高数8多元函数的极限与连续
高数函数极限与连续
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
高数：函数的连续性与间断点
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
第八节
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
在点
一、 函数连续性的定义
定义:
在
的某邻域内有定义 ,
则称函数
(1)
在点
即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件:
存在 ;
且
有定义 ,
存在 ;
continue
若
在某区间上每一点都连续 ,
同样可证: 函数
在
内连续 .
在
在
二、 函数的间断点
(1) 函数
(2) 函数
不存在;
(3) 函数
存在 ,
但
不பைடு நூலகம்续 :
设
在点
的某去心邻域内有定义 ,
则下列情形
这样的点
之一函数 f (x) 在点
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
称为间断点 .
在
无定义 ;
间断点分类:
第一类间断点:
及
均存在 ,
若
称
若
称
第二类间断点:
及
中至少一个不存在 ,
称
若其中有一个为振荡 ,
称
若其中有一个为
为可去间断点 .
为跳跃间断点 .
为无穷间断点 .
为振荡间断点 .
为其无穷间断点 .
为其振荡间断点 .
为可去间断点 .
例如:
显然
为其可去间断点 .
(4)
(5)
为其跳跃间断点 .
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点
高数讲义第一章第八节函数的连续性
2
2
cos( x x) 1, 则 y 2sin x .
2
2
对任意的 , 有 | sin | | |, 故 y 2sin x x ,
2
| x | y | x | 当x 0时, y 0.
即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
二、函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
故| f ( x) |、 f 2 ( x)在x0都连续.
但反之不成立.
例
f
(
x)
1, 1,
x0 x0
在 x0 0不连续
但 | f ( x) |、 f 2 ( x)在x0 0连续
思考题解答
1, x 0
g(x) 1 x2
f ( x) sgn x 0, x 0
f [g( x)] sgn(1 x2 ) 1
称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y f (x)
y
y
y f (x)
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x x0
x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x)在U ( x0 , )内有定义,.
如果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的
函数的增量y也趋向于零,即 lim y 0 . x 0
x0
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
由定义2知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
3.单侧连续
若函数 f ( x) 在 (a, x0]内有定义 , 且 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称 f ( x) 在点 x0 处左连续 ; 若函数 f ( x) 在[x0 , b) 内有定义 , 且 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称 f ( x) 在点 x0 处右连续 .
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
第十三章多元函数的极限和连续性
第十三章 多元函数的极限和连续性§1、平面点集一 邻域、点列的极限定义1 在平面上固定一点()000,M x y ，凡是与0M 的距离小于ε的那些点M 组成的平面点集，叫做0M 的ε邻域，记为()0,O M ε。
定义2 设(),nn n Mx y =，()000,Mx y =。
如果对0M 的任何一个ε邻域()0,O M ε，总存在正整数N ，当n N >时，有()0,n M O M ε∈。
就称点列{}n M 收敛，并且收敛于M，记为0l i m nn MM→∞=或()()()00,,n n x y x y n →→∞。
性质：（1）()()0000,,,n n n n x y x y x x y y →⇔→→。
（2）若{}n M 收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。
二 开集、闭集、区域设E 是一个平面点集。
1． 内点：设0M E ∈，如果存在0M 的一个δ邻域()0,O M δ，使得()0,O M E δ⊂，就称0M 是E 的内点。
2． 外点：设1M E ∉，如果存在1M 的一个η邻域()1,O M η，使得()1,O M E η⋂=Φ，就称1M 是E 的外点。
3． 边界点：设*M 是平面上的一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻域()*,O M ε，其中既有E 的点，又有非E 中的点，就称*M 是E 的边界点。
E 的边界点全体叫做E 的边界。
4． 开集：如果E 的点都是E 的内点，就称E 是开集。
5． 聚点：设*M 是平面上的一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻域()*,O M ε，至少含有E 中一个（不等于*M 的）点，就称*M 是E 的聚点。
性质：设0M 是E 的聚点，则在E 中存在一个点列{}n M 以0M 为极限。
6． 闭集：设E 的所有聚点都在E 内，就称E 是闭集。
7． 区域：设E 是一个开集，并且E 中任何两点1M 和2M 之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在E 中，就称E 是区域。
(整理)多元函数的极限与连续.
数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§ 1 平面点集与多元函数一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.外点：存在)(A U 使φ=E A U )(界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。
E 的边界表示为E ∂集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.确定集E 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。
高数第一章第八节 函数的连续性与间断点
如图:
f ( x0 )
O
y f ( x)
y
y f ( x)
y
f ( x0 )y
x
x 0 x x
O
x
x0
x 0 x x
x0
函数的连续性与间断点
2. 连续的定义 定义1 设函数 f (x)在 U ( x0 , ) 内有定义, 若
x 0
lim y 0
则称函数f(x)在x0处 连续,并称x0为函数f(x)的 把极限与连续性联系起来了,且提 连续点. 供了连续函数求极限的简便方法—— 只需求出该点函数特定值. f ( x0 ), 设 x x0 x, y f ( x )
左端点 x a 右连续 ( lim f ( x ) f (a ))
右端点 x b 左连续 ( lim f ( x ) f (b ))
x b
x aBiblioteka 连续函数的图形f ( x ) C [a , b ]
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.
函数的连续性与间断点
例如, 多项式函数
P ( x ) a0 a1 x an x n
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) 在x 1处 连续. x 1, 1 x ,
1
x
函数的连续性与间断点
例如:
y
y tan x
2
为其无穷间断点 . x 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
2
即函数 y sinx对任意x (,) 都是连续的.
( 类似可证, 函数 y cos x在区间 ,)内
高数
第五章多元函数微分法及其应用1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。
反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。
例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠02、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。
性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。
性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。
这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。
4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。
5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。
6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
称点P为E的 外点。
边界点的定义：
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义：
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义：
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点，
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义：
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义： 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下：
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
第八章多元函数的极限与连续、偏导数
微积分
6、函数z x y 的定义域是______________.
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________.
x
8、函数z y2 2x 的间断点是_______________.
y2 2x
二. 求下列各极限:
2 xy 4
1. lim
;
x0
f (1, y ) ________________. x
3、 若 f ( y ) x 2 y 2 ( y 0),则 f ( x) ________.
x
y
4、 若 f ( x y, y ) x 2 y 2 , 则 f ( x, y) _________. x
函数 z 4x y 2 的定义域是__________. ln(1 x 2 y 2 )
一、 1、 t 2 f (x, y)；
2、 13 , f ( x, y)； 12
3、 1 x2 ；
4、 x2 1 y ；
x
1 y
5、 ( x, y) 0 x2 y2 1, y2 4x ；
6、 ( x, y) x 0, y 0, x 2 y ；
7、( x, y) x 0, x y x
0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 时 | f ( x, y) A | 恒成立.
则称当( x, y) ( x0 , y0 )时, f ( x, y)以A为极限.
记: lim f ( x, y) A.或 lim f ( x, y) A.
( x, y)( x0 , y0 )
x3 y
lim
x0
x6
高数知识点总结
02
导数与微分
导数的定义与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化 率，是函数值的极限。
导数的性质
导数具有线性性、可加性、可乘性和 链式法则等性质，这些性质在计算和 证明中具有重要作用。
导数的计算
01
基本初等函数的导 数
对于常数、幂函数、指数函数、 三角函数等基本初等函数，需要 熟记其导数公式。
高数知识点总结
• 函数与极限 • 导数与微分 • 积分学 • 多元函数微积分 • 常微分方程
01
函数与极限
函数的定义与性质
总结词
理解函数的基本定义，掌握函数的性质 ，如奇偶性、周期性、单调性等。
VS
详细描述
函数是数学中描述两个数集之间关系的一 种工具，通常表示为y=f(x)。函数的性质包 括奇偶性（若对于所有x，有f(-x)=f(x)，则 为偶函数；若对于所有x，有f(-x)=-f(x)， 则为奇函数）、周期性（若存在一个非零 常数T，使得对于函数定义域内的所有x， 有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数）和单 调性（若对于任意两个数x1和x2，当 x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)在区间 内为增函数；当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)， 则称f(x)在区间内为减函数）等。
分部积分法
03
通过分部积分公式将两个函数的乘积转化为它们的导数的乘积
进行计算。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称广义积分，是对普通定积分的推广， 包括无穷区间上的积分和无界函数的积分。
反常积分的性质
包括比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法等。
反常积分的计算方法
对于不同类型的反常积分，需要采用不同的计算方 法，如变量替换法、分部积分法等。
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
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• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
高数期末复习资料(第八章,第九章)
第八章；向量代数与空间解析几何 1.向量及其线性运算1.1向量概念及线性运算1.2 向量的方向角，方向余弦，在某轴的投影例：(,,)OA x y z =，则，cos ||||x x OA r α==，cos ||||y y OA r β==，cos ||||z z OA r γ== 投影||cos ba a Prj ϕ=2.向量的数量积，向量积，混合积：||||cos a b a b θ⋅= ，||||||sin a b a b θ⨯=，xy z xyzi j ka b a a a b b b ⨯=()xy z xy z x yza a a abc b b b c c c ⨯⋅=3.平面 3.1 平面方程（1） 平面的点法式方程：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= （2） 平面的一般方程:0Ax By Cz D +++=（3） 平面的截距式方程:1x y za b c++= （知三点求平面方程：利用任意两点做差乘得法向量，在利用另一点用点法式可得）3.2两平面的夹角11111:0A x B y C z D ∏+++=22222:0A x B y C z D ∏+++=夹角余弦：cos θ=121212120A A B B C C ∏⊥∏⇐⇒++=11112222//A B C A B C ∏∏⇐⇒==4.空间直线4.1 空间直线的方程（1）一般式：可看作两平面交线 （2）对称式：000x x y y z z m n p---== （3）参数式：000x x mt y y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩4.2空间直线的位置关系121212120L L m m n n p p ⊥⇐⇒++=；11112222//m n p L L m n p ⇐⇒==5.点线面距离：66设()()()000011112222,,,,,,,,M x y z M x y z M x y z === （1）两点间距离公式：12M M =（2）点线距离，直线过M1，方向向量为v ，|1|||MM v d v ⨯=（3）两直线间距离：设L1,L2 分别过M1,M2, 且方向向量分别为1s ，2s， 则()1212|1||MM s s d s s ⋅⨯=⨯ 6.曲面及其方程6.1旋转曲面：平面曲线绕其坐标轴旋转时，则该坐标轴对应的变量不变，另一变量改为该变量与第三个变量平方和的正负平方根，如设有曲线(,)0:0f x y L z =⎧⎨=⎩其绕x 轴旋转形成的旋转曲面方程为:(,0f x =绕Y 轴旋转形成的旋转曲面方程为:()0f y =例：球面：2221x y z ++= 圆锥面：222x y z +=旋转双曲面：2222221x y z a a c+-=6.2柱面： 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面，这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. （曲面方程缺一个变量） 例：圆柱面：222x y R += 抛物柱面：22(0)x pyp =>椭圆柱面：22221x y a b+=6.3二次曲面（1）椭球面：2222221x y z a b c++=(2) 椭圆抛物面：（3）马鞍面：2222x y z p q-+=（4）单叶双曲面2222221x y z a b c +-=（5）双叶双曲面：2222221x y z a b c --=（6）双曲抛物面2222x y z a b-=（马鞍面）（7）椭圆锥面：22222x y z a b+=（z=xy 为马鞍面）7. 空间曲线方程,投影(1)空间曲线的一般方程:(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩(2)空间曲线的参数方程:()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩(3) 曲线在xoy 面上的投影曲线为:(,)0H x y z =⎧⎨=⎩练习题：1. 椭圆222210y z b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩绕oy 轴旋转而成的曲面方程为（ ）。
高数知识点总结(上册)
高数知识点总结(上册).doc 高等数学知识点总结（上册）第一章：函数、极限与连续性1.1 函数定义：变量之间的依赖关系。
性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。
1.2 极限定义：函数在某一点或无穷远处的趋势。
性质：唯一性、局部有界性、保号性。
1.3 无穷小与无穷大无穷小：当自变量趋于某一值时，函数值趋于零。
无穷大：函数值趋于无限。
1.4 连续性定义：在某点的极限值等于函数值。
性质：连续函数的四则运算结果仍连续。
第二章：导数与微分2.1 导数定义：函数在某一点的切线斜率。
几何意义：曲线在某点的瞬时速度。
2.2 基本导数公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。
2.3 高阶导数定义：导数的导数，用于描述函数的凹凸性。
2.4 微分定义：函数在某点的线性主部。
第三章：导数的应用3.1 切线与法线几何意义：曲线在某点的切线和法线方程。
3.2 单调性与极值单调性：导数的符号与函数的增减性。
极值：导数为零的点可能是极大值或极小值。
3.3 曲线的凹凸性与拐点凹凸性：二阶导数的符号。
拐点：凹凸性改变的点。
第四章：不定积分4.1 不定积分的概念定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。
4.2 基本积分公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的积分。
4.3 积分技巧换元积分法：凑微分法、代换法。
分部积分法：适用于积分中存在乘积形式的函数。
第五章：定积分5.1 定积分的概念定义：在区间上的积分，表示曲线与x轴围成的面积。
5.2 定积分的性质线性：可加性、可乘性。
区间可加性：积分区间的可加性。
5.3 定积分的计算数值计算：利用微积分基本定理计算定积分。
5.4 定积分的应用面积计算：曲线与x轴围成的面积。
物理意义：质量、功、平均值等。
第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性定义：多元函数在某点的极限和连续性。
6.2 偏导数与全微分偏导数：多元函数对某一变量的局部变化率。
全微分：多元函数的微分。
6.3 多元函数的极值定义：多元函数在某点的最大值或最小值。
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二元函数的极限
二元极限存在常用夹逼准则证明
例1 14)23(lim 2
12=+→→y x y x 例2 函数⎪⎩
⎪⎨⎧+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径
例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x y
x y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.
上述二元函数极限)(lim 0
0y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：
累次极限
定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ϕ也存在极限，设
B y x f y a
x b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，ϕ， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即
C y x f b
y a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：
1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.
2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.
多重极限与累次极限之间的关系
定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则
)(lim lim (lim 0
000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=.
二元函数的连续性
定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，)
()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续
定理 若二元函数)(y x u ，ϕ=，)(y x v ，ψ=在点)(000y x P ，连续，并且二元函数)(v u f ，在点[])()()(000000y x y x v u ，，，，，ψϕ=连续，则复合函数[])()(0000y x y x f ，，，，ψϕ 在点)(000y x P ，连续.
1. 用极限定义证明下列极限：
1)19)34(lim 212=+→→y x y x ； 2）01sin 1sin )(lim 00=+→→y
x y x y x ； 3）0lim 2220
0=+→→y x y x y x . (提示：应用.1222≤+y x xy ） 2. 证明：若)0()(≠++-=y x y
x y x y x f ，，，则 1)(lim lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→y x f y x ， 与 []
1)(lim lim 00-=→→y x f x y ，. 3. 设函数3244
4)
()(y x y x y x f +=，，证明：当点)(y x ，沿通过原点的任意直线 )(mx y =趋于（0,0）时，函数)(y x f ，存在极限，且极限相等. 但是，此函数在原点不存在极限. （提示：在抛物线2
x y =上讨论.) 4. 若将函数222
2)(y x y x y x f +-=，限制在区域{}
2)(x y y x D <=，，则函数)(y x f ，在原点（0，0）存在极限（关于D).
5. 求下列极限：
1）2221lim y xy x y x y x +-+→→； 2）x xy y x sin lim 4
0→→； 3）)()(lim 2
200y x In y x y x ++→→； （提示：设ϕϕsin cos r y r x ==，）
4）222200321)61)(41(lim y x y x y x +-++→→.。