第四章 远期利率协议FRA(洛伦茨版本)
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iF DL iL DF iF 1 i ALL
远期利率协议对市场利率变化的敏感度
0月 3个月
9% 8%
6个月
11%
9个月
9%
A
B
9% a)6 ×9远期利率合约——6个月利率上升1% 8% 11%上升到14% A B 10% 9% ` b) 6 ×9远期利率合约——9个月利率上升1%
假设市场利率在三个月后上涨到7%，如 果没有远期利率协议，借款6个月，借款者 必须多支付100万*（7%-6.25%）/2， 即3750元。 而按照远期利率协议，借款者将收到3750 美元以补偿6个月100万美元额外的利息支 付0.75%。
“FRABBA”词汇——1985年由 英国银行家协会起草
91
以1×4的远期利率协议例： 第1步：计算4个月后到期的利率(线性插值法：) 6－3 6－4 ＝ 12.625％－13.125％ 12.625％－X 求出X=12.9583
13.125 X 12.625
1
2
3
4
5
6
第2步：
(i4 D4 i1 D1 ) iF D1 DF (1 i1 ) 365 (12.9583% 120 13.6875% 28) 12.6040% 28 92 (1 13.6875% ) 365
1958.33 交割额= 1923.18美元 94 1+(7.00 ) 360
计算交割额的标准公式
DAYS (ir ic ) A BASIS 交割额= DAYS 1 (ir ) BASIS
其中： ir 是参考利率， ic 是协议利率， A 是协议数额， DAYS 是协议期间的天数， BASIS 是转换的 天数。
13.6875% 13.4375% 13.1250% 12.6250% 12.2500% 12.0625%
利用公式可以计算出英镑远期利率协议的理 论利率水平，以3×6的远期利率协议为例：
89
(i6 D6 i3 D3 ) iF 180 D3 DF (1 i3 ) 365 (12.625% 180 13.125% 89) 89 91 (1 13.125% ) 365 11.7596%
“低买高卖”（认为ic低了就买，因为预期上涨） “买方”得到交割额后应立即以市场利率（ 7% ） 投资, 否则将无法实现完全避险。 避险情况只能说基本避险，因为： 1 、大多数借款人需付出高于 LIBOR 的保证金 （借款者只能以LIBOR+1%的利率水平借款） 2、再投资难以达到7%利率水平
iL
0 ts tF=tL-tS tL
四、远期利率协议的定价
iLt L iS tS iF t F (1 iS tS )
其中iL， iS ， iF是年利率，tL， tS ， tF为 一年的几分之几
四、远期利率协议的定价
该公式可表示为：
DS DL DF ) (1 iS )(1 iF ) B B B DL 1 iL B 1) B iF ( DS DF 1 iS B DS DL (iL iS )B B B DS 这也是无套利的均衡定价。 DF (1 iS ) B 注意：2种投资途径结果一 (iL DL iS DS ) 致的假设，就是说各市场间 DS 无利可套。 DF (1 iS ) B (1 iL
（2）如果一份12X24FRA的合约利率高于12.009% （比如为12.3%），合约卖出者（卖方，空头）可采用下列 方式套利： 先向银行借款2年（年利率10%）随即贷出1年（年利 率11%），1年后，再贷出1年（年利率12.3%）。到期之后， 合约卖方所得与支付如下：
2年期贷款到期总归还：A(1+11%)（1+11%）；
二、交割过程
(远期利率协议的时间简图 )
二、交割过程
假设交易日是1993年4月12日，星期一，协议双方买 卖五份1×4远期利率协议，每份面额20万美元，利率为 6.25%,协议货币是美元，协议数额为100万，协议利率为 6.25%。 “1×4”是指名义上的即期日与交割日之间为1个月， 从即期日到贷款的最后到期日之间为4个月。即期日通常 在交易日之后两天，在本例中即4月14日，星期三。这意 味着名义上的贷款或存款将从1993年5月14日星期五开始 （即期日一月后），于1993年8月16日星期一到期（由于 1993年8月14日是一个星期六，这三个月期限的远期协议 顺延到下一个工作日）。
四、远期利率协议的定价
方法：是把它看成弥补现货市场上不同到期 日之间的“缺口”的工具。 例：某人可获得一笔资金用来投资1年，假定 6个月的利率为9%，而一年（12个月）的利 率为10%，那么投资者有多种选择，包括以 下两种：
四、远期利率协议的定价
（1）投资一年获取10%的利息 （ 2）投资半年获取 9%的利息，与此同时，卖出一 份6×12的远期协议，以在下半年中稳获有保证的收 入。
在金融市场是有效的情况下，根据无套利均衡分析，我们有 下列结论：
FRA的合约利率与远期利率相等
否则，市场就存在套利行为。例子如下： 已知即期利率： 1年期年利率 2年期年利率 10% 11%
按远期利率的计算公式，可求得未来1年的远期利率为 12.009% 。A(1+11%)（1+11%）= A(1+10%)（1+r） （1）如果一份12X24FRA的合约利率低于12.009%（比 如为11.5%），合约买方采用下列方式套利： 先借款1年（年利率10%）随即贷出2年（年利率11%） ，1年后，需还前期1年的借款，这时可按照FRA的合约利率 （年利率11.5%）再借款1年。到期之后，合约买方所得与支 付如下： 2年期贷款到期总收入：A(1+11%)（1+11%）； 第一个1年期借款到期后再借款金额：A(1+10%)； 未来1年期借款到期归还总额：A(1+10%)（1+11.5%）；
买方名义上答应去借款 卖方名义上答应去贷款 有特定数额的名义上的本金 以某一币种标价 固定的利率 有特定的期限 在未来某一双方约定的日期开始执行
远期利率协议只能避开利率波动的风险， 这种保护以支付现金交割额的方式来实现， 这个交割额是远期利率协议中规定的利率 与协议到期日市场利率之差。
例：某公司预期在未来三月内将借款 100 万美元，时间为6个月，借款者担心在未来 三个月内市场利率会上升，因而购买了一 份“3×9月”远期利率协议。 这份协议的买方是该公司，卖方是某银行， 本金是 100万美元，固定利率为 6.25%， 期限为6个月，时间自现在起3个月后有效。
分子表示由于初始锁定的利率与最后的市 场利率发生不一致而造成的多余的利息支 付 分母则考虑了交割额在开始时就支付，而 不是在协议期限末支付 正的交割意味着卖方向买方支付交割额， 负的交割额则意味着买方向卖方支付这笔 钱。
三、注释
买方获利 ic 卖方获利
(风险收益对称，所以只交佣金)
三、注释
二、交割过程
本例中交割日是5月14日，到期日为8月16 日，协议期限是94天。假定基准日LIBOR是7%， 则到期日远期利率协议的买方在理论上应多支付 的利息为
7.00 6.25 94 1000000 1958.33美元 100 360
二、交割过程
在实践中，通常是在交割日即潜在的贷款或 存款的开始日支付交割额。由于这笔钱比它需要 时支付得早，它将可能用于投资以获得利息。因 此交割额将减去从清算日到到期日之间交割额可 能被用作投资以获得的利息：
0月
6个月
12个月
9%
A 10%
?
B
四、远期利率协议的定价
（1）估价法
估计法只能粗略估计出远期利率协议的利率 实际的远期利率协议利率要比估计法估计的低 11% 9% P38 图4-5
10%
四、远期利率协议的定价
（2）公式法 (1+iLtL)=(1+iStS)(1+iFtF) is iF
第一个1年贷出资金获得总收入：A(1+10%)；
把第一个1年的总收入在贷出1年期后所得： A(1+10%)（1+12.3%）；
显然 A(1+10%)（1+12.3%）> A(1+11%)（1+11%）； 当FRA合约利率（本例12.3%）高于12.009%时，上 述不等式总是成立。因为，只有当合约利率等于12.009%时 左右两端才相等。说明卖方在没有任何自有资金的情况下，可 以套利，且2年后套利 A(1+10%)（1+12.3%）- A(1+11%)（1+11%）；
第四章 远期利率协议FRA
（Forward Rate Agreement ）
一、定义
远期利率协议，最先是从货币市场出现的， 对于规避利率波动的风险或对利率波动进行 投机获利行为提供了较为有利的工具。 远期利率协议是由银行提供的场外市场交易 产品。 一份远期利率协议是交易双方或者为规避未 来利率波动风险，或者在未来利率波动上进 行投机的目的而约定的一份协议。
当市场存在套利行为时，投机者的套利行为最终会使得
FRA的合约利率趋向均衡，即12.009%。当市场是有效时，
市场不存在套利行为，因此，我们可以确定FRA的合约利率 为12.009%。
例：1991年2月18日（星期一），不同的 英镑的LIBOR利率水平
到期日 英镑LIBOR
1个月 2个月 3个月 6个月 9个月 12个月
一、定义
本质上，远期利率协议是在一固定利率下 的远期对远期贷款，只是没有发生实际的 贷款交付。 远期利率协议不会在资产负债表上出现， 无需资本充足率方面的要求。 实际上，银行在进行远期利率协议时，仍 需保留一定资本，约为远期对远期贷款资 本要求的1%。
在一份协议中：
可以证明，2年后，买方总收入超过总归还，即
A(1+11%)（1+11%）> A(1+10%)（1+11.5%） 当FRA的合约利率（本例11.5%）低于12.009%，上述不 等式总是成立。因为，只有当合约利率等于12.009%时左右两 端才相等。说明买方在没有任何自有资金的情况下，可以获得 收入，称为套利，且2年后套利 A(1+11%)（1+11%）- A(1+10%)（1+11.5%）
远期利率报价方式
FRA（3×6）
8.08－8.14 ％
FRA（6×9） 8.14－8.21 ％ FRA（9×12） 8.09－8.15 ％ FRA（12×18） 8.15－8.22 ％
五、远期利率协议的利率表现
对市场利率变化的敏感度（当iS, iL, 变化时， iF如何变化？） DS iF iS DF
远期利率协议定价的意义
远期利率协议报价行报出的买卖平均价的基础应该是相应 期限的远期利率，再结合市场买卖供求关系定出一个合理 价格。 价格过高或过低都会出现套利使买卖数量不均衡，这种不 均衡会使报价行即开办行被迫充当交易对手而承担利率风 险，使稳获买卖差价的中间业务演化成投机业务。当然报 价行可以通过利率期货交易将风险头寸对冲掉，但毕竟有 一定的风险和交易成本，所以准确的报价与定价正确与否 有关。 对于远期利率协议的参与者来说，无论保值交易还是投机 交易都与判断报价与理论定价的差异有关，是决定保值交 易与投机交易是否成功的关键。
1 、如此计算的“理论利率”与当天的 实际利率相差很小，一般是几个基点。 2 、不难看出，远期利率协议利率与货 币市场利率关系密切，但与利率期货 价格关系更密切。`
下降的收益曲线 13.8 13.6 13.4 13.2 收 13 益 12.8 率 12.6 12.4 12.2 12 11.8 0 3 6 期限 9 12
协议数额——名义上借贷本金数额 协议货币——协议数额的面值货币 交 易 日——远期利率协议交易的执行日 交 割 日——名义贷款或存款开始日 基 准 日——决定参考利率的日子
“FRABBA”词汇——1985年由 英国银行家协会起草
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
到 期 日——名义贷款或存款到期日 协议期限——在交割日和到期日之间的天数 协议利率——远期利率协议中规定的固定利率 参考利率——市场决定的利率，用在固定日以计 算交割额 交 割 额——在交割日，协议一方交给另一方的 金额，根据协议利率与参考利率之差计算得出。
远期利率协议对市场利率变化的敏感度
0月 3个月
9% 8%
6个月
11%
9个月
9%
A
B
9% a)6 ×9远期利率合约——6个月利率上升1% 8% 11%上升到14% A B 10% 9% ` b) 6 ×9远期利率合约——9个月利率上升1%
假设市场利率在三个月后上涨到7%，如 果没有远期利率协议，借款6个月，借款者 必须多支付100万*（7%-6.25%）/2， 即3750元。 而按照远期利率协议，借款者将收到3750 美元以补偿6个月100万美元额外的利息支 付0.75%。
“FRABBA”词汇——1985年由 英国银行家协会起草
91
以1×4的远期利率协议例： 第1步：计算4个月后到期的利率(线性插值法：) 6－3 6－4 ＝ 12.625％－13.125％ 12.625％－X 求出X=12.9583
13.125 X 12.625
1
2
3
4
5
6
第2步：
(i4 D4 i1 D1 ) iF D1 DF (1 i1 ) 365 (12.9583% 120 13.6875% 28) 12.6040% 28 92 (1 13.6875% ) 365
1958.33 交割额= 1923.18美元 94 1+(7.00 ) 360
计算交割额的标准公式
DAYS (ir ic ) A BASIS 交割额= DAYS 1 (ir ) BASIS
其中： ir 是参考利率， ic 是协议利率， A 是协议数额， DAYS 是协议期间的天数， BASIS 是转换的 天数。
13.6875% 13.4375% 13.1250% 12.6250% 12.2500% 12.0625%
利用公式可以计算出英镑远期利率协议的理 论利率水平，以3×6的远期利率协议为例：
89
(i6 D6 i3 D3 ) iF 180 D3 DF (1 i3 ) 365 (12.625% 180 13.125% 89) 89 91 (1 13.125% ) 365 11.7596%
“低买高卖”（认为ic低了就买，因为预期上涨） “买方”得到交割额后应立即以市场利率（ 7% ） 投资, 否则将无法实现完全避险。 避险情况只能说基本避险，因为： 1 、大多数借款人需付出高于 LIBOR 的保证金 （借款者只能以LIBOR+1%的利率水平借款） 2、再投资难以达到7%利率水平
iL
0 ts tF=tL-tS tL
四、远期利率协议的定价
iLt L iS tS iF t F (1 iS tS )
其中iL， iS ， iF是年利率，tL， tS ， tF为 一年的几分之几
四、远期利率协议的定价
该公式可表示为：
DS DL DF ) (1 iS )(1 iF ) B B B DL 1 iL B 1) B iF ( DS DF 1 iS B DS DL (iL iS )B B B DS 这也是无套利的均衡定价。 DF (1 iS ) B 注意：2种投资途径结果一 (iL DL iS DS ) 致的假设，就是说各市场间 DS 无利可套。 DF (1 iS ) B (1 iL
（2）如果一份12X24FRA的合约利率高于12.009% （比如为12.3%），合约卖出者（卖方，空头）可采用下列 方式套利： 先向银行借款2年（年利率10%）随即贷出1年（年利 率11%），1年后，再贷出1年（年利率12.3%）。到期之后， 合约卖方所得与支付如下：
2年期贷款到期总归还：A(1+11%)（1+11%）；
二、交割过程
(远期利率协议的时间简图 )
二、交割过程
假设交易日是1993年4月12日，星期一，协议双方买 卖五份1×4远期利率协议，每份面额20万美元，利率为 6.25%,协议货币是美元，协议数额为100万，协议利率为 6.25%。 “1×4”是指名义上的即期日与交割日之间为1个月， 从即期日到贷款的最后到期日之间为4个月。即期日通常 在交易日之后两天，在本例中即4月14日，星期三。这意 味着名义上的贷款或存款将从1993年5月14日星期五开始 （即期日一月后），于1993年8月16日星期一到期（由于 1993年8月14日是一个星期六，这三个月期限的远期协议 顺延到下一个工作日）。
四、远期利率协议的定价
方法：是把它看成弥补现货市场上不同到期 日之间的“缺口”的工具。 例：某人可获得一笔资金用来投资1年，假定 6个月的利率为9%，而一年（12个月）的利 率为10%，那么投资者有多种选择，包括以 下两种：
四、远期利率协议的定价
（1）投资一年获取10%的利息 （ 2）投资半年获取 9%的利息，与此同时，卖出一 份6×12的远期协议，以在下半年中稳获有保证的收 入。
在金融市场是有效的情况下，根据无套利均衡分析，我们有 下列结论：
FRA的合约利率与远期利率相等
否则，市场就存在套利行为。例子如下： 已知即期利率： 1年期年利率 2年期年利率 10% 11%
按远期利率的计算公式，可求得未来1年的远期利率为 12.009% 。A(1+11%)（1+11%）= A(1+10%)（1+r） （1）如果一份12X24FRA的合约利率低于12.009%（比 如为11.5%），合约买方采用下列方式套利： 先借款1年（年利率10%）随即贷出2年（年利率11%） ，1年后，需还前期1年的借款，这时可按照FRA的合约利率 （年利率11.5%）再借款1年。到期之后，合约买方所得与支 付如下： 2年期贷款到期总收入：A(1+11%)（1+11%）； 第一个1年期借款到期后再借款金额：A(1+10%)； 未来1年期借款到期归还总额：A(1+10%)（1+11.5%）；
买方名义上答应去借款 卖方名义上答应去贷款 有特定数额的名义上的本金 以某一币种标价 固定的利率 有特定的期限 在未来某一双方约定的日期开始执行
远期利率协议只能避开利率波动的风险， 这种保护以支付现金交割额的方式来实现， 这个交割额是远期利率协议中规定的利率 与协议到期日市场利率之差。
例：某公司预期在未来三月内将借款 100 万美元，时间为6个月，借款者担心在未来 三个月内市场利率会上升，因而购买了一 份“3×9月”远期利率协议。 这份协议的买方是该公司，卖方是某银行， 本金是 100万美元，固定利率为 6.25%， 期限为6个月，时间自现在起3个月后有效。
分子表示由于初始锁定的利率与最后的市 场利率发生不一致而造成的多余的利息支 付 分母则考虑了交割额在开始时就支付，而 不是在协议期限末支付 正的交割意味着卖方向买方支付交割额， 负的交割额则意味着买方向卖方支付这笔 钱。
三、注释
买方获利 ic 卖方获利
(风险收益对称，所以只交佣金)
三、注释
二、交割过程
本例中交割日是5月14日，到期日为8月16 日，协议期限是94天。假定基准日LIBOR是7%， 则到期日远期利率协议的买方在理论上应多支付 的利息为
7.00 6.25 94 1000000 1958.33美元 100 360
二、交割过程
在实践中，通常是在交割日即潜在的贷款或 存款的开始日支付交割额。由于这笔钱比它需要 时支付得早，它将可能用于投资以获得利息。因 此交割额将减去从清算日到到期日之间交割额可 能被用作投资以获得的利息：
0月
6个月
12个月
9%
A 10%
?
B
四、远期利率协议的定价
（1）估价法
估计法只能粗略估计出远期利率协议的利率 实际的远期利率协议利率要比估计法估计的低 11% 9% P38 图4-5
10%
四、远期利率协议的定价
（2）公式法 (1+iLtL)=(1+iStS)(1+iFtF) is iF
第一个1年贷出资金获得总收入：A(1+10%)；
把第一个1年的总收入在贷出1年期后所得： A(1+10%)（1+12.3%）；
显然 A(1+10%)（1+12.3%）> A(1+11%)（1+11%）； 当FRA合约利率（本例12.3%）高于12.009%时，上 述不等式总是成立。因为，只有当合约利率等于12.009%时 左右两端才相等。说明卖方在没有任何自有资金的情况下，可 以套利，且2年后套利 A(1+10%)（1+12.3%）- A(1+11%)（1+11%）；
第四章 远期利率协议FRA
（Forward Rate Agreement ）
一、定义
远期利率协议，最先是从货币市场出现的， 对于规避利率波动的风险或对利率波动进行 投机获利行为提供了较为有利的工具。 远期利率协议是由银行提供的场外市场交易 产品。 一份远期利率协议是交易双方或者为规避未 来利率波动风险，或者在未来利率波动上进 行投机的目的而约定的一份协议。
当市场存在套利行为时，投机者的套利行为最终会使得
FRA的合约利率趋向均衡，即12.009%。当市场是有效时，
市场不存在套利行为，因此，我们可以确定FRA的合约利率 为12.009%。
例：1991年2月18日（星期一），不同的 英镑的LIBOR利率水平
到期日 英镑LIBOR
1个月 2个月 3个月 6个月 9个月 12个月
一、定义
本质上，远期利率协议是在一固定利率下 的远期对远期贷款，只是没有发生实际的 贷款交付。 远期利率协议不会在资产负债表上出现， 无需资本充足率方面的要求。 实际上，银行在进行远期利率协议时，仍 需保留一定资本，约为远期对远期贷款资 本要求的1%。
在一份协议中：
可以证明，2年后，买方总收入超过总归还，即
A(1+11%)（1+11%）> A(1+10%)（1+11.5%） 当FRA的合约利率（本例11.5%）低于12.009%，上述不 等式总是成立。因为，只有当合约利率等于12.009%时左右两 端才相等。说明买方在没有任何自有资金的情况下，可以获得 收入，称为套利，且2年后套利 A(1+11%)（1+11%）- A(1+10%)（1+11.5%）
远期利率报价方式
FRA（3×6）
8.08－8.14 ％
FRA（6×9） 8.14－8.21 ％ FRA（9×12） 8.09－8.15 ％ FRA（12×18） 8.15－8.22 ％
五、远期利率协议的利率表现
对市场利率变化的敏感度（当iS, iL, 变化时， iF如何变化？） DS iF iS DF
远期利率协议定价的意义
远期利率协议报价行报出的买卖平均价的基础应该是相应 期限的远期利率，再结合市场买卖供求关系定出一个合理 价格。 价格过高或过低都会出现套利使买卖数量不均衡，这种不 均衡会使报价行即开办行被迫充当交易对手而承担利率风 险，使稳获买卖差价的中间业务演化成投机业务。当然报 价行可以通过利率期货交易将风险头寸对冲掉，但毕竟有 一定的风险和交易成本，所以准确的报价与定价正确与否 有关。 对于远期利率协议的参与者来说，无论保值交易还是投机 交易都与判断报价与理论定价的差异有关，是决定保值交 易与投机交易是否成功的关键。
1 、如此计算的“理论利率”与当天的 实际利率相差很小，一般是几个基点。 2 、不难看出，远期利率协议利率与货 币市场利率关系密切，但与利率期货 价格关系更密切。`
下降的收益曲线 13.8 13.6 13.4 13.2 收 13 益 12.8 率 12.6 12.4 12.2 12 11.8 0 3 6 期限 9 12
协议数额——名义上借贷本金数额 协议货币——协议数额的面值货币 交 易 日——远期利率协议交易的执行日 交 割 日——名义贷款或存款开始日 基 准 日——决定参考利率的日子
“FRABBA”词汇——1985年由 英国银行家协会起草
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
到 期 日——名义贷款或存款到期日 协议期限——在交割日和到期日之间的天数 协议利率——远期利率协议中规定的固定利率 参考利率——市场决定的利率，用在固定日以计 算交割额 交 割 额——在交割日，协议一方交给另一方的 金额，根据协议利率与参考利率之差计算得出。