2016届上海杨浦区高三一模数学试卷及答案(理科)
上海市杨浦高级中学2016届高三下学期3月月考数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．抛物线y2=x的焦点F坐标为．2．已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A=．3．如果=，那么a的取值范围是．4．关于x的方程：4x•|4x﹣2|=3的解为．5．不等式的解集为．6．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=．7．已知数列{a n}满足（n∈N*），则a2n=．8．在（2x+y+z）10的展开式中，x3y2z5的系数为．9．在极坐标系中，将圆ρ=2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为．10．5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．11．已知定义在R上的函数y=f（x）对于任意的x都满足f（x+2）=f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）=x3．若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是．13．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．下面命题：①1›i›0；②若z 1›z 2，z 2›z 3，则z 1›z 3；③若z 1›z 2，则对于任意z ∈C ，z 1+z ›z 2+z ；④对于复数z ›0，若z 1›z 2，则z •z 1›z •z 2．其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）14．符号表示数列{a n }的前n 项和（即）．已知数列{a n }满足a 1=0，a n ≤a n +1≤a n +1（n ∈N *），记，若S 2016=0，则当取最小值时，a 2016= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（ ）A ．12B ．24C ．36D ．4816．已知F 为双曲线C ：x 2﹣my 2=3m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A ．B ．3C ． mD ．3m17．将函数的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．18．在半径为r 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）A ．2πrB ．C ．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图：已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面是边长为6的正方形，PA=8，PA ⊥面ABCD ， 点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点，连接AM 、AN 、MN ．（1）求证：AB ⊥MN ；（2）求二面角N ﹣AM ﹣B 的大小．20．已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有=1，，求△ABC面积的最大值．21．某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y=﹣ax2+30（a ＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．（1）若要求CD=20米，AD=（10+30）米，求t与a值；（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．22．如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3，n ∈N*）．（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；（2）当d1=1，d2=3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．23．如图，圆O与直线x+y+2=0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y=x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足=x+y，以x，y为坐标的动点D （x，y）的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线l1：y=kx和l2：y=﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值．（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．抛物线y2=x的焦点F坐标为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】焦点在x轴的正半轴上，且p=，利用焦点为（，0），写出焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴的正半轴上，且p=，∴=，故焦点坐标为（，0），故答案为：（，0）．2．已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A=．【考点】补集及其运算．【分析】先根据整除性求出集合A，然后根据补集的定义求出C U A即可．【解答】解：∵x∈Z∴能被2整除的数有﹣2，﹣1，1，2则x=﹣2，﹣1，1，2即A={﹣2，﹣1，1，2}而U={﹣2，﹣1，0，1，2}，则C U A={0}故答案为：{0}3．如果=，那么a的取值范围是．【考点】数列的极限．【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简已知条件即可推出a的范围．【解答】解：=，可得=，可得，解得a∈（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．4．关于x的方程：4x•|4x﹣2|=3的解为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令4x =t ，将方程转化为关于t 的一元二次方程计算．【解答】解：令4x =t ，（t ＞0）．则当t ≥2时，t 2﹣2t ﹣3=0，解得t=3或t=﹣1（舍）．∴x=log 43．当0＜t ＜2时，t （2﹣t ）=3，即t 2﹣2t +3=0，方程无解．故答案为：x=log 43．5．不等式的解集为 ．【考点】其他不等式的解法．【分析】将行列式按第二行展开，求得不等式=+2≥0，注意对数函数的定义域．【解答】解：等价于lgx ++2=+2≥0，即，解得0＜x ≤或x ＞1，故不等式的解集为．故答案为：．6．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R ），则= ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此， ==4故答案为：47．已知数列{a n }满足（n ∈N *），则a 2n = ．【考点】数列递推式．【分析】由已知求出数列的第二项，并得到数列{a n }的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，然后由等比数列的通项公式得答案．【解答】解：由①，得a 2=2，且（n ≥2）②，①÷②得：，∴数列{a n }的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，则．故答案为：2n ．8．在（2x +y +z ）10的展开式中，x 3y 2z 5的系数为 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据展开式中项的由来，利用组合解答即可．【解答】解：由题意，在（2x +y +z ）10的展开式中，含有x 3y 2z 5的项为，所以系数为8××=20160．故答案为：20160．9．在极坐标系中，将圆ρ=2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为 ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据圆ρ=2的圆心与半径，得出平移和旋转后的圆心与半径，由此写出所得曲线的极坐标方程．【解答】解：圆ρ=2的圆心为（0，0），半径为2；沿着极轴正方向平移两个单位后，圆心为（2，0），半径为2；绕极点按逆时针方向旋转，所得圆的圆心为（2，），半径为2；设p为所求圆上任意一点，则OP=ρ=2×2cos（θ﹣）=4cos（θ﹣）．故答案为：ρ=4cos（θ﹣）．10．5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）包含的基本事件个数，由此能求出这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率．【解答】解：5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则基本事件总数n=45，这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）包含的基本事件个数：m=+，∴这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率：p===．故答案为：．11．已知定义在R上的函数y=f（x）对于任意的x都满足f（x+2）=f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）=x3．若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．【考点】函数的周期性．【分析】函数g（x）=f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log5|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=log a|x|的图象，结合图象可得log a5＜1 或log a5≥﹣1，由此求出a的取值范围．【解答】解：根据题意，函数g（x）=f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log a|x|的交点的个数；f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，又由当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3，据此可以做出f（x）的图象，y=log a|x|是偶函数，当x＞0时，y=log a x，则当x＜0时，y=log a（﹣x），做出y=log a|x|的图象，结合图象分析可得：要使函数y=f（x）与y=log a|x|至少有6个交点，则log a5＜1 或log a5≥﹣1，解得a＞5，或0＜a≤．所以a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．故答案为：（0，]∪（5，+∞）．12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由已知得，0＜a＜1，0＜b＜1，从而3a+2b=3a+2（﹣a）＞，由此能求出a的取值范围．【解答】解：∵一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．∴a+b+=1，∴，∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴0＜a＜，∵投篮一次得分ξ的数学期望，∴3a+2b=3a+2（﹣a）＞，解得a＞，综上，．故答案为：（，）．13．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．下面命题：①1›i›0；②若z1›z2，z2›z3，则z1›z3；③若z1›z2，则对于任意z∈C，z1+z›z2+z；④对于复数z›0，若z1›z2，则z•z1›z•z2．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的新定义大小关系即可得出．【解答】解：①．∵1=1+0•i，i=0+1•i，∵实部1＞0，∴1›i．又0=0+0•i，∵实部0=0，虚部1＞0，∴i›0，∴1›i›0，所以①正确．②设z k=a k+b k i，k=1，2，3，a k，b k∈R．∵z1›z2，z2›z3，∴a1≥a2，a2≥a3，∴a1≥a3．则当a1＞a3时，可得z1›z3；当a1=a3时，有b1＞b2＞b3，可得z1›z3，∴②正确；③令z=a+bi（a，b∈R），∵z1›z2，∴a1≥a2，∴a1+a≥a2+a，当a1=a2时，b1＞b2，故a1+a=a2+a，b1+b＞b2+b，可得z1+z›z2+z；当a1＞a2时，a1+a＞a2+a，可得z1+z›z2+z；∴③正确；④取z=0+i＞0，z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（a k，b k∈R，k=1，2），不妨令a1=a2，b1＞b2，则z1›z2，此时z•z1=﹣b1+a1i，z•z2=﹣b2+a2i，不满足z•z1›z•z2．故④不正确．由以上可知：只有①②③正确．故答案为：①②③．14．符号表示数列{a n}的前n项和（即）．已知数列{a n}满足a1=0，a n≤a n≤a n+1（n∈N*），记，若S2016=0，则当+1取最小值时，a2016=．【考点】数列的求和．【分析】S2016=0，=，进一步可知{a n}从第一起k∈{1，2，3，4，…，1008}，当取最小值，a2016=1007．【解答】解：S2016=0，（﹣1）k=0，即=，∵a n≤a n+1，（n∈N*），0＜a＜1，∴≥，∴a2k﹣1=a2k，k∈{1，2，3，4，…，1008}，∵a1=0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），∴当取最小值，∴a2016=1007，故答案为：1007．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】频率分布直方图．【分析】设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．【解答】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d=1 可以求得d=∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）=36．故选C．16．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．17．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B18．在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A．2πr B．C．D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和，利用内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短路程为：一个半圆一个圆即可解决．【解答】解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，例如动点从A到S，再到C，到B回到A，∠SOA=∠SOC=90°，∠COB=∠BOA=60°，则经过的最短路程为：一个半圆一个圆，即：=故选B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为6的正方形，PA=8，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．（1）求证：AB⊥MN；（2）求二面角N﹣AM﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．（1）分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，只要证明，【分析】即可证明AB⊥MN．（2）利用法向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）、B（0，6，0）、M（6，3，0）、N（0，3，4），得，，∴，∴AB⊥MN．（2）解：取平面AMB的一个法向量为，设平面AMN的法向量，又，，由，取平面AMN的一个法向量，设二面角N﹣AM﹣B为α，则=，∴二面角N﹣AM﹣B的大小为．20．已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有=1，，求△ABC 面积的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理．【分析】（1）根据向量平行的坐标关系求出f（x）的解析式，化简成为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质求其最大值．（2）利用=1，求出A的角的大小，在结合余弦定理，利用三角函数的图象和性质求其最大值．【解答】解：（1）由题意：可得：⇔f（x）的最小正周期T=sinx的图象和性质可知：sin（x+）的最大值是1，∴的最大值是2．所以：函数f（x）的最小正周期为2π，最大值为2．（2）由（1）可知．∵=1，得：，∵0＜A＜π，∴，∴，解得：．又∵，即，∴b2+c2﹣bc=3，又∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时取等号），则有：3+bc≥2bc，∴bc≤3，∴，所以：△ABC面积的最大值为：．21．某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y=﹣ax2+30（a ＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．（1）若要求CD=20米，AD=（10+30）米，求t与a值；（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据圆E的半径CD=30﹣t求出t的值，再利用圆E的方程求出点C的坐标，代入抛物线方程求出a的值；（2）根据圆E的半径，利用抛物线求出OD的值，写出DF的表达式，求DF在t∈（0，10]时不等式DF≤45恒成立即可．【解答】解：（1）因为CD=30﹣t=20，解得t=10；…3分此时圆E：x2+（y﹣10）2=202，令y=0，得AO=10，所以OD=AD﹣AO=30，将点C（30，20）代入y=﹣ax2+30（a＞0）中，解得；…7分（2）因为圆E的半径为30﹣t，所以CD=30﹣t，在y=﹣ax2+30中，令y=30﹣t，解得，则由题意知对t∈（0，10]恒成立，…9分所以恒成立，而，当，即t=15∉（0，10]时，由（）递减，可知：当t=10取最小值；…12分故，解得．…14分．22．如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3，n ∈N*）．（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；（2）当d1=1，d2=3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．【考点】数列的应用．【分析】（1）根据第三行成等差数列得出a3n，根据最后一列成等差数列得出a3n，从而得出d1，d2，d3的关系，同理根据a mn的不同算法即可得出d m关于m，d1，d2的式子；（2）根据分组特点计算c m，利用错位相减法计算S n；（3）把S n，d n代入不等式求出使不等式成立的n的最小值即可得出N的最小值．【解答】解：（1）∵每一行都是首项为1的等差数列，∴a1n=1+（n﹣1）d1，a2n=1+（n﹣1）d2，a3n=1+（n﹣1）d3．∵每一列也是等差数列，∴2a2n=a1n+a3n，∴2+2（n﹣1）d2=1+（n﹣1）d1+1+（n﹣1）d3，即2d2=d1+d3∴d1，d2，d3成等差数列．∵a mn=1+（n﹣1）d m，a mn=a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）=a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）=1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1），∴1+（n﹣1）d m=1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1）化简得d m=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．（2）当d1=1，d2=3时，d m=2m﹣1（m∈N*），按数列{d m}分组规律，第m组中有2m﹣1个数，所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m﹣1）=m2个数．则前m组的所有数字和为，∴，∵c m＞0，∴c m=m，从而，m∈N*，∴S n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，∴2S n=1×22+3×23+…+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣S n=2+23+24+…+2n+1﹣（2n﹣1）×2n+1=2+23（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）×2n+1=（3﹣2n）×2n+1﹣6．∴．（3）由得（2n﹣3）•2n+1＞50（2n﹣1）．令a n=（2n﹣3）•2n+1﹣50（2n﹣1）=（2n﹣3）（2n+1﹣50）﹣100．∴当n≤5时，a n＜0，当n≥6时，a n＞0，所以，满足条件的所有正整数N=5，6，7，8， (20)23．如图，圆O与直线x+y+2=0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y=x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足=x+y，以x，y为坐标的动点D （x，y）的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线l1：y=kx和l2：y=﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值．（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．【考点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．【分析】（1）圆O与直线x+y+2=0相切于点，利用点到直线的距离，即可求出半径，解得圆的方程．根据=x+y和坐标关系带入圆的方程，即可得到曲线Γ的方程；垂直（2）两条直线l1：y=kx和l2：y=﹣x分别交曲线Γ，解出坐标，由题意l1与l2垂直，利用两点之间的距离求出EF，MN长度，即可得到四边形的面积，利用基本不等式即可得到答案．（3）根据（1）中得到的方程，首先考虑奇偶性和x轴，y=x轴的对称，在考虑非常见对称．利用椭圆的定义证明即可．【解答】解：由题意：圆O与直线x+y+2=0相切于点，利用点到直线的距离，即可求出半径，r=∴圆的方程为：x2+y2=1圆与x轴的交点A（1，0），与直线y=x在第一象限的交点B为（，），由=x+y，可得：，将代入x2+y2=1得到：x2+y2+xy=1，（）即为曲线Γ的方程；（2）∵两条直线l1：y=kx和l2：y=﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N．∴联立：⇒解得：点E（，），点F（﹣，﹣）那么：|EF|=同理：联立⇒解得：点M（，）点N（﹣，﹣）那么：|MN|=由题意可知：l1⊥l2，所以四边形EMFN面积的为S=|MN|•|EF|=2×=∵．（当且仅k=±1时等号成立）∴⇒故当k=±1时，四边形EMFN的面积最大，其最大值为：．（3）由（1）可知：曲线Γ的方程：x2+y2+xy=1，（）关于直线y=x，也关于原点对称，同时关于直线y=﹣x对称证明：设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），则有点P关于直线y=x的对称点P′（y0，x0），带入方程得：，显然成立．故曲线Γ的方程关于直线y=x对称．同理：曲线Γ的方程关于原点对称，同时关于直线y=﹣x对称．证明曲线Γ为椭圆型曲线．证明：曲线Γ的方程：x2+y2+xy=1和直线x=y的交点坐标为B1（﹣，﹣），B2（，）曲线Γ的方程：x2+y2+xy=1和直线x=﹣y的交点坐标为A1（﹣1，1），A2（1，﹣1）|0A1|=，|0B1|=，那么，在y=﹣x上取F1（﹣，，），F2（，﹣）设P（x，y）在曲线Γ的方程上的任意一点，则|PF1|+|PF2|======因为xy≤，∴=2=|A1A2|即曲线Γ的方程上的任意一点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2．可以反过来证明：若点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2，可以求得P的轨迹方程，得到为：x2+y2+xy=1故曲线Γ的方程是椭圆，其焦点坐标为F1（﹣，，），F2（，﹣）．2016年10月11日。
上海市杨浦区高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）一、填空题1．函数的定义域是______．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=______．3．计算=______．4．若向量，满足且与的夹角为，则=______．5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为______．6．在的展开式中，常数项是______．（用数字作答）7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是______．8．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为______．9．在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为______．10．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是______．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=______．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有______．（用数字作答）13．若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|18．已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条 D．无数多条三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．21．已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．22．已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．23．已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n∈N*，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．函数的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=2．【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．【分析】由已知得，把x=﹣1，y=2，能求出a的值．【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，∴，把x=﹣1，y=2，代入得﹣a+6=4，解得a=2．故答案为：2．3．计算=．【考点】数列的极限．【分析】将1+2+3+…+n=的形式，在利用洛必达法则，求极限值．【解答】解：原式====故答案为：4．若向量，满足且与的夹角为，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为﹣3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=1﹣2i，∴，，∴==，∴复数的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．6．在的展开式中，常数项是15．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令r﹣6=0，求得r=4，故的展开式中的常数项是5．故答案为：15．7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．【考点】二阶行列式的定义．【分析】由二阶行列式性质得a2+b2﹣c2=ab，由此利用余弦定理求出cosC=，从而能求出角C的大小．【解答】解：∵△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，，∴a2﹣c2=﹣b2+ab，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，∵C是△ABC的内角，∴C=．故答案为：．8．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为7．【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，∴数列{log2a n}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，故答案为：7．9．在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为3．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到点（1，π）的距离，进而得出最大值．【解答】解：曲线C：ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为：（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．点P（1，π）化为直角坐标P（﹣1，0）．∴|CP|=2，∴曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值=2+1=3．故答案为：3．10．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由已知得ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）．【解答】解：由已知得ξ的可能取值为3，4，5，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴E（ξ）==．故答案为：．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x﹣），求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c==，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程，可得x=，可得P（，﹣），由直线OM：y=﹣x和直线y=2（x﹣），可得M（，﹣），即有==．故答案为：．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有54．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可．【解答】解：当甲，乙带不同班时：×=36种；当甲，乙带相同班时，=18种；故共有54中，故答案为：54．13．若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为（6，）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．【解答】解：当x≥时，5x﹣≥0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，∴（4x+）﹣（5x﹣）=m，即﹣x+=m；∴m≤．当0＜x＜时，5x﹣＜0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，∴（4x+）+（5x﹣）=m，即9x+=m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+=m无解；当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；当m=10时，方程9x+=m的解为1，；综上所述，实数m 的取值范围为（6，）．故答案为：（6，）．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几何体体积的2倍．【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2， 现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V 圆柱﹣V 圆锥）=2（π×22×5﹣）=．故答案为：．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（ ）A ．y=2|x|B ．y=lnxC ．D ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可． 【解答】解：A ．函数y=2|x|为偶函数，不满足条件． B ．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件． C.是奇函数，在（0，+∞）上递增，满足条件．D.是奇函数，当0＜x ＜1时函数为减函数，当x ＞1时函数为增函数，不满足条件．故选：C16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”，可得0≤tanα＜，“”；反之不成立，α可能为钝角．【解答】解：“”⇒0≤tanα＜⇒“”；反之不成立，α可能为钝角．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|【考点】基本不等式．【分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，即可判断出真假；B.﹣=﹣，即可判断出真假．C．取x=1，y=2，即可判断出真假；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假．【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴﹣=t2﹣t ﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，正确；B．∵＞，∴﹣=﹣≤0，∴≤，正确．C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+=1﹣1=0＜2，因此不正确；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确．故选：C．18．已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条 D．无数多条【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．若平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足条件．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足条件，即可判断出结论．【解答】解：如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．因此满足条件的直线有无数条．故选：D．三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC⊥平面ACC1A1，进一步得到BC⊥DC1；（2）利用等积法，把三棱锥C﹣BDC1的体积转化为三棱锥B﹣CDC1的体积求解．【解答】（1）证明：如图，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥底面ABC，又CC1⊂面ACC1A1，∴面ACC1A1⊥底面ABC，而面ACC1A1∩底面ABC=AC，由△ABC为Rt△，且AC=BC，得BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥DC1；（2）解：由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，∵，∴AA1=2，则∴=．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．再利用三角形面积计算公式即可得出．（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．所以，S==100（sinθcosθ+sin2θ），θ∈∪．（2）S=100（sinθcosθ+sin2θ）=50（2sinθcosθ+2sin2θ）=50（sin2θ﹣cos2θ+1）=，所以S的最大值为：50+50，θ=．21．已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；反函数．【分析】（1）由得f（﹣x）=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，从而可得当a=时函数为偶函数；（2）可判断与f﹣1（x）都是增函数，从而可得f（1）+f﹣1（1）=1+log23，从而解出a．【解答】解：（1）∵，∴f（﹣x）=﹣ax+log2（2﹣x+1）=﹣ax+log2（2x+1）﹣log22x=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，∴f（﹣x）=f（x），即﹣ax﹣x=ax，故a=；此时函数为偶函数，若a≠﹣，函数为非奇非偶函数；（2）∵a＞0，∴单调递增，又∵函数f（x）的反函数为f﹣1（x），∴f﹣1（x）单调递增；∴f（1）+f﹣1（1）=1+log23，即a+log23+f﹣1（1）=1+log23，故f﹣1（1）=1﹣a，即a（1﹣a）+log2（2a﹣1+1）=1，解得，a=1；故f（2）=2+log25．22．已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的焦距为，右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），设M（x m，y m），求出，=﹣，由点M在椭圆C上，能求出直线l的方程．（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．【解答】解：（1）∵椭圆C：的焦距为，∴c=，∵右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=，解得b=1，∴a2=b2+c2=4，∴椭圆C的方程为．（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），其中y1，y2满足：，y1+y2=0，设M（x m，y m），∵（其中O为坐标原点），∴，=﹣，∵点M在椭圆C上，∴，∴49t2+4﹣t2=100，∴t=，∴直线l的方程为x=或x=﹣．证明：（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，∵直线PQ具有性质H，∴在椭圆C上存在点M，使得：，设M（x m，y m），则，y m=，∵点M在椭圆上，∴+（）2=1，又∵，，∴=0，①同理：=0，②，，③1）若x1，x2，x3中至少一个为0，不妨设x1=0，则y1≠0，由①③得y2=y3=0，即Q，R为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾．2）若x1，x2，x3均不为0，则由①②③得=﹣＞0，矛盾．∵在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．23．已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n∈N*，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）化简可得，从而写出，即；（2）当λ=2时，a n=n2+n，从而求得b n=2n，从而求等比数列前n项和．（3）仿照（2）可得，b n=2n+r﹣2，从而化简c n=2﹣r﹣2n﹣（），从而分类讨论以确定λ的值．【解答】解：（1）证明：∵，两边除以n（n+1）得，，即，故数列为等差数列，故，故；（2）当λ=2时，a n=n2+n，∵，∴b1==2，b n+1===2n+1，综上所述，b n=2n，S n==2n+1﹣2；（3）仿照（2）可得，，b n=2n+r﹣2，c n==﹣=2﹣r﹣2n﹣（），∵对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立，∴当n＞4时，c n≤0；若λ=1，则c n=1﹣2n﹣，c5=﹣＞0，故T5＞T4，故不成立；若λ=2，则c n=﹣2n﹣，故c1=﹣=0，c2=﹣，c3=﹣＞0，c4=﹣＞0，c5=﹣＜0，且当n≥5时，2n＞n2+n，故成立；若λ=3，则c n=﹣，故c1=﹣＞0，c2=﹣＞0，c3=﹣＞0，c4=﹣＞0，故且当n≥5时，•2n＞n2+2n，故成立；若λ≥4，则c n=﹣，c4=﹣，令f（r）=16﹣16﹣4（r﹣1），则f′（r）=16•ln•﹣4=4（ln4•﹣1）＞0，故f（r）在[4，+∞）上是增函数，故f（4）=16×2﹣16﹣4×3＞0，故c4＜0，故T3＞T4，故不成立；综上所述，λ的值为2或3．2016年9月20日。
上海高三数学一模汇总(杨浦、青浦)
杨浦区2016学年度第一学期期末高三年级质量调研数学学科试卷考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1、 若“a b >”，则“33a b >”是________命题．（填：真、假）2、 已知(0]A =-∞,，()B a =+∞,，若A B =R ，则a 的取值范围是________．3、 294z z i +=+（i 为虚数单位），则||z =________．4、 若ABC △中，4a b +=，30C ∠=︒，则ABC △面积的最大值是_________．5、 若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-，则a =________． 6、 过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60︒，则该截面的面积是__________．7、 抛掷一枚均匀的骰子（刻有1、2、3、4、5、6）三次，得到的数字依次记作a 、b 、c ，则a bi +（i 为虚数单位）是方程220x x c -+=的根的概率是___________．8、 设常数0a >，9(x展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_______．9、 已知直线l 经过点(0)且方向向量为(21)-,，则原点O 到直线l 的距离为__________．10、 若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为_________．11、 平面直角坐标系中，给出点(1,0)A ，(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是___________．12、 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x 满足120n x x x ≤<<<，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12016n n f x f x -+-=，则n n x +最小值为__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13、若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的()(A) 充分但非必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充要条件(D) 既非充分也非必要条件14、行列式147258369中，元素7的代数余子式的值为()(A) 15-(B) 3-(C) 3(D) 1215、一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两位员工数据不清楚。
2016-2017学年上海市杨浦高中高三(下)开学数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市杨浦高中高三（下）开学数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．（5分）复数i（1+i）（i为虚数单位）的实部为．2．（5分）设全集U＝R，集合，则（∁U A）∩B＝．3．（5分）设S n公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于．4．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．5．（5分）一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高．现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为cm．6．（5分）双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝．7．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．8．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面的面积中最大值是．9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则其所有的对称中心的坐标为．10．（5分）实数x、y满足，若z＝ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）＝，若对于正数k n（n∈N*），直线y ＝k n•x与函数y＝f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，则（k12+k22+…+k n2）＝．12．（5分）若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+4）≤f（x）+4和f （x+2）≥f（x）+2且f（1）＝4，则f（2017）的值为．二、选择题：13．（5分）直线l的方程为，则直线l的一个法向量是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）14．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊆平面β，给出下列命题，其中正确的是（）①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥βA．②④B．②③④C．①③D．①②③15．（5分）数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝r•a n+r（n∈N*，r∈R且r≠0），则“r＝1”是“数列{a n}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）如图，正方形ABCD内接于圆O：x2+y2＝2，M，N分别为边AB，BC的中点，已知点P（2，0），当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．C．[﹣2，2]D．三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，P是棱CD上一点，AB＝2，AD＝，AA1＝3，CP＝3，PD＝1．（1）求异面直线A1P与BC1所成的角；（2）求证：PB⊥平面BCC1B1．18．（12分）已知函数．（1）求证：f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（2）设函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f（x）是奇函数，若方程f﹣1（x）＝log2（x+t）有实数根，求实数t的取值范围．19．（12分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC＝π，∠ACD＝，路宽AD＝24米．设∠BAC＝θ（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）20．（12分）已知动点P到直线l1：x＝﹣2的距离与到点F（﹣1，0）的距离之比为．（1）求动点P的轨迹Γ；（2）直线l与曲线Γ交于不同的两点A，B（A，B在x轴的上方）∠OF A+∠OFB＝180°：①当A为椭圆与y轴的正半轴的交点时，求直线l的方程；②对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OF A如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）定义：对于任意n∈N*，满足条件且a n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列{a n}称为M数列．（1）若等差数列{b n}的前n项和为S n，且b2＝﹣3，S5＝﹣25，判断数列{b n}是否是M 数列，并说明理由；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为T n，且，证明：数列{T n}是M数列，并指出M的取值范围；（3）设数列，问数列{d n}是否是M数列？请说明理由．2016-2017学年上海市杨浦高中高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．【解答】解：i（1+i）＝﹣1+i，则复数i（1+i）的实部为：﹣1．故答案为：﹣1．2．【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴∁U A＝{x|x≤0}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣1＜x≤0}．故答案为：{x|﹣1＜x≤0}．3．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S1，S2，S4成等比数列，得，即，解得，因为d≠0，所以d＝2a1．所以＝．故答案为3．4．【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（x）6﹣r•（﹣）r＝（﹣）r ••x6﹣2r，令6﹣2r＝2，解得r＝2，∴展开式中x2的系数为×＝，故答案为：．5．【解答】解：由题意可知球的体积为：＝（cm2）．圆柱的体积为：102π×10＝1000πcm2．所以容器中水的体积为：1000π﹣＝（cm2），所以球取出后，容器中水面的高度为h，，解得h＝cm．故答案为：．6．【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y＝±x，即a＝b，∵正方形OABC的边长为2，∴OB＝2，即c＝2，则a2+b2＝c2＝8，即2a2＝8，则a2＝4，a＝2．故答案为：2．7．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P＝，故答案为：．8．【解答】解：由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝4、AD＝2，面PDC是等腰三角形，PD＝PC＝3，则△PDC的高为＝，所以△PDC的面积为：×4×＝2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD＝E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△P AD、△PBC的面积都为：×2×3＝3，侧面△P AB的面积为：×4×＝6，所以四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大是：6，故答案为6．9．【解答】解：由题意可得T＝x0+﹣x0＝，即T＝π，∴ω＝＝2，∵函数f（x）过点（0，），∴＝2sinφ，即sinφ＝，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+），令2x+＝kπ，k∈Z，∴x＝﹣，k∈Z，∴所有的对称中心的坐标为（﹣，0），k∈Z，故答案为：（﹣，0），k∈Z，10．【解答】解：由z＝ax+y得y＝﹣ax+z，直线y＝﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z＝ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a＝0，则y＝z，此时z＝ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k＝﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC＝﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k＝﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤k BA＝1∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]．11．【解答】解：∵当0≤x＜2时，f（x）＝，当2≤x＜4时，0≤x﹣2＜2，∴f（x﹣2）＝＝，当4≤x＜6时，0≤x﹣4＜6，∴f（x﹣4）＝＝，以此类推…，∴函数f（x）的图象如图所示：当n＝1时，y＝k1x与函数y＝f（x）的图象恰有3个不同交点，此时，y＝k1x与第一个半圆相交与第二个半圆相切，当n＝2时，y＝k2x与函数y＝f（x）的图象恰有5个不同交点，此时，y＝k2x与前两个半圆相交与第三个半圆相切，…，当n＝n时，直线y＝k n•x与函数y＝f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，此时，y＝k n x与前n个半圆相交与第n+1个半圆相切，于是有；⇒（+1）﹣2（2n+1）x+（2n+1）2﹣1＝0⇒△＝＝0，解得：＝＝（），∴+++…+＝（1﹣+﹣+…+）＝（1﹣），则（k 12+k22+…+k n2）＝（1﹣）＝．12．【解答】解：∵f（x+2）≥f（x）+2∴f（x+4）≥f（x+2）+2≥f（x）+4而f（x+4）≤f（x）+4∴f（x+4）＝f（x）+4∴f（2017）＝f（2013）+4＝…＝f（1）+4×504而f（1）＝4则f（2009）＝4+4×504＝2020，故答案为2020．二、选择题：13．【解答】解：直线l的方程为，化为：2x+4y﹣7＝0，k＝﹣2．设直线l的一个法向量为＝（m，n），则×（﹣2）＝﹣1，可得：m＝2n．则直线l的一个法向量是（1，2）．故选：A．14．【解答】解：若α∥β，l⊥平面α，可得l⊥β，又由m⊆平面β，故l⊥m，故①正确；若α⊥β，l⊥平面α，可得l∥β或l⊂β，又由m⊆平面β，此时l与m的关系不确定，故②错误；若l∥m，l⊥平面α，可得m⊥平面α，又由m⊆平面β，可得α⊥β，故③正确；若l⊥m，l⊥平面α，则m∥平面α，或m⊂平面α，又由m⊆平面β，此时α与β的关系不确定，故④错误；故四个命题中，①③正确；故选：C．15．【解答】解：当r＝1时，等式a n+1＝r•a n+r化为a n+1＝a n+1，即a n+1﹣a n＝1（n∈N*）．所以，数列{a n}是首项a1＝1，公差为1的等差数列；“r＝1”是“数列{a n}成等差数列”的充分条件；当r不等于1时，由，得：，所以，数列{}是首项为，公比为r的等比数列所以，，．当r＝时，a n＝1．{a n}是首项为1，公差为0的等差数列．因此，“r＝1”不是“数列{a n}成等差数列”的必要条件．综上可知，“r＝1”是“数列{a n}成等差数列”的充分但不必要条件．故选：A．16．【解答】解：圆O的半径r＝，∴正方形的边长为1，∴OM＝ON＝1，设M（cosα，sinα），则N（cos（），sin（）），即N（﹣sinα，cosα），∴＝（cosα﹣2，sinα），＝（﹣sinα，cosα），∴＝2sinα﹣sinαcosα+sinαcosα＝2sinα，∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣2≤2sinα≤2，故选：C．三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．【解答】解：（1）以D原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，P（0，1，0），B，C 1（0，4，3）．＝，，＝＝．∴异面直线A1P与BC1所成的角的大小等于．（2）过B作BM⊥CD交CD于M，在Rt△BMC中，BM＝，MC＝2，则BC＝，∵PC1＝＝3，，PB＝，∵，∴PB⊥BC1．∵B1B⊥平面ABCD，∴B1B⊥PB．又B1B∩BC＝B，∴PB⊥平面BCC1B1．18．【解答】（1）证明：∵f′（x）＝＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（2）解：∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝a﹣＝0，∴a＝1，由f（x）＝1﹣得f﹣1（x）＝log2（﹣1＜x＜1），∵方程f﹣1（x）＝log2（x+t）有实数根，∴＝x+t（﹣1＜x＜1），∴t＝（1﹣x）+﹣2≥2﹣2，当且仅当x＝1﹣时取等号，∴t的取值范围是[2﹣2，+∞）．19．【解答】解：（1）在△ACD中，，由，得，在△ABC中，，由，得．（2）△ABC中，由，得，∴＝，∵，∴，∴当时，AB+BC取得最小值．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米．20．【解答】解：（1）设P（x，y），则＝，整理得：，∴动点P的轨迹Γ；（2）①A（0，1），F（﹣1，0），则k AF＝1，k BF＝﹣1，直线BF：y＝﹣x﹣1，，整理得：3x2+4x＝0，解得：x＝0，x＝﹣，代入y＝﹣x﹣1，解得：（舍），，则B（﹣，），k AB＝＝，直线AB：y＝x+1，②设方法一：A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程：y＝kx+b，则，（k2+）x2+2kbx+b2﹣1＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝﹣，x1x2＝，由∠OF A+∠OFB＝180°，则k AF+k BF＝+＝+＝＝0，则2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b＝2k×﹣（k+b）×+2b＝0，则b﹣2k＝0，∴直线AB方程：y＝k（x+2），直线l总经过点M（﹣2，0）．解法二：由于OF A+∠OFB＝180°，则B关于x轴的对称点B1在直线AF上，设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2）设直线AF方程：y＝k（x+1），代入；得：（k2+）x2+2kx+k2﹣1＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝﹣，x1x2＝，则k AB＝，AB的方程为：y﹣y1＝（x﹣x1），令y＝0，得：x＝x1﹣y1×＝，y1＝k（x1+1），﹣y2＝k（x2+1），x＝＝＝2，∴直线l总经过定点M（﹣2，0）．21．【解答】解：证明：（1）设等差数列{b n}公差为d，由等差数列性质可知：S5＝5b3，则b3＝﹣5．则d＝b3﹣b2＝﹣2，则等差数列{b n}的通项公式b n＝b3+（n﹣3）＝﹣2n+1，由＝＝﹣2n﹣1＝b n+1，且b n≤b1＝﹣1，数列{b n}是否是M数列；证明：（2）由数列{c n}为各项都为正数的等比数列，公式q＞0，将c3＝代入T3＝++c3＝，整理得：6q2﹣q﹣1＝0，解得：q＝，则＝2﹣﹣＝2﹣＜2﹣＝2﹣＝T n+1，且T n＜2，则T n＝2，数列{T n}是M数列，且M≥2．∴M的取值范围[2，+∞）；（3）若数列{d n}是否是M数列，则d n+d n+2﹣2d n+1≤0，n∈N*，成立，即丨﹣1丨+丨﹣1丨﹣2丨﹣1丨≤0，n∈N*，成立，②成立，先考虑n＝1时，由②可知：（p﹣1）+丨﹣1丨﹣2丨﹣1丨≤0，由p＞1，则（p﹣1）+（1﹣）+2（1﹣）≤0成立，解得：1＜p≤，当n≥2时，则丨﹣1丨+丨﹣1丨﹣2丨﹣1丨＝（1﹣）+（1﹣）﹣（1﹣）＝p×＜0，故n∈N*，成立，②恒成立，同时，d n＝丨﹣1丨≤1，则数列{d n}是否是M数列，当2＜p≤3时，（p﹣1）+（1﹣）﹣2（﹣1）≤0，此时p不存在，故n＝1时，②不成立，当p＞3时，则（p﹣1）+（﹣1）﹣2（﹣1）≤0，此时p不存在，故n＝1时，②不成立，综上可知当1＜p≤，数列{d n}是M数列，当p＞，数列{d n}不是M数列．。
上海市杨浦区控江中学2016届高考数学模拟试卷(理科)(5月份) Word版含解析
2016年上海市杨浦区控江中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一.填空题（每小题4分，共56分）.1．集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x2＜1}，则A∪B等于．2．函数y=的定义域是．3．已知函数f（x）=，则f﹣1（1）=．4．若复数+b（b∈R）所对应的点在直线x+y=1上，则b的值为．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．6．已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则=．7．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为．8．对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为．若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD．若PA=a，则直线PB与平面PCD所成的角的大小为．10．在极坐标系中，曲线ρ=4cos（θ﹣）与直线ρcosθ=2的两个交点之间的距离为．11．某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是．12．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为．13．函数f（x）=2x+sin2x﹣1图象的对称中心是．14．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是．二.选择题（每小题5分，共20分）.15．下列函数中，与函数y=x3的值域相同的函数为（）A．y=（）x+1B．y=ln（x+1）C．y=D．y=x+16．一无穷等比数列{a n}各项的和为，第二项为，则该数列的公比为（）A．B．C．D．或17．角α终边上有一点（﹣1，2），则下列各点中在角3α的终边上的点是（）A．（﹣11，2）B．（﹣2，11）C．（11，﹣2）D．（2，﹣11）18．已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中（）A．存在某个位置，使得直线AB和直线CD垂直B．存在某个位置，使得直线AC和直线BD垂直C．存在某个位置，使得直线AD和直线BC垂直D．无论翻折到什么位置，以上三组直线均不垂直三.解答题（五题分别为12，14，14，16，18分，共74分）.19．已知复数﹣1+3i、cosα+isinα（0＜α＜，i是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A、B，点O是坐标原点．（1）若OA⊥OB，求tanα的值；（2）若B点的横坐标为，求S△AOB．20．某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）．21．已知f （x ）=x n +x n ﹣1+…+x ﹣1，x ∈（0，+∞）．n 是不小于2的固定正整数．（1）当n=2时，若不等式f （x ）≤kx 对一切x ∈（0，1]恒成立，求实数k 的取值范围；（2）试判断函数f （x ）在（，1）内零点的个数，并说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C （0，c ）任作一直线，与抛物线y=x 2相交于A ，B 两点，一条垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线l ：y=﹣c 交于点P ，Q ．（1）若•=2，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：直线QA 与该抛物线有且仅有一个公共点．（3）若直线QA 的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P 是否一定为线段AB 的中点？说明理由．23．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n =|a n ﹣1﹣a n ﹣2|，n=3，4，5，…，则称{a n }为“D ﹣数列”．（1）举出一个前六项均不为零的“D ﹣数列”（只要求依次写出该数列的前六项）；（2）若“D ﹣数列”{a n }中，a 2015=3，a 2016=0，数列{b n }满足b n =a n +a n+1+a n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n →∞时，a n 与b n 的极限是否存在？如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；（3）证明：任何“D ﹣数列”中总含有无穷多个为零的项．2016年上海市杨浦区控江中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一.填空题（每小题4分，共56分）.1．集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x2＜1}，则A∪B等于（﹣1，2）．【考点】并集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∪B即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}=（0，2）；B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）；所以A∪B=（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．2．函数y=的定义域是（﹣∞，0]．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解指数不等式得答案．【解答】解：由，得，∴2x≤0，即x≤0．∴函数y=的定义域是：（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．3．已知函数f（x）=，则f﹣1（1）=1．【考点】反函数；二阶矩阵．【分析】本题由矩阵得到f（x）的表达式，再由反函数的知识算出．【解答】解：由f（x）==2x﹣1，由反函数的性质知2x﹣1=1，解得x=1所以f﹣1（1）=1．故答案为：1．4．若复数+b（b∈R）所对应的点在直线x+y=1上，则b的值为0．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数+b=+b=+b=b+i所对应的点（b，1）在直线x+y=1上，∴b+1=1，解得b=0．故答案为：0．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为\frac{1}{3}．【考点】等比数列的性质．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为6．已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则=\frac{2}{3}．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】变形已知式子可得，即，问题得以解决．【解答】解：∵=+，∴，∴，∴∴=．故答案为：．7．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到x的取值范围．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．8．对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为．若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为\frac{1}{2}．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），得出直线l的方程，联立方程组得出根与系数的关系，利用弦长公式列方程解出p．则焦点到顶点的距离为．【解答】解：不妨设抛物线方程为y2=2px（p＞0），则抛物线的焦点F（，0），则直线l的方程为y=x﹣．联立方程组，消元得y2﹣2py﹣p2=0．∴y1+y2=2p，y1y2=﹣p2．∴直线l被抛物线解得弦长为=4．∴=4，解得p=1．∴F（，0）．即抛物线C的焦点到顶点的距离为．故答案为：．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD．若PA=a，则直线PB与平面PCD所成的角的大小为\frac{π}{6}．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出B到平面PCD的距离，即可求出直线PB与平面PCD所成的角大小．【解答】解：设B到平面PCD的距离为h，直线PB与平面PCD所成的角为α，由等体积可得••a•a•h=••a•a•a，∴h=a，∵PB=a，∴sinα=，∴α=．故答案为：．10．在极坐标系中，曲线ρ=4cos（θ﹣）与直线ρcosθ=2的两个交点之间的距离为2\sqrt{3}．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把所给的直线和曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线方程代入曲线方程，求得交点的坐标，可得弦长【解答】解：曲线ρ=4cos（θ﹣）即ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+=4，表示以（1，）为圆心，半径等于2的圆．直线ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2，把x=2代入圆的方程可得y=0，或y=2，故弦长为2，故答案为：．11．某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是\frac{4}{9}．【考点】等可能事件的概率．【分析】设“这3个专业都有学生选择”为事件A，首先计算4名学生选择3个专业，可能出现的结果数目，注意是分步问题，再由排列、组合计算这3个专业都有学生选择的可能出现的结果数，结合等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：设“这3个专业都有学生选择”为事件A，由题知，4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，可能出现的结果共有34=81种结果，且这些结果出现的可能性相等，3个专业都有学生选择的可能出现的结果数为C42A33=36，则事件A的概率为，故答案为：．12．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为4x±3y=0．【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F2点作F2Q⊥PF1于Q点，得△PF1F2中，PF2=F1F2=2c，高F2Q=2a，PQ=PF1=c+a，利用勾股定理列式，解之得a与c的比值，从而得到的值，得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵PF2=F1F2=2c，∴根据双曲线的定义，得PF1=PF2+2a=2c+2a过F2点作F2Q⊥PF1于Q点，则F2Q=2a，等腰△PF1F2中，PQ=PF1=c+a，∴=PQ2+，即（2c）2=（c+a）2+（2a）2，解之得a=c，可得b== c∴=，得该双曲线的渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故答案为：4x±3y=013．函数f（x）=2x+sin2x﹣1图象的对称中心是（0，﹣1）．【考点】函数的图象．【分析】先研究函数g（x）=2x+sin2x的对称性，在研究函数f（x）与函数g（x）图象间的关系，最后由g（x）的对称中心推出f（x）的对称中心．【解答】解：设g（x）=2x+sin2x，则g（﹣x）=﹣2x+sin（﹣2x）=﹣2x﹣sin2x=﹣（2x+sin2x）=﹣g（x）∴g（x）为奇函数，其对称中心为（0，0）∵f（x）=g（x）﹣1∴函数f（x）的图象是由函数g（x）的图象再向下平移1个单位得到的，故f（x）的对称中心为（0，﹣1）故答案为：（0，﹣1）．14．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是\frac{2\sqrt{21}}{3}．【考点】两点间的距离公式．【分析】过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．【解答】解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：二.选择题（每小题5分，共20分）.15．下列函数中，与函数y=x3的值域相同的函数为（）A．y=（）x+1B．y=ln（x+1）C．y=D．y=x+【考点】函数的值域．【分析】知道已知函数的值域是R，再观察四个选项的y的取值情况，从而找出正确答案．【解答】解：∵函数y=x3的值域为实数集R，又选项A中y＞0，选项B中y取全体实数，选项C中的y≠1，选项D中y≠0，故选B．16．一无穷等比数列{a n}各项的和为，第二项为，则该数列的公比为（）A．B．C．D．或【考点】等比数列的性质．【分析】设无穷等比数列{a n}的公比为q，由题意可得，联立消去a1解方程可得．【解答】解：设无穷等比数列{a n}的公比为q，则，联立消去a1可得，整理可得9q2﹣9q+2=0，分解因式可得（3q﹣2）（3q﹣1）=0，解得q=或q=故选：D17．角α终边上有一点（﹣1，2），则下列各点中在角3α的终边上的点是（）A．（﹣11，2）B．（﹣2，11）C．（11，﹣2）D．（2，﹣11）【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα的值，再利用3倍角公式求得tan3α的值，从而得出结论．【解答】解：∵角α终边上有一点（﹣1，2），由三角函数的定义可知：sinα=，cosα=，∴sin3α=3sinα﹣4sin3α=，cos3α=4cos3α﹣3cosα=，∴tan3α==，故点（11，﹣2）在角3α的终边上，故选：C．18．已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中（）A．存在某个位置，使得直线AB和直线CD垂直B．存在某个位置，使得直线AC和直线BD垂直C．存在某个位置，使得直线AD和直线BC垂直D．无论翻折到什么位置，以上三组直线均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】假设各选项成立，根据线面位置关系推导结论，若得出矛盾式子，则假设错误，得出正确选项．【解答】解：对于A，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，∵CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，过点A作平面BCD的垂线AE，则E在BC上，∴当A在平面BCD上的射影在BC上时，AB⊥CD．故A正确；对于B，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，作AF⊥BD，则BD⊥平面AFC，∴BD⊥EC，显然这是不可能的，故B错误；对于C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，BC⊥AC，∴AB＞BC，即1＞2，显然这是不可能的，故C错误．故选：A．三.解答题（五题分别为12，14，14，16，18分，共74分）.19．已知复数﹣1+3i、cosα+isinα（0＜α＜，i是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A、B，点O是坐标原点．（1）若OA⊥OB，求tanα的值；（2）若B点的横坐标为，求S△AOB．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由已知得到A，B的坐标，进一步求得的坐标，由OA⊥OB得，代入坐标后整理可得tanα的值；（2）由已知求出|OA|，|OB|，由两角差的正弦求得sin∠AOB，代入三角形的面积公式得答案．【解答】解：（1）由题可知：A（﹣1，3），B（cosα，sinα），∴，由OA⊥OB，得，∴﹣cosα+3sinα=0，∴；（2）由（1），记∠AOx=β，，∴，，∵|OB|=1，，得，sin∠AOB=sin（β﹣α）=．∴S△AOB==．20．某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）求出半球与圆柱的面积，得出y关于r的函数；（2）令y≤80，解出r的最大值，从而得出体积V的最大值．【解答】解：（1）半球的表面积，圆柱的表面积S2=2πr•l．于是．定义域为．（2）16πr2+2πr≤80，即，解得．，经计算得V≈22.7（立方米）．故r的最大值为1.2（米），此时储油罐的体积约为22.7立方米．21．已知f（x）=x n+x n﹣1+…+x﹣1，x∈（0，+∞）．n是不小于2的固定正整数．（1）当n=2时，若不等式f（x）≤kx对一切x∈（0，1]恒成立，求实数k的取值范围；（2）试判断函数f（x）在（，1）内零点的个数，并说明理由．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）代入得表达式．只需求出左式的最大值即可；（2）先求出端点值f（）＜0，f（1）＞0，判断存在零点，根据函数在区间内递增，故仅有一个零点．【解答】解：（1）n=2时，f（x）=x2+x﹣1，﹣﹣f（x）≤kx即．﹣在（0，1]上递增，﹣﹣故即要求，即k≥1．﹣（2）．﹣f（1）=n﹣1＞0．﹣故f（x）在上有零点．﹣又f（x）在上增，故零点不会超过一个．﹣所以f（x）在上有且仅有一个零点．﹣（722．如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=﹣c交于点P，Q．（1）若•=2，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点．（3）若直线QA的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P是否一定为线段AB 的中点？说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出直线AB：y=kx+c，代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得c的值；（2）运用中点坐标公式可得Q的坐标，运用两点的斜率公式，可得QA的斜率，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率，即可得证；（3）设A（t，t2），这里x A=t≠0，由（2）知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2．求得Q的横坐标，P的横坐标，求得AC的方程，联立抛物线的方程，求得B的横坐标，运用中点坐标公式，即可判断P为线段AB的中点．【解答】解：（1）设直线AB：y=kx+c，与y=x2联立，得x2﹣kx﹣c=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=﹣c，从而y1y2=x12x22=c2，由•=2，可得c 2﹣c=2得c=2或﹣1（舍去），得c=2；（2）证明：由（1）可得，故直线PQ ：x=，可得．设，k QA ==，由（1）可得x 1x 2=﹣c ，即有x 2=﹣，可得k QA ==2x 1，由y=x 2的导数为y ′=2x ，可得过A 的切线的斜率为2x 1，故直线QA 与该抛物线有且仅有一个公共点；（3）设A （t ，t 2），这里x A =t ≠0，由（2）知过A 的与y=x 2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx ﹣t 2．与y=﹣c 相交，得．故，，所以．与y=x 2联立，得x 2﹣（t ﹣）x ﹣c=0，即，故．这样，即P 是AB 的中点．23．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n =|a n ﹣1﹣a n ﹣2|，n=3，4，5，…，则称{a n }为“D ﹣数列”．（1）举出一个前六项均不为零的“D ﹣数列”（只要求依次写出该数列的前六项）； （2）若“D ﹣数列”{a n }中，a 2015=3，a 2016=0，数列{b n }满足b n =a n +a n+1+a n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n →∞时，a n 与b n 的极限是否存在？如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；（3）证明：任何“D ﹣数列”中总含有无穷多个为零的项．【考点】数列的极限．【分析】（1）由新定义，比如如10，9，1，8，7，1；（2）{a n}的极限不存在，{b n}的极限存在．运用分段形式写出a n与b n的通项公式，即可得到结论；（3）运用反证法证明．假设{a n}中只有有限个零，则存在K，使得当n≥K时，a n＞0．运用推理论证得到{b n}单调，即可证明．【解答】解：（1）如10，9，1，8，7，1等等．（2）{a n}的极限不存在，{b n}的极限存在．事实上，因为|3﹣0|=3，|0﹣3|=3，|3﹣3|=0，当n≥2015时，a n=，k∈Z，因此当n≥2015时，b n=6．所以b n=6．（3）证明：假设{a n}中只有有限个零，则存在K，使得当n≥K时，a n＞0．当n≥K时，记b n=max{a n，a n+1}．于是a n+1≤b n，a n+2=|a n﹣a n+1|＜max{a n，a n+1}＜b n，故b n+1≤b n，而a n+3=|a n+2﹣a n+1|＜max{a n+2，a n+1}≤b n+1≤b n，从而b n+2＜b n．这样b K＞b K+2＞b K+4＞…形成了一列严格递减的无穷正整数数列，这不可能，故假设不成立，{a n}中必有无限个0．2016年7月14日。
2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷(理科)含详解
2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）一、填空题1．（5分）函数f（x）=的定义域是．2．（5分）已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=．3．（5分）计算=．4．（5分）若向量，满足且与的夹角为，则=．5．（5分）若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为．6．（5分）在的展开式中，常数项是．（用数字作答）7．（5分）已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．8．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为．9．（5分）在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为．10．（5分）袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=．12．（5分）现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有．（用数字作答）13．（5分）若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为．14．（5分）课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．二、选择题15．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．16．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件17．（5分）设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|18．（5分）已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条D．无数多条三、解答题19．（12分）如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．20．（12分）某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），∠AOP=∠BOP=，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．21．（12分）已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．22．（12分）已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP 都具有性质H．23．（12分）已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n∈N*，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）函数f（x）=的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11：计算题．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．【点评】本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．2．（5分）已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=2．【考点】OR：线性方程组解的存在性，唯一性．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】由已知得，把x=﹣1，y=2，能求出a的值．【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，∴，把x=﹣1，y=2，代入得﹣a+6=4，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．3．（5分）计算=．【考点】8J：数列的极限．【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】将1+2+3+…+n=的形式，在利用洛必达法则，求极限值．【解答】解：原式====故答案为：【点评】本题考查等差数列求前n项和的公式，再求数列极限，属于基础题．4．（5分）若向量，满足且与的夹角为，则=．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：【点评】本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．5．（5分）若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为﹣3．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=1﹣2i，∴，，∴==，∴复数的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6．（5分）在的展开式中，常数项是15．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）r•，+1令r﹣6=0，求得r=4，故的展开式中的常数项是5．故答案为：15．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．7．（5分）已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】由二阶行列式性质得a2+b2﹣c2=ab，由此利用余弦定理求出cosC=，从而能求出角C的大小．【解答】解：∵△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，，∴a2﹣c2=﹣b2+ab，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，∵C是△ABC的内角，∴C=．故答案为：．【点评】本题考查角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意行列式性质及余弦定理的合理运用．8．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为7．【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，∴数列{log2a n}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，故答案为：7．【点评】本题考查了指数与对数的运算性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为3．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到点（1，π）的距离，进而得出最大值．【解答】解：曲线C：ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为：（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．点P（1，π）化为直角坐标P（﹣1，0）．∴|CP|=2，∴曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值=2+1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】由已知得ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）．【解答】解：由已知得ξ的可能取值为3，4，5，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴E（ξ）==．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x﹣），求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c==，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程，可得x=，可得P（，﹣），由直线OM：y=﹣x和直线y=2（x﹣），可得M（，﹣），即有==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和双曲线的方程的运用，考查向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有54．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】38：对应思想；4C：分类法；5O：排列组合．【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可．【解答】解：当甲，乙带不同班时：×=36种；当甲，乙带相同班时，=18种；故共有54中，故答案为：54．【点评】考查了分类原理和排列组合的计算，属于基础题型，应熟练掌握．13．（5分）若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为（6，）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．【解答】解：当x≥时，5x﹣≥0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，∴（4x+）﹣（5x﹣）=m，即﹣x+=m；∴m≤．当0＜x＜时，5x﹣＜0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，∴（4x+）+（5x﹣）=m，即9x+=m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+=m无解；当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；当m=10时，方程9x+=m的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为（6，）．故答案为：（6，）．【点评】本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．14．（5分）课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几何体体积的2倍．【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查了对祖暅原理的理解，属于中档题．二、选择题15．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】36：整体思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．函数y=2|x|为偶函数，不满足条件．B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．C.是奇函数，在（0，+∞）上递增，满足条件．D.是奇函数，当0＜x＜1时函数为减函数，当x＞1时函数为增函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．16．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；5B：直线与圆；5L：简易逻辑．【分析】“”，可得0≤tanα＜，“”；反之不成立，α可能为钝角．【解答】解：“”⇒0≤tanα＜⇒“”；反之不成立，α可能为钝角．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，即可判断出真假；B.﹣=﹣，即可判断出真假．C．取x=1，y=2，即可判断出真假；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假．【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，正确；B．∵﹣＞，∴﹣=﹣≤0，∴≤，正确．C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+=1﹣1=0＜2，因此不正确；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质、分母有理化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（5分）已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条D．无数多条【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．若平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足条件．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足条件，即可判断出结论．【解答】解：如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．因此满足条件的直线有无数条．故选：D．【点评】本题考查了空间位置关系、线线线面平行的判定与性质定理、旋转法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题19．（12分）如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】15：综合题；35：转化思想；45：等体积法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC ⊥平面ACC1A1，进一步得到BC⊥DC1；（2）利用等积法，把三棱锥C﹣BDC1的体积转化为三棱锥B﹣CDC1的体积求解．【解答】（1）证明：如图，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥底面ABC，又CC1⊂面ACC1A1，∴面ACC1A1⊥底面ABC，而面ACC1A1∩底面ABC=AC，由△ABC为Rt△，且AC=BC，得BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥DC1；（2）解：由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，∵，∴AA1=2，则∴=．【点评】本题考查面面垂直与线面垂直的性质，考查了棱锥体积的求法，训练了等积法，是中档题．20．（12分）某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），∠AOP=∠BOP=，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】31：数形结合；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．再利用三角形面积计算公式即可得出．（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．所以，S==100（sinθcosθ+sin2θ），θ∈∪．（2）S=100（sinθcosθ+sin2θ）=50（2sinθcosθ+2sin2θ）=50（sin2θ﹣cos2θ+1）=，所以S的最大值为：50+50，θ=．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；4R：反函数．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由得f（﹣x）=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，从而可得当a=时函数为偶函数；（2）可判断与f﹣1（x）都是增函数，从而可得f（1）+f﹣1（1）=1+log23，从而解出a．【解答】解：（1）∵，∴f（﹣x）=﹣ax+log2（2﹣x+1）=﹣ax+log2（2x+1）﹣log22x=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，∴f（﹣x）=f（x），即﹣ax﹣x=ax，故a=；此时函数为偶函数，若a≠﹣，函数为非奇非偶函数；（2）∵a＞0，∴单调递增，又∵函数f（x）的反函数为f﹣1（x），∴f﹣1（x）单调递增；∴f（1）+f﹣1（1）=1+log23，即a+log23+f﹣1（1）=1+log23，故f﹣1（1）=1﹣a，即a（1﹣a）+log2（2a﹣1+1）=1，解得，a=1；故f（2）=2+log25．【点评】本题考查了函数与反函数，同时考查了函数的性质的判断与化简运算能力．22．（12分）已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP 都具有性质H．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的焦距为，右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），设M（x m，y m），求出，=﹣，由点M在椭圆C上，能求出直线l的方程．（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP 都具有性质H．【解答】解：（1）∵椭圆C：的焦距为，∴c=，∵右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=，解得b=1，∴a2=b2+c2=4，∴椭圆C的方程为．（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），其中y1，y2满足：，y1+y2=0，设M（x m，y m），∵（其中O为坐标原点），∴，=﹣，∵点M在椭圆C上，∴，∴49t2+4﹣t2=100，∴t=，∴直线l的方程为x=或x=﹣．证明：（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，∵直线PQ具有性质H，∴在椭圆C上存在点M，使得：，设M（x m，y m），则，y m=，∵点M在椭圆上，∴+（）2=1，又∵，，∴=0，①同理：=0，②，，③1）若x1，x2，x3中至少一个为0，不妨设x1=0，则y1≠0，由①③得y2=y3=0，即Q，R为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾．2）若x1，x2，x3均不为0，则由①②③得=﹣＞0，矛盾．∵在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和反证法的合理运用．23．（12分）已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n∈N*，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；14：证明题；32：分类讨论；33：函数思想；34：方程思想；4C：分类法；4M：构造法；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）化简可得，从而写出，即；（2）当λ=2时，a n=n2+n，从而求得b n=2n，从而求等比数列前n项和．（3）仿照（2）可得，b n=2n+r﹣2，从而化简c n=2﹣r﹣2n﹣（），从而分类讨论以确定λ的值．【解答】解：（1）证明：∵，两边除以n（n+1）得，，即，故数列为等差数列，故，故；（2）当λ=2时，a n=n2+n，∵，∴b1==2，b n+1===2n+1，综上所述，b n=2n，S n==2n+1﹣2；（3）仿照（2）可得，，b n=2n+r﹣2，c n==﹣=2﹣r﹣2n﹣（），∵对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立，∴当n＞4时，c n≤0；若λ=1，则c n=1﹣2n﹣，c5=﹣＞0，故T5＞T4，故不成立；若λ=2，则c n=﹣2n﹣，故c1=﹣=0，c2=﹣，c3=﹣＞0，c4=﹣＞0，c5=﹣＜0，且当n≥5时，2n＞n2+n，故成立；若λ=3，则c n=﹣，故c1=﹣＞0，c2=﹣＞0，c3=﹣＞0，c4=﹣＞0，故且当n≥5时，•2n＞n2+2n，故成立；若λ≥4，则c n=﹣，c4=﹣，令f（r）=16﹣16﹣4（r﹣1），则f′（r）=16•ln•﹣4=4（ln4•﹣1）＞0，故f（r）在[4，+∞）上是增函数，故f（4）=16×2﹣16﹣4×3＞0，故c4＜0，故T3＞T4，故不成立；综上所述，λ的值为2或3．【点评】本题考查了等比经数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了导数的综合应用及分类讨论的思想与方程思想，函数思想的应用．。
2016杨浦区一模数学试题及答案(Word)
2016杨浦区一模数学试题2016.1 满分150分一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）1、将抛物线向上平移2个单位后所得到的抛物线的表达式为（）A、B、C、D、2、以下图形中一定属于互相放缩关系的是（）A、斜边长分别是10和5的两直角三角形B、腰长分别是10和5的两等腰三角形C、边长分别是10和5的两个菱形D、边长分别是10和5的两个正方形3、如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点，，，那么等于（）A、B、C、D、4、坡比等于的斜坡的坡角等于（）A、30°B、45°C、50°D、60°5、下列各组条件中，一定能推出△ABC与△DEF相似的是（）A、∠A=∠E且∠D=∠FB、∠A=∠B且∠D=∠FC、∠A=∠E且D、∠A=∠E且6、下列图像中，有一个可能是函数的图像，它是（）A、B、C、D、2、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）7、如果，那么（）8、如图，已知点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE和BC平行，EF和AB 平行，那么CF:BF=（）9、已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD=2，DB=1，BC=6，要使DE和AC平行，那么BE=（）10、如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3:4:6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是（）cm11、如果AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，那么=（）12、计算：sin60°-cot30°=（）13、在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=（）14、如果二次函数配方后为，那么c的值为（）15、抛物线的对称轴是直线（）16、如果是二次函数图像上的两个点，那么（填＜或者＞）17、请写出一个二次函数的解析式，满足：图像的开口向下，对称轴是直线x=-1，且与y轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为（）18、如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC 的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是（）3、解答题（共78分）19、（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量.先化简，再求作：.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20（本题满分10分，第（1）小问6分，第（2）小问4分）已知二次函数（a≠0）的图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：求： (1)这个二次函数的解析式；(2)这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m的值。
杨浦区数学卷定稿(理)：2016.
杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合UA =_____________.3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4用白布包裹，则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ， 且1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为________.8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n-展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.11. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 （ ） AB FSDCB AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖，n β‖，αβ⊥，则m n ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥18. 下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。
2016年上海市杨浦区中考数学一模试卷含答案解析
2016年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）1．将抛物线y=2x2向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是( )A．y=2x2+2 B．y=2（x+2）2C．y=2（x﹣2）2D．y=2x2﹣22．以下图形中一定属于互相放缩关系的是( )A．斜边长分别是10和5的两直角三角形B．腰长分别是10和5的两等腰三角形C．边长分别是10和5的两个菱形D．边长分别是10和5的两个正方形3．如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点，，，那么等于( )A．B．C．D．4．坡度等于1：的斜坡的坡角等于( )A．30°B．40°C．50°D．60°5．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是( )A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且D．∠A=∠E且6．下列图象中，有一个可能是函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象，它是( ) A．B．C．D．二、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）7．如果，那么=__________．8．如图，点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，EF∥AB，那么CF：BF=__________．9．已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD=2，DB=1，BC=6，要使DE和AC 平行，那么BE=__________．10．如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是__________cm．11．如果AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，那么=__________．12．计算：sin60°﹣cot30°=__________13．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=__________．14．如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为__________．15．抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线__________．16．如果A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1__________y2（填“＜”或者“＞”）17．请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y 轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为__________．18．如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是__________．三、解答题（共78分）19．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x …﹣1 0 2 4 …y …﹣5 1 1 m …求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：（1）AF：FC的值；（2）EF：BF的值．22．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F 的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．求：（1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）23．已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC的中点时，求证：．24．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．25．（14分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF=∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．2016年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）1．将抛物线y=2x2向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是( )A．y=2x2+2 B．y=2（x+2）2C．y=2（x﹣2）2D．y=2x2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】只要求得新抛物线的顶点坐标，就可以求得新抛物线的解析式了．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（0，2），可设新抛物线的解析式为：y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2x2+2．故选A．【点评】此题比较容易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．2．以下图形中一定属于互相放缩关系的是( )A．斜边长分别是10和5的两直角三角形B．腰长分别是10和5的两等腰三角形C．边长分别是10和5的两个菱形D．边长分别是10和5的两个正方形【考点】相似图形．【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．【解答】解：斜边长分别是10和5的两直角三角形，直角边不一定成比例，所以不一定属于互相放缩关系，A不正确；腰长分别是10和5的两等腰三角形不一定属于互相放缩关系，B不正确；边长分别是10和5的两个菱形不一定属于互相放缩关系，C不正确；边长分别是10和5的两个正方形属于互相放缩关系，D正确，故选：D．【点评】本题考查的是相似图形的概念，形状相同的图形称为相似形．3．如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点，，，那么等于( )A．B．C．D．【考点】*平面向量．【分析】首先由在△ABC中，D是边BC的中点，可求得，然后由三角形法则求得．【解答】解：∵在△ABC中，D是边BC的中点，∴==，∴=﹣=﹣．故选B．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是关键．4．坡度等于1：的斜坡的坡角等于( )A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡度就是坡角的正切值即可求解．【解答】解：坡角α，则tanα=1：，则α=30°．故选A．【点评】本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．5．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是( )A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且D．∠A=∠E且【考点】相似三角形的判定．【分析】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．【解答】解：A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；D、∠A=∠E且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．下列图象中，有一个可能是函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象，它是( )A．B．C．D．【考点】二次函数的图象．【专题】探究型．【分析】根据函数y=ax2+bx+a+b（a≠0），对a、b的正负进行分类讨论，只要把选项中一定错误的说出原因即可解答本题．【解答】解：在函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）中，当a＜0，b＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，一定经过点（0，a+b），点（0，a+b）一定在y轴的负半轴，故选项A、B错误；当a＞0，b＜0时，若函数过点（1，0），则a+b+a+b=0，得a与b互为相反数，则y=ax2﹣ax=ax（x﹣1），则该函数与x轴的两个交点是（0，0）或（1，0），故选项D错误；当a＞0，b＜0时，若函数过点（0，1），则a+b=1，只要a、b满足和为1即可，故选项C 正确；故选C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题．二、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）7．如果，那么=．【考点】比例的性质．【分析】先由已知条件可得2y=3（x﹣y），整理后再根据比例的性质即可求得的值．【解答】解：∵，∴2y=3（x﹣y），整理，得3x=5y，∴=．故答案为．【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若a：b=c：d，则ad=bc．8．如图，点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，EF∥AB，那么CF：BF=1：2．【考点】三角形的重心．【分析】连接AG并延长，交BC于H．先根据重心的性质，得出AG=2GH．再由平行线分线段成比例定理，得出CF：BF=CE：AE=GH：AG=1：2．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于H．∵点G为△ABC的重心，∴AG=2GH．∵DE∥BC，∴CE：AE=GH：AG=1：2，∵EF∥AB，∴CF：BF=CE：AE=1：2．故答案为1：2．【点评】此题主要考查了重心的概念和性质以及平行线分线段成比例定理，难度中等．三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．9．已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD=2，DB=1，BC=6，要使DE和AC 平行，那么BE=2．【考点】平行线分线段成比例；相似多边形的性质；相似三角形的性质．【分析】求出=，根据相似三角形的判定得出△BED∽△BCA，推出∠BED=∠C，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：BE=2，理由是：如图：∵AD=2，DB=1，∴AB=2+1=3，∵BC=6，BE=2，∴=，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴∠BED=∠C，∴DE∥AC．故答案为：2．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，能推出△BED∽△BCA是解此题的关键．10．如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是5cm．【考点】相似三角形的性质．【专题】计算题．【分析】设△DEF的最短边为x，由△ABC的三边之比为3：4：6，则可设△ABC的三边分别为3a，4a，6a，由于△ABC与△DEF相似，根据相似三角形的性质得到3a：x=6a：10，即可求出x=5．【解答】解：设△DEF的最短边为x，△ABC的三边分别为3a，4a，6a，∵△ABC与△DEF相似，∴3a：x=6a：10，∴x=5，即△DEF的最短边是5cm．故答案为5．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．11．如果AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，那么=﹣．【考点】*平面向量．【分析】由AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，可得2=﹣3，继而求得答案．【解答】解：∵AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，∴2=﹣3，∴=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意根据题意得到2=﹣3是解此题的关键．12．计算：sin60°﹣cot30°=【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【解答】解：原式=﹣=﹣．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．13．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=2．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【解答】解：sinA==，得BC=AB×=6×=2，故答案为：2．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为5．【考点】二次函数的三种形式．【分析】把配方后的函数解析式转化为一般形式，然后根据对应项系数相等解答．【解答】解：∵y=（x﹣2）2+1=x2﹣4x+4+1=x2﹣4x+5，∴c的值为5．故答案是：5．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．15．抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线x=1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣进行计算．【解答】解：抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线x=﹣=1．故答案为x=1．【点评】此题考查了抛物线的对称轴的求法，能够熟练运用公式法求解，也能够运用配方法求解．16．如果A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1＜y2（填“＜”或者“＞”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=0，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x 的增大而减小，可判断y1＜y2．【解答】解：∵二次函数y=x2+m中a=1＞0，∴抛物线开口向上．∵x=﹣=0，﹣1＜﹣2，∴A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在对称轴的左侧，且y随x的增大而减小，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y 轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为y=﹣x2﹣2x﹣1．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足a＜0，﹣=﹣1，c＜0，由此举例得出答案即可．【解答】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．∵图象的开口向下，∴a＜0，可取a=﹣1；∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，得b=2a=﹣2；∵与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，可取c=﹣1；∴函数解析式可以为：y=﹣x2﹣2x﹣1．故答案为：y=﹣x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣；当a＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下；二次函数与y轴交于点（0，c）．18．如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AM与BE交点为D，过M作MF∥BE交AC于F，证出MF为△BCE的中位线，由三角形中位线定理得出MF=BE，由翻折变换的性质得出：AM⊥BE，AD=MD，同理由三角形中位线定理得出DE=MF，设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，得出BD=3a，MD=AM=2a，即可得出结果．【解答】解：设AM与BE交点为D，过M作MF∥BE交AC于F，如图所示：∵M为BC的中点，∴F为CE的中点，∴MF为△BCE的中位线，∴MF=BE，由翻折变换的性质得：AM⊥BE，AD=MD，同理：DE是△AMF的中位线，∴DE=MF，设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，∴BD=3a，MD=AM=2a，∵∠BDM=90°，∴tan∠EBC===．故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出MF=BE，DE=MF是解决问题的关键．三、解答题（共78分）19．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．【解答】解：=+3﹣﹣=﹣+2．如图：=2，=﹣，则=﹣+2，即即为所求．【点评】此题考查了平面向量的运算法则以及作法．注意作图时准确利用三角形法则是关键．20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x …﹣1 0 2 4 …y …﹣5 1 1 m …求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）把x=4，y=m代入解析式即可求得m的值，用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标．【解答】解：（1）依题意，得，解得；∴二次函数的解析式为：y=﹣2x2+4x+1．（2）当x=4时，m=﹣2×16+16+1=﹣15，由y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故其顶点坐标为（1，3）．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：（1）AF：FC的值；（2）EF：BF的值．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．（1）延长BE交直线AD于H，如图，先由AD∥BC得到△DEH∽△CEB，则有=，【分析】易得DH=BC，加上BC=2AD，所以AH=3AD，然后证明△AHF∽△CFB，再利用相似比可计算出AF：FC的值；（2）由△DEH∽△CEB得到EH：BE=DE：CE=1：1，则BE=EH=BH，由△AHF∽△CFB得到FH：BF=AF：FC=3：2；于是可设BF=2a，则FH=3a，BH=BF+FH=5a，EH=a，接着可计算出EF=FH﹣EH=a，然后计算EF：BF的值．【解答】解：（1）延长BE交直线AD于H，如图，∵AD∥BC，∴△DEH∽△CEB，∴=，∵点E为边DC的中点，∴DE=CE，∴DH=BC，而BC=2AD，∴AH=3AD，∵AH∥BC，∴△AHF∽△CFB，∴AF：FC=AH：BC=3：2；（2）∵△DEH∽△CEB，∴EH：BE=DE：CE=1：1，∴BE=EH=BH，∵△AHF∽△CFB，∴FH：BF=AF：FC=3：2；设BF=2a，则FH=3a，BH=BF+FH=5a，∴EH=a，∴EF=FH﹣EH=3a﹣a=a，∴EF：BF=a：2a=1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F 的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．求：（1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识表示出线段CG的长即可．（2）根据三角函数值求得CG的长，代入FG=x•tanβ即可求得．【解答】解：（1）设CG=xm，由图可知：EF=（x+20）•tanα，FG=x•tanβ，则（x+20）tanα+33=xtanβ，解得x=；（2）x===55，则FG=x•tanβ=55×2.1=115.5≈116．答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m．【点评】本题考查了仰角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形．23．已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC的中点时，求证：．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断△BCF∽△DGF，所以△DGF∽△BAC，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定△AHF∽△DGF，则根据相似三角形的性质得=，然后利用等线段代换即可得到．【解答】证明：（1）∵BC2=BF•BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴△BAC∽△BCF，∵DE∥BC，∴△BCF∽△DGF，∴△DGF∽△BAC，∴DF：BC=DG：BA，∴DF•AB=BC•DG；（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵点E为AC的中点，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴△AHF∽△DGF，∴=，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．24．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P、Q关于直线x=﹣1对称，根据PQ的长，可得P点的横坐标，Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）当x=0时，y=4，即C（0，4），当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0），将A、C点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的表达式为y=﹣x+4；（2）PQ=2AO=8，又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x=﹣1对称，PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，当x=﹣5时，y=×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P（﹣5，﹣）；﹣1+4=3，即Q（3，﹣）；P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）；（3）∠MCO=∠CAB=45°，①当△MCO∽△CAB时，=，即=，CM=．如图1，过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=，当x=﹣时，y=﹣+4=，∴M（﹣，）；当△OCM∽△CAB时，=，即=，解得CM=3，如图2，过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=3，当x=3时，y=﹣3+4=1，∴M（﹣3，1），综上所述：M点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称得出P、Q关于直线x=﹣1对称是解题关键；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形得出CM的长是解题关键．25．（14分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF=∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【考点】相似形综合题．【分析】（1）连接BD、AC交于点O，作AH⊥BC于H，由菱形的性质得出AO=OC=3，BO=4，由△ABC的面积求出AH=，由勾股定理得出BH，即可得出结果；（2）由菱形的性质得出∠FAC=∠ACB，证出△ABC∽△ECF，得出对应边成比例=，求出EF，由平行线得出△MBC∽△MAF，得出==，即可得出结果；（3）作EM⊥BC于M，作EG∥BC交CF于G，由（1）知cos∠B=，BE=x，得出BM=x，由勾股定理得出EM=x，CE==，由平行线得出∠GEC=∠ECB，，证出△BCE∽△CEG，得出对应边成比例，得出EG==，代入比例式即可得出y关于x的函数解析式为y=（＜x≤5）．【解答】解：（1）连接BD、AC交于点O，作AH⊥BC于H，如图1所示：则AO=OC=3，BO=4，∵S△ABC=BC×AH=AC×BO=×6×4=12，∴×5×AH=12，解得：AH=，由勾股定理得：BH===，∴cos∠B===；（2）当点E与点A重合时，符合题意的图形，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴∠FAC=∠ACB，∵∠ECF=∠B，∴△ABC∽△ECF，∴=，即=，解得：EF=，∵BC∥AF，∴△MBC∽△MAF，∴===，∴=，解得：BM=；（3）作EH⊥BC于H，作EG∥BC交CF于G，如图3所示：由（1）知cos∠B=，BE=x，∴BH=x，EH===x，∴CE===，∵EG∥BC，∴∠GEC=∠ECB，，∴△BCE∽△CEG，∴，则EG==，∴，整理得：y=，即y关于x的函数解析式为y=（＜x≤5）．【点评】本题是相似形综合题目，考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要运用勾股定理和证明三角形相似得出比例式才能得出结果．。
(精校版)2016年上海理数高考试题文档版(含答案)
考 （2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列， b1 c5 1， b5 c1 81 ，
an bn cn 判断{an}是否具有性质 P ，并说明理由；
考 双曲线 x2
y2 b2
1(b 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，直线 l
过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点。
高 （1）若l
的倾斜角为
2
，
F1 AB
是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 b
您 3 ，若 l 的斜率存在，且 (F1A F1B) AB 0 ，求 l 的斜率. 学科&网
13 S111
h
3 12
．
（2）设过点 1 的母线与下底面交于点 ，则 1//1 ，
所以 C1 或其补角为直线 1C 与 1 所成的角．
由 C 长为 2 ，可知 C 2 ，
3
3
又
111
3
，所以
C
3
，
从而 C 为等边三角形，得 C 1．
因为 1 平面 C ，所以 1 C ．
在 C1 中，因为 1C
2
， C
1， 1
1，所以 C1
4
，
从而直线
1C
与
1
所成的角的大小为
4
．
20. （1）因为 C 上的点到直线 与到点 F 的距离相等，所以 C 是以 F 为焦点、以
！ 功
为准线的抛物线在正方形 FG 内的部分，其方程为 y2 4x （ 0 y 2 ）．
成 （2）依题意，点
上海市杨浦区2016届高三上学期期末“3 1”质量调研数学(理科)(解析版)讲解
2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知矩阵，，则A+B=．2．已知全集U=R，集合，则集合∁U A=．3．已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x=．4．某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布平方米．5．无穷等比数列{a n}（n∈N*）的前n项的和是S n，且，则首项a1的取值范围是．6．已知虚数z满足2z﹣=1+6i，则|z|=．7．执行如图所示的流程图，则输出的S的值为．8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是．9．展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为．10．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为．11．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．12．已知，当x∈[a，a+1]时不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）恒成立，则实数a的最大值是．13．抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，若AB中点的横坐标为3，则抛物线C的方程为．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f （1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜16．设、是两个单位向量，其夹角为θ，则“”是“|﹣|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n18．下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）上递增的函数的个数是（）①y=tan|x|②y=cos（﹣x）③④．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一条棱和边都相等（1）求证：直线AC垂直于直线SD．（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？20．某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树．在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量a n，及松树数量b n关于n 的表达式．（2）定义：f（n+1）﹣f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．21．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O，逆时针15分钟转一圈，从A 处进入摩天轮的座舱，OA垂直于地面AM，在距离A处150米处设置了一个望远镜B．（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B中仔细观看．问望远镜B的仰角θ应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD，发现取景的视角α恰为45°，求绿化带BD的长度（精确到1米）．22．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．23．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的．若C n＜log a（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知矩阵，，则A+B=．【考点】几种特殊的矩阵变换． 【专题】计算题；规律型；矩阵和变换． 【分析】直接利用矩阵的和分运算法则求解即可．【解答】解：矩阵，，∴=．故答案为：．【点评】本题考查矩阵的和的求法，是基础题．2．已知全集U=R ，集合，则集合∁U A= {x|x ＜1或x ≥2} ．【考点】补集及其运算． 【专题】计算题；集合．【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，根据全集U=R ，求出A 的补集即可． 【解答】解：由A 中不等式变形得：（x+1）（x ﹣2）≤0，且x ﹣2≠0， 解得：﹣1≤x ＜2，即A={x|﹣1≤x ＜2}， ∵全集U=R ，∴∁U A={x|x ＜1或x ≥2}， 故答案为：{x|x ＜1或x ≥2}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．已知函数，则方程f ﹣1（x ）=4的解x= 1 ．【考点】反函数；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f﹣1（x）=4的x值，即求f（4）的值．【解答】解：由题意得，即求f（4）的值∵，，∴f（4）=log3（1+2）=1，∴f（4）=1．即所求的解x=1．故答案为1．【点评】本题主要考查了反函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础题．4．某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布16π平方米．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】求出球的半径，可得球的表面积，即可得出结论．【解答】解：∵球的直径为4米，∴半径为2米，∴球的表面积为4π•22=16π平方米．故答案为：16π平方米．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．5．无穷等比数列{a n}（n∈N*）的前n项的和是S n，且，则首项a1的取值范围是（0，）∪（，1）．【考点】数列的极限．【专题】计算题；极限思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】根据所给的前n项和的极限的值，做出首项和公比之间的关系，根据公比的范围，得到首项的范围，解不等式即可．【解答】解：设无穷等比数列{a n}的公比为q，|q|＜1且q≠0，由，又无穷等比数列的求和公式S n =，即q=1﹣2a 1，即有|1﹣2a 1|＜1且|1﹣2a 1|≠0，解得a 1∈（0，）∪（，1）．故答案为：（0，）∪（，1）．【点评】本题考查了无穷等比数列的前n 项和公式，极限的运算法则及其不等式的解法问题，本题解题的关键是运用无穷等比数列的求和公式来解题．6．已知虚数z 满足2z ﹣=1+6i ，则|z|= ．【考点】复数求模． 【专题】计算题．【分析】设出复数，写出复数对应的共轭复数的式子，把设出的结果代入等式中，合并同类项，写成复数的标准形式，利用复数的相等的充要条件，写出a 和b 的值，得到结果．【解答】解：设z=a+bi ，则=a ﹣bi ，∵虚数z 满足2z ﹣=1+6i ， ∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）=1+6i ， ∴a+3bi=1+6i ， ∴a=1，3b=6， ∴a=1，b=2，∴|z|=，故答案为：【点评】本题需要先对所给的复数式子整理，展开运算，得到a+bi 的形式，主要依据复数相等的条件，本题可以作为一个选择或填空出现在高考卷的前几个题目中．7．执行如图所示的流程图，则输出的S 的值为．【考点】程序框图．【专题】操作型；等差数列与等比数列；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，其中S=+++…+=[（1）+（﹣）+（﹣）+…+（）]=×（1）=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，裂项相消法求和，分析出循环的功能是解答的关键．．8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出在同一个食堂就餐的概率，从而求出不在同一个食堂就餐的概率即可．【解答】解：三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：××=；他们同时选中B食堂的概率也为：××=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=，故三个人不在同一个食堂就餐的概率是：，故答案为：．【点评】本题考查了概率问题，作差即可，是一道基础题．9．展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为﹣56．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中x的系数．【解答】解：由于展开式的二项式系数之和为2n=256，n=8，故它的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令=1求得r=3，可得展开式中x的系数为﹣=﹣56，故答案为：﹣56．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题10．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为36．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；概率与统计．【分析】根据方差是标准差的平方，数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，可得答案．【解答】解：数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数a1，a2，a3，a4，a5的方差为4，∴数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为4×32=36，故答案为：36【点评】本题考查的知识点是极差、方差与标准差，熟练掌握方差与标准差之间的关系，及数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，是解答的关键．11．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，建立直角坐标系．通过向量的坐标运算及共面向量定理即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．设A（a，0），C（0，b），则B（a，b）．∵AB=3AE，BC=3CF，∴E，F．∵=+，∴（a，b）=+，∴，解得λ+μ=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的坐标运算及共面向量定理，属于基础题．12．已知，当x∈[a，a+1]时不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）恒成立，则实数a的最大值是﹣2．【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【专题】综合题；函数思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数，讨论其单调性，根据单调性得出a≥2x在x∈[a，a+1]时恒成立，只需求出右式的最大值即可．【解答】解：二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；∴该函数在（﹣∞，0]上单调递减；∴x2﹣4x+3≥3；同样可知函数﹣x2﹣2x+3在（0，+∞）上单调递减；∴﹣x2﹣2x+3＜3；∴f（x）在R上单调递减；∴x+a≤2a﹣x恒成立，∴a≥2x在x∈[a，a+1]时恒成立，∴a≤﹣2，故答案为﹣2．【点评】考查了分段函数的单调性判断和恒成立问题的转换．13．抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，若AB中点的横坐标为3，则抛物线C的方程为y2=4x．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过设抛物线C方程为y2=2px（p＞0），则直线l方程为y=x﹣，两者联立并结合韦达定理即中点坐标公式计算即得结论．【解答】解：由题可设抛物线C方程为：y2=2px（p＞0），则F（，0），∵直线l过焦点且倾斜角为，∴直线l方程为：y=x﹣，联立直线l与椭圆方程，消去y整理得：x﹣3px+=0，∵AB中点的横坐标为3，∴3×2=3p，即p=2，∴抛物线方程为：y2=4x，故答案为：y2=4x．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f （1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为（，）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出f（x）的图象，根据交点个数判断直线的临界位置．根据导数与切线的关系列出方程解出．【解答】解：当2≤x≤3时，f（x）=（x﹣2）2+2，当3≤x≤4时，f（x）=（x﹣3）2+3，作出f（x）在[0，4]上的函数图象如图，设y=k1x与f（x）在[2，3]上的图象相切于（x1，y1），y=k2x与f（x）在[3，4]上的图象相切于（x2，y2），则，，解得k1=2﹣4，k2=4﹣6．由函数的对称性可知，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则k1＜k＜k2．故答案为（，）．【点评】本题考查了函数的图象变换，导数与切线的关系，图象的交点个数与零点的关系，属于中档题．作出函数图象是关键．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜【考点】命题的真假判断与应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，可判断A；B，令a=3，b=2，c=2，d=0，可判断B；C，利用不等式的性质可判断C；D，令a=2＞﹣1=b，可判断D．【解答】解：A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，A错误；B，若a=3，b=2，c=2，d=0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c=1＜b﹣d=2，故B错误；C，若a＞|b|，则a2＞|b|2=b2，正确；D，若a=2＞﹣1=b，则＞﹣1，故＜错误．故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质及应用，特值法是解决选择题的良好方法，属于中档题．16．设、是两个单位向量，其夹角为θ，则“”是“|﹣|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件和向量的应用进行判断即可．【解答】解：若，则•=||||cosθ=cosθ∈（，），|﹣|===，∵cosθ∈（，），∴2cosθ∈（1，），则2﹣2cosθ∈（2﹣，1），则＜1，即|﹣|＜1成立，即充分性成立；∵|﹣|===，∴由|﹣|＜1得＜1得2﹣2cosθ＜1，则cosθ＞，则0≤θ＜，k∈Z，即必要性不成立；即“”是“|﹣|＜1”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的数量积的应用是解决本题的关键．17．对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中：n∥α或n⊂α；在B中，m与β相交、平行或l⊂β；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由线面垂直和面面垂直的性质得m⊥n．【解答】解：在A中：若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故A错误；在B中：若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或l⊂β，故B错误；在C中：若m∥α，n∥β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直和面面垂直的性质得m⊥n，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面的位置关系的合理运用．18．下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）上递增的函数的个数是（）①y=tan|x|②y=cos（﹣x）③④．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件，利用三角函数的奇偶性和单调性，得出结论．【解答】解：由于下列函数中，对于函数①y=tan|x|，当x=时，函数无意义，故①不满足条件．对于②y=cos（﹣x）=cosx为偶函数，且在（0，π）上递减，故②不满足条件．对于③=﹣cosx 为偶函数，且在（0，π）上递增，故③满足条件．当x∈（0，π）时，∈（0，），tan单调递增，故=是偶函数，且在（0，π）上递减，故④不满足条件，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一条棱和边都相等（1）求证：直线AC垂直于直线SD．（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AC，BD，由正方形的性质得出AC⊥BD，由等腰三角形三线合一得出AC⊥SO，故而AC⊥平面SBD，于是AC⊥SD；（2）正四棱锥的棱长为3，计算棱锥的高和底面积，代入体积公式计算四棱锥的体积．【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，则O为线段BD中点，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．在△SBD中，∵SA=SC，∴SO⊥AC，∵SO∩BD=O，SO⊂平面SBD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，∵SD⊂平面SBD，∴AC⊥SD（2）由题意得正四棱锥边长为3米．∴BO==．棱锥的高SO===．∴立方米．答：需要立方米填充材料．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于基础题．20．某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树．在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量a n，及松树数量b n关于n 的表达式．（2）定义：f（n+1）﹣f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．【考点】数列的应用．【专题】计算题；应用题；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意知，n=1时，果树1棵，松树9﹣1=8棵，n=2时，果树4棵，松树25﹣9=16棵，从而类比可得n=5时，果树25棵，松树121﹣81=40棵；从而可得，b n=8n；（2）化简，b n+1﹣b n=8（n+1）﹣8n=8，从而判断．【解答】解：（1）由题意知，n=1时，果树1棵，松树9﹣1=8棵，n=2时，果树4棵，松树25﹣9=16棵，n=3时，果树9棵，松树49﹣25=24棵，n=4时，果树16棵，松树81﹣49=32棵，n=5时，果树25棵，松树121﹣81=40棵；故，b n=8n；（2），b n+1﹣b n=8（n+1）﹣8n=8，当n≤3时，2n+1＜8，松树增加的速度快；当n≥4时，2n+1＞8，果树增加的速度快．【点评】本题考查了数列的应用及数列的增长速度的判断，属于中档题．21．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O，逆时针15分钟转一圈，从A 处进入摩天轮的座舱，OA垂直于地面AM，在距离A处150米处设置了一个望远镜B．（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B中仔细观看．问望远镜B的仰角θ应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD，发现取景的视角α恰为45°，求绿化带BD的长度（精确到1米）．【考点】正弦定理．【专题】应用题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）因为摩天轮做匀速转动，逆时针15分钟转一圈，可得5分钟转过120°，过点C作CH⊥AB 于点H，利用解三角形可得望远镜B的仰角θ；（2）由题意可求CD，利用正弦定理即可解得BD的长度．【解答】（本题，第1小题，第2小题6分）解：（1）∵逆时针15分钟转一圈，∴5分钟转过120°过点C作CH⊥AB于点H，则CH=50+50•sin（120°﹣90°）=75∴，∴答：望远镜的仰角θ设置为35°（2）在△BCD中，θ=35°，α=45°，∴∠CDH=80°∴由正弦定理得：∴答：绿化带的长度为94米．【点评】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，求解三角形的边与角，是中档题．22．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；证明题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意知，==，从而求猫眼曲线Γ的方程；（2）设交点C（x1，y1），D（x2，y2），从而可得，联立方程化简可得，k•k ON=﹣2；从而解得；（3）设直线l的方程为，联立方程化简，从而可得，同理可得，从而利用两平行线间距离表示三角形的高，再求；从而求最大面积．【解答】解：（1）由题意知，，==，∴a=2，c=1，∴，∴；（2）证明：设斜率为k的直线交椭圆T1于点C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD中点M（x0，y0），∴，由得，∵k存在且k≠0，∴x1≠x2，且x0≠0，∴，即；同理，k•k ON=﹣2；∴；（3）设直线l的方程为，联立方程得，化简得，，由△=0化简得m2=b2+2c2，，联立方程得，化简得，由△=0得m2=b2+2a2，，两平行线间距离：，∴；∴△ABN的面积最大值为．【点评】本题考查了学生的化简运算的能力及椭圆与直线的位置关系的判断与应用．23．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的．（3）若f（n）（n∈N*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=﹣4，S n表示f（n）的前n 项和，C n=，若C n＜log a（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用；函数的周期性．【专题】新定义；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义设：h（x+T）=T•h（x），得出x+T=T•x对任意x恒成立，显然不成立；（2）根据定义设：h（x+T）=T•h（x），得出对任意x恒成立，可得，求解T，并判断唯一性即可；（3）若f（n）是2倍周期函数，f（3）=f（1+2）=2f（1）=2，f（4）=f（2+2）=2f（2）=﹣8，同理可求出f（2n﹣1）=f（2n﹣3+2）=2f（2n﹣3）=2n﹣1，进而求出，，通过比值判断C n的单调性，进而求出C n的最大值，最后得出log a（a+1）＞﹣1，分别讨论a的不同情况，求出a的取值范围．【解答】（1）设：h（x+T）=T•h（x）则x+T=T•x对任意x恒成立∵T无解∴h（x）=x不是T倍周期函数（2）设：g（x+T）=T•g（x）则对任意x恒成立，下证唯一性：若，矛盾若，矛盾∴是唯一的（3）f（3）=f（1+2）=2f（1）=2，f（5）=f（3+2）=2f（3）=22f（7）=f（5+2）=2f（5）=23…f（2n﹣1）=f（2n﹣3+2）=2f（2n﹣3）=2n﹣1f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n﹣1）=1+2+22+…+2n﹣1=2n﹣1同理：f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）=﹣4（1+2+22+…+2n﹣1）=﹣4（2n﹣1）∴同理：，C1=﹣3C2=9显然：n≥2C n＞0且∵2（2n）2﹣7•（2n）+3＜2（2n）2﹣5•（2n）+3∴即单调递减∴（C n）max=C1=9∵C n＜log a（a+1）+10恒成立，∴log a（a+1）+10＞（C n）max=9∴log a（a+1）＞﹣1①a＞1时解得：a＞1②0＜a＜1时解得：，∴或a＞1【点评】本题综合性强，考查了对新定义的理解，利用新定义，结合数列解决恒成立问题．属于难度较大的题型．。
2016届杨浦区高三一模数学卷及答案(理科)
______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合U A =ð_____________.3. 已知函数()34l o g 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________.4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面 用白布包裹，则至少需要白布_________平方米.5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，且1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为________. 8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家2 11. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2fx x=，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->- C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖，n β‖，αβ⊥，则m n ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家3SDCB A18. 下列函数中，既是偶函数，又在π,0 上递增的函数的个数是 （ ）① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。
上海市杨浦区高考数学一模试卷解析版
高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A. a2＞b2B.C. |a|＞|b|D. 2a＞2b2.要得到函数y=2sin（2x+）的图象，只要将y=2sin2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位3.设z1，z2为复数，则下列命题中一定成立的是（）A. 如果z1-z2＞0，那么z1＞z2B. 如果|z1|=|z2|，那么z1=±z2C. 如果，那么|z1|＞|z2|D. 如果z12+z22=0，那么z1=z2=04.对于全集R的子集A，定义函数为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是（）A. 若A⊆B，f A（x）≤f B（x）B. f（x）=1-f A（x）C. f A∩B（x）=f A（x）•f B（x）D. f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=x，的定义域为______ ．6.关于x，y的方程组的增广矩阵为______．7.己知函数f（x）的反函数f-1（x）=log2x，则f（-1）=______．8.设a∈R，a2-a-2+（a+1）i为纯虚数（i为虚数单位），则a=______．9.己知圆锥的底面半径为lcm，侧面积为2πcm2，则母线与底面所成角的大小为______．10.己知（ax+1）7的二项展开式中x3的系数为280，则实数a=______．11.椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|=5，则cos∠F1PF2=______．12.己知数列{a n}的通项公式为，S n是数列{a n}的前n项和，则S n=______．13.在直角坐标平面xOy中，A（-2，0），B（0，1），动点P在圆C：x2+y2=2上，则的取值范围为______．14.己知六个函数：①；②y=cos x；③；④y=arcsin x；⑤；⑥y=x+1，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有______种15.己知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+2m+3=0有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为______．16.向量集合，对于任意，∈S，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈S，则称S为“C类集”，现有四个命题：①若S为“C类集”，则集合也是“C类集”；②若S，T都是“C类集”，则集合也是“C类集”；③若A1，A2都是“C类集”，则A1∪A2也是“C类集”；④若A1，A2都是“C类集”，且交集非空，则A1∩A2也是“C类集”．其中正确的命题有______（填所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB=PA=1，，E，F分别为棱PD，PA的中点．（1）求证：B、C、E、F四点共面；（2）求异面直线PB与AE所成的角．18.己知函数f（x）=2x+，其中a为实常数．（1）若f（0）=7，解关于x的方程f（x）=5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19.东西向的铁路上有两个道口A、B，铁路两侧的公路分布如图，C位于A的南偏西15°，且位于B的南偏东15°方向，D位于A的正北方向，AC=AD=2km，C处一辆救护车欲通过道口前往D处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60km/h．（1）判断救护车通过道口A是否会受火车影响，并说明理由；（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A、B中的哪个道口？通过计算说明．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A是第一象限内抛物线C上的一点，点D的坐标为（t，0）（t＞0）．（1）若，求点A的坐标；（2）若△AFD为等腰直角三角形，且∠FAD=90°，求点D的坐标；（3）弦AB经过点D，过弦AB上一点P作直线x=-t的垂线，垂足为点Q，求证：“直线QA与抛物线相切”的一个充要条件是“P为弦AB的中点”．21.己知无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n，均有S2n-1≥0，S2n≤0，则称数列{a n}具有性质P．（1）判断首项为1，公比为-2的无穷等比数列{a n}是否具有性质P，并说明理由；（2）己知无穷数列{a n}具有性质P，且任意相邻四项之和都相等，求证：S4=0；（3）己知b n=2n-1（n∈N*），数列{c n}是等差数列，a n=，若无穷数列{a n}具有性质P，求c2019的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A选项不正确，当a=1，b=-2时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=-2时，不等式就不成立；C选项不正确，因为a=1，b=-2时，不等式就不成立；D选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选D．由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．2.【答案】A【解析】解：将y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得函数y=2sin（2x+）的图象，故选：A．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：对于A，反例z1=3+i，z2=1+i，满足，z1-z2＞0，当时z1＞z2不正确，所以A不正确；对于B，反例z1=1+i，z2=1-i，满足|z1|=|z2|，但是z1=±z2不正确；对于C，，那么|z1|＞|z2|，正确；对于D，反例z1=1+i，z2=1-i，满足z12+z22=0，不满足z1=z2=0，所以D不正确；故选：C．通过反例判断A的正误；复数的模与复数的关系判断B、C的正误；反例判断D的正误即可．本题考查命题的真假的判断，复数的模以及复数的性质的判断，是基本知识的考查，基础题．4.【答案】D【解析】解：A：∵A⊆B，可得x∈A则x∈B，∵，，而C R A中可能有B的元素，但C R B中不可能有A的元素，∴f A（x）≤f B（x），故A正确；B：因为f（x）=，综合f A（x）的表达式，可得f=1-f A（x），故B正确；C：f A∩B（x）====f A（x）•f B （x），故C正确；D：f A∪B（x）=≠f A（x）+f B（x），故D错误；故选：D．根据题中特征函数的定义，利用几何的交集、并集、补集运算法则，对A、B、C、D各项中的运算加以验证，进而求解；考查接受新知识，理解运用新知识的能力，交集、并集、补集运算法则，属于中档题；5.【答案】（0，+∞）【解析】解：∵y=x=，使函数有意义只要满足x＞0即可，故函数y=x的定义域为：（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）先将函数解析式化为根式，进而可得要使函数有意义只要满足x＞0即可．本题考查的知识点是幂函数的定义域，熟练掌握幂函数的图象和性质是解答的关键．6.【答案】【解析】解：由增广矩阵的定义可知，关于x，y的方程组的增广矩阵为，故答案为：由增广矩阵的定义可求解；考查增广矩阵的概念，属于基础题；7.【答案】【解析】解：把y=-1代入反函数f-1（x）=log2x=-1，故x=，故答案为：．根据函数与反函数点关于y=x对称，代入求出．题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】2【解析】解：∵a2-a-2+（a+1）i为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．直接由实部为0且虚部不为0列式求解a值．本题考查复数的基本概念，是基础题．9.【答案】【解析】解：由圆锥侧面积公式S=πrl=π•1•l=2π，解得l=2，设母线与底面所成角为θ，则cosθ==，∴θ=，故答案为：．由圆锥侧面积公式S=πrl=π•1•l=2π，解得l=2，进而可求出母线与底面所成角的余弦值，进而求解；考查圆锥侧面积公式，三角函数的应用，属于基础题；10.【答案】2【解析】解：二项式展开的通项公式得，令r=4，得x3的系数，，a=2，故答案为：2．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．11.【答案】【解析】解：椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|=5，可得|PF2|=6-5=1，|F2F1|=2c=2，由余弦定理可得：cosθ===．故答案为：．利用椭圆的定义，结合余弦定理转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，中档题．12.【答案】【解析】解：由，知数列{a n}自第三项起是以为首项，以为公比的等比数列，则S n=（a1+a2+a3+…+a n）=a1+a2+（a3+a4+…+a n）=1+2+=．故答案为：．由题意可得数列{a n}自第三项起是以为首项，以为公比的等比数列，再由无穷递缩等比数列的极限求解．本题考查数列极限的求法，熟记无穷递缩等比数列的极限为是关键，是基础题．13.【答案】【解析】解：令（θ∈[0，2π]），且A（-2，0），B（0，1），∴====，其中tanφ=-2，∴的取值范围为．故答案为：．根据题意，可令，从而可求出，，然后进行数量积的坐标运算，并根据两角和的正弦公式得出，从而可得出的取值范围．本题考查了圆的参数方程，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：根据题意，六个函数：①，②y=cos x，③，④y=arcsin x，⑤，⑥y=x+1中，奇函数有④y=arcsin x和⑤，共2个，偶函数有：①和②y=cos x，共2个，非奇非偶函数有：④y=arcsin x和⑥y=x+1，共2个，从6个函数中任选3个，若有1个奇函数和2个偶函数，有1×2=2种选法，若有2个奇函数和1个偶函数，有1×2=2种选法，若有1个奇函数、1个偶函数和1个非奇非偶函数，有2×2×2=8种选法，则既有奇函数又有偶函数的选法共有2+2+8=12种；故答案为：12．根据题意，分析6个函数的奇偶性，进而分3种情况讨论选出函数中既有奇函数又有偶函数的选法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及函数奇偶性的判定，属于基础题．15.【答案】（-，-]【解析】解：画出函数的图象，如图所示，令y=f（x），则y2+my+2m+3=0有2个不相等的实数解，其范围分别为（0，1）和[1，+∞），则解得＜m≤-故答案为：（-，-]．分析f（x）的图象，可知关于f（x）的二次方程有2根，范围分别为（0，1）和（1，+∞），在按二次方程根的分布处理．考查含有绝对值函数的图象，复合函数根的个数问题的处理，属于拔高题；16.【答案】①②④【解析】解：①若S为“C类集”，则对于任意，∈S，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈S，集合，可得对于任意μ，μ∈M，以及任意λ∈（0，1），都有λμ+（1-λ）μ∈M，故①正确；②若S是“C类集”，则对于任意，∈S，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈S，T是“C类集”，则对于任意，∈T，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈T，可得对于任意+∈M，+∈M，以及任意λ∈（0，1），都有λ（+）+（1-λ）（+）∈M，故②正确；③若A1“C类集”，可得对于任意，∈A1，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈A1，A2是“C类集”，对于任意，∈A2，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈A2，设M=A1∪A2，M为A1，A2中的元素的合并而得，且不重复，不符合“C类集”的定义，故③错误；④若A1“C类集”，可得对于任意，∈A1，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈A1，A2是“C类集”，对于任意，∈A2，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈A2，设M=A1∩A2，M为A1，A2中的元素的公共部分而得，且不为空集，符合“C类集”的定义，故④正确．故答案为：①②④．由新定义“C类集”，结合不等式的性质和集合的运算性质，即可判断结论．本题考查集合的新定义的理解和运用，考查定义法解题，以及推理能力，属于基础题．17.【答案】解：（1）在△PAD中，由E、F为PD，PA中点得，EF为中位线，即EF∥AD，又∵底面为矩形，AD∥BC，∴EF∥BC，∴由平行线确定唯一平面得E、F、B、C在同一平面上．（2）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，依题意得：A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1），E（0，，），=（1，0，-1），=（0，，），cosθ===，∴异面直线PB与AE夹角为：arccos．【解析】（1）要证B、C、E、F四点共面，只需证明EF∥BC，进而求解；（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，进而求解；考查空间内的点共面的证明，异面直线夹角的求法，空间直角坐标系的应用，属于中档题；18.【答案】解：（1）由题意f（0）=1+a=7，∴a=6，f（x）=，由=5可得2x=2或2x=3，∴x=1或x=log23，（2）函数定义域R，①当f（x）为奇函数时，f（-x）=-f（x），∴=-（2x+），∴（1+a）（）=0，∴a=-1；②当f（x）为偶函数时，f（-x）=f（x），∴=（2x+），∴（1-a）（）=0，∴a=1；③当a≠±1时，函数f（x）为非奇非偶函数．【解析】（1）由题意f（0）=7，代入即可求解，（2）要判断函数的奇偶性，只有检验f（-x）与f（x）的关系即可．本题主要考查了指数方程的求解及函数的奇偶性的判断，体现了分类讨论思想的应用》19.【答案】解：（1）依据题意：在△ACE中，正弦定理：=，即，解得：AE=，∴救护车到达A处需要时间：==2min，火车到达A处需要时间：=1.41min，火车影响A道口时间为[，]，2∈[，]，∴救护车经过A会受影响．（2）若选择A道口：一共需要花费时间为：t A=+1+×60=（3+）=4.41min若选择B道口：∵BE＞BC，通过B道口不受火车影响；一共花费时间为：t B=，由余弦定理求AB长：AB2=BC2+AC2-2BC•AC cos∠ACB，即AB=-，∴BD==，t B==×60min=4.25min＜t A，∴选择B过道．【解析】（1）利用正弦定理求出AE，进而求出火车到达A处的时间，进而求解；（2）分别求出选择A道口，B道口的时间，进而求解．考查利用三角函数解决实际问题的能力，分类讨论的思想，属于中档题．20.【答案】解：（1）抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A是第一象限内抛物线C上的一点，可设A（m，n），即n2=4m，m＞0，n＞0，又，可得m2+n2=5，解得m=1，n=2，即A（1，2）；（2）设A（x，y），由F（1，0），D（t，0），∠FAD=90°⇒•=（1-x，-y）•（t-x，-y）=（1-x）（t-x）+y2=0，①由△AFD为等腰三角形，可得A在x轴上的投影为FD的中点，即有x=，且y2=4x，代入①解得t=5±4，由t＞0，可得D（5+4，0）；（3）先证由“P为弦AB的中点”可得“直线QA与抛物线相切”．设直线AB的方程为x=ay+t，联立抛物线方程y2=4x，可得y2-4ay-4t=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=4a，AB的中点P（t+2a2，2a），Q（-t，2a），直线QA的斜率为k=，又x1=ay1+t，可得k=，又y2=4x两边对x求导，可得2yy′=4，即y′=，则在A处的切线的斜率为，由-==0，可得QA为抛物线的切线；再证由“直线QA与抛物线相切”可得“P为弦AB的中点”．设Q（-t，s），即P的纵坐标为s，可得切线QA的方程为y-s=（x+t），联立抛物线方程y2=4x可得-y++s=0，由△=1-4••（+s）=0，整理可得y12-2sy1-4t=0，②由y1为y2-4ay-4t=0的根，可得y12-4ay1-4t=0，③由②③为同一方程，可得2s=4a，即s=2a=，可得P为AB的中点，综上可得“直线QA与抛物线相切”的一个充要条件是“P为弦AB的中点”．【解析】（1）设A（m，n），即n2=4m，m＞0，n＞0，再由两点的距离公式，计算可得所求坐标；（2）设A（x，y），由F（1，0），D（t，0），由等腰直角三角形的定义，结合向量垂直的条件和中点坐标公式，解方程可得D的坐标；（3）先证由“P为弦AB的中点”可得“直线QA与抛物线相切”，设出AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及导数求得A处的切线的斜率，作差可得证明；再证由“直线QA与抛物线相切”可得“P为弦AB的中点”．设Q（-t，s），即P的纵坐标为s，可得切线QA的方程为y-s=（x+t），联立抛物线方程，运用直线和抛物线相切的条件可得判别式为0，整理，结合方程重合，即可得证．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线和抛物线相切的条件，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：（1）a n=a1q n-1=（-2）n-1，S2n-1==（1+22n-1）＞0，S2n==（1-22n）＜0，则数列{a n}具有性质P；（2）证明：由题意可得{a n}具有周期性，a n=a n+4，则S4n=nS4，由{a n}具有性质P，可得S4n≤0，S4n+1≥0，运用反证法，若S4＜0，则S4n+1=nS4+a4n+1=nS4+a1，令n=[-]+1，则S4n+1＜0，（当n=-+1时，S4n+1=0，则当n=[-]+1，则S4n+1＜0），与S4n+1≥0矛盾，可得S4≥0，又S4n≤0，具有S4=0成立；（3）由题意b n=2n-1，可设{c n}的前n项和为T n=An2+Bn，{b n}的前n项和为R n=n2，无穷数列{a n}具有性质P，可得S2n-1≥0，S2n≤0，其中S2n-1含有n项奇数项，n-1项偶数项，有S2n-1=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n-2）=（b1+b2+…+b n）+（c1+c2+…+c n-1）=n2+A （n-1）2+B（n-1），其中S2n含有n项奇数项，n项偶数项，有S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=（b1+b2+…+b n）+（c1+c2+…+c n）=n2+An2+Bn，由性质P可得对任意n∈N*成立，则A，B满足，即，可得c2019=T2019-T2018=B-4037∈[-4039，-4037]．【解析】（1）由等比数列的求和公式和不等式的性质，结合性质P，即可判断；（2）由题意可得a n=a n+4，则S4n=nS4，由性质P和反证法，即可得证；（3）可设{c n}的前n项和为T n=An2+Bn，{b n}的前n项和为R n=n2，运用性质P和数列的分组求和，解不等式可得A，B的范围，进而得到所求范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查反证法和分类讨论思想的运用，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
杨浦高三数学一模
的答案，选对得 5 13 若 a
b − c 都是非零向 ，则
a ⋅b = a ⋅c
是
a ⊥ (b − c)
(C)充要条件
的
A - 15 B -3 C 3 号 12 A 充 但非必要条件 B 必要但非充
次，得到的数
依次记作 a, b, c ，则 a + bi
i 为虚数单位
是方程 x − 2 x + c = 0 的根的概率是_____________. 8
a 6 设常数 a > 0 ， x + lim ( a + a 2 + ⋯ + a n ) = _____________. 展开式中 x 的系数为 4，则 n →∞ x
19 如图所示，椭圆 C : 1 定值 工 当直线 l1 的斜率 k1
x2 + y 2 = 1 ， 右焦点 别记作 F1 , F2 ，过 F1 , F2 4
直线 BC 的斜率 k 2 都 在时，求证
别作直线 l1 , l2 交椭圆 AB, CD ，且 l1 l2
k1 , k2 为
求四边形 ABCD 面
9
9
已知直线 l
过点 − 5,0 且方向向
(
)
为 ( 2, −1) ，则原点 O 到直线 l 的距离为_____________. 曲线 抛物线 y = x 2 的准线仅 一个公共点，则 曲线的标准方程
10 若
曲线的一条渐近线为 x + 2 y = 0 ，且
为_____________. 11 面直角坐标系中，给出点 A(1， 0)，B(4， 0)， 若直线 x + my − 1 = 0 在点 P ，使得 PA = 2 PB ,则实数 m 的取
上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科)
上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科） 2014.1.2考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为3y x =，则b =________.6．若函数()23-=xx f 的反函数为()x f1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积 等于 ()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________.9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费 用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12． 若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为 ．13．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的 概率是 ．14．已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）.)(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的 ………（ ）. )(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件． 17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为 ………（ ）. )(A (]1,2 ． )(B (1,2) ． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ． 已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =.(1)求实数a 的值； (2)若不等式()033≥-xxk f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． (1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分6分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠±.①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,第②问8分.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*N n ∈都有()()p a a b kn S n n +++=12成立， (其中k 、b 、p 是常数) ．（1）当0k =，3b =，4p =-时，求n S ； （2）当1k =，0b =，0p =时，①若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；②设数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“Ω数列”. 如果212a a -=，试问：是否存在数列{}n a 为“Ω数列”，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++< ．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所 有取值构成的集合；若不存在，说明理由．杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.3arctan ； 3.2； 4. ()0,∞- ； 5.3 ； 6. 1 ； 7. π； 8. 2；9. 理1±； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12. 理15 ；13.理95， 14.理②、③，二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18.理B ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分 .20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax n m x g -+-=-+=⋅=1)1(2122……4分又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43m ax ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==xx x x g x f ……8分令xt 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-xx k f 可化为kt t f ≥)(,即tt f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时tt f )(最小值为0, ……13分 0≤∴k ……14分21. 【解】理科 （1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分 所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分 同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分 “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8……14分22. 【解】理科解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=， 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……4分 据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m---+-++===---++23,4m m +-∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭,令x =0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=， 又有3m ≠±，∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为211d k=+,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以 482+-=+k kx x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……14分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ当22213510432243k k k k +=⇒=⇒=±+时等号成立, 此时直线110:12l y x =±- ……16分 23【解】 （理科）解：（1）当0k =，3b =，4p =-时，由()()p a a b kn S n n +++=12得 n n S a a 24)(31=-+ ① 用1n +去代n 得，11124)(3++=-+n n S a a ， ②②—①得，113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=， ……2分 在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴13n na a +=，∴数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴n S =312n - …….5分（2）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++ ， ③用1n +去代n 得，11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++ ， ④ ④—③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤ …….7分 用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥⑥—⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-， …….8分 ∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =，915a =， ∴公差93293a a d -==-，∴23n a n =- ……10分易知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-. 又{}n a 是“Ω数列”，得：对任意*,N m n ∈，必存在*N p ∈使1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数， …….12分 又由已知，111111218S <<，故1181211a << 一方面，当1181211a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*N n ∈， 都有123111111112n S S S S S ++++≥> .…….13分 另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，1111n S n n =-+，则1231111111n S S S S n ++++=-+ ， 取2n =，则1211121113318S S +=-=>，不合题意. …….14分 当14a =时，(3)n S n n =+，1111()33n S n n =-+，则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++ 1118<， …….15分 当16a ≥时，1(1)n S n n a =+-(3)n n >+，1111()33n S n n <-+， 123111*********()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++ ， …….16分 又1181211a <<，∴14a =或16a =或18a =或110a = …….17分 所以，首项1a 的所有取值构成的集合为{}10,8,6,4 …… 18分（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）。
上海市杨浦区高考数学一模试卷 文(含解析)
2015年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若，则α=．2．设A={x|1≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是．3．若在等差数列{a n}中，a3=7，a7=3，则通项公式a n= ．4．已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是．5．函数f（x）=x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）= ．6．二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是．7．不等式log2（x2﹣3x）＞2的解集是．8．已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．9．向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．10．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有种．11．已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为．12．已知集合A={z|z=1+i+i2+…+i n，n∈N*}，则集合A的子集个数为．13．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．14．如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A，B和函数y=log2x上的点 C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则实数p的值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7 B．i＜8 C．i＞7 D．i＞816．下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3=2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数17．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1=0 B．C．x2+y2+x﹣2y+1=0 D．18．对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．20．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？21．已知函数是奇函数（a，b，c为常数）（1）求实数c的值；（2）若a，b∈N*，且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）=m有正数解，求实数m的取值范围．22．如图，曲线Γ由曲线和曲线组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点；（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）对于（1）中的曲线Γ，若过点F4作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求三角形ABF1的面积；（3）如图，若直线l（不一定过F4）平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上．23．数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n=a n3，b n的前n项和为T n，且T n=S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015=﹣2014．2015年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若，则α=或．【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】根据sinα的值以及α的范围，利用特殊角的三角函数值，即可求出α的度数．【解答】解：∵sinα=，且α∈（0，π），∴α=或．故答案为：或【点评】此题考查了三角函数的化简求值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．2．设A={x|1≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[，0] ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】根据子集的概念即可得到，解不等式组即得m的取值范围．【解答】解：∵A⊆B；∴；∴；∴m的取值范围是[，0]．故答案为：．【点评】考查描述法表示集合，以及子集的概念．3．若在等差数列{a n}中，a3=7，a7=3，则通项公式a n= ﹣n+10 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据所给的a3=7，a7=3，设出未知数，列出方程，解得首项和公差，写出要求的通项公式．【解答】解：设数列的公差为d∵a3=7，a7=3，∴a1+2d=7，a1+6d=3，∴a1=9，d=﹣1，∴a n=﹣n+10．故答案为：﹣n+10．【点评】在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”首项、公差、公比、通项公式、前n项和是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．4．已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是x+y+1=0 ．【考点】直线的两点式方程．【专题】直线与圆．【分析】直接写出直线的两点式方程，化为一般式得答案．【解答】解：∵A（1，﹣2），B（﹣3，2），∴过A，B两点的直线方程为，整理得：x+y+1=0．故答案为：x+y+1=0．【点评】本题考查了直线的两点式方程，是基础的会考题型．5．函数f（x）=x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）= ﹣（x＞﹣1）．【考点】反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出值域值域为（﹣1，+∞），根据得出x=，转化变量求解反函数即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣1（x＜0），∴值域为（﹣1，+∞），y=x2﹣1，∴反函数f﹣1（x）=﹣（x＞﹣1），故答案为：﹣（x＞﹣1）【点评】本题考查了反函数的概念，属于容易题，关键是求解自变量的范围．6．二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是﹣84x3．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求得展开式（按x的降幂排列）中的第4项．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x9﹣2r，故按x的降幂排列中的第4项为﹣•x3=﹣84x3，故答案为：﹣84x3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7．不等式log2（x2﹣3x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】运用对数函数的单调性，即可得到x2﹣3x＞4，再由二次不等式的解法，即可得到解集．【解答】解：log2（x2﹣3x）＞2即为log2（x2﹣3x）＞log24，即有x2﹣3x＞4，解得，x＞4或x＜﹣1．则解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的单调性，考查二次不等式的解法，属于基础题．8．已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是[1，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】先由绝对值不等式|x+1|≤2解得﹣3≤x≤1；再由p是q的充分不必要条件，知﹣3≤x≤1⇒x≤a，而反之不可，则可求出a的取值范围．【解答】解：由|x+1|≤2得﹣2≤x+1≤2，即﹣3≤x≤1，又|x+1|≤2是x≤a成立的充分不必要条件，即﹣3≤x≤1是x≤a成立的充分不必要条件，所以a≥1．故答案为[1，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件及必要条件的含义．9．向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知向量的坐标求得m+与﹣2的坐标，再由向量平行的坐标表示列式求得m的值．【解答】解：∵ =（2，3），=（﹣1，2），∴m+=m（2，3）+（﹣1，2）=（2m﹣1，3m+2），﹣2=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）．又m+与﹣2平行，∴（2m﹣1）•（﹣1）﹣4（3m+2）=0，解得：m=﹣．故答案为：．【点评】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．10．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有30 种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】有题意需要分两类，第一类，当爷爷在6排D座时，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后排其他人，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，当爷爷在6排D座时，再排小孙女，最后排其他人，共有=18种，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后再排其他人，共有=12种，根据分类计数原理共有18+12=30种，故答案为：30【点评】本题考查了分类计数原理，关键如何分类，属于基础题11．已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为36π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为球的体积为36π，所以，球的半径为：r=3，所以球的表面积为：4π×32=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力．12．已知集合A={z|z=1+i+i2+…+i n，n∈N*}，则集合A的子集个数为16 ．【考点】子集与真子集．【专题】集合．【分析】先判断集合集合A中的元素的个数，再利用子集的个数公式进行进行求解；【解答】解：∵集合A={z|z=1+i+i2+…+i n，n∈N*}，取n=1，2，3，4…，∴A={1+i，i，0，1}，一共有4个元素，∴集合A的子集的个数为：24=16，故答案为：16．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．13．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．【考点】余弦定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：【点评】本题考查了解三角形的知识，对余弦定理及其变式进行重点考查，属于基础题目．14．如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A，B和函数y=log2x上的点 C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则实数p的值为．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果．【解答】解：根据题意，设A（x0，2+log2x0），B（p，q），C（x0，log2x0），∵线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴AC=2，2+log2p=q，∴p=2q﹣2，∴4p=2q；又x0﹣p=，∴p=x0﹣，∴x0=p+；又2+log2x0﹣q=1，∴log2x0=q﹣1，x0=2q﹣1；∴p+=2q﹣1；2p+2=2q=4p，∴p=，故答案为：．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7 B．i＜8 C．i＞7 D．i＞8【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得满足题意的循环条件．【解答】解：当S=0，i=1时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=1，i=2，当S=1，i=2时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=5，i=3，当S=5，i=3时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=14，i=4，当S=14，i=4时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=30，i=5，当S=30，i=5时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=55，i=6，当S=55，i=6时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=91，i=7，当S=91，i=7时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=140，i=8，当S=140，i=8时，应不满足继续循环的条件，故循环条件应为：i＜8，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．16．下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3=2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算性质和概念，逐一分析四个答案的真假，可得结论．【解答】解：对于A，若x∈C，则方程x3=2有三个根，故错误；对于B，若z1∈C，z2∈C，则z1，z2无法比较大小，故错误；对于C，若z∈R，则成立，故错误；对于D，若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数，故正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，难度不大，属于基础题．17．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1=0 B．C．x2+y2+x﹣2y+1=0 D．【考点】圆的标准方程；抛物线的定义．【专题】直线与圆．【分析】所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果．【解答】解：圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以圆的方程是x2+y2﹣x﹣2y+=0．故选D．【点评】本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题．18．对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．【考点】数列的极限．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．【解答】解：由题意，对于A，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以A不正确；对于B，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以B不正确；对于C，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）成立，并且，所以C正确；对于D，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以D不正确；故选：C．【点评】本题考查数列的极限，数列的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由AD∥BC得CBC1=60°，由已知线段BB1的长为线段A1B1到底面ABCD的距离，由此能求出线段A1B1到底面ABCD的距离．（2）由=，利用等积法能求出三棱椎的体积．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠CBC1为异面直线AD与BC1所成角，∴CBC1=60°，…∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥面ABCD，BB1⊥面ABCD，∴线段BB1的长为线段A1B1到底面ABCD的距离，…∵RT△BCC1中，BC=1，∠CBC1=60°，∴，线段A1，B1到底面ABCD的距离为．…（2）=…==…=．…【点评】本题考查线段到平面的距离的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【考点】扇形面积公式．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB=，∴AB=2Rsin，OH=Rcos，OE=DE=AB=Rsin，∴EH=OH﹣OE=R（cos﹣sin），S=AB•EH=2R2（sin cos﹣sin2）=，（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），则AB=2Rsin，OH=Rcos，oe=AB=Rcos，OE=AB=Rsin，∴EH=OH﹣OE=R（cos﹣sin），S=AB•EH=R2（2sin cos﹣2sin2）=R2（sinθ+cosθ﹣1）=R2[sin（θ+）﹣1]，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴θ+=即θ=时，S max=（﹣1）R2，此时A在弧MN的四等分点处．答：当A在弧MN的四等分点处时，S max=（﹣1）R2．【点评】本题考查扇形的面积公式，考查三角函数的性质，比较基础．21．已知函数是奇函数（a，b，c为常数）（1）求实数c的值；（2）若a，b∈N*，且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）=m有正数解，求实数m的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意得+=0恒成立，从而解得；（2）由题意得f（1）==2，f（2）=＜3；从而解得；（3）由题意得=m有正数解，从而解得．【解答】解：（1）∵函数是奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=0，即+=0，解得，c=0；（2）由题意，f（1）==2，f（2）=＜3；又∵若a，b∈N*，解得，a=1，b=1；故f（x）=；（3）由题意， =m有正数解，而≥2，故m≥2．【点评】本题考查了函数的性质应用，同时考查了基本不等式的应用，属于基础题．22．如图，曲线Γ由曲线和曲线组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点；（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）对于（1）中的曲线Γ，若过点F4作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求三角形ABF1的面积；（3）如图，若直线l（不一定过F4）平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得，解得即可．（2）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立（5+4n2）y2+48ny+64=0，△＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），利用根与系数的关系可得|y3﹣y4|=，利用S△CDF1=与基本不等式的性质即可得出．（3）曲线C2的渐近线为y=，如图，设直线l：y=（x﹣m），与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△＞0，由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），利用中点坐标公式与根与系数的关系即可证明即点M在直线y=﹣x上．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为+=1和．（2）解：由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．联立，化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴y3+y4=，．∴|y3﹣y4|==，===，令t=＞0，∴n2=t2+1，∴==，当且仅当t=，即n=时等号成立．∴n=时， =取得最大值．（3）证明：曲线C2的渐近线为y=，如图，设直线l：y=（x﹣m），，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，∴x0==， =．∴即点M在直线y=﹣x上．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．23．数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n=a n3，b n的前n项和为T n，且T n=S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015=﹣2014．【考点】数学归纳法；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）n=1时，T1=S12，；n=2时，T2=，；n=3时，T3=， =（a1+a2+a3）2．由此能求出符合要求的数列．（2）a n=n，即证明13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，用数学归纳法能证明a n=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列．（3）由已知得，从而，进而得到（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0=0，由此能求出结果．【解答】（1）解：n=1时，T1=S12，，解得a1=1或a1=0（舍），n=2时，T2=，，1+=（1+a2）2，解得a2=2或a2=﹣1，或a2=0，舍，n=3时，T3=， =（a1+a2+a3）2，当a2=2时， =（1+2+a3）2，解得a3=3或a3=﹣2，或a3=0（舍），当a2=﹣1时，1﹣1+=（1﹣1+a3）2，解得a3=1或a3=0（舍）．∴符合要求的数列有：1，2，3；1，2，﹣2；1，﹣1，1．（2）证明：∵a n=n，即证明13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，用数学归纳法证明：①n=1时，13=12，成立．②假设n=k时，成立，即13+23+33+…+k3=（1+2+3+…+k）2成立，则n=k+1时，13+23+33+…+k3+（k+1）3=（1+2+3+…+k）2+（k+1）3=====[1+2+3+…+k+（k+1）]2，也成立，由①②，对于n∈N*，都有13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，∴a n=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列．（3）解：∵，①∴，②②﹣①，得，∵a n+1≠0，∴，∴，③n≥2时，，④③﹣④，得，∴，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0=0，∴a n+1=﹣a n或a n+1=a n+1，n≥2．构造：．【点评】本题考查所有满足要求的数列的求法，考查a n=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列的证明，考查一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015=﹣2014的数列的求法，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．。
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杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合U A =ð_____________.3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，且1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为________.8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.11. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2fx x=，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->- C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-b a ”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖，n β‖，αβ⊥，则m n ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥18. 下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）SDCB A① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。
已知金字塔的每一条棱和边都相等 （1） 求证：直线AC 垂直于直线SD .（2） 若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 ．某农场规划将果树种在正方形的场地内。
为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树。
在下图里，你可以看到规划种植果树的列数(n)，果树数量及松树数量的规律：= 果树n=4n=3n=2n=1= 松树（1）按此规律，n = 5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量n a ，及松树数量n b 关于n 的表达式.（2）定义：)n (f )1n (f -+ ()*N n ∈为)n (f 增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题6分．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O ，逆时针15分钟转一圈，从A 处进入摩天轮的座舱，OA 垂直于地面AM ，在距离A 处150米处设置了一个望远镜B（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B 中仔细观看。
问望远镜B 的仰角θ 应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD ，发现取景的视角α恰为45︒，求绿化带BD 的长度（精确到1米）.x22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：()222210x y a b a b +=>>和椭圆2T ：()222210y x b c b c+=>>组成，当,,a bc 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.（1）若猫眼曲线Γ过点(0,M ，且,,a b c 的公比为22，求猫眼曲线Γ的方程； （2） 对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：ONOMk k 为与k 无关的定值；（3） l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T 上的任意一点（点N 与点,A B 不重合），求ABN ∆面积的最大值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知函数()D)(x x f ∈，若存在常数T （T>0），对任意D x ∈都有()() x f T T x f ⋅=+，则称函数() x f 为T 倍周期函数（1）判断()x x h =是否是T 倍周期函数，并说明理由.（2）证明()x41 x g ⎪⎭⎫⎝⎛=是T 倍周期函数，且T 的值是唯一的.（3）若() )N (n n f *∈是2倍周期函数，()11f =，()42f -=，n S 表示()n f 的前n 项和，1n 2n2n S S C -=，若10)1a (log C a n ++<恒成立，求a 的取值范围.理科评分参考一、填空题SDCB A1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 04 3 2． ()[),12,-∞-+∞ 3．1 4． 16π 5. 110,,122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．7．20171008 8． 349．56- 10． 36 11．3212． 2- 13．x 4y 2= 14．（4，6） 二、选择题15．C 16．A 17．D 18．A 三、解答题19．（本题12分，第1小题6分，第2小题6分） 解：（1）如图，连接,AC BD 交于点O ，则O 为线段BD 中点，在正方形ABCD 中，对角线AC BD ⊥ （2分）在ASC ∆中，SA SC = ，SO AC ∴⊥S O B DO = ，AC ∴⊥平面SBD （2分）A C S D ∴⊥ （2分）（2）边长为3米 （2分）棱锥的高2233221SO 22=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2分） 229223331V 2=⋅⋅=∴ 立方米 （2分） 答：需要229立方米填充材料. 20．（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）解：（1）n = 5时果树25棵，松树40棵 （2分）2n n a = （2分） n 8b n = （2分） （2）()1n 2n 1n a a 22n 1n +=-+=-+ （2分）()8n 81n 8b b n 1n =-+=-+ （2分）当3n ≤时，2n+1 < 8 松树增加的速度快 （2分） 当4n ≥时，2n+1 > 8 果树增加的速度快 （2分）21．（本题14分，第1小题8分，第2小题6分） （1） 逆时针15分钟转一圈，∴5分钟转过120︒ （2分） 过点C 作CH AB ⊥于点H ，则()5050sin 1209075CH =+⋅︒-︒= （2分） ()15050c o s 12090253BH =-⋅︒-︒=-（2分）tan CH BH θ∴====35θ∴=≈︒（2分） 答：望远镜的仰角θ设置为35︒（2）在BCD ∆中，35,45θα=︒=︒，80CDH ∴∠=︒ （2分）75sin 80sin 80CH CD ∴==︒︒由正弦定理得：sin sin BD CDαθ=（2分） sin 75sin 4594sin sin 80sin 35CD BD αθ⋅⋅︒∴==≈︒⋅︒（2分）答：绿化带的长度为94米.22．（本题16分，第1小题4分，第二小题6分，第三小题6分） （1）b =2,1a c ∴==， （2分）221:142x y T ∴+=，222:12y T x ∴+=； （2分） （2）设斜率为k 的直线交椭圆1T 于点()()1122,,,C x y D x y ，线段CD 中点()00,M x y 121200,22x x y y x y ++∴== 由22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()()()12121212042x x x x y y y y -+-++= （2分）k 存在且0k ≠，12x x ∴≠，且0x 0≠ ∴01212012y y y x x x -⋅=-- ，即21k k OM -=⋅ （2分）同理，2k k ON -=⋅ 41k k ON OM =∴得证 （2分） （3）设直线l的方程为y m =+22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y m y x bc ，()2222222220∴+++-=b c x x m c b c0∆= ，2222∴=+m b c1: =l y （2分）22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y mx yab ， ()2222222220∴+++-=b a x x m a b a 0∆= ，2222∴=+m b a2: =l y （1分）两平行线间距离：d =（1分）∴=AB （1分）ABN ∴∆的面积最大值为22122=⋅=+S AB d b a（1分）注：若用第一小题结论，算得：==ABd ==∆ABN的面积最大值为12S ==得3分23．（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） （1） 设：()() x h T T x h ⋅=+则 x T T x ⋅=+ 对任意x 恒成立 （2分）T 无解∴ ()x x h = 不是T 倍周期函数 （2分）（2） 设：()() x g T T x g ⋅=+则 xTx 41T 41⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 对任意x 恒成立 （2分）T 41T=⎪⎭⎫⎝⎛ 21T =（2分） 下证唯一性： 若 21T >， 214141T 21T=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾 若 21T <， 214141T 21T=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾 ∴ 21T = 是唯一的 （2分）（3）()()()2 12f 21f 3f ==+=()()()22 32f 23f 5f ==+= ()()()32 52f 25f 7f ==+=()()()1-n 2 3-2n 2f 23-2n f 1n 2f ==+=- ()()()()1222211-2n f 5f 3f 1f n 1n 2-=++++=++++- （2分） 同理： ()()()()()()124222142n f 6f 4f 2f n 1n 2--=++++-=++++- ∴ ()()()()123n 2f 2f 1f S n n 2--=+++=同理：()()()321n 2f 2f 1f S n 1n 2+-=-+++=- ()32123S S C n n 1n 2n 2n --==- （2分） 3C 1-= 9C 2=显然：2n ≥ 0C n > 且 ()()()()()()32522327223212332123C C n 2nn 2n n n 1n 1n n 1n +⋅-+⋅-=----=+++ ()()<+⋅-32722n 2n()()32522n 2n +⋅- ∴ 1C C n1n <+ 即单调递减 ∴ ()9C C 2m a x n == （2分） 10)1a (log C a n ++<恒成立， ∴ >++10)1a (log a ()9C max n = ∴ 1)1a (log a ->+① 1a > 时 a11a >+ 解得 ：1a > ② 1a 0<< 时 a 11a <+ 解得 ：251a 0+-<< ∴ 251a 0+-<< 或 1a > （2分）。