安徽省天长中学2020届高三4月调研考试 数学(理)试题

2020届高三下学期4月调研理科数学全卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.已知集合2{|280}P x x x =--≤， {|}Q x x a =≥， ()C P Q ⋃=R R ，则a 的取值范围是A. ()2,∞-+B. ()4,∞+C. (],2∞--D. (],4∞- 2.若复数z 满足1ziz i=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 A.2B. 2C. 22D. 42 3.已知平面，则“”是“”成立的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为A. 720B. 768C. 810D. 816 5.函数()sin 2ex xf x =的图象的大致形状是6.设数列{}n a 为等差数列， n S 为其前n 项和，若113S ≤， 410S ≥， 515S ≤，则4a 的最大值为A. 3B. 4C. 7-D. 5-7.已知: 3sin cos 2αβ+=，则cos2cos2αβ+的取值范围是 A. []2,2- B. 3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+u u u v u u u v u u u u v，12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=u u v u u u u v（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．329.将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（ ）A. B.C.D.10.已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++= A. 2 B. 4 C. 8 D. 随a 值变化11.已知12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M N 、均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222,f x x x x=+-，则()f e =A. 1B. 3C. 2D.512.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()331f x f x '+>，()116f =，则()11620x f x e--+≤的解集为 A. [)1+∞， B. ()1+∞， C.(]1-∞，D. ()1-∞， 第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________． 14.已知实数，满足约束条件则的最小值是_________.15.已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．16.类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球的一个内接四面体中，，过球心，若该四面体的体积为1，且，则球的表面积的最小值为______.三、解答题(本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)17. （本题满分12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．(Ⅰ)求； (Ⅱ)若，点，是线段的两个三等分点，，，求的值． 18. （本题满分12分）如图，在边长为4的正方形中，点分别是的中点，点在上，且，将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.试判断与平面的位置关系，并给出证明； 求二面角的余弦值.19. （本题满分12分）已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上， 1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3,23-， ()2,0-，()4,4-， 22,2⎭． （1）求1C ， 2C 的标准方程；（2）是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交于不同的两点,M N 且满足OM ON u u u u v u u u v？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．20. （本题满分12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示.（1）求这4000名考生的半均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由直方图可认为考生考试成绩z 服从正态分布，其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到0.001） 附：①；②，则； ③.21. （本题满分12分）已知函数.（1）当时,讨论函数的单调性；（2）当时,若不等式在时恒成立,求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为cos 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为4cos a ρθ=（0a >）.（Ⅰ）设t 为参数，若12y t =，求直线l 的参数方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于P ， Q ，设(0M -，，且3||PQ MP MQ =⋅，求实数a 的值.23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()223,23 2.f x x a x g x x =-++=-+ （Ⅰ）解不等式()5g x <；（Ⅱ）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，试求实数a 的取值范围.参考答案1.C2.A3.A4.B5.A6.B7.D8.B9.D 10.A 11.C 12.C13.14.-8 15.44 16.17.(1)；(2).解：(Ⅰ)∵，则由正弦定理得：，∴，∴，又，∴(Ⅱ)由题意得，是线段的两个三等分点，设，则，，又，，在中，由余弦定理得，解得（负值舍去），则，又在中，. 或解：在中，由正弦定理得：，∴，又，，∴，∴为锐角，∴，∴，又，∴，∴，∴，，∴在中，．18. 解：（1）平面．证明如下：在图1中，连接，交于，交于，则，在图2中，连接交于，连接，在中，有，，． 平面，平面，故平面；（2）连接交与点，图2中的三角形与三角形PDF 分别是图1中的与，，又，平面，则，又，平面， 则为二面角的平面角．可知，则在中，，则． 在中，，由余弦定理，得．二面角的余弦值为．19.解：（Ⅰ）设抛物线()22:20C y px p =≠，则有()220y p x x=≠， 据此验证四个点知(3,23-， ()4,4-在抛物线上， 易得，抛物线2C 的标准方程为22:4C y x =设椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，把点()2,0-，22,2⎭代入可得224,1a b == 所以椭圆1C 的标准方程为2214x y +=（Ⅱ）由椭圆的对称性可设2C 的焦点为F （1，0）， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =直线l 交椭圆1C 于点33,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭·0OM ON ≠u u u u r u u u r ，不满足题意当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-， 并设()()1122,,,M x y N x y由()221{44y k x x y =-+=，消去y 得， ()()222218410k x k x k +-+-=，于是()22121222418,?1414k k x x x x k k -+==++ 21223·14k y y k-=+ ①， 由OM ON ⊥u u u u r u u u r得12120x x y y += ② 将①代入②式，得()22222241340141414k k k k k k----==+++，解得2k =± 所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为220x y --=或220x y +-= 20.（1）分；（2）634人；（3）0.499解：（1）由题意知： 中间值 概率∴，∴名考生的竞赛平均成绩为分. （2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，而，∴.∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人.（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.而，∴.21.解：（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）.解析：（1）由题意，知,∵当a<0，x>0时，有.∴x>1时，；当0<x<1时，.∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在（1，+∞）上单调递减. （2）由题意，当a=1时，不等式在x ∈(1，+∞)时恒成立.整理，得在(1，+∞)上恒成立.令.易知，当b≤0时，，不合题意. ∴b>0 又，. ①当b≥时，.又在[1，+∞)上单调递减.∴在[1，+∞)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上单调递减.所以,符合题意；②时，,,又在[1，+∞)上单调递减,∴存在唯一x 0∈(1，+∞)，使得. ∴当h(x)在(1，x 0)上单调递增，在(x 0，+∞)上单调递减.又h(x)在x=1处连续，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x 0)上恒成立，不合题意. 综上所述，实数b 的取值范围为[，+∞ ).22. (Ⅰ) 32{1232x y t==-（t 为参数）；(Ⅱ) 51a =.解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为cos 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以13cos sin 32ρθθ=，即1332x y =， 因为t 为参数，若1232y t =-，代入上式得32x t =，所以直线l的参数方程为2{ 12x y t ==-（t 为参数）；（Ⅱ）由4cos a ρθ=（0a >），得24cos a ρρθ=（0a >）， 由cos x ρθ=， sin y ρθ=代入，得224x y ax +=（0a >） 将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得)21120t a t -++=.（*）)()221412140a a ⎡⎤∆=+-⨯=+->⎣⎦. )121t t a +=+， 1212t t =，设点P ， Q 分别对应参数1t ， 2t 恰为上述方程的根. 则1MP t =， 2MQ t =， 12PQ t t =-， 由题设得21212||t t t t -=.则有)21600a ⎡⎤-+-=⎣⎦，得1a =或1a =--因为0a >，所以1a =.23.(Ⅰ) {}|0 3 x x <<；(Ⅱ) ()[),51,.-∞-⋃-+∞ 解析：（Ⅰ）由题设，得2325x -+<， 2333233x x ∴-<⇔-<-<，03x ∴<<，∴所求不等式的解集为{}|0 3 x x <<，（Ⅱ）由题意，知(){}(){}| | y y f x y y g x =⊆=， ()()()2232233f x x a x x a x a =-++≥--+=+Q ， ()2322g x x =-+≥，32a ∴+≥，32a ∴+≤-或32,5a a +≥∴≤-或 1.a ≥-故所求实数a 的取值范围是()[),51,.-∞-⋃-+∞。