光与物质相互作用的全量子理论

2.3光与物质相互作用的全量子理论

在本节，我们将以量子化辐射场与两能级原子的相互作用为例来阐述光与物质相互作用的全量子理论。 2.3.1原子系统与光波场的总哈密顿

在半经典理论中，单电子原子与辐射场的相互作用哈密顿为：

E r e H H H

F A ⋅-+=

(2.47)

其中A H 和F H 分别代表无相互作用时的原子和辐射场的能量，r 代表电子的位置矢量，E 代表辐射场的振幅。当辐射场也被量子化后，我们有：

ii i

i i

i A E i E H σ∑∑==

(2.48a)

∑+=+

k

k k k F a a H )2/1(ν

(2.48b) ∑∑

==j

i ij ij j

i j j i e r e ,,σμ

(2.48c) ∑++=k

k k k k a a E E )(ε

(2.48d)

其中+k a 和k a 分别代表光子的产生和湮灭算符，j i ij =σ代表原子跃迁算符，

j e ij =μ代表电偶极矩阵元，2/10)2/(V E k k εν =。于是，我们得到全量子理

论中的哈密顿：

∑∑∑∑+++++=j

i k

k k ij ij k i

ii i k

k k k a a g E a a H ,)(σσν

(2.49)

其中 /)(k k ij ij k E g εμ⋅-=。在此，我们已从第一项中略去了零点能。

对于一个两能级原子，考虑到ba ab μμ=，我们可令ba

k ab k k g g g ==，于是方程

（2.49）可进一步简化为：

∑∑+

++++++=k

k k ba ab k bb b aa a k

k k k a a g E E a a H ))(()(σσσσν

(2.50)

若我们令bb aa z σσσ-=，ab σσ=+，ba σσ=-，考虑到ω =-b a E E 和

1=+bb aa σσ，并略去常数能量因子2/)(b a E E +，则方程（2.50）变为：

∑∑+

-++++++=k

k k k z k k k k a a g a a H ))((21σσωσν

(2.51)

在上式中，相互作用能由四项组成。其中-+σk a 项描述原子由上能级跃迁至下能级同时产生一个k 模式光子的过程，+σk a 项描述与其相反的过程；-σk a 项描述原子由上能级跃迁至下能级同时消灭一个k 模式光子的过程，++σk a 项描述与其相反的过程。注意，在前两个过程中能量是守恒的，但在后两个过程中能量不守恒，因此需将-σk a 项和++σk a 项略去，这相应于半经典理论中的旋转波近似。于是，我们有：

∑∑-+

+++++=k

k k k z k k k k a a g a a H )(21σσωσν

(2.52)

下面，我们考虑单模量子场与一个两能级原子的相互作用。略去耦合因子k

g 的下脚标后，我们有：

10H H H +=

(2.53a) 2/0z a a H ωσν +=+

(2.53b) )(1-+++=σσa a g H

(2.53c)

在相互作用图像下求解原子与场的相互作用更为方便，因此下面我们求出相互作用图像下的哈密顿:

)(/1/00t i t i t iH t iH I e a ae g e H e H ∆--+∆+-+==σσ

(2.54)

其中νω-=∆单模场相对于原子跃迁的失谐。 2.3.2几率振幅法和旋转波近似

在相互作用图象下，系统状态函数)(t ψ的运动方程为：

ψψI H t

i =∂∂

(2.55)

对于一个由两能级原子和单模场组成的系统，若n a ,（n b ,）表示原子处于上（下）能级a （b ），而光波场有n 个光子的状态，则：

∑+=n

n b n a n b t c n a t c t ],)(,)([)(,,ψ

(2.56)

相互作用能（2.54）可引起系统在n a ,和n b ,间的跃迁，因此我们要考虑幅度n a c ,和1,+n b c 的演化规律。将（2.54）和（2.56）代入方程（2.56）可得：

1,,.

1+∆+-=n b t i n a c e n ig c (2.57a) n a t i n b c e n ig c ,1,.

1∆-++-=

(2.57b)

方程（2.57）与我们在半经典理论中求得的（2.27）非常相似，只是在此我们需要将光波场的状态也考虑进来。考虑到系统的初始条件，方程（2.57）的一般解为：

2/1,,,2sin )0(122sin 2cos )0()(t i n n b n n n n n a n a e t c n ig t i t c t c ∆+⎭⎬⎫⎩

⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=

(2.58a)

2

/,1,1,2sin )0(122sin 2cos )0()(t i n n a n n n n n b n b e

t c n ig t i t c t c ∆-++⎭⎬⎫⎩

⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω= (2.58b)

其中，)1(42

22++∆=Ωn g n 。如果原子最初位于上能级，即：)0()0(,n n a c c =，

0)0(1,=+n b c ，则：

2/,2sin 2cos )0()(t i n n n n n a e t i t c t c ∆⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=

(2.59a)