函数和图像知识点汇总
函数图像画法知识点总结
函数图像是一种在平面上表示函数关系的方法，通过画出函数图像，可以直观地看出函数的性质和特点。
在数学教学中，函数图像的绘制是非常重要的一部分，它帮助学生理解函数的变化规律，并且可以帮助学生更好地理解函数的性质。
在本文中，将对函数图像的画法进行详细的介绍和总结，包括常见的一些函数图像的特点和绘制方法。
一、基本函数图像的特点及绘制方法1. 直线函数 y=ax+b直线函数是最基本的函数之一，其图像在平面直角坐标系中呈直线状。
直线函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b分别是函数的斜率和截距。
当a大于0时，函数图像呈现为向上倾斜的直线；当a小于0时，函数图像呈现为向下倾斜的直线。
绘制直线函数的方法非常简单，只需取两个点就可以确定一条直线。
首先确定直线的截距b，然后再找到直线的斜率a，通过这两个参数就可以确定直线的图像了。
2. 平方函数 y=x^2平方函数是一种非常常见的二次函数，其图像呈现为抛物线形状。
平方函数的一般形式为y=x^2。
平方函数的图像对称于y轴，开口向上。
绘制平方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=-2，-1，0，1，2等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出平方函数的图像。
3. 开方函数 y=sqrt(x)开方函数是平方函数的反函数，其图像为抛物线的一条分支。
开方函数的一般形式为y=sqrt(x)。
开方函数的图像对称于x轴，开口向右。
绘制开方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=0，1，4，9等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出开方函数的图像。
4. 绝对值函数 y=|x|绝对值函数的图像呈现为一条V形状的曲线。
绝对值函数的一般形式为y=|x|。
绘制绝对值函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=-2，-1，0，1，2等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出绝对值函数的图像。
以上是一些常见的基本函数的图像特点及绘制方法，通过这些例子可以看出，绘制函数图像的方法主要是通过选取一些关键点来确定函数的图像，然后再通过连接这些点来得到完整的函数图像。
函数性质图像知识点总结
函数性质图像知识点总结一、函数的定义在数学上，函数可以定义为一种特殊的关系，它将输入（自变量）映射到输出（因变量）。
具体来说，如果对于每一个自变量值，函数都有唯一的对应因变量值，那么这个关系就是一个函数。
形式上，我们可以用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
例如，y = 2x + 3就是一个函数，其中y是因变量，x是自变量。
二、函数的性质1.定义域和值域函数的定义域是指所有可能的自变量值的集合，而值域是所有可能的因变量值的集合。
在图像上，定义域通常表示为x轴上的取值范围，而值域则表示为y轴上的取值范围。
例如，对于函数f(x) = x²，其定义域为所有实数，而值域为非负实数集合。
2.奇函数与偶函数奇函数与偶函数是函数的对称性质。
如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)就是奇函数；如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，那么函数f(x)就是偶函数。
奇函数在原点对称，而偶函数在y轴对称。
3.单调性函数的单调性是指在定义域上，函数值的增减关系。
如果对于任意的x₁和x₂，当x₁< x₂时有f(x₁)≤f(x₂)，那么函数f(x)就是递增的；如果对于任意的x₁和x₂，当x₁< x₂时有f(x₁)≥f(x₂)，那么函数f(x)就是递减的。
4.周期性如果存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就是周期函数。
其中最小的T称为函数的周期，通常用P来表示。
常见的周期函数有sin(x)和cos(x)。
5.有界性函数的有界性是指函数值的范围限制。
如果存在两个实数M和N，使得对于任意的x，有|f(x)| ≤ M，那么函数f(x)就是有界的。
如果函数在定义域上有上界和下界，则称为有界函数。
6.反函数若对于一个函数f(x)，存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x且g(f(x)) = x，那么函数g(x)就是函数f(x)的反函数。
函数图像高考知识点总结
函数图像高考知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个重要概念，函数的概念在高中数学中有着很重要的地位。
函数的概念是传递和扩展我们数学知识，从而推广了我们对数学问题的认识，为我们更好地探求数学规律打下了坚实的基础。
函数的概念最早来源于19世纪的数学家勒贝格的研究成果，函数的概念对于我们学习数学中的其他知识将会起到很大的帮助。
下面来详细介绍一下函数的概念。
1、函数的定义函数是一种特殊的关系，他只有一个自变量，并且每个自变量都对应唯一一个因变量。
函数符号y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)为函数。
函数的符号表示是：y=f(x)或y=y(x)，这里y表示因变量，x表示自变量，f表示函数名称，称为函数符号。
在函数y=f(x)中，x的取值范围称为定义域，y的所有可能取值构成的s称为值域，定义域与值域构成一个对应关系称为函数的定义域和值域。
定义域和值域的关系对函数的研究非常重要，这是我们学习函数的一个关键点。
只有知道了函数的定义域和值域，我们才能更好的对函数进行研究。
2、函数的图像函数的图像是指函数的自变量和因变量之间的关系所表现出来的几何图形。
函数的图像是我们理解函数的重要手段之一，通过函数的图像我们可以直观地了解函数的性质和特点。
函数的图像在我们学习函数的时候起重要的作用，通过函数图像我们可以更好的理解函数的性质。
二、函数图像的性质函数图像有很多重要的性质，这些性质对于我们理解函数图像具有非常重要的作用。
下面我们来详细介绍一下函数图像的性质。
1、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称还是关于原点对称。
如果函数的图像关于y轴对称，那么函数是偶函数；如果函数的图像关于原点对称，那么函数是奇函数。
通过函数的奇偶性，我们可以更好的理解函数的性质。
2、函数的周期性函数的周期性是指函数的图像在一定范围内具有重复的规律性。
如果函数的图像在一个固定的范围内有重复的特点，那么这个函数就具有周期性。
函数及其图像知识点
《函数及其图像》知识点一、函数的概念、变量〔自变量、因变量〕、常量的概念。
①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。
③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。
此时，我们也称因变量是自变量的函数④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。
练习：在函数r cπ2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做的函数。
二、函数的三种表示方法：①解析法：②列表法：三、函数自变量的取值范围：平面直角坐标系。
水平的数轴叫做横轴〔x 轴〕，取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴〔y 轴〕，取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。
x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限〔如图〕:五、平面内点的坐标：〔横坐标，纵坐标〕如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为〔2 , 3〕 六、平面内特殊位置的点的坐标情况：〔连线〕第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 〔- ，-〕 〔- ，+〕 〔+ ，+〕 〔+ ，-〕 〔0 ，a 〕 (b , 0) 七、点的表示〔横坐标，纵坐标〕注意： ①不要丢了括号和中间的逗号；②表示的意思：当___x =时，___y =如点A 〔2，1〕 表示：当2x =时，1y =③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。
概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。
八、对称点的坐标关系：⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
y xO 第四象限第三象限第二象限第一象限⑵关于y 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
⑶关于原点对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
数学函数图像知识点总结
数学函数图像知识点总结函数是数学中的一个重要概念，通过函数可以描述各种现象和规律。
函数图像是函数的图形表示，通过函数图像可以直观地理解函数的性质和行为。
在学习数学函数图像时，我们需要掌握一些重要的知识点，包括函数的定义、基本函数图像、函数的性质、函数图像的变换等内容。
本文将围绕这些知识点展开详细的介绍。
一、函数的定义1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
通俗的讲，函数就是一种映射关系，将自变量映射到因变量。
函数的定义可以用一个公式、图形或者文字描述。
函数通常用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数的一般表示形式为y=f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，y表示因变量。
1.2 函数的性质函数有许多重要的性质，包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
在图像中，这些性质通常能够直观地表现出来。
- 定义域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域。
在函数图像上，定义域通常可以通过图形的横坐标范围来表示。
- 值域：函数的因变量的取值范围称为函数的值域。
在函数图像上，值域通常可以通过图形的纵坐标范围来表示。
- 奇偶性：函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
- 周期性：具有周期性的函数在一定的距离内重复出现相似的图像。
周期函数的图像通常具有明显的重复性特征。
1.3 常见的基本函数在函数图像中，一些基本函数的图像具有重要的参考意义，这些函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
- 线性函数：线性函数的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。
- 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线，具有一个顶点。
- 指数函数：指数函数的图像是以底数为底的指数幂函数，具有快速增长或者快速衰减的特点。
- 对数函数：对数函数的图像是以底数为底的对数函数，具有反映增长速度缓慢的特点。
高一数学函数图像知识点总结
高一数学函数图像知识点总结一、函数图像知识点汇总1．函数图象的变换1平移变换①水平平移：y＝fx±aa＞0的图象,可由y＝fx的图象向左＋或向右－平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝fx±bb＞0的图象,可由y＝fx的图象向上＋或向下－平移b个单位而得到．2对称变换①y＝f－x与y＝fx的图象关于y轴对称．②y＝－fx与y＝fx的图象关于x轴对称．③y＝－f－x与y＝fx的图象关于原点对称．由对称变换可利用y＝fx的图象得到y＝|fx|与y＝f|x|的图象．①作出y＝fx的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y＝|fx|的图象；②作出y＝fx在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y＝f|x|的图象．3伸缩变换①y＝afxa＞0的图象,可将y＝fx图象上每点的纵坐标伸a＞1时或缩a＜1时到原来的a倍,横坐标不变．②y＝faxa＞0的图象,可将y＝fx的图象上每点的横坐标伸a＜1时或缩a＞1时到原来的倍,纵坐标不变．4翻折变换①作为y＝fx的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y＝|fx|的图象；②作为y＝fx在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y＝f|x|的图象．2．等价变换可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：1写出函数解析式的等价组；2化简等价组；3作图．3．描点法作图方法步骤：1确定函数的定义域；2化简函数的解析式；3讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值甚至变化趋势；4描点连线,画出函数的图象．注意：一条主线数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置,而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段,不可本末倒置．两个区别1一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数对称．2一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系．三种途径明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．1图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．2函数解析式的等价变换．3研究函数的性质．二、例题解析三、复习指导函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与“形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理解透彻。
函数图像及知识点总结
函数图像及知识点总结本文将首先介绍函数的概念，接着讨论函数图像的基本特征和性质，然后给出一些常见的函数图像和它们的性质分析，最后总结本文的内容。
一、函数的概念在代数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
具体地说，一个函数 f 是一个规则，它将集合 A 中的每个元素 x 映射到集合 B 中的一个元素f(x) 上。
其中，集合 A 被称为函数的定义域，集合 B 被称为函数的值域。
如果对于定义域A 中的每个元素 x，都有一个唯一的值 f(x) 与之对应，那么函数 f 是一一对应的，否则称为多对一的。
函数可以用多种方式来表示，比如用代数式、图表、表格或者用文字描述。
在本文中，我们将主要讨论函数图像的性质和特点。
二、函数图像的基本特征和性质在直角坐标系中，函数 f 的图像是它的定义域的点在坐标系中的表示，即点 (x, f(x))。
函数图像的基本特征和性质可以通过其图像的形状和位置来描述。
1. 函数的增减性和极值对于函数 f，如果在定义域的某个区间上，当 x1 < x2 时有 f(x1) < f(x2)，那么称函数 f 在该区间上是增加的；如果在该区间上，当 x1 < x2 时有 f(x1) > f(x2)，那么称函数 f 在该区间上是减少的。
极值是函数图像中的最高点或最低点，它们可以通过导数或者图像来求得。
2. 函数的奇偶性如果对于函数 f 的所有 x 都有 f(-x) = f(x)，那么称函数 f 是偶函数；如果对于函数 f 的所有x 都有 f(-x) = -f(x)，那么称函数 f 是奇函数。
3. 函数的周期性如果存在一个正数 T，使得对于函数 f 的所有 x 都有 f(x+T) = f(x)，那么称函数 f 是周期函数，其中 T 被称为函数 f 的周期。
4. 函数的对称性如果函数图像关于某个点对称，那么称函数具有对称性。
常见的对称性有关于 x 轴、y 轴和原点的对称性。
函数及其图像总结知识点
函数及其图像总结知识点函数的图像是函数表示的一种形式，它是函数在坐标系中的图形表示。
函数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的特点和性质。
在学习函数的过程中，函数的图像是一个非常重要的知识点。
本文将总结函数的相关知识点，以帮助读者更好地掌握这一重要的数学概念。
一、函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系。
如果存在一种依赖关系，使得除了x以外，对每个x都只有唯一的y和y唯一对应某个x，那么就称这种依赖关系为函数。
函数的符号表示通常是f(x)或者y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。
二、常见函数1. 线性函数：y=ax+b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率，常数b决定了直线的截距。
线性函数是最简单的函数之一，它们在数学建模中有着广泛的应用。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数且a不等于0。
二次函数的图像是一条抛物线，开口向上或向下取决于a的正负。
二次函数在物理学、工程学等领域有着重要的应用。
3. 指数函数：y=a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像是一条逐渐增长或逐渐减小的曲线。
指数函数在自然科学和经济学中有着广泛的应用。
4. 对数函数：y=loga(x)，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条渐进线，对数函数能够将指数函数的性质转化为更容易理解的形式。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数在物理学、工程学和天文学中有着重要应用。
以上函数是常见的、在数学教育中重点研究的函数。
这些函数具有各自的特点和性质，通过学习这些函数，我们可以更好地理解数学中的各种问题，并且为进一步学习高等数学课程打下扎实的基础。
三、函数的性质1. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
通过奇偶函数的性质，我们可以推导出一系列关于函数图像的对称性质，以及某些函数值的简化表示。
一次函数的图像与性质知识点总结
一次函数的图像与性质知识点总结知识点1 、 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数. 知识点2、 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3、一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可. 知识点4 、 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②当k ＞0，b ﹥0时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③当k ﹤0，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④当k﹤0，b﹤0时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点5、正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点6、点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．知识点7、确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点8、待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k，b就是待定系数．知识点9、用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．公文写作公文写作是指根据公务活动的客观现实和需求，运用科学的逻辑思路和写作手法完成公文的撰写。
函数图像变换知识点总结
函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。
平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。
- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。
- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。
- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。
- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。
二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。
三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。
1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。
例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。
2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。
例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。
函数图像的画法知识点总结
函数图像的画法知识点总结函数图像的画法是高中数学中的重要内容，也是数学建模和分析问题中不可或缺的一部分。
函数图像的画法知识点包括了如何确定函数图像的范围、如何确定函数图像的对称性、如何确定函数图像的拐点和极值点、如何确定函数图像的渐近线等等。
下面我们将对这些知识点进行详细总结。
一、确定函数图像的范围1. 确定函数的定义域和值域在绘制函数图像之前，首先需要确定函数的定义域和值域。
定义域指的是函数能够取得的输入值的范围，而值域则是函数能够取得的输出值的范围。
确定函数的定义域和值域能够帮助我们确定函数图像的范围，避免在绘制图像时出现遗漏的情况。
2. 确定函数的增减性和奇偶性通过对函数的导数进行分析，可以确定函数的增减性和奇偶性。
函数的增减性可以帮助我们确定函数的上升区间和下降区间，从而确定函数图像的近似范围；而函数的奇偶性可以帮助我们确定函数图像的对称性，从而进一步确定函数图像的范围。
二、确定函数图像的对称性1. 确定函数的奇偶性函数的奇偶性可以通过对函数的表达式进行分析来确定。
如果函数的表达式中只包含偶次幂的项，则函数是偶函数；如果函数的表达式中只包含奇次幂的项，则函数是奇函数；如果函数的表达式中包含奇次幂和偶次幂的项，则函数则是既非奇函数又非偶函数。
2. 利用坐标轴进行对称变换对于不具有明显奇偶性的函数，可以通过对称变换来确定函数图像的对称性。
例如，可以利用y轴进行对称变换来确定函数的奇偶性，通过利用x轴进行对称变换来确定函数的周期性。
这些对称变换可以帮助我们更准确地绘制函数图像。
三、确定函数图像的拐点和极值点1. 确定函数的导数和导数的性质通过对函数的导数进行分析，可以确定函数的拐点和极值点。
函数的导数表示了函数的斜率，通过对导数的性质进行分析，可以确定函数的拐点和极值点的位置。
拐点和极值点是函数图像的重要特征点，确定它们的位置能够帮助我们更准确地绘制函数图像。
2. 利用二阶导数进行分析如果函数的导数存在零点，可以通过对导数的二阶导数进行分析，确定这些零点对应的是函数的极大值点还是极小值点。
初中数学函数图像知识点汇总
初中数学函数图像知识点汇总函数是数学中的重要概念，而函数图像则是理解函数性质的重要工具之一。
在初中数学中，学习函数图像有助于学生理解函数的变化规律、性质和应用。
下面将对初中数学函数图像的知识点进行详细总结。
1. 基本函数图像：(1) 常数函数 f(x)=a : 这是一条平行于x轴的直线，横坐标不变，纵坐标为常数a。
(2) 一次函数 f(x)=kx+b : 这是一条斜率为k的直线，纵截距为b。
(3) 平方函数 f(x)=x^2 : 这是一条开口向上的抛物线，对称轴是y轴。
(4) 绝对值函数 f(x)=|x| : 这是一条以原点为顶点的V字形折线。
2. 函数的变换：(1) 平移：将函数图像沿x轴或y轴平行地移动。
当函数图像向右平移h单位时，函数表示形式为f(x-h)；当函数图像向上平移k单位时，函数表示形式为f(x)+k。
(2) 翻折：将函数图像沿x轴或y轴翻转。
当函数图像关于x轴对称时，函数表示形式为-f(x)；当函数图像关于y轴对称时，函数表示形式为f(-x)。
(3) 压缩与拉伸：将函数图像沿x轴或y轴进行扩大或缩小。
当函数图像水平方向压缩为原来的1/a倍，纵轴方向拉伸为原来的a倍时，函数表示形式为f(ax)；当函数图像水平方向拉伸为原来的a倍，纵轴方向压缩为原来的1/a倍时，函数表示形式为f(x/a)。
3. 常见函数图像特征：(1) 斜率：一次函数的斜率代表了函数图像的倾斜程度。
斜率越大，函数图像越陡峭。
(2) 零点：函数图像与x轴相交的点称为零点。
零点对应于函数的解，即f(x)=0。
(3) 最值：函数图像的最高点称为最大值，最低点称为最小值。
(4) 对称中心：若函数图像关于某一点对称，则该点为对称中心。
常见对称中心有原点和y轴。
(5) 单调性：函数图像在某一区间上递增或递减称为函数的单调性。
4. 常用函数图像的特点：(1) 常数函数 f(x)=a : 函数图像平行于x轴，斜率为0，没有零点，单调性为常数。
八年级下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的,在某个变化过程中有两个变量x和y,对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应,我们说x叫做自变量,y叫做因变量,y叫做x的函数; 2．自变量的取值范围：1能够使函数有意义的自变量的取值全体;2确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义;3不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数;②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数;③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数;3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值;这里有三种类型的问题：1当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值;2当已知函数值求自变量的值就是解方程;3当给定函数值的一个取值范围,欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组;二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：1点px,y在第一象限→x＞0,y＞0.2点px,y在第二象限→x＜0,y＞0.3点px,y 在第三象限→x ＜0,y ＜04点px,y 在第四象限→x ＞0,y ＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：1点px,y 在x 轴上→x 为任意实数,y=02点px,y 在y 轴上→x=0,y 为任意实数3 ．关于x 轴,y 轴,原点对称的点的坐标的特征：1点px,y 关于x 轴对称的点的坐标为x,-y.2点px,y 关于y 轴对称的点的坐标为-x,y.3点px,y 关于原点对称的点的坐标为-x,-y4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：1点px,y 在第一、三象限夹角平分在线→x=y.2点px,y 在第二,四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：1位于平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同;2位于平行于y 轴的直线上的所有点的横坐标相同;6．点到坐标轴及原点的距离：1点px,y 到轴的距离为 ｜y ︱.2点px,y 到y 轴的距离为∣x ∣.3点px,y 到原点的距离为22y x4同在x 轴上的两点Ax 1,0与Bx 2,0之间的距离为AB=|x 1-x 2|5同在y 轴上的两点C0,y 1与D0,y 2之间的距离为CD=|y 1-y 2|三．函数的图像函数图像上的点与其解析式的关系1．函数图像上任意一点p﹙x,y﹚中的x、y满足函数关系式,满足函数关系式的一对对应值﹙x,y﹚都在函数的图像上;2．判断点p﹙x,y﹚是否在函数图像上的方法,将这个点的坐标﹙x,y﹚代入函数关系式,如果满足函数关系式,那么这个点就在函数的图像上,如果不满足函数关系式,那么,这个点就不在函数的图像上;四．一次函数一一次函数的定义1．定义:含有自变量的式子为一次整式,即形如式子y＝kx+b其中k和b为常数,k ≠0叫做一次函数;正比例函数：在一次函数y=kx+b中如果b=0即变为y=kx其中k≠0,这样的函数叫做正比例函数;2．注意：1由一次函数和正比例函数的定义可知;①函数是一次函数→解析式为y＝kx+b的形式;②函数是正比例函数→解析式为y=kx的形式;2一次函数解析式y=kx+b的结构特征：①k≠0 ②x的次数是1 ③常数b为任意实数3正比例函数解析式y=kx的结构特征①k≠0 ②x的次数是1 ③常数b=03．说明：在y=kx+b中若k=0则y=b﹙b为常数﹚这样的函数叫做常数函数,它不是一次函数;4．正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数;一次函数y=kx+b,当b=0时为正比例函数一次函数y=kx+b,当b ≠0时一般的一次函数二 一次函数的图像1．一次函数图像的形状：一次函数y=kx+b 的图像是一条直线,通常称为直线y=kx+b正比例函数y=kx 的图像也是一条直线,称为直线y=kx2．一次函数图像的主要特点:一次函数y=kx+b 的图像经过点﹙0,b ﹚的直线,正比例函数y=kx+b 的图像是经过原点﹙0,0﹚的直线注意：点﹙0,b ﹚是直线y=kx+b 与y 轴的交点;① 当b ＞0时,此时交点在y 轴的正半轴上,② 当b ＜0时,此时交点在y 轴的负半轴上,③ 当b=0时,此时交点在原点,这时的一次函数就是正比例函数;3．一次函数图像的画法：根据两点能画一条直线并且只能画一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图像时,只要先描出两点,在连成直线即可;那么,先描出哪两点比较好呢选两点应以计算和描点简单为原则,一般来说,当b ≠0时,一般的一次函数y=kx+b 的图像,应选取它与两个坐标轴的交点﹙0,b ﹚与﹙-kb ,0﹚；当b=0时,画正比例函数y=kx 的图像,通常取﹙0,0﹚与﹙1,k ﹚两点,个别情况下可以做些变通,例如画函数y=32x 的图像,可以取﹙0,0﹚与﹙1,32﹚两点,也可以取﹙0,0﹚与﹙3,2﹚两点;4．直线y=kx+b 与坐标轴的交点1 令x=0,则y=b 所以直线y=kx+b 与y 轴的交点坐标为﹙0,b ﹚2 令y=0,则kx+b=0所以x=-k b所以直线y=kx+b 与x 轴的交点坐标为﹙-k b ,0﹚注意：此时直线y=kx+b 与x 轴,y 轴围成的三角形面积S=21×∣-k b ∣×∣b ∣5．两直线在直角坐标系内的位置关系:1两直线的解析式中当k 相同时,其位置关系是平行,其中一条直线可以看作是另一条平移得到的,平移规律是“左减右加,上加下减”2两直线的解析式中当b 相同时,其位置关系是相交,交点坐标为﹙0,b ﹚. 三一次函数的性质1．正比例函数的性质1当k ＞0时,图像经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大,直线y=kx 从左到右上升;2当k ＜0时,图像经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小,直线y=kx 从左到右下降;2．一次函数y=kx+b 的性质1当k ＞0时,直线y=kx+b 从左到右上升,此时y 随x 的增大而增大;2当k ＜0时,直线y=kx+b 从左到右下降,此时y 随x 的增大而减小;3当b ＞0时,直线y=kx+b 与y 轴正半轴相交;4当b ＜0时,直线y=kx+b 与y 轴负半轴相交;3．直线y=kx+b的位置与k、b的符号之间的关系直线y=kx+b的位置是由k与b的符号决定的,其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势,b决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴,还是负半轴,还是原点;k和b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置共有六种情况：①当k＞0,b＞0时,直线经过第一、二、三象限,不经过第四象限；②当k＞0,b＜0时,直线经过第一、三、四象限,不经过第二象限；③当k＜0, b＞0时,直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限；④当k＜0,b＜0时,直线经过第二、三、四象限,不经过第一象限；⑤当k＞0,b=0时,直线经过第一、三象限；⑥当k＜0,b=0时,直线经过第二、四象限;四正比例函数与一次函数解析式的确定1．确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式y=kx﹙k≠0﹚中的常数k;确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式y=kx+b﹙k≠0﹚中的常数k 和b,解这类问题的一般方法是待定系数法;2．待定系数法：先设出待求函数关系式﹙其中含有未知的系数﹚,再根据已知条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法;其中的未知系数也称待定系数,如正比例函数y=kx中的k,一次函数y=kx+b中的k和b都是待确定的系数;3．用待定系数法求函数解析式的一般步骤：1设出含有待定系数的解析式；2把已知条件﹙自变量与函数的对应值﹚代入解析式,得到关于待定系数的方程或方程组；3解方程或方程组,求出待定系数；4将求得的待定系数的值代回所设的解析式;注意：通常正比例函数解析式设y=kx,只有一个待定系数k,一般只需一对x 与y 的对应值即可；一次函数解析式设y=kx+b,其中有两个待定系数k 和b,因而需要两对x 与y 的对应值,才能求出k 和b 的值;五．反比例函数一反比例函数定义1．一般的,函数y=xk ﹙k 是常数,k ≠0﹚叫做反比例函数,反比例函数的解析式也可以写成y=kx -1的形式,其中k 叫做比例系数;2．反比例函数解析式的主要特征：1等号左边是函数y,右边是一个分式,分子是不为零的常数k,分母中含有自变量x,且x 的指数是1,若写成y=kx -1的形式,则x 的指数是-1;2比例系数“k ≠0”是反比例函数定义的重要组成部分;3自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数;二反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限,它们关于原点成中心对称;由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以它的图像与x 轴和y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交;三反比例函数的性质1．当k ＞0时,图像在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左到右下降,也就是在每个象限内y 随x 的增大而减小;2．当k ＜0时,图像在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左到右上升,也就是在每个象限内y 随x 的增大而增大;四反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法,由于反比例函数y=x k 中只有一个待定系数,因此只需要一对x 与y 的对应值或图像上一个点的坐标,即可求出k 的值,从而确定其解析式;五“反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系反比例关系是小学学过的概念：如果xy=k ﹙k 是常数k ≠0﹚,那么x 与y 这两个量成反比例关系,这里x 与y 既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式,例如y+3与x 成反比例则有y+3=x k ,y 与x2成反比例,则y=2x k ,成反比例关系不一定是反比例函数,但是反比例函数y=x k中的两个变量必定成反比例关系;六反比例函数y=xk ﹙k ≠0﹚中的比例系数k 的几何意义1．如图,过双曲线上一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,所得矩形PMON 面积为|k|;2．连结PO,则S △POM=21S 矩形=21|k|;六． 函数的应用1．利用图像比较两个函数值的大小在同一直角坐标系中的两个函数图像,如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方,则该函数值就比另一个函数值大,若在下方,则该函数值就比另一个函数值小,而其交点的横坐标就是分界点;2．两个一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系如果两个一次函数的图像相交,则交点坐标必定同时满足两个函数解析式,故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解;3．一次函数与方程、不等式的关系1一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的纵坐标等于0,反映在函数解析式就是函数值等于0,则其横坐标也就是自变量的值为方程kx+b=0的解;2一次函数y=kx+b在x轴上方的图像,任意一点的纵坐标都大于0,反映在函数解析式就是函数值y＞0,则对应的横坐标,也就是自变量的值即为不等式kx+b＞0的解集;3一次函数y=kx+b在x轴下方的图像,任意一点的纵坐标都小于0,反映在函数解析式就是函数值y＜0,则对应的横坐标,也就是自变量的值即为不等式kx+b＜0的解集;。
高中函数图像知识点总结
一、函数图像的基本概念1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它把所有属于定义域的元素映射到值域中唯一确定的元素上。
函数的符号表示为 y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f 表示函数名。
2. 函数的图像函数的图像是函数在坐标平面上的几何表示，通常用曲线、直线或点的方式表示。
3. 自变量与因变量在函数中，自变量是独立的变量，通常表示为 x；因变量是依赖于自变量的变量，通常表示为 y。
4. 坐标系坐标系是用来表示函数图像的平面，它通常由横轴和纵轴组成。
横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
坐标系被分成四个象限，分别用来表示不同的正负值。
二、函数图像的特性1. 函数的奇偶性若对任意x∊D，都有 f(-x)=f(x)，则称函数 f(x) 是偶函数；若对任意x∊D，都有 f(-x)=-f(x)，则称函数 f(x) 是奇函数。
2. 函数的周期性若存在常数 T>0，使得对任意x∊D，都有 f(x+T)=f(x)，则称函数 f(x) 是周期函数，T 称为函数的周期，最小的正周期称为函数的基本周期。
3. 函数的增减性若对任意x1,x2∊D，若 x1<x2，有f(x1)≤f(x2)，则称函数在区间 D 上是增函数；若对任意x1,x2∊D，若 x1<x2，有f(x1)≥f(x2)，则称函数在区间 D 上是减函数。
4. 函数的最值和极值函数在定义域 D 上的最大值和最小值称为函数的最值；函数在定义域 D 上的极大值和极小值称为函数的极值。
1. 一次函数 y = kx + b一次函数的图像是一条直线，其斜率 k 表示直线的倾斜程度，截距 b 表示直线与 y 轴的交点。
2. 二次函数 y = ax^2 + bx + c二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由 a 的正负确定，开口向上时为正，开口向下时为负，顶点坐标为 (-b/2a, c-b^2/4a)。
3. 指数函数 y = a^x指数函数的图像是以底数 a (a>1) 为底，自变量 x 为指数的幂函数。
函数及图像的知识点总结
函数及图像的知识点总结函数是数学中的一个重要概念，也是数学分析和高等代数的基础内容。
在数学中，函数是一种对应关系，可以简单的理解为一种特殊的映射关系，将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。
在数学中，通常用f(x)来表示一个函数，其中x是自变量，f(x)是函数的因变量。
函数的定义：在数学中，函数是一个对应关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
函数通常用一个算式或图形来表示。
函数可以用以下的方式表示：f：A→B其中，A是函数的定义域，B是函数的值域。
定义域表示函数的输入值的集合，值域表示函数的输出值的集合。
函数的定义域和值域决定了函数的有效输入和输出的范围。
函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的图形，通常用函数的定义域和值域的点来表示。
函数的图像可以用直线、曲线或点来表示。
通过函数的图像可以直观地看出函数的性质和特点。
常见的函数类型：1. 线性函数：线性函数是指函数的图像是一条直线。
线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
线性函数的图像是一条斜率为a，截距为b的直线。
2. 二次函数：二次函数是指函数的图像是一条抛物线。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
二次函数的图像是一条开口的抛物线，开口的方向由二次项的系数a的正负决定。
3. 指数函数：指数函数是指函数的自变量为指数的函数。
指数函数的一般形式为f(x) =a^x，其中a为常数且a>0，a不等于1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，曲线的斜率由底数a的大小和正负决定。
4. 对数函数：对数函数是指函数的自变量为对数的函数。
对数函数的一般形式为f(x) =log_a(x)，其中a为常数且a>0，a不等于1。
对数函数的图像是一条递增或递减的曲线，曲线的斜率由底数a的大小和正负决定。
函数的性质：1. 定义域和值域：函数的定义域和值域决定了函数的有效输入和输出的范围。
初中数学函数知识点总结(定义、性质和图像)
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-）3、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，y 为零；y 轴上的点，x 为零；原点的坐标为（0 , 0）。
4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P （x,y ）的几何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。
点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x +8、两点之间的距离：X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 212y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。
函数与其图像知识点总结
函数与其图像知识点总结函数与其图像是数学中常见的概念，对于理解数学问题和解决实际问题具有重要意义。
在高中阶段，学生已经接触到了函数与其图像的相关知识，下面将从函数的定义、性质、图像绘制及应用等方面进行总结。
一、函数的定义1. 自变量和因变量函数是一个映射关系，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。
通常情况下，自变量用x表示，因变量用y表示。
在函数中，自变量的取值范围我们称之为定义域，因变量的取值范围称之为值域。
2. 函数的定义函数的定义包括了自变量的定义域和因变量的值域，以及自变量和因变量之间的对应关系。
一般情况下，我们用符号y=f(x)表示函数的定义，其中f表示函数名称，x表示自变量，y表示因变量。
3. 函数的表示函数可以用表达式、图像、数据表等形式进行表示。
常见的函数表示形式包括解析式表示、图像表示、数据表示等。
二、函数的性质1. 奇偶性函数的奇偶性是指当自变量x的取值变化时，因变量y的取值是否满足某种对称性。
若对于任意x∈D，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；若对于任意x∈D，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数。
2. 单调性函数的单调性是指当自变量x的取值增大时，因变量y的取值是单调递增还是单调递减。
若对于任意x1 > x2，有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)是递增函数；若对于任意x1 > x2，有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)是递减函数。
3. 周期性函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复性。
若存在正数T，使得对于任意x∈D，有f(x+T) = f(x)，则函数f(x)是周期函数，其中T称为函数的周期。
4. 上下界函数的上下界是指函数在定义域内取值的最大值和最小值。
若存在常数M，使得对于任意x∈D，都有f(x) ≤ M，则M称为函数f(x)的上界；若存在常数m，使得对于任意x∈D，都有f(x) ≥ m，则m称为函数f(x)的下界。
(完整版)二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。
函数图像知识点总结
函数图像知识点总结一、基本概念函数图像是指表示函数在平面直角坐标系中的图形。
对于一元函数 f(x)，其图像可以在平面直角坐标系中用曲线表示。
函数图像的形状和特征可以帮助我们更直观地理解函数的性质和行为。
二、函数图像的绘制1. 确定定义域和值域：在绘制函数图像之前，首先要明确函数的定义域和值域，以便确定图像的范围。
2. 描点法：通常利用描点法来绘制函数图像。
具体来说，选择一些横坐标值，计算对应的纵坐标值，并将这些点在平面直角坐标系上连接起来，就得到了函数的图像。
3. 利用导数：对于一些特定的函数，可以通过求导数的方式来画出函数的图像。
导数可以给出函数的斜率的变化情况，进而可以描绘出函数的图像。
三、函数图像的性质1. 奇偶性：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；若满足 f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
奇偶性可以决定函数图像的对称性。
2. 增减性：函数的增减性可以通过导数的正负性来判断，从而可以描绘出函数图像的涨跌趋势。
3. 极值和拐点：函数图像在极值点处可能出现极大值或极小值，拐点处则可能出现函数图像的拐角。
四、常见函数图像1. 一次函数：y = kx + b，其图像为一条直线，具有斜率和截距的特点。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其图像为抛物线，具有顶点和开口方向的特点。
3. 指数函数：y = a^x，其图像为一条逐渐增长或逐渐减小的曲线，具有指数增长的特点。
4. 对数函数：y = log_a(x)，其图像为一条逐渐变缓的曲线，具有对数增长的特点。
五、函数图像的应用1. 函数的性质分析：通过函数图像，可以更加直观地了解函数的奇偶性、增减性、极值点等性质。
2. 优化问题：在数理求解、工程优化等领域，函数图像可以帮助我们找到函数的最大值、最小值等优化问题。
3. 理解函数变化：函数图像可以展示函数曲线的变化趋势，帮助我们更好地理解函数的变化规律。
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《函数及其图像》知识点一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。
①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。
③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。
此时，我们也称因变量是自变量的函数④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。
练习：在函数r cπ2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做的函数。
二、函数的三种表示方法：①解析法：②列表法：三、函数自变量的取值围：平面直角坐标系。
水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。
x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限（如图）:五、平面点的坐标：（横坐标，纵坐标）如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为（2 , 3） 六、平面特殊位置的点的坐标情况：（连线）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 （- ，-） （- ，+） （+ ，+） （+ ，-） （0 ，a ） (b , 0) 七、点的表示（横坐标，纵坐标）注意： ①不要丢了括号和中间的逗号；②表示的意思：当___x =时，___y =如点A （2，1） 表示：当2x =时，1y =③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。
概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。
八、对称点的坐标关系：⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
y xO 第四象限第三象限第二象限第一象限⑵关于y 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
⑶关于原点对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
(,)P a b 关于x 轴对称_________；关于y 轴对称__________；关于原点对称___________思考：如何解决点关于y=x ，y=-x 对称，以及点旋转90°之后的坐标。
九、数轴上的点和 是一一对应的；在平面直角坐标系中的点和 也是一一对应的。
十、点(,)P a b 到x 轴的距离为________；到y 轴的距离为_______1、点（-3，2）到X 轴的距离是 ，到Y 轴的距离是2、点P 在第3象限，P 到X 轴的距离是4，到Y 轴的距离是3，那么点P 的坐标是 十一、点的平移：(,)P a b 向上平移2格______；向下平移3格_______；向右平移1格______；向右平移5格_______（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）十二、两点之间的距离：①在同一条水平上线上的时候：求A 、B 两点之间的距离概括：A 、B 两点之间的距离为：12x x -或12y y -②当两点不在同一水平上的时候，我们是通过构造直角三角形的方法来进行求解的，这就需要用到勾股定理的相关知识，同时也要用到①中两点在同一水平线上的时候，两点之间的距离求法。
A 、B 两点之间的距离：221212()()AB x x y y =-+-A 、B 两点的中点坐标为：1212(,)22x x y y ++ 1、点A （0，2）与点B （0，-3）,则AB= 2、点A （2，0）与点B （-5，0）,则AB= 3、点A （2，3）与点B （3，2）,则AB=十三、画函数图像通常用描点法，步骤是：列表、描点、连线三步。
十四、如何根据解析式作图，在作图的过程中，我们应该关注哪些方面①确定x 的取值围，特别要小心有些情况下x 并不能取到所有的值，图像也会受到一定的限制。
②初步判断函数图像的增、减性，来初步判断函数应该是上升的、还是下降的。
③判断函数图像是直线、还是双曲线（可以通过x 的指数来判断，也可以通过变化速度是匀速的还是变速的来进行判断）④最后从函数与x 轴（未必一定会有）、y 轴的交点；以及极值点（未必一定会有）；对称性（如原点对称）；分段性；从而画出比较准确的草图。
B(4,3)A(-2,3)O B(-2,2)A(-2,3)O十五、点是否在函数图像上：（其本质就是判断这个点所代表的,x y 的值是不是解析方程的解） 如：判断点(4,6)是否在函数223y x x =--图像上，即相当于4,6x y ==是不是方程223y x x =--的解。
或者说：当4x =，22234243y x x =--=-⨯-是否会等于6。
1、点（-3，2），（a ,1+a ）在函数1-=kx y 的图像上，则______,==a k2、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（－1，2），则k= . 十六、已知横坐标求纵坐标、或者已知纵坐标求横坐标：如：22y x =-的图像上 已知点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为-4；求点A 、B 的坐标。
解析：A 点相当于问你，当 2x =时，____y =；B 点相当于问你：4y =-时，___x =。
十七、寻找与题意相符的函数图像：在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（ ）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处十八、一次函数的定义：函数解析式是用自变量的一次整式表示的函数叫做一次函数。
形如：)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，特别的，当b=0时，一次函数)0(≠=k kx y 常数也叫做正比例函数。
十九、一次函数的图像是一条 ，因此画一次函数的图像只需要取 个点。
二十、函数图像上的点：（注：点的横坐标就是x 的值，点的纵坐标就是y 的值） ⑴已知点A （2，a ）在一次函数1+-=x y 上，则a= 。
⑵直线34-=x y 过点（ ，0）、（0， ）⑶请你写出直线1+=x y 上任意两个点的坐标 。
二十一、一次函数)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，的性质：由k 值的正负来决定。
（图1）⑴已知点（x 1，y 1）和点（x 2，y 2）在函数1+-=x y 的图像上，且x 1>x 2，那么y 1y 2⑵已知点（x 1，y 1）和点（x 2，y 2）在函数1-=x y 的图像上，且y 1>y 2,那x 1x 2二十二、一次函数)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，的图像特征：由k 、b 的取值决定练习：1、一次函数1+-=x y 的图像经过第 象限。
2、直线b kx y +=1过第一、二、四象限，则直线k bx y -=2不经过 象限。
二十三、一次函数)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，与y 轴的交点坐标：（0，b ）与x 轴的交点坐标：（kb-，0）练习：一次函数1-=x y 与y 轴的交点坐标是 。
一次函数12+=x y 与x 轴的交点坐标是 。
二十四、求两个一次函数图像的交点坐标：就是把这两个一次函数的解析式组成方程组，得到一个二元一次方程组，解方程组便得到它们的交点坐标。
练习：一次函数1+-=x y 和1-=x y 的交点坐标是二十五、一次函数的作图：首先它的图像是一条直线，而确定一点直线只需要两个点，所以通常只要在直角坐标系中，描出两个点并连接即可。
通常的作法是：取与x 轴和y 轴的两个交点。
如：作函数2y x =-的图像①设出要求的函数关系式；②根据条件列出方程；③解方程，从而得到所求的函数关系式。
练习：已知一次函数的图像经过点（-1,1）和点（1，-5），求这个一次函数的关系式。
二十七、一次函数图像的平移：例如：31y x=-向上平移5个单位______；向下平移2个单位_______备注：上下平移（x值不变）向左平移1个单位____；向右平移2个单位_________备注：左右平移（y值不变）直线y=2x-3向下平移4个单位可得直线y=______, 再向左平移2个单位可得直线y=_________二十八、一次函数与三角形：①当b≠0时，一次函数)0,(≠+=kbkbkxy是常数，的图像与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（kb-，0）和原点（0,0）组成一个直角三角形。
这个直角三角形的面积练习：一次函数12+=xy的图像与y轴的交点A的坐标为（，），与x轴的交点B的坐标为（，），Rt△ABO的面积等于②在解决面积问题中经常用点，主要用于充当三角形的高。
如下列求阴影部分的面积：已知直线：11112222::l y k x bl y k x b=+⎧⎨=+⎩①12,l l平行的充要条件：12k k=且12b b≠②12,l l重合的充要条件：12k k=且12b b=③12,l l垂直的充要条件：121k k•=-三十、直线位置关系与方程组的解之间的关系两直线相交说明方程组有唯一解；平行说明方程组无解；重合说明方程组有无穷多个解。
如251y xy x=-⎧⎨=-+⎩方程组的解为21xy=⎧⎨=-⎩。
则交点坐标为(2,1)-。
三十一、反比例函数：2kbbS-⨯=反比例函数（共三种表示方式）：ky x =1y kx -= xy k = (0)k ≠ 其中xy k =更方便于求解解析式，而且也更容易应该于判断点是否在某个反比例函数图像上。
提醒：关于k y x =中k 等于多少该如何判断得引起大家的重视；如12y x=中的k 是多少呢？1、已知函数()221m y m x -=-是反比例函数，则m 的值等于（ ）。
A.±1B.1C. 3D.－12、已知变量y 与x 成反比例，并且当x ＝2时，y ＝－3。
（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当y ＝2时x 的值；正比例函数1y k x =与反比例函数2y x=有交点的条件(如上图所示)： 反比例函数和正比例函数经过相同的象限，即：1k 、2k 同号；或者说：120k k •> 正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点成中心对称：例如：已知一个正比例函数与一个反比例函数图像其中一个交点的坐标为（2,3），则另一个交点的坐标为 ，这个正比例函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 。
三十三、判断函数图像的正误：1、当k>0时，反比例函数x ky =和一次函数y=kx-k 的图象大致为（ ）xxx2、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）。
三十四、反比例有关的面积问题（图7三角形AOB 的面积有多种方法）三十五、函数与方程、不等式之间的关系：指示：解决此类题目的关键在于，找到图像的交点，并且理解交点的意思，之后再过交点作x 轴的垂线，并且左右平移垂线，进行观察。