专题二圆锥曲线的定义、标准方程及性质训练

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专题圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习

A. B. C. D.
√
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解析：由题意可知，抛物线的标准方程为 , ,设直线的方程为 , , ,联立得消去 ,得 , ,则 , . ,所以当时，的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形的面积为18.
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考点二圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.

第2部分专题5 第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质 Word版含解析

第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质2°重视圆锥曲线的切线问题．3°重视求轨迹方程(直接法、定义法、相交点法、点差法4°重视圆锥曲线的类型(焦点位置)．5°圆锥曲线的焦点弦长问题，灵活应用极坐标．[做小题——激活思维]1．已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 24＋y 28＝1D.x 28＋y 24＝1C [由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，因为焦点在y 轴上，故椭圆C 的标准方程是x 24＋y 28＝1.]2．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．30B ．25C ．24D ．40C [∵|PF 1|＋|PF 2|＝14，又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. ∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2， ∴S△PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.]3．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝－12yD ．x 2＝12yD [由抛物线的定义知，过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，故其方程为x 2＝12y .]4.点M (1,1)到抛物线y ＝ax 2准线的距离为2，则a 的值为( ) A ．14 B ．－112 C ．14或－112D ．－14或112C [抛物线y ＝ax 2化为x 2＝1a y ，它的准线方程为y ＝－14a ，点M (1,1)到抛物线y ＝ax 2准线的距离为2，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋14a ＝2，解得a ＝14或－112.]5．“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)＜0，所以k ＜9或k ＞25，所以“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.]6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12xD ．y ＝±xC [因双曲线方程C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，即b 2a 2＝14，∴b a ＝12，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.][扣要点——查缺补漏]1．椭圆的定义标准方程及几何性质(1)定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；如T 2. (2)焦点三角形的面积：S △PF 1F 2＝b 2tan α2. (3)离心率：e ＝ca ＝1－b 2a 2；如T 1.(4)焦距：2c .(5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2. 2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ≠0)的几何性质 (1)离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2； (2)渐近线：y ＝±ba x .3．抛物线的定义、几何性质 (1)如图，|MF |＝|MH |.如T 3，T 4.(2)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)为抛物线上的点，F 为焦点． ①焦半径|CF |＝x 1＋p 2；②过焦点的弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ； ③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. ④1|FC |＋1|FD |＝2p .4．方程Ax 2＋By 2＝1表示的曲线 (1)表示椭圆：A ＞0，B ＞0且A ≠B ； (2)表示圆：A ＝B ＞0； (3)表示双曲线AB ＜0；如T 5.(4)表示直线：A ＝0且B ≠0或A ≠0且B ＝0.圆锥曲线的定义、标准方程(5年5考)1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x m 2＋n －y 3m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)A [若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A.]2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1B [由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，连接F 1A (图略)，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a 23a 2＝13，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.]3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.6 [如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.] [教师备选题]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 B [由y ＝52x 可得b a ＝52.①由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.]2．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．(3，15) [设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋42＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．]1．(离心率问题)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上且|F 1F 2|＝2|OP |，△PF 1F 2的面积为a 2，则双曲线的离心率是( )A. 5B. 2 C ．4D ．2B [由|F 1F 2|＝2|OP |可知|OP |＝c ，所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2. 由S △PF 1F 2＝a 2可知|PF 1||PF 2|＝2a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝－2|PF 1||PF 2|＋|F 1F 2|2，即4a 2＝－4a 2＋4c 2， ∴e 2＝c 2a 2＝84＝2，又e ＞1，∴e ＝2，故选B.]2．[一题多解](曲线方程问题)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3xC [法一：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中， ∵||A E ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||A E ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 法二：由法一可知∠CBD ＝60°，则由|AF |＝p 1－cos 60°＝3可知p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，∴2p ＝3，∴抛物线的标准方程为y 2＝3x .]3．(轨迹问题)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则C 点轨迹方程为( )A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0)D [∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．∴2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，∴b ＝3.∴C 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.]圆锥曲线的几何性质(5年10考)1．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)双曲线x a 2－y b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32xA [法一：由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.法二：由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13D.14D [由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D.]3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p 2， ∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.]1．椭圆、双曲线的离心率1．(求离心率的取值范围)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22B [∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点， ∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e ≥22.又0＜e ＜1，∴22≤e ＜1.]2．(求离心率的值)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．3－1 2 [如图是一个正六边形，A ，B ，C ，D 是双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点，F 1，F 2为椭圆M 的两个焦点．∵直线AC 是双曲线N 的一条渐近线，且其方程为y ＝3x ，∴nm ＝ 3.设m ＝k ，则n ＝3k ，则双曲线N 的离心率e 2＝k 2＋3k 2k＝2.连接F 1C ，在正六边形ABF 2CDF 1中，可得∠F 1CF 2＝90°，∠CF 1F 2＝30°.设椭圆的焦距为2c ，则|CF 2|＝c ，|CF 1|＝3c ，再由椭圆的定义得|CF 1|＋|CF 2|＝2a ，即(3＋1)c ＝2a ，∴椭圆M 的离心率e 1＝ca ＝23＋1＝23－13＋13－1＝3－1.]3．(圆锥曲线的性质与函数交汇)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．[3＋23，＋∞) [由题意，得22＝a 2＋1，即a ＝3，设P (x ，y )，x ≥3，FP →＝(x ＋2，y )，则OP →·FP →＝(x ＋2)x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－74，因为x ≥3，所以OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]4．(与向量交汇考查几何性质)在椭圆x 24＋y 22＝1上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有F 1P →·F 2P →≤1，则F 1P →与F 2Q →的夹角余弦值的范围为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 [设P (x ，y )，则Q 点(x ，－y )，椭圆x 24＋y 22＝1的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)， ∵F 1P →·F 2P →≤1，∴x 2－2＋y 2≤1，结合x 24＋y 22＝1，可得y 2∈[1,2]．故F 1P →与F 2Q →的夹角θ满足： cos θ＝F 1P →·F 2Q→|F 1P →|·|F 2Q →|＝x 2－2－y 2x 2＋2＋y 22－8x 2＝2－3y 2y 2＋2＝－3＋8y 2＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13.]直线、圆与圆锥曲线的交汇问题(5年6考)1．(2013·全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b2＝1. ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 2a 2＝－y 1－y 2y 1＋y 2b 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a2y 1＋y 2.∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2. 而k AB ＝0－－13－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.]2．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5A [令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A.] 3．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． [解](1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1. (2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16，解得⎩⎨⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.1．在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题．一1．(面积问题)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94D [易知直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，与y 2＝3x 联立并消去x ，得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94. S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2| ＝12×34y 1＋y 22－4y 1y 2＝3827＋9＝94.故选D.]2．(弦长问题)若双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，且被圆x 2＋(y －a )2＝1截得的弦长为2，则a ＝( )A.52B.102C. 5D.10B [可以设切点为(x 0，x 20＋1)，由y ′＝2x ，∴切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20＋1，∵已知双曲线的渐近线为y ＝±a b x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 20＋1＝0，±ab＝2x 0，x 0＝±1，ab ＝2，一条渐近线方程为y＝2x ，圆心(0，a )到直线y ＝2x 的距离是a 5＝22⇒a ＝102.故选B.]3.(最值问题)如图，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆C 2分别交于点P ，Q 和M ，N ，则|PN |＋4|QM |的最小值为( )A ．23B ．42C ．12D ．52A [由题意可设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为抛物线C 1过点(2,4)，所以16＝2p ×2，解得p ＝4，所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x .圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0整理得(x －2)2＋y 2＝1，可知圆心C 2(2,0)恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． ①当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2，所以P (2,4)，Q (2，－4)，于是|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋|C 2N |＋4|QC 2|＋4|C 2M |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝4＋4×4＋5＝25.②当直线l 的斜率存在时，易知斜率不为0，可设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k x －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则Δ＞0，且x 1x 2＝4，即x 2＝4x 1.所以|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝x 1＋2＋4(x 2＋2)＋5＝x 1＋4x 2＋15＝x 1＋16x 1＋15≥2x 1×16x 1＋15＝8＋15＝23，当且仅当x 1＝16x 1，即x 1＝4时等号成立．因为23＜25，所以|PN |＋4|QM |的最小值为23.故选A.]。

圆锥曲线专题二：双曲线(含详细答案)

基础知识：一双曲线的定义：在平面内，到两个定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数a 2（a 大于0且212F F a <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点21F F 、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数a 2应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：21212F F a PF PF <=-)0(>a ，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若21122F F a PF PF <=-（)0(>a ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支；3. 若常数满足约束条件：21212F F a PF PF ==-，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：21212F F a PF PF >=-，则动点轨迹不存在； 5．若常数0=a ，则动点轨迹为线段21F F 的垂直平分线。

二双曲线的标准方程：1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a b y a x ，其中222b a c +=；2．当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a bx a y ，其中222b a c +=；3.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x ；如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x ；4. 共焦点的双曲线系方程12222=--+k b y k a x 或 12222=--+kb x k a y三双曲线的几何性质：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的几何性质1.对称性：对于双曲线标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

2021高考数学二轮专题训练2.52课时突破解析几何高考小题第2课时圆锥曲线的方程与性质课件2021

直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,
且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
A. x 2 y 2 =1
4 12
C. x 2 y 2 =1
39
B. x 2 y 2 =1
12 4
D. x 2 y 2 =1
93
【解析】选C.因为双曲线的离心率为2,所以 c
n
2a
在Rt△MPF2中,|MF2|2=|PF2|2-|PM|2=m2-n2,
在Rt△MF1F2中,
|MF2|2=|F1F2|2-|MF1|2=(2c)2-(2n)2=4c2-4n2,
所以m2-n2=4c2-4n2,即16a2+3×4a2=4c2,
所以
c
2
=7,所以离心率e=
a2
c =2 . 7
y2
=1(m>0)的两个焦点,若C上存在点M满足MF1⊥MF2,则
实数m的取值范围是( )
A.
0，1 2
C.
0，1 2
∪(2,+∞)
B.[2,+∞)Leabharlann D.1 2，1
∪(1,2]
【解析】选C.分椭圆的焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.
①若焦点在x轴上,即m>1,当M为短轴的端点时,∠F1MF2取最大值,要使MF1⊥MF2,则
所以m2=1,所以 13
n n
＞＞
00，，所以-1<n<3.
若双曲线的焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为 n y 3 2m 2m x 22n1，即 n m 3 2m n 2 ＞＞ 0 0 ，，
即n>3m2且n<-m2,此时n不存在.

圆锥曲线的定义及标准方程高考题

（1）圆锥曲线的定义及标准方程；1.（2010北京文理）（13）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y -=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。

答案：(4,0±0y +=2.（2010天津文数）（13）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同。

则双曲线的方程为。

【答案】221412x y -= 【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。

由渐近线方程可知 b a=① 因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ②又222c a b =+ ③联立①②③，解得224,12a b ==，所以双曲线的方程为221412x y -= 【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c 最大。

3.（2010福建文数）13．若双曲线2x 4-22y b =1(b>0)的渐近线方程式为y=1x 2±，则ｂ等于。

【答案】1 【解析】由题意知122b =，解得b=1。

【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。

4.（2010江苏卷）6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是__________[解析]考查双曲线的定义。

422MF e d ===，d 为点M 到右准线1x =的距离，d =2，MF=4。

5.（2010浙江理数）（13）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。

解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为2，B 点坐标为（142，）所以点B 题 6.（2010安徽文数）(12)抛物线28y x =的焦点坐标是答案：(2,0)【解析】抛物线28y x =，所以4p =，所以焦点(2,0).【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求p ，或求出p 后，误认为焦点(,0)p ，7. (2010年全国高考宁夏卷12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为 (A) 22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -=。

高考总复习二轮数学精品课件专题6 解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质

(1)已知双曲线 C: 2 − =1(a>0)的离心率为 2,左、右焦点分别为 F1,F2,点 A
3
a
在双曲线 C 上,若△AF1F2 的周长为 10,则△AF1F2 的面积为(
)
A. 15
B.2 15
C.15
D.30
(2)已知|z+ 5i|+|z- 5i|=6,则复数 z 在复平面内所对应的点 P(x,y)的轨迹方程

是椭圆的右焦点,若 AF⊥BF,则 a=
答案 3+ 3
.
解析设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形 AF1BF
π
为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
为
.
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x
Hale Waihona Puke 轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程
为
答案 (1)A
.
2
(2)
9
2
+ =1
4
3
(3)x=2
解析 (1)由题意得

e=
所以双曲线方程为
=
2
1 + 2
=
3
1 + 2=2,所以 a2=1.
2
即 x±2y=0,故 B 正确;
2 5
5
e1·
e2= 5 × 2 =1,所以 C1 与 C2 的离心率互为倒数,故 C

(精品讲义)第2部分复习课(二)圆锥曲线与方程word版含答案2

复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程会涉及，是高考解析几何的必考内容．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或 y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px 或 y 2＝－2px 或 x 2＝2py 或 x 2＝－2py (p >0)关系式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1． [答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1 [类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1B ．x 228－y 221＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)，可得3＝ba×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，?4－m ?2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254．答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆双曲线抛物线标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：x a 2－y b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22．故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22，故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，F B 1＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b2a ，又AD ⊥F 1B ，所以AD ·F B 1＝－2c 2＋3b 42a 2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33．答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p24b2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2．④ 将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0．答案：x ±y ＝0直线与圆锥曲线的位置关系这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝?1＋k 2??x 1－x 2?2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2?y 1－y 2?2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． [解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切． ③相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k 得ky 2－4y ＋4k ＝0．当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2?x 2＋x 1?a 2?y 2＋y 1?＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3．因此a 2＝6，b 2＝3．所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463．由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0．于是x 3,4＝－2n ±2?9－n 2?3．因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ． 3C ． 2D ．32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·ba ＝－1，则a ＝b ．由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝2． 2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．3．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1 B ．3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a＝72． 5．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．522＋2 B ．522＋1C ．522－2 D ．522－1 解析：选D 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522－1．6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( ) A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36 D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1， c 2＝64－16＝48， ∴c ＝43，e ＝438＝32． ∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′． ∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．又⎩⎪⎨⎪⎧?3＋c ?2＋y 2＝6.52，?3－c ?2＋y 2＝3.52，解得c ＝52，从而b 2＝a 2－c 2＝754，所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275＝1．答案：x 225＋4y 275＝18．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ·OB ＝－4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 20－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2k2＋4b k ＝－4，∴b k ＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝?t －1?2＋35≥35＝355．答案：35510．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是点F 1，且AB其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦与OM 是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ， ∴k OM ＝－b 2ac ．由题意，知k AB ＝－b a， ∵OM 与AB 是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，得e ＝22． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ．又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝?r 1＋r 2?2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝⎛⎭⎫r 1＋r 222－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2． 11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB 与n＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1，又AB ＝(－a ，b )，且AB ∥n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1，(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，所以OP ·OQ <0，即x 1x 2＋y 1y 2<0，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1，由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23，依题意且满足(*)得m 2<23，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂4，求y 0的值．解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2．再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ．由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1．所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x ＋2?，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0．由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2．从而y 1＝4k 1＋4k 2．设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2．以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，(－2，－y 0)(2，－y 0)．4，得y 0＝±22．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 21＋4k 2．令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2．由＝(－2，－y 0)，＝(x 1，y 1－y 0)． ·＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2×?2－8k 2?1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝⎛⎭⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 ＝4×?16k 4＋15k 2－1??1＋4k 2?2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145．综上，y 0＝±22或y 0＝±2145．。

圆锥曲线的定义与性质高考资料高考复习资料中考资料

圆锥曲线的定义与性质曲线名称圆（Circle）椭圆（Ellipse）双曲线（Hyperbola）抛物线（Parabola）标准方程x2+y2=r2（r>0）x y22221+=（a>b>0）a bx y22221-=（a,b>0）y2=2px（p>0）a bP P A抛物线的切点弦性质PF1+PF2=2a P PF1-PF2=2a抛物线的切点弦中点与极定义AF1BF2F1F2（2a>F F）12F1F2（0<2a<F F）12P M2M1B点连线的中点在抛物线上；特别地，若切点弦过抛物线体系PF1PF2=l（ l>0且 l¹1）焦点三角形面积qS=b2tan△PF F122焦点三角形面积qS=b2cot△PF F122焦点 F，则ÐAPB为直角且PF^AB一P光学性质O切线方程x x+y y=r200F1F2切线方程x x y y002+2=1a bF1F2F切线方程x x y y02021-=a b切线方程y y=p x+x()00从一个焦点射出的光线的反射光线过另一个从一个焦点射出的光线的反射光线的反向延从圆心射出的光线的反射光线仍经过从焦点射出的光线的反射光线与对称轴平行焦点长线经过另一个焦点圆心P等张角线极坐标方程r=ep1-ecosq体系二对线段 AB张角相同的点的轨迹HlP PFPH=e PlHPFPH=eHlPA B PF=PH通径长F FF通径长通径长d=2p 2b2d==2epa2b2d==2epa体系BO定义1k×k=-PAPBAPAOPBk×k=-PAPBb2a2AOPBk×k=PAPBb2a2直线与圆锥曲线弦长公式!l=1+k x-x=1+m y-y=n×t-t22121212面积公式三垂径定理AMOBk×k=-1OMABAMOBba22k×k=-OM AB1AOM Bk×k=OMABb2a211212S=底×高 =水平宽×铅直高=l lsinq212位置关系椭圆的等效判别式 D=a2A2+b2B2-C2双曲线的等效判别式2(2222)D=C-a A-b B圆锥曲线的解题常见思路关键词一般情况过定点的直线弦长面积点与曲线的位置关系★引入参数控制运动，以交点坐标★弦长公式★利用共线或平行条件进行等积★将点代入圆锥曲线方程中再将定点在y轴上时用斜截式表示定点在x轴上时用倒斜横截式表示为中间变量表示其他所有几何量★两点间距离公式变换方程改写为不等式定点不在轴上时用参数方程表示★利用直线方程消去纵（横）坐标★三角形面积公式★若方程Px2+Qx+R=0的两根提示→将直线方程代入曲线方程（联立）→通过韦达定理消去另一坐标时，两根之差为x-x=12DP★四边形的面积公式12l l sinq12★四边形的对角线往往是相关的有时也直接求解坐标★注意参数的取值范围，需要保证★面积比往往转化为共线线段比直线与圆锥曲线相交关键词直线与圆锥曲线的位置关系焦点中点定比分点共线、平行、垂直★联立直线与曲线方程后通过判★两个焦点→体系一★注意取中点构造中位线★弦所在直线过焦点时，可补对应★利用斜率或向量表示别式判断★一个焦点★中点坐标公式★共线也可以利用点在另外两点准线后构造相似三角形提示★直接利用等效判别式判断→补焦点→体系一→补准线→体系二xx+x y+y=12，12y=22★利用定比分点坐标公式或利用直线的参数方程转化．所确定的直线上表示★注意利用极坐标方程★“x=a x（a¹-1）”21Û2æx+xöx x a．=ç12÷121èøa+关键词以AB为直径的圆过C垂直平分线关于直线…对称关于原点对称的两点与原点连线相互垂直★以AB为直径的圆过C★P在AB的垂直平分线上★A、B关于l对称★有关斜率的问题→体系三★利用相关直线设直线斜率ÛÐACB=90°ÛPA=PBÛl是AB的垂直平分线★注意取中点构造中位线★化齐次联立ÛMC=MA（M为AB中点）ÛPM^AB（M为AB中点）★注意对称变换下的几何不变量提示★斜率的比值计算可以平方后用★注意“姐妹圆”圆锥曲线的方程进行整理111=+r a b222R=a+b 222关键词与定点的两连线垂直向量的运算成锐角（直角、钝角）过…与…交点的曲线其他★利用相关直线设直线斜率★向量数乘→共线★转化为向量夹角★利用交点曲线系得到曲线方程★当运动由圆锥曲线上的单点驱向量和差→平行四边形法则借助向量数量积的符号判断动时注意利用圆锥曲线的参数方程★平移坐标系转化为与原点的连向量相等→形成平行四边形★极限思想，利用切线方程得到定线相互垂直的问题向量数量积→投影长度提示点或定值的具体数据★利用仿射变换★在求形如()()x-t x-t的值时，12可以将方程整理为形如改造椭圆为圆改造斜交直线为垂直直线20A(x-t)+B(x-t)+C=的形式2。

高三数学二轮复习微专题：圆锥曲线的定义、标准方程

D．9
x2 y2
例 3．[双曲线的标准方程 ]已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为 4 5，渐近线
a b
方程为 2x±y＝0，则双曲线的方程为(
)
x2 y 2
A．－＝1
4 16
x2 y 2
B．－＝1
16 4
x2 y2
C．－＝1
16 64
x2 y 2
D．－＝1
64 16
1定型：就是确定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准
方程.
2计算：即利用待定系数法求出方程中的 a2 ，b2 或 p.另外，当焦点位置无
法确定时，抛物线方程常设为 y2＝2ax 或 x2＝2aya≠0，椭圆方程常设为 mx2＋
ny2＝1m＞0，n＞0，且 m≠n，双曲线方程常设为 mx2－ny2＝1mn＞0.
m
－ x
n
圆锥曲线的定义、方程
考点一圆锥曲线的定义及标准方程——回归定义，巧解方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝________(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝________(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义，得|BD|＝a，故∠BCD＝30°
，
在 Rt△ACE 中， ∵|AE|＝|AF|＝3，
|AC|＝3＋3a，∴2|AE|＝|AC|，即 3＋3a＝6，从而得 a＝1，|FC|＝3a＝3.
1
3
∴p＝|FG|＝ |FC|＝，因此抛物线方程为 y2＝3x，故选 C.

(统考版)2023高考数学二轮专题复习：圆锥曲线的定义、方程与性质课件

________．
3 6
4
答案：
x2
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆6 Nhomakorabeay2
+ ＝1在第一象限交于A，
3
B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2 3，
x＋ 2y－2 2＝0
则l的方程为______________．
归纳总结
直线与圆锥曲线关系的求解技巧
18
16
2
x
y2
C． + ＝1
3
2
答案：B
x2
y2
B． + ＝1
9
8
2
x
D．＋y2＝1
2
(2)[2022·贵州毕节模拟预测]如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西
安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作
的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可
以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在
使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，
要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)椭圆
x2
a2
y2
+ 2
b
＝1(a>b>0)截直线所得的弦的中点是P(x0，y0)(y0≠0)，
b2 x0
则直线的斜率为－ 2 .
a y0
x2
c
a
2c
2a
＝ 7m，所以C的离心率e＝＝＝
F1 F2
PF1 − PF2
＝
7m
7

圆锥曲线的方程与性质

代入①得（5－ 4c2c）2＋4（53－c c）＝1，
即 c2－2c－3＝0，解得 c＝－1(舍去)或 c＝3.
索引
所以 C1 的标准方程为3x62＋2y72 ＝1， C2的标准方程为y2＝12x.
索引
考点整合
///////
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离). 温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
所以
C
的离心率
e＝ac＝22ac＝|PF|1F|－1F|2P| F2|＝
27mm＝
7 2.
索引
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为 C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为__x_＝__－__23_______. 解析法一由题意易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以 tan∠OPF
索引
(2)(2021·江南十校联考)已知椭圆 C：xa22＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与椭圆交于 M，N 两点，若△MNF2 的周长为 8，则△MF1F2 面积的
最大值为( B )
3 A. 2
B. 3
C.2 3
D.3
解析由椭圆定义|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a，所以△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8. 则 a＝2，故 c＝ a2－1＝ 3.

圆锥曲线的定义、方程与性质(题型归纳)

圆锥曲线的定义、方程与性质【考情分析】1.考查特点:(1)圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式命题,难度中等;(2)直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力以及创新能力.3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程【典例分析】1（2021·山东省实验中学高三模拟）已知双曲线22525x y -=上一点P 到其左焦点F 的距离为8，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（）A ．9B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由22525x y -=，得221255x y -=，则2225,5a b ==，所以230c =，所以5,a b c ===，设双曲线的右焦点为1F ，因为P 到其左焦点F 的距离为85a c <+=+P 在双曲线的左支上，所以1210PF PF a -==，所以118PF =，因为M 为PF 的中点，O 为1FF 的中点，所以1192OM PF ==，故选：A 2．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点A 在l 上，点B 在抛物线上，l 与x 轴的交点为C ，ABF是正三角形，且四边形ABFC 的面积是，则p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由抛物线的定义及ABF 为正三角形，可知//AB x 轴，所以60AFC ︒∠=，从而可知2AB p =，AC =，又因为四边形ABFC 的面积是，所以有22p p+=2p =.故选：C.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021·江苏金陵中学高三模拟）以椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆C 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22143x y +=B ．22184x y +=C ．2211612x y +=D ．2216448x y +=【答案】C【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则2a c =，椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即6a c +=，则4a =，2c =，23b =则椭圆的标准方程为：2211612x y +=.故选：C.2．【多选】（2021·福建福州市·高三二模）在ABC 中，4AB =，M 为AB 的中点，且CA CB CM -=，则下列说法中正确的是（）A ．动点C 的轨迹是双曲线B ．动点C 的轨迹关于点M 对称C ．ABC 是钝角三角形D ．ABC面积的最大值为【答案】BD【解析】以M 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系．设CM =r ，此时C 点在以M 为圆心，r为半径的动圆上．由CA CB r -=，知C 点在以AB 为焦点，2r a =的双曲线22221x y a b -=上且22242AB a b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．对点(),C x y 有222x y r +=，22221444x y r r-=-，从而2223(16)64y r r =-，当28r =时，2y最大，故yABC S ，故D 正确；2r =时，得到另一个C 点'C ，此时ABC 为直角三角形，故C 错误；∵CA CB -非定值，∴C 不以双曲线为轨迹，故A 错误；∵CM CA CB -=，∴一定有C 关于M 的对称点关于原点对称，故B 正确．故选：BD ．3.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.【答案】3【解析】由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1.设点M (x0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM →＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3.【题型二】圆锥曲线的几何性质【典例分析】1．已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则椭圆E 的离心率为（）A ．102B ．4C D ．54【答案】B【解析】1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F Ð=Ð，由正弦定理可得213PF PF =，令1233PF PF n ==，则32n n a +=，22294n n c +=，可得22542a c =，所以椭圆的离心率为：104c e a===.故选：B ．2．（2021·天津南开中学高三模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为__________．【答案】3【解析】设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OM AF FQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021湖南长沙长郡中学高三模拟）已知抛物线28y x =的焦点为F ，经过点P (1，1)的直线l 与该曲线交于A ､B 两点，且点P 恰好为AB 的中点，则||||+=AF BF （）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】抛物线28y x =中，4p =，其焦点()2,0F ，准线方程2x =-，如图过点,,A B P 作准线的垂线，垂足为,,M N R ，由抛物线定义可知，||||AF BF AM BN +=+，而P 恰好为AB 的中点，故PR 是梯形ABNM 的中位线，故2AM BN PR +=，又P (1，1)，故132pPR =+=，所以||||236AF BF +=⨯=.故选：B.2．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点2F 作圆222x y a +=的切线交双曲线左支于点M ，且1260F MF ∠︒＝，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】313y x ⎛⎫=±+⎪ ⎪⎝⎭．【解析】设切点为A ，过1F 作21F B MF ⊥，垂足为B ，由题意可得OA a =，2OF c =，222AF c a b =-=，由OA 为12BF F △的中位线，可得12BF a =，22BF b =，又1260F MF ∠=︒，可得114sin 603BF a MF ==︒，23aMB =，22223aMF MB BF b =+=+，又21242233a a MF MF b a -=+-=，所以313b a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以双曲线的渐近线方程为313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．3.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________.【答案】3－1.【解析】设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A )23,2(c c，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－2 3.由0<e <1，得e ＝3－1.【题型三】直线与圆锥曲线【典例分析】1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点.若点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，则m =（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】直线1y x =-与抛物线24y x =联立得：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以12126,1x x x x +==，点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，所以有：21121121212120(1,)(1,)01()0,CA CB x y m x y m x x x x y y m y y m ⋅=⇒+-+-=⇒++++-++=121212121212,24,(1)(1)()14y y x x y y x x x x x x +=+-==--=-++=-，所以2161440,m m ++--+=解得2m =，故选：C2．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，离心率为2，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（）A ．14-B ．34-C ．12-D ．1【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b--+=，所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率2c e a ==，222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.【提分秘籍】1.求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x 1-x 2)2或(y 1-y 2)2,代入两点间的距离公式求解.(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.[提醒]利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形,若k 不存在,可直接求交点坐标再求弦长.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.2.处理中点弦问题常用的2种方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1+x 2,y 1+y 2,2121x x y y --三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.【变式演练】1．（2021·陕西高三模拟）已知抛物线22(0)x py p =>焦点为,F O 为坐标原点，直线l 过点F 与抛物线交于,A B 两点，与x 轴交于()2,0C p ，若17AB =，则OCF △的面积为___________.【答案】32【解析】抛物线22(0)x py p =>焦点(0,)2p F ，而直线l 过点(2,0)C p ，则直线l 的斜率为14k =-，其方程为124p y x -=-，即42x y p =-+，由2422x y px py=-+⎧⎨=⎩消去x 得228920y py p -+=，显然0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1298py y +=，而17AB =，由抛物线定义知，1217||||()()17228p p p AB AF BF y y =+=+++==，解得8p =，即(0,4)F ，()16,0C ，而90FOC ∠= ，于是得1||||322OCF S OC OF =⋅⋅= ，所以OCF △的面积为32.故答案为：322．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆C ：2214x y +=.（1）椭圆C 是否存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆C 上的点，若直线AP ，BP 分别与直线3y =交于G ，H 两点，求线段GH 的长度取得最小值时直线GP 的斜率.【解析】（1）因为22(1)111422-⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，则椭圆C 存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦.设弦所在的直线l 与椭圆C 相交于()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得22222121044x x y y -+-=，即()()()()2121212104x x x x y y y y -++-+=.又122x x +=-，121y y +=，()()2121(2)104x x y y --∴+-⨯=，整理得212112y y x x -=-.所以直线l 的方程为11(1)22y x =+-，即220x y -+=.（2）因为A ，P ，G 三点共线所以可知当线段GH 的长度取得最小值时，直线AP 的斜率k 显然存在，且0k >，()2,0A -，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，从而点32,3G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()222214161640k x k x k +++-=，0∆>设点()00,P x y ，则202164(2)14k x k--⋅=+.所以2022814k x k -=+，从而02414k y k =+，所以222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又点()2,0B ，则直线PB 的斜率为14k-.由1(2)43y x k y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，得1223x k y =-+⎧⎨=⎩，所以(122,3)H k -+.故332122124GH k k k k=-+-=+-.又0k >，则31212k k +≥=，当且仅当312k k =，即12k =时等号成立所以当12k =时，线段GH 的长度取得最小值.所以此时直线GP 的斜率为12.1．（2021山师大附中高三模拟）“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >，故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.2．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知抛物线2y =的准线与双曲线()22210x y a a-=>相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则实数a 的值为（）A ．19B ．29C ．13D．3【答案】D【解析】2y =的准线x =，焦点)，不妨设A点坐标2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，FAB 为直角三角形，∠AFB ＝90°，由对称性可知，FAB 为等腰直角三角形，由直角三角形的性质得a a=，解得23a =.故选：D 3．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F 、2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．1或9C ．3或9D ．9【答案】D【解析】由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点P 在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =，故选：D.4．（2021·山东省淄博市实验中学高三模拟）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2.④1212c c a a <其中正确式子的序号是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】由图可得1212,a a c c >>，所以1122a c a c +>+，即①错误；因为1122,a c PF a c PF -=-=，所以1122a c a c -=-，即②正确，由1122a c a c -=-，得1221a c a c +=+，即22221212212122a c a c a c a c ++=++，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+,即221221122()0b b a c a c -=->，可得2112a c a c >，即③正确，由2112a c a c >，可得1212c c a a >，即④错误；综上所述选项B 正确.故选:B.5．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =，因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =，因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos a OF P cÐ=，在12F F P 中，()()22212223cos cos 22a c a a F F P OF P a cc+-Ð==Ð=×.化简可得c =，所以C的离心率==ce a.故选：B 6．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】设椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴长为2a '，焦点为2c ，2122MF F F c ==，则1MF =2222a c a c '+=-，又c e a ='，所以c a e '=，即242c c a e +=，又7[2,2e ∈，所以椭圆的离心率为127,15162c e a e⎡⎤'==∈⎢⎥⎣⎦+．故选：C ．7．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知曲线C 的方程为()22113x y m R m m+=∈+-，则（）A ．当1m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为33y x =±C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C【答案】AB【解析】对于A 选项：m =1时，方程为22122x y +=，即222x y +=，曲线C 是圆，A 正确；对于B 选项：m =5时，方程为22162x y -=，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3y x =±，B 正确；对于C 选项：m >1时，不妨令m =5，由选项B 知，曲线C 为双曲线，C 不正确；对于D 选项：要曲线C 为双曲线，必有(1)(3)0m m +-<，即m <-1或m >3，m <-1时，曲线C ：2213(1)y x m m -=--+，m >3时，曲线C ：22113x y m m -=+-，时，它实半轴长与虚半轴长相等，而-(m +1)≠3-m ，m +1≠m -3，D 不正确.故选：AB11．（2021·湖南雅礼中学高三模拟）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 分别交于()1122(),,A x y B x y ，两点，则（）A ．12y y 为定值B ．AOB ∠可能为直角C ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点D ．对于确定的直线AB ，在C 的准线上存在三个不同的点P ，使得ABP △为直角三角形【答案】AD【解析】设:1AB l x ty =+，与24y x =联立可得：2124404y ty y y --==-，，故A 对；因为221212116y y x x ==，所以12121OA OBy y k k x x ⋅=≠-，∴2AOB π∠≠，故B 错；设BF 的中点11111,,2222BF x y x M ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故C 错；设AB 的中点1212,22x x y y N ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 到C 准线的距离为当1212x x ++，因为12122AB x x +=+故有以AB 为直径的圆与C 的准线相切，对于确定的直线AB ，当P ∠为直角，此时P 为切点；当A ∠或B Ð为直角，此时P 为过A （或B ）的AB 的垂线与准线的交点，故D 正确．故选：AD12．已知双曲线22:139x y C -=的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是C 上的任意一点，则（）A ．双曲线C 的离心率为233B ．焦点到渐近线的距离为3C ．点P 到两条渐近线的距离之积为94D ．当P 与A ､B 不重合时，直线PA ，PB 的斜率之积为3【答案】BCD【解析】对于A ，,3a b c ===2e ==，故A 错误；对于B ，双曲线的右焦点2F 到渐近线y x ==的距离为3d ==，故B 正确；对于C ，设()00,P x y ，满足2200139x y -=，即220039x y -=，则点P到两条渐近线的距离之积为2200123944x y d d -⋅==，故C 正确；对于D ，设()00,P x y ，由C 得2239x y -=，PAPB k k ==2200220039333PA PB y x k k x x -⋅===--，故D 正确；故选：BCD13．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）已知椭圆G：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】椭圆(222:106x y G b b+=<<的两个焦点分别为)1F和()2F ，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ，设(),P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，1222PB PB a b +==，即有P 在椭圆222166y x b+=-上，对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当P 满足22x y =，即有226b b -=，即b =时，OP 取得最小值，可得222x y ==时，即有2OP ==取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y 轴对称，且0b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确.，故答案为①②.14．（2021·山东滕州一中高三模拟）某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值0v ，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10m ．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____m ．（空气阻力不计，重力加速度为210m /s ）【答案】5【解析】设铅球运动时间为0t ，t 时刻的水平方向位移为x ，则0cos x v t θ=．由001sin 02v gt θ-=知002sin v t g θ=20sin 2v x g θ∴=故当4x π=时，20max 10v x g==，210m /s g =∴解得：0t =，010m /sv =201 2.5m22t h g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭如图建立平面直角坐标系，(5, 2.5)P --，设抛物线方程为22x py=-则抛物线的焦点到准线的距离22(5)5m 22 2.5x p y -===-⨯故答案为：515．（2021·山东枣庄一中高三模拟）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，O为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，213PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________；渐近线方程为________.【答案】22y x =±【解析】由213PF PF =，122PF PF a -=，解得13PF a =，2PF a =，由题意可得四边形12PF MF 为平行四边形，又260MF N ∠=︒，可得1260F PF ∠=︒，在12PF F △中，可得()22224323cos 607c a a a a a =+-⋅⋅⋅︒=，即有2c a =，则2c e a ==，所以2b a ===，则渐近线方程为2y x =±.故答案为：72；32y x =±.16.（2021•南充模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，点15(1,)3P --在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11||||F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意得，2c =，2211519a b +=，222a b c =+，解得：26a =，22b =，所以椭圆的标准方程：22162x y +=；（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程：y x t =-+，设(,)M x y ，(,)N x y ''与椭圆联立整理：2246360x tx t -+-=，△223644(36)0t t =-->，t -<<，32t x x '+=，2364t xx -'=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，所以111F E MN k k =-=又3(4t E ，)3t ，所以141324F E tk t ==+，解得4t =-，当4t =-时，不满足t -<<，所以不存在满足条件的直线l ．17．（2021·湖南高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为72，双曲线上的点到焦点的最小距离为2.（1）求双曲线C 的方程；（2）四边形MNPQ 的四个顶点均在双曲线C 上，且//MQ NP ，MQ x ⊥轴，若直线MN 和直线QP 交于点()4,0S ，四边形MNPQ 的对角线交于点D ，求点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和.【解析】（1）由题意，22222c a c a a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，所以双曲线C 的方程为22143x y -=；（2）由MQ x ⊥轴，//MQ NP ，可知四边形MNPQ 为等腰梯形，且关于x 轴对称，故四边形MNPQ 的对角线的交点D 在x轴上，如图所示：设点(,0)D t ，则对角线MP 的方程为(0)x my t m =+≠，设1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知1122(,),(,)Q x y N x y --，联立22143x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得222(34)63120m y mty t -++-=，所以22222(6)4(34)(312)48(34)0mt m t m t ∆=---=-+>，即2234m t +>，由韦达定理得21212226312,3434mt t y y y y m m --+==--，由,,M N S 三点共线知MS NS k k =，即121244y y x x -=--，所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=，整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，所以222(312)(4)(6)034m t t mt m -+--=-，所以224(1)034m t m -=-，即24(1)0,1m t t -==，所以直线MP 过定点()1,0，即D ()1,0，因为双曲线C 20y ±=20y -=时，由点到直线距离公式得217d ==，由对称性知点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和为2217.。

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（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。

2019数学(文)通用版二轮精准提分练习第二篇第20练圆锥曲线的定义、方程与性质

第20练圆锥曲线的定义、方程与性质［小题提速练］［明晰考情]1。

命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点.2.题目难度：中等偏难.考点一圆锥曲线的定义及标准方程方法技巧（1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件。

(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化.(3）求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”。

1.已知A（0，7），B（0，－7)，C（12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(）A.y2－错误!＝1B.x2－错误!＝1C.y2－错误!＝1(y≤－1) D。

x2－错误!＝1(x≥1)答案C解析由两点间距离公式，可得|AC｜＝13,｜BC|＝15，｜AB|＝14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|＋｜AC｜＝|BF|＋|BC｜,|AF｜－｜BF｜＝|BC|－｜AC|＝2〈14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支。

由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的轨迹方程是y2－错误!＝1（y≤－1)，故选C。

2.已知双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b>0）的焦距为2错误!，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为（)A.错误!－y 2＝1B 。

x 2－错误!＝1 C.错误!－错误!＝1D 。

新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册

章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x ，y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对答案 C解析把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时，动点M 满足PD →＝2MD →，动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解方法一由PD →＝2MD →，知点M 为线段PD 的中点，设点M 的坐标为(x ，y )，则点P 的坐标为(x ，2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 2＋(2y )2＝4，所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.方法二设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)，由PD →＝2MD →，得x 0＝x ，y 0＝2y ，因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，(*)把x 0＝x ，y 0＝2y 代入(*)式，得x 2＋4y 2＝4，所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3，因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2,3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．解抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2 (1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．答案 x ±2y ＝0解析设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14，所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x ，即x ±2y ＝0.反思感悟求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．跟踪训练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO 的面积是3c 2，则此椭圆的离心率是( ) A.12 B.32 C.22 D.33 答案 A解析 12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4，所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0，所以a 2＝4c 2，a ＝2c ，故e ＝c a ＝12.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为_________．答案 x ±y ＝0 解析 c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p 24b2＝1.② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②，得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2，即ba＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得 4－m25－4m2＝1，解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断． (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B . (1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围．解 (1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ，由A (2,0)，得a ＝2， ∴c ＝2，b ＝2， ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22，设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0，若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解．设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2)，A ，B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA ⊥OB ，求△AOB 面积的最小值．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2，2)知4p ＝4，解得p ＝1. 则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12.(2)由题意知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线AB ：x ＝ty ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2a ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2a . 因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 21y 224＋y 1y 2＝0，解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4. 所以－2a ＝－4，解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2. 所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4. 当且仅当y 1＝2，y 2＝－2或y 1＝－2，y 2＝2时，等号成立．所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．跟踪训练4 已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2，y 0)(y 0>0)作两条直线l 1，l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ，B ，若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解由题意可知，动圆圆心P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等，所以点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点，直线x ＝－12为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)证明易知M (2,2)，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)，所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0，所以(b －1)2＝(2m －1)2，所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时，直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合，舍去；当b ＝2m 时，直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0，－2)，所以直线AB 过定点(0，－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°答案 D解析由题意可得－b a＝tan 130°，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝c a ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13，因为cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点． (1)解由题意，得b 2＝1，c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k t －1x 1＋x 2＋t －12＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0,0)．。

圆锥曲线的定义、标准方程及性质

圆锥曲线的定义、标准方程及性质[A组小题提速练]1．(双曲线的性质)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. 3 B．3C.3m D．3m解析：双曲线方程为x23m－y23＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝ 3.选A.答案：A2．(双曲线的离心率)已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )A．2 B．6 2C.52D．1解析：因为双曲线的方程为x2a2－y23＝1，所以e2＝1＋3a2＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.答案：D3．(等轴双曲线的性质)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为( ) A. 2 B．2 2C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4. 答案：C4．(双曲线方程)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B ．x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1解析：A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x ，故选C.答案：C5．(双曲线方程)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1D.3x 25－3y 220＝1解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.答案：A6．(抛物线与椭圆)(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D. 答案：D7．(双曲线性质与方程)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：根据题意画出草图如图所示⎝⎛不妨设点A⎭⎪⎪⎫在渐近线y ＝b a x 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a＝tan 60°＝3.又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 答案：D8．(直线与双曲线关系)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.答案：D9．(双曲线性质)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，M 、N 为双曲线上关于原点对称的两点，P 为双曲线上的点，且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1·k 2＝54，则双曲线的离心率为( )A.2B ．32C ．2D.52 解析：设M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则N (－x 1，－y 1)， ∴k 1·k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 21x 22－x 21，由点M 、N 在双曲线上得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减可得y 22－y 21x 22－x 21＝b 2a 2，∵k 1·k 2＝54，∴b 2a 2＝54，∴b ＝52a ，∴c ＝a 2＋b 2＝32a ，∴e ＝c a ＝32.故选B.答案：B10．(抛物线性质)已知F 为抛物线y 2＝43x 的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若AF →＝3FB →，则以AB 为直径的圆的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －5332＋(y －2)2＝643 B ．(x －2)2＋(y －23)2＝643C ．(x －53)2＋(y －2)2＝64D ．(x －23)2＋(y －2)2＝64解析：如图，作出抛物线的准线l ：x ＝－3，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E .∵AF →＝3FB →，∴设|AF |＝3m ，|BF |＝m ，∵点A 、B 在抛物线上，∴|AC |＝3m ，|BD |＝m .因此，在Rt △ABE 中，|AB |＝4m ，|AE |＝2m ， ∴cos ∠BAE ＝12，∴∠BAE ＝60°，∴直线AB 的倾斜角为60°，即直线AB 的斜率k ＝tan 60°＝3，∴直线AB 的方程为y ＝3(x －3)，代入抛物线方程得3x 2－103x ＋9＝0. ∴x A ＋x B ＝1033，x A ·x B ＝3.∴y A ＋y B ＝3(x A －3)＋3(x B －3)＝4，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝163，∴AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x A ＋x B 2，y A ＋y B 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫533，2. 则以AB 为直径的圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －5332＋(y －2)2＝643.故选A. 答案：A11．(抛物线性质)如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点，令|AF ||BF |＝λ1，|BC ||BF |＝λ2，则当α＝π3时，λ1＋λ2的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析：由题意知焦点的坐标为F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当α＝π3时，直线AB 的方程为y ＝3x －3，与抛物线方程联立得3x 2－10x ＋3＝0.∴x 1＋x 2＝103，x 1x 2＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，由题图可知，λ1＝|AF ||BF |＝x 1＋1x 2＋1＝3＋11＋13＝3.∵α＝π3，∴λ2＝|BC ||BF |＝2，∴λ1＋λ2＝5.故选B. 答案：B12．(双曲线性质)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (1,0)作x 轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意得|AB |＝2b 2a，∵S △AOB ＝83，∴12×2b 2a ×1＝83，∴b 2a ＝83①，又a 2＋b 2＝1②，由①②得a ＝13，b ＝223，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±22x .答案：y ＝±22x13．(双曲线性质)已知双曲线x 29－y 2b 2＝1(b ＞0)的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且⊙F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作⊙F 的两条切线，切点分别为M ，N ，则|MN |＝________. 解析：如图所示．∵双曲线x 29－y 2b2＝1(b ＞0)的左顶点为A ，虚轴长为8，∴a 2＝9,2b ＝8，∴a ＝3，b ＝4，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0，c 2＝a 2＋b 2＝25，即c ＝5，∴F (5,0)．∵⊙F 与双曲线的渐近线相切，∴⊙F 的半径r ＝|4×5＋0|16＋9＝4，∴|MF |＝4，∵|AF |＝a ＋c ＝5＋3＝8，∴|AM |＝82－42＝43，∵S 四边形AMFN ＝2×12|AM |·|MF |＝12|AF |·|MN |，∴2×43×4＝8·|MN |，解得|MN |＝43.答案：4314．(抛物线与双曲线性质)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________．解析：由抛物线y 2＝8x 可知准线方程为x ＝－2，所以双曲线的左焦点为(－2,0)，即c ＝2；又因为双曲线的离心率为2，所以e ＝ca＝2，故a ＝1，由a 2＋b 2＝c 2知b 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝115．(双曲线离心率)已知双曲线E ：x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c,2b 2＝3ac ，2b 2a2＝3e,2(e 2－1)＝3e,2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．答案：2[B 组大题规范练]1．(直线与双曲线)过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点． (1)求|AB |； (2)求△AOB 的面积．解析：(1)由题意得a 2＝3，b 2＝6，∴c 2＝9，∴F 2(3,0)．直线方程为y ＝33(x －3)，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33x －3，2x 2－y 2＝6，得2x 2－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33x －32＝6. 即5x 2＋6x －27＝0，∴x ＝－3或x ＝95. ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫95，－235，B (－3，－23)， ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫95＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－235＋232＝1635. (2)由(1)得直线方程为3x －3y －33＝0，∴(0,0)到直线的距离d ＝|－33|3＋9＝32， ∴S △AOB ＝12|AB |d ＝12×1635×32＝1235. 2．(直线、圆、椭圆)已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x 2＋y 2－22x ＝0的圆心重合，且椭圆过点(2，1)．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．解析：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，c 为半焦距，由c ＝2得a 2－b 2＝2，①∵椭圆过点(2，1)，∴2a 2＋1b 2＝1，② 由①②解得a 2＝4，b 2＝2，即所求椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，有⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＝2x 2，1－y 1＝2y 2－1，设直线方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，解得x ＝－2k ±8k 2＋22k 2＋1，设x 1＝－2k －8k 2＋22k 2＋1，x 2＝－2k ＋8k 2＋22k 2＋1，则－－2k －8k 2＋22k 2＋1＝2·－2k ＋8k 2＋22k 2＋1，解得k 2＝114，所以△AOB 的面积S ＝12|OP |·|x 1－x 2|＝12·28k 2＋22k 2＋1＝1268＝3148. 3．(直线与椭圆)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，12，且离心率为32. (1)求椭圆Γ的方程；(2)设点M在x轴上的射影为点N，过点N的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，且NB→＋3 NA→＝0，求直线l的方程．解析：(1)由已知可得3a2＋14b2＝1，a2－b2 a＝3 2，解得a＝2，b＝1，所以椭圆Γ的方程为x24＋y2＝1.(2)由已知N的坐标为(3，0)，当直线l斜率为0时，直线l为x轴，易知NB→＋3 NA→＝0不成立．当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋3，代入x24＋y2＝1，整理得(4＋m2)y2＋23my－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－23m4＋m2，①y1y2＝－14＋m2，②由NB→＋3 NA→＝0，得y2＝－3y1，③由①②③解得m＝±2 2 .所以直线l的方程为x＝±22y＋3，即y ＝±2(x －3)．4．(直线与抛物线)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点F (1,0)，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA →·FB →＝89，求△BDK 内切圆M 的方程．解析：(1)证明：由题设可知K (－1,0)，抛物线的方程为y 2＝4x ，则可设直线l 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1，y 2＝4x 整理得y 2－4my ＋4＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，则直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，即y －y 2＝4y 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －y 224，令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以F (1,0)在直线BD 上．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，所以x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1，又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，故FA →·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝8－4m 2，则8－4m 2＝89，∴m ＝±43，故直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x －4y ＋3＝0， y 2－y 1＝±y 2＋y 12－4y 1y 2 ＝±16m 2－16＝±473，故直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0或 3x －7y －3＝0，又KF 为∠BKD 的平分线，故可设圆心M (t,0)(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)．故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，所以圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －192＋y 2＝49.。

人教A版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程-圆锥曲线基本题型总结习题

圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 【注：检验去点】3.已知A (0，－5)、B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】4.已知两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是( ) A.||PF 1|－|PF 2||＝5 B.||PF 1|－|PF 2||＝6 C.||PF 1|－|PF 2||＝7D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】5.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8.已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程. 已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 212＝1 (x >0)B.x 24－y 212＝1 (x <0) C.x 24－y 212＝1D.y 24－x 212＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 9.若动圆P 过点N (－2,0)，且与另一圆M ：(x －2)2＋y 2＝8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.11.若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线12.已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】13.已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.（M 的横坐标非负） (1)求点M 的轨迹方程；【注：体现抛物线定义的灵活应用】(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14.已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线【注：体现抛物线定义的灵活应用】2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：16.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22 B.12 C.2－12 D.3417.椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．418.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m19.若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________.20.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形21．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a -c ，最大是a+c 】22.已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________.【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c -a 】23.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点，注意中位线的体现】24.设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r |等于( ) A ．3 B ．6 C ．1 D ．225.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172B.3C. 5D.92【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】26.已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.55【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27.设点A 为抛物线y2＝4x 上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2 【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3.焦点三角形问题：椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+∆＝＋＋＝椭圆的焦点三角形面积：推导过程：2tan sin cos 121sin 21cos 1 -)cos (12 (1)-(2)(2)2a (1)COS 2-2 1 b 2b PFPF S 2bPFPF 4c 4a PFPF PF PF 4c PF PF PF PF 2221F PF 22122212212212221θθθθθθθ=+==+==+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∆得双曲线的焦点三角形面积：2tanbS 2F PF 21θ=∆28.设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．【注：小题中可以直接套用公式。

圆锥曲线的定义与基本性质

圆锥曲线的定义与基本性质圆锥曲线是仿射空间中的一类特殊曲线，由一个固定点（焦点）到一个固定直线（准线）上所有点的距离与一个常数之比为定值的点构成。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在本文中，我们将探讨圆锥曲线的一些基本定义及性质。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点 p（称为焦点）和一个不包含 p 点的直线 l（称为准线）所确定的曲线。

圆锥体沿着准线 l 延伸，取一个点 r，使得 pr:rd 是定值，其中 d 为点 r 到直线 l 的距离。

设 F1,F2 是焦点，l 为准线，e 为离心率，则 e=PF1/PS，其中 S 是公共焦点。

- 当 e<1 时，得到椭圆；- 当 e=1 时，得到抛物线；- 当 e>1 时，得到双曲线。

例如，下图中，以点 F 为焦点，线段 CD 为准线，且焦距PF/CD=1/2，得到的曲线就是抛物线。

二、圆锥曲线的参数方程对于椭圆而言，可以使用参数方程来描述：x=a cos⁡ty=b sin⁡t其中 a 和 b 分别代表椭圆在 x 轴和 y 轴方向上的半径，t 为变量。

类似的，可以得到双曲线和抛物线的参数方程。

三、圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线，焦点和直径是十分重要的性质之一。

对于椭圆而言，每一条直径的中点都会落在坐标系的第一象限中，且椭圆的两个焦点都位于坐标轴上。

对于双曲线而言，每一条直径的中点都会落在 x 轴中线上，且双曲线的两个焦点都位于 x 轴上。

对于抛物线而言，它没有焦点，但总存在一个顶点，即曲线的最高点或最低点，每一条与顶点连线垂直于开口的那一侧的直线都称为该抛物线的一条直径。

四、圆锥曲线的离心率和倾角离心率 e 是一个很重要的度量曲线形状的参数，表示焦点与准线之间距离的比值。

其定义为 e=PF/PS，其中 PF 为焦点到曲线表面上一点的距离，PS 为焦点到准线的距离。

而圆锥曲线的倾角则是准线与 x 轴的夹角。

对于椭圆和双曲线而言，倾角的值随着离心率的增大而减小，对于抛物线而言，则为 45 度。

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3m 3 2．(双曲线的离心率)已知双曲线－＝1(a >0)的离心率为 2，则 a ＝()B ．6C. 5解析：因为双曲线的方程为－＝1，所以 e 2＝1＋＝4，因此 a 2＝1，a ＝1.选A ．x 2－＝1B ．－y 2＝1专题二圆锥曲线的定义、标准方程及性质[A 组小题提速练]1．(双曲线的性质)已知 F 为双曲线 C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为()A. 3C. 3mB ．3D ．3mx 2 y 2解析：双曲线方程为－＝1，焦点 F 到一条渐近线的距离为 b ＝ 3.选 A.答案：Ax 2 y 2a 2 3A ．222D ．1x 2 y 2 3a 2 3 a 2D.答案：D3．(等轴双曲线的性质)等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y 2＝16x 的准线交于 A ，B 两点，|AB |＝4 3，则 C 的实轴长为()A. 2C ．4B ．2 2D ．8解析：抛物线 y 2＝16x 的准线方程是 x ＝－4，所以点 A (－4,2 3)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点 A 的坐标代入得 a ＝2，所以 C 的实轴长为 4.答案：C4．(双曲线方程)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ＝±2x 的是()y 24x 241C. －x 2＝1D ．y 2－＝1又令－x 2＝0，得 y ＝±2x ，令 y 2－＝0，得 y ＝± x ，故选 C.5．(双曲线方程)已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的焦距为 2 5，且双曲线的一A. －y 2＝1B ．x 2－＝120 5 5 20a 2 4 ＋＝1 的一个焦点，则 p ＝()解析：抛物线 y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为，0 ，椭圆＋＝1 的焦点坐标为(± 2p ，0)．由题意得＝ 2p ，解得 p ＝0(舍去)或 p ＝8.7．(双曲线性质与方程)已知双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为 F ，点 Ay 24x 24解析：A 、B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在 y 轴上，y 2 x 214 4 2答案：Cx 2 y 2a 2 b2条渐近线与直线 2x ＋y ＝0 垂直，则双曲线的方程为()x 243x 2 3y 2C. －＝1y 243x 2 3y 2D. －＝1b 1 x 2解析：由题意得 c ＝ 5，＝，则 a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为－y 2＝1.答案：A6．(抛物线与椭圆)(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线 y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆y 2 p x 2 3pA ．2C ．4B ．3D ．8p2x 2 y 23p pp2故选 D.答案：Dx 2 y 2a 2b 2在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的2A.－B．x24C.－y2＝1D．x2－＝1⎝b⎫在渐近线y＝x上⎪.a又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan60°＝ 3.∴双曲线的方程为x2－＝1.4b2B C D4443C.－＝1D.－程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2方程为()x2y2412＝112y2－＝1x23解析：根据题意画出草图如图所示⎛不妨设点Ay23⎭由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.b ba a又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝3，y23故选D.答案：Dx2y28．(直线与双曲线关系)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，，，四点，四边形ABCD 的面积为2b，则双曲线的方程为()x23y2A.－＝1x24y2B．－＝1x2y244x2y2412＝1解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方b b223，y A ＝，故四边形 ABCD 的面积为 4x A y A ＝4＋b 2 解得 b 2＝12，故所求的双曲线方程为－ 9．(双曲线性质)已知双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)，M 、N 为双曲线上关于原点41· x －x 1＝ x ＋x 1， x 2－x 2 由点 M 、N 在双曲线上得 1－ 1＝1， 2－ 2＝1，两式相减可得 1＝， x 2－x 2 a 2 4 a 2 4 2∴c ＝ a 2＋b 2＝ a ，∴e ＝＝ .故选 B.A ，B 两点(点 A 在第一象限)，若AF ＝3FB ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为()⎪2＋(y －2)2＝ B ．(x －2)2＋(y －2 3)2＝64＋y 2＝4 得 x A ＝ 4 2b 32b 4＋b 2 4＋b 2＝2b ，x 2 y 24 12＝1，选 D.答案：Dx 2 y 2a 2b 2对称的两点，P 为双曲线上的点，且直线 PM 、PN 的斜率分别为 k 、k ，若 k ·k12 1 25＝，则双曲线的离心率为( )A. 2B ．3 2C ．2D.5 2解析：设 M (x ，y )，P (x ，y )，则 N (－x ，－y )，11 2 2 1 1∴k ·k ＝ 1 2y －y 22 1 y ＋y 2 2 1 y 2－y 2 2 2 1x 2 y 2 x 2 y 2 a 2 b 2 a 2 b 2y 2－y 2 b 22 215 b 2 5 5∵k ·k ＝，∴ ＝，∴b ＝ a ，1 23 c 32 a 2答案：B10．(抛物线性质)已知 F 为抛物线 y 2＝4 3x 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于→ →⎛ A. x －⎝5 3⎫3 ⎭64 33C ．(x －5 3)2＋(y －2)2＝644∵AF ＝3FB ，∴设|AF |＝3m ，|BF |＝m ，∵点 A 、B 在抛物线上，∴|AC |＝3m ，|BD | ∴cos∠BAE ＝，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝，⎛x A ＋x B y A ＋y B ⎫ ⎝2 ⎝3 ⎭ 2 ⎭ ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为 x － ⎪2＋(y －2)2＝ .故选 A. 3 ⎭ 抛物线及其准线从上到下依次交于 A 、B 、C 点，令 |AF ||BC |＝λ ，＝1D ．(x －2 3)2＋(y －2)2＝64解析：如图，作出抛物线的准线 l ：x ＝－ 3，设 A 、B 在 l 上的射影分别是 C 、D ，连接 AC 、BD ，过 B 作 BE ⊥AC 于 E .→ →＝m .因此，在 Rt△ABE 中，|AB |＝4m ，|AE |＝2m ，1 2∴∠BAE ＝60°，∴直线 AB 的倾斜角为 60°，即直线 AB 的斜率 k ＝tan 60°＝ 3，∴直线 AB 的方程为 y ＝ 3(x － 3)，代入抛物线方程得 3x 2－10 3x ＋9＝0.∴x A ＋x B ＝ 103 3，x A ·x B ＝3.∴y A ＋y B ＝ 3(x A － 3)＋ 3(x B － 3)＝4，16 3∴AB 中点的坐标为⎛5 3 ⎫⎪，即，2⎪.⎛ ⎝ 5 3⎫ 643答案：A11．(抛物线性质)如图，过抛物线 y 2＝4x 的焦点 F 作倾斜角为α的直线 l ，l 与|BF ||BF |25α＝时，λ＋λ的值为()π∴x＋x＝10，x x＝1，解得x＝3，x＝，1212|BF|x＋111＋∵α＝π|BC|，212．(双曲线性质)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(1,0)作x轴的垂线，与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线的解析：由题意得|AB|＝2b2△S AOB＝，∴×∵×1＝，∴＝①，又a2＋b2＝1②，由①②得a＝，b＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±22x.b312A．4C．6B．5D．8解析：由题意知焦点的坐标为F(1,0)．设A(x，y)，B(x，y)，当α＝1122π3时，直线AB的方程为y＝3x－3，与抛物线方程联立得3x2－10x＋3＝0.11233由题图可知，λ＝1|AF|x＋13＋1＝1＝＝3.233|BF|＝2，∴λ＋λ＝5.故选B.12答案：Bx2y2a2b283渐近线方程为________．a，812b2832a3b28122a333a613．(双曲线性质)已知双曲线－＝1(b＞0)的左顶点为A，虚轴长为8，右焦解析：如图所示．∵双曲线－＝1(b＞0)的左顶点为A，虚轴长为8，∴a2＝9,2b＝8，∴a＝3，b＝4，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0，c214．(抛物线与双曲线性质)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，即c＝2；又因为双曲线的离心率为2，所以e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2知b2＝3，所以该双曲线的方程为x2－＝1.答案：x2－＝1答案：y＝±22xx2y29b2点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝________.x2y29b243＝a2＋b2＝25，即c＝5，∴F(5,0)．∵⊙F与双曲线的渐近线相切，∴⊙F的半径r＝|4×5＋0|＝4，∴|MF|＝4，16＋9∵|AF|＝a＋c＝5＋3＝8，∴|AM|＝82－42＝43，∵S11四边形AMFN＝2×2|AM|·|MF|＝2|AF|·|MN|，∴2×43×4＝8·|MN|，解得|MN|＝4 3.答案：43x2y2a2b2b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________．解析：由抛物线y2＝8x可知准线方程为x＝－2，所以双曲线的左焦点为(－2,0)，cay23y23715．(双曲线离心率)已知双曲线 E ：－＝1(a >0，b >0)．矩形 ABCD 的四个顶a ＝6c,2b 2＝3ac ，2b 2 因为 2|AB |＝3|BC |，所以4b 2＝0，解得 e ＝2，或 e ＝－ (舍去)．1．(直线与双曲线)过双曲线－＝1 的右焦点 F ，倾斜角为 30°的直线交双曲直线方程为 y ＝ (x －3)，⎧y ＝ 3x －3得 2x 2－⎢ ⎤即 5x 2＋6x －27＝0，∴x ＝－3 或 x ＝ .∴A ，－ ⎪，B (－3，－2 3)，⎝5 ⎭ ⎝ ⎭＋3⎪2＋－＋2 3⎪2＝ .x 2 y 2a 2b 2点在 E 上，AB ，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB |＝3|BC |，则 E 的离心率是________．解析：由已知得|AB |＝|CD |＝ 2b 2a，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .a 2＝3e,2(e 2－1)＝3e,2e 2－3e －212答案：2[B 组大题规范练]x 2 y 23 62线于 A ，B 两点，O 为坐标原点，F 为左焦点．1(1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积．解析：(1)由题意得 a 2＝3，b 2＝6，∴c 2＝9，∴F (3,0)．233∴由⎨3⎩2x 2－y 2＝6，，⎡ 3 ⎣ 3x －3 ⎥2＝6. ⎦95⎛9 2 3⎫ ⎝5 5 ⎭∴|AB |＝⎛9 ⎫ ⎛ 2 3 ⎫ 16 3∴ AOB ＝ |AB |d ＝ × (2)过点 P (0,1)的直线与该椭圆交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，若AP ＝2PB ，求解析：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，c 为半焦距，由 c ＝ 2得 a 2－b 222a b即所求椭圆的标准方程为＋＝1.⎧－x 1＝2x 2，→ → ∴(0,0)到直线的距离 d ＝＝，2 2 5 2 5 2k 2＋1 2k 2＋1 2k 2＋12则－＝2· ，解得 k ＝，2 2 2k 2＋1 8 8 3．(直线与椭圆)已知椭圆Γ：＋＝1(a >b >0)经过点 M 3， ⎪，且离心率为 .(2)由(1)得直线方程为 3x －3y －3 3＝0，|－3 3| 33＋9 21 1 16 3 3 12 3△S× ＝ .2．(直线、圆、椭圆)已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆 x 2＋y 2－2 2x＝0 的圆心重合，且椭圆过点( 2，1)．(1)求椭圆的标准方程；→ →△AOB 的面积．x 2 y 2 a 2 b 2＝2，①2 1∵椭圆过点( 2，1)，∴ ＋＝1，②由①②解得 a 2＝4，b 2＝2，x 2 y 2 4 2(2)设 A (x ，y )，B (x ，y )，1 12 2由AP ＝2PB ，有⎨⎩1－y 1＝2 y 2－1 ，设直线方程为 y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，－2k ± 8k 2＋2 －2k － 8k 2＋2 －2k ＋ 8k 2＋2 解得 x ＝，设 x ＝，x ＝，1 2－2k － 8k 2＋2 －2k ＋ 8k 2＋212k 2＋12k 2＋1141 12 8k 2＋2 1263 14 所以△AOB 的面积 S ＝ |OP |·|x －x |＝ · ＝＝.1 2x 2 y 2 ⎛ 1⎫ 3 a 2 b 2⎝2⎭2(1)求椭圆Γ的方程；9且NB ＋3 NA ＝0，求直线 l 的方程． a 2 4b 2a 2 所以椭圆Γ的方程为＋y 2＝1.当直线 l 斜率为 0 时，直线 l 为 x 轴，易知NB ＋3 NA ＝0 不成立．当直线 l 斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 x ＝my ＋ 3，代入＋y 2＝1，4＋m 2 由NB ＋3 NA ＝0，得 y ＝－3y ，③由①②③解得 m ＝± 2 (2)设FA ·FB ＝，求△8 BDK 内切圆 M 的方程．(2)设点 M 在 x 轴上的射影为点 N ，过点 N 的直线 l 与椭圆Γ相交于 A ，B 两点，→ →3 1解析：(1)由已知可得＋＝1，a 2－b 2 3＝，解得 a ＝2，b ＝1，x 24(2)由已知 N 的坐标为( 3，0)，→ →x 24整理得(4＋m 2)y 2＋2 3my －1＝0，设 A (x ，y )，B (x ，y )，则11 2 2y ＋y ＝ 1 2 －2 3m，①y y ＝ 1 2－1 4＋m 2，②→ →2 12 .所以直线 l 的方程为 x ＝± 22 y ＋ 3，即 y ＝± 2(x － 3)．4．(直线与抛物线)已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点 F (1,0)，其准线与 x轴的交点为 K ，过点 K 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为D .(1)证明：点 F 在直线 BD 上；→ →910⎧y 1＋y 2＝4m ，y －y ＝ y 2＋y 1(x －x )，4 ⎛ y 2⎫ y －y ⎝ 4 ⎭ 令 y ＝0，得 x ＝ y y4＝1，⎧y 1＋y 2＝4m ，又FA ＝(x －1，y )，FB ＝(x －1，y )，故FA ·FB ＝(x －1)(x －1)＋y y ＝x x －(x ＋x )＋5＝8－4m 2，则 8－4m 2＝，∴m ＝± ，＝± 16m 2－16＝± 4 7解析：(1)证明：由题设可知 K (－1,0)，抛物线的方程为 y 2＝4x ，则可设直线 l的方程为 x ＝my －1，A (x ，y )，B (x ，y )，D (x ，－y )，11 2 2 1 1⎧x ＝my －1，故⎨⎩y 2＝4x整理得 y 2－4my ＋4＝0，故⎨⎩y y ＝4，1 2则直线 BD 的方程为2 x －x2 21即 y －y ＝ 22 1x － 2⎪，1 2所以 F (1,0)在直线 BD 上．(2)由(1)可知⎨⎩y 1y 2＝4，所以 x ＋x ＝(my －1)＋(my －1)＝4m 2－2，1212x x ＝(my －1)(my －1)＝1，1 212→ → 1 1 2 2→ →1 2 1 2 1 2 1 28 49 3故直线 l 的方程为 3x ＋4y ＋3＝0 或 3x －4y ＋3＝0，y －y ＝±21y ＋y2 12－4y y1 23，故直线 BD 的方程为 3x ＋ 7y －3＝0 或3x － 7y －3＝0，又 KF 为∠BKD 的平分线，故可设圆心 M (t,0)(－1<t <1)，115 ， 4 ，由3|t ＋1| 3|t －1|得 t ＝或 t ＝9(舍去)．故圆 M 的半径为 r ＝ 3|t ＋1| 所以圆 M 的方程为 x － ⎪2＋y 2＝ .3|t ＋1| 3|t －1|M (t,0)到直线 l 及 BD 的距离分别为5 ＝ 4 ，1925 ＝3，⎛ 1⎫4 ⎝ 9⎭912。