工程力学(静力学与材料力学)第二篇第11章弯曲应力

bh3 I z A y dA -h/2 y bdy 12 3 bh Iz bh2 12 Wz h ymax 6 2
2
h/ 2
2
圆形截面惯性矩
I p A 2dA A ( y 2 z 2 )dA
Ip I z I y
I p d 4 Iz 2 64
静力学方面:
物理方面:
( y) E ( y)
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Fx 0, dA0 (b) A M M , y dA M
z A
8
(c)
E
y

(a)
A dA 0
(b)
A ydA M
yC
(c)
(a)(b)
A ydA 0
E
A ydA 0
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d I z1 bd yC 3.0210-6 m4 12 2
db 3 db d b y 5.8210-6 m4 I z2 C
2
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Wz 1.85 104 m3
12
I z 1.66 105 m4
Wz 1.85 104 m3
Me=20 kN•m，E=200 GPa，求 max 与
2. 应力计算
M M e 20.0 kN m
M max 108.1 MPa Wz
πd 2 2 d d 3 S z ,max 8 3π 12
4FS max 3A
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弯曲正应力与弯曲切应力比较
max
M max Fl 6Fl 2 2 Wz bh bh 6 3F 3 F max S 2 A 2 bh
max 6Fl 2bh l 2 4 max bh 3F h
6
推 论 梁内存在一长度不变的过渡层－中性层 中性层与横截面得交线－中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴
横截面间绕中性轴相对转动
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对称弯曲正应力公式
公式的建立
几何方面:
( y)
( y)d d y d
( y) E

y
(a)
h y 1 h y b h2 y 2 S z (w ) b 2 2 2 2 4
bh3 Iz 12
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3FS 4 y 2 ( y) 1 2 2bh h
max 3
2
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§1 对称弯曲正应力
引言
弯曲试验与假设
对称弯曲正应力公式
例题
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3
引 言
弯曲应力
弯曲正应力 梁弯曲时横截面上的
弯曲切应力 梁弯曲时横截面上的 对称弯曲
对称截面梁，在纵向对称面承受横向 外力时的受力与变形形式－对称弯曲
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2
2 FS Sz ,max max 7.66 MPa I zd b Sz ,a bd d yC 8.40 10-5 m3 2 FS S z ,a a 7.13 MPa I zd 单辉祖,材料力学教程 Sz ,max
d (d b yC ) 2
3. 变形计算
M EI z
1
EI z 166 m M
13
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§2 惯性矩与平行轴定理
静矩与惯性矩
简单截面惯性矩 平行轴定理 例题
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14
静矩与惯性矩
静矩
Sz
Sz

A
n
ydA AyC
n
[L]3
－截面对z轴的静矩
S
i 1
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应用条件： max p , 对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
10
一些易混淆的概念 对称弯曲与纯弯曲 对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态 中性轴与形心轴 中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的坐标轴 截面弯曲刚度与抗弯截面系数 弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响
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例 题
例 1-1 梁用№18 工字钢制成，Me=20 kN•m, E=200 GPa。
试计算：最大弯曲正应力max ，梁轴曲率半径
解：1. 工字钢（GB 706-1988） 一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材 №18 工字钢：
I z 1.66 105 m4
1
EI z
21
§3 对称弯曲切应力
矩形截面梁的弯曲切应力
薄壁与圆形截面梁的弯曲切应力 弯曲正应力与弯曲切应力比较 例题
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22
矩形截面梁的弯曲切应力
弯曲切应力公式 狭窄矩形截面梁 (h>b)
假设 (y) // 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布

b dx MS z (w ) F dA M y*dA w Iz Iz w
Fx 0, 'bdx dF
( y) 1 dF


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wk.baidu.com
Sz(w)－面积 w 对中性轴 z 的静矩
23
( y) 1 dF b dx
MS z (w ) F Iz
S z (w ) dM ( y) bI z dx
( y)
FS S z (w ) I zb
当 l >> h 时，max >> max
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例 题
例 3-1 FS = 15 kN, Iz = 8.8410-6 m4, b = 120 mm, d 20 mm, yC = 45 mm。试求: max ；腹板与翼缘 交接处切应力 a 解： Sz ,max d (d b yC ) (d b yC )
12

2

I z I z1 I z 2 8.84106 m4
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) c,max B 64.5 MPa Iz
t,max
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19
例 2-2 已知：钢带厚 d = 2mm, 宽 b = 6mm, D=1400mm, E=200GPa。试计算：带内的 max 与 M
FS S z (w ) ( y) I zd
w － y 下侧部分截面
对中性轴 z 的静矩
( y)
FS 2 b( h0 h2 ) d ( h2 4 y2 ) 8 I zd


26
max (0)
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min ( )
h 2
盒形薄壁梁
假设 : // 腹 板侧边, 并沿 腹板厚度均布
2 I z0 y0 dA A
A y0dA 0
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系 二者平行
17
I z I z0 Aa2
同理得：
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I y I y0 Ab2
例 题
例 2-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力t,max与压应力c,max
解：1. 问题分析
已知钢带的变形（轴线曲率 半径），求钢带应力与内力 应力～变形关系：
E
y

max E
ymax

内力～变形关系：
M EI z
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1
M
EI z

20
带厚 d=2 mm, 宽 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa，求 max 与 M
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Ip 2I z
d 4 2 d 3 Wz 64 d 32
16
平行轴定理
平行轴定理
建立 I z 与 I z0 的关系
I z A y 2dA
I z A y0 a dA
2
2 I z A y0 dA 2a A y0 dA Aa2
FS 2A
24
截面翘曲与非纯弯推广
切应力非均布 切应变非均布 截面翘曲
当FS=常数时， ab = a'b' ，弯曲 仍保持线性分布

当梁上作用横向分布载荷时，只要 l > 5h，纯弯
公式仍足够精确
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25
薄壁与圆形截面梁的弯曲切应力
工字形薄壁梁 假设 : // 腹板侧边, 并沿其厚度均匀分布
解：1. 弯矩计算 2. 形心位置计算
Sz
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M B Fl 6000 N m
由矩形 1 与矩形 2 组成的组合截面
Ai yCi AyC
yC

i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
18
A
A1 yC 1 A2 yC 2 yC A1 A2
bd
d db d b 2 2
w
( y)
( y)
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FS Sz (w ) I z 2d
FS 2 b( h0 h2 ) 2d ( h2 4 y2 ) 16 I zd


27
圆形截面梁
分析表明，最大弯曲切应力仍发生在中性 轴上，并可近似认为沿中性轴均匀分布
FS S z ,max max I zd
A
中性轴通过横截面形心
(a)(c)
A
y 2dA M
M EI z 1
Iz
A
y2dA－惯性矩
(d)
(d)(a)
( y )
M My max Iz Wz
max
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Mymax Iz
Wz
Iz －抗弯截面系数 ymax
9
总 结 假设 平面假设，单向受力假设 综合考虑三方面
2. 应力计算
max E
ymax

D d 0.701 m 2 2

ymax
max
1.0 103 m 2 y E max 285 MPa
E bd 3 1.141 N m M 12
d
3. 弯矩计算
M EI z
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( y)
y

( y) E ( y)
A dA 0 A ydA M
结论 中性轴位置：中性轴过截面形心 中性层曲率：
M （I z － 惯性矩） EI z （EI z － 截面弯曲刚度） 1
M My 正应力公式： ( y) max Iz Wz （Wz － 抗弯截面系数）
弯曲试验与假设
弯 曲 试 验
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5
试验现象 （纯弯与正弯矩作用） 横线为直线, 仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短, 靠底部纵 线伸长 纵线伸长区,截面宽度减小 纵线缩短区, 截面宽度增大 弯曲假设 横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平 面假设 各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假 设 单辉祖,材料力学教程
第 5 章 弯曲应力
本章主要研究：

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对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力 弯拉(压)组合问题
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 §9
对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件与合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲 弯拉(压)组合 惯性积与主惯性矩 一般非对称弯曲应力 剪心概念
zi

S y zdA AzC
A

i 1
Ai yCi
Sy
Az
i 1
n
i Ci
惯性矩
I z A y 2dA
Iz Iz i
n
[L]4
－截面对 z 轴的惯性矩
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i 1
I y z 2dA
A
Iy
I
i 1
n
yi
15
简单截面惯性矩
矩形截面惯性矩
9.03 105 m3
30
例 3-2 已知梁段剪力FS，试分析铆钉的受力
解：
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2FS F2 F1
FS
F2 F1 2
31
FS
F2 F1 2
M1 S z F1 Iz
M1 －横截面 1 的弯矩
S z －上翼板横截面对 中性轴 z 的静矩