传热学-第四章 导热问题的数值解法
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《传热学》第四章 导热数值解法基础
——以右边界为例 1.第一类边界条件：
边界
2.第二类边界条件：
Байду номын сангаас
Δx＝Δy时简化为：
绝热边界：
3.第三类边界条件：
Δx＝Δy时简化为：
其他情况的节点方程 ——见教材表4－1
外拐角与内拐角节点
对流边界内部拐角节点热平衡：
节点方程式推导实例 ——对流边界外部拐角节点
Δx＝Δy时简化为：
数值导热离散方程组＝内节点离散方程＋边界节点离散方程
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
AIRPAK模拟温度场
第四章重点： 1.有限差分方程的建立 2.高斯－赛德尔迭代方法
谢谢观看
《传热学》
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
数值导热离散方程组内节点离散方程边界节点离散方程三节点离散方程组的求解迭代法迭代法的原理离散方程组的求解方法消元法方程过多时计算机内存不足迭代法假定初值根据假定的初值求新值并重复此步骤若干次两次计算值足够接近认为达到真实值简单迭代法每次迭代时使用上次迭代的结果允许误差简单迭代法的缺点由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值使运算过程接近真实值的时间增加高斯赛德尔迭代法将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值高斯赛德尔迭代法的优点由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值使运算过程接近真实值的时间缩短第三节非稳态导热的数值计算一显式差分格式研究对象一维非稳态导热问题一维非稳态导热内节点差分方程
边界
2.第二类边界条件：
Байду номын сангаас
Δx＝Δy时简化为：
绝热边界：
3.第三类边界条件：
Δx＝Δy时简化为：
其他情况的节点方程 ——见教材表4－1
外拐角与内拐角节点
对流边界内部拐角节点热平衡：
节点方程式推导实例 ——对流边界外部拐角节点
Δx＝Δy时简化为：
数值导热离散方程组＝内节点离散方程＋边界节点离散方程
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
AIRPAK模拟温度场
第四章重点： 1.有限差分方程的建立 2.高斯－赛德尔迭代方法
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《传热学》
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
数值导热离散方程组内节点离散方程边界节点离散方程三节点离散方程组的求解迭代法迭代法的原理离散方程组的求解方法消元法方程过多时计算机内存不足迭代法假定初值根据假定的初值求新值并重复此步骤若干次两次计算值足够接近认为达到真实值简单迭代法每次迭代时使用上次迭代的结果允许误差简单迭代法的缺点由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值使运算过程接近真实值的时间增加高斯赛德尔迭代法将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值高斯赛德尔迭代法的优点由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值使运算过程接近真实值的时间缩短第三节非稳态导热的数值计算一显式差分格式研究对象一维非稳态导热问题一维非稳态导热内节点差分方程
传热学第4章热传导问题的数值解法重点习题
t1 t5 y t9 t5 x t 6 t5 1 y xy yh t5 t f 0 y 2 x 2 节点 5： y 2 ； t 2 t6 t7 t6 t10 t5 t5 t 6 x y x y xy 0 y x y x 节点、一等截面直肋，高 H,厚 ，肋根温度为 t 0 ，流体温度为 t f ，表 面传热系数为 h,肋片导热系数为 。将它均分成 4 个节点（见附图） ， 并对肋端为绝热及为对流边界条件（h 同侧面）的两种情况列出节点 2 ， 3 ， 4 的 离 散 方 程 式 。 设
节点 2： 节点 3：
t3 t 2
x
2hx t2 t f 0 2hx t3 t f 0
t 2 t3
x
t 4 t3
x x
； ；
t3 t 4
节点 4：肋端绝热 肋端对流
0 0 0 由此解得：肋端绝热 t2 92.2 C ， t3 87.7 C ， t4 86.2 C ；
肋端对流 t2 91.5 C ， t3 86.2 C ， t4 83.8 C 。 肋端对流换热的条件使肋端温度更接近于流体温度。
0 0 0
传热学第4章热传导问题的数值解法重点习题数值传热学传热学课后习题答案数值传热学答案数值传热学第二版答案数值传热学陶文铨数值传热学第二版pdf传热学习题解答数值传热学pdf传热学课后习题
第 4 章热传导问题的数值解法
一般性数值计算
4-4、试对附图所示的等截面直肋的稳态导热问题用数值方法求解节 点 2， 3 的温度。 图中
2 H=45cm, 10mm, h 50W /(m .K ) , =50W/(m.K), t 0 100 ℃， t f 20 ℃， 计算节点 2，3，4 的温度（对于肋端的两种边界条件） 。
第4章 导热问题的数值解法(含控制容积)
（1）建立符合实际的物理模型 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合 理的简化，建立符合实际的物理模型； 理的简化，建立符合实际的物理模型； （2）建立控制方程及定解条件 根据物理模型建立完整的数学模型， 根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和 单值性条件； 单值性条件； 步是导热问题所有求解方法的基础。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 2012-5-9 4
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
2012-5-9 2
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
2012-5-9
3
一、数值解法的基本思想 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 称为节点 节点) 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温 度分布， 度分布 ， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节 点温度值的求解问题， 点温度值的求解问题 ， 将导热微分方程的求解问题转 化为节点温度代数方程的求解问题。 化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法的基本内容与步骤: 数值解法的基本内容与步骤:
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
2012-5-9 2
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
2012-5-9
3
一、数值解法的基本思想 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 称为节点 节点) 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温 度分布， 度分布 ， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节 点温度值的求解问题， 点温度值的求解问题 ， 将导热微分方程的求解问题转 化为节点温度代数方程的求解问题。 化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法的基本内容与步骤: 数值解法的基本内容与步骤:
传热学60-第四章 导热问题的数值解法
B (i,j 1)
第四章 导热问题的数值解法 9
根据傅里叶定律， L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：
T (i,j 1)
LP RP BP LP
t i 1 , j t i , j ti 1 , j ti , j t i , j 1 t i , j ti , j 1 ti , j
tik 1 tik
的一阶导数采用向前差分，则
tik 1 2tik tik 1 a x 2
第四章 导热问题的数值解法 28
上式移项整理 k k 1 k k ti a ( t i 1 t i 1 ) ( 1 2 a )ti 2 2 x x
x
y 1 y 1 x 1 x 1
(i 1,j )
(i 1,j )
L
R
x
Z方向取单位长度 (i,j 1) B
y
y
第四章 导热问题的数值解法
10
若有内热源， v ,i , j 为P节点所在网格单元的内热源强度
则内热源发热量
在稳态导热下：
v , p v ,i , j x y 1
ti 1, j ti , j y x y 3 1 h(t f ti , j ) xy v ,i , j 0 x 2 2 4
第四章 导热问题的数值解法
19
不规则区域的处理
用阶梯形的折线来模拟真实边界
t2
t1
t2
t2
t2
t2
第四章 导热问题的数值解法 20
第四章 导热问题的数值解法
17
3.
内部角点
内部角点
P(i ,j ) ti ,j
第四章_导热问题的数值方法
5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为：0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数，T 是温度，s 是单位容积的热产生率。
首先选定控制体和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得：0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT k e w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。
如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商dxdT，那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数，即P P c T s s s +=，则导出的离散化方程为：b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数，它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。
式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。
进行计算时，物理参数值存储在节点的位置上。
为了确定k e 和k w ，还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。
常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。
1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系，由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为：eeE e e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ （5-6）2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。
控制容积中P 和E 的导热系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier 定律可得：()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=（5-7）而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ （5-8）这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。
传热学4-导热数值解法基础2013
第四章 导热数值解法基础
求解导热问题的三种基本方法
方法：理论分析法、数值计算法、实验法
三种方法的基本求解过程
理论分析方法：在理论分析的基础上，直接 对导热微分方程在给定的定解条件下进行积 分，这样获得的解称之为分析解，或理论解
数值计算法
把原来在时间和空间连续的物理量的场，用
有限个离散点上的值的集合来代替，通过求
N (i,j+1)
y y W (i-1,j) (i, j) (i+1,j) E
P
(i,j-1) S x x
y
o
x
ti 1, j ti 1, j ti , j ti 1, j ti 1, j ti , j t 2x x x x i , j
qw
x y
2x x 2
y x
4ti, j 2ti 1, j ti, j 1 tm,n 1
qw qvi, j
(2) 外部角点
qw
y ti 1, j ti, j x ti, j 1 ti, j 2 x 2 y y x x y qw qw qvi, j 0 2 2 2 2
区域离散的概念：
控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
网格线
控制体
节点(i,j)
j
二维矩形域内 稳态无内热源， 常物性导热问 题. 对研究区域进 行离散。 △x,△y,△τ 为空间和时间 步长。
y
y M
x
x
i
网格划分
节点: 网格线交点. 控制容积: 节点代表的区 域 ,其边界位于两点之间. 界面: 控制容积的边界. 网格划分方法: A: 先确定节点，后定界面；
求解导热问题的三种基本方法
方法：理论分析法、数值计算法、实验法
三种方法的基本求解过程
理论分析方法：在理论分析的基础上，直接 对导热微分方程在给定的定解条件下进行积 分，这样获得的解称之为分析解，或理论解
数值计算法
把原来在时间和空间连续的物理量的场，用
有限个离散点上的值的集合来代替，通过求
N (i,j+1)
y y W (i-1,j) (i, j) (i+1,j) E
P
(i,j-1) S x x
y
o
x
ti 1, j ti 1, j ti , j ti 1, j ti 1, j ti , j t 2x x x x i , j
qw
x y
2x x 2
y x
4ti, j 2ti 1, j ti, j 1 tm,n 1
qw qvi, j
(2) 外部角点
qw
y ti 1, j ti, j x ti, j 1 ti, j 2 x 2 y y x x y qw qw qvi, j 0 2 2 2 2
区域离散的概念：
控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
网格线
控制体
节点(i,j)
j
二维矩形域内 稳态无内热源， 常物性导热问 题. 对研究区域进 行离散。 △x,△y,△τ 为空间和时间 步长。
y
y M
x
x
i
网格划分
节点: 网格线交点. 控制容积: 节点代表的区 域 ,其边界位于两点之间. 界面: 控制容积的边界. 网格划分方法: A: 先确定节点，后定界面；
《传热学》第4章-导热问题的数值解法
3
4-2. 节点温度差分方程组的求解方法
导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程都是线性代 数方程。 n个未知节点温度，n个代数方程式：
a11t1 + a12t2 + L + a1 jt j + L + a1ntn = b1
a21t1 + a22t2 + L + a2 jt j + L + t2ntn = b2
空间步长
4
2) 节点温度差分方程的建立
控制 容积
（1）内部节点温度差分方程
对于常物性、无内热源的无限大平壁 的一维非稳态导热问题
热平衡：在k时刻，单位时间内从相邻控制
容积i-1与i+1分别导入的热流量与之和等于该 控制容积热力学能的增加
Φλ′ + Φλ′′ = dU
节点i 的温度对时间的变化率采用向前差分
≤ε
k及k+1表示迭代次数；
t
(k) max
—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t时，第三个较好
有时还要同时考虑热流密度收敛
4-3. 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热与稳态导热的主要区别：控制方程中多一个非稳 态项；温度随空间和时间变化
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
)
能量平衡关系：网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的 导入或导出，网格单元本身的热力学能也随时间发生变化
t t 在用第二个方程计算节M点温度
1 2 时，直接将
依a此n1类t1 推+ an2t2 + L + anjt j + L + anntn = bn
传热学—第4章 热传导问题的数值解法
(k ) t max
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
传热学课件第四章 导热问题数值解法基础
i , j
t x
t i 1 , j t i , j x
0 x
2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2后各项，则有：
i , j
t x
t i , j t i 1 , j x
0 x
第一节 建立离散方程的方法
二、泰勒级数展开法（有限差分法）
k 2 k 1
对 流 h t f t1 A
k k
显式
△x
C.内能增量△u：
u c
x 2
A t1
k
k 1
t1 /
k
△x/2
k hx
据热平衡A+B=C并整理得：
k f
t 2 t1
k
t
t1
k
1 2
c
x
2
t1
k 1
LP
△y
t i 1 , j t i , j x
t i , j 1 t i , j y
y 2
x 2
1
BP
1
x 2
y 2
EP h t f t i , j
△x
1
FP h t f t i , j
t x
t
2
2
x i , j 2!
2
t x
3
x i , j 3!
3
3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：
i , j
t x
传热学 第4章-导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法1、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路；② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。
2、掌握内容：数值解法的实质。
3、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。
由前述3可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。
但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。
随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（1） 有限差分法 （2）有限元方法 （3）边界元方法数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。
如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。
分析解法与数值解法的异同点：1、 相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z)；② ),,,(τz y x g Q =。
2、 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。
§4—1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本概念1、 实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。
2、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础； 2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
传热学课件：第四章 数值解法
（2）高斯—赛德尔迭代法
①选初值；
②一次次的直接计算t1，t2，…，tn ，注意计算tn 时， tn前面的温度全部用新值代替。如知道t1后， 求t2时，用t1代替原设的初值。
例题：有一正方形截面，边界长为1m，边 界上的温度已知，求t1，t2，t3，t4。
解（1）列节点方程式
100℃
500℃
12
3 4 100℃
100℃
迭代法
n
t1
t2
t3
t4
0
300
300
200
200
1
275 268.75 168.75 159.38
2 259.38 254.69 154.69 152.35
3 252.35 251.26 151.18 150.61
4 250.61 250.31 150.31 150.15
由(a)可得：
cw 1 说明热源与管子中心不重合。
由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
2. 间接法（迭代法）经过有限次的迭代，求出近似解， 对于计算机来说，存储量较少。
松弛法（余数调节法）
高斯—赛德尔迭代法
（1）松弛法 ①设初值； ②求R1，R2，…，Rn，找Rmax；(余数) ③如设R4为最大，改变t4，使R4 ≈0，t4=t4+R4/4： ④重新计算有关节点的余数；
⑤重复步骤③ ④ ，直到全部余数为零。
传热学-4 导热问题数值解基础
hx
1 ti, j
ti1, j
ti, j1
x2 i, j
2
2hx
t
f
（c）内部角点
g
2
hx
3
ti,
j
2
ti1, j ti, j1
ti1, j
ti, j1
3x2 i, j
2
2hx
tf
三 节点差分方程的求解
1） 直接解法：通过有限次运算获得精确解的方 法，如：矩阵求解，高斯消元法。 2） 迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初 场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前 的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法， 称迭代计算收敛。
4-2 稳态导热问题的数值计算
（6） 解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度分布， 根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及 热变形等。因此，对于数值分析计算所得的温度场 及其它物理量应作详细分析，以获得定性或定量上 的结论。
4-2 稳态导热问题的数值计算
建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
j
y
y
x
x
i
I
除 i=1 的左边界上各节点的温度已知外，其余 (i-1)j 个 节点均需建立离散方程，共有 (i-1)j 个方程，则构成一 个封闭的代数方程组。
4-2 稳态导热问题的数值计算
1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各 项系数在整个求解过程中不再变化； 2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中 各项系数在整个求解过程中不断更新； 3 ）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是 否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计 算所得之解的偏差是否小于允许值。
传热学-第4章-热传导问题的数值解珐
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( 2 t m −1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 + 4 ∆2 x Φ m , n
λ
+
2 ∆ xq w
λ
)
2. 外部角点 控制容积的热平衡为： 控制容积的热平衡为：
∆y tm−1,n − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y ∆x + ∆y λ +λ + Φ m, n + qw = 0 ∆x 2 2 ∆y 4 2
4. 边界热流密度的三种情况
q （1）绝热边界： w = 0 ）绝热边界：
（2） qw 值不为零：代入给定的 qw 值。 ） 值不为零： （3）对流边界：qw = h(t f ）对流边界： 平直边界节点： 平直边界节点：
2( h∆x
− t m n = 2 t m − 1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 +
第一类边界条件 — 边界温度已知 m-1,n 第二类边界条件 需建立边界节点温度 ∆y 第三类边界条件 的差分方程 n 1. 位于平直边界上的节点
λ∆y
tm−1,n − tm,n ∆x +λ
m m,n+1
qw
m,n m,n-1
∆x
∆x tm,n+1 − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y +λ + Φm,n + ∆yqw = 0 2 ∆y 2 ∆y 2
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( t m −1 , n + t m , n −1 + 2
传热学 数值解法
-l
2.
区域离散化
网格划分： 用一系列与坐标轴平行网格线把求解区域划分成许多子区域 节点:网格线的交点，分内节点和外节点 步长：相邻两节点间距离，在一个方向步长也可不均匀 均分网格: x const
y const
3. 建立节点物理量的代数方程
关于节点物理量的代数方程也称离散方程，建立离散方程是数值求解过程 中的重要环节，是本章的重点内容。
（2）假设一组解（即迭代初场），记为t1(0)、t2(0)、t3(0),由迭代公式逐 一计算出改进值t1(1)、t2(1)、t3(1)。每次计算均用t的最新值代入。
（3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之 差小于允许值，此时称为已经达到迭代收敛，迭代计算终止。
( k 1) 1 (k ) (k ) t b a t a t 1 1 12 2 13 3 a11 ( k 1) 1 ( k 1) (k ) t b a t a t 2 2 21 1 23 3 a22 ( k 1) 1 ( k 1) ( k 1) t b a t a t 3 3 31 1 32 2 a33
2 3 4 t 1 t 1 t 1 t 2 3 4 tm-1,n tm,n - x x x x ... 2 3 4 2! x m,n 3! x m,n 4! x m,n x m,n
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场分布
y
x
返回
3
4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤
1. 数学描述 二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性导热问题
传热学第四章-导热问题的数值解法-2
1. 节点离散方程的建立：
(1)内部节点
相邻节点导入控制单元体的热流量= 单元体内能量增量
i-1
i
i+1
A ti( k 1 ) ti(k )A ti( k 1 ) ti(k )c x A ti(k 1 ) ti(k )
x
x
整理，得：
x
x
ti(k 1 )[12 ( a x )2]ti(k)(a x)2[ti( k1 )ti( k1 )]
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x —第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
2.节点方程组的求解： 步骤：
1）选择坐标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性 条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2,3,...... 时刻各节点的温度，直到指定
例 如 t03 t1 3， 但 t0 4<t1 4。
i0 1 2 3 4 5 6 7
t
n
0
100 100 100 100 60
148 -109.6 550
1
100 100 100 80
104 19.2 220.2 -328.9
2
100 100 80
84
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是传热学的基本研究方法 ① 适应性不好； ② 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference） 有限元法（finite-element） 边界元法（boundary- element）
4. 导热问题的数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件 设立温度场的迭代初值
确定节点(区域离散化) 建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛
否
是 解的分析
(1) 建立控制方程及定解条件
y
二维矩形域内稳态无内
h3tf
W
热源，常物性的导热问题。
控制方程： ∂2t + ∂2t = 0 ∂x 2 ∂y 2
边界条件：
t0
O
h1tf
h2tf Hx
t x=0 = t0
− λ ∂t
∂x
x=H = h2[t (H, y ) − tf ]
+L
用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点(i-1，j)的温度ti-1，j
tm−1,n
= tm,n
− Δx ⋅ ∂t ∂x
m,n
+
Δx 2 2!
⋅ ∂2t ∂x 2
m,n
−
Δx 3 3!
Hale Waihona Puke ⋅ ∂3t ∂x 3m,n
+
Δx 4 4!
⋅ ∂4t ∂x 4
m,n
+L
若取上面式右边的前三项，并将两式相加，移项整理 即得二阶导数的中心差分：
从所有方向流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热＝控制体内能的增量
稳态、无内热源时：
从所有方向流入控制体的总热流量＝0
内部节点(m，n)：
Φw + (−Φe ) + Φs + (−Φ n ) = 0
根据傅立叶定律
Φw
= −λA ∂t
∂x
= λΔy
t m −1,n − t m ,n Δx
3. 三种方法的优缺点
(1) 分析法
① 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计
算提供比较依据；
② 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见；
③ 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
(2) 数值法 在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别
对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低 (3) 实验法
M
(3) 区域离散化
离散方程：节点上物理量的代数方程，如tm,n
( ) tm,n
=1 4
tm−1,n + tm+1,n + tm,n−1 + tm,n+1
(4) 设立迭代初场 对各点物理量设置初始值
(5) 求解代数方程组 采用迭代法求解方程组
(6) 解的分析 根据温度分布,求热流
q = −λ ∂t = λ Δt
它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制 方程，依据能量守恒和Fourier定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
‖ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
即：
Φ i + Φ& v = Φ o + Φ τ ⇓
Φ i + ( − Φ o ) + Φ& v = Φ τ
[W]
∂ 2t ∂x 2
m ,n
=
t m +1,n
− 2tm,n Δx 2
+ t m −1,n
+ o(Δx 2 )
截断误差 未明确 写出的级数余项中 的 Δx 的 最 低 阶 数 为2
同样可以写出：
∂2t ∂y 2
m,n
=
tm,n+1
− 2tm,n Δy 2
+ tm,n−1
+ o(Δy 2)
根据
∂2t ∂x 2
f (x + Δx) =
f (x) + Δxf ′(x) + Δx2 2!
f ′′(x) + Δx3 3!
f ′′′(x) +L
tm+1,n
= tm,n
+ Δx ⋅ ∂t ∂x
m,n
+
Δx 2 2!
⋅
∂2t ∂x 2
m,n
+
Δx 3 3!
⋅
∂3t ∂x 3
m,n
+
Δx 4 4!
⋅
∂4t ∂x 4
m,n
+ tm,n+1
+ tm,n−1
+
Φ& v ,m,n
λ
Δx 2 ⎟⎟⎠⎞
对于无内热源，且Δx=Δy
( ) tm,n
=
1 4
tm+1,n
+ tm−1,n
+ tm,n+1 + tm,n−1
导数
⎜⎛ ∂t ⎟⎞ ⎝ ∂x ⎠i
⎜⎜⎝⎛
∂2t ∂x 2
⎟⎟⎠⎞i
一阶、二阶导数的常用差分表达式
差分表示式
截断误差
+
∂2t ∂y 2
=
0 无内热源
∂2t ∂x 2
+ ∂2t ∂y 2
+ Φ& v
λ
=0
有内热源
tm+1,n
− 2tm,n Δx 2
+ tm−1,n
+ tm,n+1 − 2tm,n Δy 2
+ tm,n−1
+ Φ& v ,m,n
λ
=0
如果Δx=Δy ，则
tm,n
=
1 4
⎜⎜⎝⎛
t
m
+1,n
+ tm−1,n
第四章 导热问题的数值解法
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
1. 求解导热问题的三种基本方法
(1) 理论分析法； (2) 数值计算法； (3) 实验法
2. 三种方法的基本求解过程
(1) 理论分析方法 在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解
条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解(解析解)， 或叫理论解；
∂x Δx
§4-2 内节点离散方程的建立方法
1. 建立离散方程的常用方法
(1) Taylor(泰勒)级数展开法
(2) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(3) 控制容积积分法
(4) 多项式拟合法
2. 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点 (i+1，j)的温度ti+1，j
备注
ti+1 − ti Δx
ti − ti−1 Δx
ti+1 − ti−1 2Δx
ti+1 − 2ti + ti−1 Δx 2
O(Δx) i点的向前差分 O(Δx) i点的向后差分 O(Δx2 ) i点的中心差分 O(Δx2 ) i点的中心差分
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而 获得温度场的代数方程组
(2) 数值计算法 把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散
点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关 于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 (3) 实验法
就是在传热学基本理论的指导下，对所研究对象的传热 过程进行观察、测量
− λ ∂t
∂y
y =0 = h1[t (x,0) − tf ]
− λ ∂t
∂y
y =W = h3[t (x,W ) − tf ]
(2) 区域离散化
tm，n
N
网格线：与坐标轴平行的线
节 点：网格线的交点
步 长：两相临节点间的距离 Δy
控制容积：节点所代表的区域
y
界面线：控制容积的边界线 o x Δx
数值解法：有限差分法（finite-difference） 有限元法（finite-element） 边界元法（boundary- element）
4. 导热问题的数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件 设立温度场的迭代初值
确定节点(区域离散化) 建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛
否
是 解的分析
(1) 建立控制方程及定解条件
y
二维矩形域内稳态无内
h3tf
W
热源，常物性的导热问题。
控制方程： ∂2t + ∂2t = 0 ∂x 2 ∂y 2
边界条件：
t0
O
h1tf
h2tf Hx
t x=0 = t0
− λ ∂t
∂x
x=H = h2[t (H, y ) − tf ]
+L
用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点(i-1，j)的温度ti-1，j
tm−1,n
= tm,n
− Δx ⋅ ∂t ∂x
m,n
+
Δx 2 2!
⋅ ∂2t ∂x 2
m,n
−
Δx 3 3!
Hale Waihona Puke ⋅ ∂3t ∂x 3m,n
+
Δx 4 4!
⋅ ∂4t ∂x 4
m,n
+L
若取上面式右边的前三项，并将两式相加，移项整理 即得二阶导数的中心差分：
从所有方向流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热＝控制体内能的增量
稳态、无内热源时：
从所有方向流入控制体的总热流量＝0
内部节点(m，n)：
Φw + (−Φe ) + Φs + (−Φ n ) = 0
根据傅立叶定律
Φw
= −λA ∂t
∂x
= λΔy
t m −1,n − t m ,n Δx
3. 三种方法的优缺点
(1) 分析法
① 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计
算提供比较依据；
② 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见；
③ 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
(2) 数值法 在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别
对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低 (3) 实验法
M
(3) 区域离散化
离散方程：节点上物理量的代数方程，如tm,n
( ) tm,n
=1 4
tm−1,n + tm+1,n + tm,n−1 + tm,n+1
(4) 设立迭代初场 对各点物理量设置初始值
(5) 求解代数方程组 采用迭代法求解方程组
(6) 解的分析 根据温度分布,求热流
q = −λ ∂t = λ Δt
它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制 方程，依据能量守恒和Fourier定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
‖ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
即：
Φ i + Φ& v = Φ o + Φ τ ⇓
Φ i + ( − Φ o ) + Φ& v = Φ τ
[W]
∂ 2t ∂x 2
m ,n
=
t m +1,n
− 2tm,n Δx 2
+ t m −1,n
+ o(Δx 2 )
截断误差 未明确 写出的级数余项中 的 Δx 的 最 低 阶 数 为2
同样可以写出：
∂2t ∂y 2
m,n
=
tm,n+1
− 2tm,n Δy 2
+ tm,n−1
+ o(Δy 2)
根据
∂2t ∂x 2
f (x + Δx) =
f (x) + Δxf ′(x) + Δx2 2!
f ′′(x) + Δx3 3!
f ′′′(x) +L
tm+1,n
= tm,n
+ Δx ⋅ ∂t ∂x
m,n
+
Δx 2 2!
⋅
∂2t ∂x 2
m,n
+
Δx 3 3!
⋅
∂3t ∂x 3
m,n
+
Δx 4 4!
⋅
∂4t ∂x 4
m,n
+ tm,n+1
+ tm,n−1
+
Φ& v ,m,n
λ
Δx 2 ⎟⎟⎠⎞
对于无内热源，且Δx=Δy
( ) tm,n
=
1 4
tm+1,n
+ tm−1,n
+ tm,n+1 + tm,n−1
导数
⎜⎛ ∂t ⎟⎞ ⎝ ∂x ⎠i
⎜⎜⎝⎛
∂2t ∂x 2
⎟⎟⎠⎞i
一阶、二阶导数的常用差分表达式
差分表示式
截断误差
+
∂2t ∂y 2
=
0 无内热源
∂2t ∂x 2
+ ∂2t ∂y 2
+ Φ& v
λ
=0
有内热源
tm+1,n
− 2tm,n Δx 2
+ tm−1,n
+ tm,n+1 − 2tm,n Δy 2
+ tm,n−1
+ Φ& v ,m,n
λ
=0
如果Δx=Δy ，则
tm,n
=
1 4
⎜⎜⎝⎛
t
m
+1,n
+ tm−1,n
第四章 导热问题的数值解法
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
1. 求解导热问题的三种基本方法
(1) 理论分析法； (2) 数值计算法； (3) 实验法
2. 三种方法的基本求解过程
(1) 理论分析方法 在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解
条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解(解析解)， 或叫理论解；
∂x Δx
§4-2 内节点离散方程的建立方法
1. 建立离散方程的常用方法
(1) Taylor(泰勒)级数展开法
(2) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(3) 控制容积积分法
(4) 多项式拟合法
2. 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点 (i+1，j)的温度ti+1，j
备注
ti+1 − ti Δx
ti − ti−1 Δx
ti+1 − ti−1 2Δx
ti+1 − 2ti + ti−1 Δx 2
O(Δx) i点的向前差分 O(Δx) i点的向后差分 O(Δx2 ) i点的中心差分 O(Δx2 ) i点的中心差分
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而 获得温度场的代数方程组
(2) 数值计算法 把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散
点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关 于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 (3) 实验法
就是在传热学基本理论的指导下，对所研究对象的传热 过程进行观察、测量
− λ ∂t
∂y
y =0 = h1[t (x,0) − tf ]
− λ ∂t
∂y
y =W = h3[t (x,W ) − tf ]
(2) 区域离散化
tm，n
N
网格线：与坐标轴平行的线
节 点：网格线的交点
步 长：两相临节点间的距离 Δy
控制容积：节点所代表的区域
y
界面线：控制容积的边界线 o x Δx