几种重要的连续型分布
几种常用的连续型分布
在统计学中，有许多常用的连续型分布可以用来描述随机变量和概率密度函 数。这些分布具有不同的特征和应用场景。
正态分布
正态分布是最常见的连续概率分布之一，在自然界和社会科学中广泛应用。 它以钟形曲线为特征，对称且准确描述了许多随机现象。比如人的身高、体 重、考试成绩等。
柏松分布
柏松分布描述离散事件在一定时间或空间内发生的次数的概率。例如，在给 定时间段内接到的电话数量等。
伽玛分布
伽玛分布用于描述连续事件中时间间隔发生的概率。例如，等最大或最小范围之间的连续随机变量的概率。它常用于 统计学、机器学习和贝叶斯推理等领域。
指数分布
指数分布用于描述连续事件之间的时间间隔。它在可靠性工程、队列论和金 融领域中具有重要应用。
二项分布
二项分布描述成功和失败的次数的概率。它适用于具有两个可能结果的独立 试验，例如硬币投掷和产品合格率等。
均匀分布
均匀分布的特点是概率密度函数在一个范围内保持恒定。它用于描述连续随 机变量的可能取值范围是完全随机的情况。
连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
概率分布的种类与性质
概率分布的种类与性质概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机变量的取值与其对应的概率。
不同的随机变量具有不同的概率分布，而概率分布又可以分为多种种类。
本文将介绍常见的概率分布种类及其性质。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量取有限个或可数个值的概率分布。
常见的离散型概率分布有以下几种：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是最简单的离散型概率分布，它描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果（正面或反面）。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是一种重要的离散型概率分布，它描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中k=0,1,...,n，C(n,k)为组合数，p为成功的概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是一种用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的离散型概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中k=0,1,2,...，λ为平均发生率。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量取值为连续区间内的概率分布。
常见的连续型概率分布有以下几种：1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型概率分布，它在给定区间内的取值概率相等。
均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a为区间下界，b为区间上界。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是一种重要的连续型概率分布，也被称为高斯分布。
正态分布具有钟形曲线，对称分布于均值周围。
2.4_几种常见的连续型随机变量的分布
F ( x)
x
1 2
e
( x )2 2 2
dt
(2) 正态分布的密度函数 f(x) 的图形的性质
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
, x
正态曲线
(1) f(x) 关于 是对称的.
1 在 点 f(x) 取得最大值 . 2
2.4 几种常见的连续型随机变 量的分布
(1) 均匀分布 (2) 指数分布
(3) 正态分布（重点）
1 、均匀分布
如果随机变量 X 的概率密度为
1 , a xb f ( x) b a 其它 0,
则称 X 在区间 [a, b]上服从均匀分布. 记为 X～U[a, b].
由于 P{c x d } f ( x)dx
b
x
abBiblioteka x例1 设随机变量 X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，
试求至少有两次观测值大于 3 的概率.
解： 记 A = { X > 3 },
则 P(A) = P( X> 3) = 2/3
设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数, 则 Y~ B(3, 2/3)，所求概率为
P (Y ≥ 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3)
（2）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？
解 （1）P{在100 h以内需要维修} P( X 100}
100 0
100
f ( x)dx
0.002e0.002 x dx 1 e0.2 0.1813
（2） P{能无故障使用600 h以上} P( X 600}
概率论-随机变量的几种重要分布及数字特征
2. 若X 是随机变量，若C是常数，则 E(CX ) CE( X );
3. 若 ( X ,Y )是二维随机向量，则
E( X Y ) E( X ) E(Y );
注： 推广到 n 维随机向量，有
n
n
E( Xi ) E(Xi )
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
i 1
数学期望的性质
4. 若 ( X ,Y ) 是二维随机向量，且 X ,Y相互独立,
E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
特别地，当X与Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0.
协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov(aX ,bY ) abcov( X ,Y ), 其中 a,b 是
定理1 设 X 是一个随机变量，Y g( X ), 且E(X ) 存
在, 于是
(1) 若X 为离散型随机变量，其概率分布为
P{ X xi } pi , i 1,2,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则Y的数学期望为
i 1
E(Y ) E[g( X )] g(xi ) pi;
cov( X ,Y )
[x E( X )][ y E(Y )] f ( x, y)dxdy.
协方差的定义
利用数学期望的性质，易将协方差的计算化简.
cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]} E( XY ) E( X )E(Y ) E(Y )E( X )
x0
2.4常用的连续型分布
) 0 (
)
)
x1 P{ X x1} 1 ( x1 ) 1 0 ( )
P{ X x1} ( x1 ) 0 (
x1
)①
p1 0 (
4
4
) 0 ( 1)
p2 1 0 (
5
5
) 1 0 (1)
6
3. 定理2.5（指数分布的无记忆性）非负 连续型随机变量X服从指数分布的充要 条件是对任意的正实数r, s有
P{X r s X s} P{X r}
例. 某元件的寿命X服从指数分布，已知 其平均寿命为1000小时，求3个这样的元 件使用1000小时，至少已有一个损坏的概 率。（P64例2.22）
三. 正态分布
1.定义 如果随机变量X的概率密度函数为
( x )2 2 2
( x)
1 2
e
,
x
其中 和 2都是常数， 任意， >0， 则称 X 服从参数为 和 2的正态分布. 记作 X ~ N ( μ , σ 2 ).
2. 数字特征
X 的分布函数为
0, x x a F ( x) f (t ) d t , ba 1
x a, a x b, xb
3
二. 指数分布
1.定义 如果随机变量X的概率密度函数为
λ e , x 0 f ( x) ( λ 0) x0 0, 则称X服从参数为的指数分布,记为X ~ e().
推论2: X～N(, 2)的充要条件是存在随机变量 ξ ～N(0, 1), 使得X= ξ + .
下面介绍2个常用二维连续型随机变量分布
下面介绍2个常用二维连续型随机变量分布1. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最为常见的连续型随机变量分布之一，其概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）表达式如下：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]其中，μ为分布的均值（即期望值），σ为分布的标准差。
正态分布的特点如下：-对称性：正态分布呈现中心对称的特点，均值μ处为分布的中心位置，左右两侧的概率密度相等；-单峰性：正态分布具有一个单峰，峰值即为μ处的概率密度最大值；-形态可变性：正态分布具有可调整的均值和标准差，通过调整这两个参数可以改变分布的形态；-中心极限定理：在许多随机现象中，大量独立同分布的随机变量经过适当的标准化后，其和的分布趋近于正态分布。
正态分布在实际应用中非常广泛，尤其在自然环境中具有重要地位，例如重量、身高、应力等现象通常会服从正态分布。
此外，正态分布在统计推断、假设检验等领域也有着重要的应用。
2. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布是一种表示事件间隔时间的连续型随机变量分布，其概率密度函数表达式如下：\[f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\]其中，λ为分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布的特点如下：-无记忆性：指数分布具有无记忆性的特点，即已经发生的时间不会影响未来事件的发生时间；-单峰性：指数分布呈现等概率下降的单峰分布，其概率密度随着时间的增加而递减；-非负性：指数分布的随机变量的取值范围为非负数。
指数分布在实际应用中有较广泛的应用，尤其与事件发生、生存分析等相关，例如到达时间、等待时间、设备寿命等都适合使用指数分布进行建模。
综上所述，正态分布和指数分布是两种常用的二维连续型随机变量分布。
二项式分布泊松分布高斯分布
二项式分布泊松分布高斯分布1.引言1.1 概述概述二项式分布、泊松分布和高斯分布是概率统计学中重要的概率分布函数，它们在各个领域的应用非常广泛。
本文将对这三种分布进行详细介绍和分析。
二项式分布是一种离散型概率分布，描述了在一系列独立重复的“成功-失败”试验中成功次数的概率分布情况。
它的定义和特点将在本文中详细探讨。
二项式分布的应用领域广泛，如生物学中对基因的遗传分析、市场调研中对顾客购买行为的研究等。
泊松分布是另一种离散型概率分布，用于描述在一段固定时间或空间内事件发生的次数的概率分布情况。
它的定义和特点也将在本文中进行详细解析。
泊松分布在很多实际问题中都有应用，比如电话交换机中呼叫数量的模型、自然灾害发生频率的统计等。
高斯分布，也被称为正态分布，是一种连续型概率分布，它是自然界和人类社会中很多现象的理想模型。
高斯分布的定义和特点将在后面的章节中进行详细介绍。
高斯分布广泛应用于各个领域，如物理学中的测量误差分析、金融学中的资产收益率分布建模等。
通过对这三种分布的探讨和比较，我们可以更好地理解它们的特点和应用。
同时，我们还可以进一步探讨它们之间的关系，如泊松分布在大样本条件下逼近二项式分布，以及中心极限定理中高斯分布的应用等。
最后，本文还会展望一下这些分布在未来的发展方向和可能的研究方向。
总之，本文将全面介绍二项式分布、泊松分布和高斯分布，包括它们的定义、特点和应用领域。
通过深入研究这些分布，我们可以更好地理解概率统计学中的核心概念，为实际问题的解决提供更准确的分析工具和方法。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行探讨：2. 正文部分2.1 二项式分布2.1.1 定义和特点2.1.2 应用领域2.2 泊松分布2.2.1 定义和特点2.2.2 应用领域2.3 高斯分布2.3.1 定义和特点2.3.2 应用领域3. 结论部分3.1 总结3.2 对比与应用3.3 展望在正文部分，我们将逐一介绍二项式分布、泊松分布和高斯分布的定义、特点以及它们在实际应用中的领域。
连续型概率分布
连续型概率分布连续型概率分布是概率论中的一个重要概念，用于描述连续随机变量的可能取值范围及其对应的概率。
与离散型概率分布相比，连续型概率分布在数轴上的每一个点都有概率密度函数与之对应，而不是直接给出某个点的概率。
本文将介绍几种常见的连续型概率分布，包括均匀分布、正态分布和指数分布。
一、均匀分布均匀分布是一种简单而常见的连续型概率分布，它假设随机变量在一定的范围内取值的概率是相同的。
在数学上，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b - a)，a ≤ x ≤ b其中，a和b分别表示均匀分布的下界和上界。
图表上，均匀分布的概率密度函数在[a, b]区间内的取值是一个常数，且在[a, b]之外为0。
这意味着在[a, b]区间内的任意一个子区间上，概率密度的积分就是该子区间的长度除以[a, b]之间的总长度。
二、正态分布正态分布是统计学中最重要的连续型概率分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布在自然界和社会科学中的广泛应用使得它成为了研究的重点。
正态分布的概率密度函数可以写作：f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))其中，μ是均值，σ是标准差。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，其峰值位于μ处，标准差决定了曲线的形状。
正态分布具有许多重要的特性，如68-95-99.7法则，即大约68%的概率密度位于一个标准差范围内，95%位于两个标准差范围内，99.7%位于三个标准差范围内。
三、指数分布指数分布是描述连续随机事件发生的时间间隔的概率分布。
例如，某个服务台上的顾客到达时间间隔、两次地震发生的间隔等，都可以用指数分布来描述。
指数分布的概率密度函数可以写作：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0其中，λ是分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布的概率密度函数在区间[0, +∞)上递减，且总面积等于1。
指数分布还有一个重要的特性是无记忆性，即已经等待了一段时间后，再等待一段时间的概率与一开始等待这段时间的概率是相等的。
高考数学知识点精讲常见随机变量的分布类型
高考数学知识点精讲常见随机变量的分布类型高考数学知识点精讲：常见随机变量的分布类型在高考数学中，随机变量的分布类型是一个重要的知识点，理解和掌握这些分布类型对于解决概率相关的问题至关重要。
下面我们就来详细讲解一下常见的随机变量分布类型。
首先，我们来认识一下什么是随机变量。
简单来说，随机变量就是把随机试验的结果用数字表示出来。
比如说掷骰子，我们可以定义随机变量 X 为骰子掷出的点数，那么 X 可能取值 1、2、3、4、5、6。
常见的随机变量分布类型主要有以下几种：一、离散型随机变量的分布1、两点分布两点分布是最简单的一种离散型随机变量分布。
比如抛一枚硬币，正面朝上记为1，反面朝上记为0，那么这个随机变量就服从两点分布。
其概率分布为 P(X ＝ 1) ＝ p，P(X ＝ 0) ＝ 1 p ，其中 0 ＜ p ＜ 1 。
2、二项分布二项分布在实际生活中有很多应用。
比如进行n 次独立重复的试验，每次试验只有两种结果（成功或失败），成功的概率为 p ，失败的概率为 1 p 。
那么成功的次数 X 就服从二项分布，记为 X ～ B(n, p) 。
二项分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选出 k 个元素的组合数。
举个例子，假设一批产品的次品率为 02，从这批产品中随机抽取10 个，那么抽到次品个数 X 就服从二项分布 B(10, 02) 。
3、超几何分布超几何分布与二项分布有点类似，但适用的场景略有不同。
超几何分布是从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类物件的次数 X 就是超几何分布。
超几何分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／C(N, n) 。
比如说在一个有 50 个球，其中 20 个红球，30 个白球的盒子中，随机抽取 10 个球，红球的个数 X 就服从超几何分布。
连续型随机变量的分布)
指数分布是一种连续型概率分布，常用于描述两个连续事件之间的时间间隔。 若一个随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为f(x)=λe^(λx)，x>0。
性质
指数分布具有无记忆性，即无论已经等待了多久，下一个事件发生的概率与刚 开始等待时相同。此外，指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
制定提供依据。
03
可靠性试验设计
在可靠性试验设计中，指数分布可作为先验分布或假设检验的基础。例
如，在定时截尾试验中，可利用指数分布的性质对试验数据进行统计分
析，从而得出产品可靠性的相关结论。
04
正态分布
定义及性质
定义
正态分布是一种连续型概率分布，其 概率密度函数呈钟形曲线，具有对称 性和单峰性。
均匀分布在实际问题中应用
01
在实际问题中，均匀分布常被用来描述一些随机现象，如某段 时间内到达的顾客数、某段路程内行驶的车辆数等。
02
在统计学中，均匀分布可以作为其他更复杂分布的基础，如正
态分布、指数分布等。
在计算机模拟中，均匀分布的随机数生成器是其他更复杂随机
03
数生成器的基础。
03
指数分布
定义及性质
性质
连续型随机变量的取值是连续的，即任意两个相邻的实数之间都有无限多个实数。因此，对于连续型随机变量， 我们讨论其在某个区间内的概率，而不是具体某个点的概率（某点的概率为0）。
常见连续型随机变量类型
均匀分布
正态分布（高斯分布）
在某个区间[a, b]内，每个值出现的概率都相 等。其概率密度函数（PDF）是一个常数， 分布函数（CDF）是线性的。
指数分布概率计算
计算概率密度函数值
概率分布计算公式
概率分布计算公式概率分布是概率论中重要的概念之一，它描述了随机变量在各个取值上的取值概率。
在实际问题中，我们常常需要计算概率分布以解决相关的概率统计问题。
本文将介绍几种常见的概率分布以及它们的计算公式。
一、二项分布(Binomial Distribution)二项分布是概率论中常用的离散型概率分布，它描述了在一定次数的独立重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布。
其计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n, k)表示组合数，可以使用n个数任取k个的方式计算。
二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
二、泊松分布(Poisson Distribution)泊松分布是一种离散型概率分布，适用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数。
其计算公式为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ))/k!其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ表示单位时间(或单位空间)内事件发生的平均次数，e为自然对数的底。
泊松分布的期望为E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。
三、正态分布(Normal Distribution)正态分布是概率论中最重要的连续型概率分布，也称为高斯分布。
它的形状呈钟型曲线，对称于均值。
正态分布在实际问题中得到广泛应用。
其概率密度函数的计算公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^((-1/2)*((x-μ)/σ)^2)其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ为均值，σ为标准差，π为数学常数3.14159。
正态分布的期望为E(X)=μ，方差为Var(X)=σ^2。
四、指数分布(Exponential Distribution)指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数具有常数倍衰减的特点。
5几种重要的连续性分布
标准正态分布表 对于0(x) 由于0(x)关于x0对称 有 0(x)0(x)1
(280)
特别地 有0(0)05 当x0时 由0(x)10(x) 查表得 0(x) 即可得0(x) 提示
0(x) 0(t)dt 0(t)dt 10(x)
标准正态分布表
在附录中列出了标准正态分布的密度函数值表和分布函 数值表 但表中只列出x0时0(x)和0(x)的值 这是因为由正 态分布的对称性可以导出0(x)和0(x)在x0时的值
2 标准正态分布表 标准正态分布
当0 21 时 即 X~N(0 1) 称 X 服从标准正态分布 其 密度函数记作0(x) 即 2 x 0( x) 1 e 2 (277) 2π
4 一般正态分布的概率计算
一般正态分布与标准正态分布的关系 为一般正态分布 的概率计算提供了有效的途径 对于一般正态分布的有关问 题 尤其是概率计算 都可以转化为标准正态分布来解决
例224 已知X~N(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P{75X10} (3)P{|X8|1} (4)P{|X9|05} 解 (1) (9)P{X9} P{ X 8 98} P{ X 8 2} 0.5 0.5 0.5 0(2) 097725 (7)P{X7} P{ X 8 7 8} P{ X 8 2} P{ X 8 7 8} P{ X 8 2} 0..5 0..5 05 05 0..5 05 0(2)10(2) 002275
如果 X~N( ) 则
2
X
~ N (0.1)
推论2 X~N( 2)的充要条件是存在一个随机变量~N(0 1) 使 得X
提示
通常称为X的标准化
推论3 设X~N( 2) (x) (x)分别为其分布函数与密度函数 0(x) 0(x)是标准正态分布的分布函数和密度函数 则有 x ( x) 0 ( ) (287) x ( x) 1 0 ( ) (288)
讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布
,.第七讲连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布设连续型随机变量X 具有概率密度)5.4(,,0,,1)(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它b x a ab x f则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).X 的分布函数为)6.4(.,1,,,,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F（2）指数分布设连续型随机变量X 的概率密度为)7.4(,,0,0,e1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它x x f x θθ其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.容易得到X 的分布函数为第二章 随机变量及其分布§4 连续型随机变量 及其概率密度1=2,.)8.4(.,0,0,1)(/⎩⎨⎧>-=-其它x e x F x θ如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9)事实上}.{e ee )(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=>>⋂+>=>+>--+-θθθ性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.（3）正态分布设连续型随机变量X 的概率密度为)10.4(,,e21)(222)(∞<<-∞=--x x f x σμσπ其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).显然f(x)≥0, 下面来证明1d )(=⎰+∞∞-x x f令t x =-σμ/)(, 得到f (x )的图形:,.dx edx et x 22)(2222121-∞+∞---∞+∞-⎰⎰=πσπσμ.1d 21d 21)11.4(π2d d e,,d d ,de 22)(20222/)(22/2222222======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--∞∞---∞-+∞∞-+∞∞-+-∞∞--x ex e r r I u t e I t I t x r u ttπσπθσμπ于是得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:（1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意h>0有P{μ-h<X ≤μ}=P{μ<X ≤μ+h}.（2）.当x=μ时取到最大值.π21)(σμ=f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。
连续型分布函数
连续型分布函数连续型分布函数是概率论和数理统计中的一个重要概念，它描述了一个随机变量取某个值以下的概率。
在实际问题中，我们经常需要对连续型随机变量进行概率分析和统计推断。
本文将介绍连续型分布函数的定义、性质和常见的几种连续型分布函数。
一、连续型分布函数的定义连续型分布函数是指一个随机变量的取值范围是实数集，并且每一个实数都对应一个概率。
它可以表示为F(x)，表示随机变量取值小于等于x的概率，即P(X≤x)。
1. F(x)是一个非递减的函数，即对于任意的a≤b，有F(a)≤F(b)；2. F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3. 当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1；4. F(x)是右连续的，即对于任意的x，有F(x+)=F(x)；5. F(x)的变化是分段的，即在每个区间上是一个线性函数。
三、常见的连续型分布函数1. 均匀分布函数（Uniform Distribution Function）均匀分布函数是指随机变量在一定区间上的取值是等可能的，即每个取值的概率相等。
它的分布函数为：F(x) = (x-a)/(b-a)，其中a为区间下限，b为区间上限。
2. 正态分布函数（Normal Distribution Function）正态分布函数是指随机变量满足正态分布的情况，也称为高斯分布。
它的分布函数没有解析表达式，通常用标准正态分布函数进行近似计算。
3. 指数分布函数（Exponential Distribution Function）指数分布函数是指随机变量满足指数分布的情况，它描述了事件发生的时间间隔。
它的分布函数为：F(x) = 1 - e^(-λx)，其中λ为事件发生的速率参数。
4. 伽玛分布函数（Gamma Distribution Function）伽玛分布函数是指随机变量满足伽玛分布的情况，它常用于描述等待时间或寿命分布。
它的分布函数没有解析表达式，通常使用伽玛函数进行计算。
连续型随机变量的概率分布
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
xb
如, 每隔10分钟发车一辆,乘客等车的时间 X~U(0,10) 读数采用四舍五入法,设最小刻度为1,则误差 Y~U(-0.5,0.5)
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例1: 某站点从8点到10点有一班车随机到达, 一 乘客9点到达车站。问他能坐上该班车的概率。
x2
e 2,
x
2
( ( x)为偶函数，其图形关于纵轴对称）
分布函数为:
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
性质： (i) (0) 0.5
(ii) ( x) 1 ( x)
(x)
由图形对称性
P(X x) P(X x)
( x) 1 ( x)
标准正态分布有表可查P254， 如
(0.3) 0.6179 (3) 0.9987
更一般的 P( X G) f ( x)dx
G
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（5）对连续型随机变量X，任给实数a,必有
P(X a) 0
0 P( X a) F (a) F (a x) x 0 0 注: 这表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率 值时，不必考虑区间端点的情况。即
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
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(3) N (, 2)与N (0,1)的联系
定理：若X ~ N (, 2) , 则 X ~ N (0,1)
证明：设Z X 则Z的分布函数为:
FZ ( x)
P（Z
x）
P（X
x）
P{X x} FX ( x)
几种常用的连续型分布
如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条 线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发
出警报.表明生产出现异常.
例3 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分 布Ｎ(μ,σ2),且知寿命低于800小时的概率约为2.28%; 寿命超过900小时的概率约为84.13%; 问保质期最多 设为多少小时,才能使元件寿命低于保质期的概率小 于0.1?
概率与统计
几种常用的连续型分布
随机变量的分布函数
单调不减性 非负性
归一性
连续型随机变量 的概率密度
右连续性 F(x)…f(x) P{a<X<b}
二 几种常用的连续型分布
1. 均匀分布(p54)
若X～f(x)＝
1 , a x b b a
0，其它
f(x)
。。
0a b x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b)
1
yba2
e 2a2 2
a 2
Y ~ N a b,a 2
解：FY
y
PaX
b
y
P
X
yb
a
yb
a
y
b a a
yba 2
fY
y
FY
y
y b a a
1 a
几种重要连续型分布
e 2 dxdy 1
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称; (2) 当x μ时, f ( x)取得最大值 1 ;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变,只是沿 着 x 轴作平移变换;
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y ~ N (, 2)时，
P(|Y | ) 0.6826 P(|Y | 2 ) 0.9544
P(|Y | 3 ) 0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[ 3 , 3 ] 区间内.
这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）.
例1 设 X 服从标准正态分布N (0,1), N (0,1) 的上
解 X 的分布函数为
F(
x)
1
e
1x 2000
,
0,
x 0, x 0.
(1) P{X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000)
1
e 2 0.607.
(2) P{ X 2000 X 1000} P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
2. 常见连续型随机变量的分布
均匀分布
正态分布(或高斯分布)
指数分布
3. 正态分布是概率论中最重要的分布 正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量
误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常 情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度, 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般 是一个正态随机变量.
概率论5分布函数连续型
2. 指数分布 Exp( )
f (x)
若r.v.X的p.d.f.为
f ( x)＝e x , x 0
0
x
0, x 0
则称X服从参数为>0的指数分布. 其分布函数:
易F验(证x):f (Px{)X 0,
x}=f( x0)0xd,x
e
exdx 01
0
xdx, x 0
F ( x)=
0, x 1 e x , x
(2) p{X 3.5 | X 1.5} p{X 3.5, X 1.5}
{ X 1.5}
13.－5 3Fe(33 x.5d)x 11.－5 3Fe(13 x.5d)x
e e－3(63.51.5)
非负的连续型r.v.X服 从指数分布的充分必 要条件是:无记忆性
例6.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设
注3.当 Δx 很小时,
P{x X x x}＝F(x x) F(x) f (x)x
★密度函数值f(a)并不反映X取a值的概率.但这个值 越大,X取a附近值的概率就越大.也可以说,在某点密 度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度.
1 证明f ( x) 1/ 2e x 为概率分布密度函数.
c
c ba ba
说明r.v.X落在(a,b)区间上任一点的可能性都相同.
注2 均匀分布的特征性质：
X服从均匀分布U(a, b)的充分必要条件是
(1) X 落在(a, b)概率为1, 落在区间外的概率为0;
(2) X 落在(a, b)子区间上概率与子区间长度成正比.
注3 均匀分布的分布函数：
当x≤a时,F(x)=
[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊
松分布，求T的概率密度。
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PX s et P X
t.
10
假如把服从指数分布的随机变量解释为某元 件工作的寿命，则上式表明：在该元件已工作了s 小时的条件下，它还能继续工作t小时的概率与已 经工作过的时间s无关．换句话说，如果元件在时 刻s还“活着”，则它的剩余寿命的分布还是原来 寿命的分布，而与它已工作了多长的时间无关.所 以有时又称指数分布是“永远年轻”的．
0
0
12
若连续型随机变量X的概率密度为
f (x)
1
x2
e 2 2 , x R ,
（2.16）
2
f (x)
x
其中 R, 0 为常数，则称Ｘ服从参数为
, 2 的正态分布，记作 X ~ N , 2 .
利用概率积分公式可以验证(2.16)式所示的
f (x)
0,
x 0,
f (x)
x
其中 0为常数，则称 X 服从参数为 的指数分布，
记作 X ~ E() .
分布函数为
1 e x , x 0,
F(x)
.
0, x 0.
8
因为概率密度中的非零部分是一个指数函 数，所以称这种分布为“指数分布”．指数分布常 可作为各种“寿命”分布的近似． ◎电子元件的寿命； ◎动物的寿命； ◎电话问题中的通话时间； ◎随机服务系统中的服务时间； ◎顾客要求某种服务(到银行取钱，到车站售
f
(
x)
1 60
,
0
x
60,
0, 其它.
“等车时间少于15分钟”是指该乘客在区间
(45，60) 内到达车站，故所求概率为
P 45 X 60 60 1 dx 0.25. 45 60
7
二、指数分布
若连续型随机变量Ｘ的概率密度为
ex , x 0,
x
F ( x) f (t)dt
x
解
F
(
x)
0dt, a 0dt
x
1
x a， dt, a x b，
a ba
a
b1
x
0dt
dt 0dt, x b.
a ba
a
2
x
0dt ,
x a，
F(x)
出现重大的失误，则结果应遵从正态 分布．这个看法有大量经验事实作为 支持，也有理论上的依据，这大概就 是“正态分布”这个名称的由来．
高斯(1777-1855)
14
第五章的中心极限定理表明： 一个变量 如果是由大量独立起微小作用的随机因素的叠 加结果，那么这个变量一定是正态变量．因此
很多随机变量可以用正态分布描述或近似描 述，例如：
◎射击目标的水平或垂直测量误差； ◎成年男(女)子的身高、体重； ◎加工零件的尺寸；
◎某市一次统考的考生成绩； ◎一个地区的年降雨量．
15
若 X ~ N 0, 1 , 则称Ｘ服从标准正态分布或
称Ｘ是一个标准正态随机变量，其概率密度和分
布函数分别为
(x)
1
x2
e 2 , xR,
2
(x) x t dt 1
入引起的误差服从[-0.05，0.05]上的均匀分布； 保留到小数点后第二位，四舍五入引起的误差
服从[-0.005, 0.005]上的均匀分布．以此类推．
◎向区间[a，b]上等可能地投点，落点坐标Ｘ 服从区间[a，b]上的均匀分布．
5
◎如果一个人无预期地来到公共汽车站，那
么他候车时间服从 0,l 上的均匀分布，其中 l
函数是概率密度.
13
一般认为，正态分布始于1733年法 国数学家棣莫佛 对大量抛硬币出现正面 次数分布逼近的研究．19世纪初，高斯
在研究测量误差时，从另一个角度引进 它．由于这个原因，文献中也常把正态 棣莫佛(1667-1754)
分布称为高斯分布． “正态”意谓“正 常 的状态”，就是说若在观察或试验中不
a
0dt
x
a
1 b
a
dt ,
a x b，
a
0dt
b
1
dt
x
0dt ,
x b.
a baa 0, xa源自 x b
a a
,
a xb
1 , x b
F(x)
1
ab
x
3
设 X ~ U[a, b]，
[c, d] [a,b]，
是公共汽车站发车的时间间隔.
◎汽车遇到红灯时，等待时间服从区间0, l
上的均匀分布，其中 l 是红灯持续的时间长度．
6
例2.21 某长途汽车站每隔1小时发一班车， 某人随机地来到始发站．试求他等车时间少于15 分钟的概率．
解 设Ｘ为乘客来到车站的时间，则 X ~ U 0,60,
其概率密度为
11
三、正态分布
先证明概率积分公式:
e x2 dx .
事实上，
e x2 dx
2
e x2 dx e y2 dy
e x2 y2 dxdy er2 rdrd
R2
R2
2
d
rer2 dr .
票处购买车票等)需要排队等待的时间．
9
与几何分布一样，指数分布也有“无记忆性”．
设 X ~ E( )，则对任意的s 0, t 0，有
PX s t X s PX t .
事实上，由条件概率的定义及(2.14)式有
P X s, X s t
P X st X s
一、均匀分布
若随机变量X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a
x
b,
f x
0, 其它,
a
b
x
则称X服从区间[a, b]上的均匀分布，记作
X ~ U a,b.
1
设 X ~ U[a, b]，求 X 的概率分布函数F(x).
1
f
(x)
b
a
,
a xb ,
0 , 其他
1
f
(x)
b
a
, axb
其他
0 ,
P(c
X
d)
d
c
1 dx ba
d c. ba
这表明，X 取值于[a,b]内的任一区间的概率 与区间的长度成正比，而与该区间的位置无关,这
就是均匀分布的概率意义.
4
许多随机现象都可以用均匀分布刻画，例如， ◎数值计算中保留到小数点后第一位，四舍五