10-5 驻波
10-4~5~6驻波、多普勒效应
2 cos
2
cos
2
2π 2π y y1 y2 (2 A cos x ) cos t —— 驻波方程 T
驻波的振幅 从上式可看出: 合成以后各点都在作同周期的简谐 振动( 即驻波的周期还是原来波的周期 ) ；各点的振幅随 位置x 的不同而不同, 与时间 t 无关。
第十章 波动
由图得
A = 0.1m
y/cm 10
O -5
u
30 x/cm
坐标原点处质点的振动表达式为
0.6m 由图可知：
则
u
T
0.2m/s
该波波动表达式
2π x y x , t 0.1cos t 0.2 3
π m 2
第十章 波动
4
物理学
T 3
A yo 0.05 m 2 0 。 且有v o
1 t s 4
1 t s 4
o
2π 2π 1 π 2π t t 则 3 3 4 2 3
第十章 波动
2π ? 3
y(m)
3
物理学
第五版
π 2
2π rad / s 3
x y = 0.03cos 4 t - - u 2
第十章 波动
5
物理学
第五版
x 即： y 0.03cos 4 t - 0.20 2
将xo= - 0.05m 代入波动方程,得坐标原点O的振动方程:
0.05 yO 0.03cos 4 t 0.2 2 0.03cos 4 t 2
19
普通物理学-力学-波的叠加、干涉、驻波
AP AB2 BP 2 (15)2 (20)2 25(m)
已知 v P 20m
= 100 Hz ,u = 10 m· s-1
u
10 则波长为 0.10(m) 100
A
15m
B
由题知,两波反相位,设 A 的相位较 B 超前, 则二者的初相差为
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 13
Δ ( x ) x - 14
由干涉静止条件,有
Δ ( x ) x - 14 (2k 1) , (k 0, 1, 2, ) xk - 14 (2k 1) xk 2k 15 , k 0, 1, 2, . 0 x L
求:AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵
u 4 （m）
解:取 A 点为坐标原点, A、B 连线为 X轴, 如图
B P X o L x (1)两相干波在B 点外侧任意P点处(即 x>L)的相位差为 A 波长为
=u/υ=4(m)
L=30m
L Δ B - A ( x - L) - x 2 16 4
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为
x 1, 3, 5, 7, 9,
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4
, 25, 27, 29 (m)
14
例 2: 如图,A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源,频率
为100 Hz,波速为10 m.s-1,已知点 A 为波峰时 B 为波谷,
求:A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 26
(3)驻波中各点处质元的相位关系
10-5 驻波
第十章 波动
8
物理学
第五版
二、半波损失
1010-5
驻波
实验中B点固定，形成波节， 实验中B点固定，形成波节，说明入射波 和反射波反相位。 和反射波反相位。 (1)入射波和 (1)入射波和 反射波同相位
(2)入射波和 (2)入射波和 反射波反相位 入射波和反射波有π的相位突变____ 入射波和反射波有π的相位突变____半波损失
t + x y2 = A cos 2π T λ
驻波
合成波： 合成波：
y = y1 + y 2
t x t x = Acos 2π ( − ) + cos 2π ( + ) T λ T λ
2π = ( 2 A cos x) cos t λ T
2π
A x ) = 2Acos (
物理学
第五版
一. 驻波
1010-5
驻波
是由振幅相同， 驻波: 是由振幅相同，传播方向相反的两列相干 波叠加而成，是一种特殊的干涉现象。 波叠加而成，是一种特殊的干涉现象。
驻 波 的 形 成
第十章 波动
1
物理学
第五版
1010-5
驻波
第十章 波动
2
物理学
第五版
1010-5
驻波
驻波的形成： 驻波的形成：
第十章 波动
9
物理学
第五版
1010-5
驻波
对于波沿分界面垂直入射的情形, 与波速u 对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度ρ 与波速 较大的介质称为波密介质 波密介质， 较小的介质称 的乘积ρu 较大的介质称为波密介质，ρu较小的介质称 波疏介质。 为波疏介质。 当波从波疏介质传播到波密介质，有半波损失， 当波从波疏介质传播到波密介质，有半波损失， 分界面反射点形成波节。 分界面反射点形成波节。 当波从波密介质传播到波疏介质，无半波损失， 当波从波密介质传播到波疏介质，无半波损失， 分界面反射点形成波腹。 分界面反射点形成波腹。 若反射点为自由端，无半波损失。 若反射点为自由端，无半波损失。 自由端 若反射点为固定端，有半波损失。 若反射点为固定端，有半波损失。 固定端
波的能量(新)
一 、媒质元的能量 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 以棒的纵波为例， 有一行波在棒中传播： 以棒的纵波为例，设有一行波在棒中传播： 设棒的密度为ρ; 截面积为S,距原点为 处取长为dx的 距原点为x处取长为 设棒的密度为ρ; 截面积为 距原点为 处取长为 的媒质元：
A sin(ϕ1 − 1
2πr1
) + A2 sin(ϕ2 −
2πr2
)
A=
2 2 A1 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos ∆ϕ
A与时间无关，与 ∆ϕ 有关 与时间无关， 与时间无关
∆ ϕ = (ϕ 2 − ϕ 1 ) − 2π
振源相差
r2 − r1
当两相干波源为同相波源时 当两相干波源为同相波源时 ，即 同相波源
∆ϕ = 2π (r1 − r2 )
λ
δ = 2π λ
ϕ 2 = ϕ1
δ = ± kλ
3)
k = 0 ,1, 2 , L
振动始终加强
A = A1 + A2
δ = ± (k + 1 2)λ
A = A1 − A2
k = 0 ,1, 2 , L
A r y = cos ω (t − ) r u
1 球面波的强度与半径的平方成反比 I ∝ 2 r
§10-4 惠更斯原理 波的衍射 10一、惠更斯原理(C.Huygens，1678年) 惠更斯原理( ， 年
表述： 表述： 媒质中波动传播到的各点都可以视为是发射 子波的新波源，而其后任意时刻， 子波的新波源，而其后任意时刻，这些子波的包 络面就是新的波阵面。 络面就是新的波阵面。
10-5驻波
12-5 驻波1、理解驻波形成的条件和特点驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；2、理解驻波中的相位和能量，建立半波损失的概念。
重点：驻波形成的条件和特点、驻波方程的建立、驻波中的相位和能量；难点：驻波的形成，半波损失课堂讲授（MCAI教学）1个学时干涉是特定条件下波的叠加，驻波是特定条件下波的干涉。
一、驻波的产生及特征1、产生条件：两列波：（1）满足相干条件；（2）相同振幅；（3）速度相同；（5）沿同一直线相向传播相遇而产生驻波。
2、驻波的特征(1)某些点始终不动—波节，某些点振动最大—波腹。
(2)波腹、波节等间隔稳定分布(波形没有跑动)。
(3)媒质质元分段振动，各分段步调一致，振幅不同。
二、驻波方程分析1、驻波方程：设两列平面相干波沿x轴正、负向传播，在x=0处相位相同。
右行波：1cos2πνλ⎛⎫=-⎪⎝⎭xy A t左行波：x 轴上的合振动为：122cos 2cos 2ππνλ=+=x y y y A t 2、驻波的振幅 由驻波方程2cos 2cos 2ππνλ=x y A t 与时间无关的因子为振幅分布因子，与时间有关的为谐振动因子。
振幅为：2cos 2πλxA(1) 驻波的振幅沿x 轴周期变化。
(2) 波腹——振幅最大最大振幅为2A 由22cos 22πππλλ=⇒=±xxA A k 相邻两波腹间距12λ+∆=-=k k x x x 波腹处坐标：2λ=±⋅x k （k = 0，1，2，…）(3) 波节——振幅为零 由22cos 20(21)2πππλλ=⇒=±+x x A k (21)4λ=±+x k 相邻两波节的间距12λ+∆=-=k k x x x3、驻波的相位 2cos 2πνλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x y A t驻波方程2cos 2cos 2ππνλ=xy A t 可写为： 2c o s 2c o s 2(c o s 20)ππνπλλ=>x x y A t 2cos 2cos(2)(cos 20)ππνππλλ=+<x xy A t驻波的相位与坐标无关，说明不象行波随位置依次落后，即驻波的相位不向前传播。
10-5 驻波
第五版
10-5 驻波的产生
驻波
一
振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在 同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊 的干涉现象.
第十章 波动
1
物理学
第五版
10-5 实际观察到的弦上的驻波
驻波
第十章 波动
2
物理学
第五版
10-5
驻波
驻波的形成
第十章 波动
3
物理学
第五版
10-5
驻波
二 驻波方程 正向
4
物理学
第五版
10-5
驻波
讨论
驻波方程 y 2 A cos 2π cos 2π t x 1）振幅 2 A cos 2π 随 x 而异， 与时间无关.
x
cos 2 π
x
1 0
2π
x
x
k π
k 0,1,2,
k 0,1,2,
波腹 波节
x
2 1 (k ) k 0,1, Amin 0 2 2
第十章 波动
26
物理学
第五版
10-5
驻波
π 解 (1) y1 0.04 cos (4 x 24t ) 3 π y2 0.04 cos (4 x 24t ) 3
比较
y A cos 2π(t )
x
得:
4 Hz
1.5 m
第十章 波动
u 6 m s
驻波
t x 3 如果入射波是 y1 A cos 2 π( ) ， T 在 x 0 处反射后形成驻波，反射点为波腹， 设反射后波的强度不变，则反射波的方程式为 2 y2 A cos2π(t / T x / ) ______________________，在 x 处质点 3 合振动的振幅等于______. A
10-5 驻波
振子
细绳
固定端
从图上可以看出，由上述两列叠加而成的波， 在绳上被分成几段，
每一段两端的点固定不动， 而每一段中的各点则作振幅不同的、位相相同的 独立振动； 中间的点，振幅最大， 越靠近两端的点，振幅越小， 而且发现，相邻两段的的点的振动方向是相反的。
振子
细绳
固定端
波腹
波节
此时，绳上各点，只有段与段之间的位相的突变， 而没有振动状态或位相的逐点的传播， 也即没有什么“跑动”的的波形， 所以这种波称为驻波。
3 x 2 2
2
3 2 5 x 2 2
讨论 位相
y 2 A cos
2
x
●
x2
●
x cos t
●
x
x3
●
x1
2
●
3 x 2 2
x1 x x2 x 2 x x3
2
3 2 5 x 2 2 cos 2
2 A cos
2
振幅 ——驻波的振幅与位置有关，与时间无关 波腹的位置——振幅最大的位置 发生在
x
cos
2
x 1
振幅
2 A cos
2Hale Waihona Puke x cos 2波腹的位置——振幅最大的位置
2
2
x k
xk
2
x 1
k 0， 1， 2， 3，
波节的位置——振幅最小的位置
相邻波腹（或波节）的距离
x k 1 x k
2
2
2
讨论 位相
y 2 A cos
10-5 驻波
l n
n
2
n 1,2,
l
l
1
2
2 2 2
l
33 2
一端固定一端自由的弦振动的简正模式
1 n l (n ) 2 2
n 1,2,
l
1
4
32 l 4 53 l 4
例 如图, 一列沿x轴正向传播的简谐波 x 3 方程为 y1 10 cos[ 200 π(t )] (m) （1） 200 在1、2两种介质分界面上点A与坐标原点O 相距L=2.25 m.已知介质2的波阻大于介质1 的波阻,假设反射波与入射波的振幅相等, 求：
（a）反射波方程; （b）驻波方程; （c）在OA之间波节和波腹的位置坐标.
y
O
L
1 2 A
x
解 （a）设反射波方程为
x y2 10 cos[ 200 π(t ) 0 ] (m) 200
3
（ 2）
由式（1）得A点的反射振动方程
L y1 A 10 cos[ 200 π(t ) π] (m) 200
y
入射波
波疏介质 波密介质
驻波
OБайду номын сангаас
反射波
2
x
由波疏介质入射, 在波密介质界面上反射, 在界面 处, 反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相反， 即差了; 形成驻波时, 总是出现波节.
相位差了 ，相当于波程差了
2 , 称为“半波损失”.
相位跃变（半波损失）
波疏介质 波密介质 波 密 介 质 u 较 大
2π 波节 a 当 cos x 0 时 A 0
x (2k 1)
驻波比计算公式
驻波比的计算公式
说明：对RFE进行诊断测试，该测试可以直接输出回波损耗；
天线驻波比（VSWR）是表示天馈线与基站匹配程度的指标。
它的产生是由于入射波能量传输到天线输入端后，未被全部辐射出去，产生反射波迭加而成的。
假设基站发射功率是 10 W，反射回 0.5 W，由此可算出
回波损耗：RL＝10lg（10/0.5）＝13 dB
反射系数：由于 RL=-20lg℘，所以反射系数℘=10－（RL/20）=10－0.65=0.0224驻波比：VSWR＝（1＋℘）/（1－℘）＝1.57
一般要求天线的驻波比小于 1.5。
驻波比是越小越好，但工程上没有必要追求过小的驻波比。
据测算，VSWR＝1.3 和 VSWR＝1.5 相比，功率损失仅为 0.23 dB。
第10章 波动习题解答(课堂使用)
6
10-7 一横波在沿绳子传播时的波动方程 为 y 0.20cos（2.50t x）， 式中y和x的单位 为 m ， t的单位为s.（1） 求波的振幅、波速、 频率及波长；（2）求绳上的质点振动时的最 大速度；（3）分别画出t 1s 和 t 2s 时的波 形，并指出波峰和波谷.画出x 1.0m处质点的 振动曲线并讨论其与波形图的不同.
解： 设波源为坐标原点（如图）
yo Acos(t )
yu
x
t
0,y2oyW/ T0y,vOAV01c0o00sA(1cs0o0s1(1(0t01t 0x202)
)
2
O
)
9
yW
Acos(100 (t
x) 100
)
2
A cos( 100t
x
)
2
（1）距波源 15.0m 和 5.0m 两点处质
点的运动方程和初相； 注意：波源为坐标原点
x） u
]
2
(C)yA cos [ω（t Nhomakorabeax）
]
(D)y Acos[ω（t x） ]
u2
u
x 0, t T
y
u u: 速度大小
A
4
代入C式： 2
T
yo
A cos[ω( T 4
0 ） u
2
]
yo Acos0 A
x
O
-A
图a
代入D式：yo
A cos[ω( T 4
0 ） u
]
yo
A cos[
y
A cos[ (t
x) u
0
]
y 0.2cos[ 2.5 (t x )]
大学物理A第十章 波函数
第十章 波函数一、填空题（每空3分）10-1 A,B 是简谐波同一波线上两点，已知B 点的相位比A 点超前2π，且波长4m λ=，波速2u m s =，则两点相距 ，频率为 。
(1,12m Hz )10-2 A,B 是简谐波同一波线上两点，已知B 点的相位比A 点超前2π，且波长4m λ=，波速2u m s =，则两点相距 。
(1m )10-3 一列横波沿X 正向传播，波速u=1m/s,波长λ=2m,已知在X=0.5m 处振动表达式为Y=2cos πt(SI),则其波函数为_______.( y=2cos(πt-πx+2π) （SI ）) 10-4波源位于x 轴的坐标原点，运动方程为t y π240cos 100.43-⨯=，式中y 的单位为m ，t的单位为s ，它所形成的波形以 1s m 30-⋅ 的速度沿x 轴正向传播，则其波动方程为___ _____。
（))(8240cos(100.43m x t y ππ-⨯=-）10-5机械波的表达式为()()0.05cos 60.06y t x m ππ=+，则该波的周期为 。
(13s ) 10-6一平面简谐波的波动方程为)2 4cos(08.0x t y ππ-=，式中单位为SI 制 。
则：（1）对于某一平衡位置，2=t s 与1.2=t s 时的相位差为 ；（2）对于同一时刻，离波源0.80 m 及0.30 m 两处的相位差为 。
（0.4π；π）10-7 一列横波在x 轴线上沿正向传播，在t 1＝0和t 2＝0.5s 时波形如图所示，设周期12t t T ->，波动方程为 。
()42cos(2.0xt y πππ-+=)10-8 某波线上有相距2.5cm 的A 、B 两点，已知振动周期为2.0s ，B 点的振动落后于A 点的相位为π/6，则波长λ = ，波速u = 。
（λ=0.3m ，u=0.15m/s ） 10-9一横波沿x 轴正向传播,波速u = 1m/s, ,已知在 x = 0.5m 处振动表达式为t yπcos 5=(SI) ,o242.0m y /mx /01=t s 5.02=t则其波函数为___ 。
第10章 振动与波动(习题与答案)
第10章 振动与波动一. 基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。
2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。
3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。
4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。
5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。
6. 理解机械波产生的条件。
7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。
8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。
9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。
掌握波的相干条件。
能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。
10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。
二. 内容提要1. 简谐振动的动力学特征 作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即kx F -= 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为x tx 222d d ω-= 2. 简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦（或正弦）函数关系，即)cos(ϕ+ω=t A x由它可导出物体的振动速度 )sin(ϕ+ωω-=t A v 物体的振动加速度 )cos(ϕ+ωω-=t A a 23. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即2v ω+=2020x A4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。
周期与频率互为倒数，即ν=1T 或 T1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ωπ=2T 或 πν=ω26. 相位和初相 谐振动方程中（ϕ+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。
t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即0x v ω-=ϕtan应该注意，由此式算得的ϕ在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。
驻波的概述
即
y1
Acos(2 t
2
x)
y2
A c os(2 t
2
x)
两波相遇，其合成波为
y
y1
y2
A c os(2 t
2
x)
A c os(2 t
2
x)
2Acos 2 x cos2 t (x) (t)
变量分离 2
2、驻波特征
① 振幅分布的特点
➢波线上各点都在自己平衡位置附近作周期为T的谐振动，各
x
0
Dy2
A c os2
t T
x
解：反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节， 说明有半波损失。
故应选 (D)
12
例 5－1０ 某时刻驻波波形曲线如图所示，则a,b两点位相差是
（Ａ）
a
（B） 2
A
b
（C）5 4
o
（D） 0
A
2
9
8
解：由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。
5
／4
(x) ＞0 (x) < 0 3／4
5／4
相邻两个波节之间的所有各点振动位相相同，同步振动。任 一波节两侧的点，振动位相正好相反，相差π ，
──即驻波干涉中，介质各点的振动位相分段相同，相 邻两段位相相反。
6
③、驻波能量分布特点：
y(t t, x x) 2Acos2 (x x) cos2 (t t) y(t, x)
驻波的概述
一、驻波现象
在同一介质中，两列振幅相同的相干平面简谐波，在同一 直线上沿相反方向传播时叠加形成的波，称为驻波。
P
A
B
m
绳上的驻波
科技大学大学物理下册第六版答案
第九章振动习题：P37〜39 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16.49-1 一个质点作简谐运动，振幅为忙在起始时刻质点的位移为-今，且 向尤轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢童为（ ）分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为-冲/2.且向震轴负方 向运动•图（町是其相应的錠转矢最图.山旋转矢童法可知初相位为2TT /3•振动 曲线上给出质点从-A/2处运动到十M 处所需时间为I 矢由对应旋转矢量图可 知相应的相位差A 甲=4ir/3，则角频率孙二、中£Z = （4ir/3） 6_ \故选（D ）»本题 也可根分析与解（巧图中旋转矢量的矢端往耳轴上投影点的位移为-片/2,且投 影点的运动方向指向0龙轴正向，即其速度的耳分量大于零*故满足题意因而正 确答案为少-2已知某简谐运动的振动曲线如图心）所朋■则此简谐运动的运动方 程为（（A ） （C ） X = 2 COS J -yTTi - -^-71 “2叫CTD )cm(R)工 h 2<X»s( ； TTi + -j-7T (D) x =+ y I ( cm )cm )据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案.9*3 两个同周期简i皆运动曲线如图（"所示*，的相位比勺的相位（）5）落后牙（R）超前壬（C）落后仃（D）超前7T分析与解由振动曲线图作出相应的旋转久量图（b）即可得到答案为（叭9-4 一质点做简谐运动，周期为T,当它由平衡位置向X轴正方向运动时,从1/2最大位移处到最大位移处这段路程所需的时间（）A、T/12B、T/8C、T/6D、T/4分析（C）,通过相位差和时间差的关系计算。
可设位移函数y=A*sin（w t）,其中w =2n /T ;当y=A/2, w t1= n /6 ;当y=A, w t2= n /2 ;△t=t2 -t1=［n /（2 w ）］-［n /（6 w ）］= n /（3 w ）=T/69 -目当质点以频率¥作简谐运动时，它的动能的变化频率为（）（A 】寺「B）P（（J）2胖（D） 4卩分析与解质点作简谐运动的动能表武为- （a +护），可见其周期为简谐运动周期的一半［则频率为简谐运动频率卩的两倍+因而止确答案为（C）.9- E ］图（町巾所啣的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加+ 则合成的余弦振动的初相位为（ ）31（A ）亍力（B ）（｛；） TT（D ） 0分析与解由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动, 它们的相位差是“（即反相位）+运动方程分别为口 = A cos a ）t 和x 2 = -^-cos （（ot+£灯）》它们的振幅不同•对于这样两个简谐运动，叮用旋转矢量法，如图（b ）很方便求得合运动方程为^=ycos 族.因而正确答案为（D ）.9-0有一个弹簧振子，振幅/ =2.0x107叫周期°趴初相炉二 3ir/4.试写出它的运动方程，并作出火"图卩“图和a"图.解因3=2IT /T\则运动方程根据题中给出的数据得x - 2. 0 x 10 _2€08（ 2衣 + 0. 75TT ） （in ）振子的速度和加速度分别为v = dx/dt 石x 10'2ftin(27TZ +0* 75ir) ( m • s'1)(i = d 2x/di 3 - - 8TT 2 x 10 2CDS (21TZ + 0* 75TF ) (m ・ s 1)尤- — f 及＜i 7图如图所示*X = /lcos( (dt + 少)=4cos/ 2打『9-0 若简谐运动方程为x=o. 10 ws(20m+0. 257T)(m)r求：(1)振幅、频率.角频率、周期和初相；(2) t=2合时的位移、速度和加速度.解(1 )将x =0, lOcos (20ir^ + 0. 25ir) ( ni)与女二A€os(t^(十炉)比较后可得;振幅4二①【0 m,角频率w = 20^-\初柑申 Z 25□则周期T = = 0. I筑频率卩=1/『二10 Hz.(2) t^2s时的位移、速度、加速度分别为x =0. 10CO9(40TT +O.25TT) =7J)7 xlO*2mv = dx/d/ =「27T5in(40ir +0. 25TT)=- 4.44 m - s« - d^/di1= -40ir2cos(407r +0. 25ir) = -2. 79 x 10L m ・少-凹某振动质点的工-丄曲线如图(町所示，试求：(1)运动方程；(2)点戶对应的相位；(3)到达点尸相应位置所需的时间.解（1）质点振动振幅=0. W m 而由振动曲线可画出q =0和=4 8 时旋转矢量，如图（b ）所示.由IS 可见初相気二亠忻/3（或純=5ir/3） t 而由-和)=ir/2 + TT /3得曲=5^/24 & ' +则运动方程为文=0.］仇0彳 - TT /3)( m)（2） 图（町中点F 的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处.对应的旋转矢量图如图（町所示.当初相取列=7用时’点P 的相位为和十。
大学物理学机械波练习题
《大学物理学》机械波部分自主学习材料（解答）一、选择题10-1．图（a ）表示0t =时的简谐波的波形图，波沿x 轴正方向传播，图（b ）为一质点的振动曲线，则图（a ）中所表示的0x =处质点振动的初相位与图（b ）所表示的振动的初相位分别为（ C ） （A ）均为2π； （B ）均为π-； （C ）π与π-； （D ）2π-与2π。
【提示：图（b ）为振动曲线，用旋转矢量考虑初相角为2π-，图（a ）为波形图，可画出过一点时间的辅助波形，可见0x =处质点的振动为由平衡位置跑向负方向，则初相角为2π】10-2．机械波的表达式为0.05cos(60.06)y t x ππ=+，式中使用国际单位制，则（ C ） （A ）波长为5m ； （B ）波速为110m s -⋅；（C ）周期为13秒； （D ）波沿x 正方向传播。
【提示：利用2k πλ=知波长为1003λ=m ，利用u k ω=知波速为1100u m s -=⋅，利用2T πω=知周期为13T =秒，机械波的表达式中的“+”号知波沿x 负方向传播】10-3．一平面简谐波沿x 轴负方向传播，角频率为ω，波速为u ，设4Tt =时刻的波形如图所示，则该波的表达式为（ D ）（A ）cos[()]xy A t u ωπ=-+； （B ）cos[()]2x y A t u πω=--；（C ）cos[()]2x y A t u πω=+-；（D ）cos[()]xy A t uωπ=++。
【提示：可画出过一点时间的辅助波形，可见在4Tt =时刻，0x =处质点的振动为由平衡位置向正方向振动，相位为2π-，那么回溯在0t =的时刻，相位应为π】OO10-4．如图所示，波长为λ的两相干平面简谐波在P 点相遇，波在点1S 振动的初相是1ϕ，到P 点的距离是1r 。
波在点2S 振动的初相是2ϕ，到P 点的距离是2r 。
以k 代表零或正、负整数，则点P 是干涉极大的条件为（ D ） （A ）21r r k π-=； （B ）212k ϕϕπ-=； （C ）212122r r k ϕϕππλ--+=；（D ）122122r r k ϕϕππλ--+=。
10-3驻波
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驻波
λ λ 2π π π 2π x ∈ ( , ), x ∈ ( , ), cos x>0 4 4 λ 2 2 λ 2π y = (2Acos x) cosωt λ
结论一 相邻两波节间各点振动相位相同
λ
y
λ
4
λ
4
3λ 4
5λ 4
x
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第十章 波动
物理学
第五版
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驻波
y
λ
4
λ
4
3λ 4
驻波
rB rA = x - 30 x = 30
B外侧的所有点均为干涉相长,振幅达极大 外侧的所有点均为干涉相长, P x
A O B X
O
x
X
rB rA = (30 x) ( x) = 30
外侧的所有点均为干涉相长, A 外侧的所有点均为干涉相长,振幅极大
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S1(1 )
1.波源不动, 1.波第十章 波动
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驻波
接收频率——单位时间内观测者接收 单位时间内观测者接收 接收频率 到的振动次数或完整波数. 到的振动次数或完整波数
υr静 = λ
观察者 接收的 频率
u
υ动 =
u+v0
λ
观察者向波源运动 观察者向
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驻波
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物理学
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三 多普勒效应
讨论
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驻波
人耳听到的声音的频率与声源 的频率相同吗? 的频率相同吗?
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物理学
第十章 波动
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驻波
例题3 一平面简谐波某时刻波形如图所示， 例题 一平面简谐波某时刻波形如图所示，此波以波速 u沿x轴正方向传播，振幅为 ，频率为 。 轴正方向传播， 沿 轴正方向传播 振幅为A，频率为υ。
y
B D
x
点为x轴的坐标原点并以此 （1）若以图中 点为 轴的坐标原点并以此 ）若以图中B点为 时刻为t=0时刻 写出此波的波函数。 时刻， 时刻为 时刻，写出此波的波函数。 点为反射点， （2）图中 点为反射点，且为一节点。若以 点为 ）图中D点为反射点 且为一节点。若以D点为 X轴的坐标原点，并以此时刻为 时刻，写出此波 轴的坐标原点， 时刻， 轴的坐标原点 并以此时刻为t=0时刻 的入射波的波函数和反射波的波函数。 的入射波的波函数和反射波的波函数。
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驻波
t x 例题2 如果入射波是y1 = A cos 2 π( + ) ， T λ 处反射后形成驻波，反射点为波腹， 在 x = 0 处反射后形成驻波，反射点为波腹， 设反射后波的强度不变， 设反射后波的强度不变，则反射波的方程式为 y2 = Acos 2π(t / T x / λ) ，在 x = 2 λ 处质点 ______________________， 3 合振动的振幅等于______. 合振动的振幅等于 A
y = (2Acos
x ∈ (
2π
λ λ
λ
x) cos ωt = A′ cos ωt
2π
, ), cos x>0 4 4 λ
y = (2Acos
2π
λ
x) cosωt
结论 相邻两波节间各点振动相位相同
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驻波
x ∈ ( , ), cos x<0 4 4 λ 2π 2π y = (2Acos x) cosωt = (2Acos x) cos(ωt + π)
λ 3λ
2π
λ
λ
结论 一波节两侧各点振动相位相反
y
λ
4
λ
4
3λ 4
5λ 4
x
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驻波
边界条件 驻波一般由入射、反射波叠加而成， 驻波一般由入射、反射波叠加而成，反 射发生在两介质交界面上， 射发生在两介质交界面上，在交界面处出现 波节还是波腹，取决于介质的性质. 波节还是波腹，取决于介质的性质 介质分类 波疏介质, 波疏介质,波密介质
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驻波
两端固定的弦振动的简正模式 两端固定的弦振动的简正模式 固定
l=n
λn
2
n = 1, 2,
l =
λ1
2 2λ2 l= 2 3λ 3 l= 2
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驻波
例题4 例题4 如图二胡弦长 l = 0.3 m ，张力 T = 9.4 N . 密度 ρ = 3.8 × 10 4 kg m.1 求弦所发的声音的基频和谐 求弦所发的声音的基频和谐频.
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驻波
（3）写出合成波波函数，并定出波腹和波节的位置 ）写出合成波波函数，
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驻波
四 驻波的能量
y 2 位移最大时 dWp ∝ ( ) x 波
节 波 腹 A B C
x
x
平衡位置时
y 2 dWk ∝ ( ) t
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驻波
驻波的能量 驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复 变化， 变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的 转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中 转换，动能主要集中在波腹， 在波节，但无能量的定向传播. 在波节，但无能量的定向传播
3
y
O
1
2
L
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A
x
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驻波
舍 由式（ ）和式（ ） 由式（3）和式（4）得： 去
由式（ ） 由式（2）得A点的反射振动方程 点的反射振动方程 L 3 ) + 0 ] y2 A = 10 cos[200 π(t + （4） ） 200
π 0 = 2 πL + π = -3.5π = -4π + 2 π 0 = 所以反射波方程为： 所以反射波方程为： 2 x π 3 y2 = 10 cos[200 π(t + ) + ] (m) 200 2
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驻波
图中所示，线上各点的振幅不同， 图中所示，线上各点的振幅不同，有些点始终静止不动 即振幅为零，而另一些点则振动最强，即振幅最大。 即振幅为零，而另一些点则振动最强，即振幅最大。这 就是驻波。很显然，驻波在整个弦线上， 就是驻波。很显然，驻波在整个弦线上，并没有波形的 传播。 传播。
x
λ
)
y 2 = A cos 2π (ν t +
x
λ
)
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驻波
两列波在任意点任意时刻叠加产生的合位移为
y = y1 + y 2
= A cos 2π (ν t x
λ
) + A cos 2π (ν t +
x
λ
)
= 2 A cos 2π
x
λ
cos 2π ν t
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驻波
π 解 (1) y1 = 0.04 cos (4 x 24t ) ) 3 π y2 = 0.04 cos (4 x + 24t ) 3
比较 得:
y = A cos 2π(νt )
x
λ
ν = 4 Hz
λ = 1.5 m
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u = λν = 6 m s
1
11
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驻波
一端固定一端自由的弦振动的简正模式 一端固定一端自由的弦振动的简正模式 固定一端自由 1 λn l = (n ) n = 1, 2 , 2 2
l =
λ1
4
3λ 2 l = 4 5λ3 l = 4
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驻波
如图, 一列沿x轴正向传播的简谐波 例5 如图 一列沿 轴正向传播的简谐波 3 方程为 y1 = 10 cos[200π(t x / 200)](m) （1） ） 两种介质分界面上点A与坐标原点 在1，2两种介质分界面上点 与坐标原点 ， 两种介质分界面上点 与坐标原点O 相距L=2.25 m.已知介质 的波阻大于介质 已知介质2的波阻大于介质 相距 已知介质 的波阻大于介质1 的波阻, 反射波与入射波的振幅相等, 的波阻 反射波与入射波的振幅相等 求：
千斤
解 弦两端为固定点， 弦两端为固定点， 波节. 是波节 λ l = n n = 1, 2 , 2
l
码子
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驻波
nu 频率 ν = = λ 2l
u
波速 基频
u =
T
T
ρ
ρ
= 262 Hz
千斤
1 n = 1 ν1 = 2l 谐频
l
码子
n T n >1 νn = 2l ρ
第十章 波动
第十章 波动
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驻波
2 条件
两列振幅相同的相干波相向传播
向右的入射波和向左的反射波在弦上产生干涉， 向右的入射波和向左的反射波在弦上产生干涉，形成 了下图所示的驻波。 了下图所示的驻波。
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驻波
3 入射波和反射波的合成动画演示
第十章 波动
41010-5来自驻波二驻波方程
一 驻波的产生
1.现象 现象
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驻波
驻波是干涉的特例，下图是用弦线作驻波实验的示意图。 驻波是干涉的特例，下图是用弦线作驻波实验的示意图。 弦线的一端系在音叉上，另一端系着砝码使弦线拉紧。 弦线的一端系在音叉上，另一端系着砝码使弦线拉紧。当 音叉振动时，调节劈尖至适当的位置， 音叉振动时，调节劈尖至适当的位置，可以看到弦线被分 成几段长度相等的作稳定振动的部分。 成几段长度相等的作稳定振动的部分。
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驻波
(2) ) 波节 波腹
4 πx y = y1 + y2 = 0.08 cos 8πt cos 3
4πx π 3 = (2k + 1) x = (2k + 1) 3 2 8
4πx 3 = kπ x = k 3 4 k = 0,±1,
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驻波
(2) 相位分布 )
（1）反射波方程 ）反射波方程; （2）驻波方程 ）驻波方程;
之间波节和波腹的位置坐标. （3）在OA之间波节和波腹的位置坐标 ） 之间波节和波腹的位置坐标 y
O
1
2
L
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A
x
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驻波
解 （1）设反射波方程为 ）
x y2 = 10 cos[200π(t + ) + 0 ] （2） ） 200 由式（1）得A点的反射振动方程 由式（ ） L 3 y1 A = 10 cos[200π(t ) + π] （3） ） 200
为了方便起见，设有两个振幅相同、频率相同、 为了方便起见，设有两个振幅相同、频率相同、点o的 的 初相位皆为零且分别沿ox轴正负方向传播的简谐波 轴正负方向传播的简谐波， 初相位皆为零且分别沿 轴正负方向传播的简谐波，它 们的波动方程分别如下： 们的波动方程分别如下：