最新河南省天一大联考“顶尖计划”2020届高三毕业班第一联考理科数学试题

天一大联考

“顶尖计划”2020届高中毕业班第一次考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}

2|30M x x x =-<，{}|17N x x =≤≤，则M N =（ ）

A.{}|13x x ≤<

B.{}|13x x <<

C.{}|07x x <<

D.{}|07x x <≤

2.设复数213i

z i

-=

+，则||z =（ ） A.

13 B.

23

C.

12

D.

22

3.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位，万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）

A.

B.

C.

D.

4.为了贯彻落实党中央精准扶贫的决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制成下图，其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误．．

的是（ ）

A.该市共有15000户低收入家庭

B.在该市从业人员中，低收入家庭有1800户

C.在该市失无业人员中，低收入家庭有4350户

D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

5.运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）

A.1S ≥

B.2S >

C.lg99S >

D.lg98S ≥

6.已知幂函数()f x x α

=的图象过点(3,5)，且1a

a e ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，3b α=，1log 4a c =，则a ，b ，c 的大小关系

为（ ） A.c a b <<

B.a c b <<

C.a b c <<

D.c b a <<

7.已知非零向量a ，b 满足a b λ=，若a ，b 夹角的余弦值为19

30

，且(2)(3)a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A.49

-

B.

23

C.

32或49

- D.

32

8.记单调递增的等比数列|{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）

A.1

12n n n S S ++-=

B.2n

n a =

C.21n

n S =-

D.1

21n n S -=-

9.函数2|sin |

2

()6

1x f x x

==

+的图象大致为（ ）

A. B.

C. D.

10.设抛物线C ：2

2y px =（0p >）的焦点为F ，抛物线C 与圆C '

：22(3x y +=交于M ，N 两

点.

若||MN =，则MNF ∆的面积为（ ）

B.

38

11.关于函数()|cos |cos |2|f x x x =+有下列三个结论：①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上单调递增；③()f x 的值域为[]2,2-.则上述结论中，正确的个数为（ ） A.0

B.1

C.2

D.3

12.已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点

E .

若3SA ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）

A.9

B.7

C.

92

D.

72

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若变量x ，y 满足约束条件21,24,20,y x x y y ≤+⎧⎪

+≤⎨⎪+≥⎩

则2z x y =-的最大值为________.

14.函数2()x

f x x e

-=⋅的极大值为________.

15.已知双曲线C ：22

221x y a b

-=（0a >，0b >），直线l ：4x a =与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，

B 两点.若OAB ∆（点O 为坐标原点）的面积为32，且双曲线C

的焦距为C 的离心率为

________.

16.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211n n n S a n a -+=+，且25a =.若2n

n

S m >，则实数m 的取值范围为________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2

2

()a b c ab -=-. （Ⅰ）求角C ；

（Ⅱ）若4cos sin 02c A b C π⎛⎫

+

+= ⎪⎝

⎭

，1a =，求ABC ∆的面积. 18.如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，点D ，E 分别在线段1AA ，1CC 上，且

11

3

AD AA =

，//DE AC ，F 是线段AB 的中点.

（Ⅰ）求证：//EF 平面111B C D ；

（Ⅱ）若AB AC ⊥，AB AC =，13AA AB =，求直线BC 与平面1B DE 所成角的正弦值.

19.已知椭圆C ：2

214

x y +=，不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点. （Ⅰ）若线段MN 的中点坐标为11,

2⎛⎫

⎪⎝⎭

，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 过点(4,0)，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（PM k ，PN k 分别为直线PM ，PN 的斜率），求0x 的值.

20.已知函数2

1()ln 2f x mx x ⎛

⎫=+

⎪⎝⎭

. （Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≤时，要使()ln f x x x >恒成立，求实数m 的取值范围.

21.某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出A ，B ，C ，D 四种食物，要求小孩根据喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排出的序号依次为A B C D x x x x ，家长猜测的序号依次为

A B C D y y y y ，其中A B C D x x x x ，A B C D y y y y 都是1，2，3，4四个数字的一种排列.定义

()()()()2222

A A

B B

C C

D D X x y x y x y x y =-+-+-+-，用X 来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.

（Ⅰ）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.

（i ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；