高中数学竞赛(预赛)训练试题及解答

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）
姓名： 班级 ： 分数 ：
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）
1．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 前n 项的和为n S ，
则=100S ．
2．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，2
23=
BK ，则△ABC 的面积为 ．
3．设100<n ，则使得n b a )(+的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n 为 ．
4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 ． 5．若z y x ,,均为正实数，且12
22=++z y x ，则xyz z S 2)1(2
+=的最小值为 ． 6．设椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，122F MF θ∠=，△12MF F 的内心为I ，则=θcos ||MI ．
7．对于一切]21,2[-∈x ，不等式0123≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．
8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知数列}{n a 中，41,121=
=a a ，且),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n n n ． （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）求证：对一切*N n ∈，有
6
712<∑=n k k a ．
10．设3131162
34++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．
11．已知直线x y =与椭圆C ：111
162
2=+y x 交于B A ,两点，过椭圆C 的右焦点F 、倾斜角为α的直线l 交弦AB 于点P ，交椭圆C 于点N M ,．
（1）用α表示四边形MANB 的面积；
（2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程．
湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）
详细解答
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）
1．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 前n 项的
和为n S ，则=100S 89 ．
2．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，2
23=BK ，则△ABC 的面积为167
15．
3．设100<n ，
则使得n b a )(+的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n 为 98 ．
4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 327 ．
5．若z y x ,,均为正实数，且12
22=++z y x ，则x y z z S 2)1(2
+=的最小值为 223+．
6．设椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，122F MF θ∠=，△12MF F 的内心为I ，则=θcos ||MI 32-．
7．对于一切]21
,2[-∈x ，不等式012
3≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为110-≤≤-a ．
8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知数列}{n a 中，4
1,121==a a ，且 ),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n n
n ．
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）求证：对一切*N n ∈，有6
712<
∑=n k k a ． 解 （1）由已知，对2≥n 有 1
1)1()1(1
1---=--=+n a n n a n a n a n n n n ， 两边同除以n ，得 )
1(1)1(111---=+n n a n na n n ， 即 )111()1(111n
n a n na n n ---=--+， ……………………4分 于是，)111(11
1)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即 2),1
11(1)1(12≥---=--n n a a n n ， 所以
123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ，2,231≥-=n n a n ． 又1=n 时也成立，故*,231N n n a n ∈-=
． ……………………8分 （2）当2≥k ，有
)131431(31)13)(43(1)
23(122---=--<-=k k k k k a k ，………………12分 所以2≥n 时，有
⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a n
k k n k k .6
761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n 又1=n 时，.67121<
=a 故对一切*N n ∈，有
6
712<∑=n k k a ． ……………………16分
10．设313116234++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．
解 )10(3)13(22--++=x x x P ．
所以，当10=x 时，2
131=P 是完全平方数． ……………………5分 下证没有其它整数x 满足要求．
（1）当10>x 时，有22)13(++<x x P ，
又03132)3(222>++=+-x x x x P ，所以22)3(x x P +>，
从而2222)13()3(++<<+x x P x x ．
又Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数． ……………………10分
（2）当10<x 时，有22)13(++>x x P ．令Z y y P ∈=,2，
则|13|||2++>x x y ，即|13|1||2++≥-x x y ， 所以 2
22)13(1||2++≥+-x x y y ，
即 01|13|2)10(32≥+++---x x x ．
解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数．
综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10. ……………………20分 11．已知直线x y =与椭圆C ：111
162
2=+y x 交于B A ,两点，过椭圆C 的右焦点F 、倾斜角为α的直线l 交弦AB 于点P ，交椭圆C 于点N M ,．
（1）用α表示四边形MANB 的面积；
（2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程．
解 （1）直线MN 的倾斜角为α，记θ=∠MFO ，则πθα=+，
θ
α2222
2222cos 2cos 2||c a ab c a ab MN -=-=． 而AB 与MN 所成的角为θπ
+4，则四边形MANB 面积
θθθθπ2222cos cos sin ||2)4sin(||||21c a ab OA MN AB S MANB -+⋅⋅=+⋅=
．…………5分 而5,11,16222===c b a ，A 点坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛9334,9334，且9664||=OA ，
从而，α
ααθθθ22cos 516cos sin 933352cos 516cos sin 933352--⋅=-+⋅=MANB S ， 其中5933433
4arctan 0+≤<α或πα<≤+5933433
4arctan ．……………10分
（2）记αααα2co s 516cos sin )(--=f ，而)(αf 只可能在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈πα,59334334arctan 时才可能取到最大值．对)(αf 求导数得到：
2
22)cos 516()sin cos 10)(cos (sin )cos 516)(sin (cos )(ααααααααα----+='f ． 令0)(='αf ，则有
0)tan 10)(1(tan )11tan 16)(tan 1(2=--++αααα． ……………………15分 化简得到 011tan 21tan 6tan 1623=+++ααα．
所以 0)11tan tan 8)(1tan 2(2=+-+ααα．
而 011tan tan 82=+-αα无实根，则2
1
tan -=α． 经检验21tan -=α，符合⎪⎪⎭⎫⎢⎣
⎡-∈πα,59334334arctan ． 故所求直线l 的方程为：2521+-=x y ． ……………………20分。