3-1 矩阵的秩
第一章7矩阵的秩
x2
x3 x4
c1
2 1 0
c2
4 0 1
3
21
两个定理的推广
定理：矩阵方程 AX B 有解的充要条件是 R( A) R( A, B)
定理：矩阵方程 Amn X O有非零解的充要条件是 R( A) n
22
Cramer 法则
Cramer法则： 如果线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2 an1x1 an2x2
32
0
0
6
9
1
1 2 2 1 1
1 2 2 1 1
0
0
2
1
0
0
0
2
1
0
0 0 0 0 5
0 0 0 12 1
0
0
0
12
1
0
0
0
0
5
7
矩阵的秩还有以下性质： 5）R(PAQ) ＝ R(A), 其中P, Q为可逆矩阵。 6）max{ R( A), R(B)} R( A, B) R( A) R( B)
A
2
3
5
4 7 1
3 阶子式 | A|=0
2 阶子式
1 2
2 0
3
∴ R(A) = 2
3
例. 求矩阵B 的秩, 其中
2 1 0 3 2
B
0
3 1 2
5
0 0 0 4 3
0
00
0
0
2 1 0 3 2 4 阶子式都 = 0
B
0
0
0
3 1 2
5
2 1 3
0 0 4 3 3 阶子式 0 3 2 0
29
矩阵的列向量的秩
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r1 r4
Байду номын сангаас
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
19
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
17
其中 aii 0, i 1,2,
,r
显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为 n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。
加上任一零行即相关，所以 矩阵A的秩＝矩阵A的行向量组的秩＝非零行的行数 求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。
四. 矩阵的秩 1. 行秩、列秩、矩阵的秩
1.行秩、列秩、矩阵的秩 2.矩阵秩的求法 3.向量组的秩的求法 4.矩阵秩的性质 5.矩阵秩与行列式的关系
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。
定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 1 1 3 1 0 2 1 4 例如：矩阵 A 0 0 0 5 的行向量组是 1 (1,1, 3,1) 0 0 0 0 2 (0, 2, 1, 4)
1 0 1 , 2 , 3 线性无关， 2 3
维数增加后得到的 1 , 2 , 3 依然线性无关， 而 1 , 2 , 3 , 4 与 1 , 2 , 3 , 5 都线性无关，
线性代数 3-1-齐次方程组
a2 T (a1 , a2 , , an ) 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 a n
问题：除了零解外，有没有其它的解？
在什么条件下有非零解？ 当齐次方程有非零解时，如何求出全部的解？ 为了研究齐次线性方程组解集合的结构，我们 先来讨论这些解的性质，给出基础解系的概念。
x r 1 , x r 2 , , x n
真未知量
自由未知量
x1 , x2 , , xr 由自由未知量 xr 1 , xr 2 , , xn 惟一确定
显然： （xr 1 , x r 2 , , xn） 构成一向量空间， V
其基含有n r个向量，最简单的一组基为 : e1 , e2 , , en r 取： 0 0 x r 1 1 0 1 xr 2 0 , , 0 1 x 0 n
故 .
即 r 11 r 2 2 n n r .
所以 1 , , n r 是齐次线性方程组解空间的一个基， 也就是一组基础解系. 说明 １．解空间的基不是唯一的,但所含向量个数相 等，都等于 n - r(A). 2．若 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的基础解系，则 x k11 k2 2 kn r n r . 其通解为 其中k1 , k 2 ,, k n r 是任意常数. 3 当r(A)=n 时方程组只有零解故没有基础解
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 c11 xr 1 c1,n r xn x c x c r 1 r 1 r ,n r xn r
矩阵的秩
D3
1 6 0 4 0 6
4
2 7
D6 7 4 42 Nhomakorabea高 等 代 数
●矩阵的秩的概念
定义2.5.2 矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为 矩阵A的秩，记作 R(A) 或 r(A)。 如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零，
高 等 代 数
定理2.5.2 n阶矩阵A可逆的充要条件是R(A)=n
定理2.5.3 n阶矩阵A可逆的充要条件是方阵A满秩序。
定理2.5.4 一个方阵满秩的充要条件是它能表示为初等矩阵的乘积
高 等 代 数
所有高于 r 阶的子式都为零。
例如
1 2 3 A 2 2 1 3 4 4
因为 所以
高 等 代 数
A 0
1 2 2 0 2 2
R( A) 2
1 3 2 2 0 2 1 3 的秩. 例 求矩阵A= 2 0 1 5 解: 因为 1 3 2 0, 计算A的3阶子式. 0 2 1 3 2 0 2 1 0, 2 0 1 1 2 2 0 1 3 0, 2 1 5 1 3 2 0 2 3 0, 2 0 5 3 2 2 2 1 3 0. 0 1 5 所以, R(A)=2.
高 等 代 数
●利用矩阵的初等变换求矩阵的秩
定理2.5.1 设矩阵A经过初等变换化为B，则A有不等于零的 K阶子式当且仅当B有不等于零的K阶子式 推论2.5.1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
初等变换求矩阵秩的方法: 用初等行变换把矩阵变成 为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 矩阵的秩.
一、矩阵的秩概念 二、矩阵的秩求法
3-1 矩阵的秩习题评讲
３－１ 矩阵的秩习题评讲２、设秩（Ａ）＝ｒ，问Ａ中有没有等于零的ｒ－１阶子式？有没有等于零的ｒ阶子式？有没有不等于零的ｒ＋１阶子式？解：秩（Ａ）＝ｒ时，Ａ中可能有等于零的ｒ－１阶子式；也可能有等于零的ｒ阶子式；没有不等于零的ｒ＋１阶子式。
例如：Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000400043204321，Ａ中存在一个３阶子式400420421＝８≠０，所有４阶子式有一行全为零，值为零，所以秩（Ａ）＝３。
Ａ中存在等于零的２阶子式，如4343；还存在等于零的３阶子式，如000000320。
３、如果从矩阵Ａ中划去一行（或一列）得到矩阵Ｂ，问Ａ的秩与Ｂ的秩有什么关系？ 解：设ｍ⨯ｎ矩阵Ａ的行向量为：α１，α２，……，αｍ－１，αｍ。
从矩阵Ａ中划去一行，不妨设划去第ｍ行，得矩阵Ｂ，则Ｂ的行向量为：α１，α２，……，αｍ－１。
分两种情况讨论。
（１）如果αｍ可由α１，α２，……，αｍ－１线性表出，则Ａ的行向量组与Ｂ的行向量组等价，故Ａ的行秩＝Ｂ的行秩，即秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。
（２）如果αｍ不能由α１，α２，……，αｍ－１线性表出，取Ｂ的行向量组的一个最大无关组，不妨设为：α１，α２，……，αｒ，则αｍ不能由α１，α２，……，αｒ线性表出。
据Ｐ１１１ １１题，α１，α２，……，αｒ，αｍ线性无关，显然作成Ａ的行向量组α１，α２，……，αｍ－１，αｍ的一个最大无关组，于是Ａ的行秩＝Ｂ的行秩＋１，即秩（Ａ）＝秩（Ｂ）＋１。
综上所述，知： Ｒ(Ｂ)＝⎩⎨⎧-1)()(A R A R 线性表出时列不可由其它行列当删去的行线性表出时列可由其它行列当删去的行）（）（）（）（。
４、ｔ取何值时，向量组：α１＝（６，ｔ＋１，７），α２＝（ｔ，２，２），α３＝（ｔ，１，０）线性相关？解：用α１，α２，α３为行向量作矩阵Ａ，有A ＝0122716t tt +＝10227162t t t t -+--＝－2762tt t ---＝２ｔ２－５ｔ－１２α１，α２，α３线性相关⇔A ＝０⇔２ｔ２－５ｔ－１２＝０⇔ｔ＝－23或ｔ＝４。
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值以及在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的求方法以及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等变换定义了矩阵的行阶梯形、矩阵的行最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行阶梯形与矩阵行最简形不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ ()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()T R A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵） 性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()()()+()R A R B R A B R A R B ≤≤ ；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()()()+1R A R B R A B R A ≤≤ ;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵，(),r A r =则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定线性方程组是否有解，向量组的线性相关性，求矩阵的特征向量以及在多项式、空间几何等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的概念及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等行（列）变换定义了矩阵的行（列）阶梯形、矩阵的行（列）最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行（列）阶梯形与矩阵行（列）最简形可以不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫ ⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()TR A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵）性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()(|)()+()R A R B R A B R A R B ≤≤；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()(|)()+1R A R B R A B R A ≤≤;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵且()R A r =，则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
3-1.初等变换化简矩阵
r4 −3r2
① ② ③ ④
1 0 0 0 1 −2 1 4 1 −1 1 0 = B3 0 0 2 −6 0 0 1 −3
r3
r4
r4 − 2r3
x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 ① ② x2 − x3 + x4 = 0 x4 = −3 ③
0 0 −1 1 0 −1 0 1 0 0
4 3 0 − 3 0 0
c4 + c1 + c2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 4 0 3 0 − 3 0 0
c5 − 4c1 − 3c2 + 3c3
1 0 0 0
求解线性方程组
对应
增广矩阵
同解
初等行变换
行最简形矩阵
对应
阶梯形的线性方程组
回代法
原方程组的解
例2 用初等行变换把下面矩阵化为阶梯形或行最简形. 用初等行变换把下面矩阵化为阶梯形或行最简形.
1 −1 −1 1 0 0 1 2 −4 1 A= 2 −2 −4 6 − 1 3 −3 −5 7 − 1
（2） ）
其中c 其中 为任意常数 .
小结： 小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． ．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 ．始终把方程组看作一个整体变形， 下三种变换 （1）交换方程次序； ）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； ）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的 倍． ）一个方程加上另一个方程的k倍 3．上述三种变换都是同解变换． ．上述三种变换都是同解变换．
矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系
高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。
2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。
由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。
于是它们等价。
而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。
3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。
证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。
而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。
显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。
B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。
例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。
3-1矩阵的初等行变换
0
1/3
2 / 3
0 0 1 1 2 / 3 1/ 3
r1 r2
1 0 0 0 1/3 1/3
0
1
0
0
1/3
2
/
3
=
E | A1
0 0 1 1 2 / 3 1/ 3
初等行变化求逆矩阵旳基本环节
• 先写出（A|E），用经初等行变换将其中旳 A化为上三角，注意此过程中E也同步变化；
• 依次将
1 E(i，j)
0 1
1
i列
1
i行
1 0 0
1 0
E(2，3)
0
j行
0
0 1
1
0
j列
1
（2）初等倍乘矩阵
1
E(i(k))
k
i列
i行
1
1 0 0 0
E
(3(5))
0
1
0
0
0 0 5 0
0
0
0
1
（3）初等倍加矩阵
1
1
k
E(ij(k))
6
0
3 3
4 3
③+5② ④–3②
x1 x2 2x3 x4 4
x2 x3 x4 0 2x4 6
x4 3
1 1 2 1 4
r3+5r2 r4–3r2
0
0
1 0
1 0
1 2
0
6
0
0
0 1 3
③2④ ③④
x1 x2 2x3 x4 4
x2 x3 x4 0 x4 3
第三章 矩阵旳初等变换与线性方程组
内容简介
• 矩阵旳初等变换 • 矩阵旳秩 • 线性方程组旳解
高等数学第三章课件-矩阵的秩
定理2 设 A = (aij )n×n , 则 R( A) = n ⇔ | A |≠ 0 R( A) < n ⇔ | A |= 0
(满秩矩阵) (降秩矩阵)
k 级子式
定义 在一个 s×n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列
(1 ≤ k ≤ min(s,n)) , 位于这些行和列的交点上的 k 2
就是A行(列)向量组的一个极大无关组.
例
⎛1 1 1 ⋯ 1⎞
⎜ ⎜
a1
a2
a3
⋯
an
⎟ ⎟
设 A = ⎜ a12 a22 a32 ⋯ an2 ⎟ , 其中 a1 , a2 ,⋯, an
⎜ ⎜
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⎟ ⎟
⎜ ⎝
a s−1 1
a s−1 2
a s−1 3
⋯
a s−1 n
⎟ ⎠
互不相同, 且 s ≥ n,求 R(A).
所以方程组 x1α1 + x2α2 + ⋯ + xrαr = 0 只有零解.
即
⎧ ⎪ ⎨
aa11⋯21xx1⋯1 ++⋯aa22⋯21xx⋯22++⋯⋯⋯⋯++⋯aa⋯rr12xx⋯rr ==
0 0
⎪ ⎩
a1n
x1
+
a2n
x2
+
⋯
+
arn xr
=
0
（2）
只有零解. 由引理1，方程组（2）的系数矩阵
定理3 矩阵 A的秩为 r 的充要条件是 A中有一 个 r 级子式不等于0，且所有 r + 1 级子式等于0．
注
① R( A) ≤ r ⇔ A的所有 r + 1级子式等于0； R( A) ≥ r ⇔ A有一个 r 级子式不为0.
3--1,2,3矩阵的基本运算、逆矩阵分块矩阵
A , B b21 a23 a21 a 代入(3.1)22 即得 23 b31
b11 b12 a13 1 11 t1 12 b21 b22 Examplea 1 a 设有两个线性变换 t a23 22 y2 21 2 b31 b32 x1 b11t1 b12t2 y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a11b11 a12b21 a13b31 a(3.1) a12 222 a13t132 b22tt21 (3.2) bx b21b 11b12 y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 x b t b t 1 223 a31 b32 t22 23 a21b11 a22b21 a23b31 a21b12 a22b 32 by b a11 a12 a13 若想求出从 t1, t2 到11 y1, 12 的线性变换，可将(3.2) 2
5
一、矩阵的基本运算
矩阵加法满足如下性质： （1） A + B = B + A ； （2）A + (B + C) = (A + B) + C （3） A+ 0= 0+ A=A ( 0为与 A 同型的零矩阵 )
（4） ( )A A A （5） ( A B) A B 显然有 A + (-A) = 0. 矩阵的减法定义为
质
A10 ( A2 )5 (9 E3 )5 95 ( E3 )5 95 E3
0 20 28 24 0 10 14 12 0 10 14 12 0 5 7 6 44
第二章 第一讲 矩阵的秩
互换变换：A的i行与j行交换变为B，则B 的子式或为A的子式，或与A的子式差一个符号， 秩不变。 倍乘变换：A的i 行元素乘以 k (k≠0) 得到B， 则B 的子式成为A的子式，或与A的子式差一个 因子 k≠0。则秩不变。
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倍加变换：A由i行的k倍加到 j行，得到
矩阵B。 ：B的一个子式若不包含第j行元素，则 也为A的一个子式；
1 2 1 1 0 3 4 4 , 0 5 1 0
5 0 , 由r(A)=2, 得 1 0
5. 即 1
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四、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1) 利用定义 寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2) 初等变换法
解： 对Ａ作初等行变换，变成行阶梯形矩阵。
1 1 2 1 A 1 2 4 1
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2 2 0 4
1 4 3 2
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r2 2 r1 r3 r1 r4 4 r1
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1 1 2 1 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 4 2
对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵：
1 r r 1 3 2 5 1 1 8 1 1 3 4 7 3 5 0 1 2 4 11
解
A
7 11
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5 1 2 1 7 1 11 8 r2 2r1
无解。
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因此，r(A) = 2 , r(B) = 3.
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结束
Chapter 3-1 矩阵的初等变换分析
程组与变换后的方程组是同解的, 这三种变换都是
方程组的同解变换.
在上述变换过程中, 实际上只对方程组的系数
和常数项进行运算, 未知数并未参与运算. 因此, 若
记
2 1 1 1 1 1 2 1 B ( A b) 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 , 4 9
解：
(1) ①② ③2
① ② (1)
③
④
x1 x2 2 x3 x4 4 , 2 x x x x 2 , 1 2 3 4 2 x1 3x2 x3 x4 2 , 3x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
①
② ③ ④ (B1)
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等 列变换的定义. 矩阵的初等行变换与初等列变换, 统
称初等变换.
上述三种初等变换都是可逆的,且逆变换是同 注： 一类型的初等变换. 例如：
变换ri rj的逆变换就是本身；
1 变换ri k的逆变换是ri ; k
变换ri krj的逆变换是 ri (k )rj .
等价 ~ A;
(ii) 对称性
(iii) 传递性
若 A ~ B, 则 B ~ A;
若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
数学中把具有上述三条性质的关系称为等 价, 例如两个线性方程组同解, 就称这两个线性 方程组等价.
3-2矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
任何矩阵 Am × n , 总可经过有限次初等行 变换 梯形， 把它变为行阶 梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .
矩阵的秩
定义1 在 m × n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k ≤ m , k ≤ n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素, 不改 ），位于这些行列交叉 阶行列式， 变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式 .
k k m × n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m • C n 个.
定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 k 阶子 阶子式（ 式 D，且所有 r + 1 阶子式（如果存在的话 ）全等 的最高阶非零子式， 于 0，那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 的秩， 等于零 . m × n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的
思考题
设 A 为任一实矩阵, R( AT A)与R( A)是否相等 ?
思考题解答
答 相等. 相等
因为对于任一实向量 x ≠ 0 , 当Ax = 0时, 时
必有AT Ax = 0, 反之当 AT Ax = 0时, 有x T AT Ax = 0
即
( Ax ) ( Ax ) = 0 ⇒ Ax = 0;
线代3-1
Ch3 矩阵的秩与线性方程组第一节矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的计算21 ,,m n A k k k m k n k A k A k ×≤≤定义在矩阵中任取行列（），位于这些行列交叉处的个元素不改变它们在中所处的位置次序而得的阶行列式，称为矩阵的阶子式一、矩阵秩的概念2010()()A r D r D A r A rank r A A +定义设在矩阵中（1）不等于的阶子式，（2）阶子式（如果存在）全等于， 则被称为矩阵的最高阶非零子式， 数称为矩阵的，记有一个所或有秩作。
().m n A r A A ×矩阵的秩是中非零子式的最高阶数()0.A O r A =⇔=规定，对于T A )1().()(A r A r T=显然有注意：).,min()()2(n m A r n m ≤×.)()3(k A r k A ≥阶子式不为零，则有一个若.)(1)4(k A r k A ≤+阶子式均为零，则的所有若50()(0()(A r A n A r A n ≠⇒==⇒<（）若满秩阵）若降秩阵）例1.174532321的秩求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=A 解中，二阶子式在A ，阶子式只有一个的又A A 3∵.03221≠，且0=A .2)(=∴A r二、矩阵秩的计算3定义矩阵为称满足以下两个条件的n m ×行阶梯形矩阵：(1)每行的非零元（如果有的话）前的零元个数比其上一行这种零元个数多；(2)00如果某行全为，则下面所有行也全为110若行阶梯形矩阵的非零行的首非零元均为，且这些所在的列的其它元素都是.行最简形矩阵0注：行阶梯形矩阵的秩即为它的非行的行数例2.00000340005213023012的秩求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=B 解行，”，其非零行有是一个“行阶梯形矩阵3B ∵.4阶子式全为零的所有B ∴,0400230312≠−−而.3)(=∴B r 取自非零行首非零元所在列说明.非零行的行数行阶梯形矩阵的秩即其1 ,m n A ×对于任何矩阵总可经过有限次初等行变换化为行定理阶梯形矩阵2、经过初等变换后，矩阵的秩是否改变?()()~, 2 A B r A r B =若则定理问题：1、任一个矩阵是否可化成行阶梯形矩阵初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.阶满秩矩阵，则必有阶、分别是矩阵，而是任一设n m Q P n m A ,×2定理的推论：1推论)()()(PAQ r AQ r PA r ==2m n A ×若已知任一矩阵的标准推论形分解为r I O A PNQ P Q O O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.)(的阶数）（即单位矩阵则必有r I r A r =20314335427,()15201A r A ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦例、若求解：203143542715201A ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦13r 152013542720314⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦1213(3)(2)r r −−15201020224010112⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦2231()2(1)r r −1520101011200000⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122224,3336k A k k k −−⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦例、已知矩阵取何值时，问：k (1)()1;(2)()2;(3)() 3.r A r A r A ===解：~63334222211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=k k k k A ~)1(6)1(3)1(30)1(4)1(2)1(202112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−k k k k k k k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−−−−−0)1)(2(00)1(2)1()1(0211k k k k k k；时，即得，当1)(1==A r k ；时，当2)(2=−=A r k .3)(12=≠−≠A r k k 时，且当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−−−−−0)1)(2(00)1(2)1()1(0211~k k k k k k A 由Ch3 矩阵的秩与线性方程组第二节齐次线性方程组一、线性方程组有解的判定二、线性方程组的解法一、齐次线性方程组有解的判定条件的解．组的秩，讨论线性方程如何利用系数矩阵0=Ax A 问题：引例求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x解⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=341122121221A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−463046301221施行的初等行变换：同时记录对系数矩阵A )1()2(1312−−r r ⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x ①②③②-①2×，③-①，得⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−−=+++046304630224324324321x x x x x x x x x x ①④⑤消元法来解此方程组，利用Gauss⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−463046301221⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−−=+++046304630224324324321x x x x x x x x x x ①④⑤⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛0000342101221)31()1(223−−r r ⑤-④，④得)31(−×⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++034210224324321x x x x x x x ①⑥说明第3个方程是多余的！说明什么问题？⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛0000342101221)2(21−r ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−00003421035201⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=−−03420352432431x x x x x x ①⑥得，2×−行最简形矩阵⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++034210224324321x x x x x x x ①⑥即得与原方程组同解的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=−−,0342,0352432431x x x x x x 移项即得⎪⎩⎪⎨⎧−−=+=,342,352432431x x x x x x ).,(43x x 称自由未知量⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−=+=,342,352212211c c x c c x 形式，把它写成通常的参数令2413,c x c x ==.1034350122214321⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛c c x x x x 即原方程组的解为),(21可取任意实数参数c c ,01213c c x +=,10214c c x +=()0.().m n n A x r A n n r A ×=⇔<−元齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩且通解中含有 个参数定理1结论：求齐次线性方程组的解，只需将系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解00()Ax r A n=⇔=仅有解逆否命题：二、线性方程组的解法例1求解齐次方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧=+−−=−+−=+−−032030432143214321x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵A 进行初等变换⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=321131111111A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−210042001111~.000021001011~⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−(),32<=A r 由于故方程组有非零解，且有⎩⎨⎧=+=434212x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=⇔42442342242110200111x x x x x x x x x x x x ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−210042001111为什么选为非自由未知量？31,x x 选行最简形矩阵中非零行首非零元1所在列！.12010011424321⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛x x x x x x ),(42R x x ∈得方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=42442342242110200111x x x x x x x x x x x x 由例2 设有齐次线性方程组1231231232203760480x x x x x x x x x λ+−=⎧⎪+−=⎨⎪++=⎩?,有非零解取何值时问λ解12237648A λ−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠122~010008λ−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠8,0λ∴=－有非解123123123402202030B x x x x x x x x x λ+−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=⎩例、已知三阶非矩阵的每一列都是方程组的解.120B λ =（）求的值（）证明10解：（）有非解：12221311λ−∴−−12-2~0-54055λ+−12-2~0-55054λ−+12-2~0-551λ−10λ∴=当时有非解121(2)[,,]B βββ=B 0Ax =∵的每一列都是的解1230A A A βββ∴===121[,,]0A βββ∴=0AB =即0TTB A ∴=0T TA B x =即的每一列都是的解00TB x ∴=有非解B ∴=对齐次线性方程组0=Ax ()n A r =⇔;0只有零解=Ax ()n A r <⇔.0有非零解=Ax 三、小结Ch3 矩阵的秩与线性方程组第三节非齐次线性方程组一、非齐次线性方程组有解的判定二、非齐次线性方程组的解法一、非齐次线性方程组有解的判定条件()()m n A x b r A r A ×=⇔=有解定理1推论有解的充分必要条件是矩阵方程B AX =),()(B A r A r =定理1‘，元非齐次线性方程组对b x A n n m =×方程组有唯一解；⇔==n A r A r )()()1(方程组有无穷多解；⇔<=n A r A r )()()2(.)()()3(方程组无解⇔≠A r A r例1 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−++=−+−=−+−.3222,2353,132432143214321x x x x x x x x x x x x 解对增广矩阵进行初等变换，A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−104501045011321)1(23−r 200)2()3(1312−−r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=322122351311321A结论：为求解非齐次线性方程组，只需将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，再将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。
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第三章 矩阵的秩与线性方程组 本章研究线性方程组的三个基本问题：见Ｐ１１５：２－７行。
３－１ 矩阵的秩
一、矩阵的（行列式）秩
引入：［草演］ Ａ＝⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--700104210101321
⎭⎬⎫⎩⎨⎧32： |１|＝１≠０； ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧51： |０|＝０
⎭⎬⎫⎩⎨⎧4231：
0112＝－１≠０； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧4332：0
02
1-＝０；
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧421321：
010201121--＝１≠０； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧431321：0
00211131--＝０。
定义3.1［Ｐ115］ｍ×ｎ矩阵Ａ的一个ｋ阶子式［１≤ｋ≤min （ｍ，ｎ）］。
对比：Ｐ28 ｍ×ｎ矩阵的子矩阵；ｎ阶方阵Ａ的前主子矩阵。
定理：阶梯形矩阵中，非零子式的最高阶数等于它非零行个数。
例证：Ｐ115 －１２行——Ｐ116 ７行。
了解
定义3.2［Ｐ116 １２行——１４行］：
当Ａ＝０时，秩（Ａ）＝０； Ｒ（Ａ）＝０
当Ａ≠０时，秩（Ａ）＝Ａ中非零子式的最大阶数＝Ｒ（Ａ）。
定理：阶梯形矩阵Ａ的秩等于Ａ中非零行的个数。
证明：当Ａ＝０时，结论显然成立。
当Ａ≠０时，由前此定理得证。
关于矩阵秩的常用结论：
（１）任意矩阵Ａｍ×ｎ，有０≤秩（Ａ）≤ min （ｍ，ｎ）；
任意非零矩阵Ａｍ×ｎ，有１≤Ｒ（Ａ）≤min （ｍ，ｎ）。
（２）对非零矩阵Ａ，有
秩（Ａ）＝ｒ⇔Ａ中非零子式的最大阶数等于ｒ
⇔⎩⎨⎧。
）（ｒ２、Ａ；ｒ１、Ａ全为零若存在阶子式中所有高于阶子式不等于零中至少存在一个 ｒ
（Ａ）ｒ（Ａ）≤≥秩秩
⇔⎩⎨⎧。
）（ｒ＋１２、Ａ；ｒ１、Ａ全为零如果存在阶子式中所有阶子式不等于零中至少存在一个
（３）秩（ＡＴ
）＝秩（Ａ）。
作业：Ｐ144： ２。
二、矩阵的行秩、列秩、矩阵的秩
复习：求向量组秩的方法：Ｐ104例２－１３；Ｐ105例２－１４；Ｐ117 ２——６行。
例２－１３
定义：矩阵Ａ的行（列）向量组的秩叫Ａ的行（列）秩。
例２－１４
定理：任意矩阵Ａ，Ａ的秩、Ａ的行秩和Ａ的列秩三者都相等，统称为矩阵的秩。
简称：
矩阵的三秩相等。
［不证明，用结论］
推论：设Ａ为ｎ阶方阵，那么
Ａ为满秩方阵⇔Ａ的行（列）向量组线性无关；
Ａ为降秩方阵⇔Ａ的行（列）向量组线性相关。
证明：秩（Ａｍ×ｎ）＝ｎ⇔Ａ的行（列）秩＝ｎ⇔Ａ的行（列）向量组线性无关。
判断ｎ个ｎ维向量线性相关性的一种方法：［Ｐ117 －６行至－３行］
例3.1 ［Ｐ１１７］ λ取何值时，向量组α１＝（λ，１，０），α２＝（１，λ，１），
α３＝（０，１，λ）线性相关？
解：用α１，α２，α３为行（列）向量作方阵Ａ， A ＝λ
λλ10110
1＝λ３－λ－λ＝λ（λ２－２），所以
α１，α２，α３线性相关⇔A ＝０⇔λ＝０或λ＝2或λ＝－2 α１，α２，α３线性无关⇔A ≠０⇔λ≠０且λ≠2且λ≠－2。
作业：Ｐ１４４： ３，４，５
Ｐ２１８：１（１）
Ｐ２１９： ２（３）
Ｐ２６２ １
三、矩阵秩的求法
例3.2［Ｐ１１８——１１９］⎩⎨⎧看懂
解过手解：：21
例3.3［Ｐ１１９］设矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡111a a a a a a 的秩为２，求参数ａ的值。
解１的依据：３阶方阵Ａ的秩为２，必有A ＝０；但反之不然，即如果A ＝０，有秩（Ａ）
＜３，但不一定有秩（Ａ）＝２。
解１：A ＝111a a a a a
a ＝1
1111)12(a a a a a +＝a a a a a --+1000101)12(＝2)1)(12(a a -+
令A ＝０，得２
１－
a a ==或1。
当1=a 时， Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000111，秩（Ａ）＝１与秩（Ａ）＝２矛盾。
当2
1-=a 时， Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------121
212112121211，左上角的２阶子式121211--＝43≠０；而A ＝０，所以秩（Ａ）＝２。
综上所述：当且仅当21-
=a 时，秩（Ａ）＝２。
解２：Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111a a a a a a →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----221)1(0)1(101a a a a a a a a −−−→−-±≠2)11(1r a a ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+21)1(01101a a a a a a a →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++a a a a a a a 1210011012，秩（Ａ）＝２⇔⎩⎨⎧±≠=-+10212a a a ⇔21-=a 。
由第二个矩阵知：当ａ＝１时，秩（Ａ）＝１；当ａ＝－１时，秩（Ａ）＝３。
综上所述：当且仅当2
1-=a 时，秩（Ａ）＝２。
作业：Ｐ１４３： １（１）、（２）、（３）、（４）
Ｐ１４４：６
Ｐ１４６：１（１）
Ｐ２１８：１（７）
Ｐ２６２：２
四、乘满秩矩阵不改变矩阵的秩
定理：等价的矩阵有相同的秩，即：
如果Ａ−−−→−初等变换
Ｂ，那么秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。
即，初等变换不改变矩阵的秩。
证明：据Ｐ１０３定理2.7知，行（列）等价的矩阵Ａ与Ｂ，它们的行（列）向量组的
秩相同，即Ａ的行（列）秩＝Ｂ的行（列）秩，故秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。
可见只做一次初等行（或列）变换时，秩（Ａ）＝秩（Ｂ）；从而无论怎样做初等变换，总有秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。
定理3.2 设Ａ是ｍ×ｎ矩阵，ｍ阶方阵Ｐ和ｎ阶方阵Ｑ都是满秩矩阵，则有
秩（Ａ）＝秩（ＰＡ）＝秩（ＡＱ）＝秩（ＰＡＱ）；
即：用满秩矩阵乘矩阵，矩阵的秩保持不变。
证明：［Ｐ１２０ 书］对ｍ阶满秩矩阵Ｐ，存在ｍ阶初等矩阵Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｔ，
使 Ｐ＝Ｐｔ…Ｐ２Ｐ１。
所以 ＰＡ＝Ｐｔ…Ｐ２Ｐ１Ａ，即对Ａ作相应的ｔ个初等行变换得到ＰＡ，故有
秩（Ａ）＝秩（ＰＡ）。
例［Ｐ１２０ 看懂即可］验证定理3.2
作业：Ｐ１４７ ２（４）
五、思考题［Ｐ１２１］ （１）ａ、ｂ满足什么条件时，矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1010101b a 的秩为１。
解１：Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1010101b a →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-00000101b a ＝阶梯形Ｂ 秩（Ａ）＝１⇔Ｂ中只有一个非零行⇔ａ＋ｂ＝０⇔ａ＝－ｂ，ｂ为任意数。
解２（选讲）：Ａ的行向量为：α１＝（１，０，－１），α２＝（ａ，０，ｂ），α３＝
（－１，０，１）。
因为秩（Ａ）＝１，即秩｛α１，α２，α３｝＝１，于是非零向量α１＝（１，０，－１）是α１，α２，α３的一个最大无关组，从而α２＝ｋα１，即（ａ，０，ｂ）＝ｋ（１，０，－１），所以ａ＝ｋ，ｂ＝－ｋ，故ａ＝－ｂ，ｂ为任意数。
解３：因为秩（Ａ）＝１，故二阶子式b
a 11- ＝０，即ａ＋ｂ＝０，ａ＝－ｂ，ｂ
为任意数。
反之，当ａ＝－ｂ，ｂ为任意数时，显然秩（Ａ）＝１。
综上所述，有秩（Ａ）＝１⇔ａ＝－ｂ，ｂ为任意数。
（２）设Ａ为ｎ阶方阵，试回忆Ａ为非奇异方阵的充要条件都有哪些？［牢记］ 解：设Ａ为ｎ阶方阵，那么
⇔Ａ非奇异
Ａ满秩⇔R （A ）＝ｎ⇔≠A ０⇔Ａ可逆⇔Ａ−−−→−初等变换Ｅ⇔Ａ＝初等矩阵乘积 ⇔Ａ的行（列）向量组线性无关⇔Ａ的行（列）秩＝ｎ。
⇔Ａ是奇异矩阵
Ａ降秩⇔R （A ）＝ｒ＜ｎ⇔A ＝０⇔Ａ不可逆⇔Ａ不行等价于Ｅ
⇔Ａ的行（列）向量组线性相关⇔Ａ的行（列）秩＝ｒ＜ｎ。