习题
高二分式求导练习题为了帮助高二学生更好地掌握分式求导的方法，本文将提供一些相关的练习题，并详细解答每道题目。
通过练习和学习，相信大家能够更加熟练地掌握分式求导的技巧。
练习题一：求以下函数的导数：f(x) = (x^2 + 1)/(x + 1)解答：首先，根据分式求导的公式，我们需要使用到商规则。
商规则的公式如下：若有函数f(x) = u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)都是关于x的函数，v(x)不等于0，则f(x)的导数可以表示为：f'(x) = (v(x) * u'(x) - u(x) * v'(x))/(v(x))^2现在我们来求解这道题目。
首先，将f(x)展开：f(x) = (x^2 + 1)/(x + 1) = x^2/x + 1/x + 1/(x + 1)接下来，我们分别求分式中每一项的导数：对于第一项 x^2/x，可以简化为 x。
因此，其导数为 1。
对于第二项 1/x，其导数为 -1/x^2。
对于第三项 1/(x + 1)，其导数为 -1/(x + 1)^2。
将以上简化后的导数代入商规则的公式中，得到最终的导数：f'(x) = (x * (x + 1)^2 - (x^2 + 1)(x + 1))/(x + 1)^2化简上述表达式，我们可以得到：f'(x) = (x(x^2 + 2x + 1) - (x^3 + x^2 + x + 1))/(x + 1)^2进一步计算，得到：f'(x) = (x^3 + 2x^2 + x - x^3 - x^2 - x - 1)/(x + 1)^2化简后可得：f'(x) = (x^2 - 1)/(x + 1)^2练习题二：求以下函数的导数：g(x) = (x^3 - 2)/(x - 1)解答：同样使用商规则，我们来解答这道题目。
首先，将g(x)展开：g(x) = (x^3 - 2)/(x - 1)接下来，我们分别求分式中的每一项的导数：对于第一项 x^3/(x - 1)，我们可以使用幂函数的求导法则：d(x^n)/dx = n*x^(n-1)，得到导数为 (x - 1)^2。
函数求导练习题(含解析)
一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝，C为常数；（2）（xα）′＝，α为常数；（3）（a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝；（6）（cos x）′＝．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．6．求下列函数的导数．（Ⅰ）；（Ⅱ）．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．9．求下列函数的导数：（1）；（2）．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）解析一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝0，C为常数；（2）（xα）′＝αxα﹣1，α为常数；（3）（a x）′＝a x lna，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝cos x；（6）（cos x）′＝﹣sin x．分析：根据初等函数的导数公式，直接求解即可．解答：解：（1）（C）′＝0，（2）（xα）′＝αxα﹣1，（3）（a x）′＝a x lna，（4）（log a x）′＝，（5）（sin x）′＝cos x，（6）（cos x）′＝﹣sin x．故答案为：（1）0；（2）αxα﹣1；（3）a x lna；（4）；（5）cos x；（6）﹣sin x．点评：本题主要考查初等函数的导数公式，比较基础．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．分析：利用导数的运算性质逐个化简即可求解．解答：解：（1）由已知可得y′＝2x﹣7；（2）由已知可得y′＝1+2cos x．点评：本题考查了导数的运算性质，属于基础题．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．分析：（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．解答：解：（1）f（x）＝3x4+sin x则f′（x）＝12x3+cos x；（2），则f′（x）＝+﹣2e2x﹣1．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（1）∵y＝ln（2x+1），∴y′＝×2＝，（2）∵，∴y′＝﹣sin（﹣2x）×（﹣2）＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin（2x﹣）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．分析：根据复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式求导计算即可．解答：解：（1）∵，∴．（2）∵g（x）＝（8﹣3x）7，∴g'（x）＝7（8﹣3x）6⋅（8﹣3x）'＝﹣21（8﹣3x）6．（3）∵p（x）＝5cos（2x﹣3），∴p'（x）＝﹣5sin（2x﹣3）⋅（2x﹣3）'＝﹣10sin（2x﹣3）．（4）∵w（x）＝ln（5x+6）2，∴点评：本题考查导数的计算，注意复合函数的导数计算，属于基础题．（Ⅰ）；（Ⅱ）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．分析：利用导数的运算性质化简即可求解．解答：解：（1）因为f（x）＝sin x cos x＝sin2x，所以f′（x）＝cos2x×＝cos2x，（2）∵y＝，∴y′＝＝．点评：本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：根据导数的公式，即可依次求解．解答：解：（1）y'＝＝．（2）因为y＝（2x2+3）（3x﹣2）＝6x3﹣4x2+9x﹣6，所以y′＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查导数的运算，属于基础题．（1）；（2）．分析：（1）先展开f（x），然后求导即可；（2）根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可．解答：解：（1），；（2）．点评：本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：结合基本初等函数的求导公式及求导法则求解即可．解答：解：（1）S（t）＝＝t+，所以S′（t）＝1﹣；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2），所以h′（x）＝4x（3x﹣2）+3（2x2+3）＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查了基本初等函数的求导公式及求导法则，属于基础题．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．分析：利用复合函数的导函数的求法，结合导数的运算求解即可．解答：解：（1），所以；（2）所以．点评：本题考查了导函数的求法，重点考查了导数的运算，属基础题．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．分析：直接利用基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可．解答：解：（1）令t＝1﹣2x2，则，所以；（2）．点评：本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算，考查了运算能力，属于基础题．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．分析：由已知结合函数的求导公式即可求解．解答：解：（1）y′＝cos x+；（2）y′＝﹣sin x+1；（3）y′＝sin x+x cos x；（4）y′＝＝；（5）y′＝6x+cos x﹣x sin x；（6）y′＝＝﹣．点评：本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．分析：根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．解答：解：（1）y′＝3x2﹣2；（2）y′＝sin（2x+5）+2x cos（2x+5）．点评：本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）．分析：利用导数的运算法则以及常见函数的导数进行求解即可．解答：解：（1）因为y＝（x2+3x+3）e x+1，所以y'＝[（x2+3x+3）e x+1]'＝（x2+3x+3+2x+3）e x+1＝（x2+5x+6）e x+1＝（x+2）（x+3）e x+1；（2）因为，所以．点评：本题考查了导数的运算，主要考查了导数的运算法则以及常见函数的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．。
导数求导例题
导数求导例题导数求导是数学中一个重要的概念，它是求解函数变化率的一种方法。
它的基本概念是：一个函数的导数可以表示函数在某一点处的变化率，可以用来计算函数的变化率。
这种变化率是非常有用的，因为可以帮助我们实现函数上某一点的变化情况。
导数求导是基本微积分的重要内容之一，它是研究函数极限、积分、不定积分等数学问题的前提。
熟悉如何求取和分析函数的导数是基本微积分的主要内容。
因此，对于函数和它的极限、积分、不定积分等问题的学习，了解导数求导是至关重要的。
下面我们就以一个典型的例题来说明如何求取函数的导数。
例题：求下列函数的导数y = x^3 + 4x^2 -7解：首先我们需要定义x和y：当 x = 0，y = -7当x发生变化时，y也发生变化，即 y 与 x 之间存在函数关系：y = x^3 + 4x^2 -7此时，我们可以用累加法求函数的导数：即求函数 y = f(x)导数，则需先求函数的一阶导数。
f(x) = 3x^2 + 8x这样，我们就得到了函数 y = x^3 + 4x^2 -7一阶导数为f(x) = 3x^2 + 8x 。
接下来，我们就可以求函数的二阶导数：f(x) = 6x + 8这样，我们就得到了函数 y = x^3 + 4x^2 -7二阶导数为f(x) = 6x + 8 。
同理，求函数的三阶导数：f(x) = 6这样，我们就得到了函数 y = x^3 + 4x^2 -7三阶导数为f(x) = 6 。
因此，我们可以总结出：函数 y = x^3 + 4x^2 -7一阶导数为 f(x) = 3x^2 + 8x，二阶导数为 f(x) = 6x + 8，三阶导数为 f(x) = 6 。
了解导数求导的方法，进一步了解函数的特性也就变得更加容易，可以帮助我们深入研究函数的极限、积分、不定积分等问题。
因此，导数求导是基本微积分中的一个重要内容，非常有必要深入研究。
一元函数求导练习题及答案
9.设函数f(x) = � b(x−1)
在 x=1 处可导，求 a,b
− 1, x ≤ 1
e
的值。
10.设函数 F(x)=f(x)(1+|sinx|),且 F(x)、f(x)在点 x=0 处均可导，
试求 f(0)。
sinx, x < 0
11.已知f(x) = �
；
2. 设 f(x)连续，且 lim
，求 y” ；
dx
4.已知 f’(1)=4，则
。
5.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且
6.设 f(1)=f’(1)=2,求极限
。
7.设 f(x)可导，且满足
,求曲线 y=f(x)在点
（1，f(1)）处的切线方程。
8.证明可导的偶函数的导数 f’(x)为奇函数。
1
(1)确定 b，使直线 y = − x + b 为曲线的法线；
3
(2)求过点（0，3）的切线。
一元函数求导数练习题解答
，求 f’(x)。
x,
x≥0
3
12.设y = (x − 2)2 �
1
(x+3)2 (3−2x)4
(1+x 2 ((5−3x 3 )
,求 y’。
x 3 sin , x ≠ 0
x
，又函数 f(x)可导，求 F(x)=f[φ(x)]的
13.设φ(x) = �
0,
x=0
导数。
14.设φ(x)在 x=a 处连续，f(x) = (x 2 − a2 )φ(x)，求f ′ (a) 。
二、求导数综合应用：
f(a + 2h) − f(a − h)
一元函数求导练习题及答案
一元函数求导数练习题 一、求下列函数的导数：1.y=secx+tanx；2.y=x5x；3.y=e−sinx；4.y=2tan1x；5.y=sin n x+cosnx；6.x2+y2−xy=1；7.y=e y+xe y；8.y=arctan(e x)；9. y=lntanx；10.y=ln[ln2(ln3x)]；11.y=(1+x2)∙arctanx ；12.y=�x−5√x2+255 ； 13.�xx=cos tt2yy=tt c os tt2 ，求d yy d xx；14.f(x)=�sinx x,x≠01,x=0 ,求f′(x);15.e x+y=x2+y2+1,求dy dx；16.y=1x2+1，求y” ；17.�x=t−ln(1+t)y=ln(1+tt2) ,求d2y dx2 ；18.y=xlnx ，求y(n)；19.y=1x2−3x+2 ，求y(n)；20.f(x)=sinxsin2xsin3x， 求f(n)(x)。
二、求导数综合应用：1.设f’(a)存在，求lim h→0f(a+2h)−f(a−h)h。
2.设f(x)连续，且lim x→0f(x)−2sinx=1,求f′(0)。
3.设lim x→a f(x)−b x−a=A，求lim x→a sinf(x)−sinbx−a。
4.已知f ’(1)=4，则 。
5.设函数f(x)在x=0处连续，且6.设f(1)=f ’(1)=2,求极限。
7.设f(x)可导，且满足,求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程。
8.证明可导的偶函数的导数f ’(x)为奇函数。
9.设函数f (x )=�ln √x 2−a 2,x >1e b(x −1)−1, x ≤1 在x=1处可导，求a,b 的值。
10.设函数F(x)=f(x)(1+|sinx|),且F(x)、f(x)在点x=0处均可导，试求f(0)。
11.已知f (x )=�sinx, x <0x, x ≥0，求f ’(x)。
复合导数求导练习题
复合导数求导练习题在微积分中，复合函数是一种由多个简单函数通过组合而成的函数。
求解复合函数的导数是微积分中的重要内容之一。
本文将给出一些复合导数求导的练习题，帮助读者巩固这一概念。
练习题一：设函数y = y^3−2y+1，函数y = y^2+2y−1，求解y对y的复合函数y = y∘y的导数。
解答：首先，我们需要计算出y = y∘y = y(y)，对应的y的表达式。
将函数y代入y的表达式中，我们有：y = y(y) = (y)^2+2(y)−1 = (y^3−2y+1)^2+2(y^3−2y+1)−1接下来，我们将求解导数y′= yy/yy对于复合函数的求导，我们需要使用链式法则。
根据链式法则，我们有：y′= yy/yy=yy/y(y^3−2y+1) ×y(y^3−2y+1)/yy首先，我们计算导数yy/y(y^3−2y+1)：yy/y(y^3−2y+1) = 2(y^3−2y+1) × (3y^2−2)然后，我们计算导数y(y^3−2y+1)/yy：y(y^3−2y+1)/yy = 3y^2−2将两个导数相乘，得到：y′= 2(y^3−2y+1) × (3y^2−2)至此，我们求解出了复合函数y = y∘y的导数。
练习题二：设函数y = sin(y^2)，函数y = yyy(y^3−2y)，求解y对y的复合函数y = y∘y的导数。
解答：首先，我们需要计算出y = y∘y = y(y)，对应的y的表达式。
将函数y代入y的表达式中，我们有：y = y(y) = yyy((sin(y^2))^3−2(sin(y^2)))接下来，我们将求解导数y′= yy/yy同样使用链式法则，我们有：y′= yy/yy=yy/y(y^3−2y) ×y(y^3−2y)/yy ×yy/yy首先，我们计算导数yy/y(y^3−2y)：yy/y(y^3−2y) = cos((sin(y^2))^3−2(sin(y^2)))然后，我们计算导数y(y^3−2y)/yy：y(y^3−2y)/yy = 3(y^2−2)最后，我们计算导数yy/yy：yy/yy = cos(y^2) × 2y将三个导数相乘，得到：y′= cos((sin(y^2))^3−2(sin(y^2))) × 3(y^2−2) × cos(y^2) × 2y至此，我们求解出了复合函数y = y∘y的导数。
(完整版)导数求导练习题
同步练习1．若f （x ）=sin α－cos x ，则f ′（α）等于A ．sin αB ．cos αC ．sin α+cos αD ．2sin α2．f (x ）=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1）=4，则a 的值等于A ．319B ．316 C ．313D ．3103．函数y =x sin x 的导数为A ．y ′=2x sin x +x cos xB ．y ′=xx 2sin +x cos xC ．y ′=xx sin +x cos xD ．y ′=xx sin －x cos x4．函数y =x 2cos x 的导数为A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin xD ．y ′=x cos x －x 2sin x5。
若y =(2x 2-3）(x 2-4）,则y ’= . 6。
若y =3cosx -4sinx ,则y ’= .7．与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是______． 8．质点运动方程是s =t 2(1+sin t ）,则当t =2时，瞬时速度为___________． 9.求曲线y=x3+x2-1在点P(—1，-1)处的切线方程。
同步练习1．函数y =22xax +（a >0)的导数为0，那么x 等于A ．aB ．±aC ．－aD ．a 22．函数y =xxsin 的导数为 A ．y ′=2sin cos xxx x + B ．y ′=2sin cos xxx x - C ．y ′=2cos sin xxx x - D ．y ′=2cos sin xxx x + 3。
若21,2xy x +=-则y ’= .4。
若423335,x x y x -+-=则y'= 。
5。
若1cos ,1cos xy x+=-则y'= .6．已知f （x ）=354337xx x x ++，则f ′（x )=___________．7．已知f (x ）=xx++-1111，则f ′（x ）=___________．8．已知f （x ）=xx2cos 12sin +，则f ′（x ）=___________．9．求过点(2，0）且与曲线y =x1相切的直线的方程．10。
高等数学导数求导练习题
高等数学导数求导练习题一、基本初等函数求导1. 求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 5 的导数。
2. 求函数 f(x) = (3x + 1)^4 的导数。
3. 求函数 f(x) = 1/(x^2 1) 的导数。
4. 求函数f(x) = √(x^2 + 3) 的导数。
5. 求函数 f(x) = 2^x 3^x 的导数。
二、复合函数求导6. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^3 的导数。
7. 求函数 f(x) = sin(2x + 1) 的导数。
8. 求函数 f(x) = ln(e^x + 1) 的导数。
9. 求函数 f(x) = cos^2(x) 的导数。
10. 求函数 f(x) = (1 + x^2)^5 的导数。
三、隐函数求导11. 已知 y = x^3 + y^3，求 dy/dx。
12. 已知 x^2 + y^2 = 25，求 dy/dx。
13. 已知 e^y = x^2 + y^2，求 dy/dx。
14. 已知 sin(x + y) = y^2，求 dy/dx。
15. 已知 ln(x^2 + y^2) = 2x，求 dy/dx。
四、参数方程求导16. 已知参数方程 x = t^2，y = t^3，求 dy/dx。
17. 已知参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，求 dy/dx。
18. 已知参数方程 x = 2t + 1，y = 3t^2 2，求 dy/dx。
19. 已知参数方程 x = e^t，y = e^(2t)，求 dy/dx。
20. 已知参数方程 x = asin(t)，y = acos(t)，求 dy/dx。
五、高阶导数21. 求函数 f(x) = x^4 2x^3 + 3x^2 的二阶导数。
22. 求函数 f(x) = e^x sin(x) 的一阶和二阶导数。
23. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的一阶和二阶导数。
24. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^(3) 的一阶和二阶导数。
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t
同步练习
1．函数 y= (3x 1 1) 2 的导数是
A．
6
3
(3x 1)
B．
6
2
(3x 1)
C．－
6
3
(3x 1)
D．－
6
2
(3x 1)
2．已知 y= 1 sin2x+sinx，那么 y′是 2
A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值，又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数 D．非奇非偶函数
A．y′=2 x sinx+ x cosx
sin x
B．y′ =
+ x cosx
2x
C．y′= sin x + x cosx x
4．函数 y=x2cosx 的导数为 A．y′=2xcosx－ x2sinx C．y′=x2cosx－2xsinx
D．y′ = sin x － x cosx x
B．y′ =2xcosx+x2sinx D ． y′ = xcosx－ x2sinx
3．函数 y=sin3（3x+ ）的导数为 4
A．3sin2（3x+ ）cos（3x+ ） B．9sin2（ 3x+ ）cos（3x+ ）
4
4
4
4
C．9sin2（3x+ ） 4
D．－ 9sin2（3x+ ）cos（3x+ ）
4
4
4.若 y=（ sinx-cosx ) 3 ，则 y’=
.
5. 若 y= 1 cosx2 ，则 y’=
.
2x
B．± a D．a2
B． y′ =
x
cos
x x2
sin x
D．y′ =
x
sin
x x
2
cos
x
4.若 y
3x 4 3x 2 x3
5 , 则 y’=
.
5.若 y 1 cos x , 则 y’=
.
1 cos x
6．已知
3
f（x）=
x7
x3 5 x 4 ，则 f′（ x） =___________． 3x
同步练习
5.若 y=(2x2-3)(x2-4),则 y’=
.
6. 若 y=3cosx-4sinx ,则 y’=
.
7．与直线 2x－6y+1=0 垂直，且与曲线 y=x3+3x2－1 相切的直线方程是 ______．
8．质点运动方程是 s=t2（1+sint ），则当 t= 时，瞬时速度为 ___________． 2
同步练习
1．若 f（ x） =sinα－ cosx，则 f′（ α）等于
A．sinα
B．cosα
C．sinα+cosα
D．2sinα
2．f（x）=ax3+3x2+2，若 f′（－ 1）=4，则 a 的值等于
A． 19 3
B． 16 3
C． 13 3
D． 10 3
3．函数 y= x sinx 的导数为
9.求曲线 y=x3+x2-1 在点 P（-1，-1）处的切线方程 .
同步练习
x2 1．函数 y=
2
a （a>0）的导数为 0，那么 x 等于
x
A．a
C．－ a
2．函数 y= sin x 的导数为 x
A．y′=
x cos x x2
sin x
C．y′=
x sin
x x2
cos
x
3.若 y
1
x
2
,
则
y’=
.
6. 若 y=sin3(4x+3)，则 y’=
.
7．函数 y=（1+sin3x）3 是由 ___________两个函数复合而成．
8．曲线 y=sin3x 在点 P（ ， 0）处切线的斜率为 ___________． 3
9.求曲线 y
(x2
1 3x)2
在 M (2, 1 ) 处的切线方程 4
.
10. 求曲线 y sin 2x在M ( ,0) 处的__________．
1 x1 x
8．已知 f（x）= sin 2x ，则 f′（ x）=___________． 1 cos 2x
9．求过点（ 2， 0）且与曲线 y= 1 相切的直线的方程． x
10.质点的运动方程是 s
t2
3 , 求质点在时刻 t=4 时的速度 .