几种重要的连续型分布
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
◎射击目标的水平或垂直测量误差； ◎成年男(女)子的身高、体重； ◎加工零件的尺寸；
◎某市一次统考的考生成绩； ◎一个地区的年降雨量．
15
若 X ~ N 0, 1 , 则称Ｘ服从标准正态分布或
称Ｘ是一个标准正态随机变量，其概率密度和分
布函数分别为
(x)
1
x2
e 2 , xR,
2
(x) x t dt 1
1
f
(x)
b
a
, axb
其他
0 ,
P(c
X
d)
d
c
1 dx ba
d c. ba
这表明，X 取值于[a,b]内的任一区间的概率 与区间的长度成正比，而与该区间的位置无关,这
就是均匀分布的概率意义.
4
许多随机现象都可以用均匀分布刻画，例如， ◎数值计算中保留到小数点后第一位Βιβλιοθήκη Baidu四舍五
x
F ( x) f (t)dt
x
解
F
(
x)
0dt, a 0dt
x
1
x a， dt, a x b，
a ba
a
b1
x
0dt
dt 0dt, x b.
a ba
a
2
x
0dt ,
x a，
F(x)
f
(
x)
1 60
,
0
x
60,
0, 其它.
“等车时间少于15分钟”是指该乘客在区间
(45，60) 内到达车站，故所求概率为
P 45 X 60 60 1 dx 0.25. 45 60
7
二、指数分布
若连续型随机变量Ｘ的概率密度为
ex , x 0,
0
0
12
若连续型随机变量X的概率密度为
f (x)
1
x2
e 2 2 , x R ,
（2.16）
2
f (x)
x
其中 R, 0 为常数，则称Ｘ服从参数为
, 2 的正态分布，记作 X ~ N , 2 .
利用概率积分公式可以验证(2.16)式所示的
是公共汽车站发车的时间间隔.
◎汽车遇到红灯时，等待时间服从区间0, l
上的均匀分布，其中 l 是红灯持续的时间长度．
6
例2.21 某长途汽车站每隔1小时发一班车， 某人随机地来到始发站．试求他等车时间少于15 分钟的概率．
解 设Ｘ为乘客来到车站的时间，则 X ~ U 0,60,
其概率密度为
一、均匀分布
若随机变量X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a
x
b,
f x
0, 其它,
a
b
x
则称X服从区间[a, b]上的均匀分布，记作
X ~ U a,b.
1
设 X ~ U[a, b]，求 X 的概率分布函数F(x).
1
f
(x)
b
a
,
a xb ,
0 , 其他
P X s t est P X s es
PX s et P X
t.
10
假如把服从指数分布的随机变量解释为某元 件工作的寿命，则上式表明：在该元件已工作了s 小时的条件下，它还能继续工作t小时的概率与已 经工作过的时间s无关．换句话说，如果元件在时 刻s还“活着”，则它的剩余寿命的分布还是原来 寿命的分布，而与它已工作了多长的时间无关.所 以有时又称指数分布是“永远年轻”的．
入引起的误差服从[-0.05，0.05]上的均匀分布； 保留到小数点后第二位，四舍五入引起的误差
服从[-0.005, 0.005]上的均匀分布．以此类推．
◎向区间[a，b]上等可能地投点，落点坐标Ｘ 服从区间[a，b]上的均匀分布．
5
◎如果一个人无预期地来到公共汽车站，那
么他候车时间服从 0,l 上的均匀分布，其中 l
11
三、正态分布
先证明概率积分公式:
e x2 dx .
事实上，
e x2 dx
2
e x2 dx e y2 dy
e x2 y2 dxdy er2 rdrd
R2
R2
2
d
rer2 dr .
a
0dt
x
a
1 b
a
dt ,
a x b，
a
0dt
b
1
dt
x
0dt ,
x b.
a ba
a
0, xa
x b
a a
,
a xb
1 , x b
F(x)
1
ab
x
3
设 X ~ U[a, b]，
[c, d] [a,b]，
f (x)
0,
x 0,
f (x)
x
其中 0为常数，则称 X 服从参数为 的指数分布，
记作 X ~ E() .
分布函数为
1 e x , x 0,
F(x)
.
0, x 0.
8
因为概率密度中的非零部分是一个指数函 数，所以称这种分布为“指数分布”．指数分布常 可作为各种“寿命”分布的近似． ◎电子元件的寿命； ◎动物的寿命； ◎电话问题中的通话时间； ◎随机服务系统中的服务时间； ◎顾客要求某种服务(到银行取钱，到车站售
出现重大的失误，则结果应遵从正态 分布．这个看法有大量经验事实作为 支持，也有理论上的依据，这大概就 是“正态分布”这个名称的由来．
高斯(1777-1855)
14
第五章的中心极限定理表明： 一个变量 如果是由大量独立起微小作用的随机因素的叠 加结果，那么这个变量一定是正态变量．因此
很多随机变量可以用正态分布描述或近似描 述，例如：
函数是概率密度.
13
一般认为，正态分布始于1733年法 国数学家棣莫佛 对大量抛硬币出现正面 次数分布逼近的研究．19世纪初，高斯
在研究测量误差时，从另一个角度引进 它．由于这个原因，文献中也常把正态 棣莫佛(1667-1754)
分布称为高斯分布． “正态”意谓“正 常 的状态”，就是说若在观察或试验中不
票处购买车票等)需要排队等待的时间．
9
与几何分布一样，指数分布也有“无记忆性”．
设 X ~ E( )，则对任意的s 0, t 0，有
PX s t X s PX t .
事实上，由条件概率的定义及(2.14)式有
P X s, X s t
P X st X s
◎某市一次统考的考生成绩； ◎一个地区的年降雨量．
15
若 X ~ N 0, 1 , 则称Ｘ服从标准正态分布或
称Ｘ是一个标准正态随机变量，其概率密度和分
布函数分别为
(x)
1
x2
e 2 , xR,
2
(x) x t dt 1
1
f
(x)
b
a
, axb
其他
0 ,
P(c
X
d)
d
c
1 dx ba
d c. ba
这表明，X 取值于[a,b]内的任一区间的概率 与区间的长度成正比，而与该区间的位置无关,这
就是均匀分布的概率意义.
4
许多随机现象都可以用均匀分布刻画，例如， ◎数值计算中保留到小数点后第一位Βιβλιοθήκη Baidu四舍五
x
F ( x) f (t)dt
x
解
F
(
x)
0dt, a 0dt
x
1
x a， dt, a x b，
a ba
a
b1
x
0dt
dt 0dt, x b.
a ba
a
2
x
0dt ,
x a，
F(x)
f
(
x)
1 60
,
0
x
60,
0, 其它.
“等车时间少于15分钟”是指该乘客在区间
(45，60) 内到达车站，故所求概率为
P 45 X 60 60 1 dx 0.25. 45 60
7
二、指数分布
若连续型随机变量Ｘ的概率密度为
ex , x 0,
0
0
12
若连续型随机变量X的概率密度为
f (x)
1
x2
e 2 2 , x R ,
（2.16）
2
f (x)
x
其中 R, 0 为常数，则称Ｘ服从参数为
, 2 的正态分布，记作 X ~ N , 2 .
利用概率积分公式可以验证(2.16)式所示的
是公共汽车站发车的时间间隔.
◎汽车遇到红灯时，等待时间服从区间0, l
上的均匀分布，其中 l 是红灯持续的时间长度．
6
例2.21 某长途汽车站每隔1小时发一班车， 某人随机地来到始发站．试求他等车时间少于15 分钟的概率．
解 设Ｘ为乘客来到车站的时间，则 X ~ U 0,60,
其概率密度为
一、均匀分布
若随机变量X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a
x
b,
f x
0, 其它,
a
b
x
则称X服从区间[a, b]上的均匀分布，记作
X ~ U a,b.
1
设 X ~ U[a, b]，求 X 的概率分布函数F(x).
1
f
(x)
b
a
,
a xb ,
0 , 其他
P X s t est P X s es
PX s et P X
t.
10
假如把服从指数分布的随机变量解释为某元 件工作的寿命，则上式表明：在该元件已工作了s 小时的条件下，它还能继续工作t小时的概率与已 经工作过的时间s无关．换句话说，如果元件在时 刻s还“活着”，则它的剩余寿命的分布还是原来 寿命的分布，而与它已工作了多长的时间无关.所 以有时又称指数分布是“永远年轻”的．
入引起的误差服从[-0.05，0.05]上的均匀分布； 保留到小数点后第二位，四舍五入引起的误差
服从[-0.005, 0.005]上的均匀分布．以此类推．
◎向区间[a，b]上等可能地投点，落点坐标Ｘ 服从区间[a，b]上的均匀分布．
5
◎如果一个人无预期地来到公共汽车站，那
么他候车时间服从 0,l 上的均匀分布，其中 l
11
三、正态分布
先证明概率积分公式:
e x2 dx .
事实上，
e x2 dx
2
e x2 dx e y2 dy
e x2 y2 dxdy er2 rdrd
R2
R2
2
d
rer2 dr .
a
0dt
x
a
1 b
a
dt ,
a x b，
a
0dt
b
1
dt
x
0dt ,
x b.
a ba
a
0, xa
x b
a a
,
a xb
1 , x b
F(x)
1
ab
x
3
设 X ~ U[a, b]，
[c, d] [a,b]，
f (x)
0,
x 0,
f (x)
x
其中 0为常数，则称 X 服从参数为 的指数分布，
记作 X ~ E() .
分布函数为
1 e x , x 0,
F(x)
.
0, x 0.
8
因为概率密度中的非零部分是一个指数函 数，所以称这种分布为“指数分布”．指数分布常 可作为各种“寿命”分布的近似． ◎电子元件的寿命； ◎动物的寿命； ◎电话问题中的通话时间； ◎随机服务系统中的服务时间； ◎顾客要求某种服务(到银行取钱，到车站售
出现重大的失误，则结果应遵从正态 分布．这个看法有大量经验事实作为 支持，也有理论上的依据，这大概就 是“正态分布”这个名称的由来．
高斯(1777-1855)
14
第五章的中心极限定理表明： 一个变量 如果是由大量独立起微小作用的随机因素的叠 加结果，那么这个变量一定是正态变量．因此
很多随机变量可以用正态分布描述或近似描 述，例如：
函数是概率密度.
13
一般认为，正态分布始于1733年法 国数学家棣莫佛 对大量抛硬币出现正面 次数分布逼近的研究．19世纪初，高斯
在研究测量误差时，从另一个角度引进 它．由于这个原因，文献中也常把正态 棣莫佛(1667-1754)
分布称为高斯分布． “正态”意谓“正 常 的状态”，就是说若在观察或试验中不
票处购买车票等)需要排队等待的时间．
9
与几何分布一样，指数分布也有“无记忆性”．
设 X ~ E( )，则对任意的s 0, t 0，有
PX s t X s PX t .
事实上，由条件概率的定义及(2.14)式有
P X s, X s t
P X st X s