高数8多元函数的极限与连续

二元函数的极限

二元极限存在常用夹逼准则证明

例1 14)23(lim 2

12=+→→y x y x 例2 函数⎪⎩

⎪⎨⎧+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径

例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x y

x y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.

上述二元函数极限)(lim 0

0y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：

累次极限

定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ϕ也存在极限，设

B y x f y a

x b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，ϕ， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即

C y x f b

y a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：

1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.

2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.

多重极限与累次极限之间的关系

定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则

)(lim lim (lim 0

000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=.

二元函数的连续性

定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，)

()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续

定理 若二元函数)(y x u ，ϕ=，)(y x v ，ψ=在点)(000y x P ，连续，并且二元函数)(v u f ，在点[])()()(000000y x y x v u ，，，，，ψϕ=连续，则复合函数[])()(0000y x y x f ，，，，ψϕ 在点)(000y x P ，连续.

1. 用极限定义证明下列极限：

1)19)34(lim 212=+→→y x y x ； 2）01sin 1sin )(lim 00=+→→y

x y x y x ； 3）0lim 2220

0=+→→y x y x y x . (提示：应用.1222≤+y x xy ） 2. 证明：若)0()(≠++-=y x y

x y x y x f ，，，则 1)(lim lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→y x f y x ， 与 []

1)(lim lim 00-=→→y x f x y ，. 3. 设函数3244

4)

()(y x y x y x f +=，，证明：当点)(y x ，沿通过原点的任意直线 )(mx y =趋于（0,0）时，函数)(y x f ，存在极限，且极限相等. 但是，此函数在原点不存在极限. （提示：在抛物线2

x y =上讨论.) 4. 若将函数222

2)(y x y x y x f +-=，限制在区域{}

2)(x y y x D <=，，则函数)(y x f ，在原点（0，0）存在极限（关于D).

5. 求下列极限：

1）2221lim y xy x y x y x +-+→→； 2）x xy y x sin lim 4

0→→； 3）)()(lim 2

200y x In y x y x ++→→； （提示：设ϕϕsin cos r y r x ==，）

4）222200321)61)(41(lim y x y x y x +-++→→.