高中数学竞赛(预赛)训练试题及解答

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）

姓名： 班级 ： 分数 ：

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 前n 项的和为n S ，

则=100S ．

2．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，2

23=

BK ，则△ABC 的面积为 ．

3．设100

4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 ． 5．若z y x ,,均为正实数，且12

22=++z y x ，则xyz z S 2)1(2

+=的最小值为 ． 6．设椭圆14

22

=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，122F MF θ∠=，△12MF F 的内心为I ，则=θcos ||MI ．

7．对于一切]21,2[-∈x ，不等式0123≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．

8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知数列}{n a 中，41,121=

=a a ，且),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n n n ． （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）求证：对一切*N n ∈，有

6

712<∑=n k k a ．

10．设3131162

34++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．

11．已知直线x y =与椭圆C ：111

162

2=+y x 交于B A ,两点，过椭圆C 的右焦点F 、倾斜角为α的直线l 交弦AB 于点P ，交椭圆C 于点N M ,．

（1）用α表示四边形MANB 的面积；

（2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程．

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）

详细解答

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 前n 项的

和为n S ，则=100S 89 ．

2．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，2

23=BK ，则△ABC 的面积为167

15．

3．设100

则使得n b a )(+的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n 为 98 ．

4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 327 ．

5．若z y x ,,均为正实数，且12

22=++z y x ，则x y z z S 2)1(2

+=的最小值为 223+．

6．设椭圆14

22

=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，122F MF θ∠=，△12MF F 的内心为I ，则=θcos ||MI 32-．

7．对于一切]21

,2[-∈x ，不等式012

3≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为110-≤≤-a ．

8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知数列}{n a 中，4

1,121==a a ，且 ),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n n

n ．

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）求证：对一切*N n ∈，有6

712<

∑=n k k a ． 解 （1）由已知，对2≥n 有 1

1)1()1(1

1---=--=+n a n n a n a n a n n n n ， 两边同除以n ，得 )

1(1)1(111---=+n n a n na n n ， 即 )111()1(111n

n a n na n n ---=--+， ……………………4分 于是，)111(11

1)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即 2),1

11(1)1(12≥---=--n n a a n n ， 所以

123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ，2,231≥-=n n a n ． 又1=n 时也成立，故*,231N n n a n ∈-=

． ……………………8分 （2）当2≥k ，有

)131431(31)13)(43(1)

23(122---=--<-=k k k k k a k ，………………12分 所以2≥n 时，有

⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a n

k k n k k .6

761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n 又1=n 时，.67121<

=a 故对一切*N n ∈，有

6

712<∑=n k k a ． ……………………16分

10．设313116234++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．