迭代·混沌·分形
动力系统理论中的混沌与分形
动力系统理论中的混沌与分形混沌与分形是动力系统理论中的两个重要概念，它们在探索非线性系统行为和描述自然界的复杂性方面发挥着关键作用。
本文将从混沌与分形的基本原理、实际应用以及研究方向等多个角度来探讨这两个重要的理论概念。
一、混沌混沌是指在动力系统中，即使系统的运动规律是确定的，但其行为却表现出极端敏感的特性，即微小的初始条件改变会导致系统演化出完全不同的轨迹。
混沌理论的起源可以追溯到20世纪60年代，当时Lorenz通过研究大气环流模型，意外地发现了这一现象，这也被称为“蝴蝶效应”。
混沌现象的数学描述是通过非线性动力学方程实现的，例如著名的洛伦兹方程和Logistic映射等。
混沌行为的特点是演化过程不断变化，但却不失稳定性。
这种看似矛盾的特性给动力系统理论的研究带来了很大的挑战和启示。
混沌理论的实际应用非常广泛。
在天气和气候预测、金融市场、生态系统、心脏疾病等领域，混沌理论都发挥着重要作用。
通过混沌理论，我们能够更好地理解和预测这些复杂系统中的行为，为实际问题的解决提供了新的思路和方法。
目前，混沌理论仍然是一个活跃的研究领域。
研究人员致力于发展更精确的混沌理论模型，深入探究混沌行为的内在规律，以及在实际应用中的更多可能性。
二、分形分形是指具有自相似性和尺度不变性的几何形状。
与传统几何学中定义的规则形状不同，分形具有复杂的结构和非整数维度。
分形理论最早由Mandelbrot提出，并得到了广泛的应用。
分形的自相似性意味着它的一部分与整体具有相似的结构，这种特性使得分形能够用于描述自然界中许多复杂的形状，如云朵、树枝、河流等。
分形的尺度不变性意味着它在不同的比例下具有相似的结构，这也是分形与传统几何形状的显著区别。
分形理论在各个领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，分形可以用于生成自然风景和仿真自然材料的纹理。
在金融市场中，分形理论可以用于预测和分析股票价格的波动。
在生物学中，分形可以用于描述复杂的生物结构，如血管网络和肺泡等。
混沌分形研究课程论文
混沌分形研究课程论文《非线性物理》课程混沌分形研究摘要：本文介绍分形理论的产生与发展现状，让初学者了解这一非线性科学中的又一角色在我们认识复杂世界的思维过程中的重要性，让我们再一次看到自然界的混沌性。
希望更多的有志青年投入到贯穿各个领域的非线性科学的研究中。
非线性分形理论概述分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。
1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。
事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形 (fractal)。
1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。
在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论 (fractal theory)。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。
作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
分行理论：自相似原则：线性分形又称为自相似分型。
自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。
它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。
混沌分形理论
混沌分形理论混沌分形理论是一门发展迅速的学科，它主要关注混沌系统的动态行为。
混沌系统是一种特殊的复杂系统，其行为表现出非常稳定、周期性和混沌的特征，而混沌分形理论是对这种复杂行为进行研究和模拟的框架。
混沌是一种特殊的复杂性，是指在特定条件下，一个系统的状态变化会产生“混沌”的状态。
科学家们认为混沌有两个主要特征：自我相似性和不可预测性。
自我相似性指的是特定条件下，系统中的不同部分具有类似的特征，某些特定的行为会在系统内部循环出现。
不可预测性指的是，即使在完全相同的条件下，系统也可能出现不同的行为，这是由于系统内部状态和外部环境可能微妙地变化所致。
混沌分形理论起源于混沌的研究，它的基本思路是利用数学和计算机仿真对混沌系统进行研究，以便对混沌系统的状态和行为有更深入的了解。
与传统混沌理论不同，混沌分形理论也涉及分形结构，这些结构可以帮助研究人员更好地理解混沌系统的行为，从而有助于提供更精确的预测结果。
混沌分形理论已经被应用于计算机科学、物理学、天文学、生物学和社会学等多个领域，为这些领域的研究提供了新的方法和工具。
例如，它可以帮助研究人员更好地理解自然系统，如气候变化和海洋形势；它可以帮助认识社会系统，如个体行为和文化发展；它可以帮助开发机器学习和机器人，从而改善人类日常生活。
此外，混沌分形理论也被用于财务市场和经济学的研究，它能够准确地模拟财务市场的行为，帮助投资者有效地进行资本运作，甚至可以帮助预测未来经济发展趋势等。
混沌分形理论是一门非常广泛的学科，它可以帮助研究人员更好地理解复杂系统的行为，它已经被广泛应用于许多领域，发挥着重要的作用。
虽然它已经取得了很大的成功，但它也存在一些瓶颈，比如计算复杂度高、模型复杂性高等问题，这些问题尚需进一步的研究才能得到解决。
总的来说，混沌分形理论是一个新兴的学科，它有望未来发挥更大的作用，为各个领域的研究提供更强大的模型和工具，从而深化我们对复杂系统的理解，进而获得更深刻的认识和更科学的结论。
牛顿迭代分形
牛顿迭代分形牛顿迭代分形，也被称为牛顿分形或牛顿法则，是一种基于数学原理的图像生成算法。
它利用牛顿迭代的思想和复数运算，通过不断迭代计算，可以生成一幅幅美丽而神奇的分形图形。
牛顿迭代分形的生成过程可以简单描述如下：首先，选择一个复数作为初始值，然后通过不断迭代计算来寻找该复数的根。
根据牛顿迭代法的原理，我们可以得到下一个近似根的值，然后再将该值作为新的初始值进行迭代计算，直到达到预设的迭代次数或者满足停止条件。
最终，我们可以将迭代过程中的所有值映射到一个二维平面上，从而生成一张牛顿迭代分形图。
牛顿迭代分形的生成过程中，不同的初始值会产生不同的分形图形。
在分形图中，我们可以看到许多迭代过程中的轨迹，这些轨迹形成了分形的结构。
分形通常具有自相似性，即无论观察整个图像还是它的一部分，都会发现相似的形态或图案。
牛顿迭代分形在数学研究、计算机图形学、艺术创作等领域都有广泛的应用。
它不仅可以帮助我们理解复数和迭代的概念，还可以产生出许多美丽而复杂的图像。
这些图像不仅能够为我们提供视觉上的享受，还可以激发我们对数学和艺术的兴趣。
通过牛顿迭代分形的创作过程，我们可以感受到数学的魅力和无穷的可能性。
每一次的迭代计算，都是在数学的世界中进行探索和发现。
而每一张生成的分形图像，都是对数学美的一次呈现和诠释。
当我们深入探索牛顿迭代分形时，我们会发现其中隐藏着无限的奥秘和惊喜。
这些分形图像不仅令人惊叹，还能够启发我们对数学和艺术的思考。
通过创作和欣赏牛顿迭代分形，我们可以感受到数学的美妙和艺术的魅力，同时也能够培养我们的创造力和思维能力。
牛顿迭代分形是一种令人着迷的图像生成算法。
它不仅展示了数学的美丽和复杂性，还激发了我们对数学和艺术的兴趣。
通过创作和欣赏牛顿迭代分形，我们可以感受到数学的魅力和艺术的魔力，同时也能够培养我们的创造力和思维能力。
让我们一起沉浸在牛顿迭代分形的世界中，探索数学与艺术的交汇之处！。
非线性动力学混沌和分形
非线性动力学混沌和分形非线性动力学是研究非线性系统行为的学科，其中混沌和分形是两个重要的概念。
本文将从混沌和分形的定义、产生原因以及在自然界和科学领域的应用等方面，探讨非线性动力学中的混沌和分形现象。
一、混沌的定义和产生原因混沌是指在非线性系统中表现出的随机、不可预测的行为。
它与线性系统中稳定、可预测的行为形成对比。
混沌的产生是由于非线性系统的敏感依赖性和非周期性。
非线性系统中存在着参数的微小变化对系统行为的剧烈改变的敏感依赖性。
也就是说，微小的输入扰动会在系统中产生指数级的放大效应，导致系统行为出现不可预测的、随机的演化轨迹。
非周期性是混沌的另一个重要特征。
与周期行为不同，混沌系统的演化轨迹不会重复，而是具有无限多的轨迹。
这种非周期性导致了混沌系统的随机性和不可预测性。
二、分形的定义和产生原因分形是指具有自相似性质的几何结构。
这种自相似性是指无论在何种尺度上观察，都能看到相似的图形形态。
分形在数学上可以通过重复迭代、自身放缩等方式来构造。
分形的产生原因与非线性动力学中的迭代过程密切相关。
在迭代过程中，每一次迭代都会根据某种规则对前一次结果进行变换或修改。
这种迭代的特性导致了分形的自相似性质。
三、混沌和分形在自然界中的应用混沌和分形不仅存在于数学和物理领域，也广泛存在于自然界中的各种系统中。
1. 混沌天气模型气象系统是典型的非线性系统，其中存在着许多复杂的变量相互作用。
应用混沌理论来模拟天气系统，可以更好地理解和预测天气变化。
例如，洛伦茨模型是一个典型的混沌系统，通过该模型可以模拟大气环流的混沌行为。
2. 分形地貌自然界中的许多地貌形状具有分形的特征。
例如，河流的分岔结构、山脉的起伏形态都展现了自相似的分形结构。
分形地貌的研究有助于了解地壳运动和地表形态的演化机制。
3. 植物生长模型植物生长是一个既复杂又多变的过程，涉及到生理、环境和遗传等多个因素的交互作用。
应用非线性动力学的方法，可以通过建立植物生长模型，研究植物生长的混沌行为以及其对环境的响应。
z四次方=1牛顿迭代分形法
14=z 的牛顿迭代分形法Made by:黄昌鸿 03261016饶泽浪 032610331、前言在讲课过程中，老师不止一次的提到过非线性现象。
确实，作为一种对复杂系统的描述理论，非线性理论有着他特殊的意义。
它特殊的研究方法已不能被传统的牛顿思想所包含，也正因如此，它的意义不仅限于科学研究。
在非线性研究过程中，我们不能忘记的有三个名词：混沌、孤立波及分形。
混沌作为一种现象，最早被物理学家所研究，而孤立波的真正研究始于一百多前，相对的，分形的提出及研究不超过五十年。
但这三者有个共通点，那就是最近几十年研究很热门。
首先是因为它们的研究确实很有价值，但根本原因是大型及超大型计算机的出现。
快速运算为非线性研究提供了必要的研究条件，换而言之，使用计算机是研究非线性的最快方法。
在这个学期中，我们用matlab 自己做了一些混沌、孤立波及分形的程序，通过这些程序的编写，我对非线性也有了一些初步的认识。
在这篇文章中，我将通过matlab 做14=z 的复数迭代分形。
2、14=z 的牛顿迭代相关思考过程和算法如下：2-1 传统牛顿迭代法传统牛顿迭代法如下：function y=newton(x0)x1=x0-fc(x0)./df(x0);n=1;while (abs(x1-x0)>=1.0e-20)&(n<=10000);x0=x1;x1=x0-fc(x0)./df(x0);n=n+1;endx1; 其中fc为原函数，df为导函数但传统迭代发不能做复数函数的迭代，因而这种方法不能得出相应正确的图形。
2-2 在直角坐标系下方程组的牛顿迭代法为了能够实现牛顿迭代，则我们必须把方程化为实数形式。
方程组得牛顿迭代法如下：形式与传统牛顿迭代发一样，但fc代表方程组，df代表一阶导数矩阵。
function y=newtonprox1=x0-fc(x0)/df(x0);k=1;while (norm(x1-x0)>=1.0e-10)&(k<=10000);x0=x1;x1=x0-fc(x0)/df(x0);k=k+1;endx1则我们在直角坐标下：令z=x(1)+x(2)*i则有（0，1）对应z=i；（0，-1）对应z=-i；（1，0）对应z=1；（-1，0）对应z=-1；14=z 复函数 则和转化为如下方程组：x(1)*x(2)*(x(1)^2-x(2)^2)=0;(x(1)^2-x(2)^2)^2-4*x(1)^2*x(2)^2-1=0；相应得一阶导数矩阵为：y=[3*x(1)^2*x(2)-x(2)^3,x(1)^3-3*x(1)*x(2)^2;4*x(1)^3-12*x(1)*x(2)^2,-12*x(1)^2*x(2)+4*x(2)^3];通过数学思考我们发现，在（0，1）处，一阶导数矩阵不存在逆矩阵。
混沌分形之迭代函数系统（IFS）
混沌分形之迭代函数系统（IFS）IFS是分形的重要分⽀。
它是分形图像处理中最富⽣命⼒⽽且最具有⼴阔应⽤前景的领域之⼀。
这⼀⼯作最早可以追溯到Hutchinson于1981年对⾃相似集的研究。
美国科学家M.F.Barnsley于1985年发展了这⼀分形构型系统，并命名为迭代函数系统（Iterated Function System，IFS），后来⼜由Stephen Demko等⼈将其公式化，并引⼊到图像合成领域中。
IFS将待⽣成的图像看做是由许多与整体相似的（⾃相似）或经过⼀定变换与整体相似的（⾃仿射）⼩块拼贴⽽成。
算法：1.设定⼀个起始点（x0，y0）及总的迭代步数。
2.以概率P选取仿射变换W，形式为X1=a*x0 + b*y0 + eY1=c*x0 + d*y0 + f或X1=(a * x0*cosf(c/180)) - (b * y0*sinf(d/180)) + eY1=(a * x0*sinf(c/180)) + (b * y0*cosf(d/180)) + f3.以W作⽤点（x0，y0），得到新坐标（x1，y1）。
4.令x0=x1，y0=y1。
5.在屏幕上打出（x0，y0）。
6.重返第2步，进⾏下⼀次迭代，直到迭代次数⼤于总步数为⽌。
（1）三⾓形class IFSTriangle : public FractalEquation{public:IFSTriangle(){m_StartX = 0.0f;m_StartY = 0.0f;m_StartZ = 0.0f;m_ParamA = 0.0f;m_ParamB = 0.5f;//'IFS码赋值m[0][0] = 0.5f; m[0][1] = 0; m[0][2] = 0; m[0][3] = 0.5f; m[0][4] = 0; m[0][5] = 0; m[0][6] = 0.333f;m[1][0] = 0.5f; m[1][1] = 0; m[1][2] = 0; m[1][3] = 0.5f; m[1][4] = 0.5f; m[1][5] = 0; m[1][6] = 0.333f;m[2][0] = 0.5f; m[2][1] = 0; m[2][2] = 0; m[2][3] = 0.5f; m[2][4] = 0.25f; m[2][5] = 0.5f; m[2][6] = 0.334f;}void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const{float a, b, c, d, e, f; //'仿射变幻中的系数float R = (float)rand()/RAND_MAX;if (R <= m[0][6]){a = m[0][0];b = m[0][1];c = m[0][2];d = m[0][3];e = m[0][4];f = m[0][5];}else if (R <= m[0][6] + m[1][6]){a = m[1][0];b = m[1][1];c = m[1][2];d = m[1][3];e = m[1][4];f = m[1][5];}else{a = m[2][0];b = m[2][1];c = m[2][2];d = m[2][3];e = m[2][4];f = m[2][5];}outX = (a * x) + (b * y) + e*FRACTAL_RADIUS;outY = (c * x) + (d * y) + f*FRACTAL_RADIUS;outZ = z;}bool IsValidParamA() const {return true;}bool IsValidParamB() const {return true;}void SetParamA(float v){m_ParamA = v;m[2][1] = v;}void SetParamB(float v){m_ParamB = v;m[2][0] = v;m[0][3] = v;}private:float m[3][7]; // '存放IFS码};这⾥⽣成的是谢尔宾斯基三⾓形，但可以通过参数设置对其变形（2）皇冠class IFSCrown : public FractalEquation{public:IFSCrown(){m_StartX = 0.0f;m_StartY = 0.0f;m_StartZ = 0.0f;m_ParamA = 2.0f;//'IFS码赋值m[0][0] = 0.5f; m[0][1] = 0.5f; m[0][2] = 0; m[0][3] = 0; m[0][4] = 0; m[0][5] = 0; m[0][6] = 0.2f; m[1][0] = 0.5f; m[1][1] = 0.5f; m[1][2] = 0; m[1][3] = 0; m[1][4] = 0.5f; m[1][5] = 0; m[1][6] = 0.2f; m[2][0] = 0.25f; m[2][1] = 0.25f; m[2][2] = 0; m[2][3] = 0; m[2][4] = 2.0f; m[2][5] = 2.0f;m[2][6] = 0.3f; m[3][0] = 0.25f; m[3][1] = 0.25f; m[3][2] = 0; m[3][3] = 0; m[3][4] = -1.0f;m[3][5] = 2.0f;m[3][6] = 0.3f; }void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const{float a, b, c, d, e, f; //'仿射变幻中的系数float R = (float)rand()/RAND_MAX;if (R <= m[0][6]){a = m[0][0];b = m[0][1];c = m[0][2];d = m[0][3];e = m[0][4];f = m[0][5];}else if (R <= m[0][6] + m[1][6]){a = m[1][0];b = m[1][1];c = m[1][2];d = m[1][3];e = m[1][4];f = m[1][5];}else if (R <= m[0][6] + m[1][6] + m[2][6]){a = m[2][0];b = m[2][1];c = m[2][2];d = m[2][3];e = m[2][4];f = m[2][5];}else{a = m[3][0];b = m[3][1];c = m[3][2];d = m[3][3];e = m[3][4];f = m[3][5];}outX = (a * x*cosf(c/180)) - (b * y*sinf(d/180)) + e*FRACTAL_RADIUS;outY = (a * x*sinf(c/180)) + (b * y*cosf(d/180)) + f*FRACTAL_RADIUS;outZ = z;}bool IsValidParamA() const {return true;}void SetParamA(float v){m_ParamA = v;m[2][4] = v;m[2][5] = v;m[3][4] = 1 - v;m[3][5] = v;}private:float m[4][7]; // '存放IFS码};（3）芦苇// 芦苇class IFSBulrush : public FractalEquation{public:IFSBulrush(){m_StartX = 0.0f;m_StartY = 0.0f;m_StartZ = 0.0f;m_ParamA = 10.0f;float k = m_ParamA*100.0f;//'IFS码赋值m[0][0] = 0.5f; m[0][1] = 0.5f; m[0][2] = 0; m[0][3] = 0; m[0][4] = 0; m[0][5] = 0; m[0][6] = 0.3f; m[1][0] = 0.5f; m[1][1] = 0.5f; m[1][2] = k; m[1][3] = k; m[1][4] = 1; m[1][5] = k/1600; m[1][6] = 0.3f; m[2][0] = 0.5f; m[2][1] = 0.5f; m[2][2] = 0; m[2][3] = 0; m[2][4] = 0.5f; m[2][5] = 0; m[2][6] = 0.4f; }void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const{float a, b, c, d, e, f; //'仿射变幻中的系数float R = (float)rand()/RAND_MAX;if (R <= m[0][6]){a = m[0][0];b = m[0][1];c = m[0][2];d = m[0][3];e = m[0][4];f = m[0][5];}else if (R <= m[0][6] + m[1][6]){a = m[1][0];b = m[1][1];c = m[1][2];d = m[1][3];e = m[1][4];f = m[1][5];}else{a = m[2][0];b = m[2][1];c = m[2][2];d = m[2][3];e = m[2][4];f = m[2][5];}outX = (a * x*cosf(c/180)) - (b * y*sinf(d/180)) + e*FRACTAL_RADIUS;outY = (a * x*sinf(c/180)) + (b * y*cosf(d/180)) + f*FRACTAL_RADIUS;outZ = z;}bool IsValidParamA() const {return true;}void SetParamA(float v){m_ParamA = v;float k = m_ParamA*100.0f;m[1][2] = k;m[1][3] = k;m[1][5] = k/1600;}private:float m[3][7]; // '存放IFS码};（4）万花筒// 万花筒class IFSPhantoscope : public FractalEquation{public:IFSPhantoscope(){m_StartX = 0.0f;m_StartY = 0.0f;m_StartZ = 0.0f;m_ParamA = 2.0f;float k = m_ParamA*100.0f;//'IFS码赋值m[0][0] = 0.2f; m[0][1] = 0.2f; m[0][2] = 0; m[0][3] = 0; m[0][4] = 0.7f; m[0][5] = 0; m[0][6] = 0.2f; m[1][0] = 0.2f; m[1][1] = 0.2f; m[1][2] = 0; m[1][3] = 0; m[1][4] =-0.7f; m[1][5] = 0; m[1][6] = 0.2f; m[2][0] = 0.2f; m[2][1] = 0.2f; m[2][2] = 0; m[2][3] = 0; m[2][4] = 0; m[2][5] = 0.7f; m[2][6] = 0.2f; m[3][0] = 0.2f; m[3][1] = 0.2f; m[3][2] = 0; m[3][3] = 0; m[3][4] = 0; m[3][5] = -0.7f; m[3][6] = 0.2f; m[4][0] = 0.85f; m[4][1] = 0.85f; m[4][2] = k; m[4][3] = k; m[4][4] = 0; m[4][5] = 0; m[4][6] = 0.2f; }void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const{float a, b, c, d, e, f; //'仿射变幻中的系数float R = (float)rand()/RAND_MAX;if (R <= m[0][6]){a = m[0][0];b = m[0][1];c = m[0][2];d = m[0][3];e = m[0][4];f = m[0][5];}else if (R <= m[0][6] + m[1][6]){a = m[1][0];b = m[1][1];c = m[1][2];d = m[1][3];e = m[1][4];f = m[1][5];}else if (R <= m[0][6] + m[1][6] + m[2][6]){a = m[2][0];b = m[2][1];c = m[2][2];d = m[2][3];e = m[2][4];f = m[2][5];}else if (R <= m[0][6] + m[1][6] + m[2][6] + m[3][6]){a = m[3][0];b = m[3][1];c = m[3][2];d = m[3][3];e = m[3][4];f = m[3][5];}else{a = m[4][0];b = m[4][1];c = m[4][2];d = m[4][3];e = m[4][4];f = m[4][5];}outX = (a * x*cosf(c/180)) - (b * y*sinf(d/180)) + e*FRACTAL_RADIUS;outY = (a * x*sinf(c/180)) + (b * y*cosf(d/180)) + f*FRACTAL_RADIUS;outZ = z;}bool IsValidParamA() const {return true;}void SetParamA(float v){m_ParamA = v;float k = m_ParamA*100.0f;m[4][2] = k;m[4][3] = k;}private:float m[5][7]; // '存放IFS码};（5）Treeclass IFSTree : public FractalEquation{public:IFSTree(){m_StartX = 0.0f;m_StartY = 0.0f;m_StartZ = 0.0f;//'IFS码赋值m[0][0] = 0.195f; m[0][1] =-0.488f; m[0][2] = 0.344f; m[0][3] = 0.433f; m[0][4] = 0.4431f; m[0][5] = 0.2452f; m[0][6] = 0.25f; m[1][0] = 0.462f; m[1][1] = 0.414f; m[1][2] =-0.252f; m[1][3] = 0.361f; m[1][4] = 0.2511f; m[1][5] = 0.5692f; m[1][6] = 0.25f; m[2][0] =-0.058f; m[2][1] =-0.07f; m[2][2] = 0.453f; m[2][3] =-0.111f; m[2][4] = 0.5976f; m[2][5] = 0.0969f; m[2][6] = 0.25f; m[3][0] =-0.035f; m[3][1] = 0.07f; m[3][2] =-0.469f; m[3][3] =-0.022f; m[3][4] = 0.4884f; m[3][5] = 0.5069f; m[3][6] = 0.2f; m[4][0] =-0.637f; m[4][1] = 0.0f; m[4][2] = 0.0f; m[4][3] = 0.501f; m[4][4] = 0.8562f; m[4][5] = 0.2513f; m[4][6] = 0.05f; }void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const{float a, b, c, d, e, f; //'仿射变幻中的系数float R = (float)rand()/RAND_MAX;if (R <= m[0][6]){a = m[0][0];b = m[0][1];c = m[0][2];d = m[0][3];e = m[0][4];f = m[0][5];}else if (R <= m[0][6] + m[1][6]){a = m[1][0];b = m[1][1];c = m[1][2];d = m[1][3];e = m[1][4];f = m[1][5];}else if (R <= m[0][6] + m[1][6] + m[2][6]){a = m[2][0];b = m[2][1];c = m[2][2];d = m[2][3];e = m[2][4];f = m[2][5];}else if (R <= m[0][6] + m[1][6] + m[2][6] + m[3][6]){a = m[3][0];b = m[3][1];c = m[3][2];d = m[3][3];e = m[3][4];f = m[3][5];}else{a = m[4][0];b = m[4][1];c = m[4][2];d = m[4][3];e = m[4][4];f = m[4][5];}outX = a*x + b*y + e;outY = c*x + d*y + f;outZ = z;}private:float m[5][7]; // '存放IFS码};这个图形我很喜欢，所以还专门将其⽣成图像：（6）⼤脑class IFSBrain : public FractalEquation{public:IFSBrain(){m_StartX = 0.0f;m_StartY = 0.0f;m_StartZ = 0.0f;//'IFS码赋值//0.03 0 0 0.45 0 0 0.05;//-0.03 0 0 -0.45 0 0.4 0.15;//0.56 -0.56 0.56 0.56 0 0.4 0.4;//0.56 0.56 -0.56 0.56 0 0.4 0.4;m[0][0] = 0.03f; m[0][1] = 0.0f; m[0][2] = 0.0f; m[0][3] = 0.45f; m[0][4] = 0.0f; m[0][5] = 0.0f; m[0][6] = 0.05f; m[1][0] =-0.03f; m[1][1] = 0.0f; m[1][2] = 0.0f; m[1][3] =-0.45f; m[1][4] = 0.0f; m[1][5] = 0.4f; m[1][6] = 0.15f; m[2][0] = 0.56f; m[2][1] =-0.56f; m[2][2] = 0.56f; m[2][3] = 0.56f; m[2][4] = 0.0f; m[2][5] = 0.4f; m[2][6] = 0.4f; m[3][0] = 0.56f; m[3][1] = 0.56f; m[3][2] =-0.56f; m[3][3] = 0.56f; m[3][4] = 0.0f; m[3][5] = 0.4f; m[3][6] = 0.4f; }void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const{float a, b, c, d, e, f; //'仿射变幻中的系数float R = (float)rand()/RAND_MAX;if (R <= m[0][6]){a = m[0][0];b = m[0][1];c = m[0][2];d = m[0][3];e = m[0][4];f = m[0][5];}else if (R <= m[0][6] + m[1][6]){a = m[1][0];b = m[1][1];c = m[1][2];d = m[1][3];e = m[1][4];f = m[1][5];}else if (R <= m[0][6] + m[1][6] + m[2][6]){a = m[2][0];b = m[2][1];c = m[2][2];d = m[2][3];e = m[2][4];f = m[2][5];}else{a = m[3][0];b = m[3][1];c = m[3][2];d = m[3][3];e = m[3][4];f = m[3][5];}outX = a*x + b*y + e;outY = c*x + d*y + f;outZ = z;}private:float m[4][7]; // '存放IFS码};－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－关于基类FractalEquation的定义及相关软件见：。
令人惊叹的混沌理论——背后的数学原理和哲学思考
令⼈惊叹的混沌理论——背后的数学原理和哲学思考在20世纪60年代早期，⽓象学家爱德华·洛伦兹发现某些系统从根本上是不可预测的。
他的理论引发了⼀场名为“混沌理论”的科学⾰命。
有⼈说，简单的基本规则有时会产⽣奇异的复杂性。
那些复杂的结构通常有⾮常基源。
这种现象和理论在实践中经常被提及，但也出现在《怪奇物语》等电⼦游戏和《侏罗纪公园》等电影中。
那么，混沌理论的实际定义是什么呢？它与数学有什么联系？它与可预测性和决定论有什么关系？如何将这些发现应⽤于⼀般情况？定义为了理解混沌理论，有必要讨论⼀下字典是如何描述它的：描述动态系统模式的数学，如天⽓、⽓体和液体的⾏为、演化等等。
因此，混沌理论是研究和描述动态系统的数学，它解释了随时间变化的过程。
科学家和数学家对混沌有不同的看法。
对他们来说，⼀个混沌的世界或混沌的问题是不可预测的，⼀个微⼩的偏差可能导致不可想象的后果引⼊科学爱德华·诺顿·洛伦茨，美国数学家、⽓象学家、⿇省理⼯学院⽓象学教授。
他在达特茅斯学院和哈佛⼤学学习数学。
他的职业⽣涯始于第⼆次世界⼤战期间，当时他是美国陆军航空队的⼀名⽓象预报员。
在⼀次天⽓预中，他在他的计算机模型上得到了⼀个⾮常不同的结果，因为只有⼀个微⼩的偏差。
爱德华证明了可预测性的局限性，这让许多科学家和⽓象学家感到震惊。
他们认为最终有可能预测更长⼀段时间的天⽓。
混沌理论阐述了变化过程的进展和演变，⽤微分⽅程来描述。
以前是⽆法计算出精确的解的，但现在它们可以⽤计算机进⾏数值计算。
由于变量初始值变化的敏感性，这些系统将表现出复杂且快速的偏差⾏为。
混沌系初始状态下不可避免的⼩误差⾮常敏感。
这决定了可预测性是有限度的。
吸引⼦和迭代吸引⼦是迭代附近点的x坐标的集合。
设函数y_1=x^2-1；y_2=x。
在抛物线y_1=x^2-1上取⼀个值，然后从这个初始值画⼀条⽔平线与y = x相交，交点的横坐标为新的x的值，记为x_1；然后把x_1代⼊抛物线。
MATLAB 函数的迭代、混沌与分形
取其它的初值做试验
初值 -40000 -500 -20 0 4 4.9 5 5.1 6 20 100 1000 收敛性 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于5 得到收敛点的迭代次数 16 16 16 17 17 19 0 19 17 12 14 14
2
实验四
函数的迭代、 函数的迭代、混沌与分形
1、 定义 、 给定某个初值， 给定某个初值，反复作用以同一个函数的 过程称为迭代 ，一般形式为
x0 , x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ),⋯, xn = f (xn−1 ),⋯
它生成了一个序列{ 它生成了一个序列 xn }，称为迭代序列． ，称为迭代序列．
f (x) = αx(1− x) (0 ≤ x ≤1)
12
6.人口增长的 人口增长的Logistic模型 人口增长的 模型
xn+1 =αxn (1− xn )
f (x) = αx(1− x) (0 ≤ x ≤1)
称为Logistic映射 映射 称为
13
7. Feigenbaum图 图 对于Logistic 映射，取a=2.5，我们通过离 映射， 对于 ， 散图形观察迭代的收敛情况。 散图形观察迭代的收敛情况。
4
3.分式线性函数的迭代 分式线性函数的迭代
25x −85 例： f (x) = x +3
先取初值x 先取初值 0=5.5
f=inline('(25*x-85)/(x+3)');%先定义函数 先定义函数 x0=5.5; for i=1:1:20 x0=f(x0); fprintf('%g,%g\n',i,x0); end
形的迷宫认识迭代形和分形
形的迷宫认识迭代形和分形形的迷宫：认识迭代形和分形形的迷宫是一种令人着迷的艺术形式，它展现了数学中的迭代过程和分形结构。
通过反复应用简单的规则，我们可以创造出复杂、精美的图案，这些图案具有自相似性和无穷细节的特点。
本文将介绍迭代形和分形，带您一起探索形的迷宫的奇妙世界。
一、迭代形的基本概念迭代形是指通过重复应用一组规则，以递归的方式生成的图形。
简单来说，就是将某个图形的一部分不断地按照固定的方法复制或变形，直到最终构成一个完整的图形。
这种迭代的过程可以无限进行下去，使图形变得更加复杂。
例如，考虑一个最基本的迭代形——科赫曲线。
它起初是一条长度为L的线段，然后在中间插入一个相等长度的线段并将其旋转90度，将原来的一条线段变为两条线段。
接着，对每一条线段都重复相同的操作，不断重复，直到达到一定的迭代次数。
随着迭代次数的增加，科赫曲线的长度也会变得越来越长，形状也越来越复杂。
二、分形的本质特征分形是指具有自相似性的图形，即图形的一部分与整体看起来非常相似。
一个分形结构可以在不同的尺度上反复出现，无论是放大或缩小，都可以看到相似的形状和细节。
这种无限的自相似性使得分形具有丰富的细节和复杂性。
迭代形就是分形的一种典型表现。
通过重复应用规则，不断生成新的形状，并在不同的尺度上反复出现，使得整个图案充满了细节，并且在各个层次上都具有相似的特征。
三、分形艺术的应用分形艺术是一种利用计算机生成分形图形的艺术形式。
艺术家通过编写程序，根据自己的审美意识和规则来生成各种各样的分形图案。
这种艺术形式不仅可以创造出美丽的图像，还可以用来表达深刻的数学概念和哲学思考。
分形艺术广泛应用于视觉效果的设计、艺术创作、科学研究等领域。
在视觉效果的设计中，分形艺术可以带给观众无穷的视觉享受，独特的形状和细节让人沉迷其中。
在艺术创作中，艺术家可以通过分形艺术表达自己对自然界、人类社会、宇宙等的思考和感受。
在科学研究中，分形艺术可以帮助人们更好地理解和分析复杂的自然现象，如天气、肺部结构等。
分形理论背后的原理
分形理论背后的原理
分形理论的原理是指存在着一种模式或结构，使得整体的形态和部分的形态相似。
具体来说，分形是指某些几何形状（例如自相似、无限重复）和某些非几何特征（如维数）的特殊组合。
分形理论的背后原理有以下几个方面：
1. 自相似性：分形物体的特点之一是自相似性，即整体结构的部分与整体具有相似的形态。
无论是放大还是缩小，分形的部分都可以找到与整体相似的结构，这种重复形态在各个尺度上都存在。
2. 维数：分形物体的维数可以是非整数、分数，甚至是小数。
例如，一条分形曲线可能具有介于一维和二维之间的维数。
这种非整数维度的特点使得分形能够描述一些复杂的现象和现实世界中的各种模式。
3. 递归和迭代：分形的构建过程通常基于递归和迭代。
通过重复地应用某种规则或函数，可以生成越来越精细的分形结构。
例如，通过反复地分割三角形的每个边，可以生成斐波那契分形。
4. 混沌与奇点：分形物体通常具有混沌性质，即微小的变化会导致整体形态的巨大变化。
这种不确定性使得分形具有一定的随机性和不可预测性。
此外，分形的一些部分可能具有奇异性质，例如无限延伸或无限尖锐。
通过以上原理，分形理论可以应用于不同领域，如图像压缩、金融市场分析、城市规划等，帮助人们理解和描述复杂系统中的模式和变化。
数学文化——分形与混沌
B.B.Mandelbrot： B.B.Mandelbrot： “1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创 1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创 造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与 造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与 欧几里得外形相反，是没有规则的。” 欧几里得外形相反，是没有规则的。” “首先，它们处处无规则可言。其次 ，它们 在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从 远处观察，还是从近处观察，分形看起来一个模 样——它是自相似的。 ——它是自相似的。
2. Mandelbrot集 Mandelbrot集
3. E.N.Lorenz的工作 E.N.Lorenz的工作 美国气象学家E.N.Lorenz在天气预报中的发现 美国气象学家E.N.Lorenz在天气预报中的发现 是混沌认识过程中的一个里程碑。 1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比 1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比 较的先进工具——计算机进行天气模拟，试图进 较的先进工具——计算机进行天气模拟，试图进 行长期天气预报。 Lorenz发现混沌运动的两个重要特点： Lorenz发现混沌运动的两个重要特点： （1）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的。 ）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的。 Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。 Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。
只有对于短期预报，我们才关 心变化的细节。对于长期预报，人 们更注意各种平均量的发展趋势， 例如今后20年内华北年降水量的多 例如今后20年内华北年降水量的多 少。 混沌动力学的进步，恰恰在这 方面提高了人类的预报本领。
3.基于混沌理论的保密通信、信 3.基于混沌理论的保密通信、信 息加密和信息隐藏技术的研究已成为 国际热门前沿课题之一，也是高科技 研究的一个新领域。 尽管已有许多混沌加密方案被提 出，但混沌密码学的理论还未完全成 熟，混沌密码学的研究仍然是一个新 的具有挑战性的前沿课题。
混沌与分形
复平面中的神奇迭代-Julia集合
在复平面上,x轴代表实数,y轴代表虚数。现在 复平面上任意取一个点z,将其代入下面方程中 进行反复迭代运算： zn+1=zn2+c 最后得到的z值有3种可能性： ①z值没有界限增加（趋向无穷） ②z值衰减（趋向于零） ③z值是变化的,即非1或非2 趋向无穷和趋向于零的点叫定常吸引子，很多 点在定常吸引子处结束，被定常吸引子所吸引。 非趋向无穷和趋向于零的点是"Julia集合"部分， 也叫混沌吸引子。 Mandelbrot集合是所有的Julia集合的合并。
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得到"Julia集合"的近似算法
一般按下述算法近似计算"Julia集合" ：
n=0; while ((n++ < Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) < Rmax)) {Z=Z*Z+C;}
其中：Nmax为最大迭代次数,Rmax为逃离界限。 由(Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) >= Rmax退出循环时, 相当于"①z值没有界限增加(趋向无穷)",为定常吸 引子,把这些区域着成白色。 由(n >= Nmax)退出循环时,相当于"②z值衰减(趋向 于零)"或"③z值是变化的",把这些区域着成黑色。 黑色区域图形的边界处即为"Julia集合"。"Julia集 合"有着极其复杂的形态和精细的结构。
18
实验练习
对迭代函数z=z2+c的参数进行调整，观测 对图像的影响。 对观测窗口参数rx=linspace(xl,xr,256); ry=linspace(yd,yu,256);进行调整，观测 对图像的影响。 对颜色映射的方式进行变动，观测对图 像的影响。
实验四函数的迭代、混沌与分形解读
实验四函数的迭代、混沌与分形[实验目的]1. 认识函数的迭代；2. 了解混沌和分形.迭代在数值计算中占有很重要的地位,了解和掌握它是很有必要的.本实验将讨论用Newton迭代求方程根的问题,以及迭代本身一些有趣的现象.§1 基本理论1.1 迭代的概念给定某个初值,反复作用以同一个函数的过程称为迭代.函数f(x)的迭代过程如下:x0,x1=f(x0),x2=f(x1),……..,x n=f(x n-1)…..,它生成了一个序列{x n}迭代序列.许多由递推关系给出的数列,都是递推序列.例如数列.X0=1,x n=1+1/(1+x n-1) (n=1,2,…………..)是由函数f(x)=1+1/(1+x)=(2+x)/(1+x)取初值为1所得的迭代序列.1.2 迭代序列的收敛性定理设函数f(x)满足:(1)对任意x∈(a,b),f(x)∈(a,b);(2)f(x)在(a,b)内可导,且存在常数L使得|f(x)'|=L<1,则当初值x0∈(a,b)时,由f(x)生成的迭代序列收敛.在迭代函数f(x)连续的条件下,如果迭代数列收敛,则它一定收敛于方程x=f(x)的根.该方程的根也称函数f(x)的不动点.设x*为f(x)的不动点,f(x)'在x*的附近连续,若|f(x*)'|<1,则称不动点x*是稳定的;若f(x*)'=0,则称不动点x*是超稳定的.在超稳定点x*附近,迭代过程x n+1=f(x n)收敛到x*的速度是非常快的.1.3 Newton迭代法设函数g(x)具有一阶导数,且g(x)'≠0,则函数f(x)=x-g(x)/g(x)'的迭代称为Newton迭代,若函数f(x)存在不动点,则它一定是方程g(x)=0的根,故Newton迭代法可用来求方程g(x)=0的根.§2 实验内容与练习2.1 迭代的收敛对于函数迭代,最重要的问题是迭代序列的收敛性.一般说,迭代序列是否收敛取决于迭代函数与初值.作为一个例子，我们用来讨论用Newton迭代法求函数g（x）=（x-17）5/3（x-5）-2/3的根，其Mathematica程序为：Clear[g，x]；g[x_]：=（x-17）^(5/3)*(x-5)^(-2/3);f[x_]=Factor[x-g(x)]/D[g[x],x]];x0=5.5;n=20;For[i=1,i<=n,i++,x0=N[f[x0]];Print[i,”“,x0,”“,D[f[x],x]/.x->x0]]执行结果见表4.1.表4.1的结果说明迭代序列收敛于g(x)的零点17.我们注意到程序中取的迭代处值为5.5,如果其它的数作为初值,所得的迭代序列是否收敛于17呢?我们可以取其它初值做实验,结果得到表4.2(表中第三列是迭代序列的前6位有效数字首次为17.0000的步数).从表4.2中可看出,只要初值不取5,迭代序列都收敛于17,且收敛速度与初值的选取关系不大.前面程序中使用的f(x)为g(x)的化简过的Newton迭代函数,用Mathematica命令可检查出它为(25x-85)/(x+3)(注意,这个式子扩充了原迭代函数在x=5,x=17处的定义),解方程f(x)=x.得到x=17,与x=5.即17和5是f(x)的两个不动点,有前面的讨论知这两个不动点是有区别的:对于17,不管初值取为多少(只要不为5),迭代序列总是收敛于它;而对于5,只要初值取为5时,迭代序列才以它为极限,这样一种现象在函数的迭代中普遍存在,为方便区分起见,我们给这样两种点各一个名称:像17这样的所有附近的点在迭代过程中都趋向于它的不动点,称为吸引点;而像5这样的所有附近的点在迭代过程中都远离它的不动点,称为排斥点.上面的f(x)=(25x-85)/(x+3)是一个分式线性函数,对于一般的分式线性函数,迭代序列是否总是收敛呢?练习1 编程判断函数f(x)=(x-1)/(x+1)的迭代序列是否收敛.在上节我们已经指出,如果迭代序列收敛,一定收敛到函数的某个不动点,这就是说,迭代函数存在不动点是迭代序列收敛的必要条件.那么如果迭代函数存在不动点,迭代序列是否一定收敛呢?练习2 先分别求出分式线性函数f1(x)=(x-1)/(x+3),f2(x)=(-x+15)/(x+1)的不动点,再编程判断它们的迭代序列是否收敛.运用上节的收敛定理可以证明:如果迭代函数在某不动点处具有连续的导数且导数值介于-1与1之间,那么取该不动点附近的点为初值所得到的迭代序列一定收敛到该不动点.练习3 你能否说明为什么17是f(x)=(25x-85)/(x+3)的吸引点,而5是f(x)的排斥点?尽量多找些理由支持这个结论.练习4 能否找到一个分式线性函数(ax+b)/(cx+d),使它产生的迭代序列收敛到给定的数?用这种办法计算2.2.2迭代的”蜘蛛图”对函数的迭代过程,我们可以用几何图象来直观地显示它.在xoy平面上,先作出函数y=f(x)与y=x的图象,对初值x0,在曲线y=f(x)上可确定一点p0,它以x0为横坐标,过p0引平行x轴的直线,设该直线与y=x交与点Ｑ1作平行于y轴的直线它与曲线y=f(x)的交点记为p1,重复上面的过程,就在曲线y=f(x)上得到点列p1,p2,……，如图４.１，不难知道，这些点的横坐标构成的序列x0,x1,x2,……，xn……就是迭代序列.若迭代序列收敛,则点列p1,p2,……趋向于y=f（x）与y=x的交点p*，因此迭代序列是否收敛，可以在图上观查出来，这种图因其形状像蜘蛛网而被称为“蜘蛛网”图。
系统、迭代、分形、混沌、秩序
系统、迭代、分形、混沌、秩序现代学术曾经深信的那个实在性已经瓦解，一个功能性的本体正在显现。
上帝，自性，常道，等都是不同的古老文化体系对于世界本质的一种功能性解释。
而现代学术的发现似乎正在为古人的观点作注脚。
１、系统：宇宙中的一切统一于一个绝对的系统。
按照现有的系统学的概念，这是无法理解的。
现代学术对于系统的定义只是外观和组成性的描述，而不是功能性的。
对于系统所产生的现象来说，系统只是一组相互关联的功能作用。
至于这些功能的技术实现手段，则是术的问题。
现代学术从逻辑上也认可一个什么都没有，什么都不是的绝对空无之态。
这个态中国古代叫做无极，从这个态能够最自然生成的只能是两种完全对称的功能，这叫做两仪之态。
甚至两仪也会显得生硬，才会有四象和八卦的产生，三个层次的八卦整体作为一个态，相对于无极就是绝对最小的差别了。
从无极态产生任何所谓的实在性，都会产生逻辑矛盾，还会被再次追问这个实在性的组成。
老子的道法自然，就是说明八卦这个系统是无极的自然产物。
易经有：易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业。
老子说：道生一，一生二，二生三，三生万物，万物负阴而抱阳，冲气以为和。
易经的八卦整体和老子的一二三，都是对宇宙本体的说明。
易经的吉凶生大业和老子说的万物负阴而抱阳，都是指现象由两类相互作用的本体功能的作用产生和支撑。
易经中的太极是阴阳交替，老子的常道则是有无相生，都是两种对称功能互根互生，交变感应的说明。
是一种对称功能周行不殆的运行模式，也是从一个单态生成动态的最小差别模式。
按照太极模式由无极的单一态中分形出来的两仪、四象、八卦这个功能组合态，就是宇宙的最小系统。
这里的最小，表示这个系统的规定最少。
最少规定的系统，才会产生具有最大的可能性的现象。
两种正交的功能，就是佛家自性中的见相二分，也是易经中的阳和阴，同时也是老子第一章所说的常无和常有。
老子的无名天地之始，就是易经的乾知大始；老子的有名万物之母，就是易经的坤作成物。
分形、混沌和灰色理论
性”，它有别于由系统外部引入不确定随机影
响而产生的随机性。为了与类似大量分子热运
动的外在随机性和无序性加以区别，我们称所
研
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的混沌为非线形动力学混沌，而把系统处于平衡态时 究所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡态热 力学混沌。
它们间的重要差别在于：平衡态热力学混沌所表
现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定。比
15
下面我们来讲混沌的特性。
（1）确定系统的内在随机性.
混沌现象是由系统内部的非线性因素引起
的，是系统内在随机性的表现，而不是外来随 即扰动所产生的不规则结果。混沌理论的研究 表明，只要确定性系统中有非线性因素作用， 系统就会在一定的控制参数范围内产生一种内 在的随机性，即确定性混沌。
混沌现象是确定性系统的一种“内在随机
第 三 种 ： 当 x0 是 无 理 数 时 ， 则 序 列 {xn} 是 不 规 划 的 。 例 如 取 x0=1 /2就属于这种情况。 但是，从本质上看，上述三种情况表征的都是一种形态——混 沌。为此进一步分析前面三种初值x0的情况。对于第二种情况， 所取初值为
x0 =13/28=0.46428571428571428571…… 可发现，从n=2开始就有：
如掷骰子，第一次掷的结果就无法确定，而长期则服
从统计规律；非线形动力学混沌则不然，系统的短期
演化结果是确定的，是可以预测的；只有经过长期演
化，其结果才是不确定的，不可预测的。比如天气预
报，三天以内的天气状况是可以预测的，三天以后的
旧无法预测了。
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（2）对初值的敏感性。
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comp1
主要内容参考书中国科学技术大学出版社，(1993)(1995)(1992)著，祝玉学，赵学龙译,物理系统的元清华大学出版社(2003)迭代、混沌、分形Julia 集与Mandelbrot 集迭代、混沌、分形迭代函数系统绘制分形图形迭代、混沌、分形§1 计算物理量的迭代方法共同之处：自第二项开始，每一项都是对其前000,,2,...a a d a d++0001,,2,...n na a d a d x x d+++⇒=+20001,,,...n na a q a q x qx+⇒=这种不断重复同一种运算的算法称为迭代法如果一个物理量的表达式中含有该物理量本身()x f x =切比雪夫加速1.1 直接迭代法0112231,()()()......()n nxf x xf x xf x xf x x+====设初值when+111111()()()()n nn nn n nn nif x x thenf x f xf x x x xf x x++++++==⎫⇒=⇒=⎬=⎭1.2 牛顿迭代法{}()0()()()0g x x f x f x x g x ==⇒−==000000()()()()0()()g x g x g x x x g x x x g x ′≈+−=⇓=−′10121111123221,()()()|()|()()()......()()n n nn nnnn nnxg xx xg xg xx x if g x then x xg xx xg xx x andg x xg xx xg xδε++++=−′=−<≈′−=−≤′=−′设一个ε相对误差精度，绝对误差精度1.3 混合输入迭代法1-121-122+(1)()(+(1))0,,1n n n n n n n n n x x x x f x f x x x x αβαβαβαβαβαβ+−+−+=+−−=+−−=<+<111-12(1)()(+(1))01n n n n n n n x x x f x f x x x mixing coefficientααααα+−++=+−=−=<<1.4 多元变量{}({})i ix f x=(,)(,)x f x yy g x y=⎧⎨=⎩11(,)(,)n n nn n nx f x yy g x y++=⎧⎨=⎩111111((1),(1))((1),(1))n n n n nn n n n nx f x x y yy g x x y yαααααααα+−−+−−=+−+−⎧⎨=+−+−⎩nε≤{()}({()})i i x f x ϕϕ=21()()Ni i i r n r ρψ==∑§2 混沌发现: 名词出现:的类似随机的输出。
混沌分形之马丁（Martin）迭代
混沌分形之马丁（Martin）迭代我不记得从什么地⽅看到的这种分形图形⽣成⽅式，再到⽹上找竟然⼀时没查到任何相关资料。
没关系，总之这种图形也很漂亮多变，并且其算法⽐较简单。
只是我最后⽣成的图像有点瘆⼈,密集恐惧症患者慎⼊。
相关代码如下：class MartinIterate : public FractalEquation{public:MartinIterate(){m_StartX = 1.0f;m_StartY = 1.0f;m_StartZ = 0.0f;m_ParamA = 0.68f;m_ParamB = 0.75f;m_ParamC = 0.83f;}void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const{if (x > FLT_EPSILON){outX = y - sqrtf(fabsf(m_ParamB*x - m_ParamC));}else if (x < -FLT_EPSILON){outX = y + sqrtf(fabsf(m_ParamB*x - m_ParamC));}else{outX = y;}outY = m_ParamA - x;outZ = z;}bool IsValidParamA() const {return true;}bool IsValidParamB() const {return true;}bool IsValidParamC() const {return true;}bool Is3D() const {return false;}};关于基类FractalEquation的定义及相关软件见：点集图形：以此算法⽣成的图像如下：我想这⼏幅图有密集恐惧症的⼈⼀定看不下去，⽽我看到它时总会想到⼀种东西叫“莲蓬乳”。
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迭代·混沌·分形
柴文斌
(四川省遂宁中学校629000)
一、课例背景
在20世纪下半叶，计算机的“魔杖”不断制造出新的数学分支，它最拿手的迭代计算引出了“混沌学”，接着又导致了分形几何的产生. 分形的思想和方法在模式识别，自然图象的模拟，信息讯号的处理，以及金融模型，艺术的制作等领域都取得了极大的成功.
二、教学目标
①本课例按《新课标》的要求，通过分形为载体，引起学生深厚的兴趣，在探究过程中，浅介数学新思想、新发展，同时让学生发现数学美，激发他们勇敢地追求美，主动地创造美，从而陶冶他们的情操，培养他们创新的精神.
②总结平常练习过的从迭代、分形为背景数学试题，让他们用联系、发展的眼光，体会“背景深刻，方法独到”高考压轴题设计意图，明白“基础扎实，能力到位”明确要求.
三、教学重点
①应用计算机让学生感受分形图之美妙及形成数学原理.
②分析分形为背景数学试题，形成高观点下审视数学问题.
四、教学难点
①迭代、混沌、分形定义度的把握.
②Julia集、Mandelbrot集及其特征.
五、教学过程
(一)美丽的分形图形
运用多媒体展放《孔雀开屏》等11幅分形艺术作品.
师：这些美丽图形自然而优美，纷繁而有序，放射出诱人的色彩，在绚丽的色彩变化背后有几分神秘，似乎没有人会对这些图形无动于衷，你们相信，这些
美妙的图形是运用数学知识，通过计算机构造出来的吗？是如何构造的呢？我们还得从函数迭代说起！
(二)函数的迭代
问题1：
计算：①x n n sin lim ∞→ ②=∞
→x n n cos lim 问题2：
211n n x x +=-
11=x
轨道：1，0，－1，0，－1，……
5.02=x
轨道：0.5，―0.75，―0.4375，―0.80859，…―1，0，―1，0，－1
问题3：①有没有这样一个初态把它代入211-+=n n x x ，结果不变吗？
· ·
A B
251- 2
51+ ②618.11=x 写出系统轨道
③619.11=x 写出系统轨道
问题4：二次函数2)(z z f =进行迭代 ①i z 2
11=，写出系统轨道 ②i z +=11，写出系统轨道
问题5：2)(z z f =且1||0<z
求证：1|)(|0<z f
证明：i y x z 000+=且1||0<z
|2||)(|002
0200i y x y x z F +-=
20022
020)2()(y x y x +-=
22020)(y x +=
20||z = 因此，在区域1||00<<z 中，1|||)(|00<<z z F ，这就意味着2)(z z F =的每一次迭代，即2
1n n z z =+都会使z 向靠近0的方向移动，我们说z 向0收敛，或是z 的吸引号，若1||0>z 近似于上面的结论，会发现，经过迭代z 会趋向于∞.
若1||0=z ，很明显，z 是平面上单位圆上的点. 于是我们发现复平面上可分为两个区域，一个区域便落在其中的点向0吸引与逼近，而另一个区域便落在其中的点∞逃逸，它们分界线便是1)(0=z F 的单位圆，就是Julia 集.
(三)混沌
①C z z f +=2)(，0≠C 时，其吸引子不再是0，而是一个区域被吸进去的点会遍整个区域，我们称这个区域为混沌区. 同时，分界线不再是1|)(|0=z F 的单位圆，它是一个不规则不光滑的分界线，就像一个孤岛的海岸线一样.
②《三五历经》中说：“天地混沌如鸡子，盘古生其中，万人千岁，天地开辟，阳清为天，阴浊为地，盘古在其中，一日九变；神于天，圣于地. 天月高一丈，地日厚一丈，盘古月长一丈，如此万人千岁，天数极高，地数极深，盘古极长.”
③宇宙起源的问题.
(四)分形
不使系统发散的那么初态的集合组成“内集”，其他的“初态”组成“外集”，内集与外集的边界叫做Julia 集.
问题6：运用多媒体展示：i z z f 12.0765.0)(2+-=(一个完全不连通)
i z z f +=2)((连通) 特点：处处不光滑，自相似性、精细结构
②Mandelbrot 集
我们看到，当C 在复平面变化时它的Julia 集也在复平面内变化，而且这些集合可以分成连通与不连通两类. 如果参数C 所对应的Julia 集是连通的，我们就将这个C 染成黑色，否则染上白色，这样得到的黑色集就叫做以参数C 为元素的Mandelbrot 集.
问题7：运用多媒体展示Mandelbrot 集，可以看出它有非常复杂的结构，这一结构的明显特征是一个主要心形图与一系列圆盘形的“芽苞”连接在一起，并且，每一个芽苞又被一细节更细小的“芽苞”所环绕，以至无穷. 同时，这些精细的芽苞分支都带有与整体曼德布罗特集相似的微型拷贝.
(五)试题研究
问题8：将一个单位正三角形一分为四，且挖去中间一个小正三角形，然后再上面三个小三角形中重复上面的步骤. 设初始三角形的面积为1. C n 、S n 分别表示第n 次操作各图形的周长和面积.
①求C n 、S n 的表达式.
②n 趋于无穷时，C n 、S n 趋于什么？
问题9：记P 0表示面积为1的等边三角形，P k+1是对P k 进行如下操作得到：将P k 的每条边三等份，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将它中间部分的线段去掉，记S n 为曲线P n 所围成图形的面积.
①求数列S n 的通项公式.
②n n S ∞
→lim 问题10：一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段长度为1，第二层与第一层线段的前端作两条与线段都成135°角的线段，长度为其一半，第三层按第二层的方法滚动，在第二层线段前端生成两条线段，重复前面的作法，作图到第n 层，称水平线到第n 层最高点的距离为到树形图的第n 层高度，试求：
①树形图的第三层及第四层总高度
②树形图的第n 层总高度h n
③n n h ∞
→lim
问题11：⎪⎩⎪⎨⎧-+)1(221)(x x x f 12
1210≤<≤≤x x 定义 *∈=N n x f f f x f n ))(()(
①求)15
2(2007f ②]}1,0[,)(|{15∈==x x x f x B
求证：B 中至少含有9个元素
问题12：
如右图是某计算机的程序框图.
(I)求打印出来的x 的值；
(II)求打印出来的z 的值；
(III)若将程序框图中的语句(9)“n=2007？”
改为“9
4≥z ?”，则张三同学说这是死循环(即一直无限算下去而没有结果)，而李四说不会
是死循环，你认为哪个同学说的正确？并说
出你的理由.
问题13：用牛顿迭代法求根.
17世纪，牛顿创立了一种依靠简单计算
求解方程根的方法.
假设你知道某一方程0)(=x f 的近似解为0x ，此0x 接近于你还不知道的真正解x ，从而可以计算出相应的0)(=x f 及其导数0)(0=x f 的值. 由于0x 接近于x ，所以导数)(0x f '可近似写成
00)()(x x x f x f --. 又因为0)(=x f 所以此导数为：0
00)()(x x x f x f --='] 于是有 )()(000x f x f x x '-
=-
则修正一次后的近似解为
)
()(001x f x f x x '-= 重复这个过程得到序列数n x ，它会从极快的速度收敛于此方程的真正解.
请你用上述方法 8
1)(3-=x x f 6.00=x 时
①求2x ，3x ，4x . ②10000
1|21|<-n x 时，n 的范围. 问题14：用多媒体展示基于牛顿迭代法的01=-n z 迭代图形.
问题15：(角谷猜想) 任给一个自然数，若它是偶数则将它除以2；若它是奇数，则将它乘3再加1，反复这样运算，经有限步之后其结果必为1. 问题16：分形几何上物理学是怎样？
六、课例设计反思：
1．数学≠数学题. 数学教育，我想不仅要让学生认识到数学是一门科学，数学是工具，数学是技术，而且应当让他们认识到：作为人类精神、智慧与理性的最高代表之一，数学不仅是文化的重要组成部分，还在文化发展中占据着举足轻重的地位，数学是美的，数学是有意思的.
2．Shirley(1986)提出，数学分为形式和非形式，应用和纯粹的，我们平常看到多数中小学讲授的数学知识是形式纯数学，这对学生形成完善的数学的文化观有缺陷，新课标模块设计也充分考虑到这一缺陷,本课例对非形式化教学，研究性学习作些探讨.。