传热学-第四章 导热问题的数值解法

(2) 数值计算法 把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散
点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关 于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 (3) 实验法
就是在传热学基本理论的指导下，对所研究对象的传热 过程进行观察、测量
M
(3) 区域离散化
离散方程：节点上物理量的代数方程，如tm,n
( ) tm,n
=1 4
tm−1,n + tm+1,n + tm,n−1 + tm,n+1
(4) 设立迭代初场 对各点物理量设置初始值
(5) 求解代数方程组 采用迭代法求解方程组
(6) 解的分析 根据温度分布,求热流
q = −λ ∂t = λ Δt
它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制 方程，依据能量守恒和Fourier定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
‖ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
即：
Φ i + Φ& v = Φ o + Φ τ ⇓
Φ i + ( − Φ o ) + Φ& v = Φ τ
[W]
∂ 2t ∂x 2
m ,n
=
t m +1,n
− 2tm,n Δx 2
+ t m −1,n
+ o(Δx 2 )
截断误差 未明确 写出的级数余项中 的 Δx 的 最 低 阶 数 为2
同样可以写出：
∂2t ∂y 2
m,n
=
tm,n+1
− 2tm,n Δy 2
+ tm,n−1
+ o(Δy 2)
根据
∂2t ∂x 2
第四章 导热问题的数值解法
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
1. 求解导热问题的三种基本方法
(1) 理论分析法； (2) 数值计算法； (3) 实验法
2. 三种方法的基本求解过程
(1) 理论分析方法 在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解
条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解(解析解)， 或叫理论解；
+
∂2t ∂y 2
=
0 无内热源
∂2t ∂x 2
+ ∂2t ∂y 2
+ Φ& v
λ
=0
有内热源
tm+1,n
− 2tm,n Δx 2
+ tm−1,n
+ tm,n+1 − 2tm,n Δy 2
+ tm,n−1
+ Φ& v ,m,n
λ
=0
如果Δx=Δy ，则
tm,n
=
1 4
⎜⎜⎝⎛
t
m
+1,n
+ tm−1,n
+L
用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点(i-1，j)的温度ti-1，j
tm−1,n
= tm,n
− Δx ⋅ ∂t ∂x
m,n
+
Δx 2 2!
⋅ ∂2t ∂x 2
m,n
−
Δx 3 3!
⋅ ∂3t ∂x 3
m,n
+
Δx 4 4!
⋅ ∂4t ∂x 4
m,n
+L
若取上面式右边的前三项，并将两式相加，移项整理 即得二阶导数的中心差分：
是传热学的基本研究方法 ① 适应性不好； ② 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference） 有限元法（finite-element） 边界元法（boundary- element）
4. 导热问题的数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件 设立温度场的迭代初值
确定节点(区域离散化) 建立节点物理量的代数方程
− λ ∂t
∂y
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y =0 = h1[t (x,0) − tf ]
− λ ∂t
∂y
y =W = h3[t (x,W ) − tf ]
(2) 区域离散化
tm，n
N
网格线：与坐标轴平行的线
节 点：网格线的交点
步 长：两相临节点间的距离 Δy
控制容积：节点所代表的区域
y
界面线：控制容积的边界线 o x Δx
3. 三种方法的优缺点
(1) 分析法
① 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计
算提供比较依据；
② 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见；
③ 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
(2) 数值法 在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别
对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低 (3) 实验法
备注
ti+1 − ti Δx
ti − ti−1 Δx
ti+1 − ti−1 2Δx
ti+1 − 2ti + ti−1 Δx 2
O(Δx) i点的向前差分 O(Δx) i点的向后差分 O(Δx2 ) i点的中心差分 O(Δx2 ) i点的中心差分
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而 获得温度场的代数方程组
f (x + Δx) =
f (x) + Δxf ′(x) + Δx2 2!
f ′′(x) + Δx3 3!
f ′′′(x) +L
tm+1,n
= tm,n
+ Δx ⋅ ∂t ∂x
m,n
+
Δx 2 2!
⋅
∂2t ∂x 2
m,n
+
Δx 3 3!
⋅
∂3t ∂x 3
m,n
+
Δx 4 4!
⋅
∂4t ∂x 4
m,n
+ tm,n+1
+ tm,n−1
+
Φ& v ,m,n
λ
Δx 2 ⎟⎟⎠⎞
对于无内热源，且Δx=Δy
( ) tm,n
=
1 4
tm+1,n
+ tm−1,n
+ tm,n+1 + tm,n−1
导数
⎜⎛ ∂t ⎟⎞ ⎝ ∂x ⎠i
⎜⎜⎝⎛
∂2t ∂x 2
⎟⎟⎠⎞i
一阶、二阶导数的常用差分表达式
差分表示式
截断误差
从所有方向流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热＝控制体内能的增量
稳态、无内热源时：
从所有方向流入控制体的总热流量＝0
内部节点(m，n)：
Φw + (−Φe ) + Φs + (−Φ n ) = 0
根据傅立叶定律
Φw
= −λA ∂t
∂x
= λΔy
t m −1,n − t m ,n Δx
∂x Δx
§4-2 内节点离散方程的建立方法
1. 建立离散方程的常用方法
(1) Taylor(泰勒)级数展开法
(2) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(3) 控制容积积分法
(4) 多项式拟合法
2. 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点 (i+1，j)的温度ti+1，j
求解代数方程
改进初场
是否收敛
否
是 解的分析
(1) 建立控制方程及定解条件
y
二维矩形域内稳态无内
h3tf
W
热源，常物性的导热问题。
控制方程： ∂2t + ∂2t = 0 ∂x 2 ∂y 2
边界条件：
t0
O
h1tf
h2tf Hx
t x=0 = t0
− λ ∂t
∂x
x=H = h2[t (H, y ) − tf ]