深圳坪山培英学校初中部数学圆 几何综合单元测试题(Word版 含解析)

深圳坪山培英学校初中部数学圆 几何综合单元测试题（Word 版 含

解析）

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．已知：

图1 图2 图3

（1）初步思考：

如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12

PN PC = （2）问题提出：

如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求

12

PD PC +的最小值． （3）推广运用： 如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动

点，求12

PD PC -的最大值． 【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】

【分析】

（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到

PN BN PC BP =，即可得到结论成立；

（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =

，当D 、P 、G 共线时，12

PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =

，当点P 在DG 的延长线上时，12

PD PC -

的值最大，即可得到答案. 【详解】

（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===，

∴2

4,4PB BN BC =⋅=，

∴2PB BN BC =⋅， ∴

BN BP BP BC

=， ∵B B ∠=∠， ∴BPN BCP ∆∆∽，

∴12PN BN PC BP ==， ∴12

PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，

∵

242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BC PBG PBC BG PB

=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽，

∴12

PG BG PC PB ==， ∴12

PG PC =， ∴12

PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +

的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；

（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，

与（2）同理，可证

1

2

PG PC

=，

在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，

∴DF=CD•sin60°=23，CF=2，

在Rt△GDF中，DG=22

(23)537

+=，

∴

1

2

PD PC PD PG DG -=-≤，

当点P在DG的延长线上时，

1

2

PD PC

-的值最大，

∴最大值为：37

DG=.

【点睛】

本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．

2．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．

（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．

（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．

（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．

【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；

（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；

（3）点D、E均在抛物线上；

（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．

【解析】

试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；

（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；

（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．

试题分析：（1）∵⊙C经过原点O

∴AB为⊙C的直径

∴C为AB的中点

过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1

∴圆心C的坐标为（1，）．

（2）∵抛物线过O、A两点，

∴抛物线的对称轴为x=1，

∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，

∴顶点坐标为（1，﹣）．

把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，

解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．

（3）∵OA=2，OB=2，

∴AB==4，即⊙C的半径r=2，

∴D（3，），E（﹣1，），

代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．

（4）∵AB为直径，

∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，