《经济数学基础(上) 》离线作业答案

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经济数学基础及参考答案

作业（一）（一）填空题3.曲线x y =在)1,1(的切线方程是 .答案：2121+=x y4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 21. 函数212-+-=x x x y 的连续区间是（）答案：D ，可能是cA ．),1()1,(+∞⋃-∞B ．),2()2,(+∞-⋃--∞C ．),1()1,2()2,(+∞⋃-⋃--∞D ．),2()2,(+∞-⋃--∞或),1()1,(+∞⋃-∞ 2. 下列极限计算正确的是（）答案：B A.1lim=→xx x B.1l i m=+→xxxC.11sinlim 0=→xx x D.1si n l i m=∞→xx x3. 设y x =lg 2，则d y =（）．答案：B A ．12d xx B ．1d x x ln 10C ．ln 10xx d D ．1d xx4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．答案：BA ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 5.当0→x 时，下列变量是无穷小量的是（）. 答案：C A ．x 2 B ．xx sinC ．)1ln(x +D ．x cos(三)解答题问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.答案：（1）当1=b ，a 任意时，)(x f 在0=x 处有极限存在；1lim ()lim (sin)x x f x x b b x--→→=+=，0sin lim ()lim 1x x x f x x++→→==，有极限存在，lim ()lim ()1x x f x f x b +-→→===（2）当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。

17春华师《经济数学基础》在线作业满分答案

正确答案:BD
三、判断题(共15道试题,共30分)
1.
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
2.
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:B
3.
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:B
4.
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
5.
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
6.
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
14.
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
15.
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
满分：2分
正确答案:BD
5.
A. A
B. B
C. C
D. D
E. E
满分：2分
正确答案:ACE
6.
A. A
B. B
C. C
D. D
E. E
满分：2分
正确答案:BCD
7.
A.
B.
C.
D.
E.
满分：2分
正确答案:BCD
8.
A. A
B. B
C. C
D. D
E. E
满分：2分
正确答案:ABC
9.
A.
B.
C.
满分：2分
正确答案:B
5.
A. A
B. B
C. C
D. D
满分：2分
正确答案:B
6.
A. A
B. B
C. C
D. D
满分：2分

经济数学基础(1)

极限=。

A.B. ∞C. 0D. 不存在答案：C下列函数在指定区间上单调增加的是。

A. sinxB.C.D. 5-2x答案：B极限=。

答案：2设函数f (x) 的定义域是 (0，1)，那么f (x＋1) 的定义域是。

A. （0，1）B. （－1，0）C. （1，2）D. （0，2）答案：B设的最小值点是。

A. -1B. 1C. -1和3D. 3答案：B设，则A的秩为。

答案：3若，则＝。

A. 2B. 1C. －1D. －2答案：C设，则3A=。

A.B.C.D.答案：A已知生产某种商品q件时的总成本（单位：万元）为：，如果每售出一件该商品的收入为9万元.则生产10件该商品时的平均利润万元。

答案：1设A、B为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是。

A. 若AB＝O，必有A＝O或B＝OB.C. r (A＋B)＝r (A)＋r (B)D.答案：D已知生产某种产品的成本函数为C(q)=80+2q，则当产量q=50单位时，答案：3.6当x→0时，下列变量中为无穷小量的是。

A.B.C.D.答案：C下列是积分区间为对称的定积分中，其中积分值为0的是。

A.B.C.D.答案：A某产品的成本函数，那么该产品的平均成本函数＝4q++。

答案：8求极限＝。

答案：1设，则A的秩为。

答案：3曲线在点（,）处的切线平行于直线y=-2x+3。

答案：-12下列结论中正确的是。

A.B.C.D.答案：D曲线在点（4，2）处的切线方程是y＝x+1。

答案：1/4或四分之一函数是函数。

答案：偶设函数满足，则该函数在实数域中。

A. 有一个极大值和极小值B. 仅有一个极大值C. 无极值D. 无法确定有无极值答案：C下列函数中，是的原函数。

A.B.C.D.答案：D线性方程组AX=b答案：秩(A，b)=秩(A)或系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩求极限，则k=。

答案：3下列函数中，在区间 (－∞，＋∞) 是单调减少的。

A.B. sin xC.D.答案：D矩阵的秩是。

国开大学电大《经济数学基础1》2020期末试题及答案

国开大学电大《经济数学基础1》2020期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，求f(1)的值。

A. 3B. 0C. -3D. -12. 函数y = 2x^3 - 3x^2 + 4在x = 1处的切线斜率为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f'(x)的值。

A. 2x - 4B. 2x + 4C. 4x - 2D. 4x + 24. 若函数f(x)在区间（a，b）内可导，则下列结论正确的是：A. f'(x)在（a，b）内连续B. f(x)在（a，b）内单调C. f'(x)在（a，b）内可积D. f(x)在（a，b）内可导5. 下列函数中，哪个函数在x = 0处不可导？A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y =x^2 + 3x6. 设函数y = 2x^3 - 3x^2 + 4，求y"的值。

A. 12x - 6B. 12x + 6C. 6x - 12D. 6x + 127. 函数y = x^2e^x在x = 0处的极值为：A. 0B. 1C. 2D. 38. 下列函数中，哪个函数在（-∞，+∞）内单调递增？A. y = x^2B. y = x^3C. y = -x^2D. y =-x^39. 求极限lim(x→0) (sin x)/x的值。

A. 0B. 1C. 2D. 无极限10. 设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4，求f'(1)的值。

A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题3分，共30分）1. 函数y = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数y' =_______。

2. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1的导数y' = _______。

3. 函数y = e^x在x = 0处的导数y' = _______。

国开【形考】《经济数学基础》形考任务1-4答案

国开【形考】《经济数学基础》形考任务1-4答案形考任务一题目1：函数的定义域为（）.答案：题目1：函数的定义域为（）.答案：题目1：函数的定义域为（）.答案：题目2：下列函数在指定区间上单调增加的是（）.答案：题目2：下列函数在指定区间上单调增加的是（）.答案：题目2：下列函数在指定区间上单调减少的是（）.答案：题目3：设，则（）.答案：题目3：设，则（）.答案：题目3：设，则=（）．答案：题目4：当时，下列变量为无穷小量的是（）.答案：题目4：当时，下列变量为无穷小量的是（）.答案：题目4：当时，下列变量为无穷小量的是（）.答案：题目5：下列极限计算正确的是（）.答案：题目5：下列极限计算正确的是（）.答案：题目5：下列极限计算正确的是（）.答案：题目6：（）.答案：0题目6：（）.答案：-1题目6：（）.答案：1题目7：（）.答案：题目7：（）.答案：（）.题目7：（）.答案：-1题目8：（）.答案：题目8：（）.答案：题目8：（）.答案：（）.题目9：（）.答案：4题目9：（）.答案：-4题目9：（）.答案：2题目10：设在处连续，则（）.答案：1题目10：设在处连续，则（）.答案：1题目10：设在处连续，则（）.答案：2题目11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题目11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题目11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题目12：曲线在点的切线方程是（）.答案：题目12：曲线在点的切线方程是（）.答案：题目12：曲线在点的切线方程是（）.答案：题目13：若函数在点处可导，则（）是错误的．答案：，但题目13：若函数在点处可微，则（）是错误的．答案：，但题目13：若函数在点处连续，则（）是正确的．答案：函数在点处有定义题目14：若，则（）.答案：题目14：若，则（）.答案：1题目14：若，则（）.答案：题目15：设，则（）．答案：题目15：设，则（）．答案：题目15：设，则（）．答案：题目16：设函数，则（）.答案：题目16：设函数，则（）.答案：题目16：设函数，则（）.答案：题目17：设，则（）.答案：题目17：设，则（）.答案：题目17：设，则（）.答案：题目18：设，则（）.答案：题目18：设，则（）.答案：题目18：设，则（）.答案：题目19：设，则（）.答案：题目19：设，则（）.答案：题目19：设，则（）.答案：题目20：设，则（）.答案：题目20：设，则（）.答案：题目20：设，则（）.答案：题目21：设，则（）.答案：题目21：设，则（）.答案：题目21：设，则（）.答案：题目22：设，方程两边对求导，可得（）.答案：题目22：设，方程两边对求导，可得（）.答案：题目22：设，方程两边对求导，可得（）.答案：题目23：设，则（）.答案：题目23：设，则（）.答案：题目23：设，则（）.答案：-2题目24：函数的驻点是（）.答案：题目24：函数的驻点是（）.答案：题目24：函数的驻点是（）.答案：题目25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题目25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题目25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：形考任务二题目1：下列函数中，（）是的一个原函数．答案：题目1：下列函数中，（）是的一个原函数．答案：题目1：下列函数中，（）是的一个原函数．答案：题目2：若，则（）. 答案：题目2：若，则（）．答案：题目2：若，则（）. 答案：题目3：（）. 答案：题目3：（）．答案：题目3：（）. 答案：题目4：（）．答案：题目4：（）．答案：题目4：（）．答案：题目5：下列等式成立的是（）．答案：题目5：下列等式成立的是（）．答案：题目5：下列等式成立的是（）．答案：题目6：若，则（）. 答案：题目6：若，则（）．答案：题目6：若，则（）. 答案：题目7：用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目7：用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目7：用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目8：下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．答案：题目8：下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．答案：题目8：下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．答案：题目9：用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目9：用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目9：用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目10：（）. 答案：0题目10：（）．答案：0题目10：（）. 答案：题目11：设，则（）. 答案：题目11：设，则（）．答案：题目11：设，则（）. 答案：题目12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目14：计算定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目14：（）．答案：题目14：（）．答案：题目15：用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目15：用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目15：用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目16：用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题目16：用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题目16：用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题目17：下列无穷积分中收敛的是（）．答案：题目17：下列无穷积分中收敛的是（）．答案：题目17：下列无穷积分中收敛的是（）．答案：题目18：求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．答案：题目18：求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．答案：题目18：求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．答案：题目19：根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是（）．答案：题目19：根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是答案：题目19：根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是（）．答案：题目20：微分方程满足的特解为（）．答案：题目20：微分方程满足的特解为（）．答案：题目20：微分方程满足的特解为（）．答案：形考任务三题目1：设矩阵，则的元素（）．答案：3题目1：设矩阵，则的元素a32=（）．答案：1题目1：设矩阵，则的元素a24=（）．答案：2题目2：设，，则（）．答案：题目2：设，，则（）答案：题目2：设，，则BA =（）．答案：题目3：设A为矩阵，B为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（）矩阵．答案：题目3：设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则C为（）矩阵．答案：题目3：设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则C为（）矩阵．答案：题目4：设，为单位矩阵，则（）答案：题目4：设，为单位矩阵，则(A - I )T =（）．答案：题目4：，为单位矩阵，则A T–I =（）．答案：题目5：设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．答案：题目5：设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．答案：题目5：设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．答案：题目6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：对角矩阵是对称矩阵题目6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：数量矩阵是对称矩阵题目6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：若为可逆矩阵，且，则题目7：设，，则（）．答案：0题目7：设，，则（）．答案：0题目7：设，，则（）．答案：-2, 4题目8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．答案：题目8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．答案：题目8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．答案：题目9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题目9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题目9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题目10：设矩阵，则（）．答案：题目10：设矩阵，则（）．答案：题目10：设矩阵，则（）．答案：题目11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．答案：题目11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．答案：题目11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．答案：题目12：矩阵的秩是（）．答案：2题目12：矩阵的秩是（）．答案：3题目12：矩阵的秩是（）．答案：3题目13：设矩阵，则当（）时，最小．答案：2题目13：设矩阵，则当（）时，最小．答案：-2题目13：设矩阵，则当（）时，最小．答案：-12题目14：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量答案：题目14：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量．答案：题目14：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量．选择一项：A.B.C.D.答案：题目15：设线性方程组有非0解，则（）．答案：-1 题目15：设线性方程组有非0解，则（）．答案：1题目15：设线性方程组有非0解，则（）．答案：-1题目16：设线性方程组，且，则当且仅当（）时，方程组有唯一解．答案：题目16：设线性方程组，且，则当（）时，方程组没有唯一解．答案：题目16：设线性方程组，且，则当（）时，方程组有无穷多解．答案：题目17：线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（）．答案：题目17线性方程组有唯一解的充分必要条件是（）．：答案：题目17：线性方程组无解，则（）．答案：题目18：设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）．答案：题目18：设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）．答案：题目18：设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）答案：题目19：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组无解．答案：且题目19：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组有无穷多解．答案：且题目19：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组有唯一解．答案：题目20：若线性方程组只有零解，则线性方程组（）答案：解不能确定题目20：若线性方程组有唯一解，则线性方程组（）．答案：只有零解题目20：若线性方程组有无穷多解，则线性方程组（）．答案：有无穷多解形考任务四一、计算题（每题6分，共60分） 1.解：y ′=(e −x 2)′+(cos 2x)′=(−x 2)′·e −x 2−2sin 2x =−2xe −x 2−2sin 2x综上所述，y ′=−2xe −x 2−2sin 2x2.解：方程两边关于x 求导：2x +2yy ′−y −xy ′+3=0 (2y −x)y ′=y −2x −3 ， dy =y−3−2x 2y−xdx3.解：原式=∫√2+x 2d(12x 2)=12∫√2+x 2d(2+x 2)=13(2+x 2)32+c 。

经济数学基础习题答案集

《经济数学基础》习题答案集配高等教育出版社黎诣远主编书经济数学基础习题答案集，赶在同学们参加全国电大统一考试前编出，其目的是方便同学们自学和总复习。

还有一部分习题未给出答案，实在是时间太紧。

本习题解答集中尚有不妥之处，恳请同学们在使用过程中批评指正。

祝同学们考试获得成功。

编者2001．11．1245页练习1.1答案2．）（0f ＝2 321)1(2＝＝+f 62222＝＋））＝（－（－f 3211122+++++x x x x f ＝））＝（（ 312122++++x x x f ＝＝）（22221211x x x x f ++＝））＝（（3．）（x f 的定义域（－2＜x ≤1)∪（1＜x ＜2) ∴D （－2，2）2112+--））＝（（f ＝32112+））＝（（f ＝32723523＝）＝（-f4．（1））（x f 的D ：R）（x g 的D ：R但）（x f 的值域R ，）（x g 的值域[0，＋∞]∴）（x f 与）（x g 不同（2））（x f 的值域是R ，）（x g 的值域是[0，＋∞]∴）（x f 与）（x g 不同．（3））（x f 的D 是R ，）（x g 的D 是x ≠1∴）（x f 与）（x g 不同．5．（1）由图象可知，y ＝5x 在（0，＋∞）单调增加（2）∵y ＝（x －3）2－4，∴函数y ＝x 2－6x ＋5的对称轴是x ＝3，且开口向上，因此x ∈（－∞，3）单调减少（3）∵y ＝（x －1）2，∴对称轴是x ＝1，开口向上，∴x ∈（－∞，1）单调减少，（1，＋∞）单调增加，而在x ∈（0，＋∞）上无单调性．6．（1）∵）（－）（＋））＝（－（－x x x x f --2335＝)(]23[35x f x x x --+-＝且D 是R ，∴）（x f 是奇函数．（2）∵）（＝）＝（）＝－（－x f x x x x x f sin sin -且D 是R ，∴）（x f 是偶函数．（3）∵）（＝）＝（－x f a a x f xx 2+- 且D 是R ，∴）（x f 是偶函数．（4）∵15--x x f ）＝（－非奇非偶 7．设t 表示通话时间，F 表示通话费则⎩⎨⎧-+)3(15.03.03.0t t f ）＝（ t t <≤<33057练习1.4答案1．（1）根据S n ＝P （1＋nr ），∴％）＋（＝951200⨯⨯n S ＝290（元）（2）根据复利公式S n ＝P （1＋r ）n ∴500＝200（1＋r ）10， ∴2.5101＝1＋r ，∴r ＝2.5101－1＝0.0959＝9.6％（3）根据复利公式S n ＝P （1＋r ）n ∴250＝P （1＋10％）5，∴P ＝23.1556105.1250)1.1(2505＝＝元 2．根据公式P ＝o R ＝221)1(1r R r R +++＋…… ∴P ＝2%)71(700%71300+++＝4026.170007.1300+＝280.37＋499.07＝779.44元． 67页练习1.5答案1．市场均衡则s d q q ＝ ∴25－P ＝340320－P ⇒0P ＝5，∴0q ＝20 即均衡价格P ＝5，均衡数量是20．2．根据题意⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-+⋅10980)800(8008080q qq R ）＝（）＜（）＜（10008008000≤≤q q ∴⎩⎨⎧+64007280q qq R ）＝（ 10008008000＜＜＜q q ≤ 3．（1）设C ＝0C ＋q C 1∵q ＝0，C ＝100⇒0C ＝100；q ＝100，C ＝400⇒1C ＝3∴成本函数为）（q C ＝100＋3q ，固定成本为0C ＝100．（2））（200C ＝100＋3×200＝700 而3100＋）＝（qq C，∴5.3200）＝（C4．∵P ＝200－q 51，∴251200q q q R －）＝（222008.020051200200200⨯⨯⨯＝－）＝（R ＝32000 5．（1））（）－（）＝（q C q R q L ＝782－－q q（2）L （4）＝9，∵q q q L 78--）＝（，∴494）＝（L （3）∵L （10）＝8×10－102－7＝－27，∴销量为10时亏损27． 6．盈亏平衡时L （q ）＝0∴令8q －q 2－7＝0⇒q 2－8q ＋7＝0，∴q ＝1，q ＝7 即销量1＜q ＜7时盈利销量小于1或大于7时亏损，销量为1或7时盈亏平衡。

经济数学基础作业答案Word版

1．判断()3f x x x =+奇偶性2．判断函数221y x =+的单调性3．例如，sin cos ,x y x y x =+=都是初等函数4．下列函数是由哪些简单函数复合而成？（1）2lg(1)y x =- （2）cos 3x y =（3）arctan(1y = （4） 2cos 3y x =5．某商品的需求函数为105QP=-。

试将收益R表示为需求量Q的函数6．某厂生产Q单位某产品的成本为C元，其中固定成本为200元，每生产1单位产品，成本增加10元。

假设该产品的需求函数为1502Q P-=,且产品均可售出。

试将改产品的利润L元表示为产量Q单位的函数7．考察数列1(1)nn⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭-8．考察数列11 n⎧⎫⎨⎬+⎩⎭9．函数1()2x y =，讨论极限,,111()()()lim lim lim 222x x xx x x →-∞→+∞→∞是否存在10．考察函数2225()1x f x x +=+当x →∞时的变化情况。

11．求 01sinlim x x x →。

12．计算极限 211lim 1x x →-13．求31(432).lim x x x →-+14．求 22367lim 49x x x x →-++15．求 sin3tan50lim xx x →。

16．求 201cos limx xx →-17．求 1lim(1)xx x →∞-18求 52lim(1)x x x →∞+19．讨论函数224()x f x x x +⎧=⎨+⎩ 00x x ≥<在0x =处的连续性。

20．例：设函数 3().y f x x ==，用导数定义求(2)f '求导函数()f x '，并求(3)f '。

21．例：设 22log cos 42x y x x π=++，求 y '22．求 y x =的导数23．求 sin 2ln y x x =•的导数24例：设sin 3,y x =求 y '25求 210(27)y x =+ 的导数26例：设2,x y e =求 0.,x y y =''''解：27．求函数cos x y e x -=的二阶及三阶导数解：28．例：确定函数2()ln(1)f x x x =-+的单调增减区间。

经济数学基础试题及答案

经济数学基础试题及答案I. 选择题1. 在经济学中，边际成本指的是：A. 总成本与产量之间的比率B. 达到某一产量水平所需的额外成本C. 固定成本的变化程度D. 不需支付的成本费用答案：B. 达到某一产量水平所需的额外成本2. 在市场需求曲线下，垄断行为会导致：A. 价格和数量增加B. 价格和数量减少C. 价格增加，数量减少D. 价格减少，数量增加答案：C. 价格增加，数量减少3. 边际收益递减指的是：A. 达到最大产量后，每单位产量的成本逐渐降低B. 达到最大产量后，每单位产量的成本逐渐增加C. 达到最大产量后，每单位产量的收益逐渐降低D. 达到最大产量后，每单位产量的收益逐渐增加答案：C. 达到最大产量后，每单位产量的收益逐渐降低II. 计算题1. 假设市场需求曲线为Qd = 100 - 2P，市场供给曲线为Qs = 2P - 20，则市场均衡价格和数量分别是多少？答案：将市场需求曲线和市场供给曲线相等，得到：100 - 2P = 2P - 204P = 120P = 30将P = 30代入市场供给曲线，得到：Qs = 2P - 20Qs = 2(30) - 20Qs = 40所以，市场均衡价格为30，数量为40。

2. 一个企业的总成本函数为TC = 1000 + 10Q + 0.2Q^2，其中Q代表产量。

每单位产品的售价为20。

求该企业的最优产量和利润。

答案：企业的利润为总收入减去总成本，即Profit = TR - TC。

总收入为售价乘以产量，即TR = 20Q。

代入总成本函数，得到Profit = 20Q - (1000 + 10Q + 0.2Q^2)。

为求最优产量，对利润函数求导数并令其等于0：d(Profit)/dQ = 20 - 10 - 0.4Q = 0-0.4Q = -10Q = 25最优产量为25，将其代入总成本函数，得到：TC = 1000 + 10(25) + 0.2(25^2)TC = 1000 + 250 + 125TC = 1375最优利润为20Q - TC = 20(25) - 1375 = 125 - 1375 = -1250。

《经济数学基础》习题答案及试卷（附答案）

习题解答第一章经济活动中的函数关系分析实训一（A ）1．填空题：（1）(,2][2,)-∞-+∞ ；（2）()3,5；（3）1x；（4）2x e ；2x e ；（5）473x -，提示：由()()47433433g f x x x =+=+-⎡⎤⎣⎦，所以()473x g x -=．2．（1）tan(2)y x =；（2）（3）y=；（4）y=lg(sin 2)x ．3．（1）cos y u =，1xu e =-；（2）ln y u =，222u x x =-+；（3）y =1u x =+；（4）y lg u v =，v =实训一（B ）1．由已知可知2110x -<-<，得到201x <<，即定义域为()()1,00,1- ．2．由()21f x x -=，可得()()2111f x x -=-+，所以()()21f x x =+．也可令1x t -=．3．（1）u y e =，sin u v =，2v x =；（2）log uv ay =，21u x =+，sin v w =，2w x =． 4． ()()()log log log a a a f x f y x y xy f xy +=+==；()()log log log a a axx f x f y x y f y y ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．实训二（A ）1．填空题：（1）y =（2）[]1,3-；（3）2π-，4π；（4）12，π． 2．（1）⨯；（2）⨯；（3）⨯；（4）√．3．（1）由()cos 21y x =+，解得21arccos x y +=，()1arccos 12x y =-，所以，()()11arccos 12fx x -=-．定义域：[]1,1x ∈-；值域：11,22y π-⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）由()1ln 2y x =++，解得12y x e -+=，12y x e -=-，所以，()112x fx e --=-定义域：(),x ∈-∞+∞；值域：()2,y ∈-+∞ 4．【水面波纹的面积】设面积为S （2cm ），时间为t （s ），则()22502500S t t ππ==【仪器初值】()0.04200.800208986.58Q Q e Q e -⨯-===解得0.808986.582000Q e =≈．实训二（B ）1．由()x a f x x b +=+，解得反函数为()11a bx f x x --=-．由已知()1x a f x x b -+=+，可得1a bx x a x x b-+=-+，相比较，可得a 为任意实数，1b =-．2．由()ln x x ϕ=，()21ln 3g x x ϕ=++⎡⎤⎣⎦，可得()221ln 3ln 3x x g x e e e ϕ+=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦所以，()213x g x e+=．实训三【商品进货费用】设批次为x ，由题意：库存费：11250030000242C x x=⋅⋅=；订货费：2100C x =．【原料采购费用】设批量为x ，库存费用为1C ，进货费用为2C ，进货总费用为12C C C =+．1122C x x=⋅⋅= 23200640000200C xx=⋅=所以进货总费用为：12640000C C C x x=+=+．【商品销售问题】设需求函数关系式为：d Q ap b =+，其中p 为定价．由已知可得：1000070700073a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得1000a =-，80000b =，所以100080000d Q p =-+；供给函数为：1003000s Q p =+平衡状态下：价格70p =；需求量10000d Q =．【商品盈亏问题】设()()()()2015200052000L x R x C x x x x =-=-+=-．()6001000L =；无盈亏产量：()0L x =，解得400x =．【供给函数】答案：1052PQ =+⋅．【总成本与平均成本】总成本()1306C Q Q =+，[]0,100Q ∈．平均成本()13061306Q C Q Q Q+==+，[]0,100Q ∈．第一章自测题一、填空题1、[2,1)(1,1)(1,)---+∞2、(,)-∞+∞3、(,1)a a --4、23x x -5、2ln(1)x -6、arcsin 2x7、cos(ln )x8、2142R Q Q =-+9、22()2505;()6248100R x x x L x x x =-=-+- 10、6P = 二、选择题1、C2、B3、B4、D5、C三、计算解答题1、（1）22log , 1y u u x ==+（2）1x y u e ==+ 2、1()1 , ()1f x x f x x -=+=- 四、应用题1、（1） 6 , 8P Q == （2） 3.5 , 3P Q == （3） 6.5 , 7P Q ==2、（1）()10200C x x =+，()200()10C x C x x x==+ （2）()15R x x =（3）()()()5200L x R x C x x =-=-，无盈亏点：40x =五、证明题（略）第二章极限与变化趋势分析实训一（A ）1．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√． 2．（1）收敛，且lim 0n n x →∞=；（2）发散，lim n n x →∞=∞；（3）收敛，且lim 2n n x →∞=；（4）发散．3．（1）收敛，且lim 2x y →∞=；（2）收敛，且0lim 1x y →=；（3）收敛，且lim 1x y →+∞=；（4）发散．【产品需求量的变化趋势】lim lim 0t t t Q e -→+∞→+∞==．实训一（B ）（1）无穷大；（2）无穷大；（3）无穷大；（4）无穷大．【人影长度】越靠近路灯，影子长度越短，越趋向于0．实训二（A ）1．填空题（1）5；（2）2；（3）1；（4）13；（5）∞；（6）∞；（7）2． 2．（1）()()()()2211111112lim lim lim 21121213x x x x x x x x x x x x →→→-+-+===---++；（2）(222211lim2x x x x x x →→→===--；（3）()()2322000222lim lim lim 211x x x x x x x x x x x x x →→→---===---；（4）()()211121111lim lim lim 111112x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===-⎪---++⎝⎭． 3．（1）222112lim lim 2111x x x x x x x →+∞→+∞-⎛⎫-==- ⎪+--⎝⎭；（2）()()()1121lim lim lim 22222222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫++++-⎛⎫-=-==- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．【污染治理问题】由题意可知，该问题为等比级数问题，首项为a ，公比为45，则设n 周后所剩污染物为n a ，则45nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为4lim 05nn a →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，可以确定随着时间的推移能将污染物排除干净．【谣言传播】（1）1lim (t)lim11ktt t P ae -→∞→∞==+；（2）121(t)0.8110t P e-==+，可解得2ln 407.38t =≈．实训二（B ）1．填空题（1）32π-；（2）0；0．（无穷小与有界函数的乘积为无穷小）（3）0a =，2b =-．2．（1）()3320lim3h x h x x h→+-=；（2）442x x x →→→===．3．由()3lim 30x x →-=，且232lim 43x x x kx →-+=-，可得()23lim 20x x x k →-+=，解得3k =-．4．由题意可知()()21116lim lim 511x x x x x ax bx x→→--++==--，可得7a =-，6b =．实训三（A ）1．填空题（1）1e -；（2）3e -；（3）e ；（4）e ；（5）3k =；（6）5050.1230⨯⨯=万元，()55010.125038.1⨯+-=万元，50.125041.1e ⨯=万元． 2．（1）6e -；（2）1e -；（3）2e -；（4）01e =． 3．（1）0.042003 6.68rtPe e ⨯==万元； 2.25o P =万元．（2）24.38t p =万元；24.43t p =万元．实训三（B ）1．（1）(()0111lim 1lim 1lim 11x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-==⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）()15lim 15xx x x e →→∞=+=；（3）()1111111lim lim 11xxx x xx e ---→→=+-=；（4）()()()1000ln 121limlim ln 12limln 12x x x x x x x xx →→→+=+=+ ()()112limln 12lnlim 12ln 2x xx x x x e →→=+=+==．2．322lim lim 122x xc x x x c c e e x c x c →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以3c =．实训四（A ）1．填空题（1）(]0,3；（2）()243,110,1x x x f x x ⎧-+≤-=⎨>⎩；（3）()0lim 1x f x -→=-，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在；（4）()(),22,-∞--+∞ ；（5）1x =，2x =；（6）1k =．2．图略，()0lim 1x f x -→=，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在． 3．()()1lim 11x f x f -→==，()1lim 2x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在1x =处不连续．【个人所得税计算】个人所得税的起征点为月收入3500元．850035005000-=，50000.2555455⨯-=；1200035008500-=，85000.25551145⨯-=．【出租车费用】图略，()8, 322, 3836, 8x f x x x x x ≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩．实训四（B ）1．图略，()()0lim 10x f x f -→=-=，()0lim 0x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在0x =处不连续．2．由连续的定义可知：()()220lim 1xx k f x e →==+=．3．因为()01f =，()01lim sin00x x f x→=≠（无穷小与有界函数的乘积），所以0x =为第一类的可去间断点．第二章自测题一、填空题 1、1- 2、1 3、12- 4、345、221,02,0x x x x ⎧+=⎪⎨≠⎪⎩6、1-7、100 ; 0 8、0.035; 5.15e(万)(万)二、选择题1、C2、A3、C4、A5、B 三、计算解答题1、（1）原式=211(1)1 lim lim0(1)(1)1x xx xx x x→→--==+-+（2）原式=lim lim x x=1lim2x==-（3）设1xe t-=，则ln(1)x t=+，0x→时，0t→，原式=10011lim lim1ln(1)ln(1)limln(1)t ttttt ttt→→→==+⋅++1111lnln[lim(1)]ttet→===+（4）原式=sin[lim sin[limx x→+∞=s i n[l]s i n00x===2、(0)2f=00l i m()l) x x xf x---→→→==00lim lim(12x x--→→==+=00lim()lim(2)2x xf x x++→→=+=lim()2(0)xf x f→∴==()f x∴在0x=点连续，从而()f x在(,)-∞+∞内连续.四、应用题第三章经济最优化问题分析实训一（A ）1．填空题（1）45x ；（2）2313x -；（3）23x ；（4）5232x --；（5）2ln 2x ；（6）1ln10x ；（7）0；（8）0．2．2log y x =，1ln 2y x '=．212ln 2x y ='=，122ln 2x y ='=．3．（1）()141y x -=-，即43y x =-；（2）()222y x +=--，即22y x =-+；（3）cos y x '=，312x k y π='==，切线方程为123y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即126y x π=-．实训一（B ）1．()()()20001sin010limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x→→→-'====-．2．()()()()000002lim h f x h f x f x h f x h →+-+--()()()()0000022lim2h f x h f x hh f x h f x h →+-=+--()()()()00000022limlim 12h h f x h f x hh f x h f x h →→+-=⋅=+--．其中()()()00002lim2h f x h f x f x h→+-'=，()()()()()00000021limh h f x f x h f x f x h f x →='+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 3．因为3,02⎛⎫⎪⎝⎭不在21y x =上，不是切点．设过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭与21y x =相切的切线的切点坐标为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切点为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为：()2312Y X a a a -=--，有已知3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在切线上，带入可得1a =，所以切线方程为：()121y x -=--，即23y x =-+．实训二（A ）1．（1）223146y x x x '=+-；（2）11'ln n n y nx x x --=+；（3）21'41y x x =++；（4）2cosx cosx sinx'(x 1)x y +-=+． 2．（1）22'1xy x =+；（2）22'2sin3x 3cos3x x x y e e =+；（3）'y = （4）22sec cos122'csc sinx 2tan 2cos sin222x x y x x x x ====．3．（1）''2y =；（2）''2x x y e xe --=-+（3）222222(1x )2(2x)''224(1x )x y x x --+-==-+--；（4）2322222(1x)2''2arctanx 1(1x )x x x y x +-=++++． 4．（1）2212dy x xdx y y --+==；（2）x y x y dy y e y xy dx e x xy x++--==--．【水箱注水】由24r h =，12r h =，22311133212h v r h h h πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，两边求导得214v h h π''=，由已知2v '=，3h =，带入可得： 1294h π'=，89h π'=所以水位上升的速度为89π米/分．【梯子的滑动速度】由题意可得22100x y +=，两边求导可得：220dx dy xy dt dt +=，即dx y dy dt x dt=-，将8y =，6x =，0.5dy dt =带入可得：820.563dy dt =-⨯=-．所以梯子的另一端华东的速度为23米/秒．负号表示运动方向．实训二（B ）1．（1）11(1ln )e x e x y x x x e -=+++；（2）()()1112121y x x x ⎫'=--⎪⎪-+⎭． 2．()()cos sin x x y e x f e x ''=++． 3．将1y y xe -=两边对x 求导可得：0y y dy dy e xe dx dx --=，即1y ydy e dx xe =-．…………（1）将0,1x y ==带入（1）可得：y e '=．对（1）继续求导，()()()22121y y y y y y y e xe e e xy e y e xe ''----''==-．4．（1）22x z z xy x ∂'==∂， 22y zz yx y ∂'==∂；（2）2xy x z z ye xy x ∂'==+∂，2xy y z z xe x y∂'==+∂．实训三（A ）1．填空题（1）单调递增区间，(),0-∞；单调递减区间()0,+∞．（2）6a =-．（3）驻点．（4）()00f x ''<．2．()()3444110y x x x x x '=-=-+=，得驻点1230,1,1x x x ==-=，单调递增区间：()()1.0 1.-+∞ ，单调递减区间：()().10.1-∞- ．3．()()23693310y x x x x '=--=-+=，得驻点121,3x x =-=．又由于：66y x ''=-，()1120y ''-=-<，所以11x =-为极大点，极大值为0； ()360y ''=>，所以23x =为极小点，极小值为32-．【定价问题】21200080R PQ P P ==-，25000502500050(1200080)6250004000C Q P P =+=+-=-， 224000160T Q P ==-，21200080625000400024000160L R C T P P P P =--=--+-+28016160649000P P =-+-160161600L P '=-+=，解得：101P =， 167080L =．【售价与最大利润】1100200Q p =-，21100200R PQ P P ==-；220019004400L R C P P =-=+-，40019000L P '=-+=，解得 4.75P =此时：150Q =，112.5L =．【最小平均成本】210000501000050x x c x x x ++==++；21000010c x '=-+=，解得100x =．【最大收入】315x R px xe -==，33155x x R exe--'=-3(155)0x x e-=-=，解得：3x =，此时115p e -=，145R e -=．实训三（B ）1．（1）设()1xf x e x =--，()10xf x e '=->（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立．（2）设()()ln 1f x x x =-+，()1101f x x'=->+（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． 2．()cos cos3f x a x x '=+，没有不可导点，所以cos cos 033f a πππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭，得2a =．又()2sin 3sin3f x x x ''=--，03f π⎛⎫''=<⎪⎝⎭，所以3x π=为极大值点，极大值为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【采购计划】设批量为x ，采购费：132********200C x x =⨯=；库存费：222xC x =⨯=；总费用：12640000C C C x x=+=+； 264000010C x'=-+=，解得800x =唯一驻点，所以采购分4次，每次800吨，总费用最小．第三章自测题一、填空题 1． 2 2． 12-3． 21x -4． 1-5． 212c o s x xx+ 6． 17． 2l n3x + 8． 2 ; 09． 11ln ; ln y x y x yxy y x x xy --+⋅⋅+10． 12x =二、选择题1、C2、A3、A4、D5、A 三、计算解答题1、（1）([1]y x '''=+=+[12]()1x =⋅⋅⋅==（2）222()()2x x x x y e x e x xe e --'''=⋅+⋅-=- 2、方程221x y xy +-=两边对x 求导，得22()0x y y y x y ''+⋅-+= 解得：22y xy y x-'=-，将0,1x y ==代入，得切线斜率12k =，所以，切线方程为：11(0)2y x -=-，即：220x y -+=. 3、定义域(,)-∞+∞2363(2)y x x x x '=-=- 令0y '=，得驻点120,2x x ==递增区间：(,0)-∞、(2,)+∞ 递减区间：(0,2)极大值：(0)7f = 极小值：(2)3f = 四、应用题1、50S t ==(50)50dSt dt'== 所以，两船间的距离增加的速度为50千米／小时. 2、第四章边际与弹性分析实训一（A ）1．填空题（1）0.2x ∆=， 2.448y ∆=， 2.2dy =．（2）1x dy edx ==．（3）12dy x dx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（4）cos(21)x +，2cos(21)x +．（5）[]()f g x '，[]()()f g x g x ''．2．（1）(12)dy x dx =+；（2）221dy dx x =+；（3）222(22)x x dy xe x e dx --=-；（4）322(1)dy x x dx -=-+；（5）23(1)1dy dx x =-+；（6）1dx dy x nx=． 3．()ln 11x y x x '=+++，11ln 22x y ='=+，所以11ln 22x dy dx =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【金属圆管截面积】2s r π=，2200.05ds r r πππ=∆=⨯=．实训一（B ）1．（1）2sec x ；（2）1sin 5x 5；（3）2x ；（4）232x ；（5）21x +；（6）arctan x ． 2．将x yxy e+=两边对x 求导，()1x yy xy ey +''+=+，解得：x y x ye yy x e ++-'=-，所以x y x ye ydy dx x e++-=-．3．（1110.001 1.00052≈+⨯=；（20.02221 2.001783⎛⎫==≈+= ⎪⨯⎝⎭；（3）()ln 1.01ln(10.01)0.01=+≈；（4）0.0510.05 1.05e ≈+=．【圆盘面积的相对误差】2s r π=，0.2r ∆≤()'2s ds s r r r r π∆≈=∆=∆（1）()()22482240.29.65s ds cm cm πππ∆≈=⨯⨯==；（2）2220.22 1.67%24r r r s ds s s r r ππ∆∆∆≈===⨯≈．实训二（A ）1．（1）()2'2x f x xe =；（2）[]1'()(1)a bf x x e a x ac --=++．2．（1）()21900110090017751200C =+⨯=；17757190036C ==．（2）()39002C '=，表示第901件产品的成本为32个单位；()51000 1.673C '=≈，表示第1001件产品的成本为53个单位． 3．（1）(50)9975R =；9975199.550R ==．（2）()502000.0250199R '=-⨯=，表示第51件产品的收入为199个单位． 4．22()()100.01520050.01200L R x C x x x x x x =-=---=--，50.020L x '=-=，解得唯一驻点250x =，所以当每批生产250个单位产品时，利润达到最大．实训二（B ）1．()()()()()242,04282, 4x x x x L x R x C x x x ⎧--+≤≤⎪=-=⎨⎪-+>⎩，即()232,0426, 4x x x L x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，求导()3,041, 4x x L x x -+≤<⎧'=⎨->⎩，令()0L x '=解得3x =百台（唯一驻点）所以每年生产300台时，利润达到最大．()()430.5L L -=-万元，在最大利润的基础上再生产1百台，利润将减少0.5万元．2．()0.50.25C a a =+（万元）()2152R a aa =- ()22150.50.25 4.750.522a L a a a a a =---=-+-令() 4.750L a a '=-+=，解得 4.75a =（百台）又()10L a ''=-<，有极值的第二充分条件，可知当 4.75a =为最大值（唯一驻点）所以该产品每年生产475台时，利润最大．实训三（A ）1．填空题（1）1axy=；（2）21x Ey Ex ==；（3）1ln()4p η=-；（4）()334η=，()41η=，()554η=． 2．（1）15x η=；（2）3(3)5η=，价格为3时，价格上涨1%，需求下降0.6%，缺乏弹性；(5)1η=，价格为5时，价格上涨1%，需求下降1%，单位灵敏性； 6(6)5η=，价格为6时，价格上涨1%，需求下降1.2%． 3．（1）500P =元时，100000Q =张．（2）18002ppη=-．（3）1η=时，18002600p p p =-⇒=所以：当0600p ≤<时，1η<；当600900p <≤时，1η>．实训三（B ）1．（1）224202EQ x x Q Ex Q x '==--，243x EQ Ex ==-，所以价格增长5%，需求量减少6.7%；（2）()()3220R x xQ x x x ==--，x =403Q =．2．（1）2Q P '=-，48P Q ='=-，经济意义：在价格4P =的基础上，增加一个单位，需求量减少8个单位．（2）22275P P Q Q P η'=-=-，4320.542359P η===，经济意义，在4P =的基础上涨1%，需求减少0.54%．（3）375R PQ p p ==-，3375375p p p pη-=-，(4)0.46η=，经济意义，在4P =的基础上，若价格上涨1%，收入上涨0.46%．（4）198(6)0.46234η-=≈-，经济意义，在6P =的基础上，若价格上涨1%，收入减少0.46%．（5）375R p p =-，275305R p p '=-=⇒=，又6R p ''=-，()5300R ''=-<，所以由极值的第二充分条件，可知5P =时，总收入最大．第四章自测题一、填空题 1． 22 ; 2xxe e2．212x 3． arctan x4． 0.1 ; 0.63 ; 0.6 5． 45 ; 11 ; 456．10 ; 10% ; 变动富有弹性 7． 15%20% 8． 10% 二、选择题1、C2、B3、D4、A5、C 三、计算解答题1、（1）2222222()()2(2)x x x x y x e x e xe x e x ''''=⋅+⋅=+⋅2222222(1)x x x x e x e x e x =+=+ 22(1)xd y y d x xe x d x'∴==+ （2）222sin(12)[sin(12)]y x x ''=+⋅+2222s i n (12)c o s (12)(12)x x x '=+⋅+⋅+ 24s i n (24)x x =+ 24s i n (24)d y y d x x x d x'∴==+ 2、方程242ln y y x -=两边对x 求导，得31224dy dyy x dx y dx⋅-⋅⋅= 解得，3221dy x y dx y =-，3221x y dy dx y ∴=-3、四、应用题1、（1）()60.04C Q Q '=+ ()300()60.02C Q C Q Q Q Q==++（2）2300()0.02C Q Q'=-+令()0C Q '=，得Q = （3）2()()(204)204R Q P Q Q Q Q Q Q =⋅=-⋅=-2()()() 4.0214300L Q R Q C Q Q Q =-=-+- ()8.0414L Q Q '=-+ 令()0L Q =，得Q =2、 4Q P '=-（1）(6)24Q '=-，6P =时，价格上升1个单位，需求量减少24个单位.（2）22224(1502)15021502P P P Q P Q P P η''=-⋅=-⋅-=-- 24(6)13η=6P =时，价格变动1%，需求量变动2413% （3）23()()(1502)1502R P Q P P P P P P =⋅=-⋅=-33(1502)1502E R P PR P P E P R P P''=⋅=⋅--2215061502P P -=-61113P EREP==-6P =时，若价格下降2%，总收入将增加2213%第五章经济总量问题分析实训一（A ）1．填空题（1）3x ，3x C +；（2）3x ，3x C +；（3）cos x -，cos x C -+；（4C ；（5）arctan x ，arctan x C +．2．（1）B ；（2）C ；（3）D ；（4）A ．3．（1）5322225x x C -+；（2）31cos 3xx e x C --+；（3）21x x C x-++；（4）(2)ln 2xe C e+． 4．（1）1arctan x C x--+；（2）sin cos x x C ++．【曲线方程】由题意()21f x x '=+，所以()()()23113f x f x dx x dx x x C '==+=++⎰⎰，又过点()0,1带入，得到1C =，所以曲线方程为：()3113f x x x =++．【总成本函数】由题意可得()220.01C x x x a =++，又固定成本为2000元，所以 ()220.012000C x x x =++．【总收入函数】()()278 1.2780.6R x x dx x x C =-=-+⎰，由()000R C =⇒=，所以总收入函数为()2780.6R x x x =-．实训一（B ）1．填空题（1）sin 2ln x x x +；（2）223cos3x e x +；（3）ln x x C +． 2．（1）D ；（2）B ．3．（1）322233331u u u I du u du u u u -+-⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ 2133ln 2u u u C u=-+++；（2）)32332333I dx x x C ===-+⎰；（3）()222222121212arctan 11x x I dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰；（4）()()()1111tttt te e I dt edt e t C e +-==-=-++⎰⎰．实训二（A ）1．填空题（1）212x ；（2）x e --；（3）ln x ；（4）arctan x ；（5）23x x +；（6）arcsin x ． 2．（1）B ；（2）B ．3．（1）()()()11cos 2121sin 2122I x d x x C =++=++⎰；（2）()()3212313139I x x C =+=++；（3）()()231ln ln ln 3I x d x x C ==+⎰；（4）111xx I e d e C x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰．4．（1）sin sin sin x xI e d x eC ==+⎰；（2）()()11ln 11x xx I d e e C e =+=+++⎰；（3）()()2222ln 22d x x I x x C x x -+==-++-+⎰；（4）22221111111x x x I dx dx x x x ++-⎛⎫==+- ⎪+++⎝⎭⎰⎰ 21l n (1)a r c t a n 2x x x C=++-+． 5．（1）()x x x x x I xd e xe e dx xe e C -----=-=-+=--+⎰⎰；（2）()()()ln 1ln 1ln 1I x dx x x xd x =+=+-+⎰⎰()()11ln 1ln 111x x x x dx x x dx x x +-=+-=+-++⎰⎰()()l n 1l n 1x x x x C =+-+++．【需求函数】由已知，()111000ln3100033p pQ p dp C ⎛⎫⎛⎫=-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 又因为0p =时，1000Q =，代入上式，得到0C =．所以，()110003pQ p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【资本存量】由已知，32()2(1)y I t dt t C ===++⎰⎰因为0t =时，2500498y C C =+=⇒= 所以，322(1)498y t =++．实训二（B ）1．填空题（1）ln ()f x C +；（2）arctan(())f x C +；（3）'()()xf x f x C -+． 2．（1）()()2arctan 1x x x d e I e C e ==++⎰；（2）()()11131431dx I dx x x x x ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭⎰⎰113l n 3l n 1l n 441x I x x C C x -=⎡--+⎤+=+⎣⎦+；（3）()()2arctan 111dxI x C x ==++++⎰；（4）()22222x x x x x I x d e x e e dx x e xe dx -----=-=-+=--⎰⎰⎰()22222x x x x x x I x e xe e C x e xe e C ------=----+=-+++．【物体冷却模型】设()T t 为t 时刻物体的温度，由冷却定律可得：0()dTk T T dt=-，分离变量0dT kdt T T =-，两边积分0dTkdt T T =-⎰⎰，可得：()0ln ln T T kt c -=+，0()kt T t T ce =+．由已知()0100T =，()160T =，020T =，带入得到：80c =，ln 2k =-，所以ln2()2080t T t e -⋅=+，当ln 23020803te t -⋅=+⇒=．实训三（A ）1．填空题（1）122lim(1)nn i i n n→∞=+∑；（2）2)x dx -；（3）2π；（4）0． 2．（1）12010(3)3S x dx =+=⎰；（2）12218(2)3S x x dx -=--=⎰；（3）1303(1)4S x dx =-=⎰或034S ==⎰．实训三（B ）1．（1）分割：将[]0,4n 等分，每份长度为4n ；（2）近似代替：2412823i i n iA n n n⎡⎤+⎛⎫∆=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）求和：()2212221111281281282nnni ii i n n n in n iA A n nn===++++≈∆===∑∑∑；（4）取极限：()2211282lim16n n n n A n→∞++==． 2．1sin xdx π⎰．3．22211113ln ln 222x dx x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．实训四（A ）1．填空题（1）64；（2）1；（3）2π；（4）3；（5）1． 2．（1）()()()44341118111144I x d x x =--=-=⎰；（2）()()44223328I x dx xx =+=+=⎰；（几何上为直角三角形的面积）（3）22242200111222x x e I e dx e -===⎰；（4）2112111xx I e d e e x =-=-=⎰（5）01cos sin 222x x x I dx πππ++===⎰；（6）0；（利用当积分区间为对称区间，被积函数为奇函数时定积分的性质）（7）121211122222235I xdx xdx xdx xdx -=+=+=+=⎰⎰⎰⎰；（8）02sin 4I xdx π==⎰．（利用定积分的周期性）【资本存量问题】（1）434211214I t ===⎰（万元）；（4）33224422820 6.87x xtx x ⎛⎫==-=⇒=≈ ⎪⎝⎭⎰．【投资问题】01000P =，200A = 0.05()200T t tdP e dt-= 0.05()0.05020040004000TT t T t P edt e -==-+⎰ 10t =，0.5400040002595t P e=-+= 因为0.515741600T P e-≈<，所以，此项投资不恰当．实训四（B ）1．因为()1229214x dx --+=-⎰，()1129214x dx -+=⎰，()20216x dx +=⎰，()21214x dx +=⎰， ()3222213x dx +=⎰，所以应该分两种情况：（1）因为()3403kf x dx =⎰，()()332240221816333k f x dx x dx -+=-==⎰⎰ 所以，0k =；（2）因为()()102112f x dx f x dx ---=⎰⎰，由对称性可知1k =-．2．对()21f x dx -⎰作代换令1x t -=（切记：定积分的换元要换限，积分值不变），则有：()()21011f x dx f t dt --=⎰⎰，所以，()()21101101112tte f x dx f t dt dt dt e t ---==+++⎰⎰⎰⎰ ()()()()001101011132ln 1ln 2ln 121t t td e ed te t e t e --+=++=+++=+++⎰⎰． 3．()()()()11111111I xf x dx xdf x x f x f x dx ----'===-⎰⎰⎰()()()()21111110x f f e f f --=+--=+-=．因为()()222x x f x e xe --'==-，()f x 为奇函数，所以()()110f f +-=．【储存费用问题】第五章自测题一、填空题 1．sin x x e c ++2．5314453x x x c -++ 3．ln xdx4．21ln 2x c +5．196．327．94π8．21200 ;200Q Q - 9．二、选择题1、D2、B3、A4、B5、C 三、计算解答题 1、（1）原式=1111()(3)(2)532dx dx x x x x =--+-+⎰⎰ 113[l n 3l n 2]l n 552x x x c cx -=--++=++ （2）原式=22111112sin ()cos cos cos1d x x x πππ-==-⎰2、（1）222222212(1)()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x ++++==++⎰⎰22111()arctan 1dx x c x x x=+=-+++⎰（2）222222212(1)3()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x -+--==++⎰⎰ 22131()3arctan 1dx x c x x x=-=--++⎰3、原式=31222(1)(1)1)33x x =+=+=⎰⎰四、应用题 1、（1）32412)2(24S x x dx x x =-=-=（2）1100()()1x x S e e dx ex e =-=-=⎰2、（1）2()()(100020)C Q C Q dQ Q Q dQ '==-+⎰⎰2311000103Q Q Q c =-++(0)9000C = ，9000c ∴=， 321()10100090003C Q Q Q Q ∴=-++ ()3400R Q Q = 321()()()10240090003L Q R Q C Q Q Q Q =-=-++- （2）令()()R Q C Q ''=，得60Q = 最大利润(60)99000L =（元） 3、.期末考试（90分钟）一、选择题（每题3分，共9分）1、设()0, 0x f x k x ≠=⎪=⎩在0x =处连续，问k =（）。

《经济数学基础》答案

第17题: 下面哪一个可以用泊松分布来衡量( B)。

A一个班学生们的身高B一段道路上碰到坑的次数C投掷硬币时遇到正面朝上的概率D某稀有金属的半衰期长短第18题: 线性回归方法是做出这样一条直线，使得它与坐标系中具有一定线性关系的各点的( C)为最小。

A水平距离的平方和B垂直距离的和C垂直距离的平方和D垂直距离的平方第19题: 当两变量的相关系数接近相关系数的最小取值-1时，表示这两个随机变量之间( B)。

A几乎没有什么相关性B近乎完全负相关C近乎完全正相关D可以直接用一个变量代替另一个第20题: 关于概率，下列说法正确的是( ABC)。

A是度量某一事件发生的可能性的方法B概率分布是不确定事件发生的可能性的一种数学模型C值介于0和1之间D所有未发生的事件的概率值一定比1小第21题: 下列哪些方面需要用到概率知识分析其不确定性( ABC )。

A外汇走势B不良贷款率预测C证卷走势D税收确认第22题: 什么样的情况下，可以应用古典概率或先验概率方法( BD )。

A不确定有什么样的结果空间B不确定结果的范围是已知的C不确定结果发生的概率不一样D不确定结果具有等可能性第23题: 关于协方差，下列说法正确的有( ABD )。

A协方差体现的两个随机变量随机变动时的相关程度B如果P=1，则I 和n有完全的正线性相关关系C方差越大，协方差越大D Cov(x,η)=E(X-EX)( η-Eη)第24题: 关于中位数，下列理解错误的有( BC )。

A当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数B当观测值个数为偶数时,(n+1)/2位置的观测值，即X（n+1）/2为中位数C当观测值个数为偶数时，（n+1）/2位置的观测值，X（n+1）/2为中位数D将资料内所有观测值从小到大一次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数第25题: 线性回归时，在各点的坐标为已知的前提下，要获得回归直线的方程就是要确定该直线的( BD )。

经济应用数学基础(一)-微积分-课后习题答案_高

第一章　函数习　题　一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：（１）（x－２）２＞９；（２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．解　（１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３　或　x－２＜－３由此得　x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证　（１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：（１）y＝x与y＝x２；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．解　（１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：（１）y＝x２＋x－２；（２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；（５）y＝１x－３x＋１０x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．解　（１）使该函数有定义的x应满足条件：x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：x≥０　且　ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：９－x２≥０，　１－x＞０，　１－x≠１解得　｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为D f＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：x２－９x１０≥１由此得　x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x－３≠０，　x－１０≠０，　x＋１０x－１０≥０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：x－３≠０，　（x－１）（x－２）x－３≥０即（x－１）（x－２）≥０　且　x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０　且　x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数f（x）＝q－x２，｜x｜≤３x２－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解　因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３， f（±３）＝９－（±３）２＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以f（±４）＝（±４）２－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，f（２＋a）＝q－（２＋a）２＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，f（２＋a）＝（２＋a）２－９＝（a－１）（a＋５）所以f（２＋a）＝（１－a）（５＋a），－５≤a≤１（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：（１）y＝１＋６x－x２；（２）y＝ｅ｜x｜．解　（１）易知该函数定义域为D f＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６），　x１＜x２则f（x１）－f（x２）＝６x１－x２１－６x２－x２２＝（６x１－x２１）－（６x２－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝６（x１－x２）－（x２１－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝［６－（x１＋x２）］（x１－x２）６x１－x２１＋６x２－x２２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因６x－x２＝９－（x－３）２，所以y＝１＋６x－x２是圆（x－３）２＋（y－１）２＝３２的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因y＝ｅ｜x｜＝ｅx，x≥０ｅ－x，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：（１）y ＝x ２１＋x２；（２）y ＝ｅ－x ２；（３）y ＝ｓｉｎ１x；（４）y ＝１１－x．解　（１）因为｜y ｜＝x２１＋x ２＝１－１１＋x２≤１所以，该函数有界．（２）因为｜y ｜＝ｅ－x ２＝１ｅx ２≤１ｅ０＝１所以，该函数有界．（３）因为ｓｉｎ１x≤１（x ≠０），所以，该函数有界．（４）对任意给定的正数M ＞０，令x ０＝１－１２M≠１，则｜y （x ０）｜＝１１－１－１２M＝２M ＞M此式表明，对任意给定的M ＞０，存在点x ０∈D f ，使｜y （x ０）｜＞M ．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：（１）f （x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ；（２）y ＝x ５－x ３－３；（３）f （x ）＝ｌｎ（x ＋１－x ２）；（４）f （x ）＝１－x ，x ＜０，１，x ＝０，１＋x ，x ＞０．解　（１）因为f （－x ）＝（－x ）ｓｉｎ（－x ）＋ｃｏｓ（－x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ＝f （x ），x ∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为f （－x ）＝－x ５＋x ３－３≠f （x ）或－f （x ）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为f （－x ）＝ｌｎ（－x ＋１＋x ２）＝ｌｎ（１＋x ２）－x２x ＋１＋x２＝－ｌｎ（x＋１＋x２）＝－f（x），　x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时，　f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时，　f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以f（－x）＝１－x，x＜０１，x＝０１＋x，x＞０＝f（x）因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx；（２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解　（１）因为f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋π４所以f（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋π４＝２ｓｉｎx＋π４＝f（x）因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：（１）y＝１－x１＋x；（２）y＝１２（ｅx－ｅ－x）；（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝５３x－５；（５）y＝２ｓｉｎx３，　x∈－π２，π２；（６）y＝２x－１，０＜x≤１２－（x－２）２，１＜x≤２．解　（１）由y＝１－x１＋x　解出x，得x＝１－y１＋y因此，反函数为y＝１－x１＋x其定义域为D（f－１）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）（２）由所给函数解出ｅx，得ｅx＝y±１＋y２＝y＋１＋y２（因为ｅx＞０，所以舍去“－”号）由此得x＝ｌｎ（y＋１＋y２）因此反函数为y＝ｌｎ（x＋１＋x２）其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得x＝１＋ｅy－１，故反函数为y＝１＋ｅx－１其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为D（f）＝（－∞，＋∞），　Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得x＝１３（y５＋５），　y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）所以，反函数为y＝１３（x５＋５）其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）（５）由所给函数解出x，得x＝３ａｒｃｓｉｎy２所以，反函数为y＝３ａｒｃｓｉｎx２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；当１＜x≤２时，y＝２－（x－２）２，y∈（１，２］；由此解出x，得x＝１２（１＋y），－１＜y≤１２－２－y，１＜y≤２　（舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为y＝１２（１＋x），－１＜x≤１２－２－x，１＜x≤２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：（１）y＝ｌｏｇa x；（２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ２（a２＋x２）］；（３）y＝ｅ２x／（１－x２）；（４）y＝ｃｏｓ２x２－x－１．解　（１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇa u与幂函数u＝x复合而成；（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v２、正切函数v＝ｔａｎw 和多项式函数w＝a２＋x２复合而成；（３）所给函数由指数函数y＝ｅu和有理分式函数u＝２x１＋x２复合而成；（４）所给函数由幂函数y＝u２、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式函数w＝x２－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解　设总收入函数为R（x）＝ax２＋bx＋c（a≠０）已知R（０）＝０　所以c＝０又知R（１０）＝８００，　R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００，　４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０，　２０a＋b＝６０由此解得　a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为R（x）＝１００x－２x２＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解　设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：３p＋Q２d＋５Q d－１０２＝０p－２Q２s＋３Q s＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格p e和均衡数量Q e．解　供需均衡的条件为Q d＝Q s＝Q e，对应均衡价格为p e，于是有３p３＋Q２e＋５Q－１０２＝０p e－２Q２e＋３Q e＋７１＝０由其中第二个方程得p e＝２Q２e－３Q３－７１　（倡）将上式代入第一个方程，得７Q２e－４Q e－３１５＝０由此解得Q e＝７（舍去负根）．将Q e＝７代入（倡）得p e＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格p e＝６，均衡数量Q e＝７．（B）１．填空题：（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅx）的定义域为，函数f x－１４＋f x＋１４的定义域为；（２）已知函数f（x）＝x１＋x２，则f（ｓｉｎx）＝；（３）已知函数f（x）＝x１－x，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝；（４）已知f（３x－２）＝x２，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Q d＝１００－２p，　Q s＝－２０＋１０p，则均衡价格p e＝，均衡数量Q e＝；答　（１）（－∞，０］，１４，３４；（２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；（３）x１－２x，x１－３x；（４）１９（x＋２）２；（５）１０，８０．解　（１）由０＜ｅx≤１得x∈（－∞，０］，由０＜x－１４≤１且０＜x＋１４≤１，得x∈１４，３４；（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎ２x＝ｓｉｎxｃｏｓ２x＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；（３）f［f（x）］＝f（x）１－f（x）＝x１－２x，f｛f［f（x）］｝＝f［f（x）］１－f［f（x）］＝x１－３x；（４）令t＝３x－２，则x＝１３（t＋２），于是f（t）＝f（３x－２）＝x２＝１３（t＋２）２＝１９（t＋２）２所以f（x）＝１９（x＋２）２（５）由Q d＝Q s＝Q e，得１００－２p e＝－２０＋１０p e解得　p e＝１０，从而Q e＝８０．２．单项选择题：（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）２表示相同的函数，则它们的定义域为．（Ａ）（－∞，＋∞）；（Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．（２）设f （x ）＝１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜＞１，则f ｛f ［f （x ）］｝＝．（Ａ）０；（Ｂ）１（Ｃ）１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜≥１；（Ｄ）１，｜x ｜≥１，０，｜x ｜＜１．（３）y ＝ｓｉｎ１x在定义域内是．（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．（Ａ）y ＝｜f （x ）｜；（Ｂ）y ＝［f （x ）］２；（Ｃ）y ＝－f （－x ）；（Ｄ）y ＝f （x ２）ｃｏｓx ．（５）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，且f （x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx ，则f （x ）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答　（１）Ｃ；　（２）Ｃ；　（３）Ｄ；　（４）Ｄ；　（５）Ｂ．解　（１）由（x ＋２）２＝｜x ＋２｜＝x ＋２≥０可知x ≥－２，故选（Ｃ）．（２）因f ［f （x ）］＝１，｜f （x ）｜＜１０，｜f （x ）｜≥１＝１，｜x ｜≥１０，｜x ｜＜１f ｛f ［f （x ）］｝＝１，｜f ［f （x ）］｜＜１０，｜f ［f （x ）］｜≥１＝１，｜x ｜＜１０，｜x ｜≥１故选（Ｃ）．（３）因ｓｉｎ１x≤１，橙x ≠０，故选（Ｄ）．（４）因f （（－x ）２）ｃｏｓ（－x ）＝f （x ２）ｃｏｓx ，故选（Ｄ）．（５）因f （x ＋２π）＝f （x ＋π）＋ｓｉｎ（x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx －ｓｉｎx ＝f （x ）故f （x ）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．３．设f２x ＋１２x －２－１２f （x ）＝x ，求f （x ）．解　令t ＝２x ＋１２x －２，则x ＝２t ＋１２t －２，代入所给方程，得f （t ）－１２f ２t ＋１２t －２＝２t ＋１２t －２其中，由所给方程有f２t ＋１２t －２＝t ＋１２f （t ）于是得f （t ）－１２t ＋１２f （t ）＝２t ＋１２t －２由此得f （t ）＝２３t ２＋t ＋１t －１因此f （x ）＝２３x ２＋x ＋１x －１．４．证明下列各题：（）若函数f （x ），g （x ）在D 上单调增加（或单调减少），则函数h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f （x ）在区间［a ，b ］，［b ，c ］上单调增加（或单调减少），则f （x ）在区间［a ，c ］上单调增加（或单调减少）．证　（１）对任意的x １，x ２∈D ，且x １＜x ２，因f （x ），g （x ）单调增加（减少），故有f （x １）＜f （x ２）　（f （x １）＞f （x ２））g （x １）＜g （x ２）　（g （x １）＞g （x ２））于是h （x １）＝f （x １）＋g （x １）＜f （x ２）＋g （x ２）＝h （x ２）（h （x １）＞h （x ２））所以，h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（减少）．（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若　a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２）　（或f（x１）＞f（x２））若　a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２）　（或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D 上也有界．证　因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１，　｜g（x）｜＜M２，　橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证　要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令x０＝π２＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）（［M］为M的整数部分），则有｜f（x０）｜＝π２＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎπ２＋２（１＋［M］）π＝π２＋２（１＋［M］）πｓｉｎπ２＝π２＋２（１＋［M］）π＞M于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程af（x）＋bf１x＝c x，x≠０其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．求f （x ），并讨论f （x ）的奇偶性．解　由所给方程有af１x＋bf （x ）＝cx于是，解方程组af （x ）＋bf １x＝c xaf１x＋bf （x ）＝cx可得f （x ）＝ac －bcx ２（a ２－b ２）x因为f （－x ）＝ac －bc （－x ）２（a ２－b ２）（－x ）＝－ac －bcx２（a ２－b ２）x＝－f （x ）所以，f （x ）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解　设R （x ）为销售总收入，x 为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x ≤７００时，售价p ＝１３０（元／吨）；当７００＜x ≤１０００时，超过部分（x －７００）的售价为p ＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为R （x ）＝１３０x ，　０≤x ≤７００１３０×７００＋１１７×（x －７００），　７００＜x ≤１０００＝１３０x ，０≤x ≤７００１１７x ＋９１００，７００＜x ≤１０００可见销售总收入R （x ）为销售量x 的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解　设每天生产x 只手表，则每天总成本为C （x ）＝１５x ＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x （元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x ≥１５x ＋２０００解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解　设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２，　b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．第二章　极限与连续习　题　二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n；（２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解　（１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０；（２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２n＝１（a为常数）．证　（１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε　（∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２n＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４；（２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解　（１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５；（２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证　（１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解　（１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２；（２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解　（１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４；（２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解　（１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）；（２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解　（１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］；（２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解　（１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）；（２）ｌｉｍx →１f （x ）；（３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解　令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ；（２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx；（２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）；（２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解　（１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以　ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ；（４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解　（１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解　（１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝，k＝；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是．答　（１）０；（２）１a；（３）１２a；（４）２００８，１２００８；（５）等价；（６）可去；（７）跳跃；（８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解　（１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的．（Ａ）必要条件；（Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝．（Ａ）０；（Ｂ）１；（Ｃ）不存在；（Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则．（Ａ）a ＝－５，b ＝６；（Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时，．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０；（Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３；（Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）；（Ｂ）［a ，b ］；（Ｃ）［a ，b ）；（Ｄ）（a ，b ］．答　（１）Ｄ；　（２）Ｄ；　（３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ；　（６）Ｄ；　（７）Ｃ；　（８）Ｂ．解　（１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞，　ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为。

经济数学基础课后答案

习题四1．设总体X 服从正态分布N ()6212,,,, 3,10X X X ⋯是它的一组样本，∑==6161i i X X（1）写出X 所服从的分布；（2）求X ＞11的概率.解（1）X ～N ⎪⎪⎭⎫⎝⎛63,102，即X ～N ⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,10.（2）{}{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--=≤-=231011 2310 111 111 X P X P X P ＞⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-Φ-=231011 1 =1-Φ(0.8165) .解法一：{}().2061.0 7939.01 82.0111=-≈Φ-≈＞X P解法二：查表得：Φ(0.81) = 0.7910， Φ(0.82) = 0.7939，可以求出一条过点（0.81，0.7910）、（0.82，0.7939）的直线，其方程为：(),.x .....y 81081082079100793*******---+= 对于x ∈(0.81，0.82)，我们用上述直线方程近似Φ(x )，则有 Φ (0.8165)().7929.081.08165.081.082.07910.07939.07910.0≈---+≈ 故{}()2071.0 7929.01 8165.0111=-=Φ-=＞X P这种方法，称为线性插值法；利用线性插值法，可以提高查表精度.2. 设X 1，X 2，…，X n 是总体X 的样本， ∑==ni i X n X 11，分别按总体服从下列指定分布求E (X )，D (X ).（1）X 服从0-1分布：{}()1011,k ,p p k X P kk =-==-；（2）X 服从二项分布：{}(),k ,p p C k X P km kk m 01=-==-1，2，…，m ；（3）X 服从泊松分布：{}k k k X P k,0,e !＞λλλ-===0，1，2，…；（4）X 服从均匀分布：f (x ) =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他； 0 1,,b x a ,a b（5）X 服从指数分布：f (x ) =().0,0e ＞＞λλλx x - 解（1）X 服从0-1分布，EX =p ，DX =p (1-p ),故.· 1 1 1 1111p npn EX n X E n X n E X E ni i n i i n i i ==∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=⎪⎭⎫⎝⎛∑====∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=⎪⎭⎫⎝⎛∑====ni in i i n i i DX n X D n X n D X D 121211 1 1 ()().111 · 1 2p p np np n-=-=（2）X 服从二项分布，EX =mp ，DX =mp (1-p )，同（1），可以求得().p mp nX D ,mp X E -==11（3）X 服从泊松分布EX =λ，DX =λ，同（1），可以求得：E X =λ，D X =n1λ.（4）X 服从均匀分布()1222a b DX ,ba EX -=+=，同（1），可以求得()na b X D ,b a X E 1222-=+=.（5）X 服从指数分布其他211λλ==DX ,EX ,同（1），可以求得211λλn X D ,EX ==.注一般地讲，设X 1，X 2，…，X n 是总体X 的样本，∑==ni i X n X 11，若X 的样本与方差均存在，则 .DX nX D ,EX X E 1== 对于本题，也可以先证明上述一般结果，再把一般结果分别应用到各个小题.3．设总体X 服从正态分布()230.,N μ，X 1，X 2，…，X n 是总体X 的一组样本，X 是样本均值，试问：样本容量n 至少应取多大，才能使{}.95.01.0 ≥-＜μX P解 X ～N ()230.,μ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n.,N X 230μ～故{}1.0 ＜μ-X P.n n n n n n /..n /.X n /..P 132313333010303010-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=ΦΦΦΦΦμ＜＜根据题目的要求,.n ,.n 97503950132≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΦΦ查表得Φ(1.96)=0.975. 故..n .n57349613≥≥，因为n 只能取正整数，所以，样本容量n 至少应取35.4．设X 1，X 2，…，X 6为正态总体N ()220,的一个样本，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=612546i i .X P ＞. 解由X i ～N ()220，（i =1，2， (6)，知20-i X ～N （0，1）（i =1，2，…，6），且它们相互独立，故()14122X X i ～, ∑=6122641i i X X ）（～所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=＞6.5461i 2i X P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=6i i X P 12＞1.63541＝=0.955．设总体X 和Y 相互独立，都服从正态分布N （30，32），X 1，X 2，…，X 20，Y 1，Y 2，…，Y 25分别是来自X 和Y 的样本.求＞0.4Y X -的概率.解由X i ～N （30，32）（i =1，2，…，20），Y i ～N （30，32）（i =1，2，…，25），知),203(30,2N X ～),253(30,2N Y ～又X 与Y 相互独立，所以X 与Y 也相互独立.从而 )，253＋203(0，22N Y X ～－即).(0,0.92N Y X ～- 故{}4.0>-Y X P{}4.0·2>-=Y X P{}[]4.01·2<--=Y X P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=9.004.012Φ()[]4444.012Φ-= ()67.012-= 66.0=.6．设X 和Y 是来自正态总体N (μ , σ2)的容量为n 的两个样本均值.试确定n ，使得两个样本均值之差超过σ的概率大约为0.01.解 ,1,~2⎪⎭⎫⎝⎛σμn N X,1,~2⎪⎭⎫ ⎝⎛σμn N Y因为X ，Y 是两个不同的样本，故X 与Y 相互独立，X 与Y 也相互独立.从而 ,2,0~2⎪⎭⎫⎝⎛-σn N Y X故{}σ>-Y X P{}σ>-=Y X P 2{}[]σ<--=Y X P 12⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=σσn Φ2012 .212⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n Φ 根据题设,01.0212≈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n Φ ,995.02≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛n Φ 查表得2n,58.2≈ n =13.3128.所以n 可以取13或14.7.设X 服从正态分布N （2,σμ），1021,,,X X X ⋯是X 的样本.试求下列概论：（1）().3.210125.0221012⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑≤=σμσi i X P（2）().3.210125.0221012⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑≤=σσX X p i i解 (1)()(),10,,2,1,~2⋯=i N X i σμ()(),10,2,11,0~2⋯=-i N X i σμ从而 ()∑⎪⎭⎫⎝⎛-=10122,10~i i X χσμ即()()∑-=10122.10~12i i X χμσ记()()∑-==101222, . 10~,1i i W X W 于是则χμσ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑≤-≤=1012223.210125.0i i X P σμσ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑≤-≤==101222315.2i i X P μσ{}235.2≤≤=W P{}{}5.223<-≤=W P W P {}[]{}[]5.21231≥-->-=W P W P{}{}235.2>-≥=W P W P）分布表，（查1001.099.02=-=n χ .98.0=(2) 根据样本方差的性质，()()∑--=101222,110~1i i X X χσ记 ()()∑-==101222, ,9~,1i i x W X X W 于是则σ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑-≤=2210123.210125.0σσi i X X P()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑≤-≤==101222315.2i i X X P σ{}235.2≤≤=W P{}{}5.223<-≤=W P W P {}[]{}[]5.21231≥-->-=W P W P {}{}235.2>-≥=W P W P 005.0975.0-= .97.0=8.用附表4求下列各式中的λ值：(){};95.0912=>λχP ）（(){};01.0922=<λχP ）（ (){};025.01532=>λχP ）（ (){};025.01542=<λχP ）（解（1）.325.3＝直接查表得λ（2）由(){},01.092=<λχP得(){},99.092=>λP χ 查表得.088.2=λ（3）直接查表，.488.27=λ （4）由(){},025.0152=<λP χ 得{}，＝＞975.0)5(2λP χ 查表得.262.6=λ9.用附表5求下列各式中的λ值：（1）(){};05.010=>λt P（2）(){};90.010=<λt P （3）(){};05.010=>λt P （4）(){};01.010=<λt P （5）(){}.025.0150=>λt P 解（1）.228.2＝直接查表得λ（2）(){}90.010=<λt P 由得 (){},10.010=>λt P 查表得.812.1=λ(){}0,05.0103>=>λλ知）由（t P 故有(){},10.010=>λt P 查表得.812.1=λ(){},0 ,01.0104<=<λλ知）由（t P (){}01.010=->-λt P(){}()002.010>-=->λλt P查表，.764.2764.2-==-λλ，比较大，）因为（1505=n 由(){},025.0150=>λt P 知(){},05.0150=>λt P查表得.96.1=λ10.用附表6求下列各式的λ值：(){};05.0981=>λ，）（F P(){};05.09,82=<λF P ）（ (){};95.015,103=>λF P ）（(){}.90.015,104=<λF P ）（解 (1)先找05.0=a 的表，在该表中，找9,821==n n 对应的λ值，可知.23.3=λ （2）在这里先复习一下F 分布的一个性质：若F~F ()(). ,~1, ,m n F Fn m 则利用上述性质，可得： (),05.08,91=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<λF P (),05.018,9=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>λF P查表得,39.31=λ故.295.039.31≈=λ (){},95.010,153=>λF P ）（(){},05.015,10=<λF P(),05.010,151=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<λF P(),05.0110,15=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>λF P 查表得,85.21=λ.351.085.21==λ (){},90.015,104=<λF P ）（(){},10.015,10=>λF P 查表得.06.2=λ11.设总体X 服从标准正态分布N （0,1）n X X X ,,,,21 为其样本，S 2为样本方差，X 为样本均值，求D (X ), E (S 2).解 ⎪⎭⎫⎝⎛∑==n i i X n D X D 11)((1)⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==n i i X D n 121 ∑==ni i DX n 121 n .n 21=.1n= （2）解法一：()22i i i EX DX EX +=01+=().,,2,11n i ==()22X E X D X E +=01+=n,1n=故()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==ni i X X n E S E 12211()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==n i i X X E n 1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==n i i i X X X X E n 122211 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑+--===n i n i i i X n X X X E n 1122211⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅∑--==212211X n X n X X E n n i i⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==n i i X n X E n 12211⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==ni i X nE EX n 12211 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯-=n n n n 1111 ()111--=n n.1= 解法二：()()()[]22X X E X X D XX E i i i -+-=-()0+-=X X D i()X X D i-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n X X X X D n i 21⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--=+-n i i i X n X n X n n X n X n D 11111111 +⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111i i X n D X n D⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i i X n D X n D X n n D 1111 ()+-+++=-ii DX n n DX n DX n 221212111 n i DX n DX n 21211+++ ()个个　i n i n n n n n n --+++-+++=222212211111 ()()2221111-+-=n n n n .1nn -= 故()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==ni i XX n E S E 12211()∑--==n i i X X E n 1211()∑--==n i i X X E n 1211 ∑--==n i n n n 1111 ()111--=n n .1=12. A 牌灯泡的平均寿命为1400小时，标准差为200小时.B 牌灯泡的平均寿命为1200小时，标准差为100小时，从两种牌子的灯泡中各取250个进行测试.问A 牌灯泡的平均寿命至少大于B 灯泡寿命（1）180小时，（2）230小时的概率分别是多少？解（1）因为题中未给出两种牌子灯泡的寿命所服从的分布，因而不能严格地利用其分布进行计算.题中考虑的问题主要是对250个灯泡进行测试，因试验的数比较多，故可以使用中心极限定理.按照中心极限定理,Y X 与近似地服从正态分布.22001400,250X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭近似服从，21001200,250Y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭近似服从，根据题意, X Y 与相互独立，故().200,200,250100250200,1200140022N N Y X 即－近似服从⎪⎪⎭⎫⎝⎛+- 从而 {}{}1801180≤--=>-Y X P Y X P()1801F -= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--≈2002001801Φ ()4142.11--=Φ()[]4142.111Φ--=()4142.1Φ=.9213.0≈注在查表时，表中没有1.4142，因而需要使用()41.1Φ ()922200421920730..Φ ,.==进行线性插值，可得()()()()[]41.142.141.142.141.14142.141.14142.1ΦΦΦΦ---+≈ .9213.0={}2302>-Y X P ）　（ {}2301≤--=Y X P ()2301F -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2002002301Φ ()983.011213.21-=-=Φ 017.0=.注 2.1213未在表中，但与表中的2.12比较接近，在对精度要求不太高的情况下，可以用2.12来代替2.1213. 如果对精度要求比较高，就需要使用（1）中使用的线性插值方法.13.分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第2个样本方差两倍以上的概率范围. 解对于第1个样本.20 ,8211==σn 对于第2个样本 .35 ,10222==σn 统计量(),n ,n F ~S S F 11212222121--=σσ即 ().9,7~35/20/2221F S S F =故 {}22212S S P ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=22221S S P⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯≥⋅=2203520352221S S P⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=5.335/20/2221S S P{}.5.3≥=F P 查F 分布表{},05.029.3=>F P{}.025.020.4=>F P由 {}{}{},20.45.329.3>>≥>>F P F P F P 可得 {},025.05.305.0>≥>F P 即 {}.025.0205.02221>⋅≥>S S P所求的概率范围为（0.025，0.05）.14.设n X X X ,,,21 是取自正态总体()2,σμN 的一个样本，S 2为样本方差，求满足等式95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值. 解由 ,95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P知 ,05.05.122≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>σS P即 ()())(.05.015.1122A n S n P ≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-σ 依题设，易知()221σS n -服从自由度为()1-n 的2x 分布. 根据上侧分位数的定义，我们得到如下等式 ()() .05.011205.022=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-n S n P χσ（B ）由（A ）、（B ）两个式子，可以得到()() .115.1205.0->-n n χ（C ）（A ）式与（C ）式等价，因此满足（C ）式的最小n 值即为满足（A ）式的最小n 值.查表并整理得n()()()()115.1115.11205.0205.0->----n n n n n χχ2 1 1.5 3.841 ×3 2 3 5.991 ×4 3 4.5 7.815 × 25 24 36 36.415 × 26 25 37.5 37.652 × 27 26 39 38.885 √ 28 27 40.5 40.113 √故所求的最小n 值为27.15. 已知X 服从n 个自由度的t 分布，求证X 2服从自由度为（1，n ）的F 分布，即()n F X ,1~2 证当()()时n W N U 2~,1,0~χ()n t n~/W UX ＝()1~,/2222χU nW U X 又=所以().,1~/1//222n F nW U n W U X ==16.设92,,,1X X X 是来自正态总体）（22,0N 的简单随机样本，求系数a ,b ,c ,使 ()()()298762543221X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从χ2分布，并求其自由度.解由于X i 独立同分布，有()(),2.2 ,0~,2,0~2212N X X N X i +(),2.3 ,0~2543N X X X ++(),42 ,0~29876N X X X X +++从而()()()(), 1 ~121, 1 ~81225432221χχX X X X X +++ ()(). 1 ~161224321χX X X X +++由χ2分布的可加性知，()()()29876254322116112181X X X X X X X X X ++++++++ ().3~2χ所以，当分布，的服从自由度为时，23Q 161,121,81χc b a ==().3~Q 2χ即17.设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布N （0，32），X 1, X 2,…, X 9和Y 1,Y 2, …,Y 9分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，试证统计量292221921Y Y Y X X X T ++++++=服从自由度为9的t 分布.证首先将X i ,Y i 分别除以3，使之化为标准正态.令()).1,0(~,1,0~,9,,2,1,3,3N Y N X i Y Y X X i i i i i i ''=='='则再令()().1,0~3.9,0~,X 921N X N X X X X '''++'+'='则().9~,222/92/22/12χY Y Y Y Y '+++='因此 2/92/22/1921292221921Y Y Y X X X Y Y Y X X X T +++'++'+'=++++++= .,9/3/222相互独立，且Y X Y X Y X ''''=''=由服从t 分布统计量的典型模式知，T 服从自由度为9的t 分布，即T ~t ( 9 ).18.设总体X 服从正态分布N (),,2σμ从中抽取一个样本X 1,X 2,…,X n +1. 记()∑∑==--==n i n i ni n i n .X X n S ,X n X 1212111试证：().1~11--⋅++n t S n X X n nnn 分析：因为()()分布知，由t ,n ~S n n11222--χσ分子需要一个服从标准正态分布的随机变量，故只需证明σnn X X n n -++11()1,0~N 即可.证 ().2,~,2,~X 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+n N X N n n σμσμ,1,0~21⎪⎭⎫⎝⎛+-+σn n N X X n n 故 (), ,N ~n nX X n n X X U n n n n 101111+⋅-=+-=++σσ()()相互独立，、且W n S n W nU , 1~1222--=χσ所以 ().1~1/--=n t n W U T又 ()1/11221--+⋅-=+n S n n n X X T n nn σσ,11+⋅-=+n nX X X n n n 从而().1~11-+⋅-+n t n n S X X n n 19. 设X 1,X 2,…,X n 是来自总体()2,σμN 的样本，记∑==ni n 11d .μ-i X 试证：()().π21d ,π22n D E σσ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ｄ证明记,μ-=i i X Y 则().,,2,1,,0~2n i N Y i =σ()()dy eπ21222σσμy ii y Y E X E -∞+∞-⎰==-dy eπ220222⎰=∞+-σσy y .π2e π2202 22σσσ=-=∞+-y ()()()()[]22iiii Y E Y E Y D X D -==-μ()22π2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=σi i EY DY 22π20σσ-+=,π212σ⎪⎭⎫⎝⎛-=所以 ()()∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-===ni i n i iX E n X n E E 1111d μμ.π2π21σσ=⋅=n n ()()∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-===ni i ni i X D n X n D D 12111d μμ.π212n σ⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 20.设总体X 服从正态分布N (62，100)，为使样本均值大于60的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？解设需要样本容量为n , 则(),1,0~/N n X nX ⋅-=-σμσμ{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=>n n X P X P 106260106360()().95.02.02.01≥=--=n Φn Φ查标准正态分布表，得 ().95.064.1≈Φ 所以 .24.672.064.164.12.02=⎪⎭⎫⎝⎛≥⇒≥n n故样本容量至少应取68.21.设X 1,X 2,…,X 9为来自总体X ～N (a ,22),Y 1,Y 2,…,Y 16为来自总体Y ～N (b ,22)的两个相互独立的简单随机样本. 记()()∑∑==-=-=911612221i j j i .YY Q ,X X Q求满足下列各式的常数.,,,,,212121γγββαα {}{};05.0)1(1121=≤=≥a Q P a Q P {};9.0)2(1=<-βa X P;9.0)3(22=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-βQ b Y P.05.0)4(112212=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥γγQ Q P Q Q P解从而由题设知,4)1(2σ==DX()∑-===912211)8(~414i i X X Q W χ，故 {}.05.0442121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≡≥ααQ P Q P{}().507.1584,05.005.202)8(05.201===≥χαχW P 类似地 {},05.0444111111=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=≤αααW P Q P Q P.733.2)8(495.201==χα 所以 .028.62;932.10733.2421==⨯=αα()()(),1,0~233/29/21N a X a X a X U -=-=-=σ {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<-112323ββa X P a X P,9.02311=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=βU P查标准正态分布得.093.1,64.12311==ββ所以 ()(),1,0~24/216/)3(2N b Y bY b Y U -=-=-=σ()()∑-===1612222.15~414j j Y Y Q W χ可见 ().15~15/22t W U T =即 ()(),15~615415/41222t Q Y Q bY T -=-=所以 .9.01541542222=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-ββQ b Y P Q b Y P查表得{}{}.9.0753.1 10.0753.1=<=≥T P T P ，可知 .113.0 ,753.115422==ββ即()()可得由,8,15~18/15/F 412F Q Q =,05.01588/15/212212=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥γγQ Q P Q Q P,05.01588/15/112112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤γγQ Q P Q Q P因此 ().0375.622.38,15158205.02=⇒==γγF().709.0645.2115,81158105.01=⇒==γγF习题五1. ∑==ni i X n X X X X X 1n 21,1,,,的样本，是总体设 ()∑--==n i i X X n S 122, 11分别按总体服从下列分布求().2S E （1）X 服从均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=,0,,1)(b x a a b x f（2）X 服从泊松分布：{},0,e !>==-λλλx x X P x.),2,1,0( =x（3）X 服从二项分布：()()xm x x p P C x X P m--==1().,2,1,0m x =解，因为DX S E =)(2故由方差的计算公式可以直接求出E (S 2).（1）X 服从均匀分布()().1222a b DX S E -== （2）X 服从泊松分布 ().2λ==DX S E （3）X 服从二项分布()().12p np DX S E -==2. 设X 1,X 2,…,X n 是总体X 的一个样本,.μ=EX 试证：()∑-==n i i X n S 12201ˆμ是总体方差的无偏估计量. 证由期望公式有()()()∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑-===ni i X E n X n E S E 12n 1i 2i 2011ˆμμ ∑=⋅===n i i DX nDX n DX n 1.11所以，()∑-==ni iX n S 12201ˆμ是DX 的无偏估计量 . 3. 对样本X 1,X 2,…,X n 作变换()()0,,≠-=m m a a X m Y i i 为常数试证：;)1(a mYX +=.1)2(222Y X S mS =证 ()得由因为a X m Y m i i -=≠,0)1(,1a Y m X i i +=∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+====n i n i i i a Y m n X n X 11111∑+==n i i a Y m n 111a Y m Y n m n i i +=∑⋅==1111其他.()∑--=-n i i X X X n S 12211)2( ∑⎪⎭⎫⎝⎛--+-==n i i a Y m a Y m n 121111()∑--=-n i i Y Y m n 122 111()∑--⋅=-n i i Y Y n m 122 111.122Y S m=4. 设X 1 , X 2 , … , X n 是X 的一样本，试证估计量,11∑==ni i X n X ,)a a (X a W ni i i ini i 1011=≥=∑∑==为常数，都是EX 的无偏估计，且X 的方差不超过W 的方差.证 ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑===ni i n i i EX n X n E X E 1111因为X 与X i 同分布，所以EX i =EX .故 EX X E =同理，∑=∑===ni i i i ni i EX a X a E EW 11.1EX a EX ni i =∑==所以.的无偏估计都是与EX W X由于∑∑⋅=====n i n i i i a DX DX a DW DX nX D 1122,,1根据柯西不等式 ∑=∑≥==n i n i i i a a n 1212,1)(得 ,1DX nDW ≥从而有 .DW X D ≤5. 从某种灯泡的总体中，随机抽取10个样本，测得其寿命(小时)为1520 1483 1827 1654 1631 1483 1411 1660 1540 1987试求方差的无偏估计 .解因为()∑-==n i i X X n S 122 1是方差的无偏估计量，故只要计算S 2的值.1411148316311654182714831520(101++++++=X)198715401660+++ 6.1619=()()∑∑-=--===n i n i i i X X X n S 112226.161991 11=30892.49.6. 设X 1,X 2,…,X n ()2≥n 为正态总体()2,σμN 的一个样本，适当选择常数C ，使()∑-=+-11221n i i i .X X C 的无偏估计为σ解设()().112121∑-=-=+n i i i n X X C ,X ,,X X ϕ由期望的定义与性质可得()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑-=-=+112121 ,,, n i i i n X X C E X X X E ϕ()∑+-=-=++1121212n i ii i i X X X X E C[]∑+-=-=++112121)()(2)(n i i i i i X E X X E X E C()[]∑+-=-=++112121)()(2)(n i i i i i X E X E X E X E C[]∑-+-=-=+1122221)()()(n i ii X E EX EX X E C ()(),21221122σσσσ=-=∑+=-=n C C n i故 ().121-=n C7. 设总体X 的密度函数是⎩⎨⎧><<=-. ,,,x ，x );x (f 其他00101αααα n x x x ,,,21 是一组样本值，求参数α的最大似然估计量.解似然函数.1111-=-=∏=∏=ααααini n ini x x L.ln )1(ln ln 1∑-+==ni i x n L αα,0ln d dlnL 1=∑+==ni i x n αα 得 .)ln 1(ln 111-==∧∑=∑=ni i mi ix n x n α 8. 设总体X 服从韦布尔分布，密度函数是0,0,0e );(1>>>=--αθθαθαθαx x x f x其中α为已知，X 1, X 2, … , X n 是来自X 的样本,求参数θ的最大似然估计. 解似然函数 αθαθαiX i ni X L --==e Π11.e Π11αθααθiX i ni nnX --==∑∑--++===n i ni i i X X n n L 11.ln )1(ln ln ln αθααθ∑=-==n i i X n L 1,0d dln αθθ 从而得到111)1(ˆ-==∑=∑=ni i ni iX n Xn Q αα 9.设总体X 服从马克斯韦尔分布，密度函数是⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=-0,0,0,0,e π4);(2)(32x x x x f x ααααX 1, X 2, … , X n 是总体X 的样本，求α的最大似然估计. 解似然函数2eπ4Π321⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ααi x i ni X L21e π4Π321∑⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅⋅=n i i X n i ni X αα ∑-===ni i i n i X n X L 122211-ln 3π4Πln ln αα∑=+-==ni i X n L 123023d dln ααα 所以 ∑==n i i X n a 12.32ˆ10.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布，密度函数是0,0e );(>>=-λλλλx x f x今随机抽取14台，测得寿命数据如下(单位：小时)1812 1890 2580 1789 2703 1921 2054 1354 1967 2324 1884 2120 2304 1480 求λ的最大似然估计值. 解由于指数分布λ的最大似然估计2013 ,11==∑==∧X X Xn n i i又λ所以 .20131=∧λ 11.设总体X 服从［a , b ］区间上的均匀分布，n x x x ,,,21⋯是总体X 的一组样本,求a 和b 的最大似然估计量.解似然函数()=b a x x x L n ,,,,2,1 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-. ,0,,,,,)(121其他b x x x a a b n n由于似然方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=-=∂∂++,0,0L 11n n a b n bL a b n a 无解，不存在驻点，考虑边界上的点，因为,,,,21b x x x a n ≤≤故有{},,,,m in 21n x x x a ≤{}.,,,m a x 21n x x b ≥a b -越小L 越大，所以当{}==b x x x a n ,,,,m in 21 {}时，n x x x ,,,m ax 21 L 取到最大值.即：{}{}n n x x x b x x x a ,,,m ax ,,,,m in 2121 ==∧∧是a , b 的最大似然估计量. 12.设总体X 的密度函数为()0,0e1, >>=-θθθθx x f x问∑==ni i X n X 11是否为θ的无偏估计？为什么？解因总体X 是服从参数θλ1=的指数分布，由指数分布的期望公式知，,1θλ==EX又 ,EX X E =所以 . ,的无偏估计是即θθX X E =13.求习题7,10,11中的参数的矩估计. 解（7）由于()⋅+=⋅⎰=⎰∞-+∞=-1d 01d ,1αααααx x x x x xf EX故，11V =+αα解得 .111V V -=α 取 ∑===ni iX X n V 11.1ˆ 所以α的矩估计量.1ˆXX-=α（10）已知，x x f λλ-=e )(.11,1ˆ1111V EX V X X n V ni i===∑===λλ，所以 .201311ˆ1ˆ1===X V λ（11）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+==),(31,222221b ab a EX V b a EX V即 ⎩⎨⎧=++=+,3,22221V b ab a V b a ⎪⎩⎪⎨⎧-+=--=⇒.)(3,)(321212121V V V b V V V a 用 ∑===ni K iK V ），K X n V 1,21( 1ˆ估计得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=，S X b ，S X a20203ˆ3ˆ其中 ∑-==n i i X X n S 1220.)(114．对球的直径作了5次测量，测量的结果是37.6 33.636.6 32.6 37.6(厘米)，试求样本均值和样本方差.解 35.6)37.632.636.637.633.6(51=++++=X (厘米)∑++++=-==n i i X X S 122222203.001.002.002.0(41)(41.105.5)02.042-⨯=15．在一批螺丝钉中，随机抽取16个，测其长度(厘米)为：2.23 2.21 2.20 2.24 2.22 2.25 2.21 2.24 2.25 2.23 2.25 2.21 2.24 2.23 2.25 2.22设螺丝钉的长度服从正态分布，试求总体均值μ的90％置信区间. (1)若已知σ＝0.01 (2)若σ未知解 (1)由于已知σ＝0.01，α＝0.1 .64.105.02==u u α所以μ的置信区间为23216116010641160106411.X X ..X ,..X ni i ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∑= 故得μ的90％置信区间为(2.226，2.234)(2)由(1)知23.2=X00028.0 0042.0151)(15116122=⨯∑=-==i i X X S 由α＝0.10，查自由度为15的t 分布，得分位数,223.240167.0753.123.2)1(.753.1)15(21.0=⨯-=--=n S n t X t α( 2.237.X t n α+=得EX 的置信度为0.9的置信区间为(2.223，2.237).16．设正态总体的方差σ2为已知，问抽取的样本容量n 应为多大，才能总体均值μ的置信度为0.95的置信区间长不大于L .解正态总体置信区间长为,22n σu α.96.1025.02==u u α由题意 .96.1422222L n σL nσu ≤⨯⇒≤σ故 2237.15Lσn ≥.17．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以95％的置信度使他的平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，应取容量为多大的测量样本？解若假定反应时间X 服从正态分布，则由16题解的结果可以直接求出n .06.96)02.005.0(37.15)01.02(05.022222=≥⨯==n L ，σ 所以应取样本容量n ＝97.若没有正态性假定，则可用切贝绍夫不等式进行估计，但比较粗，此题因n 较大，故可以假定其服从正态分布.18．对某机器生产的滚珠轴承随机抽取196个样本，测得直径的均值为0.826厘米，样本标准差0.042厘米，求滚珠轴承均值的95％与99％置信区间.解因样本容量n 较大，故可假定滚珠轴承的直径x 服从正态分布.由已知.042.0826.0 196===，S X ，n .58.296.1005.0025.02===U ，u u α将上述各值代入置信区间公式中，可得)196042.096.1826.0 196042.096.1826.0(⋅+⋅-，).832.0 ,820.0(≈)14042.058.2826.0 14042.058.2826.0(⋅+⋅-，).834.0 ,818.0(≈19．在一批铜丝中，随机抽取9根，测得其抗拉强度为：578 582 574 568 596 572 570 584 578设抗拉强度服从正态分布，求σ2的置信度为0.95的置信区间.解由于铜丝抗拉强度服从正态分布，σ2的置信区间为.)1()1()1()1(22 12222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----n S n n S n ααχχ，经计算 ∑===ni i X X 1,57891.592)(912=∑-=i i X X .535.17)8( ,180.2)8(2025.012975.02====χλχλ 置信区间为 (33.76，271.56).20．求习题14的期望与方差的0.90置信区间. 解由14题知.5,105.5,35.642=⨯==-n S X.711.0)4(,488.9)4(,132.2)4(295.0205.09.0===χχtμ的置信区间 ⎝⎛⨯--5105.5132.235.64， )372.6 ,328.6(5105.5132.235.64≈⎪⎪⎭⎫⨯+- 2σ的置信区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯--711.04105.5 ,488.94105.544 ).00309.0 ,00023.0(≈*21．为比较A 牌与B 牌灯泡的寿命，随机抽取A 牌灯泡10只，测得平均寿命1400=A X 小时，样本标准差=A S 52小时；随机抽取B 牌灯泡8只，测得平均寿命=B X 1250小时，样本标准差=B S 64小时，设总体都服从正态分布，且方差相等，求二总体均值B A μμ-的95％置信区间.解由题设22BA σσ=，故两总体均值差的置信区间为 )([ 21X X -,11)2(2121n n S n n t w++-+-α ]11)((212121n n S n n t X X W+++-α (*) ,56.57281064)18(52)110( 2)1()1(2222=-+-+-=-+-+-=B A BB A A W n n S n S n S.120.2)16(,1.278110156.571105.021=≈+=+t n n S W将以上各数值代入(*)，得B A μμ-的置信区间为(92.65，207.35).22．从二正态总体X 、Y 中分别抽取容量为16和10的两个样本，求得∑∑=-=-==16110122.180)(038)(i i i i Y Y X X ，试求方差比22yx σσ的95％置信区间.解已知380) ,1016161i 2i 21=∑-===X X n n （，∑===-=101i 222122033.25180)(，S S ，y y i 从而又α＝0.05，查F 分布上侧分位数表，得F 0.025(15, 9) = 3.77, F 0.025(9, 15) = 3.12，代入方差比的置信区间⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----22211222221212)1 ,1(,)1,1(1S S n n F S S n n F αα 得 0.95置信区间为).95.3,34.0(2033.2512.32033.2577.31=⎪⎭⎫ ⎝⎛，23．在某一地区中，随机对100名成年居民作民意测验，有80％的居民支持粮食调价，求在该地区的所有居民中，支持粮食调价的比率的0.95与0.99的置信区间.解因为100,9.08.01.08.0ˆ=≤≤=n ，p是大样本，由比率的置信区间公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--n p p u p n p pu p )ˆ1(ˆˆ,)ˆ1(ˆˆ22αα得 .0784.004.096.11002.08.096.1)ˆ1(ˆ2=⨯=⨯=-n p p u α所以置信区间为(0.7216，0.8784).同理可得置信度为0.99的置信区间为 )04.058.28.0,04.058.28.0(⨯+⨯- ≈(0.697，0.903)*24．欲估计某县城拥有洗衣机的家庭所占比率，随机抽查了15户，其中6户有洗衣机，求该县城购置洗衣机家庭比率的0.99置信区间. 解利用二项分布和F 分布的关系∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-n k kn k k n np f p f F p p C μ,)1()1(12 其中)(x F 是自由度为n f μ21=和)1(22+-=n n f μ的F 分布函数，可得p 的α-1置信区间,22,1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++b f f a f f其中),2,2()1(),,(2112/2122/2-+-==-f f F f b f f F f a αα而),(21f f F β是自由度为),(21f f 的F 分布水平β上侧分位数.我们利用上面公式求p 的0.90置信区间)ˆ,ˆ(21p p，其中15=n ，6=n μ，90.01=-α，10.0=α；自由度n f μ21=，20)1(22=+-=n n f μ，由附表可直接查出F 0.05(f 2，f 1)＝F 0.05(20，12)＝2.54；该表中查不到F 0.05(f 1+2，f 2-2)＝F 0.05(14, 18)，故用线性内插法求其近似值：由附表6，有F 0.05(10, 18)＝2.41，F 0.05(15, 18)＝2.27 则F 0.05(14, 18)≈F 0.05(15, 18)+[]18) (15,18) (10,0.050.05F F - ＝2.27+0.2(2.41-2.27)＝2.298.由此，得105.0-F (14, 18)＝1/2.298＝0.435. 从而，有a ＝f 2F 0.05(f 2, f 1)＝20×2.54＝50.8，b ＝(f 2-1)105.0-F (f 1+2，f 2-1)＝18×0.435＝7.83.于是1ˆp＝191.08.50121211=+=+a f f , 2ˆp＝.641.083.714142211=+=+++b f f最后，求得p 的0.90置信区间为(0.191，0.641).*25.设总体X 的期望为μ，方差为σ2，分别抽取容量为n 1、n 2的两个独立随机样本，1X ，2X 为两个样本的均值，试证：如果a ，b 是满足a +b =1的常数，则Y ＝a 1X +b 2X 就是μ的无偏估计量，并确定a ，b ，使DY 最小.证由两个样本独立知1X 与2X 独立，有EY ＝E (a 1X +b 2X )＝aE 1X +bE 2X ＝a μ+b μ＝μ(a +b )＝μ，所以Y 是μ的无偏估计量.DY ＝D (1X a +2X b )＝12X D a +22X D b＝a 2·DX n n b DX n n 222212111⋅+ =.22212σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n b n a为使DY 最小，需求2212n b n a +的最小值. 设 g (a )＝12n a +.)1()1(21212222n n a n a n n a -+=- g ′(a )＝.)1(222112n n a n a n --令 g ′(a )＝0，得 a ＝211n n n +，由于a +b =1,所以，b ＝211n n n +. 将a =211n n n +，b =211n n n +代入DY 中，得 (DY )min ＝212n n +σ.*26．设总体X 、Y 相互独立，且X ～N (μ1，σ2)，Y ～N (μ2，σ2)，从中分别取容量为n 1，n 2的简单随机样本，记21S ，22S 为样本方差，试证：当常数a ，b 满足a +b ＝1时，Z ＝a 21S +b 22S 是σ2的无偏估计量，并确定a ，b ，使DZ 最小.证因为21S 与22S 是来自两个总体的样本方差，故相互独立.由期望和方差的性质，有EZ ＝E (a 21S +a 22S )=aE 21S +bE 22S ,又21S 与22S 都是σ2的无偏估计量，故 EZ ＝a σ2+b σ2=σ2(a +b )=σ2.DZ =a 2D 21S +b 2D 22S=a 2·1214-n σ+b 21224-n σ=42212211σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-n b n a .(*)为使DZ 达到最小值，仿25题g (a )=)1)(1()1)(1()1(1)1(12121222212----+-=--+-n n a n a n n a n a ，求 g ′(a )=0，即可得到 a =21,21212211-+-=-+-n n n b n n n .代入DZ 中，得 (DZ )min =22214-+n n σ.注：在(*)式中用到D (S 2)＝124-n σ这一结论.因为∑-=-=ni i X X S n 12222)(11σσ～)1(2-n x .已知Γ(α，β)的方差等于2βα，而χ2(n )＝Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，2n ，故χ2(n )的方差等于2n ，于是)1(2122-=⎪⎭⎫⎝⎛-n S n D σ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12)(42n S D σ.习题六 5.由经验知某味精厂袋装味精的重量X ～N(μ，σ2)，其中μ＝15，σ2＝0.05，技术革新后，改用机器包装，抽查8个样品，测得重量为(单位:克)：14.7 15.1 14. 8 15 15.3 14.9 15.2 14.6. 已知方差不变，问机器包装的平均重量是否仍为15？(显著水平α＝0.05) 解待检验的假设是H 0 : μ＝15. 取统计量U ＝nX σ15-，在H 0成立时，U ～N (0，1).查表知P ｛｜U ｜≥1.96｝＝0.05. 根据样本值计算得X ＝14.95，6325.0805.01595.140-=-=U .因｜U 0｜＝0.6325＜1.96故H 0相容，即不能否认机器包装的平均重量仍为15.6.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N (4.550，0.1082)，现观测了九炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550(α＝0.05)？解待检验的假设是H 0 : μ＝4.550. 因X ＝4.484，故｜U 0｜＝833.19108.0550.4=-X .在H 0成立条件下，U ～N (0，1)，查表知P {｜U ｜＞1.96}＝0.05. 而｜U 0｜＝1.833＜1.96，故H 0相容，即不能否认现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550.7．在某砖厂生产的一批砖中，随机地抽测6块，其抗断强度为：32.66 30.06 31. 64 30.22 31.8731.05公斤/厘米2.设砖的抗断强度X ～N (μ，1.12).问能否认为这批砖的抗断强度是32.50公斤/厘米2(α＝0.01)？解待检验的假设是H 0 : μ＝32.5 在H 0成立条件下统计量 nX U σ5.32-=～N (0，1)，查表知 P {｜U ｜＞2.58}＝0.01. 由样本值算得X ＝31.25｜U 0｜＝78.261.15.3225.31=-＞2.58.故否定H 0，即不能认为这批砖的抗断强度为32.50公斤/厘米2.8．某厂生产的钢筋断裂强度X ～N (μ，σ2)，σ＝35(公斤/厘米2)，今从现在生产的一批钢筋中抽测9个样本，得到的样本均值X 较以往的均值μ大17(公斤/厘米2).设总体方差不变，问能否认为这批钢筋的强度有明显提高(α＝0.05，α＝0.1)？解待检验的假设是H 0 : μ≤μ0. 取统计量nX U σμ0-=，由题设知 X -μ0＝17，U ＝457.193517=查表得 P {U ＞1.64}＝0.05，故α＝0.05时，H 0相容，即在α＝0.05水平下不能认为这批钢筋的强度有明显提高. 当 α＝0.1时，查表得P {U ＞1.29}＝0.1， U ＝1.457＞1.25，故应否定H 0，即在α＝0.1水平下可以认为这批钢筋的强度有明显提高.9．某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取8个样本，测得其平均寿命为1070小时，(样本方差S 2＝1092(小时2)，试检验灯泡的平均寿命有无变化(α＝0.05和α＝0.01)？解待检验的假设是H 0 : μ＝1120. 取统计量T ＝nSX 1120-，在H 0成立条件下，T ～t (n -1).由样本值 X ＝1070，S ＝109，得 T 0＝81091120-1070＝1. 297.当α＝0.05时，查t 分布临界值表，得t 0.05(7)＝2.365，因｜T 0｜＝1.297＜2.365，故H 0相容，即在α＝0.05水平下不能认为平均寿命有显著变化. 当α＝0.01时，查t 分布临界值表，t 0.01(7)＝3.499，｜T 0｜＝1.297＜3.499.故H 0相容，即在α＝0.01水平下不能认为灯泡的平均寿命有显著变化. 10．正常人的脉博平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测其脉博为54 68 65 77 70 64 69 72 6271(次/分).设患者的脉博次数X 服从正态分布，试在显著水平α＝0.05下，检验患者的脉博与正常人的脉博有无差异？解待检验的假设是H 0 : μ＝72(σ未知). 取统计最T ＝nX 72-，当H 0成立时，T ～t (n -1). 由样本值算得X ＝67.2，∑=--==n i i X X n S 122178.40)(11，故｜T 0｜＝3947.2106.3472-67.2=. α＝0.05时，查t 分布临界值表得t 0.05(9)＝2.262，而｜T 0｜＝2.3947＞2.262.故否定H 0，即在显著水平α＝0.05下，患者的脉博与正常人的脉博有显著差异.11．过去某工厂向A 公司订购原材料，自订货日开始至交货日止，平均为49.1日，现改为向B 公司订购原料，随机抽取向B 公司订的8次货，交货天数为： 46 38 40 39 52 35 48 44问B 公司交货日期是否较A 公司为短(α＝0.05)？解待检验的假设是H 0 : μ≥49.1. 使用统计量T ＝nSX 1.49-，α＝0.05，自由度为7，查t 分布临界值表t 0.1(7)＝1.895，故H 0在检验水平α＝0.05的否定域为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-= 1.895＜81.49-S X V .由样本值算得X ＝42.75，S 2＝32.7832，因此 S ＝5.7257.87257.51.4975.420-=T = -3.137＜-1.895，。

经济数学基础作业(一)答案

经济数学基础作业（一）答案一、填空题1、函数)1ln(4--=x xy 的定义域是 (1，2)∪(2，4〕；2、函数216)3ln(x x y -+-=的定义域是－4≤x ＜3；3、函数xx y --+=21)5ln(的定义域是－5＜x ＜2； 4、函数24)2ln(1x x y -+-=的定义域是－2≤x ＜1； 5、函数⎩⎨⎧-+=12)(2x x x f 2005<≤<≤-x x 的定义域是－5≤x ＜2； 6、函数)1ln(1+=x y 的定义域是x ＞－1，且x ≠0； 7、1412-+-=x x y 的定义域是x ≥1，且x ≠2；8、已知34)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 622-+x x ；6)0(;621)1(2-=-+=f x x x f 。

9、已知54)(2-+=x x x f ，则0)1(;5)0(=-=f f ；54)(2--=-x x x f 。

10、已知52)1(2-+=+x x x f ，则6)(2-=x x f 。

11、已知2)(2+=x x f ，则32)1(;2)0(2++=+=x x x f f 。

12、已知函数1)(-=x xx f ，则x x x f 1)1(+=+。

13、已知x x x f +=+2)1(，则23)1(;)(2422+-=--=x x x f x x x f 。

14、生产某种产品的固定成本为2000元，每生产一个单位产品，成本增加4元，则生产x 个单位产品的总成本函数为x y 42000+=，此时的平均成本函数为42000+=x y 。

15、某商品的需求规律是P=25-2X （P 为商品价格，x 为需求量）供应规律是P=3X+5(P 为价格，x 为供应量)，则均衡价格是 17，均衡数量是 4 。

16、已知某产品当产量为x 时的成本为48643.0)(2++=x x x f ，且平均需求规律为 x = 200 – 5P （x 为销售量，P 为价格），则利润函数为4865.036)(2--=x x x f 。

经济数学基础作业册及参考答案(有些习题仅给答案没

《经济数学基础》作业册及参考答案（有些习题仅给答案没附解答过程）作业（一）（一）填空题 1.___________________sin lim=-→xxx x .答案：0 2.设 ⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：13.曲线x y =＋1在)2,1(的切线方程是.答案：2321+=x y 4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 2 5.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f .答案：2π-（二）单项选择题1.当x →+∞时，下列变量为无穷小量的是（）答案：Dxx D C x B x A exx sin ..1.)1ln(.212-++ 2. 下列极限计算正确的是（）答案：B A.1lim=→xx x B.1lim 0=+→xx xC.11sinlim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xxx3. 设y x =lg2，则d y =（）．答案：B A ．12d x x B ．1d x x ln10C ．ln10x x d D ．1d xx 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．答案：BA ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微5.若f (x 1)=x,则f ’(x)=（）. 答案：B A ．21x B ．—21xC ．x 1D ．—x 1(三)解答题1．计算极限（1）=-+-→123lim 221x x x x )1)(1()1)(2(lim1+---→x x x x x = )1(2lim 1+-→x x x = 21-（2）8665lim 222+-+-→x x x x x =)4)(2()3)(2(lim 2----→x x x x x = )4(3lim 2--→x x x = 21（3）x x x 11lim--→=)11()11)(11(lim 0+-+---→x x x x x =)11(lim+--→x x x x =21)11(1lim 0-=+--→x x（4）=+++-∞→423532lim 22x x x x x 32423532lim 22=+++-∞→xxx x x （5）=→x x x 5sin 3sin lim0535sin 33sin 5lim 0x x x x x →=53（6）=--→)2sin(4lim 22x x x 4)2sin()2)(2(lim 2=-+-→x x x x2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x xx a x b x x x f ，问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.答案：（1）1sin 0lim )(0lim )1sin (0lim )(0lim ===+=++--→→→→xxx f b b xx x f x x x x当1=b ，a 任意时，)(x f 在0=x 处有极限存在；（2）f(0)= a =1)0(lim 0==→b f x当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。

国开电大经济数学基础1 形成性考核册答案

经济数学基础 1 形成性考核册教育教学部编作业（一）一、填空题1.___________________sin lim=-→xxx x .答案：1 2.设 ⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：1 3.曲线x y =+1在)1,1(的切线方程是 . 答案：y=1/2X+3/24.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 2 5.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f .答案：2π-二、单项选择题1. 当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ）A ．)1ln(x +B ． 12+x xC ．21x e - D ． xxsin2. 下列极限计算正确的是（ B ） A.1lim=→xx x B.1lim 0=+→xx x C.11sinlim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xxx3. 设y x =lg 2，则d y =（ B ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 5.若x xf =)1(，则=')(x f （ B ）. A ．21x B ．21x - C ．x 1 D ．x 1-三、解答题1.计算极限.（1）123lim 221-+-→x x x x （2）8665lim 222+-+-→x x x x x（1）解：原式=)1)(1()2)(1(lim1-+--→x x x x x =12lim 1+-→x x x =211121-=+-（2）解：原式=)4)(2()3)(2(lim2----→x x x x x =21423243lim 2=--=--→x x x（3）xx x 11lim 0--→ （4）42353lim 22+++-∞→x x x x x（3）解：原式=)11()11)(11(lim+-+---→x x x x x =)11(11lim+---→x x x x =111lim 0+--→x x =21-（4）解：原式=32003002423532lim22=+++-=+++-∞→xx x x x（5）xxx 5sin 3sin lim 0→ （6）)2sin(4lim 22--→x x x（5）解：原式=53115355sin lim 33sin lim535355sin 33sin lim 000=⨯=⨯=⨯→→→xx x xx x x x x x x （6）解：原式=414)2sin(2lim )2(lim )2sin()2)(2(lim 222=⨯=--⨯+=--+→→→x x x x x x x x x2.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x xx a x b x x x f ，问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.解：（1）因为)(x f 在0=x 处有极限存在，则有)(lim )(lim 00x f x f x x +-→→=又 b b xx x f x x =+=--→→)1sin(lim )(lim 01sin lim )(lim 0==++→→xxx f x x 即 1=b所以当a 为实数、1=b 时，)(x f 在0=x 处极限存在. （2）因为)(x f 在0=x 处连续，则有 )0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+-→→又 a f =)0(，结合（1）可知1==b a 所以当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续.3.计算下列函数的导数或微分. （1）2222log 2-++=x x y x ，求y '.解：2ln 12ln 22x x y x++=' （2）dcx bax y ++=，求y '. 解：2)())(()()(d cx d cx b ax d cx b ax y +'++-+'+='=2)()()(d cx c b ax d cx a ++-+ =2)(d cx bcad +-（3）531-=x y ，求y '.解：2312121)53(23)53()53(21])53[(------='---='-='x x x x y（4）x x x y e -=，求y '.解：xx xxe e x xe x y --='-'='-212121)()(（5）bx y ax sin e =，求y d .解：)(cos sin )()(sin sin )('-'='-'='bx bx e bx ax e bx e bx e y ax ax ax ax=bx be bx ae axaxcos sin -dx bx be bx ae dx y dy ax ax )cos sin (-='=（6）x x y x+=1e ，求y d .解：212112312312323)1()()(x xe xx e x e y xxx+-=+'='+'='-dx x xe dx y y x)23(d 2121+-='=（7）2e cos x x y --=，求y d .解：222e 22sin )(e )(sin)e ()(cos 2x x x x xx x x x x y ---+-='--'-='-'='（8）nx x y n sin sin +=，求y '.解：)(cos )(sin )(sin )(sin ])[(sin 1'+'='+'='-nx nx x x n nx x y n n nx n x x n n cos cos )(sin 1+=-4.下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y '或y d . （1）1322=+-+x xy y x ，求y d .解：方程两边同时对x 求导得： )1()3()()()(22'='+'-'+'x xy y x 0322=+'--'+y x y y y x xy x y y ---='232dx xy x y dx y y ---='=232d（2）x y x xy 4e )sin(=++，求y '.解：方程两边同时对x 求导得： 4)()()cos(='⨯+'+⨯+xy ey x y x xy4)()1()cos(='+⨯+'+⨯+y x y e y y x xyxyxyye y x xe y x y -+-=++')cos(4))(cos(xyxyxe y x ye y x y ++-+-=')cos()cos(45.求下列函数的二阶导数. （1）)1ln(2x y +=，求y ''.解：22212)1(11x x x x y +='++=' 2222222)1(22)1()20(2)1(2)12(x x x x x x x x y +-=++-+='+='' （2）xx y -=1，求y ''及)1(y ''.解：212321212121)()()1(-----='-'='-='x x x x xx y2325232521234143)21(21)23(21)2121(------+=-⨯--⨯-='--=''x x x x x x y =1作业（二）一、填空题1.函数2)(2+=x x f 的单调增加区间为 [0，+∞） .2.函数xx x f 1)(+=在区间（0,1）内是单调减少的. 3.函数2)1(3-=x y 的驻点是（1,0 ），极值点是（1,0 ），它是极小值点.4.设某商品的需求函数为2e10)(p p q -=，则需求弹性=p E 2p -. 5.已知某产品的单位售价p 是销量q 的函数1002q p =-，那么该产品的边际收入函数()R q '= 2100q q - . 二、单项选择题1.函数422+-=x x y 在]2,2[-内（ D ）. A ．单调增加 B ．单调减少C ．先单调增加再单调减少D ．先单调减少再单调增加 2.下列函数在指定区间上单调增加的是（ B ）.A ．sin xB ．e xC ．2xD ．3x - 3.下列结论正确的是（ C ）.A ．0x 是)(x f 的极值点，则0x 必是)(x f 的驻点.B ．若0)(0='x f ，则0x 必是)(x f 的极值点.C ．0x 是)(x f 的极值点，且)(0x f '存在，则0x 必是)(x f 的驻点.D ．使)(x f '不存在的点0x 一定是)(x f 的极值点.4.设某商品的需求函数为p p q 23)(-=，则需求弹性=p E （ A ）. A ．pp 23- B ．pp23-- C ．pp23- D ．pp --235.若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 内的最小值为（ D ）.A ．aB ．bC ．)(a fD ．)(b f 三、应用题1.设生产某种产品q 个单位时的成本函数为q q q C 625.0100)(2++=（万元），求：（1）当10q =时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q 为多少时，平均成本最小？解:① ∵平均成本函数为： ()625.0100++=q qq c 边际成本为： ()65.0+='q q c∴ 当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本分别为：总成本：()1851061025.0100102=⨯+⨯+=c （万元）平均成本：()5.1861025.01010010=+⨯+=c （万元）边际成本：()116105.010=+⨯='c （万元） ②由平均成本函数求导得：()25.01002+-='qq c 令 ()0='q c 得驻点 201=q 202-=q （舍去）由实际问题可知，当产量q=20个时，平均成本最小。

经济数学基础形考作业参考完整答案

【经济数学基础】形考作业一答案：（一）填空题1. 答案：02.设,在处连续,则.答案：13.曲线在地切线方程是 .答案：4.设函数,则.答案：5.设,则（二）单项选择题1. 函数,下列变量为无穷小量是（ D ）A． B．C． D．2. 下列极限计算正确地是（ B ）A. B.C. D.3. 设,则（ B ）．A． B． C． D．4. 若函数f (x)在点x0处可导,则( B )是错误地．A．函数f (x)在点x0处有定义 B．,但C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微5.若,则 B ）A．1/ B．-1/ C． D．(三)解答题1．计算极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．设函数,问：（1）当为何值时,在处有极限存在？（2）当为何值时,在处连续.答案：（1）当,任意时,在处有极限存在；（2）当时,在处连续.3．计算下列函数地导数或微分：（1）,求答案：（2）,求答案：（3）,求答案：（4）,求答案：（5）,求答案：（6）,求答案：（7）,求答案：（8）,求答案：（9）,求答案：（10）,求答案：4.下列各方程中是地隐函数,试求或（1）,求答案：（2）,求答案：5．求下列函数地二阶导数：（1）,求答案：（2）,求及答案：,【经济数学基础】形考作业二答案：（一）填空题1.若,则.答案：2. .答案：3. 若,则 .答案：4.设函数.答案：05. 若,则.答案：（二）单项选择题1. 下列函数中,（ D ）是x sin x2地原函数．A．cos x2 B．2cos x2 C．-2cos x2 D．-cos x2 2. 下列等式成立地是（ C ）．A． B．C． D．3. 下列不定积分中,常用分部积分法计算地是（ C ）．A．, B． C． D．4. 下列定积分计算正确地是（ D ）．A． B．C． D．5. 下列无穷积分中收敛地是（ B ）．A． B． C． D．(三)解答题1.计算下列不定积分（1）＝（2）＝（3）＝（4）＝（5）＝（6）＝（7）＝（8）＝2.计算下列定积分（1）＝（2）＝（3）＝2 （4）＝（5）＝（6）＝【经济数学基础】形考作业三答案：（一）填空题1.设矩阵,则地元素.答案：32.设均为3阶矩阵,且,则=. 答案：3. 设均为阶矩阵,则等式成立地充分必要条件是 .答案：4. 设均为阶矩阵,可逆,则矩阵地解.答案：5. 设矩阵,则.答案：（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确地是（ C ）．A．若均为零矩阵,则有B．若,且,则C．对角矩阵是对称矩阵D．若,则2. 设为矩阵,为矩阵,且乘积矩阵有意义,则为（ A ）矩阵．A． B．C． D．3. 设均为阶可逆矩阵,则下列等式成立地是（ C ）． ` A．, B．C． D．4. 下列矩阵可逆地是（ A ）．A． B．C． D．5. 矩阵地秩是（ B ）．A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题1．计算（1）=（2）（3）=2．计算解= 3．设矩阵,求.解因为所以4．设矩阵,确定地值,使最小.解：→→∴时,达到最小值.5．求矩阵地秩.解：∴.6．求下列矩阵地逆矩阵：（1）解：∵∴（2）A =．解：∵∴7．设矩阵,求解矩阵方程．解：∴X =四、证明题1．试证：若都与可交换,则,也与可交换.证明：（1）∵∴与可交换.（2）∵∴也与可交换.2．试证：对于任意方阵,,是对称矩阵.证明：（1）∵∴是对称矩阵.（2）∵∴是对称矩阵.（3）∵∴是对称矩阵.3．设均为阶对称矩阵,则对称地充分必要条件是：.证明：充分性：∵∴∴对称必要性：∵对称,∴∴对称地充分必要条件是：.4．设为阶对称矩阵,为阶可逆矩阵,且,证明是对称矩阵.证明：∵为阶对称矩阵为阶可逆矩阵∴=∴是对称矩阵.【经济数学基础】形考作业四答案：（一）填空题1.函数地定义域为（1,2）∪（2,4］2. 函数地驻点是 x=1 ,极值点是 x=1 ,它是极小值点.3.设某商品地需求函数为,则需求弹性 .答案：4.行列式.答案：45. 设线性方程组,且,则时,方程组有唯一解.答案：（二）单项选择题1. 下列函数在指定区间上单调增加地是（ B ）．A．sin x B．e x C．x 2 D．3 –x 2. 设,则（ C ）．A．1/x B．1/ x 2 C．x D．x 23. 下列积分计算正确地是（ A ）．A．B．C． D．4. 设线性方程组有无穷多解地充分必要条件是（ D ）．A． B． C． D．5. 设线性方程组,则方程组有解地充分必要条件是（ C ）．A． B．C． D．三、解答题1．求解下列可分离变量地微分方程：(1)解：∴原微分方程地通解为：（2）解：∴原微分方程地通解为：2. 求解下列一阶线性微分方程：（1）解：∴∴∴y=（2）解：两端分别积分：∴3.求解下列微分方程地初值问题：(1) ,解：两端积分：∵y(0)=0 ∴c＝∴(2),解：两端积分：∵∴C＝-e∴4.求解下列线性方程组地一般解：（1）解：所以,方程地一般解为（其中是自由未知量）（2）解：∴（其中是自由未知量）5.当为何值时,线性方程组有解,并求一般解.解：→当λ＝8时,方程组有解,其一般解为：（其中是自由未知量）6．为何值时,方程组有唯一解、无穷多解或无解.解：→→当且时,方程组无解；当时,方程组有唯一解；当且时,方程组无穷多解.7．求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品个单位时地成本函数为：（万元）,求：①当时地总成本、平均成本和边际成本；②当产量为多少时,平均成本最小？解：①（万元）（万元/单位）（万元/单位）当时地总成本、平均成本和边际成本分别为185（万元）；18.5（万元/单位）；11（万元/单位）.②＝16当产量q=20个单位时可使平均成本达到最低16（万元/单位）.（2）.某厂生产某种产品件时地总成本函数为（元）,单位销售价格为（元/件）,问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少．解：L（q）=pq-c(q)=(14-0.01q)q-(20+4q+)=14q--20-4q-=-+10q-20当时,q=250针对此这实际问题可知,当产量为250个单位时可使利润达到最大,且最大利润为（元）.（3）投产某产品地固定成本为36(万元),且边际成本为(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本地增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低．解：先求成本函数 c(x)= ∵x=0时,c=36(万元)∴c(x)= C(4)=212(万元) C(6)=312(万元) 当产量由4百台增至6百台时,总成本地增量为100（万元）∴当（百台）时可使平均成本达到最低为52(万元/百台).（4）已知某产品地边际成本=2（元/件）,固定成本为0,边际收益,求：①产量为多少时利润最大？②在最大利润产量地基础上再生产50件,利润将会发生什么变化？解：①当时,x=500针对此实际问题知道,当产量x=500件时,利润最大.②即利润将减少25元.。

《经济数学基础》答案

第17题: 下面哪一个可以用泊松分布来衡量( B)。

A几乎没有什么相关性B近乎完全负相关C近乎完全正相关D可以直接用一个变量代替另一个第20题: 关于概率，下列说法正确的是( ABC)。

A外汇走势B不良贷款率预测C证卷走势D税收确认第22题: 什么样的情况下，可以应用古典概率或先验概率方法( BD )。

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厦门大学网络教育2015-2016学年第一学期
《经济数学基础上》离线作业解答
学习中心：年级：专业：学号：姓名：成绩：
一、填空题 (每题3分，共30分)
1. 已知f (x +1)=x 2，则f (x )=__ 2)1(-x ______。

2. 03lim
sin 6x x x →= 2
1。

3. 函数)
2ln(5
)(-=
x x f 的定义域是),3()3,2(+∞ 。

4．若x y a -=，则dy ln x a adx - 。

5.函数x x x f ln 2)(2-=的单调增加区间是 1
(,)2
+∞ 。

6. 函数arctan y x x =-在区间),1[+∞上的最大值点=x 1 ，最大值=y
14
π
- 。

7. 设商品的收益R 与价格P 之间的关系为R =6500P -100P 2，则收益R 对价格P 的弹性为
P P --65265 。

8. 当0→x 时，与12-x e 与2x 是同价的无穷小量。

9. 设商品的收益R 与价格P 之间的关系为R =6500P -100P 2，则收益R 对价格P 的弹性为
P
P --65265 。

10.设某产品生产x 单位的总成本函数120
110)(2
x x C +=，则生产120单位产品时
的边际成本是 2 。

二、计算题（每小题5分，共40分）
1、求a 的值，使得函数f (x )=⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠--111)
1(3sin x a x x x 在x =1处连续。

解： 1
)1(3sin lim
1--→x x x =3)1(3)
1(3sin lim 1--→x x x =3×1=3，所以a =3。

2、求tgx
x x )
21ln(lim 0
++→。

解：0
0ln(12)2lim lim 2x x x x
tgx x
+
+
→→+== 3、
求x →。

解：
()111
2
21
11x x x x
→→→
-==()1
11
21
lim
222
x x →→===+
4、求n
n n n )2
2(
lim +
-∞
→。

解：n n n n )2
2(
lim +-∞
→=4
-e 。

5、已知ln y =求dx
dy。

解：1'2y x
=。

6、设x x
f =)1
(，求)(x f '。

解：x x f 1)(=，21
)(x
x f -='。

7、设2
1d x
f x t t t =-⎰（）（），求f x （）的极值点的个数。

解：由f （x ）=2
4343001111
1d 4343
x
x t t t t t x x -=-=-⎰（）
f '(x )=x 3- x 2= x 2(x -1)，令f '(x )=0得x =0，x =1。

显然x =1是f (x )的极值点；在x =0的邻域内f '(x )<0，不
变号，则x =0不是f (x )的极值点，故极值点的个数为1。

8、求方程2sin cos x x x x =+的实数根的个数。

解：令y 1=x 2
y 2=x sin x +cos x
1arc tan x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
由数形（如图）结合可知交点个数为2个。

三、（10分）求函数2
2
1x x y +=的单调区间和极值、凹凸区间和拐点。

解：定义域 (,)-∞+∞， ()()
()
23
2
2
22212211x x x x
y x x +-'==
++。

令0,0y x '=⇒=，
()()()()()2222
2432222124122(1
3)111x x x x x x y x x x '⎡⎤+-
⋅+-⎢⎥''
===⎢⎥+++⎣⎦
令0,y x ''=⇒= 以0x x x ===为分界点将定义域划分，
由各区间内y '、y ''的符号，可知;函数在(,0)-∞内单调减少，在(0,)+∞内单调增加，在0x =处取到极小值(0)0y =。

函数曲线在区间(,-∞和)+∞
内为凸弧，在区间(
为凹弧，拐点坐标为1()4
、1)4。

四、应用题（10分）
设某厂某产品的需求函数为Q =116-2P ,其中P (万元)为每吨产品的销售价格,Q (吨)为需求量.若生产该产品的固定成本为100(万元),且每多生产一吨产品,成本增加2(万元).在产销平衡的情况下
(1)求收益R 与销售价格P 的函数关系R (P ); (2)求成本C 与销售价格P 的函数关系C (P );
(3)试问如何定价,才能使工厂获得的利润最大?最大利润是多少?
解：（1）、求收益R 与销售价格P 的函数关系R (P );
收益=销售收入)(p R =需求量（销售量）×销售价格=Q ×p =(116-2P )×P =2
2116P p -。

（2）、成本C 与销售价格P 的函数关系C (P )；
生产成本)(p C =固定成本+可变成本=100+2×Q =100+2×(116-2P )= P 4332-。

（3）、试问如何定价,才能使工厂获得的利润最大?最大利润是多少?
利润)(p L =销售收入)(p R －生产成本)(p C =2
2116P p -－（P 4332-）
=33221202
--P p
)('p L =P 4120-，令)('p L =0，得p =30。

又04)(''>=p L ，
所以*p =30，
最大利润=*L =*)(p L =)30(L =332302301202-⨯-⨯=1468万元。

五、证明题（10分）
1、证明：当x >0时，e 2x >1+2x 。

证明：
()()()()()()()2221200,'22
'0012.
x x x f x e x f f x e f x f x f x f e x =--==->>>+设，则其导数因为当x>0时，所以当x>0时单调增加，
从而当x>0时，即
2、设f (x )在[0,1]上连续，且f (0)=0，f (1)=1。

证明：至少存在一点ξ∈（0，1），使f(ξ)=ξ-1。

证明：令1)()(-+=x x f x g ，则)(x g 在区间[0,1]上连续，且)0(g =1-,0<,01)1(>=g 由零点定理，至少存在一点ξ∈（0，1），使f(ξ)=ξ-1。

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