再生核
Euler梁自由振动的Hermite再生核无网格分析
１ ＨＲＫ 无 网 格 近 似
在 ＨＲＫ无 网格 近 似 中 ， 长度 为 Ｌ 的 Ｅ ｌｒ 被 ｕｅ 梁 离散 为一 组节 点 ｛ ， Ｘ ） ＮＰ是节 点 总数 ， 每个 节点 Ｌ 有广 义挠 度 系数及 广 义转 角 系数 两 个 节点 未 知 量 ， 梁
的挠度 的无 网格近 似可 以表示 为 ］ ：
Ｍ （） ∑ Ｅ（， ） ｚ一ｚ （， ） ｚ一 ｐｘ一ｘｐ（， ）。 一ｚ ＋ ｚ
Ｊ ｌ ＝
度 ， 降低 了核 函数 最 小影 响域 的要 求 ． 文 针对 Ｅ － 并 本 ｕ
ｌｒ ｅ 梁这 一重 要 的结构 形式 ， 用 ＨＲ 无 网格 法 进行 采 Ｋ
林 振 庭 ， 东 东 ， 军 厂 王 轩
（ 门大学建筑与土木工程学 院， 建 厦门 ３１０） 厦 福 ６０ ５
摘要 ： 基于 Ｈ ｒ ｉ 再生核无 网格近似 ， 了 Ｅ ｌ 梁 自由振动分 析的伽辽 金无 网格 离散方程． ｅ ｔ ｍ ｅ 建立 ｕｒ ｅ 针对 常见的几种典 型
边 界 条 件 的 Ｅ ｌ 梁 自 由振 动 问 题 ， 细 分 析 了 前 两 阶频 率 的误 差 和 收 敛 性 ． 果 表 明 ， 传 统 仅 采 用 挠 度 近 似 的 伽 辽 ｕｅ ｒ 详 结 与 金无 网格 法 和 Ｈｅｍｉ ｒ ｔ 限 元 法 相 比 ， 虑 节点 转 角 对 挠 度 近 似 影 响 的 Ｈｅｍｉ 无 网 格 方 法 具 有 更 高 的 精 度 ， Ｅ ｌｒ ｅ有 考 ｒ ｔ ｅ 为 ｕｅ 梁 振 动 分 析 提 供 了一 种 高 精 度 的数 值 方 法 ．
第 ４ ９卷
第 ２期
厦 门大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｅ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＸｉｍ ｎ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ）
再生核
再生核定义：H是一个定义在一抽象集合B的实值或复值的Hilbert函数空间，对任意f(x)属于H，x属于B，若存在二元函数K(x,y)，满足：(1)对任意固定y属于B，K(x,y)作为x的函数属于H；(2)对任意f(x)属于H，有f(y)=(f(x),K(x,y))H(H为下标)。
则称K(x,y)为H的再生核，H是以K(x,y)为再生核的Hilbert空间，简称再生核Hilbert空间，简记为RKHS(Reproducing Kernel Hilbert Space)。
通常称(2)为再生性质。
性质：(1)唯一性：如果Hilbert空间有再生核K(x，y)，则再生核唯一(如果内积不同，也可能有不同的再生核)；(2)存在性：Hilbert空间H有再生核=所有的泛函et(t为下标)，t∈E在H上连续；(3)全空间与子空间核的关系；参考《以{EI}I^N=1为正交基的再生核HILBERT空间》--李莎莎，郭锐(4)正定性：任何一个再生核都是正定矩阵(对应的二次型)。
数学解释定义：H是一个定义在一抽象集合B的实值或复值的Hilbert函数空间，对任意f(x)属于H，x属于B，若存在二元函数K(x,y)，满足：(1)对任意固定y属于B，K(x,y)作为x的函数属于H；(2)对任意f(x)属于H，有f(y)=(f(x),K(x,y))H(H为下标)。
则称K(x,y)为H的再生核，H是以K(x,y)为再生核的Hilbert空间，简称再生核Hilbert空间，简记为RKHS(Reproducing Kernel Hilbert Space)。
通常称(2)为再生性质。
性质：(1)唯一性：如果Hilbert空间有再生核K(x，y)，则再生核唯一(如果内积不同，也可能有不同的再生核)；(2)存在性：Hilbert空间H有再生核=所有的泛函et(t为下标)，t∈E在H上连续；(3)全空间与子空间核的关系；参考《以{EI}I^N=1为正交基的再生核HILBERT空间》--李莎莎，郭锐(4)正定性：任何一个再生核都是正定矩阵(对应的二次型)。
再生核方法
再生核方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊再生核方法。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多知识大门呢！
你说这再生核方法像不像个魔法盒子呀？它里面装着各种奇妙的技巧和秘密。
咱先简单理解一下，再生核方法就是一种能把复杂问题变得简单点的好办法。
就好比你面对一团乱麻似的线，它能帮你理出个头绪来。
比如说，在一些数学问题或者科学研究里，遇到那些让人头疼的难题，再生核方法就出马啦！它能把那些抽象的概念变得具体点，让咱能更好地理解和处理。
咱举个例子哈，就像你要去一个陌生的地方，没有地图那可不行。
再生核方法就像是那张地图，给你指引方向，告诉你该怎么走。
你想想，要是没有它，你不就像只无头苍蝇一样乱撞啦？
而且啊，它还特别灵活。
就跟咱人一样，能根据不同的情况变出不同的招儿来。
不管是啥样的问题，它都能想办法搞定。
这多厉害呀！
你再想想，平时咱生活中不也经常会遇到各种需要解决的问题吗？这时候再生核方法说不定就能派上用场呢！它能让你少走好多弯路，节省好多时间和精力呢。
它还像个贴心的小助手，随时在你身边，只要你需要，它就会出现，帮你排忧解难。
哎呀，这多好呀！
说真的，再生核方法真的是个宝贝。
咱可得好好了解了解它，把它的本事都学过来。
这样以后遇到啥难题都不怕啦！咱就可以轻松应对，把问题一个一个都解决掉。
总之呢，再生核方法是个特别有用、特别神奇的东西。
大家可别小瞧了它哦！咱要好好利用它，让它为我们的学习和生活带来更多的便利和惊喜。
你说是不是呀？。
再生核的一种新的计算法及其递推性
［ ， ］ 间的 内积 ； ａｂ空 基于这 个 内积， 用
Ｇｅｎ ｒ 函数得到再生核简洁的表达式 ， ｅ 并用矩阵讨 论了再生核计算的递推关系。 关键词 ： 再生核 ； ｉｅｔ 间； ｒ ｎ函数 ； 推 Ｈｌ ｒ ｂ 空 Ｇｅ ｅ 递
中图 分 类 号 ： １７ ０ ７ 文献 标 识 码 ： Ａ
Ａ ｗ ｅ ｈ ｄ ａ ｄ Ｒｅ ｕ ｓｏ ｏ ｍ ｐ ｔｎ ｐｒ ｄ ｃｎ ｒ ｅ ｓ Ｎｅ Ｍ ｔ ｏ ｎ ｃ ｒ ｉ ｎ ｆ ｒ Ｃｏ ｕ ｉ ｇ Ｒｅ ｏ ｕ ｉ ｇ Ｋｅ ｎ ｌ
Ｚ Ａ Ｇ Ｘｎ ｉ ， Ａ Ｇ Ｙ ｅ Ｈ Ｎ ｉ ｊｎ Ｊ Ｎ ｕ －ａ Ｉ
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第２ ９卷第 １ 期
国 防 科 技 大 学 学 报 ＪＵ ＬＯ ＡＩＮ ＬＵ Ｉ ＲＩＹＯ ＥＥ Ｓ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ Ｙ ＯＩ ￣Ａ ＦＮＴＯ Ａ ＮＶ Ｓ ＦＤ ＦＮＥＴＣ Ｎ ＬＧ Ｅ Ｔ
Ｖ１２ ｏ １ ０７ ｏ．９Ｎ ． ２０
ｎ０ ｍ
方法在 ， 空间中算得了再生核的具体形式 ， 并在方程数值解中得到了应用。 但用这种方法算得的
再生核在 中就 已经很 复杂 ， 在一般 的 （ ≥ ３ ｍ ）中迄 今没得 到具体形 式 。 本文 利用 Ｔｙ ｒ 式得 到微分算 子 Ｄ ａｌ 公 ｏ 的带一 个端点 （ ＝ａ 初值条 件 的 Ｇｅｎ函数 ， 很 自然地 引 ｔ ） ｒ ｅ 并 入方便 的内积 。在此 Ｇｅｎ函数和 内积 的基 础上 ， 到再生 核简洁 的表 达式 ， 利用 矩 阵形式 讨论 了再 ｒ ｅ 得 并
再生核Hilbert空间H_(K_a)[a,b]中一种插值函数的数值算例
![再生核Hilbert空间H_(K_a)[a,b]中一种插值函数的数值算例](https://img.taocdn.com/s3/m/573822d15022aaea998f0f90.png)
ｎ３
一 ．＿
—
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・
ｎ Ｊ
一
５
ｌ ＿ ５
１ ）
：
记 ＝ － ｘ ， ， ｉ ＝１ ， ２ ， …， ｎ ，且函数 ｛ ｌ Ａ ｘ ） ，ｉ ＝１ ２ 。 ， ｎ ｝ 为Ｈ ｄ ， 中形 如式（ １ — ２ ） 的插值基 函数 ， 则对 任何 ， （ ∈ Ｈ ｎ ， ｂ ｌ， 其分段 线 性插值函数为 （ ） ＝
ａ＝ ｘ ｏ＜ ＜ … ＜
一
∑ ｎ ２
ｔ ＝１ ／ ＝１ ‘
（ ３ ｉ ２ － ３ ／ ＇ ４ ＂ －
（ ｂ－ ａ ） ５
．
、
９ ∑ ＂ 一 ｌ ８ ∑ ｎ ｆ ３ ＋ １ ５ ∑ ｎ ｆ ： 一 ｌ ＋ ：
ｌ ＝ ｌ ｌ －Ｉ ｊ － ｌ ｉ －１
・
２ １ ２ ・
科 教 文 化
再生核 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间
摘
有效。 关键词 ： 再生核 ； 插 值 函数 ； 再 生核 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间
１ 概 述
中一种插值函数的数值算例
何 琳
（ 黑龙江艺术职业学院 ， 黑龙江 哈 尔滨 １ ５ ０ ０ ０ ０ ）
验证 了插值的收敛性 ， 且 收敛 的速度较快 。 其中 ｑ是 Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ 系数 若取 ａ ＝ ３ ， ６ ＝ ４ １ ｎ ＝ ５， 由插值公 式 （ １ － ４ ） 得到 一 ３ ） ３ 的插 值 函 对 于再 生核 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间 Ｈ ｒ ｏ ［ ａ ， ｂ ｌ中的插 值公 式（ １ ＿ ４ ） ， 还可 以 数为 表示 为另一种形式 ： ５ 定理 １ ． ３ 如果在具有再生核 （ ， ｙ ） 的再生核 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间 （ ＝ ∑０ ； ‘ （ 曲 ｉ ＝ １ Ｈ 【 Ⅱ ， ６ 】 中， 给定 Ｈ 口 ， 纠 的一个分划 ： ａ＝ ｘ ｏ＜ ＜ … ＜ 卜ｌ ＜ ＝ ｂ 其 中 ｑ＝ １ 万（ ３ ｆ ２ ３ ｆ ＋１ ） ｆ ＝ｌ ， ２ ， …， ５ 记 ＾＝ 一 ， ｉ ＝１ ， ２ ， …， ｎ， 则对任何 ， （ ） ∈ Ｈ岛 ， ， 其分段线 性插值函数为 ０ １ －ｘ ［ （ ｘ ） ＝ｘ （ ） 取 ， １ ］ ￣ Ｊ ２ ． ２ ｆ （ ， ｘ Ｅ （ １ — ５ ） ７ ｙ ￣－ － 由插 值 公式 由插值公式（ １ － ５ ） ） ， 取ｎ ：５ ＝ ，ｉ ， ： ＝ １ ， ２ ， … ， ５ ， 则＾ ： ＝ ， ÷ ， 且有
【国家自然科学基金】_再生核hilbert空间_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
科研热词 再生核hilbert空间 领域适应学习 覆盖数 经验过程 系数正则化回归 正则化 模式分类 最小二乘支持向量机 最大散度差 最大均值差 时间窗 支持向量机 密度加权 学习率 在线自适应性 回归算法 回归函数 不确定时延 hoeffding不等式
科研热词 推荐指数 再生核希尔伯特空间 5 支持向量机 3 领域适应学习 2 模式分类 2 核分布一致 2 最大平均差 2 平移不变mercer核 2 局部学习 2 实解析 2 基因调控网络 2 领域自适应 1 预处理 1 重构 1 迭代 1 迁移学习 1 谱算法 1 语音情感识别 1 自适应分类 1 结构辨识 1 紧子集 1 独立性 1 特征融合 1 渐变概念漂移 1 核希尔伯特空间 1 最小二乘回归 1 学习理论 1 多角度 1 多核学习 1 受试者工作特征曲线面积 1 再生核hilbet空间 1 再生核hilbert空间 1 mercer核 1 l2-经验覆盖数 1 hsic方法 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
2011年 科研热词 推荐指数 学习理论 2 再生核hilbert空间 2 高光谱遥感 1 随机积分 1 稳定性 1 泛化性 1 核函数 1 样本依赖型再生核hilbert空间 1 有界差分稳定 1 最小平方回归 1 数据挖掘 1 支持向量机 1 希尔伯特空间 1 属性约简 1 小波支持向量机 1 学习速度 1 再生核 1 信号回归 1 主成分分析 1 lévy过程 1 gel'fand三元组 1
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1
再生核Hilbert空间H_(Ka)[a
Ｈ ，】 ｂ． 关键 词 ： 生核 ； 再 插值 函数 ； 生核 Ｈ ｌ ｒ 空间 再 ｉ ｅｔ ｂ
Ｋｅ ｒ ｓ ｅ ｒｄ ｉ ｇｋ ｒ ｅ；ｉｔｒ ｏａｉｎ ｆ ｃｉｎ ｅ ｒ ｄ ｃｎ ｅ ｅ ｌｅ ｔｓ ａ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ：ｒ ｐ ｏ ｕｃｎ ｅ ｎ ｌ ｎ ｅ ｌ｜ｏ ｕｎ ｔ ；ｒｐ ｏ ｕ ｉｇ ｋ ｒ ｌＨｉｂ ｒ ｐ ｃ ｐ ｏ ｎ
Ａｂｓｒ ｃ ：Ｉ ｈｓｐ ｐ ｒａｐｉｃ ｗｉｅ ｌｎ ａ ｎ ｅｐ ｌｔｏ ｕ ｃｉｎ ｍｅｈ ｄ ｉ ｏ ｓｒ ｃｅ ｙ ｂ ｓｓｆ ｎ ｔｏ ｓｉ ｏ ｅ ｒ ｄ ｃｎ ｅ ｎ ｌＨｉ ｅ ｔｓ ａ ｅ ｔａ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ， ｅ ｅ ｓ ｉｅ ｒｉｔｒ ｏａｉｎ ｆ ｎ ｔｏ ｔｏ ｓｃ ｎ ｔｕ ｔｄ ｂ ａ ｉ ｕ ｃｉｎ ｎ ｓ ｍｅ ｒｐ ｏ ｕ ｉｇ ｋ ｒ ｅ ｌ ｒ ｐ ｃ ｂ
作者简介 ： 何琳（ ９０ ， ， １ ８一）女 河北故城 入， 硕士学位 ， 讲师 ， 究方向 ． 研 数学 应
用。
（ ）Ｋ（ ， ） －ｆ ） ａｙ十 “ｘ ， ｏｘｙ ＞ ｆａＫ （ Ｉ ）
ｘ ）
ｄ：
开展 ， 聚成 员齐 心 协 力 、 向 科 学 管 鬯 定 发 晨 鹞毒 效 侏 障 。 因 下 达 任 务 ， 由 各 部 门部 长召 集成 员 进 行 任 务 认 真 分 配 ， 遇 专 业 凝 走 并 如 此， 为加强 内部 管理 ， 本所 明确 了部门内 管理制度 、 考核 制度 、 纪 问题 可向专家指导 中心的专业老师进行咨询 ， 再认真细致地完成事 律规范 以及业务流程等 内容。 务所安排 的各项任务 ， 必要情况 下还需及时与办公室和兄弟ｇ ｆ 进 ｌ－ ￣］ ２１明晰 权 限 本 所 实 行 所 长 负 责 制 ．所 长 埘 文 秘 专 业 教 研 室 行 交 流 和 沟 通 ， 保 任 务 的 圆 满 完成 ， 后 由 办 公 室 对 各部 门 进 行 ． 确 然 负责 ， 期 可 由 文秘 专业 教 师 担 任 前 后 ‘ 秘 专 业 优 秀 学 生 担 评价 考 核 以及 相 关 资 料 的 归档 整理 ， 后 交 由宣 传 部 网络 负 责 人 进 由文 最 任 。在 所长 的主 持 下 成 立 秘 书事 务 叠。所 委 会 是 事务 所 的最 行成 果 上传 。 高决策机构 ， 处理本所全部 日常事 务，凸 譬对召开全所大会 ， 决定重 ３ 对 我 院 秘 书 事务 所 今 后 建 设 的 思 考 大事项。所委会成员 由专业教师以及各部 －长 组成 。所委会下设 ７－ ｇ ｌ ￣ 我院绿叶秘书事务所是 本专业实训教 学改革过程 中的一个新 办公室 、 人力部 、 宣传部 、 市场部 、 业务部等五部门 ， 每个部 门由一位 生儿 ， 在具体 建设和管理过程 中， 仍存在许多问题 ： 如业务合作力度 骨干学生和若干名文秘专业学生组成。各部门明确所有职责 ， 同时 欠 缺 生 业 务 执 行 能 力 不够 ； 叶秘 书 事 务 所 校 内外 宣传 力 度 不 学 绿 加 强部 门间 密 切合 作 。 够； 经费、 场地 问题等 ， 这往往使得事务所工作 的开展处于游击战状 ２２完 善制度 建立健全的规章制度是实现管理规范化 的重要 态 ， ． 受外 界 制 约 性 较 大 。 保证 。 院 绿 叶 秘书 事 务 所 从 社 团 性质 、 会 与退 会 、 团经 费 管 理 我 八 社 总 之 ， 过 我 院 绿 叶 秘 书 事 务 所 的 实 践 运 行 ， 们 发现 基 于 校 通 我 与使 用 、 干 分子 的培 养 、 员 的 权 利 与 义 务 、 骨 成 活动 开 展 、 物 管理 、 企 合 作 下 的 文秘 专 业 秘 书 事 务 所 ， 充 分利 用 、 掘 现 有 企 业 资 源 ， 财 要 挖 促进 业 务 合 作 力度 ； 时 提 供 培 训 指导 ， 适 强化 学 生 执 负责人产生、 化考核 等诸多 方面进行 了详 细规定 ， 量 明确 了管理主 突 破 合作 途 径 ，
基于再生核理论的月球车轨迹跟踪控制
第 ２ ’ 第 ６期 ４卷
２０ ０ ７年 ６ 月
计 算 机 应 用 研 究
Ａｐ ｌ ａ ｉ ｎ Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｍｐ ｔｒ ｐ ｉ ｔ ｓ ａ ｃ ｆＣｏ ｕ ｅ ｓ ｃ ｏ
Ｖｏ． ４ Ｎｏ ６ １２ ．
Ｊ ｎ ２ ０ ｕｅ ０ ７
０ｅ ｏ ｌ ｅ ｒｃ ｒ ｅ ｌｘ ｎ ｎｉ ａ ｕ ｖ ．Ｎｕ ｒ ａ ｘ ｅ ｍｅ ｔ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｈ ｏ ｒ ｃ ｎ ｓ ｎ ｆ ｃｉｅ ｅ ｓｏ ｅｐ ｐ ｓ ｄ ｍｅｈ ｄ ｎ ｍｅ ｃ ｌｅ ｐ ｒ ｎ ｓ ｌ ｈ ｗ ｔｅ ｃ ｒｅ ｔ ｅ ｓａ ｄ ｅｆ ｔ ｎ ｓ ｆｔ ｒ ｏ ｅ ｔｏ ． ｉ ｉ ｒ ｓ ｅ ｖ ｈ ｏ
关键 词 ：再 生核 ；轨 迹跟 踪 ；月球 车
中图分类 号 ：Ｔ ２２６ Ｐ ４．
文献 标 志码 ：Ａ
文 章编 号 ：１０ －６５ ２０ ）６０７ －３ ０ １３９ （０７ ０ —２７０
Ｔａｅｔｒ ｒｃ ｉｇＣ ｎｒｌｏ ｕ ａ ｏｅ ｒｊｃｏｙＴａｋｎ ｏ ｔ ｒＬ ｎ ｒＲ ｖｒ ｏｆ
析的复杂性 ， 对行星 车运动控制 的研究 较少。但 最近研究人员
交化 ， 得到标准正交系 ｛ ） 。其 中 （ ．（ ｝ ）＝ ｎ （ ， ）
Ｂａ ｅ ｎ Ｒｅ ｒ ｄ ｃｎ ｒ ｅ ｈ ｏ ｓ ｄ ｏ ｐ ｏ ｕ ｉｇ Ｋｅｎ ｌＴ Ｏ Ｑ Ｈ Ｕ Ｌ ｎｆ ｇ ｅ Ｎ ｉｇｒ ｇ Ｕ ｉ ｏ
（ ｃｏ ｌｆＣ ｍ ｕ ｒ ｃ ｎｅ＆Ｅ ｇｎｅｉｇ ａｂｎＩｓｔｔ Ｔｃｎｌ ｙ ｅ ａ ｈ ｎ ｏｇ２４ ０ Ｃ ｉａ Ｓｈｏ ｏ ｐ ｗ ｉ ｃ ｏ Ｓｅ ｎ ｉ ｒ ，Ｈ ｒｉ ｎｔｕｅ ｅｈ ｏ ｇ ，Ｗ ｉ ｉ ａ ｄｎ ６２ ９， ｈｎ ） ｅ ｎ ｉ ｏ ｈ Ｓ
再生核希尔伯特空间的实解析陛
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｒ ｅ ｐ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｉ ｎ ｇ ｋ ｅ ｎｅ ｒ ｌ Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ；ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ － ｉ ｎ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｔ Ｍｅ ｒ ｃ ｅ ｒ ｋ ｅ ｎｅ ｒ ｌ ；ｒ ｅ ａ ｌ ａ ｎ ｌｙ ａ ｔ ｉ ｅ ｉ ｔ ｙ
１ 引言及预备知识
记 为 Ｒ 中 的 菜 度 量 至 Ｉ 日 ＿ Ｊ ，且 是 非 至 Ｘ 的 刚 包 ．
对 于 ： ， ２ ， … ， ） ∈ Ｒ ， ＝ （ １ ， ２ ， … ， ） ∈ Ｒ 且 ， ：
Ｉ
， 记 ＝ ∑ ｎ ， ！ ＝ ｎ ！
个连续延拓，记为 Ｄ ｆ １ ７ １ ． 定义 对于 Ｒ 的闭子集 ，任意的ｆ ∈ ，都有一列实系数 （ ｒ
，
ｅ ｚ： ，
！
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ － ０ １ — １ ０
基金项目：国家自然科学基金资助项 目 （ １ １ ０ ７ １ ２ ７ ６） 作者简介 ：郭芹 （ １ ９ ８ ５ 一） ，女 ，山东新泰人 ，助教，硕士 ，从事统计学理论研究．Ｅ — ｍ ａ ｉ ｌ ：ｇ ｕ ｏ ｑ ｉ ｎ ＿ １ ９ ８ ５ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
第３ ３ 卷 第 ３ 期
２ ０１ ３拄
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ Ｈ ｅ ｇ ｅ ａ ｎ ｄ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｓｉ ｒ ｔ ｙ
多维再生核空间的构造
（７ 】）
这 ａ ∈ ）＝，…月 ∈ 指 于 意 ∈ ） ｃ ） 示 限 里 （ ， ｌ， ， △ 对 任 ｃ （ ， 吾 表 无 放 Ⅳ ｔ ２ ， 是
（ ） （ １ （ ）ｉ １ 、 ．．’ Ａ ａ ＝ 一） ａ ，＝ ・ ” ａ∈ ． ２一
问的再 生按 表 逮 式．
关 键 词 ：再 生 拔 空 同 ； 生 按 再
０
引 言
文［ ］ 出 了一 维 再生 核 空 同 Ｗｌａ， ． 定义 为 ： １给 Ｅ 它
一［ ， 一 ｛ ｄ ） （ 是 ， 上 的 绝 对 实 值 连 续 函数 ． ｌ ） 且 ） Ｌ［ 阳｝ ∈ ｄ， ． ｆ． ） １１
：
赴＾
… 缸 ． 中 下 标 ， ， ， 表 示 从 ｌ２ … ， 中 选 取 ， 的 增 序 排 列 ， 有 其 … 、＇ 个 所
Ｊ ， ， ． 的捧列 集台， ｒ … 即 的集 舍 记为
为：
本文将研 究一个 一元 空问 （２ ） Ｓ ．它定义
（ ） ｛ ） ａ ｆ ） ： … ａ∈ ： Ｉ ∈ ， Ｌ＇ ， △｝ ， ２
收 辅 Ｈ 辫 ：ｏ ２ Ｏ 一 Ｏ ２ｏ 一 ３ ｌ
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２
暗 尔 滨 师 葩 大 学 自蒜 科 学 学 报
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Ｒ ，埘 ， （ ）
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其 （ 由（ ４式 出 ｆ ： ｘ 川． 们 ： ） 定 积（）及 数 中 善 １ ） 给 ｆ ｆ ｆ ） － 皿 我 在阡 Ｌ 中 义内 ・！ 范 ， －
其中（） （ ） 积． 。 表示 的内 我们在 ， ＿
再生核希尔伯特空间与核方法
再生核希尔伯特空间与核方法
再生核希尔伯特空间（RKHS）是一种具有特殊性质的希尔伯
特空间，它与核方法密切相关。
首先，希尔伯特空间是以内积的方式定义的向量空间。
再生核希尔伯特空间在希尔伯特空间的基础上引入了“再生核”（也称为核函数）的概念。
再生核是一个函数，它可以将任意两个向量映射到一个标量。
具体而言，对于一个再生核函数K(x, y)，当x和y是希尔伯
特空间的元素时，K(x, y)可以看作是(x, y)的内积。
而RKHS是一个具有以下性质的希尔伯特空间：任意的x在RKHS中都有一个唯一的关于x的核表示，即对应于x的唯一
一个核函数。
这个核函数可以通过内积的形式表示，例如，
K(x, ·)。
利用再生核函数，可以将数据从原始空间映射到RKHS中，
使得在RKHS中的操作更加方便。
这种映射后的数据能够更
好地进行非线性处理和特征提取。
而核方法则利用了再生核函数的性质，将模式识别和机器学习问题转化为在RKHS中进行操作的问题。
在RKHS中，可以
通过计算向量的内积来衡量它们之间的相似性。
因此，核方法可以通过计算向量之间的内积来进行分类、回归、聚类等任务。
总结起来，再生核希尔伯特空间与核方法是密切相关的，再生
核希尔伯特空间是一种特殊的希尔伯特空间，引入了再生核函数的概念。
而核方法则利用了再生核函数的性质，将数据映射到RKHS中进行处理，从而解决模式识别和机器学习问题。
再生核Hilbert空间中的一种插值方法
值 逼近 问题．
个抽象集合 上的实值或复值 函数 ， 内积用下式表
示：
ｇ ＝ ） ・ ，（・ ） ｆｇ Ｈ ）ｇ ） ， ， ∈ 若 Ｖｑ ∈Ｅ， 在一 个 Ｋ（ ｇ 作 为 Ｐ的函数是 存 ｐ，）
中的元 素 ， Ｖｑ 且 ∈Ｅ及 厂∈Ｈ有
本 文 应用 再 生 核 空 间理 论 的特 殊技 巧 ， 对 解 针
ｑ ｐ ， （ ，） ）＝ ）Ｋ ｐ ｑ ）
收稿 日期 ： ０ ６一ｏ ２０ ６—１ ８
Ｇ ｉｕ ｎ Ｄ Ｎ ａ—ｉ， Ｙ Ｏ Ｌ— Ｕ Ｌｊ ａ ， Ｅ Ｇ Ｃ ｉ ａ ｘ Ａ ｉｉ ｌ
（ ｐ ｌ ｄＳｉｎｅＣ ｌｇ ，Ｈ ｒｉ ｎｖ ｉ．Ｔ ｃ ． Ｈａ ｉ ５０ ０，Ｃ ｉａ Ａ ｐｉ ｃｅｃ ｏｌ ｅ ａｂｎＵ ｉ．Ｓｃ ｅｈ ， ｒ ｎ１０ ８ ｅ ｅ ｂ ｈｎ） Ａｂｓｒ ｔ：ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ｔａｃ Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ，ｉ ｅ ｐｏａ ｉｎ ｆ ｎｃ ｏ ｓｃ ｎ ｔｕ ｔ ｄ ｂ ａ ｉ ｕ ｃ ｉｎ ｉｈ ａ ｅ ｐ ｅ ｅ ｔ ｄ ｂ ｈｅｌｎ ｎｔｒ ｌ ｔ ｕ ｔ ｎ ｉ ｏ ｓｒ ｃｅ ｙ ｂ ｓｓｆ ｎ ｔ ｓｗｈ ｃ ｒ ｒ ｓ ｎ ｅ ｙ ｔ ｉ ｏ ｉ ｏ ｅ ｒ ｃ ｍｂｉａ ｉｎ ｏ ｅ ｏ ｕ ｉ ｇ ｋ ｒ ｅ ｕｎ ｔｏ ｎ ｓ ｍｅｒ ｐ ｄｕ ｉ ｇ ｋ ｒ ｅ ｌ ｅ ｔｓ ａ ｅ ａ ｏ ｎ ｔ ｆａｒ ｐｒ ｄ ｃ ｎ ｅ ｎ ｌｆ ｃ ｎ ｉ ｏ ｅ ｒ ｏ ｉ ｏ ｃｎ ｅ ｎ ｌＨｉｂ ｒ ｐ ｃ ．Ｍｅ ｎ ｉｅ ｅ ｔ ｔｏ ｆ ａ ｗｈ ｌ ｓｉ ｉｎ ｏ ｍａ
再生核Hilbert空间H_(Ka)[a
即
２ 插 值 函数 的 收 敛 性
喜 几１ ＿ ）
于是正项级数
定理 ２１对 于任何 的 ｆｘ ∈Ｈ ，】 任何一 组实数 ｛ ， ｌ ． （ ） ａｂ及 Ｂ；＝ ， ｉ ２ … ，｝若再生 核 Ｈ ｒ空 间 Ｈ ［，】 ， ｎ， ｅｔ ａｂ中的插值 函数 ， 其中 Ｘ ａ ∈【， ｂ，ｉ ｉ ｉ， ｌ２ … ， ］ｈ ｘ Ｘ１＝ ， ， ｎ则有 ＝ — －ｉ
科 技 论 坛
・８ ５・
再 生核 Ｈ ｌｅｔ 间 Ｈ ，］ ｉ ｒ空 ｂ ａｂ中一种插值 函数 的 逼近性讨论
何 琳
（ 黑龙江 艺术职业学院， 黑龙 江 哈 尔滨 １０ ０ ） ５ ００ 摘 要： 本文针 对在一个给定的再 生核 Ｈ ｌ ｒ 空间 中函数 的一种分段线性插值 方法， ｉ ｅｔ ｂ 讨论 此插值 函数的逼近性 ， 通过数值算例 ， 明 表
该 逼近 方 法是 可 行 的 。
关 键 词 ： 生核 ； 值 函数 ； 生核 Ｈｉ ｅ 空 间 再 插 再 ｌｎ ｂ
本 文所分析 的插值 函数 由于每个小 区间上 的插值 函数只依赖 于该区间的插值节点和再生核 函数 ， 所以插 值函数表 达式充分利用 了再生核 函数 的解析式 ， 形式简单 ， 与微分算子样条插值函数相 比， 避免了解方程组 ，在增加插值节点时插值 函数只需增加相应项 ， 不 影响其他项 ， 进行数值计算较方便。
一
证 明 （ ）由 于 ６
（ （ 去（ ） ， 喜 （ ４ ， ， （ ）
喜而 （，… 轧 击 ｍ１ ， ， ）
∑÷ （一（．， ） （。 ∑÷， ） （． ｌ （ ， 一（ ， 一＝ ｛ ， 一 ， ） ） （一 ） ） ） （ 一 ） （ ｌ
再生核Hilbert空间中的采样定理
（ ｃｏｌ ｆ ｐ ｌ ｄＳ ｉ ｃ ，Ｈ ｒｉ ｎｖｒ ｔ ｏ ｃｅｃ ｎ ｅｈｏｏｙ Ｈａｂｎ１０ ８ Ｓｈｏ ｐｉ ｃ ｎ ｅ ａｂｎＵ ｉｅｓｙ ｆ ｉ ｅａｄＴｃ ｎｌｇ ， ｒｉ ５ ００，Ｃ ｉａ ｏＡ ｅ ｅ ｉ Ｓ ｎ ｈｎ ）
ｐ ｉ ｇ ｆｒ ｌ ｆｒ ｐ ｏ ｕ ｉ ｇ ｋ ｒ ｅ ｕ ｃ ｉｎ ｉ ｌ ｅ ｔｓ ａ ｅ ａ ｅ ｄ ｒ ｅ ｙ ｕ ｉ ｇ ｒ ｐ ｏ ｕ ｉ ｇ ｋ ｒ ｅ ｆ ｎ ｔ ｎ ． ｌ ｏ ｍｕ ａ ｏ ｅ ｒ ｄ ｃｎ ｅ ｌｆ ｎ ｔ ｎ Ｈｉ ｒ ｐ ｃ ｒ ｅｉ ｄ ｂ ｓ ｅ ｒ ｄ ｃｎ ｅ ｎ ｌ ｕ ｃｉ ｓ ｎ ｎ ｏ ｂ ｖ ｎ ｏ Ｍｅ ｎ ｈ ｌ ｓｉ ｔ ｎ ｏ ｒｏ ｓｇｖ ｎ ａ ｗ ｉ ｅｔ ｅ ｍａｉ ｆｅ ｒ ｒｉ ｉ ｅ ．Ｔ ｅ ｒ ｓ ｌ ｌｙ ａ ｆ ｎ ａ ｎ ａ ｒ ｌ ｎ ｔ ｅ ｐ ｏ ｌｍ ｆｎ ｍｅ ｉａ ｐ ｒｘ ｍａ ｏ ｈ ｅ ｕ ｔ ｐ ａ ｕ ｄ ｍｅ ｔｌ ｏｅ ｉ ｈ ｒ ｂ ｅ ｏ ｕ ｒｃ ｌａ ｐ ｏ ｉ － ｓ ｔ ｎ ａ ｄ ｉ ａｓ ｏ ｖ ｎ ｅ ｔ ｏ ｎ ｍｅ ｉａ ａｃ ｌｔ ｎ ． ｉ ｎ ｔ ｌｏ ｃ ｎ ｅ ｉｎ ｕ ｒｃ ｌ ｌｕ ａｉ ｓ ｏ ｔ ｃ ｏ Ｋｅ ｒ ｓ ｒ ｐ ｏ ｕ ｉ ｇ ｋ ｒ ｅ ；ｒ ｐ ｏ ｕ ｉ ｇ ｋ ｒ ｅ ｌ ｅ ｔｓ ａ ｅ ａ ｌ ｇ ｅ ｐ ｎ ｉ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ：ｅ ｒ ｄ ｃｎ ｅ ｌ ｅ ｒ ｄ ｃ ｎ ｅ ｎ ｌＨｉ ｒ ｐ ｃ ；ｓ ｍｐ ｉ ｘ ａ ｓｏ ｓ ｎ ｂ ｎ
ｉ ｉｅ ｙ ｕ ｉ ｇ ｓ ｍｅ ｓ ｃ ａ ｒ ｐ ￣ｉｓ ｏ ｅ ｒ ｄ ｃ ｎ ｅ ｎ ｌｆ ｃｉ ｎ ｎ ｔ ｅ Ｈｉ ｒ ｐ ｃ ｔｆｒｔ ｈ ｎ ａ ｓ ｍ— ｓｇ ｖ ｎ ｂ ｓｎ ｏ ｐｅ ｉｌｐ ｏ ｅ ｅ ｆｒ ｐ ｏ ｕ ｉ ｇ ｋ ｒ ｅ ｕｎ ｔｏ ｓｉ ｈ ｌ ｔｓ ａ ｅ ａ ｓ ，ｔ ｅ ａ ｂｅ ｉ
再生核空间W2 1(R)上的有界线性算子的最佳逼近问题
第 ２ ８卷 第 ２ 期 ２０ ０ ８年 ４ 月
天 津 师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＴｉｎｉ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔｏ ） ｏ ｒ ａ ａ ｊｎ Ｎｏ ｍａ ｉｅｓｔ ｏ ｙ（ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉ ｎ ｉ
… ．
个 比较经典 的问题 ， 其应用也 比较广泛． 文献 Ｅ］给 １
出了再生核空 间 ［ ，］ 口 ６ 和 （ ）并且定 义 了相应 Ｒ ，
的 内积和范数 ； 文献 ［］讨论了 Ｗ；Ｒ）中的一个有界 ２ （ 线性泛 函的最佳逼近 ； 文献［ ］讨论 了 ｗ ，］中有 ３ ６ 界线 性算子 的最佳逼 近 ； 献［］介绍 了 Ｗ５Ｒ 文 ４ （ ）中函 数逼 近的 一种 新 方 法 ， 给 出 了 州 （ ）的再 生 核 ： 并 Ｒ
ｅ ａｏ ｓｆｏ ｔ ｅｒｐ ｏ ｕ ｉｇ ｋ ｒ ｅ ｐ ｃ （ ｒｔｒ ｒ ｍ ｈ ｅ ｒｄ ｃ ｅ ｎ ｌｓ ａ ｅＷ； Ｒ）ｔ ｈ ｏ ｔｎ ｏ ห้องสมุดไป่ตู้ｆｎ ｔ ｎ ｓ ａ ｅＣ（ ｎ Ｏ ｔ ｅｃ ｎ ｉｕ ｕ ｕ ｃｉ ｐ ｃ Ｒ）ａｅｏ ｔｉｅ ．Ｔｈ ｘ ｒｓ ｏ ｒ ｂａｎ ｄ ｅｅ ｐ ｅ —
一
些性 质 ， 而在 等 度 连 续的 务 件 下给 出 了一 种 最 佳 逼 近 的 表 达 式． 进
文 献 标 识 码 ：Ａ
关 键 词 ： 生核 空 间 ；最佳 逼 近 算 子 ；最 佳 逼 近偏 差 再
中 圈分 类 号 ：Ｏ１ ４ ４ ７．１
Ｔｈ ｅ ｔａ ｐ ｏ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｏ ｎ ｅ ｉ ａ ｐｅ ａ ｏ ｓｏ ｅ ｂ ｓ ｐ ｒ ｘ ｍ ｔｏ ｆｂ ｕ ｄ ｄ ｌｎｅ ｒ ｏ ｒ ｔ ｒ ｎ
再生核空间H(K)中的二阶微分算子插值样条
取 范 数 ＝＜・ ＞ Ｋ）空 间 是 再 生核 空 间 ， ，・ ¨， Ｈ（
１ 再生核 Ｈ（ 空间及其二阶微分算子样条
考虑 Ｓ ｂ ｌ ｏ ｏｅ ｖ空 间
收 稿 日期 ：０２ ５ ０ ２ ０ —０ －３
基 金 项 目 ： 龙 江 省 自然 科 学 基 金 项 目 （ １ ｌ ） 黑 ＡＯ 一 ２
ｇ ｖ ｔ ｑ ｉ ａ ｅ ｔ ｒ ｌ ｔ ｎ ｎ ｒ ｖ ｈ ｔ ｉｓ ２— ｔ ｉ ｅ ｅ ｔａ ｐ ｒ ｔ ｒ ｉ ｔ ｒ ｌ ｔｏ ｐｌ ｕ ｃ ｉ ｎ ｉ ｅ ｉ ｅ ｕ ｖ ｌ ｎ ｅａ ｉ ｓ ａ ｄ ｐ ｏ ｅ ｔ ａ ｔ — ｈ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｌｏ ｅ ａ ｏ ｎ ｅ ｐｏ ａ ｉ ｎ ｓ ｉ ｆ ｎ ｔｏ ｓ ｏ ｆ ｎｅ ｉ ｅ ｐｒ ｓ ｅ ｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｒ ｐｒ ｄ ｃ ｎ ｅ ｎ ｌ ｂ ｔ ａ ｓ ｙ ｐｏ ｙ ｏ ａ ｕ ｃ ｉ ｎ ． ｏ ｉ ｈ ｈ ｏ ｙ ｔ ｓ ｘ ｅ ｓ ｄ ｎ ｔ ｏｎ ｙ ｂ ｈ ｅ ｏ ｕ ｉ ｇ ｋ ｒ ｅｓ ｕ ｌ ｏ ｂ ｌ ｇ ｎ ｌｆ ｎ ｔｏ ｓ Ｓ ｎ ｔ ｅ ｔ ｅ ｒ ，ｉ
摘
要 ： 论 再 生核 日（ 空间 中的样条 函数 ， 出了其 等价 性 条件 ； 明 了它 的一个二阶微 分算 讨 给 证
子插值 样 条 既可 由再 生核 函数表 示 又可 由折 线 函数 表 示 ， 不仅 在 理论 上便 于 获得 此种 插值 样条 函 这 数 的最佳 性质 ， 而且 在应 用 上也便 于数 值 计算 ．
再 生 核 函数 为
Ｋ ｘ Ｙ ＝ｍ ｎ ｘ Ｙ （， ） ｉ ｛， ｝
ｘ ｅ ，ｌ ，［ 】 ｙ０
事 实 上 ， 于 任 何 ｈ ｘＥ Ｋ）总 有 对 （）Ｈ（ ，
热流密码体制中伪抛物型方程的再生核解法
方程 （ ）属于近 年来 引起广泛 重 视 的一 类 非经 典 ２
方程 —— 伪抛物 型方程 ．
Ｌ１ ［ ］＝（ （ ｕ ） Ｐ ） 一（ （ Ｚ Ｐ ） ＋ （ Ｈ ｑ ）＋１ Ｍ 一 ）
ｑ ） （ ｕ
ｒ
所 谓 的热 流 密码 体 制 也不 例 外 ， 本型偏 微 分 方程 系 统． 这一 密 码体 制 的
正 向和反 向 问题 的适 定 性 ， 而它 的 保 密性 则 基 于 未知 方程 系数 的情 形下伪 抛 物型方 程反 问题 的非
适定性 ．
由此 可 见 ， 抛 物 型偏 微 分方 程 的特 有 性 质 伪
构成 了热 流 密码体 制可 行性 的理论 支撑．
记 Ｄ ＝ ［ ，］ × ［ ，］ ０１ ０ １ ，再 生 核 空 问 （ Ｄ）＝－ ［ ，］ － ０ １ Ｏ ［ ，］被定义为 ： ３ ０１ （． ３ ）
被定 义 为 ：
２２ ｌ）
＝
［ ，］ ０ １ ｏ ［，］ ０１
定理 ２
（ 二 ）
（ （ ∞） ∈Ｄ ） ｍ
，
（ ）＝｛（， Ｄ “ ￡ ）＝∑Ｏ， （） ｌ Ｌｈ （ × ｋｆ ｌ ）
．
（ ）＝ Ｐ ）Ｍ ＝∑ ＜ （ （ ） ，
Ｉ ｌ
ｎ
＞ Ｘ
１ １ ＝
∑ Ｉ “Ｉ ＜∞ ａ
对 任意 的 ｕ ，） ， ∈ （２（ ， 其 上定 （ ｔ ，（ ｔ ） Ｄ） 在 ） －
（ ）＝∑ ∑ Ｆ ） （ 一 Ｍ （ ）
Ｉ＝ ｌ
ｎ
＝ｌ
∑ ∑ ｅ（ ） （ ． ）
‘＝ ｌ ＝ ｌ
１ ２ 再 生核 空 间中求 解方 程 ．
ｎ
双臂空间机器人姿态控制的再生核解法
双臂空间机器人姿态控制的再生核解法
郭琦;洪炳熔
【期刊名称】《计算机学报》
【年(卷),期】2005(028)002
【摘要】对于双臂n自由度(n为正整数)空间机器人的姿态控制问题,在控制算法中,利用再生核替代传统的Fourier基函数,能克服Fourier变换不能用于局部分析的缺点,且对奇性敏感,求解稳定,并能提高控制精度,因此该文给出了一种基于再生核理论的最优控制算法.同时给出了双臂n自由度空间机器人广义雅可比矩阵的求导公式.该求导公式较以往的推导方法具有显式、易求的特点.在数值试验中,针对双臂三自由度空间机器人的模型进行了仿真,结果表明,利用文中提出的再生核解法解决双臂空间机器人的姿态控制问题是有效的.
【总页数】9页(P232-240)
【作者】郭琦;洪炳熔
【作者单位】哈尔滨工业大学计算机科学与工程系,哈尔滨,150001;哈尔滨工业大学计算机科学与工程系,哈尔滨,150001
【正文语种】中文
【中图分类】TP242
【相关文献】
1.双臂空间机器人利用内部运动的姿态控制 [J], 王景;刘良栋
2.双臂自由飞行空间机器人的姿态控制方案 [J], 洪炳熔;王鸿鹏;吴葳
3.基于RMDM的双臂自由飞行空间机器人姿态控制算法 [J], 洪炳烷;何光彩
4.不确定性双臂空间机器人自适应模糊优化控制 [J], 陈花卫
5.配置弹簧阻尼装置空间机器人双臂捕获卫星操作缓冲柔顺控制 [J], 朱安;陈力因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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再生核定义：H是一个定义在一抽象集合B的实值或复值的Hilbert函数空间，对任意f(x)属于H，x属于B，若存在二元函数K(x,y)，满足：(1)对任意固定y属于B，K(x,y)作为x的函数属于H；(2)对任意f(x)属于H，有f(y)=(f(x),K(x,y))H(H为下标)。
则称K(x,y)为H的再生核，H是以K(x,y)为再生核的Hilbert空间，简称再生核Hilbert空间，简记为RKHS(Reproducing Kernel Hilbert Space)。
通常称(2)为再生性质。
性质：(1)唯一性：如果Hilbert空间有再生核K(x，y)，则再生核唯一(如果内积不同，也可能有不同的再生核)；(2)存在性：Hilbert空间H有再生核=所有的泛函et(t为下标)，t∈E在H上连续；(3)全空间与子空间核的关系；参考《以{EI}I^N=1为正交基的再生核HILBERT空间》--李莎莎，郭锐(4)正定性：任何一个再生核都是正定矩阵(对应的二次型)。
数学解释定义：H是一个定义在一抽象集合B的实值或复值的Hilbert函数空间，对任意f(x)属于H，x属于B，若存在二元函数K(x,y)，满足：(1)对任意固定y属于B，K(x,y)作为x的函数属于H；(2)对任意f(x)属于H，有f(y)=(f(x),K(x,y))H(H为下标)。
则称K(x,y)为H的再生核，H是以K(x,y)为再生核的Hilbert空间，简称再生核Hilbert空间，简记为RKHS(Reproducing Kernel Hilbert Space)。
通常称(2)为再生性质。
性质：(1)唯一性：如果Hilbert空间有再生核K(x，y)，则再生核唯一(如果内积不同，也可能有不同的再生核)；(2)存在性：Hilbert空间H有再生核=所有的泛函et(t为下标)，t∈E在H上连续；(3)全空间与子空间核的关系；参考《以{EI}I^N=1为正交基的再生核HILBERT空间》--李莎莎，郭锐(4)正定性：任何一个再生核都是正定矩阵(对应的二次型)。
我们知道对于一个连续函数，用紧支撑的频率范围在[-oimga，omiga]内,也就是带限的傅立叶表示,这样的要完全重构的函数系数，即傅立叶变换系数是有界的就可以得出函数本身可以表示成函数的抽样值得叠加。
就是f(x)=sum(f(n*pi/omiga)*sin(omiga*x-n*pi))/(omiga*x-n*pi)).只要采样速率取到omiga/pi这个那奎斯特速率上就可以，但是为了使sinc衰减更快些，可使用大于1倍的那奎斯特速率去采样。
当然，如果小于1的话，肯定会产生频谱混叠了。
这样函数就可以由其抽样f(n.)和sinc函数的线性组合来表示，这是在指时域的表示。
这里sinc就相当于一个再生核函数，说明白些，这其实就相当于希尔伯特空间基的概念。
只是这其中的理论很复杂，小波在希尔伯特空间中相当于再生核，所有的函数都是投影在小波上的。
虽然小波系数积分为零，而函数的积分不为零。
统计学习理论的本质正在读(2人)，已读过(6人)放入书架分享到：开心网|人人网当当价：￥25.90定价：￥32.00折扣：81折顾客评分：已有6人评论作者：(美)瓦普尼克著，张学工译出版社：清华大学出版社出版时间：2000-9-1本书是在前一版的基础上修订而成的，书中主要介绍了统计学习理论和支持向量机的关键思想、结论和方法，以及该领域的最新进展。
全书增加了关于SVM方法的三章新内容，其中包括把SVM方法推广到用于估计实值函数，基于(用SVM方法)求解多维积分方程的直接方法，以及经验风险最小化原则的扩展及其在SVM中的应用。
该书可供各大专院校作为教材使用，也可供从事相关工作的人员作为参考用书使用。
内容简介统计学习理论是针对小样本情况研究统计学习规律的理论，是传统统汁学的重要发展和补充，为研究有限样本情况下机器学习的理论和方法提供了理论框架，其核心思想是通过控制学习机器的容量实现对推广能力的控制。
在这一理论中发展出的支持向量机方法是一种新的通用学习机器，较以往方法表现出很多理论和实践上的优势。
本书是该领域的权威著作，着重介绍了统计学习理论和支持向量机的关键思想、结论和方法，以及该领域的最新进展。
本书的读者对象是在信息科学领域或数学领域从事有关机器学习和函数估计研究的学者和科技人员，也可作为模式识别、信息处理、人工智能、统计学等专业的研究生教材。
目录译序第二版前言第一版前言0引论：学习问题研究的四个阶段0.1 Rosenblatt的感知器(60年代)0.1.1感知器模型0.1.2对学习过程分析的开始0.1.3对学习过程的应用分析与理论分析0.2学习理论基础的创立(60-70年代) 0.2.1经验风险最小化原则的理论0.2.2解决不适定问题的理论0.2.3密度估计的非参数方法0.2.4算法复杂度的思想0.3神经网络(80年代)0.3.1神经网络的思想0.3.2理论分析目标的简化0.4回到起点(90年代)第一章学习问题的表示1.1函数估计模型1.2风险最小化问题1.3三种主要的学习问题1.3.1模式识别1.3.2回归估计1.3.3密度估计(Fisher-wald表示)1.4学习问题的一般表示1.5经验风险最小化归纳原则1.6学习理论的四个部分非正式推导和评述--1 1.7解决学习问题的传统模式1.7.1密度估计问题(最大似然方法)1.7.2模式识别(判别分析)问题1.7.3回归估计模型1.7.4最大似然法的局限1.8密度估计的非参数方法1.9用有限数量信息解决问题的基本原则1.10基于经验数据的风险最小化模型1.11随机逼近期间第二章学习过程的一致性2.1传统性的一致性和非平凡一致性概念2.2学习理论的关键定理2.3一致双边收敛的充分必要条件2.4一致单边收敛的充分必要条件2.5不可证伪性理论2.6关于不可证伪性的这定理2.7学习理论的三个里程碑非正式指导和评述--2 2.8概率论和统计学的基本问题2.9估计概率测度的两种方式2.10概率测度的强方式估计与官度估计问题2.11 Glivenko-Cantelli及其推广2.12归纳的数学理论第三章学习过程收敛速度的界3.1基本不等式3.2对实函数集的推广…第四章控制学习过程的推广能力第五章模式识别的方法第六章函数估计的方法第七章统计学习理论中的直接方法第八章邻域风险最小化原则与SVM第九章结论：什么是学习理论中重要的?参考文献及评述索引统计学习基础：数据挖掘、推理与预测正在读(7人)，已读过(56人)放入书架分享到：开心网|人人网当当价：￥36.00定价：￥45.00折扣：80折顾客评分：已有31人评论作者：(美)黑斯蒂等著，译者：范明柴玉梅昝红英出版社：电子工业出版社出版时间：2004-1-1随着计算机和信息时代的到来，统计问题的规模和复杂性都有了急剧增加。
数据存储、组织和检索领域的挑战导致一个新领域"数据挖掘"的产生。
数据挖掘是一个多学科交叉领域，涉及数据库技术、机器学习、统计学、神经网络、模式识别、知识库、信息提取、高性能计算等诸多领域，并在工业、商务、财经、通信、医疗卫生、生物工程、科学等众多行业得到了广泛的应用。
本书试图将学习领域中许多重要的新思想汇集在一起，并且在统计学的框架下解释它们。
尽管有些数学细节是必要的，但本书强调的是方法和它们的概念基础，而不是理论性质。
本书内容广泛，从有指导的学习(预测)到无指导的学习，应有尽有。
包括神经网络、支持向量机、分类树和提升等主题，是同类书籍中介绍得最全面的，适合从事数据挖掘和机器学习研究的读者阅读。
内容简介计算和信息技术的飞速发展带来了医学、生物学、财经和营销等诸多领域的海量数据。
理解这些数据是一种挑战，这导致了统计学领域新工具的发展，并延伸到诸如数据挖掘、机器学习和生物信息学等新领域。
许多工具都具有共同的基础，但常常用不同的术语来表达。
本书介绍了这些领域的一些重要概念。
尽管应用的是统计学方法，但强调的是概念，而不是数学。
许多例子附以彩图。
本书内容广泛，从有指导的学习(预测)到无指导的学习，应有尽有。
包括神经网络、支持向量机、分类树和提升等主题，是同类书籍中介绍得最全面的。
本书可作为高等院校相关专业本科生和研究生的教材，对于统计学相关人员、科学界和业界关注数据挖掘的人，本书值得一读。
作者简介Trevor Hastie,Robert Tibshirani和Jerome Friedman都是斯坦福大学统计学教授，并在这个领域做出了杰出的贡献。
Hastie和Tibshirani提出了广义和加法模型，并出版专著"Generalized Additive Models"。
Hastie的主要研究领域为：非参数回归和分类、统计计算以及生物信息学、医学和工业的特殊数据挖掘问题。
他提出主曲线和主曲面的概念，并用S-PLUS编写了大量统计建模软件。
Tibshirani的主要研究领域为：应用统计学、生物统计学和机器学习。
他提出了套索的概念，还是"An Introduction to the Bootstrap"一书的作者之一。
Friedman是CART、MARS和投影寻踪等数据挖掘工具的发明人之一。
他不仅是位统计学家，而且是物理学家和计算机科学家，先后在物理学、计算机科学和统计学的一流杂志上表发论文80余篇。
第1章绪论第2章有指导学习概述2.1引言2.2变量类型和术语2.3两种简单预测方法：最小二乘方和最近邻法2.4统计判决理论2.5高维空间的局部方法2.6统计模型、有指导学习和函数逼近2.7结构化回归模型2.8受限的估计方法类2.9模型选择和偏倚-方差权衡文献注释习题第3章回归的线性方法3.1引言3.2线性回归模型和最小二乘方3.3从简单的一元回归到多元回归3.4子集选择和系数收缩3.5计算考虑文献注释习题第4章分类的线性方法4.1引言4.2指示矩阵的线性回归4.3线性判别分析4.4逻辑斯缔回归4.5分离超平面文献注释习题第5章基展开与正则化5.1引言5.2分段多项式和样条5.3过滤和特征提取5.4光滑样条5.5光滑参数的自动选择5.6无参逻辑斯缔回归5.7多维样条函数5.8正则化和再生核希尔伯特空间5.9小波光滑文献注释习题第6章核方法6.1一维核光滑方法6.2选择核的宽度6.3 IRp上的局部回归6.4 IRp上结构化局部回归模型6.5局部似然和其他模型6.6核密度估计和分类6.7径向基函数和核6.8密度估计和分类的混合模型6.9计算考虑文献注释习题第7章模型评估与选择7.1引言7.2偏倚、方差和模型复杂性7.3偏倚-方差分解7.4训练误差率的乐观性7.5样本内预测误差的估计7.6有效的参数个数7.7贝叶斯方法和BIC 7.8最小描述长度7.9 Vapnik-Chernovenkis维7.10交叉验证7.11自助法文献注释习题第8章模型推理和平均8.1引言8.2自助法和极大似然法8.3贝叶斯方法8.4自助法和贝叶斯推理之间的联系8.5 EM算法8.6从后验中抽样的MCMC 8.7装袋8.8模型平均和堆栈8.9随机搜索：冲击文献注释习题第9章加法模型、树和相关方法9.1广义加法模型9.2基于树的方法9.3 PRIM--凸点搜索9.4 MARS：多元自适应回归样条9.5分层专家混合9.6遗漏数据9.7计算考虑文献注释习题第10章提升和加法树10.1提升方法10.2提升拟合加法模型10.3前向分步加法建模10.4指数损失函数和AdaBoost 10.5为什么使用指数损失10.6损失函数和健壮性10.7数据挖掘的"现货"过程10.8例：垃圾邮件数据10.9提升树10.10数值优化10.11提升适当大小的树10.12正则化10.13可解释性10.14实例文献注释习题第11章神经网络11.1引言11.2投影寻踪回归11.3神经网络11.4拟合神经网络11.5训练神经网络的一些问题11.6例：模拟数据11.7例：ZIP编码数据11.8讨论11.9计算考虑文献注释习题第12章支持向量机和柔性判别12.1引言12.2支持向量分类器12.3支持向量机12.4线性判别分析的推广12.5柔性判别分析12.6罚判别分析12.7混合判别分析12.8计算考虑文献注释习题第13章原型方法和最近邻13.1引言13.2原型方法13.3 K-最近邻分类器13.4自适应的最近邻方法13.5计算考虑文献注释习题第14章无指导学习14.1引言14.2关联规则14.3聚类分析14.4自组织映射14.5主成分、曲线和曲面14.6独立成分分析和探测性投影寻踪14.7多维定标文献注释习题术语表参考文献题名：样条函数与再生核*责任者：张新建,龙汉著*出版社：国防科技大学出版社*出版地：长沙*分类号：O241.5*摘要：全书共分7章，内容包括：再生核的基本理论、多项式再生核、微分算子确定的再生核、多项式样条函数、微分算子样条函数等。