【人教A版】高中数学必修第二册：8.2立体图形的直观图 同步讲义
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面积为 ，解得 ，
故选：D.
6、若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（）倍.
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可．
【详解】
以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据平面图形直观图的斜二测画法规则判断，首先判断与坐标平行的线段长度的变化．如三角形的底和高．
【详解】
C中，前者在斜二测画法下所得的直观图中，底边 不变，高变为原来的 ，后者在斜二测画法下所得的直观图中，高 不变，底边 变为原来的 ，故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等.
（2）已知图形中平行于 轴或 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴与 轴的线段
（3）已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半
题型一直观图的步骤
例1 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（）
A．原来相交的仍相交
还原 ，可知 且 ，进而通过图形可判断出结果.
【详解】
由直观图画出 如图所示
其中 ，①错误； ，②错误；
，③正确，④错误
故答案为：③
1、如图所示，正方形 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．6B．8C． D．
【答案】B
【分析】
根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则可得结果.
【分析】
在四边形 中，过 作出 轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图.
【详解】
由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点 ，而B、D对应点 位置不变，如下图示：
用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形 的直观图.
【答案】见解析
【分析】
根据斜二测画法的规则作衅．
【详解】
（1）过点 作 轴，垂足为 ，如图①所示.
故选：AB.
9、水平放置 的斜二测直观图如图所示，已知 ， ，则 边上的中线的长度为______.
【答案】
【分析】
由已知中直观图中线段的长，可分析出 实际为一个直角边长分别为 、 的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】
在直观图中， ， ，所以在 中， ， ， 为直角，
故选：C.
5、用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形 的直观图为如图所示的直角梯形 ，其中梯形的上底长是下底长的 ，若原平面图形 的面积为 ，则 的长为（）
A．2B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据斜二测画法分析直观图与原图形中线段的关系确定
【详解】
解：设 ，则 ，在原图形中 ， ， ， 为原图形中梯形的高，
三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，
故三角形的高变为原来的 ，
故直观图中三角形面积是原三角形面积的 .
故选：A.
7、关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于 轴,长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于 轴,长度变为原来的
【答案】 .
【分析】
根据斜二测画出，画出直观图 ，计算，求解即可.
【详解】
在直观图 中， ， ，故点 到 轴的距离为 .
故答案为：
如图所示，用斜二测画法作水平放置的 的直观图，得 ，其中 ， 是 边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是______.（填序号）① ；② ；③ ；④ .
【答案】③
【分析】
【人教A版】8.2 立体图形的直观图同步讲义
1、直观图
定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．
画法：斜二测画法和正等测画法．
2、斜二测画法规则
（1）在已知图形中取互相垂直的 轴或 轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的 轴与 轴，两轴相交于点 ，且使 （或 ），它们确定的平面表示水平面
故选：C.
8、（多选）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是（）（多选）
A．①B．②C．③D．④
【答案】AB
【分析】
根据斜二测画法的概念选择．
【详解】
水平放置的 边形的直观图还是 边形，故①正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以②正确；因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④错误，
C．在画与直角坐标系 对应的坐标系 时, 必须是45°
D．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
【答案】C
【分ຫໍສະໝຸດ Baidu】
根据斜二测画法的方法分析求解即可.
【详解】
根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的 ,并且 或135°,
故答案为：4
已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为______.
【答案】16或64.
【分析】
分边长为4的边若与 轴平行，与 轴平行两种情况讨论，再根据直观图的画法，即得解.
题型四直观图中的线段长度
例4 如图所示为水平放置的正方形 ，在平面直角坐标系 中点 的坐标为 ，用斜二测画法画出它的直观图 ，则点 到 轴的距离为_____________.
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
【答案】B
【分析】
根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，可得结论．
【详解】
解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与 轴平行的线段长度不变，与 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜 ，故原来垂直线段不一定垂直了；
【详解】
在原图形中 ， ， ，
∴ ．
故选：D.
3、如图， 是水平放置的 利用斜二测画法得到的直观图，其中 ，则 的面积是（）
A．12B． C．6D．
【答案】A
【分析】
根据斜二测画法知 为直角三角形,再结合长度关系，得到 的面积.
【详解】
根据斜二测画法知 为直角三角形， ，故 的面积 .
故选：A
4、下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形，在斜二测画法下，其直观图不是全等三角形的一组是（）
【详解】
作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段 轴，
所以在原图形中对应的线段平行于 轴且长度不变，
点 和 在原图形中对应的点 和 的纵坐标是 的2倍，则 ，所以 ，则四边形 的长度为8．
故选：B.
2、 的直观图如图所示，其中 ，则在原图中边 的长为（）
A． B． C．2D．
【答案】D
【分析】
由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度，然后计算．
（2）画出相应的 轴、 轴，使 ，如图②所示，在 轴上取点 ， ，使得 ， ；在 轴上取点 ，使得 ；过点 作 轴，使 .
（3）连接 ， ，并擦去 轴、 轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形 就是所求的直观图.
题型三求解图形面积
例3 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且此梯形的面积为 ，则原梯形的面积为__________.
【答案】4.
【分析】
根据斜二测画法的原理将图形还原，平面图是一个直角梯形，由题，得平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的 倍，由此即可得到本题答案.
【详解】
由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图 长度的2倍，在直观图中，易得 的长度是直观图中梯形的高的 倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的 倍，故其面积是梯形 面积的 倍，因为梯形 的面积为 ，所以原梯形的面积是4.
【详解】
由斜二测画法的规则可知：
因为平行关系不变，所以①正确；
因为平行关系不变，所以②是正确；
因为直角变为 或 ，所以正方形的直观图是平行四边形，所以③错误；
因为平行于 轴的线段长度减半，平行于 轴的线段长度不变，所以④是错误，
故选：A.
题型二画直观图
例2 画出图中水平放置的四边形 的直观图.
【答案】图见解析.
故选：B．
利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（）
A．①②B．①C．③④D．①②③④
【答案】A
【分析】
根据斜二测画法的规则，平行关系不变，平行x轴的线段长度不变，平行y轴的线段长度减半，直角变为 或 判断.
，因此， 边上的中线的长度为 .
故答案为： .
10、一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 的正方形，则原平面四边形的面积为___________．
【答案】 .
【分析】
根据斜二测画法的直观图和原图的面积比为定值，即可求出．
【详解】
因为一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 的正方形，故其直观图的面积为 ，又直观图与原图面积之比为 ，所以原平面四边形的面积为 ．
故答案为： ．
故选：D.
6、若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（）倍.
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可．
【详解】
以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据平面图形直观图的斜二测画法规则判断，首先判断与坐标平行的线段长度的变化．如三角形的底和高．
【详解】
C中，前者在斜二测画法下所得的直观图中，底边 不变，高变为原来的 ，后者在斜二测画法下所得的直观图中，高 不变，底边 变为原来的 ，故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等.
（2）已知图形中平行于 轴或 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴与 轴的线段
（3）已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半
题型一直观图的步骤
例1 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（）
A．原来相交的仍相交
还原 ，可知 且 ，进而通过图形可判断出结果.
【详解】
由直观图画出 如图所示
其中 ，①错误； ，②错误；
，③正确，④错误
故答案为：③
1、如图所示，正方形 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．6B．8C． D．
【答案】B
【分析】
根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则可得结果.
【分析】
在四边形 中，过 作出 轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图.
【详解】
由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点 ，而B、D对应点 位置不变，如下图示：
用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形 的直观图.
【答案】见解析
【分析】
根据斜二测画法的规则作衅．
【详解】
（1）过点 作 轴，垂足为 ，如图①所示.
故选：AB.
9、水平放置 的斜二测直观图如图所示，已知 ， ，则 边上的中线的长度为______.
【答案】
【分析】
由已知中直观图中线段的长，可分析出 实际为一个直角边长分别为 、 的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】
在直观图中， ， ，所以在 中， ， ， 为直角，
故选：C.
5、用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形 的直观图为如图所示的直角梯形 ，其中梯形的上底长是下底长的 ，若原平面图形 的面积为 ，则 的长为（）
A．2B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据斜二测画法分析直观图与原图形中线段的关系确定
【详解】
解：设 ，则 ，在原图形中 ， ， ， 为原图形中梯形的高，
三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，
故三角形的高变为原来的 ，
故直观图中三角形面积是原三角形面积的 .
故选：A.
7、关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于 轴,长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于 轴,长度变为原来的
【答案】 .
【分析】
根据斜二测画出，画出直观图 ，计算，求解即可.
【详解】
在直观图 中， ， ，故点 到 轴的距离为 .
故答案为：
如图所示，用斜二测画法作水平放置的 的直观图，得 ，其中 ， 是 边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是______.（填序号）① ；② ；③ ；④ .
【答案】③
【分析】
【人教A版】8.2 立体图形的直观图同步讲义
1、直观图
定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．
画法：斜二测画法和正等测画法．
2、斜二测画法规则
（1）在已知图形中取互相垂直的 轴或 轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的 轴与 轴，两轴相交于点 ，且使 （或 ），它们确定的平面表示水平面
故选：C.
8、（多选）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是（）（多选）
A．①B．②C．③D．④
【答案】AB
【分析】
根据斜二测画法的概念选择．
【详解】
水平放置的 边形的直观图还是 边形，故①正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以②正确；因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④错误，
C．在画与直角坐标系 对应的坐标系 时, 必须是45°
D．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
【答案】C
【分ຫໍສະໝຸດ Baidu】
根据斜二测画法的方法分析求解即可.
【详解】
根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的 ,并且 或135°,
故答案为：4
已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为______.
【答案】16或64.
【分析】
分边长为4的边若与 轴平行，与 轴平行两种情况讨论，再根据直观图的画法，即得解.
题型四直观图中的线段长度
例4 如图所示为水平放置的正方形 ，在平面直角坐标系 中点 的坐标为 ，用斜二测画法画出它的直观图 ，则点 到 轴的距离为_____________.
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
【答案】B
【分析】
根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，可得结论．
【详解】
解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与 轴平行的线段长度不变，与 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜 ，故原来垂直线段不一定垂直了；
【详解】
在原图形中 ， ， ，
∴ ．
故选：D.
3、如图， 是水平放置的 利用斜二测画法得到的直观图，其中 ，则 的面积是（）
A．12B． C．6D．
【答案】A
【分析】
根据斜二测画法知 为直角三角形,再结合长度关系，得到 的面积.
【详解】
根据斜二测画法知 为直角三角形， ，故 的面积 .
故选：A
4、下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形，在斜二测画法下，其直观图不是全等三角形的一组是（）
【详解】
作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段 轴，
所以在原图形中对应的线段平行于 轴且长度不变，
点 和 在原图形中对应的点 和 的纵坐标是 的2倍，则 ，所以 ，则四边形 的长度为8．
故选：B.
2、 的直观图如图所示，其中 ，则在原图中边 的长为（）
A． B． C．2D．
【答案】D
【分析】
由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度，然后计算．
（2）画出相应的 轴、 轴，使 ，如图②所示，在 轴上取点 ， ，使得 ， ；在 轴上取点 ，使得 ；过点 作 轴，使 .
（3）连接 ， ，并擦去 轴、 轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形 就是所求的直观图.
题型三求解图形面积
例3 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且此梯形的面积为 ，则原梯形的面积为__________.
【答案】4.
【分析】
根据斜二测画法的原理将图形还原，平面图是一个直角梯形，由题，得平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的 倍，由此即可得到本题答案.
【详解】
由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图 长度的2倍，在直观图中，易得 的长度是直观图中梯形的高的 倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的 倍，故其面积是梯形 面积的 倍，因为梯形 的面积为 ，所以原梯形的面积是4.
【详解】
由斜二测画法的规则可知：
因为平行关系不变，所以①正确；
因为平行关系不变，所以②是正确；
因为直角变为 或 ，所以正方形的直观图是平行四边形，所以③错误；
因为平行于 轴的线段长度减半，平行于 轴的线段长度不变，所以④是错误，
故选：A.
题型二画直观图
例2 画出图中水平放置的四边形 的直观图.
【答案】图见解析.
故选：B．
利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（）
A．①②B．①C．③④D．①②③④
【答案】A
【分析】
根据斜二测画法的规则，平行关系不变，平行x轴的线段长度不变，平行y轴的线段长度减半，直角变为 或 判断.
，因此， 边上的中线的长度为 .
故答案为： .
10、一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 的正方形，则原平面四边形的面积为___________．
【答案】 .
【分析】
根据斜二测画法的直观图和原图的面积比为定值，即可求出．
【详解】
因为一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 的正方形，故其直观图的面积为 ，又直观图与原图面积之比为 ，所以原平面四边形的面积为 ．
故答案为： ．