数理统计参考答案

习题一

1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列４种情况下样本的联合概率分布。 1）),1(~p B X ; 2）)(~λP X ； ３）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X 。

解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ,

11223344555

11

1

55(1)

(,,,,)()(1)(1)i i

n

x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏

其中：5

1

15i

i x x ==∑

2）对总体~()X P λ

11223344555

1

1

555

1

(,,,,)()!

!

i

x

n

i i i i i x

i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ

λ

λλ-==-==========

∏∏

∏

其中：5

1

15i

i x x ==∑

3）对总体~(,)X U a b

55

1151

1

,,1,...,5 (,

,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==⎧≤≤=⎪==-⎨⎪⎩

∏∏

，其他

４）对总体~(,1) X N μ

()()

()2

55

55/2

22

1511

1

1 (,

,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ--

-===⎛⎫==-- ⎪⎝⎭

∑∏

2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况,现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为:1,1,1,1，２，0，0，1,3，1，0，0,2,4,0,3,1,4，0,２,写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.

解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表１。１：

经验分布函数的定义式为：

()()()

(1)10,(),,=1,2,

,1,1,n k k k x x k

F x x x x k n n x x +<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩,

据此得出样本分布函数:

200,00.3,010.65,12()0.8,

230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪

⎪≤<⎨

≤<⎪⎪≤<⎪

≥⎩

()

n F x

x

图1．1 经验分布函数

3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据（单位：ｃm）如下:

组下限１6５１６７ 169 171 1７3

１75 17７

组上限167 16９171 1７3 175

177 1７9

人数 3 10 2１ 23 ２2

11 5

试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形．解

图1。2 数据直方图

它近似服从均值为172,方差为5。6４的正态分布，即(172,5.64)N ．

4 设总体Ｘ的方差为４,均值为μ，现抽取容量为100的样本,试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ。

解 (

)

- 5P X k P k μ⎫

⎪<=<⎪⎭

()()

555 P k X k μ=-<-<

因k 较大，由中心极限定理

(0,1)X N ： ()

()()

-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-

(5)(1(5))

k k =Φ--Φ

()2510.9k =Φ-=

所以：()50.95

k Φ=

查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=。

5 从总体2

~(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本,求样本均值落在5０.8到5３.８之间的概率。

解 (

)

50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫

<<=-<

< ⎪

⎝

⎭ (0,1) 6.3X U N =

()()

50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293

P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=）

６ 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与１5的两个独立的样本,求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.

解 设两个独立的样本分别为：110,

,X X 与115,

,Y Y ，其对应的样本均值为:X 和Y 。

由题意知：X 和Y 相互独立，且:

3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N

(0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤

1P =-

~(0,0.5)~(0,1)(0.3)22(0.4243)0.6744

X Y N X Y

N P X Y -->=-Φ=

7 设110,,X X 是总体~(0,4)X N 的样本，试确定C ,使得10

21

(

)0.05i

i P X

C =>=∑.

解 因~(0,4)i X N ,则

~(0,1)2

i

X N ，且各样本相互独立，则有： 10

12

2~(10)2i i X χ=⎛⎫

⎪⎝⎭∑

所以：10

102

2

1

1

(

)()144

i

i

i i C

P X C P X ==>=>

∑

∑

1021

110.0544i i c P X =⎛⎫

=-≤= ⎪⎝⎭∑

1021

10.9544i i c P X =⎛⎫

≤= ⎪⎝⎭∑

查卡方分位数表:c/4=18。31，则c=73。２４。

8 设总体Ｘ具有连续的分布函数()X F x ，1,,n X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，

定义随机变量:

1,

,1,2,,0,

i i i X Y i n X μμ

>==≤⎧⎨

⎩

试确定统计量∑=n

i i Y 1的分布。

解 由已知条件得:~(1,)i Y B p ，其中1()X p F μ=-． 因为i X 互相独立，所以i Y 也互相独立,再根据二项分布的可加性,有