矩阵乘法的概念(苏教版)
矩阵乘法的定义
矩陣乘法的定義1.矩陣乘積的定義：若A 是一個m n ⨯階矩陣﹐B 是一個n p ⨯階矩陣﹐則A 和B 的乘積ABC =是一個m p ⨯階矩陣﹐而且C 中的每個(),i j 元都等於A 的第i 列中各元（共有n 個元）與B 的第j 行中各對應元（也有n 個元）之乘積的和﹐即ab A cd ef ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，g h i B j k l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦則ag bi ah bkai bl AB cg dj ch dkci dl eg fj eh fk ei fl +++⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦類1、已知矩陣3122A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐123456B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ (1)求AB ﹒ (2)判斷BA 是否存在﹒71115666⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)不存在矩陣乘法的性質與單位矩陣1. (1) 矩陣的乘法並不滿足交換律﹐即AB ≠BA例如：1256192234784350⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹐但5612233478343146⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒ (2) 當矩陣A 與B 都不是零矩陣時﹐其乘積AB 卻有可能是零矩陣﹒例如：1224A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐2412B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不是零矩陣﹐但0000AB O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹒ (3) 矩陣的乘法並不滿足消去律﹐即當AB AC =﹐且A O ≠時﹐也不能斷定BC =一定成立﹒2. 若r 為實數﹐A ﹐B 為矩陣﹐且下列各矩陣運算都有意義﹐則 (1)()A B C AB AC +=+﹒(2)()A B C AC BC +=+﹒ (3)()()()r AB rA B A rB ==﹒(4)()()AB C A BC =﹒3. 單位矩陣： 21001I ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐3100010001I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹒ 這n I 在矩陣的乘法中﹐就相當於實數乘法中的1﹒類1、已知矩陣1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐4132B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐求AB 與BA ﹒ 1372010⎡⎤⎢⎥⎣⎦﹐616717⎡⎤⎢⎥⎣⎦類2、已知6231A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐1339B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐求矩陣AB 與BA ﹒ 0000AB⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐3193BA ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦類3、已知210134A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐303112B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐求矩陣AB 與BA ﹒ 911611AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐630764478BA ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦類4、設1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐231k B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐且AB BA =﹐求實數k 的值﹒ 2-類5、已知123456A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐101212B ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦﹐求(1)T AB =____________﹐(2)T BA =____________﹒261025-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦;(2)210625-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦類1、已知矩陣3210A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐1321B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐21C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐求()AB C 與()A BC ﹒91-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦﹐91-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦類2、已知矩陣124320A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐211121B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦﹐121122C ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐求矩陣 (1)AB ﹒ (2)()A B C +﹒8745-⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)119513-⎡⎤⎢⎥⎣⎦;類1、已知矩陣5423A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐4422B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐8976C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐求矩陣AC BC +﹒8976⎡⎤⎢⎥⎣⎦類2、已知132213431A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦﹐649351728B -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦﹐649351727C --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦﹐求矩陣BA CA +﹒ 000000431⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦類3、已知矩陣212103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐110122B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐111201011C -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦﹐求矩陣 (1)()A B C +﹒ (2)AC BC +﹒511613⎡⎤⎢⎥-⎣⎦;(2)511613⎡⎤⎢⎥-⎣⎦類4、已知120110140A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦﹐123111111B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐123111222C ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐求矩陣AB AC -﹒000000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦類1、已知矩陣1473521A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐33115522B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐求矩陣AB ﹒770077⎡⎤⎢⎥⎣⎦類1、已知矩陣1111A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐1001I ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐求矩陣 (1)2A ﹒ (2)3A ﹒ (3)()3I A +﹒2222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦;(2)4444-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦;(3)14131314-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦類2、已知矩陣123456789A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐142536B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐求矩陣(1)3AI ﹐(2)3I A ﹐(3)2BI ﹐(4)3I B ﹒A ;(2)A ;(3)B ;(4)B類3、設100030005A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐3230030000a A A I b c ⎡⎤⎢⎥-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐求a b c ++=____________﹒類1、. 設00i A i ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐求86A =____________1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦類2、設1111M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐求12M =_________640064-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦類3、. (1)若1110A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐則1000A =？ (2)若1101A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐則1000A =？(1)1110-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦;(2)1100001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦類4、設100010001I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐333333333A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹒試將方陣()3I A +化為 aI bA +的形式（a ﹐b 為實數）﹐並求出a ﹐b 的值﹒故1a =﹐111b =﹒類5、若100010001I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐123012001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐且A I B =+﹐則 (1) 求矩陣B ﹐2B 及3B ﹒ (2)利用(1)及A I B =+﹐求10A ﹒(1) 2004000000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐3000000000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹒ (2) 1202100120001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹒類1、.設121014459A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦﹐若049x A y z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦﹐求數對(),,x y z =____________﹒()29,16,3類2、.設矩陣A 滿足3010200010A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦﹐010*******A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦﹐求0110A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦﹒132231⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎣⎦轉移矩陣1. 轉移矩陣：當方陣A 具有下列兩個特性：(1) A 的每一個元都是0大於或等於的實數﹒(2) A 的每一行的各元之和都等於1﹒ 我們稱A 為轉移矩陣﹒2. 馬可夫的定理：設A 是一個n 階轉移矩陣﹐且A 或A 的某一次方之所有元都是正實數﹐則對於任意一個所有元都是非負的實數﹐且各元的和是1的1n ⨯階矩陣0X ﹐當k 趨向無限大時﹐0k k X A X =會趨近唯一的矩陣X ﹐而且這個矩陣X 就是滿足 (1) AX X =﹔ (2) X 中各元的和為1﹐的1n ⨯階矩陣﹒類1、某籃球選手經常作罰球線投籃練習﹒依據過去經驗﹐當他前一球投進時﹐下一球的命中率為80%﹔當他前一球投不進時﹐下一球的命中率為60%﹒ (1)寫出此選手投籃的轉移矩陣A ﹒ (2)在暖身球投進之後﹐分別求接下來投進第1球﹐第2球及第3球的機率﹒(3)長期而言此選手的投籃命中率為何﹖43551255⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(2)80%﹐76%﹐75.2%;(3)75%類2、學校餐廳的午餐有麵食與飯食兩種主食供同學選用﹒根據統計﹕選用麵食的人第二天有一半的人仍選用麵食﹐其餘一半選用飯食﹔而選用飯食的人第二天有25%仍選用飯食﹐其餘75%選用麵食﹒試問﹕長期而言每天選用麵食與飯食的人各占多少比例﹖35﹐25類3、某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況﹐依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類﹒統計發現﹕高收入的人口中﹐每年有2成會轉變為低收入﹔低收入的人口中﹐每年有1成會轉變為高收入﹒已知目前全國國民有3成為高收入﹐7成為低收入﹒(1)兩年後低收入人口占全國國民多少比例﹖(2)長期而言﹐高收入人口與低收入人口各占多少比例﹖13﹐23類1、某人遊走於甲﹑乙﹑丙三城鎮﹐此三城鎮彼此間皆有道路相通﹒當此人夜宿於某城鎮時﹐翌日早晨醒來﹐選擇留在該城鎮的機率為12﹐前往其他城鎮的機率均為14﹒假設此人某日夜宿於甲鎮﹐試求此人三日後﹐遊走至甲鎮的機率﹒1132類1、某一推銷員的推銷區包括甲﹑乙﹑丙三鎮﹐他絕對不連續兩天在同一市鎮推銷﹒若某一天在甲鎮推銷﹐則第二天必到乙鎮推銷﹒若某一天在乙鎮推銷﹐則第二天在甲鎮推銷的機率為在丙鎮推銷的兩倍﹒若某一天在丙鎮推銷﹐則第二天在甲鎮推銷的機率為在乙鎮推銷的兩倍﹒長期而言﹐此一推銷員在甲﹑乙﹑丙三鎮售貨的機率各為多少？故長期而言﹐在甲﹑乙﹑丙三鎮售貨的機率分別為25﹐920﹐320﹒類2、某工廠有甲﹑乙二條生產線﹐共有700位工人﹒工作一週後﹐依轉調規定﹕甲生產線保留13的工人﹐另23的工人轉調到乙生產線﹔乙生產線保留12的工人﹐另12的工人轉調到甲生產線﹒雖然每週都這樣作輪調﹐但是每條生產線上的工人總數總是不變﹒求乙生產線的工人數﹒（人）類3、小明從家裡到學校有甲﹑乙兩條路線可以走﹐他每天依下述方法決定上學的路線﹕若某一天走乙路線上學﹐則次日一定走甲路線﹔若某一天走甲路線上學﹐則次日丟一枚公正硬幣﹐出現正面就走甲路線﹐反面就走乙路線上學﹒(1)寫出小明選擇上學路線的轉移矩陣﹒(2)若星期一小明以丟硬幣決定上學路線﹐則他在星期三走甲路線上學的機率為何﹖(3)長期而言﹐小明走甲路線上學的機率為多少﹖11212⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(2)58;(3)23類1、設A﹑B兩箱中﹐A箱內有一黑一白兩球﹐B箱內有一白球﹒甲乙二人輪流取球﹐每次先由甲自A箱內任取一球﹐放入B箱內﹐再由乙自B箱內任取一球﹐放入A箱內﹐這樣稱為一局﹒(1)當第一局結束時﹐A箱內兩球為一黑一白的機率為____________﹒(2)當第三局結束時﹐A箱內兩球為一黑一白的機率為____________﹒34;(2)4364(1)。
《矩阵乘法的运算律》 讲义
《矩阵乘法的运算律》讲义一、引言矩阵乘法是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
掌握矩阵乘法的运算律对于理解和应用矩阵运算至关重要。
二、矩阵乘法的定义首先，让我们来回顾一下矩阵乘法的定义。
设矩阵 A 为 m×n 矩阵，矩阵 B 为 n×p 矩阵。
则矩阵 A 与矩阵 B 的乘积 C 是一个 m×p 矩阵，其中 C 的第 i 行第 j 列的元素 cij 等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列对应元素乘积之和。
即：cij ＝∑（aik × bkj) （k 从 1 到 n）三、矩阵乘法的运算律1、结合律设 A、B、C 分别为 m×n、n×p、p×q 矩阵，则（AB)C ＝ A(BC)证明：设（AB)C 的第 i 行第 j 列元素为 d ij ，A(BC) 的第 i 行第 j 列元素为 eij 。
对于（AB)C ，dij ＝∑（（AB)ik × ck j) （k 从 1 到 p）（AB)ik ＝∑（aik × bk j) （k 从 1 到 n）所以 dij ＝∑（∑（aik × bk j) × ck j) （k 从 1 到 p）对于 A(BC) ，eij ＝∑（ai k ×（BC)k j) （k 从 1 到 n）（BC)k j ＝∑（bk r × cr j) （r 从 1 到 p）所以 eij ＝∑（ai k × ∑（bk r × cr j)）（k 从 1 到 n）经过展开和化简，可以证明 dij ＝ eij ，即（AB)C ＝ A(BC)2、分配律设 A 为 m×n 矩阵，B、C 为 n×p 矩阵，则 A(B ＋ C) ＝ AB ＋ AC 证明：设 A(B ＋ C) 的第 i 行第 j 列元素为 fij ，AB 的第 i 行第 j 列元素为gij ，AC 的第 i 行第 j 列元素为 hij 。
《矩阵乘法的性质》 知识清单
《矩阵乘法的性质》知识清单一、矩阵乘法的定义在数学中，矩阵乘法是一种重要的运算。
假设有两个矩阵 A 和 B，A 是 m×n 的矩阵，B 是 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C ＝ AB 是一个m×p 的矩阵。
具体的计算方法是，C 矩阵中第 i 行第 j 列的元素等于 A 矩阵的第 i 行元素与 B 矩阵的第 j 列元素对应相乘后相加。
例如，有矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，B ＝ 5 6; 7 8，那么 AB ＝ 1×5 ＋ 2×7 1×6 ＋ 2×8; 3×5 ＋ 4×7 3×6 ＋ 4×8 ＝ 19 22; 43 50二、矩阵乘法的结合律矩阵乘法满足结合律，即如果有三个矩阵 A、B、C，那么（AB)C ＝ A(BC)这意味着在进行多个矩阵相乘时，无论先计算哪两个矩阵的乘积，最终的结果都是相同的。
结合律的存在为我们在处理复杂的矩阵运算时提供了很大的便利，可以根据具体情况灵活选择计算顺序，以简化计算。
三、矩阵乘法的分配律矩阵乘法对加法满足分配律，包括左分配律和右分配律。
左分配律：A(B ＋ C) ＝ AB ＋ AC右分配律：（B ＋ C)A ＝ BA ＋ CA例如，有矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，B ＝ 5 6; 7 8，C ＝ 9 10; 11 12那么 A(B ＋ C) ＝ A(B) ＋ A(C)先计算 B ＋ C ＝ 14 16; 18 20A(B ＋ C) ＝ 1×14 ＋ 2×18 1×16 ＋ 2×20; 3×14 ＋ 4×18 3×16 ＋4×20 ＝ 50 56; 106 128AB ＝ 19 22; 43 50，AC ＝ 37 42; 79 94AB ＋ AC ＝ 50 56; 106 128，与 A(B ＋ C) 的结果相同。
2019-2020年江苏数学新同步习题选修试题：矩阵乘法的概念(苏教版)
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的简单性质1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们.2.会从几何变换的角度求MN 的乘积矩阵.3.通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.[基础·初探]1.矩阵的乘法一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下： MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. 2.矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵.(2)矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N后T M )的复合变换.(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1，且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n ＝.3.矩阵乘法的运算性质(1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A、B来说，尽管AB、BA均有意义，但可能AB≠BA.(2)矩阵乘法满足结合律设A、B、C均为二阶矩阵，则一定有(AB)C＝A(BC).(3)矩阵乘法不满足消去律设A、B、C为二阶矩阵，当AB＝AC时，可能B≠C.[思考·探究]1.矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？【提示】(1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法.(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律.2.矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？【提示】矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换.3.矩阵乘法MN与NM的几何意义一致吗？为什么？【提示】不一致；因为前一个对应着先T N后T M的两次几何变换，而后者对应着先T M后T N的两次几何变换.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：矩阵的乘法运算(1)已知A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001，计算AB.(2)已知A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，计算AB，BA.(3)已知A＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1－1，计算A2、B2.【精彩点拨】利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明.【自主解答】(1)AB＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×01×0＋0×10×0＋0×00×0＋0×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0000.(2)AB＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×11×（－1）＋0×00×0＋2×10×（－1）＋2×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－120，BA＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0×1＋（－1）×00×0＋（－1）×21×1＋0×01×0＋0×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－210.(3)A2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212，B2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0000.这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义.(1)中尽管A、B均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB≠BA；(3)中尽管B≠C，但有AB＝AC，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A2＝A，B2＝0，这里0是一个二阶零矩阵.证明下列等式并从几何变换的角度给予解释. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 【导学号：30650025】【解】 ∵左＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋3×0 1×0＋3×00×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0， 右＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋13×0 1×0＋13×0 0×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0， ∴左＝右. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000对应的变换将平面上的点垂直投影到x 轴，而x 轴上的点沿x 轴的切变变换是不动点.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 130 1均为沿x 轴的切变变换，自然有等式成立. 矩阵乘法的简单性质，变换T 1所对应的矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，变换T 2所对应的矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算MN 、NM ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释.【精彩点拨】 利用具体的几何变换验证.【自主解答】 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －121 0. 故MN ≠NM .从几何变换的角度来看，矩阵M 表示T 1为向x 轴压缩为一半的变换，矩阵N 表示T 2为逆时针旋转90°的变换.这样MN 表示矩阵ABCD 先经T 2，再经T 1的变换，变换结果如图(1)所示：而NM 表示矩形ABCD 先经T 1，再经T 2的变换，变换结果如图(2)所示.(2)从图(1)以及图(2)可知，MN 和NM 表示的不是同一个变换.一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律.但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律.算式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示AB ＝AC ，但A ≠0且有B ≠C ，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释.【导学号：30650026】【解】 左边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×20×1＋0×0 0×0＋0×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000 右边＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×120×1＋0×0 0×0＋0×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000.。
2017-2018学年高中数学苏教版选修4-2：2.3 2.3.1 矩阵乘法的概念
2．3.1 矩阵乘法的概念1．二阶矩阵乘法法则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×b 11＋a 12b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. 2．矩阵乘法MN 的几何意义是对向量连续实施两次变换的复合变换．3．矩阵MN 对应的复合变换的顺序是先进行矩阵N 对应的变换，再进行矩阵M 对应的变换．[对应学生用书P23][例1] (1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 1313 13，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 －13－13 13，计算AB ；(2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，计算AB ，BA ；并观察AB 与BA 相等吗？[思路点拨] 直接运用二阶矩阵的乘法法则计算即可． [精解详析](1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×13＋13×(－13) 13×(－13)＋13×1313×13＋13×(－13) 13×(－13)＋13×13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.(2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－6 －8， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －43 －8. 观察可知，AB ≠BA .两个二阶矩阵乘法的结果还是一个二阶矩阵，进行矩阵乘法运算时，必须按矩阵乘法法则依次进行．1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－23，计算AB ，BA . 解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－2 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－4 6； BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－2 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤18－2 6. 2.(1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤124 4，计算AB ，AC ；(2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2，B 2.解：(1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0.(2)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0.[例2] 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01.(1)若对平面上的图形F 先实施T M 变换，再把所得的图形实施T N 变换，得到图形F ′，那么F 与F ′有什么关系？(2)计算NM ，若对平面上的图形F 实施T NM 变换，得到图形F 0，那么F 与F 0什么关系？ (3)根据(1)(2)，说明由矩阵NM 确定的变换的几何意义．[思路点拨] 先由对称变换确定F 与F ′的关系，再通过计算NM 确定F 与F 0的关系，由上述关系即可说明由NM 确定的变换的几何意义．[精解详析] (1)变换T M 把平面上的图形F 变换成与F 关于x 轴对称的图形F 1，变换T N把平面上的图形F 1变换成与F 1关于y 轴对称的图形F ′，所以F 与F ′关于原点对称．(2)NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，变换T NM 是把平面上的图形F 变换成与F 关于原点对称的图形F 0.(3)由(1)(2)知，把平面上的图形F 先实施T M 变换，再把所得的图形实施T N 变换，与把平面上的图形F 实施T NM 的结果相同．这也就验证了矩阵乘法NM 的几何意义：“对图形连续实施两次变换(先T M 后T N )的复合变换”的结论．矩阵MN 的几何意义是对向量连续实施的两次变换(先N 再M )的复合变换，进行复合变换时，一定要注意先后顺序，顺序不同，所得变换结果就可能不同．3．已知M 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13，试求M 2M 1并对其几何意义给予解释．解：M 2M 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 16.矩阵M 1和M 2分别表示把平面上的点向x 轴垂直压缩为原来的12和13，利用M 1和M 2对平面上的点连续作两次变换即先压缩为原来的12，再压缩为13实际上连续完成这两个变换，变换的结果可以用一个变换来表示，即矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 16对应的变换．4．已知矩形ABCD ，其中点A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (0,1)，先将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y 轴的反射变换．(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；(2)求点A ，B ，C ，D 在连续两次变换后所得到的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论． 解：(1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，而关于y 轴的变换矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，则连续两次变换所对应的变换矩阵M 由矩阵乘法可得．M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 所以点A ，B ，C ，D 分别变换成点A ″(0,0)，B ″(0,2)，C ″(1,2)，D ″(1,0)． (3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T 1，再将所得图形作关于y 轴的轴反射变换T 2，所得结果与(2)一致，如图所示．求曲线在复合变换后的解析式[例3] 试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 001.[思路点拨] 本题先求矩阵M 、N 的积，再利用矩阵变换求曲线y ＝sin x 在MN 变换下的解析式．[精解详析] MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002，即在矩阵MN 变换下⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y ，则12y ′＝sin 2x ′，即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x .此类题目是对曲线进行两次或两次以上的变换，可先求出两次或两次以上的变换的复合变换，即先求矩阵M 、N 、…的积，再对曲线进行变换．5．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002的线性变换，再将所得的图形绕原点逆时针旋转90°，求所得的曲线方程．解：绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，设A (x ，y )为圆C 上任意一点，在矩阵M 对应的变换作用下变为A ′(x ′，y ′)则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y x .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2y ，y ′＝x .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ′，y ＝－12x ′.又点A 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(y ′)2＋⎝⎛⎭⎫－x ′22＝1，即x ′24＋y ′2＝1.故所求曲线方程为x 24＋y 2＝1.6．已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1，求实数b 的值．解：从曲线C 1得到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0，在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0 x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x ′，x 0＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1方程，得y ′2＋⎝⎛⎭⎫12b x ′2＝1，即曲线C 2的方程为⎝⎛⎭⎫12b 2x 2＋y 2＝1，即⎝⎛⎭⎫12b 2＝14，故b ＝±1.[对应学生用书P25]1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 213，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤101 2，分别计算AB 和BA .解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 44 6，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 8.2．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －16 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 42 8，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 34 6，求证：(1)AB ＝0；(2)AB ＝AC .证明：(1)AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －16 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 42 8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0＝0. (2)因为AC ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －16 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 34 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0＝0， 所以AB ＝AC . 3．求使⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d 203成立的实数a ，b ，c ，d .解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 ac b 3c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d 20 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，ac ＝2，b ＝0，3c ＝3.∴a ＝2，b ＝0，c ＝1，d ＝2.4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数．若Aα＝Bα，求x ＋y 的值．解：由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2＋2y 2＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋y 4－y . 因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋y 4－y ， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y . 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.5．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12和N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2222－22 22. (1)计算MN ，NM ；(2)说明M ，N 所表示的几何变换，解释MN 、NM 的几何意义． 解：(1)MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2222－2222 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－246＋24， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－2222 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －323212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－246＋24. (2)矩阵M 所表示的变换是：把坐标平面上的点绕原点逆时针旋转π3；矩阵N 所表示的变换是：把坐标平面上的点绕原点顺时针旋转π4(或逆时针旋转7π4)．矩阵MN 表示的变换是：把坐标平面上的点先绕原点顺时针旋转π4，再把该点绕原点逆时针旋转π3，即把点绕原点逆时针旋转π12；矩阵NM 表示的变换是：把坐标平面上的点先绕原点逆时针旋转π3，再把该点绕原点顺时针旋转π4，即把点绕原点逆时针旋转π12.故矩阵MN 和矩阵NM 所表示的变换是同一变换．6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2. 在直线l 上任取一点P (x ′，y ′)，经矩阵AB 变换为点Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′＋12y ′ 2y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋12y ′，y ＝2y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝x －14y ，y ′＝y2.代入x ′＋y ′－2＝0，得x －14y ＋y2－2＝0，所以直线l ′的方程为4x ＋y －8＝0.7．(福建高考)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标． 解：(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意一点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是M ′(x ′，y ′)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．8．已知单位正方形OABC ，其中O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，先将正方形作压缩变换，对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)求连续两次变换所对应的矩阵M ；(2)矩阵M 对应的变换把正方形OABC 变成了什么图形？(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论．解：(1)设压缩变换对应的矩阵为Q ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，绕原点逆时针旋转90°的变换对应的矩阵为P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0. (2)因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤012， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0， 所以点O ，A ，B ，C 分别被变换到点O ″(0,0)，A ″⎝⎛⎭⎫0，12，B ″⎝⎛⎭⎫－1，12，C ″(－1,0)，即矩阵M 对应的变换把正方形OABC 变成了矩形O ″A ″B ″C ″.(3)从几何变换的角度可以发现，上述变换可由如图所示的几何变换得到，由此可以验证与第(2)问的结果是一致的．第11页。
矩阵乘法的规则
矩阵乘法的规则
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊矩阵乘法的规则，这可是数学世界里相当重要的一部分哦！
啥是矩阵乘法呢？简单说，就是把两个矩阵放在一起做乘法运算。
不过这可不像咱们平常做的数的乘法那么简单哟！
先说说允许的操作吧。
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
比如说，一个 2×3 的矩阵乘以一个 3×4 的矩阵，这是可以的。
为啥呢？因为前面矩阵的 3 列和后面矩阵的 3 行能对上。
那禁止的操作又是啥呢？要是第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数对不上，那就别想做乘法啦。
比如说，一个 2×3 的矩阵去乘一个
4×2 的矩阵，这可不行，因为 3 列和 4 行不匹配，就像两条不对齐的轨道，没法接轨呀！
再来说说怎么计算。
咱假设第一个矩阵是 A，第二个矩阵是 B。
A 的元素用 aij 表示，B 的元素用 bij 表示。
那乘完得到的新矩阵 C 的元素 cij 就得这样算：cij 等于 A 的第 i 行元素分别乘以 B 的第 j 列元素，然后把这些乘积加起来。
举个例子哈，假如 A 的第一行是[1 2 3]，B 的第一列是[4 5 6]，那 C 的第一个元素就是 1×4 + 2×5 + 3×6 = 32 。
矩阵乘法在好多地方都有用呢！比如说在计算机图形学里，能帮咱们处理图像的变换；在物理学里，能描述一些复杂的系统变化。
总之，矩阵乘法虽然有点小复杂，但只要咱们搞清楚了规则，就像有了一把神奇的钥匙，能打开好多知识的大门哟！朋友们，加油搞懂它，让咱们在数学的奇妙世界里畅游！。
高中数学 2.3.1《矩阵乘法的概念》教学案 苏教版选修4-2
§2.3.1矩阵乘法的概念教学目标：知识与技能：1.掌握二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义.2.能灵活运用矩阵乘法进行平面图形的变换 .3.了解初等变换及初等变换矩阵的含义.过程与方法：从实例中理解矩阵乘法的代数运算和几何意义，掌握运算规则，从几何角度验证乘法规则情感、态度与价值观：教学重点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义教学难点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义教学过程：一、问题情境:对向量xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦先做变换矩阵为N=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦的反射变换T1, 得到向量xy'⎡⎤⎢⎥'⎣⎦, 再对所得向量做变换矩阵为M=1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦的伸压变换T2得到向量xy''⎡⎤⎢⎥''⎣⎦, 这两次变换能否用一个矩阵来表示?二、建构数学：1.矩阵乘法的乘法规则2.矩阵乘法的几何意义3.初等变换, 初等变换矩阵三、教学运用例1、(1)已知A=11221122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, B=11221122⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦; 计算AB .(2)已知A=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=12⎡⎢-⎣43⎤⎥⎦, 计算AB, BA .(3)已知A=1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 计算AB、AC .例2、已知A=1013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A2, A3 , A4 , 你能得到A n的结果吗? (n∈N*)例3、已知梯形ABCD, 其中A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(1 , 2) , D((1 , 2), 先将梯形作关于x轴的反射变换, 再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ;(2)求点A , B , C , D在T M作用下所得到的结果;(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形, 并验证(2)中的结论.例4、已知A=cossinαα⎡⎢⎣sincosαα-⎤⎥⎦, B=cossinββ⎡⎢⎣sincosββ-⎤⎥⎦, 求AB, 并对其几何意义给予解释.四、课堂小结：五、课堂练习：练习: P46 1 , 2六、回顾反思：七、课外作业：1.计算:(1)411323-⎡⎤⎡⎢⎥⎢-⎣⎦⎣52-⎤⎥⎦(2)210431-⎡⎤⎡⎢⎥⎢--⎣⎦⎣21⎤⎥⎦(3)0.8150.210-⎡⎤⎡⎢⎥⎢-⎣⎦⎣5⎤⎥-⎦(4)1133211223⎡⎤-⎢⎥-⎡⎢⎥⎢⎣⎢⎥-⎢⎥⎣⎦41⎤⎥-⎦2.已知A=cossinθθ⎡⎢⎣sincosθθ-⎤⎥⎦, 求A2 , A3 , 你能得到A n的结果吗? (n∈N*) .3.计算0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 并用文字描述二阶矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换方式.4.已知△ABC, 其中A(1 , 2), B(2 , 0), C(4 , -2), 先将三角形绕原点按顺时针旋转90°,再将所得图形的横坐标伸长为原来的3倍, 纵坐标不变.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ;(2)求点A , B , C在变换矩阵M作用下所得到的结果;(3)如果先将图形的横坐标伸长为原来的3倍, 再将所得图形绕原点顺时针旋转90°, 则连续两次变换所对应的变换矩阵M′是什么呢?5.设m , n∈k , 若矩阵A=2mn⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线l: x－5y+1=0变换成另一直线 l′: 2x+y+3=0, 试求出m , n的值.。
矩阵运算法则乘法
矩阵运算法则乘法
矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。
它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。
一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。
一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。
由于它把许多数据紧凑地集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型，如电力系统网络模型。
1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。
2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。
3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。
第八课时 矩阵乘法的概念(最全)word资料
第八课时矩阵乘法的概念教学目标：熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。
理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵,从几何变换的角度来看,它表示的是原来两个矩阵的连续两次变换。
教学重点、难点：矩阵乘法的概念教学过程：一、问题情境：问题：如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换,结果会是怎样?二、学生活动：三、知识建构：1. 矩阵乘法法则:2. 矩阵乘法的几何意义：3．初等变换：四、知识运用：例1、（1）已知A=11221122⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，B=11221122⎛⎫-⎪⎪⎪-⎪⎝⎭,计算AB（2）已知A=1002⎛⎫⎪⎝⎭，B=1423⎛⎫⎪-⎝⎭，计算AB,BA(3)已知A=1000⎛⎫⎪⎝⎭，B=1001⎛⎫⎪⎝⎭，C=1002⎛⎫⎪⎝⎭计算AB,AC例2、已知梯形ABCD，其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转090(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M(2)求点A,B,C,D在MT作用下所得到的结果(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论。
例3、已知A=cos sinsin cosαααα-⎛⎫⎪⎝⎭，B=cos sinsin cosββββ-⎛⎫⎪⎝⎭，试求AB,并对其几何意义给予解释。
练习：书P46 1、2五、回顾反思：知识：思想方法：六、作业布置：书P七、教后反思：第二單元名稱：乘法公式的演化活動項目教學活動教學評量活動一：到同學家【準備活動】1.蒐集資料，準備學區附近街道圖。
2.學區街道圖列印成大海報，上課時貼在黑板上，以進行教學。
【發展活動】1.從學生到同學家查資料或討論功課的經驗談起。
2.在黑板上貼上學區附近街道圖，請兩位學生說出從家裡到學校的2條大馬路和3條小巷子，並上台在街道圖上畫線表出。
3.請學生回答活動單第一個問題，一位同學經過學校到另一位同學家，可以怎麼走？4.學生有了實際的日常生活經驗之後，回到活動單的問題。
《矩阵乘法的性质》 知识清单
《矩阵乘法的性质》知识清单一、矩阵乘法的定义在数学中，矩阵乘法是一种重要的运算。
两个矩阵相乘，前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
假设我们有矩阵 A 和矩阵 B，A 是 m×n 的矩阵，B 是 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C 就是一个 m×p 的矩阵。
具体的计算方法是，C 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列元素对应相乘后相加的结果。
二、矩阵乘法的结合律矩阵乘法满足结合律，即（AB)C ＝ A(BC)。
这意味着，当我们有三个矩阵需要相乘时，无论先计算哪两个矩阵的乘积，最终的结果都是相同的。
例如，设有矩阵 A、B、C，其维度分别为 2×3、3×4、4×5。
先计算（AB)C：AB 得到一个 2×4 的矩阵，再与 4×5 的矩阵 C 相乘，得到最终的2×5 的矩阵。
而计算 A(BC)时，BC 得到一个 3×5 的矩阵，A 与这个矩阵相乘，同样得到 2×5 的矩阵。
结合律的存在使得我们在处理多个矩阵相乘的运算时，可以更加灵活地选择计算顺序，以简化计算。
三、矩阵乘法的分配律矩阵乘法对于加法满足分配律，即 A(B ＋ C) ＝ AB ＋ AC。
这一性质在解决复杂的矩阵运算时非常有用。
比如，矩阵 B 和矩阵 C 都是 n×p 的矩阵，A 是 m×n 的矩阵。
先计算 B ＋ C，得到一个新的 n×p 的矩阵，再与 A 相乘。
而计算 AB 和 AC 后再相加，最终得到的结果是相同的。
分配律为我们将一个复杂的矩阵运算分解为较简单的运算提供了依据。
四、矩阵乘法的不交换律与普通的数字乘法不同，矩阵乘法一般不满足交换律，即 AB 通常不等于 BA。
这是矩阵乘法的一个重要特点。
例如，有一个 2×3 的矩阵 A 和一个 3×2 的矩阵 B，AB 得到一个2×2 的矩阵，而 BA 得到一个 3×3 的矩阵，它们的维度都不相同。
对苏教版选修4-2《矩阵与变换》的初步认识
对苏教版选修4-2《矩阵与变换》的初步认识王家清不久前，在“东部发达地区数学新课程教学实践”课题活动中，我针对苏教版选修4-2《矩阵与变换》上了一节市级公开课，感受颇多。
下面我想谈一谈教学前后的一些体会。
一、苏教版选修４- 2《矩阵与变换》的编排情况矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。
矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。
本章节通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。
1．主要内容通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，初步展示矩阵应用。
2．教材定位及意图初中起点、只讨论具体的二阶方阵、从几何上理解矩阵的有关知识、为进一步学习高等数学奠定基础。
定位应与大学教学相区别。
在大学课程中矩阵作为代数的运算对象,主要研究运算性质;线性方程组与线性空间的表示方法.而在中学课程标准中主要通过几何变换对几何图形的作用体会矩阵的几何作用,从直观上认识矩阵的意义。
3．章节安排①二阶矩阵与平面向量；②几种常见的平面变换；③变换的复合与矩阵的乘法；④逆变换与逆矩阵；⑤特征值与特征向量；⑥矩阵的简单应用。
矩阵---几何变换的代数表示几何代数化----向量平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量矩阵就是一个几何变换，它把平面上的任一个点，变成平面上的另一个点。
中学常见的几种几何变换的矩阵表示：恒等变换伸压变换反射变换切变变换旋转变换投影变换等。
二、苏教版选修４- 2《矩阵与变换》的一些特点对本课程标准的理解：以变换为主线贯穿于整个教学过程，使学生真正理解矩阵对向量的作用，旋转变换以坐标原点为中心，通过图形变换理解并掌握初等变换。
重点难点：初等变换、矩阵的特征值和特征向量。
1．本专题只对具体的二阶方阵加以讨论。
2．矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵。
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图 形 先 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 角 ， 再 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 角 ， 它 和 对 图 形 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 +角 的 旋 转 变 换 是 一 致 的 .
( 1 ) 从 上 述 问 题 中 ， 我 们 发 现 将 图 形 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 + 角 的 旋 转 变 换 可 以 看 成 是 将 图 形 先 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 角 ， 再 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 角 这 两 个 变 换 复 合 而 成 .
00,0010,110 01 k 1 001
,
k
1
复习回顾
二阶矩阵与平面列向量的乘法法则为:
a11 a21
a12 a22
x0
y0
a11
a21
x0 x0
a12 a22
y0 y0
2 0
0
1
x
y
2 y
x
T
:
x y
x y
2x
y
阅读教材P36
建构数学 规定：矩阵乘法的法则是:
矩阵乘法的概念
复习回顾
回忆我们学过的变换所对应的矩阵.
恒等 反射 旋转
切变
1 0
0
1
伸压
k 0
0
1
1 0
0
k
0 11 0 ， 1 0 0 1 ， 0 1 0 1 ， 1 00 1 ， 0 1 0 1
cos sin
sin
cos
投影
1 0
(2)在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看作是由恒等，伸 压，反射，旋转，切变变换一次或多次复合而成. 而恒等、伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩 阵叫初等变换矩阵.
例 3 、 已 知 直 线 l： y1x绕 原 点 逆 时 针 旋 转 60 ， 并 将 所 2
得 的 图 形 作 关 于 y轴 的 对 称 变 换 ， 求 变 换 后 的 直 线 方 程 .
上 xy的 点 -2123P 0 (x 12230 ,y xy0 00 ) ,则 有 xy - 1223x x0 0
3 2 1 2
y0
y0
x 0
y
0
3y x 2
3x y 2
y0
1 2
x0
即y(85 3)x
在数学中，一一对应的平面几何变换 都可以看做是伸压、反射、旋转、切变变 换的一次或多次复合，而伸压、反射、旋 转、切变等变换通常叫做初等变换，对应 的矩阵叫做初等变换矩阵。
M
1
0
数学运用
例4、若A
cos sin
sin cos
,
B
cos sin
sin
cos
(1)求AB，BA 并对其几何意义给予解释。
(2)求A2
cos 2 sin 2
(3)求An
cos n sin n
sin 2
cos 2
sin n
cos n
从 几 何 角 度 讲 ， A,B分 别 表 示 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 ， 角 的 旋 转
2 1
2
1
1
,B= 2
1
2
2
1 2
1 2 1
,计算AB;
2
(2)已知A=
1 0
0 2
,B=
1 2
4 3
,计算AB，BA;
(3)已知A=
1 0
0 0
,B=
1 0
0 1
1
,C=
0
0
2
计算AB，AC;
阅读教材37页阅读部分
1、在矩阵的乘法中， 一般情况下，AB BA
a be f aebg afbh c dg hcedg cfdh
建构数学 矩阵的乘法的几何意义：
矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续 实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
当连续对向量实施n(n∈N*)次变换TM时， 记作：Mn=M·M·····M
n个M
数学运用
1
例1、(1)已知A=
本节小结
• 1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法. • 2.理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个
二阶矩阵,从几何变换角度看,它表示的原来 两个矩阵对应的连续两次变换. • 3.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实 施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
• 课后思考：
• 根据本节内容，能得出矩阵乘 法具有那些运算性质？不具有 那些运算性质？
解：直 线 l 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 6 0 的 变 换 矩 阵 为 :
Acsoins6600
1
sin60
cos60
2 3
2
3
2
1
2
则M=BA=
1
0
关于y轴的对称变换矩阵为：B
1
0 1
2 3
2
3
2
1 2
=
-
1 2
3
2
3
2
1
2
1
0
0
1
设 P (x ,y )为 变 换 后 图 形 上 的 任 意 一 点 ， 对 应 直 线 l
求连续两次变换所对应的变换矩阵M;
解：关于x轴的反射变换矩阵A=
1 0
0
1
绕原点逆时针旋转90度的变换矩阵B=
0 1
1
0
则
M=BA=
0 1
1 1
0
0
0
1
0
1
1
0
变式训练
•先将梯形绕原点逆时针旋转90度，再将所得图
形作关于x轴的反射变换,求连续两次变换所对
应的变换矩阵M
0 1
140(1) 1101
1003
32(1)1 30(1)3 31(1)4 9 2 1
241(1)
2111
2013
9
9
11
0221 0023 0124
数学运用
例3、已知梯形 ABCD, A(0,0),B(3,0),C(2,2),
D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图 形绕原点逆时针旋转90度，
2、在矩阵乘法中，AB=AC且A0 B=C 在矩阵的乘法中，不满足交换律，和约去律.
数学运用
4 1 0
例2、求矩阵A=
1 2
0 1
3 0
1
2
与B=
1
2
1 0
3 1
的乘积AB
解：
1
3
4
4 1
C=AB=
1 2
0 1
3 0
1
2
2 1
1
1 0 3
0
3
1
4
BA=?
AB有意义，但是BA没有意义，故 要注意相乘顺序。（AB≠BA）