安徽大学 10-11(2)高数A(二)、B(二)试卷
安徽大学高数期末考试试卷及答案解析 (1)
安徽大学2009-2010学年第二学期《高等数学A （二）、B （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）12、0；3、；4、1 /20 arcsin d (,y y f x y π∫∫)d x 32；5、53二、选择题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）6、 A ；7、D ；8、D ；9、A ； 10、A.三、计算题（本大题共五小题，其中第11、12、13题每小题10分，第14、15题每小题12分，共54分）11.解. 设。
则曲面在点处的法向量为22(,,)F x y z x y z =+−S (1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)(,,)(2,2,1)(2,2,1)x y z F F F x y =−=−由题设可知，平面Π通过法线L ，故12a b 0,+−+=(1,,1)(2,2,1)0a −⋅−=即，由此解得123a b a +=⎧⎨+=⎩035,.22a b =−=12.解：令222(,),(,)2y xP x y Q x y x y x y−==++，则d d L I P x Q y =+∫v ，当时，220x y +≠22222()Q x y Px x y y∂−==∂+∂∂2。
取一小圆周22:C x y εε+=，0ε>充分小，使得C ε完全位于L 所围成的区域内，取逆时针方向。
设D ε为由L 与C ε所围成的区域，则由Green 公式得d d (d L C D Q PP x Q y x y x yεε+∂∂+=−=∂∂∫∫∫0， 所以d d d d LC P x Q y P x Q yε+=−+∫∫22(sin )(sin )(cos )(cos )d πεθεθεθεθθε−−=−∫20d 2πθπ==∫13.解：设cos ,sin ,x R u y R u z ==v =，则Σ对应于:02,0D u v h π≤≤≤≤。
安徽大学 10-11(2)高数A(二)、B(二)答案
+
2x
∂z
⎤ ⎥
∂y ⎥⎦
=
x2z2
sin
z + 2x2z cos z (cos z − xy)3
−
2x3 yz
．
四、应用题（每小题 8 分，共 16 分）
第2页 共3页
1． 解． 构造 Lagrange 函数 L(x, y, z, λ, μ) = x + 2 y + 3z + λ(x2 + y2 − 2) + μ( y + z −1) ． 求偏导得 Lx = 1+ 2λ x, Ly = 2 + 2λ y + μ, Lz = 3 + μ , Lλ = x2 + y2 − 2, Lμ = y + z −1, 联立解得 x = −1, y = 1, z = 0 或 x = 1, y = −1, z = 2 ． 代入原函数得 f (−1,1, 0) = 1, f (1, −1, 2) = 5 ． 故所求最大值为 5, 最小值为1.
∫ 2． 解． 所求金属丝的质量为 m = ρds ． L
弧微分 ds = [x '(t)]2 + [ y '(t)]2 + [z '(t)]2 dt = 3etdt ．
∫ ∫ 故 m =
11 0 2e2t
3etdt = 3 1e−tdt = 3 (1− e−1) ．
20
2
五、证明题（每小题 5 分，共 10 分）
1 ． 证 明 ． 设 f (x) = x ， 则 f '(x) = 2011− x ， 显 然 x ≥ 2011 时 ，
x + 2011
2 x (x + 2011)
10-11(1)高数A(三)试卷
《高等数学 A(三)》（B 卷） 第 6 页 共 6 页
三、计算题（本大题 10 分）
11.计算 n 阶行列式
a1 − m a2 "
Dn =
a1 "
a2 − m " ""
a1
a2 "
an an 的值. " an − m
得分
《高等数学 A(三)》（B 卷） 第 2 页 共 6 页
答 题勿超装 订 线
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
通过正交变换 X = QY 化成标准形 f ( y1, y2 , y3 ) = 3y12 + 3y22 + by32 . （1）求参数 a, b 的值; （2）求正交矩阵 Q .
《高等数学 A(三)》（B 卷） 第 3 页 共 6 页
14.（本小题 10 分）甲、乙二人之间经常用 e-mail 联系，他们约定在收到对方邮件的当天即 给回复（即回一个 e-mail），由于线路问题，每 n 份 e-mail 中会有1份不能在当天送达收件人. 甲在某日发了1份 e-mail 给乙， （1）试求甲在当天收到乙的回复的概率； （2）如果已知甲在当天未收到乙的回复，试求乙在当天收到甲发出的 e-mail 的概率.
安徽大学期末试卷MK10-11(1)高数B(三)试卷.pdf
). （D）Y ∼ F (1, n)
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 6、二次型 f (x1, x2 , x3 ) = (x1 + x2 )2 + (x2 + x3 )2 + (x1 + x3 )2 的秩为
答 题勿超装 订 线
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
《高等数学 B(三)》 （B 卷） 第 1 页 共 6 页
得分 .
年级
院/系
安徽大学期末试卷
7、设 A, B 为两个随机事件，满足 P( A) = a, P(B) = 0.3, P( A ∪ B) = 0.7 ，若事件 A 与 B 相 互独立，则 a = _________ .
⎡1 0 0⎤
8、设矩阵 A = ⎢⎢2 2 0⎥⎥ ， A∗ 是 A 的伴随矩阵，则 ( A∗)−1 =
（A） A = 0 或 B = 0
（B） A + B = 0
（C） | A |= 0 或| B |= 0
（D）| A | + | B |= 0
得分
2、设 A 为 n 阶方阵，则以下结论中不成立的是( ). （A）若 A 可逆，则矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量也是矩阵 A−1 的属于特征值 1 λ 的特征向量 （B） A 的特征向量即为方程 (λ E − A) X = 0 的全部解 （C）若 A 存在属于特征值 λ 的 n 个线性无关的特征向量，则 A = λE （D） A 与 AT 有相同的特征值
安徽大学2010-2011信号A及答案
安徽大学20 10 —20 11 学年第 2 学期《 信号与系统 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）一、填空题（每小题2分，共10分） 1. 对于一个因果系统()n h 来说，当0<n 时，()n h _________。
2. 若激励信号为()t x ，响应信号为()t y ，则无失真传输的条件是_________。
3. 如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于_________互为镜像，那么我们称这种系统函数为全通函数。
4. 若系统的单位冲激响应为()t h ，单位阶跃响应为()t g ，则二者的关系为_____________。
5. 设()n x 是一序列且[)+∞-∈,5n ，则它的收敛域是________。
二、选择题（每小题2分，共10分）1.已知()t f ，为求()at t f -0()0,0>t a 应按( )运算求得正确结果。
A. ()at f -左移0t B. ()at f 右移0t C. ()at f 左移a t 0 D. ()at f -右移a t 02. 对于信号f (t )及单位冲激信号)(t δ，则()()=-⎰+∞∞-0t t t f δ( )。
A.()0f B.()t f C. ()0t f D.03. 已知()t f 的拉氏变换为()F s ，则1()2f t 的拉式变换是( )。
A.()22s F B. ()s F 22C. ()212-s FD. ()2s e s F -4. 由S 平面与Z 平面的映射关系ST e Z =可知，S 平面的垂直带区域[]()21σσσ，∈映射为Z 平面上的( )区域。
A ．环状的 B.某个圆以内 C.某个圆以外 D.带状的院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------5. 带通滤波器的品质因数Q 定义为( )。
安徽大学《高等数学A(一)》2018-2019第一学期期末考试B卷
安徽大学2018—2019学年第一学期《高等数学A （一）》期末考试试卷（B 卷）（闭卷时间120分钟）考场登记表序号一、填空题（每空2分，共10分）1.若极限2)()2(lim000=--→h x f h x f h ，则0)(x x dxx df =；2．积分=⎰dx xe x cos 2sin ；3．x e y x +=-)1(2在1x =在所对应点的切线方程为；4．若对定积分0(2)a f a x dx -⎰作换元2a x u -=,则该定积分化为；5．设函数()2100x e x f x xa x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =；二、选择题（每小题2分，共10分）6.设)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数为（）。
（A）1sin +x （B）x x +sin （C）x cos 1+（D ）xx sin -7.设函数)(x f 在1=x 处连续但不可导，则下列在1=x 处可导的函数是（）。
(A))1)((+x x f (B)2)(x x f (C))(2x f (D))()1(2x f x -8.下列广义积分收敛的是（）。
(A)dx x x e ⎰+∞ln (B)dx x x e ⎰+∞ln 1(C)dx x x e ⎰+∞2)(ln 1(D)dx x x e ⎰+∞ln 1题号一二三四五总分得分阅卷人得分得分院/系年级专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------9..设)(x f 为),(+∞-∞内连续的偶函数,)()(x f dxx dF =,则原函数)(x F （）。
安徽大学 10-11(1)高数C(三)试卷
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A． 事件 A 与事件 B 互不相容 C. 事件 A 与事件 B 互不独立
B. 事件 A 与事件 B 相容 D. 事件 A 与事件 B 对立
2．设随机变量 X 和Y 都服从正态分布 N (0,σ 2 ) ，且 P( X > 2,Y > −2) = 0.75 ，
则 P( X ≤ 2,Y ≤ −2) = （ ）.
则C =
.
8. 设 X1, X 2,", X n 是 n 个独立同分布的随机变量， E( Xi ) = μ ， D( Xi ) = 8 ， i = 1, 2,", n ,
( ) 利用切比雪夫不等式估计 P X − μ < 4 ≥
.
9. 设 X1, X 2,", X n 为 来 自 于 正 态 总 体 N (0,1) 的 样 本 ， 且 则 随 机 变 量
答 题勿超装 订 线
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
A. 必接受 H0
B. 可能接受也可能拒绝 H0
C. 必拒绝 H0
MK_10-11(2)高数A(二)、B(二)试卷
v ∫
L
+
Pdx + Qdy + Rdz ≤ max
( x , y , z )∈Σ
(Q
x
− Py ) + ( Ry − Qz ) + ( Pz − Rx ) ⋅ S
2 2 2
其中 Σ 为以 L 为边界的某曲面， S 为曲面 Σ 的面积．
第 6 页 共 6 页
(−1) n−1 （2）求级数 ∑ 的和． n n =1 n ⋅ 2
∞
第 3 页 共 6 页
[‰Y'•Q~ÜNf^—
⎧ x = uv ∂u ∂v 5． （1）设 ⎨ ，求 , . ∂x ∂x ⎩ y = sin u + cos v
（2）设 sin z − xyz = 0 ，求
∂2 z ． ∂y 2
安徽大学 2010—2011 学年第二学期
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
f ( x ) 的 Fourier 级数在 x = 4π 处收敛于
．
5．设 f ( x, y ) = xy 2 在点 (2,1) 处沿方向 (4, −3) 的方向导数等于
得 分
．
院/系
二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）
⎧ x2 y , x2 + y2 ≠ 0 ⎪ 2 2 1． 二元函数 f ( x, y ) = ⎨ x + y , 在点 (0, 0) 处 2 2 ⎪ 0, x +y =0 ⎩ A．不连续 B．可微 C．不可微，且偏导数不存在 D．不可微，但偏导数存在．
安徽大学期末试卷MK10-11(2)高数C(二)试卷.pdf
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
第5页 共6页
安徽大学期末试卷
五、证明题（共 10 分）
设 A, B 均为 n 阶方阵， （1）若 A 或 B 可逆， 证明 AB 与 BA 具有相同的特征值. （2）若 A, B 均不可逆，上述结论是否正确？并说明理由.
得分
第6页 共6页
学号
答 题勿超装 订 线
姓名
安徽大学 2010—2011 学年第二学期 《高等数学 C（二）》考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间 120 分钟）
考场登记表序号
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
阅卷人
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）
得分
1.
∞
∑
(1
−
cos
1
)
是
n=1
n
级数.(填收敛或发散)
2．微分方程 y ''+ y = 0 的通解为
（）
A． A 的秩为 n ．
B. 线性方程组 AX = 0 仅有零解.
C. A2 无零特征值.
D. A 存在 n 个线性无关的特征向量.
三、计算题（每小题 10 分，共 60 分）
x a"a
1.
计算行列式
a #
x" #
a #
.
安徽大学高数A(二)期末试卷答案
安徽大学 2009—2010 学年第二学期 《高等数学 A（二）、B（二）》考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间 120 分钟）
题号 一
二
三
四
五
总分
得分
阅卷人
学号
姓名
专业
一、填空题（本大题共五小题，每小题 2 分，共 10 分）
1．点 (2,1,1) 到平面 x + y − z +1 = 0 的距离为
.
2．极限
f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处取极小值的充分条件的是
（）
A.
fxx (x0 ,
y0 )
>
0,
fxx (x0 ,
y0 )
f yy (x0 ,
y0 ) −
f
2 xy
(
x0
,
y0fxx (x0 ,
y0 )
>
0,
fxx (x0 ,
y0 )
f yy (x0 ,
y0 ) −
f
2 xy
18．将 f (x) = 1 展开为 (x + 2) 的幂级数，并求该幂级数的收敛域. 1+ 2x
四、应用题（本大题共 8 分）
19. 在椭圆 x2 + 4 y2 = 4 上求一点，使该点到直线 2x + 3y −12 = 0 的距离最短.
《高等数学 A（二) 、B（二）》（A 卷） 第 5 页 共 6 页
_________.
2. 设 f (x, y) = x y ，则 lim f (x, y) =_____________ .
xy +1−1
(x, y)→(0,0)
∫ ∫ 3. 累次积分
安徽大学数学期末试卷汇编离散数学期末考试试卷B卷答案
安徽大学20 10 —20 11 学年第 2 学期《 离散数学(下) 》(B 卷)考试试题参考答案及评分标准一、单选题(每小题2分,共20分)1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、A ；6、D ；7、D ；8、B ；9、A ；10、D 。
二、填空题(每小空2分,共20分)1、不同构；2、3,5；3、2n m k -+=；4、66,N <+>,6{0},<+>,6{0,3},<+>,6{0,2,4},<+>；5、2；6、(1)n n -。
三、解答题(每小题10分,共30分)1、解：子群有<{[0]},+6>；<{[0],[3]},+6>；<{[0],[2],[4]},+6>；<{Z 6},+6> (5分){[0]}的左陪集：{[0]},{[1]}；{[2]},{[3]}；{[4]},{[5]}{[0],[3]}的左陪集：{[0],[3]}；{[1],[4]}；{[2],[5]} (8分) {[0],[2],[4]}的左陪集：{[0],[2],[4]}；{[1],[3],[5]}Z 6的左陪集：Z 6 。
(10分) 2、1212{1,2,3,4,6,12},,S S D =<>的子格有{1},,{2},,{3},{4},,{6},,{12},{1,2},,{1,3},,{1,4},{1,6},,{1,12},,{2,4},{2,6},,{2,12},,{3,6},{3,12},,{4,12},,{6,12},{1,2,4},,{1,3,6},,{1,3,12D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D <><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><12},{1,4,12},,{1,6,12},,{2,4,12},{2,6,12},,{1,2,3,6},,{1,2,4,12},{1,2,6,12},,{1,3,6,12},,{1,3,4,12},{2,4,6,12},,{1,2,3,6,12},,{1,2,4,12},{},D D D D D D D D D D D D D S D ><><><><><><><><><><><><><>(6分) (10分)3、解：)(0G γ )(0G α )(1G α )(0G β )(1G β )(0G κ )(1G κ )(0G χ )(1G χ 36 6 5 5 2 2 3 4(注：每空1分) (9分)邻接矩阵： (10分)四、证明题(每小题10分,共30分)1、证明：因,a b ≤故a b b ⊕=；因b c ≤,故*b c b =,所以*a b b c ⊕=。
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13、（本小题 8 分）已知
14、（本小题 8 分） ∫
∫ 15、（本小题 8 分）
π 4
x2
dx x2 + 2x + 2
dx
0 1+ sin2 x
+
y2
16、（本小题 8 分）已知 y '+ y + ex = 0, y(1) = 0 ，求 y ( x) 。
x
《高等数学 A（一）、B（一）》（B 卷） 第 3 页 共 6 页
A． f (−x)
B． − f (−x)
C． f (0)
D． − f (0)
三、计算题（本题共 7 小题，其中第 11-12 题每题 7 分， 第 13-17 题每题 8 分，共 54 分）
11、（本小题
7
分） lim( n→0 (n
1 + 1)2
+
(n
1 + 2)2
+ "" +
(n
1 + n)2
)
《高等数学 A（一）、B（一）》（B 卷） 第 1 页 共 6 页
年级
院/系
安徽大学期末试卷
8．下列命题正确的是（
）。
A.若 f '(x0 ) = 0 ，则 x0 必为 f (x) 的极值点 B.若 x0 为极值点，则必有 f '(x0 ) = 0 C. f (x) 在 (a,b) 的最大值必大于在 (a,b) 内的最小值
学号
答 题勿超装 订 线
姓名
专业
安徽大学 2010—2011 学年第一学期
《高等数学 A（一）、B（一）》考试试卷（B 卷）
（闭卷 时间 120 分钟）
安徽大学《高等数学A二卷(二)》2019-2020学年第二学期期末考试
安徽大学2019—2020学年第二学期高等数学A 二卷（二）（闭卷时间120分钟）考场登记表序号一、填空题（每空2分，共10分）1．绕y 轴旋转而成的椭球面1323222=++z y x 的曲线是______________．2．设()=∂∂=x u xy x z 则,ln _______________________．3．设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在区间],ππ-（上的定义为:⎩⎨⎧≤<≤<-=πππx x x x f 0,0,)(,则)(x f 的傅立叶级数在π2=x 收敛于.4．以()()dy y y x dx xy x 42234564-++为全微分的函数是.5．函数()22ln z y x u ++=在点A （1,0,1）处由A 指向B （3，-2,2）的方向的方向导数是.二、选择题（每小题2分，共10分）6.方程()()[()x y x dt t y t t y x ⋅=++⎰0222是（）.(A)齐次方程；(B)一阶线性方程；(C)伯努利（Bernoulli ）方程；(D)可分离变量方程.题号一二三四五总分得分阅卷人得分院/系年级专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------得分7.已知,7,3,2=-==b a b a 则,a b 的夹角为（）.(A)12；(B)12-；(C)3π；(D)3π-.8.设().arcsin ,yx y x f =则(),1x f x =（）.)(A ()121+x x ；)B (221x x -；)(C x ；)D (x11+.9.设L 为曲线2x y =上从A（1,1）到B（0,0）的一段弧，则⎰=L xdy （）.)(A dx x ⎰1022；)B (dy x ⎰10；)(C dx x ⎰0122；)D (dy y ⎰10.10．幂级数n n n x n212∑∞=的收敛半径为（）.)(A 2；2)B (；)(C 21；)D (21.三、计算题（每小题9分，共54分）11.求螺旋线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()0,0,a 处的切线方程与法平面方程.12.计算⎰Γ+-ydz dy dx ，其中Γ是有向闭折线ABCA ，这里A （1,0,0），B （0,1,0），C （0,0,1）.得分13.求0324223=-+dy y x y dx y x 的通解.14.计算第一类曲面积分()⎰⎰∑+dS y x 22，其中∑为锥面()2223y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分值.15.利用Gauss 公式计算第二类曲面积分()()zdydz x y dxdy y x -+-⎰⎰∑，其中∑为柱面122=+y x 及平面0=z 和3=z 所围成的空间闭区域V 的整个边界曲面的外侧.16.求级数()()n n x n 111-+∑∞=的收敛域及和函数.院/系年级专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------四、应用题（每小题10分，共20分）17.将周长为p 2的矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体。
安徽大学10-11(1)高数A(一)、B(一)答案
一、 填空题（本题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
1 1. 2
2. y = x + e 2
π
3.
π
2
4.0
5.
2 (2 2 −，每小题 2 分，共 10 分） 6. C 7. C 8. D 9. B 10. A
+∞
+∞
2
dx x −1=t = x x −1
2
∫
+∞
1
2dt π +∞ = 2 arctan t |1 = ，收敛 2 (t + 1) 2
1
dx =π x x −1
四、综合分析题（本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） x dy 18. = 1 + ∫ [t − y (t )]dt , y (0) = 1 0 dx 方程两边求导有： 对应齐次方程为 y " + y = 0
[‰Y'•Q~ÜNf^—
19. (1) 若 a = 0 时
A = ∫ ax + b dx = ∫ b dx = b ，
0 0 1 1
则 V = π A2 。 (2) 若 a ≠ 0 时，由几何对称性仅需讨论 a > 0 情形： 设直线与 x 截距为 t ，则直线可表为 y = a ( x − t ) ， ⎧a( 1 2 − t ), t < 0 ⎪ 2 1 A = ∫ a x − t dx = ⎨a[(t − 1 2 ) + 4 ], 0 ≤ t ≤ 1 0 ⎪a (t − 1 ), t > 1 2 ⎩ 再由几何对称性， t < 0 与 t > 1 情形相同， i) 当 t < 0 时： 1 1 1 1 V = π a 2 ∫ ( x − t ) 2 dx = π a 2 [(t − ) 2 + ] = π A2 + π a 2 > π A2 0 2 12 12 ii) 当 0 ≤ t ≤ 1 时，可得 2 A ≤ a ≤ 4 A ， 1 1 3 4 V = π a 2 ∫ ( x − t ) 2 dx = − π (a − 3 A) 2 + π A2 ≥ π A2 。 0 6 2 3
安徽大学期末试卷MK_08-09(2)高数A(二)、B(二)试卷.pdf
.
5. 已知 f (x) 是周期为 2π 的周期函数，在 (−π , π ] 上 f (x) 的解析式为
f
(x)
=
⎧−π
⎨ ⎩
x,
,
−π < x ≤ 0 0< x≤π
，则
f
(x)
的傅立叶级数在
x
=
0
处收敛于__
___. __.
二、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分）
得分
6．设 y1(x) 、 y2 (x) 、 y3(x) 是非齐次线性方程 y′′ + p(x) y′ + q(x) y = f (x) 的三个线性
无关的解， C1 、 C2 是任意常数，则该非齐次线性方程的通解可表示为 ( )．
A. C1 y1 + C2 y2 + C3 C. C1 y1 + C2 y2 − (1− C1 − C2 ) y3
B. C1 y1 + C2 y2 − (C1 + C2 ) y3 D. C1 y1 + C2 y2 + (1− C1 − C2 ) y3
安徽大学期末试卷
18．将 f (x) = 1 展开为 (x + 2) 的幂级数，并求该幂级数的收敛域. 1+ 2x
四、应用题（本大题共 8 分）
19. 在椭圆 x2 + 4 y2 = 4 上求一点，使该点到直线 2x + 3y −12 = 0 的距离最短.
《高等数学 A（二) 、B（二）》（A 卷） 第 5 页 共 6 页
x
=
0
、
y
=
1及
y
=
x
所围成的区域.
安徽大学期末试卷
安徽大学2018-2019高等数学A(二)B(二)B卷(含答案)
8.
设
z
x2 y x2 y2
,
x2
y2
0 ,
则函数
z
在点
0, 0
处（
）.
0,
x2 y2 0
A 不连续
B 连续，但偏导数不存在
C 连续且偏导数都存在，但不可微 D 可微
9. 常数 a 0 ，则第一类曲面积分 x2dS （ ）. x2 y2 z2 a2
A 4a4 3
B 4a2 3
C 4 a4
18、【解】先求出函数在 D 上的所有驻点和偏导数不存在的点,解方程得：
fx(x, y) 2xy(4 x y) x 2y 0 f y(x, y) x2(4 x y) x2 y 0
得到区域 D 内的唯一驻点(2,1)，且 f (2,1) 4
再求 f (x, y) 在 D 的边界上的最值.
8分
又
x x
1 2 1 4
1 1
x1 x1
2
4
x1 2；
则
f
(x)
( 1) n
n0
1 2n2
1 22n3
x
1n
( x 1 2) .
10 分
四、综合题（每小题 7 分，共 14 分） 17、【解】由质量公式得
M L (x, y)ds
xds
1
x
1 4x 2dx
L
0
1 5 5 1 12
7分
五、证明题（每小题 6 分，共 6 分）
19、【证明】正项级数 un n1
收敛，则
lim
n
un
0 ，即 M
0,n ，有 un
M
，
又级数为正项级数，可知 un M ，从而可得 un2 Mun ，再由正项级数的比较判别
安徽大学2020年高数A(二)测试题
高等数学A （二）测试（4.21） 一、选择题（本题共五小题，每小题3分，共15分）1、设函数242,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩，在点（0,0）处 ( )。
(A) 有二重极限但不连续 (B) 不连续但可偏导 (C) 连续但不可偏导 (D) 连续且可偏导 2、设1DI σ=⎰⎰，222cos()DI x y d σ=+⎰⎰，2223cos()DI x y d σ=+⎰⎰，其中22:1D x y +≤，则（ ）。
(A) 321I I I >> (B) 123I I I >> (C) 213I I I >> (D) 312I I I >>3、设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥，及22222:,0,0,0x y z R x y z Ω++≤≥≥≥，则（ ）。
(A)124xdV xdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (B) 124ydV ydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdV zdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (D) 124xyzdV xyzdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4、设级数1nn u∞=∑收敛，则必收敛的级数为（ ）。
(A) 1(1)nn n un ∞=-∑ (B)21nn u∞=∑(C) 2121()n n n uu ∞+=-∑ (D)11()nn n uu ∞+=+∑5、设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，C 1，C 2是任意常数，则该非齐次微分方程的通解是（ ）。
(A) 11223C y C y y ++ (B) 1122123()C y C y C C y +-+ (C) 1122123(1)C y C y C C y +--- (D) 1122123(1)C y C y C C y ++--二、填空题（本题共五小题，每小题3分，共15分）6、一阶线性微分方程'()()y P x y Q x +=的通解为 。
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A． ∫∫ f 2 (z)dxdy S+
C． ∫∫ f (z)dxdy S+
B． ∫∫ xf 2 (z)dxdy S+
D． ∫∫ (x + 2 y + 3z) f (x + y + z)dxdy ． S+
3．直线 x −1 = y − 3 = z 与直线 x = y = z + 2 的位置关系是
4 −2 1
D． 当 ρ ≥ 1时，级数 ∑ un 收敛．
n=1
n=1
（）
5．设函数 f (x, y, z) = x2 + y2 − z 在点 P(1,1,1) 处沿单位向量 v 的方向增加最快，则 v = (
)
A． 1 (2, 2, −1) 3
B． 1 (−2, −2,1) 3
C． 1 (1,1,1) 3
D． 1 (1,1, −1) ． 3, Nhomakorabeax2
+
y2
≠0 ,
在点 (0, 0) 处
⎪⎩0,
x2 + y2 = 0
A．不连续 B．可微 C．不可微，且偏导数不存在 D．不可微，但偏导数存在．
第1页共6页
．
得分
（）
2．设 f (t) 为连续奇函数， S + 为 x2 + y2 + z2 = 1的外侧．则下列第二类曲面积分值不一定等
于零的是
（）
第3页共6页
5．（1）设
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
uv sin
u
+
cos
v
，求 ∂u , ∂v . ∂x ∂x
（2）设
sin
z
−
xyz
=
0
，求
∂2z ∂y2
．
四、应用题（每小题 8 分，共 16 分） 1．求函数 f (x, y, z) = x + 2 y + 3z 在柱面 x2 + y2 = 2 和平面 y + z = 1交线上的
L+
( x, y,z )∈Σ
Qx − Py 2 + Ry − Qz 2 + Pz − Rx 2 ⋅ S
其中 Σ 为以 L 为边界的某曲面， S 为曲面 Σ 的面积．
第6页共6页
得分
三、计算题（第 1、2、3 小题每小题 10 分，第 4、5 小题每小题 12 分，共 54 分）
1．设空间曲面 Σ 的方程为 z = arctan y ，求其在点 (1,1, π ) 处的切平面与法线方程．
x
4
2．计算 ∫∫∫ zdxdydz ，其中 Ω 是由曲面 z = x2 + y2 与平面 z = 4 所围成的空间有界闭区域． Ω 第2页共6页
02 1
A．平行 B．相交与一点 C．异面 D． 重合．
（）
∑ 4．
设
∞
un
n=1
为正项级数，且 lim n→∞
un un+1
=
ρ
，则下列说法正确的是
∞
A．当 ρ < 1时，级数 ∑ un 收敛
∞
B． 当 ρ > 1 时，级数 ∑ un 收敛
n=1
n=1
∞
C．当 ρ ≤ 1时，级数 ∑ un 收敛
∞
−π < x ≤ 0 ,
0< x≤π
则
f (x) 的 Fourier 级数在 x = 4π 处收敛于
．
姓名
专业
院/系
5．设 f (x, y) = xy2 在点 (2,1) 处沿方向 (4, −3) 的方向导数等于
二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）
1． 二元函数
f
(x,
y)
=
⎧ ⎪ ⎨
x2 y x2 + y2
答 题勿超装 订 线
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
．
2．极限 lim (x2 + y2 )e−(x+ y) =
．
x→+∞
y → +∞
∫ ∫ ∫ ∫ 3．交换积分次序
1
dx
x2
f (x, y)dy +
2
dx
1−( x−1)2
f (x, y)dy =
0
0
1
0
．
4．设
f
(x)
是以
2π
为周期的函数，它在区间
(−π
,π
]
上的表达式为
f
(x)
=
⎧π ,
⎨ ⎩
x,
得分
最大值与最小值．
第4页共6页
2． 已知一条非均匀金属线 L 的方程为 x = et cos t, y = et sin t, z = et ,t ∈[0,1]．它在点 (x, y, z)
处的线密度 ρ(x, y, z) =
1
，求该金属丝的质量．
x2 + y2 + z2
五、证明题（每小题 5 分，共 10 分）
∫∫ 3．计算第一类曲面积分
Σ
x2
+
1 y2
+
z2
dS
，其中
Σ
为圆柱面
x2
+
y2
= 1介于平面 z = 0 与 z = 1
之间的部分．
4．（1）将函数 f (x) = ln x 展开为 (x − 2) 的幂级数，并确定所求幂级数的收敛域．
∑ （2）求级数
∞ n=1
(−1)n−1 n ⋅ 2n
的和．
学号
安徽大学 2010—2011 学年第二学期 《高等数学 A（二）、B（二）》考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间 120 分钟） 考场登记表序号
题号 一
二
三
四
五
总分
得分
阅卷人
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）
得分
1．设向量 a = (2, 0,1) ， b = (2, 3, 4) ，则与 a, b 都垂直的单位向量为
∑∞
1．证明级数 (−1)n−1
n 条件收敛．
n=1
n + 2011
得分
第5页共6页
2．设 L 为空间某封闭光滑曲线， P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 为 \3 中具有一阶连续偏导数 的函数．证明：
v∫ ( ) ( ) ( ) Pdx + Qdy + Rdz ≤ max