《经济数学基础(上) 》离线作业答案

厦门大学网络教育2015-2016学年第一学期

《经济数学基础上》离线作业解答

学习中心： 年级： 专业： 学 号： 姓名： 成绩：

一、 填空题 (每题3分，共30分)

1. 已知f (x +1)=x 2，则f (x )=__ 2)1(-x ______。

2. 03lim

sin 6x x x →= 2

1

。

3. 函数)

2ln(5

)(-=

x x f 的定义域是),3()3,2(+∞ 。

4．若x y a -=，则dy ln x a adx - 。

5.函数x x x f ln 2)(2-=的单调增加区间是 1

(,)2

+∞ 。

6. 函数arctan y x x =-在区间),1[+∞上的最大值点=x 1 ， 最大值=y

14

π

- 。 7. 设商品的收益R 与价格P 之间的关系为R =6500P -100P 2，则收益R 对价格P 的弹性为

P P --65265 。

8. 当0→x 时，与12-x e 与2x 是 同价的 无穷小量。

9. 设商品的收益R 与价格P 之间的关系为R =6500P -100P 2，则收益R 对价格P 的弹性为

P

P --65265 。

10.设某产品生产x 单位的总成本函数120

110)(2

x x C +=，则生产120单位产品时

的边际成本是 2 。 二、计算题（每小题5分，共40分）

1、求a 的值，使得函数f (x )=⎪⎩

⎪

⎨⎧=≠--111)

1(3sin x a x x x 在x =1处连续。

解： 1

)1(3sin lim

1--→x x x =3)1(3)

1(3sin lim 1--→x x x =3×1=3，所以a =3。

2、求tgx

x x )

21ln(lim 0

++→。 解：0

0ln(12)2lim lim 2x x x x

tgx x

+

+

→→+== 3、

求x →。

解：

()111

2

21

11x x x x

→→→

-==()1

11

21

lim

222

x x →→===+

4、求n

n n n )2

2(

lim +

-∞

→。 解：n n n n )2

2(

lim +-∞

→=4

-e 。 5、已知ln y =求dx

dy

。 解：1'2y x

=

。 6、设x x

f =)1

(，求)(x f '。

解：x x f 1)(=，21

)(x

x f -='。

7、设2

1d x

f x t t t =-⎰（）（），求f x （）的极值点的个数。 解：由f （x ）=2

4343001111

1d 4343

x

x t t t t t x x -=-=-⎰（）

f '(x )=x 3- x 2= x 2(x -1)，令f '(x )=0得x =0，x =1。显然x =1是f (x )的极值点；在x =0的邻域内f '(x )<0，不

变号，则x =0不是f (x )的极值点，故极值点的个数为1。

8、求方程2sin cos x x x x =+的实数根的个数。

解：令y 1=x 2

y 2=x sin x +cos x

1arc tan x x ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭

由数形（如图）结合可知交点个数为2个。

三、（10分）求函数2

2

1x x y +=的单调区间和极值、凹凸区间和拐点。

解：定义域 (,)-∞+∞， ()()

()

23

2

2

22212211x x x x

y x x +-'==

++。

令0,0y x '=⇒=，

()()()()()2222

2432222124122(1

3)111x x x x x x y x x x '⎡⎤+-

⋅+-⎢⎥''

===⎢⎥+++⎣⎦

令0,y x ''=⇒= 以0x x x ===为分界点将定义域划分，

由各区间内y '、y ''的符号，可知;函数在(,0)-∞内单调减少，在(0,)+∞内单调增加，在0x =处取到极小值(0)0y =。函数曲线在区间(,-∞和)+∞

内为凸弧，在区间(

为凹弧，拐点坐标为1()4

、1)4

。 四、 应用题（10分）

设某厂某产品的需求函数为Q =116-2P ,其中P (万元)为每吨产品的销售价格,Q (吨)为需求量.若生产该产品的固定成本为100(万元),且每多生产一吨产品,成本增加2(万元).在产销平衡的情况下

(1)求收益R 与销售价格P 的函数关系R (P ); (2)求成本C 与销售价格P 的函数关系C (P );

(3)试问如何定价,才能使工厂获得的利润最大?最大利润是多少?

解：（1）、求收益R 与销售价格P 的函数关系R (P );

收益=销售收入)(p R =需求量（销售量）×销售价格=Q ×p =(116-2P )×P =2

2116P p -。 （2）、成本C 与销售价格P 的函数关系C (P )；

生产成本)(p C =固定成本+可变成本=100+2×Q =100+2×(116-2P )= P 4332-。 （3）、试问如何定价,才能使工厂获得的利润最大?最大利润是多少?

利润)(p L =销售收入)(p R －生产成本)(p C =2

2116P p -－（P 4332-）

=33221202

--P p

)('p L =P 4120-，令)('p L =0，得p =30。又04)(''>=p L ，

所以*p =30，

最大利润=*L =*)(p L =)30(L =332302301202-⨯-⨯=1468万元。

五、 证明题（10分）

1、证明：当x >0时，e 2x >1+2x 。 证明：

()()()()()()()2221200,'22

'0012.

x x x f x e x f f x e f x f x f x f e x =--==->>>+设，则其导数 因为当x>0时，所以当x>0时单调增加，

从而当x>0时，即

2、设f (x )在[0,1]上连续，且f (0)=0，f (1)=1。证明：至少存在一点ξ∈（0，1），使f(ξ)=ξ-1。 证明：令1)()(-+=x x f x g ，则)(x g 在区间[0,1]上连续，且)0(g =1-,0<,01)1(>=g 由零点定理，至少存在一点ξ∈（0，1），使f(ξ)=ξ-1。