Broyden方法解非线性方程组
broyden 法 -回复
broyden 法-回复关于Broyden法的原理和应用。
Broyden法是一种迭代法，用于求解非线性方程组的数值解。
它是通过近似逆Jacobi矩阵的方法，在每一次迭代中更新Jacobi矩阵的逆矩阵，从而更新模型中的解向量。
该方法被广泛应用于各个领域，包括数学建模、物理学、工程学等。
Broyden法的原理是基于牛顿法和拟牛顿法的思想。
在牛顿法中，我们通过不断迭代求解线性化的方程组来逼近方程的解。
拟牛顿法则是通过近似Hessian矩阵的逆矩阵来更新解向量。
Broyden法则是基于拟牛顿法，但使用Jacobi矩阵的逆矩阵（即Broyden矩阵）来更新解向量。
假设我们要求解的非线性方程组为F(x) = 0，其中x为未知量向量，F(x)为方程组的函数向量。
初始解向量x0可以通过任意方法选择。
使用Broyden法求解该方程组的过程如下：1. 初始化：选择初始解向量x0和对应的函数向量F(x0)，并计算初始Jacobi矩阵的逆矩阵B0。
2. 迭代计算：对于每一次迭代k，假设我们已经有了解向量xk和对应的函数向量F(xk)。
我们首先计算增量向量dk，使得F(xk+dk) = 0。
具体计算方法为：dk = -Bk * F(xk)。
其中Bk为Jacobi矩阵的逆矩阵。
3. 更新解向量：通过计算得到的增量向量dk更新解向量xk+1 = xk + dk。
4. 更新Jacobi矩阵的逆矩阵：通过计算得到的解向量增量dk和函数向量增量dF = F(xk+1) - F(xk)来更新Jacobi矩阵的逆矩阵Bk+1 = Bk + (dF - Bk * dk) * dk' / (dk' * dk)。
5. 判断停止条件：如果满足停止条件（如收敛到某个精度要求或达到最大迭代次数），则停止迭代。
否则，回到步骤2。
Broyden法的优点在于它的收敛速度相对较快，同时也不需要计算Hessian矩阵的逆矩阵。
这使得Broyden法在求解大型非线性方程组时非常适用。
非线性方程组的求解
非线性方程组的求解摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。
求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。
传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。
另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。
进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。
关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】 求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。
n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),...,(...0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1）式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ⋯, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。
若用向量记号，令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x ...X 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F nn n n n则方程组（1）也可表示为：0)(=X F（2） 其中：X ∈R n ,F ∶R n →R 0, F(X) ∈R n , R n 为赋值空间。
broyden 法
broyden 法Broyden方法：数值计算中的非线性方程求解方法引言在数值计算中，非线性方程的求解一直是一个重要的问题。
非线性方程在各个科学领域中广泛存在，例如在物理学、经济学、工程学和生物学等领域中。
为了解决这一问题，数学家们提出了许多方法。
其中之一就是Broyden方法，它是一种迭代算法，能够有效地求解非线性方程组。
Broyden方法的原理Broyden方法是通过求解雅可比矩阵的逆来进行迭代的。
具体来说，假设我们要求解一个非线性方程组F(x)=0，其中F(x)是一个向量函数，x是未知变量的向量。
Broyden方法的关键思想是利用已知的解向量和函数值来逼近雅可比矩阵的逆。
具体地说，我们假设已知一个初始矩阵B0作为雅可比矩阵的逆的近似。
然后，我们可以根据以下公式来计算下一个近似矩阵Bk+1：Bk+1 = Bk + (s - Bk y) (s^T Bk) / (s^T Bk y)其中，s是解向量的增量，即s = xk+1 - xk，y是函数值的增量，即y = F(xk+1) - F(xk)。
通过迭代计算，我们可以逐渐改进对雅可比矩阵逆的近似，从而得到逼近方程组解的序列{xk}。
Broyden方法的优势和应用相对于其他非线性方程求解方法，Broyden方法具有一些明显的优势。
首先，Broyden方法无需求解雅可比矩阵的矩阵方程，避免了对方程求解求导等复杂的计算。
其次，Broyden方法在迭代过程中能够快速收敛到解，尤其是对于初始矩阵的选择较好的情况下。
Broyden方法在众多领域中有着广泛的应用。
在物理学中，Broyden方法常用于求解多体问题中的非线性方程组，如经典力学和量子力学中的方程组。
在经济学中，Broyden方法可以用于计算经济模型中的均衡解。
在工程学中，Broyden方法可以用于求解复杂的工程系统中的非线性方程组。
在生物学中，Broyden方法可以用于建模和求解生物过程中的非线性方程组。
python的逆broyden秩1方法
python的逆broyden秩1方法Python的逆Broyden秩1方法是一种用于求解非线性方程组的数值方法。
它是对经典的Broyden方法的改进，具有更高的收敛速度和稳定性。
在本文中，我将详细介绍逆Broyden秩1方法的原理和实现步骤。
逆Broyden秩1方法的核心思想是通过逐步迭代来逼近非线性方程组的解。
首先，我们需要定义一个初始的近似解向量x0，并计算方程组在x0处的雅可比矩阵J0。
然后，我们可以通过以下迭代公式来更新近似解向量：x(k+1) = x(k) - J0^(-1) * f(x(k))其中，x(k)表示第k次迭代的近似解向量，f(x(k))表示方程组在x(k)处的函数值，J0^(-1)表示雅可比矩阵J0的逆矩阵。
在每次迭代中，我们需要更新雅可比矩阵J0。
逆Broyden秩1方法采用了Broyden秩1方法的思想，通过近似更新J0的逆矩阵。
具体来说，我们可以使用以下公式来更新J0的逆矩阵：B(k+1) = B(k) + (y(k) - B(k) * s(k)) * s(k)^T * B(k) / (s(k)^T * B(k) * y(k))其中，B(k)表示第k次迭代的J0的逆矩阵的近似，y(k)表示近似解向量的更新量，s(k)表示函数值的更新量。
逆Broyden秩1方法的收敛性和稳定性取决于初始解向量x0和初始逆雅可比矩阵B0的选择。
为了提高收敛速度和稳定性，我们可以使用一些启发式方法来选择初始解向量和初始逆雅可比矩阵。
例如，可以使用牛顿法的近似解向量作为初始解向量，并使用单位矩阵作为初始逆雅可比矩阵。
在实际应用中，逆Broyden秩1方法可以用于求解各种非线性方程组，如非线性方程、常微分方程组等。
它在科学计算和工程领域中具有广泛的应用。
由于逆Broyden秩1方法具有较高的收敛速度和稳定性，因此在实际求解中往往能够提供较好的解决方案。
为了实现逆Broyden秩1方法，我们可以使用Python编程语言。
broyden 法 -回复
broyden 法-回复什么是Broyden法？Broyden法是一种求解非线性方程组的数值方法，由英国数学家Charles George Broyden在1965年提出。
该方法通过使用一种迭代算法来逐步逼近方程组的解，而不需要计算每个迭代步骤的雅可比矩阵，从而提高计算效率。
Broyden法在科学和工程领域中被广泛应用，特别是在求解非线性优化问题和微分方程组中。
Broyden法的基本思想是使用迭代来改进解的逼近值。
假设我们有一个非线性方程组F(x) = 0，其中x是未知向量，F是向量函数。
初始迭代步骤中，我们需要给定一个初始逼近值x0，并计算对应的函数值F0 = F(x0)。
然后，我们需要计算一个初始的雅可比矩阵J0，它可以用任何一种方法计算得到，如有限差分法或解析方法。
迭代的过程中，我们需要更新逼近值x和函数值F，并计算一个近似的雅可比矩阵。
具体的步骤如下：步骤1：给定初始逼近值x0和函数值F0。
步骤2：计算初始雅可比矩阵J0。
步骤3：对于迭代步k，计算方程组的残差v：v = F(xk)。
步骤4：更新逼近值：xk+1 = xk - Jk^(-1) v。
步骤5：计算函数值的变化量：ΔF = F(xk+1) - F(xk)。
步骤6：通过更新逼近值的变化量和残差的变化量来计算新的雅可比矩阵：Jk+1 = Jk + (∆xk ⊗∆Fk) / (∆Fk^T ∆Fk) 。
步骤7：重复步骤3-6，直到满足收敛准则（例如，残差的绝对值小于给定阈值）。
Broyden法的核心是在每个迭代步骤中，通过使用上一步的雅可比矩阵和逼近值的变化量和函数值的变化量来计算新的雅可比矩阵。
这避免了在每个迭代步骤中重新计算雅可比矩阵，从而节省了计算时间和资源。
与其他求解非线性方程组的方法相比，Broyden法具有许多优点。
首先，它不需要计算雅可比矩阵的全局近似，而是通过迭代来逐步改进它。
这也意味着它不需要存储和更新完整的雅可比矩阵，从而减少了内存要求。
broyden 法 -回复
broyden 法-回复broyden 法是一种在数值计算中常用的方法，特别适用于求解非线性问题。
它的基本思想是利用一种迭代的方式来逼近非线性方程组的解。
在本文中，我将逐步介绍broyden 法的背景、原理以及实现步骤，以帮助读者理解和应用该方法。
1. 背景在科学和工程计算中，我们常常需要求解非线性方程组。
这些方程组通常包含大量的未知数和复杂的非线性关系，传统的解析方法常常不能很好地处理这类问题。
因此，数值计算方法成为了求解非线性方程组的主要手段之一。
broyden 法就是其中一种常用的数值方法。
2. 原理broyden 法的基本原理是通过近似求解Jacobi 矩阵来逼近方程组的解。
具体而言，我们首先假设Jacobi 矩阵已知，并利用其来计算方程组的解。
然后，我们根据方程组的残差更新Jacobi 矩阵的逆矩阵。
这样，我们可以通过迭代的方式不断改进Jacobi 矩阵的逆矩阵，直到达到收敛条件为止。
3. 实现步骤下面我将逐步介绍如何使用broyden 法来求解非线性方程组。
假设我们要求解方程组F(x) = 0，其中x 是未知的向量，F 是非线性函数。
步骤1：初始化首先，我们需要初始化方程组的解x0 和Jacobi 矩阵的逆矩阵B0。
这两个初始值可以根据问题的特点和先验知识来确定。
步骤2：计算残差利用当前解xk 和方程组F(xk) 计算残差向量r = F(xk)。
步骤3：检查收敛如果残差足够小，满足预设的收敛条件，那么我们迭代结束，当前解xk 就是方程组的近似解。
否则，我们继续迭代。
步骤4：更新解向量利用当前解xk 和Jacobi 逆矩阵的近似Bk，我们可以通过如下公式更新解向量：xk+1 = xk - Bk * r步骤5：计算改进向量利用更新后的解向量xk+1 和残差向量r 计算改进向量sk = xk+1 - xk。
步骤6：更新逆矩阵利用改进向量sk 和残差向量r，我们可以通过如下公式更新Jacobi 逆矩阵的近似Bk+1：Bk+1 = Bk + (sk - Bk * r) * r^T * Bk / (r^T * Bk * r)步骤7：返回步骤2利用更新后的逆矩阵Bk+1，我们回到步骤2继续计算残差，直到满足收敛条件为止。
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broyden 法-回复什么是Broyden法？Broyden法是数值分析中一种求解非线性方程组的方法。
它是由美国数学家Charles George Broyden在1965年提出的，并在1970年被公开发表。
Broyden法是一种迭代算法，通过使用方程组的雅可比矩阵的估计来逼近方程组的解。
相比于传统的牛顿法，Broyden法在计算过程中不需要求解雅可比矩阵，因此在一些情况下可以更加高效地求解非线性方程组。
Broyden法的基本原理是不断更新雅可比矩阵的估计，以逼近方程组的解。
具体来说，Broyden法通过不断地迭代来更新雅可比矩阵的估计值和解的估计值。
初始时，需要给定一个初始解的估计值和一个初始雅可比矩阵的估计值。
然后，在每一次迭代中，利用当前的解的估计值和雅可比矩阵的估计值，计算出一个方程组的增量向量。
再通过这个增量向量来更新解的估计值和雅可比矩阵的估计值。
通过不断地迭代，直到满足迭代终止条件，即可得到方程组的解的估计值。
Broyden法的迭代公式可以表示为：x_{k+1} = x_k - J^{-1}_k f(x_k)J_{k+1} = J_k + \frac{(s_k - J_k y_k)(s^T_k J_k)}{(s^T_k J_k y_k)}其中，x_k表示第k次迭代的解的估计值，J_k表示第k次迭代的雅可比矩阵的估计值，f(x_k)表示方程组的函数项，s_k表示第k次迭代得到的方程组的增量向量，y_k表示由当前和上一次迭代得到的方程组的增量向量构成的向量。
Broyden法的收敛性要求雅可比矩阵的估计值在每一次迭代中都是正定的。
如果雅可比矩阵的估计值在迭代过程中不再正定，则需要进行修正。
一种修正方法是重新计算雅可比矩阵的估计值。
总结起来，Broyden法通过迭代更新雅可比矩阵的估计值和解的估计值来求解非线性方程组。
它在一些情况下比传统的牛顿法更加高效，因为它不需要显式地求解雅可比矩阵。
broyden 法 -回复
broyden 法-回复什么是Broyden法？Broyden法是用于非线性方程组求解的一种迭代方法。
它是1970年由Broyden发明的，为了克服传统的牛顿法在求解非线性方程组时需要重复求解雅可比矩阵的缺点而提出的。
Broyden法通过逐步迭代来近似求解非线性方程组，可以在某些情况下比传统的牛顿法更加高效。
Broyden法的思想是在每次迭代中，使用一个近似的雅可比矩阵来代替实际的雅可比矩阵。
雅可比矩阵描述了非线性方程组中各个变量之间的关系，但求解实际的雅可比矩阵通常是非常耗时的。
Broyden法的关键思想是通过每次迭代更新近似的雅可比矩阵，使得近似的雅可比矩阵逐渐趋近于实际的雅可比矩阵，从而逐步逼近非线性方程组的解。
Broyden法有两个主要步骤：初始化和迭代更新。
在初始化阶段，需要选择初始近似解和初始近似雅可比矩阵。
通常，可以选择线性方程组的初始解作为非线性方程组的初始近似解，并使用单位矩阵作为初始近似雅可比矩阵。
在迭代更新阶段，首先需要计算当前近似解下的残差向量，即将当前近似解代入非线性方程组中得到的结果与零向量之间的差。
然后，根据近似雅可比矩阵和残差向量的信息，计算一个修正向量，表示当前近似解的修正方向。
修正向量可以通过求解一个线性系统得到，该线性系统的系数矩阵由近似雅可比矩阵和残差向量构成。
接下来，使用修正向量对当前近似解进行更新，并更新近似雅可比矩阵。
修正向量可以通过修正公式得到，该修正公式可以根据实际雅可比矩阵和近似雅可比矩阵之间的差异来调整近似雅可比矩阵。
经过若干次迭代后，近似雅可比矩阵将逐渐趋近于实际雅可比矩阵，从而近似解也将逐步逼近非线性方程组的解。
Broyden法具有许多优点。
首先，相比传统的牛顿法，它不需要每次迭代都计算雅可比矩阵，从而节省了计算时间。
其次，Broyden法适用于非线性方程组求解的广泛领域，包括物理学、经济学、计算机图形学等。
此外，Broyden法还具有很好的稳定性和收敛性能。
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broyden 法-回复什么是Broyden法？Broyden法是一种用于求解非线性方程组的数值方法。
它是由Charles Broyden在1965年提出的，用于解决不依赖于Jacobian矩阵的非线性问题。
在很多情况下，计算Jacobian矩阵的代价很高，甚至是不可行的，因此Broyden法成为了求解非线性问题的一种有效选择。
Broyden法的基本思想是通过迭代逼近方程组的解，将问题转化为求解一个适当的迭代函数。
该迭代函数的构造基于以下的近似：在每次迭代中，通过利用先前迭代的信息来近似Jacobian矩阵，从而避免了计算Jacobian矩阵的开销。
具体来说，假设我们要解决一个n元非线性方程组F(x)=0，其中F(x)是一个从n维实空间到n维实空间的函数。
我们可以用一个n维向量x0作为初始近似解，并通过以下迭代公式来计算下一个近似解x1：x1 = x0 + H * F(x0)在上述公式中，H是一个n×n的近似Jacobian矩阵的逆，它既可以是初始矩阵，也可以通过Broyden方法进行迭代更新。
下面，我们将逐步演示使用Broyden法求解一个二元非线性方程组的过程。
1. 初始化- 选择初始的近似解x0。
- 初始化近似Jacobian矩阵H。
2. 计算残差向量- 计算残差向量r = F(x0)。
3. 更新近似Jacobian矩阵- 计算方向向量s = H * r。
- 更新Jacobian矩阵H = H + ( (x1 - x0 - H * r) * s^T ) / (s^T * s) 。
4. 计算下一个近似解- 通过x1 = x0 - s求解下一个近似解。
5. 判断收敛性- 如果近似解已满足收敛条件（如残差小于某个阈值），则停止迭代并得到最终解。
- 否则，将x1作为x0，返回第2步继续迭代。
通过以上的迭代过程，我们可以逐步逼近方程组的解。
Broyden法的关键之处在于如何更新Jacobian矩阵的近似，这决定了迭代的有效性和收敛的速度。
broyden 法 -回复
broyden 法-回复什么是Broyden法？Broyden法是一种数值方法，用于解决非线性方程组或优化问题。
它是由美国数学家Charles W. Broyden在1965年引入的。
Broyden法的主要目标是在不通过任何导数信息的情况下，尽可能快地计算出方程组的解。
现在，让我们一步一步地了解Broyden法的实现过程。
步骤1：初始化首先，我们需要初始化一些参数。
假设我们要解决一个n个未知变量的非线性方程组，我们需要初始化初始猜测值x0，并计算出相应的函数值f(x0)。
步骤2：计算初始雅可比矩阵接下来，我们需要计算一个初始的雅可比矩阵J0。
雅可比矩阵是方程组的导数矩阵，用于描述函数值随变量变化的速度。
步骤3：迭代计算通过以下步骤进行迭代计算，直到达到收敛条件为止：3.1 计算步长deltax我们首先计算步长deltax，用于更新解的猜测值。
步长的计算可以使用以下公式：deltax = -Jk^(-1) * f(xk)，其中Jk是当前迭代步骤k的雅可比矩阵，f(xk)是函数在当前解猜测值xk上的函数值。
3.2 更新解猜测值使用步长deltax，我们可以更新解的猜测值xk+1 = xk + deltax。
3.3 计算函数值的变化我们计算函数在新解猜测值上的函数值变化，即deltaf = f(xk+1) - f(xk)。
3.4 更新雅可比矩阵根据Broyden法的原理，我们可以使用以下公式更新雅可比矩阵：Jk+1 = Jk + (deltaf - Jk * deltax) * deltax^T/ (deltax^T * deltax)。
3.5 判断是否收敛我们可以通过计算一个收敛判据来判断迭代是否达到收敛状态。
常用的收敛判据有两个：1)函数在解猜测值上的函数值变化是否小于给定的阈值；2)解猜测值的变化是否小于给定的阈值。
如果达到其中一个收敛判据，迭代过程停止，解猜测值就是我们要求解的方程组的近似解；否则，返回步骤3.1进行下一次迭代。
用牛顿法解非线性方程组
迭代五次的结果为：
x1 =
0.5000
-0.0000
-0.5236
非线性方程组的解为：
x0 =
0.5000
-0.0000
-0.5236
A=inv(dFx);
k=0;
%===============================
% Newon迭代法核心程序
while norm(Fx)>1e-10
x1=x0-A*Fx; % 核心迭代公式
k=k+1;
if k==5
disp('迭代五次的结果为：') ;
x1
elseif k>=100
disp('迭代次数过多，不收敛!');
用牛顿法解非线性方程组牛顿法解非线性方程组非线性方程组数值解法非线性方程组的解法非线性方程组迭代解法非线性方程组解法牛顿迭代法解方程组matlab解非线性方程组解非线性方程组fsolve解非线性方程组
四、（上机题）分别用Newton法和Broyden法求解下面非线性方程组
（要求：用Matlab编程，并附上源代码及迭代五次的结果，初值可取 ）
f3=exp(-x*y)+20*z+1/3*(10*pi-3);
F=[f1;f2;f3];
%===============================
Fx = subs(F,{x,y,z},x0);
dF = Jacobian(F); % 求雅克比矩阵
dFx = subs(dF,{x,y,z},x0);
第四题：
Newton法：myNewton..m
function[t]=myNewton(x0) % x0为初始值向量
broyden 法 -回复
broyden 法-回复什么是Broyden法？如何实施Broyden法？Broyden法在哪些领域被广泛应用？Broyden法是一种用于非线性方程组求解的数值方法。
它的核心思想是利用迭代更新的方式逼近非线性方程组的解，通过估计雅可比矩阵的逆来进行迭代求解。
Broyden法的优点在于它的收敛性和高效性，能够有效地解决非线性方程组，并且适用于多种问题和领域。
那么，如何实施Broyden法呢？下面将一步一步回答这个问题。
1. 确定非线性方程组的初值：首先需要确定非线性方程组的初值，这样才能够进行后续的迭代计算。
初值的选择会直接影响到Broyden法的收敛性和计算效率。
2. 计算雅可比矩阵的近似值：在Broyden法中，我们需要通过雅可比矩阵的近似值来进行迭代计算。
雅可比矩阵的近似值决定了迭代的速度和收敛性。
一种常用的估计雅可比矩阵近似值的方法是利用前一步的解和方程误差的差值来更新雅可比矩阵的逆。
3. 更新解向量：利用雅可比矩阵的逆和方程的误差向量来更新解向量。
通过迭代更新解向量，直到满足预设的收敛准则。
更新解向量的过程可以通过线性方程组的求解来实现，可以使用LU分解等方法来求解。
4. 检查解的准确性和收敛性：在每一次迭代结束之后，需要检查求解得到的解向量的准确性和收敛性。
通常可以计算方程组的误差向量，并与预设的收敛准则进行比较，以判断解向量的准确性和迭代的收敛性。
Broyden法在许多领域被广泛应用。
其中一项主要的应用领域是计算机科学和数值计算。
Broyden法可以用于求解复杂的非线性问题，例如在模拟和优化问题中的方程组求解。
此外，Broyden法也常被用于经济学、物理学和工程学等领域的模型求解。
在这些领域中，非线性方程组求解是一个常见且重要的问题，因此Broyden法具有很高的应用价值。
总结起来，Broyden法是一种用于求解非线性方程组的方法，通过迭代更新解向量和估计雅可比矩阵的逆来进行求解。
它具有高效性和广泛的应用领域，可以用于计算机科学、数值计算、经济学、物理学和工程学等领域的问题求解。
非线性方程组的逆Broyden秩1拟Newton方法及其在MATLAB中的实现
Ak +1 = Ak + ΔA k .
( 5)
其中 ΔA k 为增量矩阵且 rank (ΔA k) ≥1 . 式 (3) ～ (5) 便构成 Bro yden 拟 Newto n 法公式.
这里仅考虑 rank (ΔAk) = 1 时的方法 ,即 B ro yden 秩 1 拟 Newto n 方法.
)
T
Bk.
从而可得到与式 (13) 相应的 Broy den 秩 1 公式 :
x ( k +1) = x ( k) - Bk F ( x( k) ) ,
p ( k) = x ( k+ 1) - x ( k) ,
q ( k) = F ( x ( k +1) ) - F ( x ( k) ) ,
[ A k + u ( k) ( v ( k) ) T ] - 1 =
( Ak + ΔA k) - 1 =
A
k
1 +1.
( 14) ( 15)
由式(9 ) , (10 ) 得
A
-1 k
u
(
k)
=
A
k
1
q ( k) - A kp ( k) ( v ( k) ) T p ( k)
=
A
k
1
q
(
k)
-
broyden 法
Broyden法是一种用于解决非线性方程组的数值方法。
它通过迭代的方式逼近方程组的解，其关键在于逐步更新雅可比矩阵的近似值。
具体来说，Broyden法在初始迭代时先对雅可比矩阵进行一次估计，然后在后续的迭代过程中，通过更新雅可比矩阵的近似值来逐步逼近方程组的解。
更新雅可比矩阵的公式如下：B_{k+1} = B_k + \frac{(y_k - B_k s_k) s_k^T B_k}{s_k^T B_k s_k}其中，B_k是第k次迭代的雅可比矩阵的近似值，y_k = F(x_{k+1}) - F(x_k)是当前迭代的函数值的差异，s_k = x_{k+1} - x_k是当前迭代的变量的差异。
Broyden法通过不断更新雅可比矩阵的近似值，试图在迭代过程中逐步改进线性化的近似效果，从而提高求解非线性方程组的精度。
它的收敛性和稳定性取决于雅可比矩阵的初始估计和更新公式中的约束条件。
为了确保收敛性，需要选择一个合适的雅可比矩阵的初始估计，并且在每次迭代中保持雅可比矩阵的正定性。
这可以通过选择合适的更新公式来实现。
Broyden法的优势在于它避免了牛顿法中每次迭代都需要计算雅可比矩阵的逆矩阵，从而提高了计算效率。
然而，它并不适用于所有的非线性方程组，在一些复杂的情况下可能会遇到问题，例如发散或收敛到错误的解。
因此，在应用Broyden法时，需要仔细选择合适的参数和初始估计，并进行必要的数值检验。
总之，Broyden法是一种用于解决非线性方程组的数值方法，通过迭代的方式逼近方程组的解。
它的关键在于逐步更新雅可比矩阵的近似值，从而提高求解非线性方程组的精度和计算效率。
但需要注意的是，它并不适用于所有的非线性方程组，需要根据具体情况选择合适的方法。
broyden 法 -回复
broyden 法-回复什么是Broyden法？Broyden法是一种用于数值优化问题的迭代算法。
该算法能够在求解非线性方程组时提供一种有效的方法。
Broyden法以其发明者Charles George Broyden的名字命名，他在1965年首次提出了这种方法。
Broyden法的基本思想是通过逐步逼近Jacobi矩阵来迭代地求解非线性方程组。
在每一步迭代中，Jacobi矩阵被近似为一个迭代矩阵。
该迭代矩阵的构造使用了最小化目标函数的思想，以使得迭代矩阵更接近Jacobi 矩阵。
通过逐步改进迭代矩阵，Broyden法能够快速且稳定地求解非线性方程组。
Broyden法的步骤如下：步骤1：初始化变量和参数首先，需要给定一个初始矩阵或向量来近似Jacobi矩阵。
通常情况下，初始矩阵可以选择为单位矩阵。
同时，还需要设置一些迭代参数，例如迭代次数、收敛准则等。
这些参数的设置将直接影响到算法的收敛性和计算效率。
步骤2：计算目标函数根据给定的非线性方程组，计算目标函数的值。
这里的目标函数是一个关于未知变量的函数，其值描述了方程组的解与已知条件之间的差异。
步骤3：计算迭代矩阵基于当前迭代步骤的目标函数值，通过一定的数学方法计算迭代矩阵。
这个迭代矩阵将作为Jacobi矩阵的近似值。
步骤4：更新未知变量根据迭代矩阵和目标函数的值，计算出未知变量的新近似值。
这个新的近似值将用于下一步迭代。
步骤5：检查收敛性根据设定的收敛准则，判断迭代算法是否已经达到收敛。
如果算法并未收敛，则继续执行步骤2-4，直到收敛。
步骤6：输出结果如果迭代算法成功收敛，将当前的未知变量近似值作为最终解输出。
这个解将满足原始非线性方程组的所有约束条件。
总结：Broyden法是一种求解非线性方程组的迭代算法，能够快速并且稳定地求解这类问题。
该算法通过迭代矩阵的逐步改进，逼近Jacobi矩阵，从而得到原始方程组的解。
Broyden法在实际应用中具有广泛的适用性，并在科学计算、工程优化等领域得到了广泛的应用。
broyden 法 -回复
broyden 法-回复什么是Broyden法？Broyden法是一种准牛顿法（quasi-Newton method），用于求解非线性方程组的数值方法。
它是由Charles George Broyden于1965年提出的，旨在解决传统的牛顿法在计算雅可比矩阵时可能产生的高额计算成本。
在传统牛顿法中，为了迭代求解非线性方程组，需要计算每个迭代步骤中的雅可比矩阵。
而计算雅可比矩阵可能需要大量的计算和存储资源，并且当方程组变得非常大或非线性变化很复杂时，计算雅可比矩阵的代价会相当高。
Broyden法提供了一种更有效的解决方案。
Broyden法的基本思想是利用迭代步骤中计算得到的更新矩阵来近似雅可比矩阵。
首先，需要对计算非线性方程组的初始解进行初始化，然后根据初始解计算雅可比矩阵的逆矩阵的近似（即初始的更新矩阵）。
接下来，在每个迭代步骤中，对于给定的非线性方程组解，利用Broyden更新矩阵去近似雅可比矩阵。
利用这种更新矩阵，可以迭代地求解方程组，最终收敛到所需的解。
Broyden法的迭代公式可以表示为：x(n+1) = x(n) - B(n)f(x(n))其中，x(n)表示第n个迭代步骤中的解向量，B(n)表示第n个迭代步骤中的更新矩阵，f(x(n))表示非线性方程组在x(n)处的函数值。
Broyden法的主要优势在于不需要显式地计算雅可比矩阵，从而节省了计算和存储资源。
此外，Broyden法还具有适用性广泛、收敛速度较快等优点。
然而，Broyden法也存在一些限制，例如对于高度非线性的方程组，可能需要更多的迭代步骤和更新矩阵的计算。
为了更好地理解Broyden法的工作原理和性能，可以考虑以下步骤：步骤1：初始化首先，需要进行初始化，选择初始解向量x(0)，并计算初始解向量x(0)处的函数值f(x(0))。
步骤2：计算初始更新矩阵利用初始解向量x(0)和函数值f(x(0))，计算初始更新矩阵B(0)。
Broyden方法求解非线性方程组的Matlab实现
Broyden方法求解非线性方程组的Matlab实现注：matlab代码来自网络，仅供学习参考。
1.把以下代码复制在一个.m文件上function [sol, it_hist, ierr] = brsola(x,f,tol, parms)% Broyden's Method solver, globally convergent% solver for f(x) = 0, Armijo rule, one vector storage%% This code comes with no guarantee or warranty of any kind.%% function [sol, it_hist, ierr] = brsola(x,f,tol,parms)%% inputs:% initial iterate = x% function = f% tol = [atol, rtol] relative/absolute% error tolerances for the nonlinear iteration% parms = [maxit, maxdim]% maxit = maxmium number of nonlinear iterations% default = 40% maxdim = maximum number of Broyden iterations% before restart, so maxdim-1 vectors are% stored% default = 40%% output:% sol = solution% it_hist(maxit,3) = scaled l2 norms of nonlinear residuals % for the iteration, number function evaluations,% and number of steplength reductions% ierr = 0 upon successful termination% ierr = 1 if after maxit iterations% the termination criterion is not satsified.% ierr = 2 failure in the line search. The iteration% is terminated if too many steplength reductions% are taken.%%% internal parameter:% debug = turns on/off iteration statistics display as% the iteration progresses%% alpha = 1.d-4, parameter to measure sufficient decrease %% maxarm = 10, maximum number of steplength reductions before % failure is reported%% set the debug parameter, 1 turns display on, otherwise off%debug=1;%% initialize it_hist, ierr, and set the iteration parameters%ierr = 0; maxit=40; maxdim=39;it_histx=zeros(maxit,3);maxarm=10;%if nargin == 4maxit=parms(1); maxdim=parms(2)-1;endrtol=tol(2); atol=tol(1); n = length(x); fnrm=1; itc=0; nbroy=0; %% evaluate f at the initial iterate% compute the stop tolerance%f0=feval(f,x);fc=f0;fnrm=norm(f0)/sqrt(n);it_hist(itc+1)=fnrm;it_histx(itc+1,1)=fnrm; it_histx(itc+1,2)=0;it_histx(itc+1,3)=0;fnrmo=1;stop_tol=atol + rtol*fnrm;outstat(itc+1, :) = [itc fnrm 0 0];%% terminate on entry?%if fnrm < stop_tolsol=x;returnend%% initialize the iteration history storage matrices%stp=zeros(n,maxdim);stp_nrm=zeros(maxdim,1);lam_rec=ones(maxdim,1);%% Set the initial step to -F, compute the step norm%lambda=1;stp(:,1) = -fc;stp_nrm(1)=stp(:,1)'*stp(:,1);%% main iteration loop%while(itc < maxit)%nbroy=nbroy+1;%% keep track of successive residual norms and% the iteration counter (itc)%fnrmo=fnrm; itc=itc+1;%% compute the new point, test for termination before% adding to iteration history%xold=x; lambda=1; iarm=0; lrat=.5; alpha=1.d-4;x = x + stp(:,nbroy);fc=feval(f,x);fnrm=norm(fc)/sqrt(n);ff0=fnrmo*fnrmo; ffc=fnrm*fnrm; lamc=lambda;%%% Line search, we assume that the Broyden direction is an% ineact Newton direction. If the line search fails to% find sufficient decrease after maxarm steplength reductions % brsola returns with failure.%% Three-point parabolic line search%while fnrm >= (1 - lambda*alpha)*fnrmo && iarm < maxarm% lambda=lambda*lrat;if iarm==0lambda=lambda*lrat;elselambda=parab3p(lamc, lamm, ff0, ffc, ffm);endlamm=lamc; ffm=ffc; lamc=lambda;x = xold + lambda*stp(:,nbroy);fc=feval(f,x);fnrm=norm(fc)/sqrt(n);ffc=fnrm*fnrm;iarm=iarm+1;end%% set error flag and return on failure of the line search%if iarm == maxarmdisp('Line search failure in brsola ')ierr=2;it_hist=it_histx(1:itc+1,:);sol=xold;return;end%% How many function evaluations did this iteration require?%it_histx(itc+1,1)=fnrm;it_histx(itc+1,2)=it_histx(itc,2)+iarm+1;if(itc == 1) it_histx(itc+1,2) = it_histx(itc+1,2)+1; end;it_histx(itc+1,3)=iarm;%% terminate?%if fnrm < stop_tolsol=x;rat=fnrm/fnrmo;outstat(itc+1, :) = [itc fnrm iarm rat];it_hist=it_histx(1:itc+1,:);% it_hist(itc+1)=fnrm;if debug==1disp(outstat(itc+1,:))endreturnend%%% modify the step and step norm if needed to reflect the line % search%lam_rec(nbroy)=lambda;if lambda ~= 1stp(:,nbroy)=lambda*stp(:,nbroy);stp_nrm(nbroy)=lambda*lambda*stp_nrm(nbroy);end%%% it_hist(itc+1)=fnrm;rat=fnrm/fnrmo;outstat(itc+1, :) = [itc fnrm iarm rat];if debug==1disp(outstat(itc+1,:))end%%% if there's room, compute the next search direction and step norm and% add to the iteration history%if nbroy < maxdim+1z=-fc;if nbroy > 1for kbr = 1:nbroy-1ztmp=stp(:,kbr+1)/lam_rec(kbr+1);ztmp=ztmp+(1 - 1/lam_rec(kbr))*stp(:,kbr);ztmp=ztmp*lam_rec(kbr);z=z+ztmp*((stp(:,kbr)'*z)/stp_nrm(kbr));endend%% store the new search direction and its norm%a2=-lam_rec(nbroy)/stp_nrm(nbroy);a1=1 - lam_rec(nbroy);zz=stp(:,nbroy)'*z;a3=a1*zz/stp_nrm(nbroy);a4=1+a2*zz;stp(:,nbroy+1)=(z-a3*stp(:,nbroy))/a4;stp_nrm(nbroy+1)=stp(:,nbroy+1)'*stp(:,nbroy+1);%%%else%% out of room, time to restart%stp(:,1)=-fc;stp_nrm(1)=stp(:,1)'*stp(:,1);nbroy=0;%%%end%% end whileend%% We're not supposed to be here, we've taken the maximum% number of iterations and not terminated.%sol=x;it_hist=it_histx(1:itc+1,:);ierr=1;if debug==1disp(' outstat')endfunction lambdap = parab3p(lambdac, lambdam, ff0, ffc, ffm)% Apply three-point safeguarded parabolic model for a line search. %% This code comes with no guarantee or warranty of any kind.%% function lambdap = parab3p(lambdac, lambdam, ff0, ffc, ffm)%% input:% lambdac = current steplength% lambdam = previous steplength% ff0 = value of \| F(x_c) \|^2% ffc = value of \| F(x_c + \lambdac d) \|^2% ffm = value of \| F(x_c + \lambdam d) \|^2%% output:% lambdap = new value of lambda given parabolic model%% internal parameters:% sigma0 = .1, sigma1=.5, safeguarding bounds for the linesearch%%% set internal parameters%sigma0=.1; sigma1=.5;%% compute coefficients of interpolation polynomial%% p(lambda) = ff0 + (c1 lambda + c2 lambda^2)/d1%% d1 = (lambdac - lambdam)*lambdac*lambdam < 0% so if c2 > 0 we have negative curvature and default to% lambdap = sigam1 * lambda%c2 = lambdam*(ffc-ff0)-lambdac*(ffm-ff0);if c2 >= 0lambdap = sigma1*lambdac; returnendc1=lambdac*lambdac*(ffm-ff0)-lambdam*lambdam*(ffc-ff0);lambdap=-c1*.5/c2;if (lambdap < sigma0*lambdac) lambdap=sigma0*lambdac; endif (lambdap > sigma1*lambdac) lambdap=sigma1*lambdac; end2.应用举例把以下代码复制在command 窗口中x=[1 2 3]’;f=@(x)[3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06;exp(-x(1)*x(2))+20*x(3)+(10*pi-3)/3;];tol=[3,-5];[sol, it_hist, ierr] = brsola(x,f,tol)说明：以上应用举例只是给出了上文中代码的一个应用实例，具体能否得到方程的满意数值解还需要进一步调节初始给的x和tol的值。
3-7变量非线性方程组的逆Broyden解法matlab程序
3-7变量非线性方程组的逆Broyden解法matlab程序function n_broydenclear all %清内存clc %清屏format longi=input('请输入非线性方程组个数(3-7)i=');switch icase 3syms x y zx0=input('请输入初值（三维列向量[x;y;z])=');eps=input('请输入允许的误差精度eps=');f1=input('请输入f1(x,y,z)=');f2=input('请输入f2(x,y,z)=');f3=input('请输入f3(x,y,z)=');F=[f1;f2;f3];J=jacobian(F,[x,y,z]); %求jacobi矩阵Fx0=subs(F,{x,y,z},x0);Jx0=subs(J,{x,y,z},x0);H=inv(Jx0);x1=x0-H*Fx0;k=0;while norm(x1-x0)>eps %用2范数来做循环条件p=x1-x0;q=subs(F,{x,y,z},x1)-subs(F,{x,y,z},x0);H=H-((H*q-p)*p'*H)*(p'*H*q)^-1;x0=x1;Fx0=subs(F,{x,y,z},x0);x1=x1-H*Fx0;k=k+1;endx1kcase 4syms a b c dx0=input('请输入初值（列向量[a;b;c;d])=');eps=input('请输入允许的误差精度eps=');f1=input('请输入f1(a,b,c,d)=');f2=input('请输入f2(a,b,c,d)=');f3=input('请输入f3(a,b,c,d)=');f4=input('请输入f4(a,b,c,d)=');F=[f1;f2;f3;f4];J=jacobian(F,[a,b,c,d]); %求jacobi矩阵Fx0=subs(F,{a,b,c,d},x0);Jx0=subs(J,{a,b,c,d},x0);H=inv(Jx0);x1=x0-H*Fx0;k=0;while norm(x1-x0)>eps %用2范数来做循环条件 p=x1-x0;q=subs(F,{a,b,c,d},x1)-subs(F,{a,b,c,d},x0);H=H-((H*q-p)*p'*H)*(p'*H*q)^-1;x0=x1;Fx0=subs(F,{a,b,c,d},x0);x1=x1-H*Fx0;k=k+1;endx1kcase 5syms a b c d ex0=input('请输入初值（列向量[a;b;c;d;e])='); eps=input('请输入允许的误差精度eps=');f1=input('请输入f1(a,b,c,d,e)=');f2=input('请输入f2(a,b,c,d,e)=');f3=input('请输入f3(a,b,c,d,e)=');f4=input('请输入f4(a,b,c,d,e)=');f5=input('请输入f5(a,b,c,d,e)=');F=[f1;f2;f3;f4;f5];J=jacobian(F,[a,b,c,d,e]); %求jacobi矩阵Fx0=subs(F,{a,b,c,d,e},x0);Jx0=subs(J,{a,b,c,d,e},x0);H=inv(Jx0);x1=x0-H*Fx0;while norm(x1-x0)>eps %用2范数来做循环条件 p=x1-x0;q=subs(F,{a,b,c,d,e},x1)-subs(F,{a,b,c,d,e},x0); H=H-((H*q-p)*p'*H)*(p'*H*q)^-1;x0=x1;Fx0=subs(F,{a,b,c,d,e},x0);x1=x1-H*Fx0;k=k+1;endx1kcase 6syms a b c d e fx0=input('请输入初值（列向量[a;b;c;d;e;f])='); eps=input('请输入允许的误差精度eps=');f1=input('请输入f1(a,b,c,d,e,f)=');f2=input('请输入f2(a,b,c,d,e,f)=');f3=input('请输入f3(a,b,c,d,e,f)=');f4=input('请输入f4(a,b,c,d,e,f)=');f5=input('请输入f5(a,b,c,d,e,f)=');f6=input('请输入f6(a,b,c,d,e,f)=');F=[f1;f2;f3;f4;f5;f6];J=jacobian(F,[a,b,c,d,e,f]); %求jacobi矩阵Fx0=subs(F,{a,b,c,d,e,f},x0);Jx0=subs(J,{a,b,c,d,e,f},x0);H=inv(Jx0);x1=x0-H*Fx0;k=0;while norm(x1-x0)>eps %用2范数来做循环条件 p=x1-x0;q=subs(F,{a,b,c,d,e,f},x1)-subs(F,{a,b,c,d,e,f},x0); H=H-((H*q-p)*p'*H)*(p'*H*q)^-1;x0=x1;Fx0=subs(F,{a,b,c,d,e,f},x0);x1=x1-H*Fx0;k=k+1;endkcase 7syms a b c d e f gformat longx0=input('请输入初值（列向量[a;b;c;d;e;f;g])=');eps=input('请输入允许的误差精度eps=');f1=input('请输入f1(a,b,c,d,e,f,g)=');f2=input('请输入f2(a,b,c,d,e,f,g)=');f3=input('请输入f3(a,b,c,d,e,f,g)=');f4=input('请输入f4(a,b,c,d,e,f,g)=');f5=input('请输入f5(a,b,c,d,e,f,g)=');f6=input('请输入f6(a,b,c,d,e,f,g)=');f7=input('请输入f7(a,b,c,d,e,f,g)=');F=[f1;f2;f3;f4;f5;f6;f7];J=jacobian(F,[a,b,c,d,e,f,g]); %求jacobi矩阵Fx0=subs(F,{a,b,c,d,e,f,g},x0);Jx0=subs(J,{a,b,c,d,e,f,g},x0);H=inv(Jx0);x1=x0-H*Fx0;k=0;while norm(x1-x0)>eps %用2范数来做循环条件p=x1-x0;q=subs(F,{a,b,c,d,e,f,g},x1)-subs(F,{a,b,c,d,e,f,g},x0); H=H-((H*q-p)*p'*H)*(p'*H*q)^-1;x0=x1;Fx0=subs(F,{a,b,c,d,e,f,g},x0);x1=x1-H*Fx0;k=k+1;endx1kendend。
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用Broyden 方法求解非线性方程
沈欢
北京大学工学院，北京100871
2011年10月26日
摘要
用Broyden 方法求解给定的非线性方程组。
1问题描述
用Broyden 方法计算非线性方程组(x 1+3)(x 32−7)+18=0
(1)sin (x 2e x 1−1)=0(2)
的解，取初始猜测为−→x 0
=(−0.5,1.4)T 。
2问题分析
通过观察不难看出(0,1)点是方程的一个精确解。
取初始猜测−→x 0=(−0.5,1.4)T 在精确解附近，可以用Broyden 方法求解。
设：−−−−−−→F (x 1,x 2)=F 1(x 1,x 2)−→i +F 2(x 1,x 2)−→j 其中F 1(x 1,x 2)=
(x 1+3)(x 32−7)+18;F 2(x 1,x 2)=sin (x 2e
x 1−1)。
3Broyden 算法
Broyden 算法类似于牛顿方法，它通过在已知的雅可比矩阵上加上一个修正项得到新的雅可比矩阵，从而避免了牛顿方法计算雅可比矩阵的复杂度。
Broyden 算法如图一所示。
Broyden 算法说明：a )初始迭代点取−→x 0
=(−0.5,1.4)T ;初始的雅可比矩阵的近似矩阵取为真实的雅可比矩阵，即：A =∇F (−→x )= x 32−73(x 1+3)x 22cos (x 2e x 1−1)∗x 2∗e x 1cos (x 2e x 1−1)∗e x 1
(3)1
图1:Broyden方法的算法简图
A0=∇F(−→x)=
−4.256014.7000
0.83950.5996
(4)
取精度为10−8。
并计算得到−→x1=[−0.0553,1.0281]T。
b)在每步迭代中用−→
x k和−−→
x k−1来估计新的雅可比近似矩阵。
A k=A k−1+g k−A k−1.y k
y
k
.y k
∗y T k(5)
其中：g k=F(−−→
x k−1)−F(−→
x k),y k=−−→
x k−1−−→
x k。
c)解线性方程
A k∗−→s=−F(−→
x k)(6)得到位移向量−→
x k,从而计算出新的迭代点；
−−→
x k+1=−→
x k+−→s(7) 4计算结果
调用所编写的函数[roots,flag]=Broyden,得到结果roots=[0.0000,1.0000]T,flag=6。
说明，当初值取−→x0=(−0.5,1.4)T时，经过6次迭代得到该非线性方程组满足精度要求的解x1=0.0000,x2=1.0000。
与理论解比较，Broyden方法给出的结果非常准确，且迭代次数较少，收敛速度很高。
2
参考文献
[1]汤华中，《数值方法：原理、算法和应用》讲义.
3。