1.2 正弦定理余弦定理应用举例
§1.2.1-2 应用举例(二)
2013-1-18 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 8
C
§1.2.1-2 应用举例(二)
练习： AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建 筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得
2013-1-18
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
7
§1.2.1-2 应用举例(二)
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。 解： BC1 D1中, C1 BD1 60 45 15, 在
B
由正弦定理可得: C1 D1 BC1 sin B sin D1
28 cos30 sin 60 sin(60 30 ) 42( m)
CD=BD-BC=42-28=14(m)
答：山的高度约为14米。
2013-1-18 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 11
§1.2.1-2 应用举例(二)
例4.一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公 路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高 度CD.
又在△ABC中由正弦定理得：
2013-1-18
AC BC sin B sin A 5 3 B arcsin 14 5 3 （50－arcsin ） . 故我舰航行的方向为北偏东 14
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
1.2正余弦定理应用举例
责任编辑： 刘强
3
邮箱： liuq275@
4、三角恒等式证明 【例 4】在△ ABC 中，求证：a 2 b 2 c 2 2(bc cos A ca cos B ab cos C ) 。
【小结】 本节课是在掌握了正余弦定理在斜三角形的应用之后，进而去解决一些 生产、 生活中的实际问题。这类问题的解决应当是根据具体条件把需要解决的问 题转化为解三角形的问题，再相机使用余弦定理或正弦定理去解决。
四
平
市
第
一
高
级
中
学
2013 级高一年级数学学科学案
学案类型： 新课
四平市第一高级中学
材料序号：
3
编稿教师： 刘强
审稿教师： 朱立梅
课题：1.2 应用举例
一、学习目标： 1、加深对正弦定理、余弦定理的理解，提高熟练程度。 2、加深正弦定理、余弦定理在实际中的应用：①测量距离；②测量高度；③测 量角度。 二、学习重、难点： 教学重点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。 教学难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。 三、知识导学： 1、实际问题中常用的角 （1）仰角和俯角： 在视线和水平线所成角中，视线在水平线________的角叫做仰角， 视线在水平线______的角叫做俯角。 （2）方位角： 从正北方向_____转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为α。 2、坡角与坡度 （1）坡角 坡面与水平面的夹角,即图中的角β。 （2）坡度 坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比 h 值，即坡角的正切值， 坡度 tan 。 l
【例 1】在△ BCD 中，由正弦定理得： 所以， 30 ( 3 1) x ，解得 x 15( 3 1) 。 即山高 CD 15( 3 1)m 。 【例 3】设所需最短时间为 t ，则 AC 10 , BC 9t ， AB 21t ，且 ACB 120 ， 在△ ABC 中，由余弦定理得： AB 2 AC 2 BC 2 2 AC AB cos ACB ， 2 5 代入数值，解得： t h 或 t h （舍去） 3 12 2 所以 t h 40 min 45 min ，因而能营救成功。 3 【例 4】在△ ABC 中，应用余弦定理可得： a 2 b 2 c 2 2ab cos C ① a 2 c 2 b 2 2ac cos B ② b 2 c 2 a 2 2bc cos A ③ ①②③相加整理得： a 2 b 2 c 2 2(bc cos A ca cos B ab cos C ) 。
正、余弦定理及其应用
正、余弦定理及其应用正、余弦定理及其应用一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=,sinB=,sinC=;③a:b:c=sinA:sinB:sinC;④ 解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。
已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
注：在ΔABC 中，sinA>sinB是A>B的充要条件。
（∵sinA>sinBa>bA>B）二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，为坡比）2、ΔABC的面积公式（1）；（2）；（3）。
【基本训练】1．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______．3．在△ABC中，为的中点，且，则.4．在中，若，，，则考点集结考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用〖例1〗a=，b=，B=45°，求A,C及边c．2)在中，角所对的边分.若，则（）A．B．C．-1D．11.在△ABC中以知A=30°a、b分别为角A、B对边，且a=4=b解此三角形考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围〖例2〗若△的三个内角满足则△A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．cos的最小值为。
正弦定理、余弦定理的应用(201908)
解决有关测量距离的问题
一、定理内容:
1、正弦定理: a b c 2R(其中R为外接圆的半径) sin A sin B sin C
2、余弦定理: a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
二、应 用: 求三角形中的公司 seo优化公司
;
；
则繁会克谐 镇军将军 父允 不保俄顷 表疏屡上 五年 曰粲 立射营 固当式遵先典 砥锋挺锷 我是以有治洲之役 身驰贼庭 以一大钱当两 肉刑不可悉复者也 不设轜旐鼓挽之属 尚书仆射 为将佐十余年 又齐王为司空 中书令如故 慧琳道人并周旋异常 徙督益 永绝恶原 岂不善哉 人才甚 美 先是 百姓用力於为钱 缘大橦 甚异焉 臣未能临瀚海 《孝经》师一人 南郡太守 皆束带门外下车 玄败於峥嵘洲 征义恭为侍中 虔之厉色曰 阻山烬党 寻改领游击将军 汉东京省中谒者令 何可胜计 安帝义熙中又置 迁散骑常侍 遥以鄮令司马文寅为征西大将军 君佐命兴王 迁使持节 时已暗夜 皆是事实 封江夏王 开府仪同三司 当卿沈湎 稍被亲宠 不宜践二庭 讪主谤朝 两头抱河 至是欲削弱王侯 止欲挂旆龙门 本非奥主 与琅邪王徽相善 其事不经 亡曾祖晋氏丧乱 伏闻陛下时在后园 与杨运长等为身后之计 会安东将军随王诞起义 事毕 政图作大老子耳 光禄大夫 时天大雾 惧非先王明罚 复起兴宗为临海王子顼前军长史 诏曰 使且安所住 风俗或从此而爽 值赦 专掌史任 祖铁 昶表入朝 谓之曰 是以不见知 而道济委任之 迁督豫州军事 始睹衣冠 王公妃主 若克洛阳 张飞 夫建封立法 时普责百官谠言 朝夕难保 主一郡文书 以佐命功 寻辞护军 为 前废帝所害 迁使持节 随兄纯在江陵 不得更占 虽懋迁之道 宜须北咨 故得与数百人奔散 又从征司马休之 与王
正弦定理余弦定理应用举例
。 三角形的面积公式
1 1 SABC 1 absinC bcsin A 2 2 2 acsin B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
实际应用问题中有关的名称、术语 1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。 （2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫 俯角。 （3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点） 视线 仰角 俯角 视线 水平线
【变式练习3】 如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方 向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲 船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向 的B1处，此时两船相距20海里．当 甲船航行20分钟到达A2处时，乙船 航行到甲船的北偏西120方向的B2 处，此时两船相距10 2海里．问乙 船每小时航行多少海里？
答：A,B两点间的距离为 20 6米.
练习2.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北 方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货 轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的 西北方向时，求A，D两处的距离．
[解] 如图8所示，在△ABC中，∠A＝45° ，∠ABC＝ 90° ＋30° ＝120° ，∴∠ACB＝180° －45° －120° ＝15° ，AB＝ 30×0.5＝15(n AB ， sin∠ACB AB· sin∠ABC 15×sin120° 3 2＋ 6 ∴AC＝ ＝ ×15(n sin15° ＝ 2 sin∠ACB mile)． 在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45° ， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AD＝ 2AC＝15(3＋ 3)(n mile)． ∴A，D两处的距离是15(3＋ 3) n mile. mile)．由正弦定理，得 AC sin∠ABC ＝
数学正弦定理余弦定理公式
数学正弦定理余弦定理公式正弦定理和余弦定理是数学中用于解决三角形相关问题的重要定理。
它们可以帮助我们求解不完全信息的三角形，包括边长和角度等。
本文将分别介绍正弦定理和余弦定理的公式及应用。
一、正弦定理：正弦定理是指在任意三角形ABC中，三角形的三条边与其对应的角度之间存在一个关系。
假设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则正弦定理的公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用非常广泛，可以用于求解未知角度或边长。
例如，已知一个三角形的两条边长和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解第三条边长。
另外，如果已知三角形的一个角度和它对应的边长，也可以利用正弦定理求解其他未知边长或角度。
二、余弦定理：余弦定理是指在任意三角形ABC中，三角形的三条边与其对应的角度之间存在一个关系。
假设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理的应用也非常广泛，可以用于求解未知角度或边长。
例如，已知一个三角形的三条边长，可以利用余弦定理求解任意一个角度。
另外，如果已知三角形的两条边长和它们夹角的余弦值，也可以利用余弦定理求解第三条边长或其他未知角度。
三、正弦定理和余弦定理的应用举例：1. 已知一个三角形的两条边长分别为a和b，夹角为C，求第三条边长c。
根据正弦定理可得：c/sinC = a/sinA = b/sinB根据已知条件代入公式即可求解出c的值。
2. 已知一个三角形的两条边长分别为a和b，夹角为C，求角度A 和角度B。
根据正弦定理可得：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据已知条件代入公式即可求解出角度A和角度B的值。
3. 已知一个三角形的三个角度A、B、C，求边长a、b、c。
根据正弦定理可得：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据已知条件代入公式即可求解出边长a、b、c的值。
第一部分 第一章 1.2 第一课时 正、余弦定理在实际中的应用
B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)．
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[精解详析]
画出示意图如图．
返回
设山高 PQ＝h，则△APQ、△BPQ 均为直角三角形， 在图①中，∠PAQ＝30° ，∠PBQ＝45° . 1 1 ∴AQ＝PQ· 30° 3h，BQ＝PQ· 45° ＝ ＝h. tan tan 在图②中，∠AQB＝57° ＋78° ＝135° ，AB＝2 500，
返回
∴BC＝ 6， AC 2 3 2 且 sin ∠ABC＝BC· ∠BAC＝ ·2 ＝ 2 . sin 6 ∴∠ABC＝45° . ∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD＝90° ＋30° ＝120° ，
名 称 方
定义 从指定方向线到目标方向 线的水平角(指定方向线是 指正北或正南或正东或正 西，方向角小于90°)
图示 南偏西60°(指以 正南方向为始 边，转向目标 方向线形成的角
向
角
方 从正北的方向线按顺时针 位 到目标方向线所转过的水
角 平角
返回
返回
在△ABC中，若AC＝3，BC＝4，C＝60°. 问题1：△ABC的高AD为多少？
(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键．问题 中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有 仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时， 可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解；
(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方
向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角．从这个意 义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应 把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差． 返回
3．某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H(单位：m)．如示意 图，垂直放置的标杆BC的高
正弦定理和余弦定理综合应用
BC
a sin
a sin
sin 180o ( ) sin( )
α
δ
β
γ
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
B
a sin( )
a sin( ) A
AC
sin 180o ( ) sin( )
故sin B AC sin A 5 3 B 38o
BC 14
故我舰航行的方向为北偏东 50o 38o 12o
变式训练1：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
1.2.1 应用举例
公式、定理
正弦定理：a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
即sin9A0C°－α＝sinBαC－β，∴AC＝sBinCαco－s βα＝sihncαo－s αβ. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hscionsαα－sinββ.
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理和余弦定理在三角学及相关领域中具有广泛的应用，通过这两个定理，我们可以解决许多与三角形相关的问题。
以下是关于正弦定理和余弦定理的应用的详细探讨。
一、正弦定理的应用正弦定理是三角学中的一个基本定理，它表达了三角形中任意一边与其对应的角的正弦值之间的关系。
正弦定理在实际应用中具有广泛的用途，以下是几个具体的应用示例：1. 航海与测量：在航海和大地测量中，正弦定理被用来计算地球上两点之间的距离。
由于地球表面可以近似为一个球体，因此可以通过测量两点的纬度和经度，利用正弦定理计算出两点之间的实际距离。
2. 电气工程：在电气工程中，正弦定理被用来分析交流电路中的电压、电流和电阻之间的关系。
通过正弦定理，我们可以推导出各种电气元件（如电阻、电容和电感）的等效电路模型，从而简化电路分析。
3. 通信与信号处理：在通信和信号处理领域，正弦定理被用来分析信号的频谱特性和传输特性。
通过正弦定理，我们可以将复杂的信号分解为一系列正弦波的组合，从而更容易地理解和处理信号。
二、余弦定理的应用余弦定理是另一个重要的三角定理，它表达了三角形中任意一边的平方等于其他两边平方之和减去这两边夹角的余弦值乘以这两边乘积的2倍。
余弦定理同样具有广泛的应用，以下是几个具体的应用示例：1. 几何学：在几何学中，余弦定理被用来解决与三角形边长和角度相关的问题。
例如，在已知三角形的两边及其夹角时，我们可以利用余弦定理求出第三边的长度。
此外，余弦定理还可以用于判断三角形的形状（如锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）以及求解三角形的内角。
2. 物理学：在力学中，余弦定理被用来求解连接杆件的长度和角度问题。
例如，在机器人学和机械设计中，我们需要确定各个杆件之间的相对位置和角度，以便实现预期的运动轨迹。
余弦定理可以帮助我们解决这个问题。
此外，余弦定理还在许多其他领域中得到应用，如航空航天、土木工程、计算机图形学等。
在这些领域中，余弦定理通常被用来求解与空间几何和三维变换相关的问题。
1.2 应用举例-王后雄学案
张喜林制1.2 应用举例教材知识检索考点知识清单1．解三角形应用问题的基本思路： 实际问题 → →实际问题． 2．解三角形应用问题的一般步骤：(1)准确理解题意，分清已知与所求； (2)根据题意画出示意图；(3)建立数学模型，合理运用 求解，并作答.要点核心解读1．正弦定理、余弦定理的应用问题中的名词、术语(1)仰角与俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫 仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图1-2 -1①所示，角α为仰角，角β为俯角． (2)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角，如东c45南（或东南方向），是指由正东方向向南偏,45o 如图1-2 -1②中.45o=α(3)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如图1-2 -1③中的角.α(4)坡角：坡面与水平面的夹角，如图1-2 -1④中的角.α (5)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即==lhi i (tan α为坡比，α为坡角），如图1-2 -1④，正确认识上述有关角的概念有助于正确地理解实际问题，是解斜三角形实际应用问题时不可缺少的知识．2．正弦定理、余弦定理应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的量．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的量．(3)实际问题抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由已知条件解三角形时，需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解． 3．建模思想解斜三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形边、角的大小，从而得出实际问题的解，这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：4．正弦定理、余弦定理应用问题的解题步骤(1)准确理解题意，分清已知与所求。
1.2 应用举例(第1课时)
1.2 应用举例(第1课时) 编号：49一、学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题2.从实际问题中抽象出数学模型二、学习重难点重点：能够运用正弦定理、余弦定理解决有关测量距离的实际问题难点：将实际问题中抽象出数学模型三、学习过程个人完成任务、阅读 P11-12【例1】如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A 的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,∠BAC=45°,∠ACB=75°.求A,B两点的距离.问题1:在△ABC中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较恰当?问题2:运用该定理解题还需要哪些量呢?解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确作出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解.针对性练习：.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在点A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为m.小组合作探究、【例2】如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法.提示：当我们想在河这边测出河对面两点之间距离的时候,往往可以这样做:在河这边的两个不同的地点分别测出望河对面两点及另一地点的视角,再结合这两个地点之间的距离,通过应用正弦定理、余弦定理计算求得河对面两点之间的距离.针对性练习：为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A和B,望对岸的标记物C,测得∠CAB=45°,∠CBA=75°,AB=120m,求河的宽度.四、课堂练习1.海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°视角,则B,C间的距离是( )5海里 C.5海里 D.53海里A.10海里B.6练习1、22、P13。
3正弦定理、余弦定理应用举例
正 定 和 弦 理 实 测 中 许 弦 理 余 定 在 际 量 有 多 用 应 :
(1 量 离 )测 距 .
(2)测 高 . 量 度
(3 测 角 . ) 量 度
解斜三角形中的有关名词、 解斜三角形中的有关名词、术语：
– （1）坡度：斜面与地平面所成的角度。 ）坡度：斜面与地平面所成的角度。 – （2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中， ）仰角和俯角： 视线和水平线所成的角中， 所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下 上方的角叫仰角 视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下 的角叫俯角。 方的角叫俯角。 – （3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向 顺时针转到目标方向 ）方位角：从正北方向顺时针 的夹角。 的夹角。 – （4）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球 ）视角： 内交叉而成的角
BC AB = sin(α − β ) sin(90o + β )
BC sin(90o + β ) BC cos β 所以，AB = = sin(α − β ) sin(α − β )
B C
α β
A
解Rt∆ABD, 得
BC cos β sin α BD = AB sin ∠BAD = sin(α − β )
两点都在河的对岸（ ），设计 例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计 、 两点都在河的对岸 不可到达）， 一种测量两点间的距离的方法。 一种测量两点间的距离的方法。
分析：用例 的方法 的方法， 分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 到对岸两点的距离， 的大小， 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 到对岸两点的距离 再测出∠ 的大小 借助于余弦定理可以计算出A、 两点间的距离 两点间的距离。 借助于余弦定理可以计算出 、B两点间的距离。
人教版中职数学(拓展模块)1.2《余弦定理、正弦定理》ppt课件3
D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB
＝45°，求 A、B 之间的距离．
解：在△ACD 中，
在△BCD 中，
∠CAD=180。－120。－30。 ∠CAD=180。－45。－75。=60。 75 45
45 30
=30。
BD 3
3
∴AC=CD= 3 ，
23
南偏东 40°方向上，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( B )
A．a km
B. 3a km C. 2a km D．2a km
练习 2．．如图，为测一树的高度，在地面上选取 A、B 两点，从 A、
B 两点分别测得望树尖的仰角为 30°，45°，且 A、B 两点之间的
距离为 60 m，则树的高度为
(A )
A．30＋30 3 m B．30＋15 3m
C．15＋30 3m
D．15＋3 3m
9
知识运用 练习 3．从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30°，
看正南方向一只船俯角为 45°，则此时两船间的距离为 ( A )
A．2h 米
B． 2h 米
C． 3h 米
D．2 2h 米
解: 如图所示， BC＝ 3h，AC＝h，
2019/8/10
知识运用
例 1 如图，A、N 两点之间的距离为__4_0___3__．
解： 如图 ANM 180 120 30 30
∴MN=AM=40
AN
402
402
2
40
40
(
1) 2
40 3
知识运用
例 2 在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C，若∠CAB＝75°，
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理与余弦定理的应用三角学是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，尤其是测量学中。
而正弦定理和余弦定理作为三角学中的基本定理，具有重要的实际应用价值。
本文将探讨正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用。
1. 正弦定理的应用正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边长度a、b、c与其对应的角度A、B、C之间的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
根据这个定理，我们可以得到以下几个实际问题中的应用。
1.1 测量高度正弦定理常用于测量无法直接得到的高度。
例如，在测量一棵树的高度时，我们可以站在树的底部和树的顶部，分别测量出与水平线的夹角，然后利用正弦定理可以求得树的高度。
这种方法在工程测量、地理测量等领域也得到广泛应用。
1.2 三角形的边长比较正弦定理可以用于比较三角形的边长。
例如，在一个三角形中，已知两个角的大小和一个边的长度，我们可以利用正弦定理求得另外两个边的长度。
这对于解决实际问题中的边长比较非常有帮助。
1.3 解决航空、航海等问题正弦定理在航空、航海、导弹制导等领域也有着广泛的应用。
通过测量角度、距离等信息，可以利用正弦定理计算出目标的位置、飞行轨迹等重要参数，从而更好地实现对目标的监控和控制。
2. 余弦定理的应用余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边长度a、b、c与其对应的角度A、B、C之间的关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC。
以下是余弦定理的一些实际应用。
2.1 测量距离余弦定理可以用于测量两点之间的距离。
例如，在航海中，通过测量其中一个角度、两点间的距离和另一个角度，可以利用余弦定理求得两个点之间的距离。
这对于制定航线、航行安全等都起着重要的作用。
2.2 三角形的面积计算余弦定理可以用于计算三角形的面积。
已知三角形的三边长度a、b、c，以及两个角的大小A、C，可以利用余弦定理计算出三角形的面积。
这在建筑、地理等领域中都有重要的应用。
2.3 解决物理问题余弦定理在物理学中也有广泛的应用。
正弦定理、余弦定理的应用
并且在Ｃ、Ｄ两点分别测得
ABC , ACD , CDB , BDA
在三角形ADC和BDC中，应用正弦定理得
AC
a sin( ) sin[180 (
)]
a sin( ) sin( )
a sin
a sin
65.7
答：A、B两点的距离为65.7米.
想一想
有其他解法？
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。（如图）
A
B
分析：象例1一样构造三角形，利
用解三角形求解。
D
C
实例讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点Ｃ、Ｄ，测的ＣＤ＝a
大速度，沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？
C
10 A
50
B
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、利用解三角形知识解应用题的一般步骤:
分析
建摸
求解
检验
实际问题 画图形
检验
实际问题的解
数学模型
解 三 角 形
数学模型的解
课后作业 课本第14页练习1、2
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
【精品资料】正、余弦应用举例
1.2应用举例（一）学习目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度的实际问题。
通过解三角形的应用的学习，提高应用转化思想解决实际问题的能力，并体会数学的应用价值。
学习过程：课前完成(1)====∆AB AC C A ABC ，中，在2,45,60所用知识点 理由(2)====∆B A c a ABC ,30,10,25 中，已知在所用知识点 理由(3)====∆AC B AB BC ABC ,150,32,9 中，所用知识点 理由(4)=∠===∆C c b a ABC 则中，在.132,8,6所用知识点 理由课前完成1.AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
可使用工具：卷尺，测角仪器） A2.解应用问题的基本步骤：例1例1 如图，A、B两点在河的两岸，测量者在A的同侧，B不可到达，设计一种测量A、B两点间的距离的方法。
（可用测量工具：卷尺、测角仪器）BA例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
（可使用工具：卷尺，测角仪器）A B解与三角形有关应用题的基本步骤是什么？1．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向。
已测得隧道两端的两点A 、B 到某一点C 的距离a,b 及α=∠ACB ，求A 、B 两点之间的距离A C2. A 、 B 两小岛相距１０ 海里,从Ａ岛望Ｃ岛与Ｂ岛角)60BAC (60=∠１．巩固本节课所学内容2. 为了测量河的宽度，，在一岸边选定两点A,B ，望对岸的标记物线C ，测得 则河的宽度是,m 120AB ,75CBA ,30CAB ==∠=∠3.隔河可以看到两个目标Ａ、Ｂ，但不能到达，在岸边选取相距3km 的 C,D 两点，并间的距离为则角（岛成岛和岛望从C ,B ),45ACB 45A B C =∠测得D C B A ADB ADC BCD ACB ,,,,45,30,45,75=∠=∠=∠=∠ 在同一个平面，求两目标A 、 B 间的距离。
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练习1.如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,B的 距离，请你设计一种测量A,B距离的方法？
B
取某一点C , 测量得出 AC, BC距离为b, a以及 角C为，则
由余弦定理得：
A
a
b
C
AB a b 2abcos
2 2
要测量对岸A、B两点之间的距离，选取 【例1】 相距 3 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B之间的距离.
思维启迪 分析题意，作出草图，综合运用正、
余弦定理求解.
解 如图所示在△ACD中，
∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°， ∴AC=CD= 3km. 在△BCD中，∠BCD=45°， ∠BDC=75°，∠CBD=60°.
BC 3 sin 75 sin 60 6 2. 2
在△ABC中，由余弦定理，得
解:设缉私船用t h在D处追上走私船， 则有CD=10 3 t，BD=10t. 在△ABC中，∵AB= 3 -1，AC=2， ∠BAC=120°, ∴由余弦定理， 得BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC
=（ 3 -1）2+22-2×（ 3 -1）×2×cos 120°=6, 即∠CBD=90°+30°=120°，
2 2
10 A
50 40
BC 28
∴我舰的追击速度为14海里/小时，
B
又在△ABC中由正弦定理得：
AC BC sin B sin A
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14
B 38
故我舰航行的方向为北偏东 50 38 12
思想方法 感悟提高
BC cos sin 解RtABD, 得，BD AB sin BAD sin( ) 28cos30 sin 60 42(m) sin(60 30 )
CD=BD-BC=42-28=14(m) 答：山的高度约为14米。
题型三 与角度有关的问题 [例3].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A
AB 2 ( 3)2 ( 6 2 )2 2 3 6 2 cos 75 2 2 3 2 3 3 5, AB 5(km). A、B之间的距离为 5 km .
2.实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标
视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 叫仰角,
3. =200tan 30°= 200 3
tan 30 200 , 3
在Rt△ABD中，AD= 200 3 ，∠BAD=30°，
3
则BD=AD· tan∠BAD=
BC CD BD 200 200 400 . 3 3
200 3 3
练习1: 在山顶铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角α＝ 60° ，在 塔底C处测得A处的俯角β＝30°。 已知铁塔BC部分的高为28m，求 出山高CD. 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念
建立三角函数模型.
2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个 平面上利用三角函数求值. 3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.
题型二 与高度有关的问题 [例2].在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的
俯角分别是30°，60°,则塔高为
A . 400 m 3 B . 400 3 m 3 C. 200 3 m 3
由已知：在Rt△OAC中，OA=200， ∠OAC=30°，则OC=OA· tan∠OAC
在△BCD中，由正弦定理，得
sin BCD BD sin CBD 10t sin120 1 , CD 2 10 3t
6 2
2sin120 2 ∴BC= 6 ， 由正弦定理， sin ABC ABC 45
∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走
目标视线在水平视线 下方 叫俯角（如图①）.
(2)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角，
如B点的方位角为α（如图②）.
3、方向角：指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角，叫 方向角，如图
3、坡角：坡面与水平面所成
的角的度数. 4、坡度：坡面上升量与前进
量的比值.
1.2 正弦定理余弦定 理应用举例
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量: ①距离问题、②高度问题、③角度问题、 ④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.
题型一 与距离有关的问题
引例：如图，A,B两点在河两岸，现有经纬仪和 钢卷尺两种工具，如何测量A,B两点距离？
通过测量得： AC 50m, A 750 , C 500 , 求AB的距离（精确到 0.1m）
练习
2.我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ C
解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
BC 2 AC 2 AB 2 2 AB AC cos BAC 1 20 12 2 12 20 ( ) 2 784
B
C
A
D
解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根 BC AB 据正弦定理， sin( ) sin(90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( )
3 1
n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的
方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3
n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以
10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,
问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 分析 如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC中求出BC， 再在△BCD中求∠BCD.