10-5 驻波

第十章 波动
17
1010-5
驻波
波密介质
波疏介质
当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成波腹 波腹. 被反射到波密介质时形成波腹 入射波与反 射波在此处的相位时时相同，即反射波在分 射波在此处的相位时时相同， 相同 界处不产生相位跃变 跃变. 界处不产生相位跃变
x
λ
)
y 2 = A cos 2π (ν t +
x
λ
)
第十章 波动
5
1010-5
驻波
两列波在任意点任意时刻叠加产生的合位移为
y = y1 + y 2
= A cos 2π (ν t x
λ
) + A cos 2π (ν t +
x
λ
)
= 2 A cos 2π
x
λ
cos 2π ν t
第十章 波动
6
1010-5
第十章 波动
10
1010-5
驻波
π 解 (1) y1 = 0.04 cos (4 x 24t ) ) 3 π y2 = 0.04 cos (4 x + 24t ) 3
比较 得:
y = A cos 2π(νt )
x
λ
ν = 4 Hz
λ = 1.5 m
第十章 波动
u = λν = 6 m s
1
11
驻波
当
cos
2π
x = (2k +1)
λ λ
x = 0 时 A′ = 0
为波节
( 的奇数倍 的奇数倍) 4 4
λ
(k = 0,±1,±2 ，)
当 cos
2π
x = 2k
λ
4
λ
x = ±1 时
A′ = 2A 为波腹
( 的偶数倍 的偶数倍) 4
第十章 波动
λ
(k = 0,±1,±2 ，)
8
1010-5
驻波
讨论 驻波方程 y = 2 A cos 2 π (1)振幅 2 A cos 2 π )
1
x
x
λ
cos 2 π ν t
λ
而异, 随 x 而异,与时间无关
cos2 π
x
λ
=
0
2π
x
x
1 2π = ±(k + ) π k = 0,1,2, λ 2
第十章 波动
7
λ
= ±k π
k = 0,1,2,
1010-5
（1）反射波方程 ）反射波方程; （2）驻波方程 ）驻波方程;
之间波节和波腹的位置坐标. （3）在OA之间波节和波腹的位置坐标 ） 之间波节和波腹的位置坐标 y
O
1
2
L
第十章 波动
A
x
30
1010-5
驻波
解 （1）设反射波方程为 ）
x y2 = 10 cos[200π(t + ) + 0 ] （2） ） 200 由式（1）得A点的反射振动方程 由式（ ） L 3 y1 A = 10 cos[200π(t ) + π] （3） ） 200
第十章 波动
18
1010-5
驻波
第十章 波动
19
1010-5
驻波
t x 例题2 如果入射波是y1 = A cos 2 π( + ) ， T λ 处反射后形成驻波，反射点为波腹， 在 x = 0 处反射后形成驻波，反射点为波腹， 设反射后波的强度不变， 设反射后波的强度不变，则反射波的方程式为 y2 = Acos 2π(t / T x / λ) ，在 x = 2 λ 处质点 ______________________， 3 合振动的振幅等于______. 合振动的振幅等于 A
λ 3λ
2π
λ
λ
结论 一波节两侧各点振动相位相反
y
λ
4
λ
4
3λ 4
5λ 4
x
14
第十章 波动
1010-5
驻波
边界条件 驻波一般由入射、反射波叠加而成， 驻波一般由入射、反射波叠加而成，反 射发生在两介质交界面上， 射发生在两介质交界面上，在交界面处出现 波节还是波腹，取决于介质的性质. 波节还是波腹，取决于介质的性质 介质分类 波疏介质, 波疏介质,波密介质
1010-5
驻波
(2) ) 波节 波腹
4 πx y = y1 + y2 = 0.08 cos 8πt cos 3
4πx π 3 = (2k + 1) x = (2k + 1) 3 2 8
4πx 3 = kπ x = k 3 4 k = 0,±1,
第十章 波动
12
1010-5
驻波
(2) 相位分布 )
第十章 波动
25
1010-5
驻波
两端固定的弦振动的简正模式 两端固定的弦振动的简正模式 固定
l=n
λn
2
n = 1, 2,
l =
λ1
2 2λ2 l= 2 3λ 3 l= 2
第十章 波动
26
1010-5
驻波
例题4 例题4 如图二胡弦长 l = 0.3 m ，张力 T = 9.4 N . 密度 ρ = 3.8 × 10 4 kg m.1 求弦所发的声音的基频和谐 求弦所发的声音的基频和谐频.
28
1010-5
驻波
一端固定一端自由的弦振动的简正模式 一端固定一端自由的弦振动的简正模式 固定一端自由 1 λn l = (n ) n = 1, 2 , 2 2
l =
λ1
4
3λ 2 l = 4 5λ3 l = 4
第十章 波动
29
1010-5
驻波
如图, 一列沿x轴正向传播的简谐波 例5 如图 一列沿 轴正向传播的简谐波 3 方程为 y1 = 10 cos[200π(t x / 200)](m) （1） ） 两种介质分界面上点A与坐标原点 在1，2两种介质分界面上点 与坐标原点 ， 两种介质分界面上点 与坐标原点O 相距L=2.25 m.已知介质 的波阻大于介质 已知介质2的波阻大于介质 相距 已知介质 的波阻大于介质1 的波阻, 反射波与入射波的振幅相等, 的波阻 反射波与入射波的振幅相等 求：
一 驻波的产生
1.现象 现象
1010-5
驻波
驻波是干涉的特例，下图是用弦线作驻波实验的示意图。 驻波是干涉的特例，下图是用弦线作驻波实验的示意图。 弦线的一端系在音叉上，另一端系着砝码使弦线拉紧。 弦线的一端系在音叉上，另一端系着砝码使弦线拉紧。当 音叉振动时，调节劈尖至适当的位置， 音叉振动时，调节劈尖至适当的位置，可以看到弦线被分 成几段长度相等的作稳定振动的部分。 成几段长度相等的作稳定振动的部分。
第十章 波动
20
1010-5
驻波
例题3 一平面简谐波某时刻波形如图所示， 例题 一平面简谐波某时刻波形如图所示，此波以波速 u沿x轴正方向传播，振幅为 ，频率为 。 轴正方向传播， 沿 轴正方向传播 振幅为A，频率为υ。
y
B D
x
点为x轴的坐标原点并以此 （1）若以图中 点为 轴的坐标原点并以此 ）若以图中B点为 时刻为t=0时刻 写出此波的波函数。 时刻， 时刻为 时刻，写出此波的波函数。 点为反射点， （2）图中 点为反射点，且为一节点。若以 点为 ）图中D点为反射点 且为一节点。若以D点为 X轴的坐标原点，并以此时刻为 时刻，写出此波 轴的坐标原点， 时刻， 轴的坐标原点 并以此时刻为t=0时刻 的入射波的波函数和反射波的波函数。 的入射波的波函数和反射波的波函数。
第十章 波动
24
1010-5
驻波
五 振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时， 两端固定的弦线形成驻波时，波长 λ 固定的弦线形成 n 和弦线长 l 应满足 u λn νn = n n = 1,2, l=n 2l 2l 2 ν
1
其中
为基频， ν ,ν 分别为二次，三次谐频，…. 为基频， 分别为二次，三次谐频， 2 3
第十章 波动
33
物理学
第十章 波动
2
1010-5
驻波
2 条件
两列振幅相同的相干波相向传播
向右的入射波和向左的反射波在弦上产生干涉， 向右的入射波和向左的反射波在弦上产生干涉，形成 了下图所示的驻波。 了下图所示的驻波。
第十章 波动
3
1010-5
驻波
3 入射波和反射波的合成动画演示
第十章 波动
4
1010-5
驻波
二
驻波方程
第十章 波动
1
1010-5
驻波
图中所示，线上各点的振幅不同， 图中所示，线上各点的振幅不同，有些点始终静止不动 即振幅为零，而另一些点则振动最强，即振幅最大。 即振幅为零，而另一些点则振动最强，即振幅最大。这 就是驻波。很显然，驻波在整个弦线上， 就是驻波。很显然，驻波在整个弦线上，并没有波形的 传播。 传播。
第十章 波动
32
1010-5
3
驻波
π π （2） y = y1 + y2 = 2 ×10 cos(πx + ) cos(200πt + ) ） 4 4 π （3） 令 cos( πx + ) = 0 ） 4 1 (n = 0,1,2, ) 得波节坐标 x = n + 4 x ≤ 2.25 m x = 0.25 m,1.25 m,2.25 m π 令 cos(πx + ) = 1 4 1 (n = 1,2, ) 得波腹坐标 x = n 4 x ≤ 2.25 m x = 0.75 m,1.75 m
千斤
解 弦两端为固定点， 弦两端为固定点， 波节. 是波节 λ l = n n = 1, 2 , 2
l
码子
第十章 波动
27
1010-5
驻波
nu 频率 ν = = λ 2l
u
波速 基频
u =
T
T
ρ
ρ
= 262 Hz
千斤
1 n = 1 ν1 = 2l 谐频
l
码子
n T n >1 νn = 2l ρ
第十章 波动
3
y
O
1
2
L
第十章 波动
A
x
31
1010-5
驻波
舍 由式（ ）和式（ ） 由式（3）和式（4）得： 去
由式（ ） 由式（2）得A点的反射振动方程 点的反射振动方程 L 3 ) + 0 ] y2 A = 10 cos[200 π(t + （4） ） 200
π 0 = 2 πL + π = -3.5π = -4π + 2 π 0 = 所以反射波方程为： 所以反射波方程为： 2 x π 3 y2 = 10 cos[200 π(t + ) + ] (m) 200 2
为了方便起见，设有两个振幅相同、频率相同、 为了方便起见，设有两个振幅相同、频率相同、点o的 的 初相位皆为零且分别沿ox轴正负方向传播的简谐波 轴正负方向传播的简谐波， 初相位皆为零且分别沿 轴正负方向传播的简谐波，它 们的波动方程分别如下： 们的波动方程分别如下：
正向 负向
y 1 = A cos 2π (ν t
第十章 波动
21
1010-5
驻波
（3）写出合成波波函数，并定出波腹和波节的位置 ）写出合成波波函数，
第十章 波动
22
1010-5
驻波
四 驻波的能量
y 2 位移最大时 dWp ∝ ( ) x 波
节 波 腹 A B C
x
x
平衡位置时
y 2 dWk ∝ ( ) t
23
第十章 波动
1010-5
驻波
驻波的能量 驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复 变化， 变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的 转换来自百度文库动能主要集中在波腹，势能主要集中 转换，动能主要集中在波腹， 在波节，但无能量的定向传播. 在波节，但无能量的定向传播
驻波
有些点始终不振动, 结论 有些点始终不振动,有些点始终振 幅最大. 幅最大 相邻波腹 波腹（ 相邻波腹（节）间距 = λ 2 相邻波腹和波节 相邻波腹和波节间距 = λ 4 波腹
λ
4
振幅包络图 波节
5λ 4
y
λ
4
3λ 4
x
λ
2
第十章 波动
9
1010-5
驻波
例题1 两波在一很长的弦上传播，其 两波在一很长的弦上传播， 波动方程分别为: 波动方程分别为 π y1 = 0.04 cos (4 x 24t ) 3 π y2 = 0.04 cos (4 x + 24t ) 3 求: (1) 两波的频率、波长、波速； ) 两波的频率、波长、波速； (2)两波叠加后的节点位置； )两波叠加后的节点位置； (3)叠加后振幅最大的那些点的位置 )叠加后振幅最大的那些点的位置.
第十章 波动
15
1010-5
驻波
波疏介质 波 疏 介 质
波密介质 波 密 介 质
ρu
ρu
第十章 波动
16
1010-5
驻波
相位跃变（半波损失） 三 相位跃变（半波损失）
当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 被反射到波疏介质时形成波节 波节. 被反射到波疏介质时形成波节 入射波与反 射波在此处的相位时时相反 即反射波在分 相反, 射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分 界处产生 的相位跃变，相当于出现了半个 的相位跃变 跃变， 界处产生 π 波长的波程差， 半波损失. 波长的波程差，称半波损失
y = (2Acos
x ∈ (
2π
λ λ
λ
x) cos ωt = A′ cos ωt
2π
, ), cos x>0 4 4 λ
y = (2Acos
2π
λ
x) cosωt
结论 相邻两波节间各点振动相位相同
第十章 波动
13
1010-5
驻波
x ∈ ( , ), cos x<0 4 4 λ 2π 2π y = (2Acos x) cosωt = (2Acos x) cos(ωt + π)