二次函数学案(全章)

.

第1课时 二次函数的概念

一、学习准备

1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。

2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活

3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵

树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。

4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。

5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？

一般地，形如y ＝ax 2

+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。

例1 下列函数中，哪些是二次函数？

(1)2

321x

y +-= (2)112+=x y

(3)x y 222

+=

(4)251t t s ++= (5)

22)3(x x y -+= (6)210r s π=

即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)

2x y = (2)25213

2+-=x x y (3))

1(+=x x y (4)1132

--=）（x y (5)

c

ax y -=2

(6)12+=x s 三、挖掘教材

6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数

12

32

++=+-kx x y k k

是二次函数，求k 的值。

分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解：

即时练习：若函数1)3(2

32

++-=+-kx x k y k k

是二次函数，则k 的值为 。

四、反思小结

1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。

2．定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax²+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式：

(1) y=ax² (a≠0)； (2) y=ax²+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax²+bx (a≠0且b≠0)。

4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。

第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质

一、学习准备

1．正比例函数y=kx(k ≠0)是图像是 。 2．一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是 。

3．反比列函数y=k

x

(k ≠0)的图像是 。 4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤是： ， ， 。 二、解读教材

5．试作出二次函数y ＝x 2的图象。

②描点：（在右图坐标系中描点） ③连线：（应注意用光滑的曲线连接各点） （2）根据图像，进行小结：

①y ＝x 2的图像是 ，且开口方向是 。

②它是 对称图像，对称轴是 轴。在对称轴的左侧（x>0）,y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧（x<0），y 随x 的增大而 。 ③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点此时，坐标为（ ， ）。

④因为图像有最低点，所以函数有最 值，当x=0时，y 最小= 。6．变式训练1 作出二次函数y ＝-x 2的图象。 小结：①y ＝-x 2的图像是 ，且开口向 。

②对称轴是 ，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y 随x ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大 。 ③顶点坐标是：（ ， ），且从图像看出它有最 点，所以函数有最 7．变式训练2 作出y ＝2x 2

，y ＝0.5x 2

的图像。

三、挖掘教材

8．根据上面的图象，从图象的开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标、最值等五个方面进行归纳。

同时，a决定图象在同一直角坐标系中的开口方向，|a|越小图象开口。

9．例已知：抛物线10

2-

+

=m

m

mx

y，当x>0时，y随x的增大而增大，求m的值。

分析：①函数10

2-

+

=m

m

mx

y的图象是抛物线，则它是二次函数，所以m2+m-10=2，且m≠0；

②当x>0时，y随x的增大而增大，所以m>0。

解：由题意得：

⎩

⎨

⎧

≠

=

-

+

2

10

2

m

m

m

解得：

⎩

⎨

⎧

≠

-

=

=

4

3

m

m

m或

又∵当x>0时，y随x的增大而增大，所以m>0。∴m=3

10．已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8），（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。

四、反思小结

二次函数的y＝ax2（a≠0）的图象与性质：五个方面理解：，，，，。

第3课时二次函数y＝ax2+k的图象与性质

【学习过程】一、学习准备1．画出两条抛物线的草图并填空。

二、解读教材2．用描点法作出二次函数y＝2x2+1的图像。

小结：①y＝2x2+1的图像是，且开口向。

②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：

在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而。

③顶点是：( ，)，且从图像看它有最点，则函数y有最值，即当x= 时y有最值是。

3．在同一直角坐标系中，作出二次函数y＝-x2，y＝-x2+2，y＝-x2-2的图像。

小结：

①抛物线y＝ax2+k的开口方向由决定，当时，开口向上；当时，开口向下。

②对称轴是，当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而。且

函数y当x=0时y min= 。当a<时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而。且函数

y当x=0时y max= 。

③顶点坐标是（，）。

④y＝-x2的顶点坐标是（，），y＝-x2+2的顶点坐标是（，）所以y＝-x2向平移个单位便可以得到y＝-x2+2。y＝-x2-2的顶

点坐标是（，）所以y＝-x2+2向平移个单位便可以得到y＝-x2-2。

4．变式训练1二次函数y=

5

4

x2+3的图像是线，开口向，顶点坐标是，对称轴是；当x>0时，y随x的增大而。

当x= 时，y有最值为。

三、挖掘教材---抛物线y＝ax2+k可以由抛物线y＝ax2经过向上（k>0）或向下(k<0)平移|k|个单位得到。

5．函数y＝-2x2的图像向下平移3个单位，就得到函数；函数y=-4+

3

2

x2的图像可以看作函数y=

3

2

x2的图像向平移

个单位而得到。

6．已知：二次函数y＝ax2+1的图像与反比列函数y=

k

x

的图像有一个公共点是（-1，-1）。

（1）求二次函数及反比例函数解析式；

（2）在同一坐标系中画出它们的图形，说明x取何值时，二次函数与反比例函数都随x的增大而减小。

四、反思小结：1．填表回忆