湖南省长郡中学2020-2021学年度第一学期高二数学人教A版选修2-2：2.2直接证明—综合法和分
湖南省长沙市长郡中学高中数学(人教版)课件选修 1-2 第二章 第一节《合情推理与演绎推理》《2
【思考】 合情推理与演绎推理的主要区
别是什么？
E
C
D
ห้องสมุดไป่ตู้
AB的中点M到D,
E的距离相等. A M B
[例2] 证明函数f(x)=－x2+2x在(-, 1]
上是增函数.
【思考】 因为所有边长都相等的凸多边形是正多 边形——大前提； 而菱形是所有边长都相等的凸多边形 ——小前提； 所以菱形是正多边形——结论； （1）上面的推理形式正确吗？ （2）推理的结论正确吗？为什么？
演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊 情况下的结论，这种推理称为演绎推理.
“三段论”是演绎推理的一般模式； 包括： (1) 大前提——已知的一般原理； (2) 小前提——所研究的特殊情况； (3) 结论——据一般原理，对特殊情 况做出的判断.
【思考】你能在举出一些用
“三段论”推理的例子吗？
[例1] 如图；在锐角三角形ABC中， ADBC，BEAC， D, E是垂足, 求证
湖南省长郡中学2020-2021学年度第一学期高二数学人教A版选修2-2：3.12复数的几何意义 课
最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利 学习是一次独立的行动，需要探索、琢磨、积极应战、顽强应战，艰辛由你独自承担，胜利由你独立争取。 没有激流就称不上勇进，没有山峰则谈不上攀登。
学习进步！
3、 已知复数z ( x 2) yi( x, y R)的模
为 3，求 y 的最值. x
课堂小结
复数的几何意义及其应用
作业布置
《同步导练》三单元 第2课时
不知道而信口开河是不明智的知道了却闭口不讲是没有尽心竭力。 努力就有成功的希望，不努力希望没有。——王敬花 不要试图交到一个完美的朋友，也不要交到很多朋友。 我们不希望自己是什么天才。没有从天而降的成功，每从跌倒里站起来一次，成功就近了一寸。也没有平白无故的威信。每正确一次，威信就 增加一分。 创造机会的人是勇者。等待机会的人是愚者。 要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃 懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。 自己选择的路，跪着也要把它走完。
o
aபைடு நூலகம்
x
复数的几何意义 复数z=a+bi 一一对应
复平面内的点Z(a,b)
注 复数z=a+bi 一一对应 平面向量OZ
提醒 为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说 成向量OZ,并且规定，相等的向量表示同一个复数
复数的模
向量OZ的模r叫做复数z a bi的模，记作 z 或 a bi . 如果b 0,那么z a bi是一个实数a，它的模等于 a （就是a的绝对值）。由模的定义可知：z a bi r a2 b（2 r 0, 且r R）
坐
标
原点，OZ
2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2：2.1.2 演绎推理 课件
【解题策略】五类代数问题中的三段论 (1)函数类问题:比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等. (2)导数的应用:利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和最值,证明与 函数有关的不等式等. (3)三角函数问题:利用三角函数公式进行三角恒等变换,证明三角恒等式. (4)数列问题:数列的通项公式,前n项和公式的应用,证明等差数列和等比数列. (5)不等式类问题:如不等式恒成立问题,线性规划以及基本不等式的应用问题.
2.三段论
大前提 小前提 结论
一般模式 已知的一般原理 所研究的特殊情况
根据一般原理,对特殊情况做出的判断
常用格式 M是P
S_是___M_
S是P
【思考】 三段论中的推理形式错误有哪些? 提示:只要是两类:一是大小前提中的M不相同,二是小前提不能写成“S是M” 的形式,导致不能满足三段论的逻辑关系.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是 三段论推理,但其结论是错误的. ( ) (2)“三段论”就是演绎推理. ( ) (3)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确. ( ) 提示:(1)√.因为大前提是错误的,所以结论错误. (2)×.三段论是演绎推理的一种重要形式. (3)×.只要大前提或小前提有一个错误,即使符合演绎推理的形式,结论也不正确.
【解题策略】 把演绎推理写成“三段论”的一般方法 (1)用“三段论”写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中大前提提供 了一个一般性原理,小前提提供了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示一般 性原理与特殊情况的内在联系. (2)在寻找大前提时,要保证推理的正确性,可以寻找一个使结论成立的充分条 件作为大前提.
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题含答案
（ ）根据频率分布直方图估计这 位男生身高的中位数；
（ ）用分层抽样的方法在身高为 内抽取一个容量为 的样本，从样本中任意抽取 位男生，求这两位男生身高都在 内的概率．
23.已知数列 的前 项和为 ，且 对任意 都成立.
（Ⅰ）求 值；
（Ⅱ）证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 .
24.已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P 轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且 （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
16.某中学高二年级甲班的学生共有25名女生和35名男生，现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛，则甲班中某女生被抽到的概率是________．
17.已知函数 （ ，且 ）的图像恒过定点 ，则 __________．
C. 有最大值， 有最大值D. 有最小值， 有最小值
二、多项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对得1分）
11.下列关于函数 的说法中正确的是（）
A. 为奇函数
B. 上单调递减
C. 不等式 的解集为
D. 不等式 的解集为
12.如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点，异面直 与 所成角的余弦值为 ，则（）
湖南省长郡中学2020-2021学年度第一学期高二数学人教A版选修2-2：2.2直接证明—综合法和
【引例】
在数学证明中，我们经常从已知条件和某 些数学定义、定理、公理等出发，通过推理推 导出所要的结论。例如：已知a,b>0,求证
a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥4abc.
ห้องสมุดไป่ตู้
【新知探究】
一般地，利用已知条件和某些数学定义、 定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫 做综合法.
PP1
P1P2
…
Pn P
Q Qm
…
Q1Q Q2Q1
【例题3】
已知 , k (k Z ),且
2
sin cos 2sin , (1)
sin cos sin2 ,
(2)
求证
:
1 1
tan2 tan2
1 tan2 2(1 tan2 ) .
【课堂练习3】
ABC的三个内角A, B,C的对应边分别为 a, b, c,且A, B,C成等差数列.
用Q表示要证明的结论, 则分析法可用框图表示为:
QP1
P1P2
P2P3
得到一个
… 明显成立 的条件
【例题2】
求证: 3 7 2 5.
【课堂练习】
1、已知a 0, b 0，求证：(a b)(1 1 ) 4. ab
2、如图：SA 平面ABC， S
AB BC，过A作SB的垂线，
F
垂足为E，过E作SC的垂线， E
垂足为F . 求证AF SC
A
C
B
事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和 分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化 结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转 化条件，得到中间结论 P．若由 P可以推出 Q 成 立，就可以证明结论成立.
湖南省长郡中学2020-2021学年度上学期高二数学人教A版选修2-3 第四节《正态分布》精品课件
探究（一）：正态分布的概念 思考1：观察高尔顿板试验，你有什么发 现？能解释一下产生这种现象的理由吗？
落在中间球槽内的小球多，落在两边球 槽内的小球少；小球落在中间球槽内的 概率比落在两边球槽内的概率大.
湖南省长郡中学2020-2021学年度上学 期高二 数学人 教A版 选修2-3 第二章 第四节 《正态 分布》 课件
数（例如：若取出的数为1、2、3，则有
两组相邻的数1、2和2、3，此时ξ的值
是2），求随机变量ξ的分布列及其数学
期望.
10 21
E 2
3
如何理解这几个数据的实际意义？
2σ
2σ
3σ
正态分布在各σ邻域内取值的概率.
思考4：由P(u－3σ＜X≤u＋3σ)＝0.9974可
知，正态总体有99.74%的取值落在区间
(u－3σ,u＋3σ]内，即在此区间外取值的概
率只有0.0026.通常认为在一次试验中，随机 变量取这个区间外的值几乎不可能发生，或
湖南省长郡中学2020-2021学年度上学 期高二 数学人 教A版 选修2-3 第二章 第四节 《正态 分布》 课件
思考2：观察正态曲线，它有何单调性、 极值和对称性？在理论上如何解释？
y
1
2
x＜u时曲线上升， x＞u时曲线下降.
O
x＝u x
在x 处取得最大值 1 2
关于直线x＝u对称.
湖南省长郡中学2020-2021学年度上学 期高二 数学人 教A版 选修2-3 第二章 第四节 《正态 分布》 课件
直方图特点： 各小矩形的面积等于各组样本数据的频 率，各小矩形的面积之和为1.
定积分的几何意义： 表示曲边梯形的面积.
4.现实世界中有许多随机现象，并呈现 出一定的规律性，如在模块结业考试中， 80分左右的人数最多，90分以上和60分 左右的人数比较少；在长沙市18岁的所 有男人中，1.7m左右的人数比较多， 1.8m以上和1.5m左右的人数比较少等， 这些随机现象的规律性可用正态分布进 行拟合，对此，我们作些简单的探究.
人教版湖南省长郡中学2020-2021学年上学期高二数学《轨迹方程的求法》(共14张PPT)教育课件
1、椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（大于| F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫 做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
|P 1 | F |P 2 | F 2 a ( 2 a |F 1 F 2 |)
2、椭圆的标准方程
y
P
y M F2
F1 O
F2 x
的 周1长 .求 6 等 顶 A 的 于 点 轨.迹 方 程
二、新知探究
3、利用定义法求动点的轨迹方程.
例3
（2） 一 动 圆C1与 :x2圆 y2 6x50外 切 ,同 时 与 圆 C2 :x2 y2 6x910内 切 ,求 动 圆 圆 心 的 轨 方程 ,并说明它是什 . 么曲线
二、新知探究
O
x
F1
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
y2 x2 a2 b2 1(ab0)
F 1( c,0 )F 2(c,0 )
F 1(0 , c)F 2(0 ,c)
c2 a2b2
【练习1】已知ABC的顶点B,C在椭圆x2 y2 1
3 上,顶点A是椭圆的一个焦 ,且点椭圆的另一个焦点 在边BC上,则ABC的周长是 ( )
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
2020-2021学年高二人教A版数学选修2-2第二章推理与证明双基训练卷
2020-2021学年选修2-2第二章双基训练卷推理与证明（B ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ ）A ．①综合法，②反证法B ．①分析法，②反证法C ．①综合法，②分析法D ．①分析法，②综合法2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60︒”时，假设正确的是（ ）A ．假设三内角都不大于60︒B ．假设三内角都大于60︒C ．假设三内角至少有一个大于60︒D ．假设三内角至多有两个大于60︒3．下面几种推理中是演绎推理的是（ ）A ．因为2x y =是指数函数，所以函数2x y =的图象经过定点()0,1B ．猜想数列112⨯，123⨯，134⨯，的通项公式为()()11n a n n n =∈+*NC ．由圆222x y r +=的面积为2πr 猜想出椭圆22221x y a b +=的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+=-，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r +-+-=- 4．下面几种推理是合情推理的是（ ） ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是2180()n ⋅-︒． A ．①② B ．①③ C ．①②④ D ．②④ 5．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（ ） A ．()()()21232n n n n n ++++++-= B ．()()()21231n n n n n ++++++-= C ．()()()()2123221n n n n n ++++++-=- D ．()()()()2123121n n n n n ++++++-=- 6．三角形的面积为1()2S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc =此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号B ．13V Sh =C ．1()3V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高）D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）7．观察如图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．设,,0x y z >，14a x y =+，14b y z =+，14c z x =+，则,,a b c 三个数（ ）A ．都小于4B ．至少有一个不大于4C ．都大于4D ．至少有一个不小于49．在进行123100++++的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列24034n na m =+，则122016...m a a a ++++=（ ）A ．5042m+ B ．5044m+C ．504m +D ．2504m +10．用数学归纳法证明不等式11111123422n n-++++>-(*,2n n ∈≥N )时，以下说法正确的是（ ）A ．第一步应该验证当1n =时不等式成立B ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是12kC ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加2k 项D ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k --+++++ 11．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a b c >>，且0a b c ++=，求证23b ac a -<”索的因应是（ ） A ．0a b -> B ．0a c -> C ．()>0)(a b a c -- D ．()<0)(a b a c -- 12．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…．记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则57S =（ ） A ．265 B ．521 C ．1034 D ．2059 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．在数列{}n a 中，已知11a =，22a =．若()1223,n n n a a a n n *--=-≥∈N ，则3a =______，4a =______，5a =______，进而猜想n a =______． 14．某个命题与自然数n 有关若()*n k k =∈N 时该命题成立，则可推得当1n k =+时该命题也成立，若5n =时该命题不成立，则可推得当n =_____时，该命题不成立．15．①用数学归纳法证明不等式*111232,112n n n n ++++<-≥∈N （）的过程中，由n k =到1n k =+，不等式的左边增加了21k -项；②一段演绎推理的“三段论”是这样的：对于可导函数()f x ，如果()00f x '=，那0x x =为函数()f x 的极值点，因为()3f x x =满足()00f '=，所以0x =是函数()3f x x =的极值点，此三段论的结论错误是因为大前提错误；③在直角ABC △中，若90C ∠=︒，AC b =，BC a =，则ABC △外接圆半径为222a b r +=．运用此类比推理，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为a ，b ，c ，则该三棱锥外接球的半径为222a b c R ++=．以上三个命题不正确的是________．16．用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，(9)9g =，10的因数有1，2，5，10，(10)5g =，那么(1)(2)(3)g g g +++2015(21)g +-=__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设a 、b +∈R ，1a b +=．（1）用分析法证明：1144ab ab +≥；（2）探索猜想，并将结果填写在括号内：22221a b a b +≥（ ），33331a b a b +≥（ ）；（3）由（1）、（2）归纳出更一般的结论（不必证明）．18．（12分）设有数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…．（1）问10是该数列的第几项到第几项？ （2）求第100项； （3）求前100项的和．19．（12分）已知x ∈R ，21a x =-，22b x =+．（1）求a b +的取值范围；（2）用反证法证明：a ，b 中至少有一个大于等于0．20．（12分）当*n ∈N 时，试用数学归纳法证明3231()122f n n n n =++-一定是整数．21．（12分）编辑一个运算程序：1@12=，@m n q =，@(1)2m n q +=+．（1）设1@n a n =，求234,,a a a ； （2）由（1）猜想n a 的通项公式； （3）用数学归纳法证明你的猜想．22．（12分）如图所示，在ABC △中，cos cos a b C c B =⋅+⋅，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，在四面体PABC 中，1S ，2S ，3S ，S 分别表示PAB △，PBC △，PCA ，ABC △的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论．推理与证明（B ）答 案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故选C ．2．【答案】B【解析】题设条件为至少有一个角不大于60︒，所以与之相反的条件为没有任何一个角不大于60︒，即三角形的内角均大于60︒， 故选B ．3．【答案】A【解析】选项B 为归纳推理，选项C 和选项D 为类比推理，选项A 为演绎推理． 故选A ．4．【答案】C【解析】①是类比推理；②④是归纳推理；∴①②④都是合情推理，故答案为C ．5．【答案】C【解析】211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，⋯，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有21n -项，且第一项为n ，则最后一项为32n -，右边均为21n -的平方，故选C ．6．【答案】D【解析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴()123413S S V S S r +++=， 故选D ． 7．【答案】C 【解析】观察前两行与前两列都是两个黑的和一个空心的图形，且图形各不一样， 则第三行或第三列也应具备这个特性， 即可知空格内应填“”，故选C ． 8．【答案】D 【解析】假设三个数144x y +<且144y z +<且144z x +<， 相加得11144412x y z x y z +++++<， 由基本不等式得144x x +≥；144y y +≥；144z z +≥； 相加得11144412x y z x y z +++++≥，与假设矛盾； 所以假设不成立， 三个数14x y +、14y z +、14z x +至少有一个不小于4， 故选D ． 9．【答案】B 【解析】依题意，记122016m S a a a +=+++， 则122015201624034240342403424034m m S m m m m ++=++++++++， 又201620152124034240342403424034m m S m m m m ++=++++++++，两式相加可得201720172017201720162240342403424034240342m m m mm S m m m m +++++=++++=++++， 则201650444m mS +==+，故选B ．10．【答案】D【解析】第一步应该验证当2n =时不等式成立，所以A 不正确；因为11111111111111()2342234221222k k k k k ---++++-++++=++++， 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k --+++++，所以B 不正确；所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加12k-项，所以C 不正确；故选D ．11．【答案】C【解析】由a b c >>，且0a b c ++=，得b a c =--，0a >，0c <． <，只要证22()3a c ac a ---<，即证2220a ac a c -+->，即证()()()0a a c a c a c -++->，即证()()0a a c b a c --->，即证()()0a c a b -->，故求证<”索的因应是()()0a c a b -->，故选C ．12．【答案】C【解析】将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，⋯．分组为（1），(1,1)，(1,2,1)，(1,3,3,1)，(1,4,6,4,1)，⋯，则第n 组n 个数且第n 组n 个数之和为12n -，设57a 在第n 组中，则(1)(1)5722n n n n-+≤≤，解得11n =，即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，即为110C ， 则01901571010222(C C )1034S =+++++=，故选C ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】3，4，5，n 【解析】由题意可得32122213a a a =-=⨯-=，43222324a a a =-=⨯-=，54322435a a a =-=⨯-=， 据此可猜想n a n =． 故答案为3，4，5，n ． 14．【答案】4 【解析】如果当()n k k =∈N 时该命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立，其逆否命题为：当1n k =+时该命题不成立，则当()n k k =∈N 时该命题也不成立． 所以，当5n =时该命题不成立，可推4n =时该命题也不成立，故答案为4． 15．【答案】①③ 【解析】对于①，当n ＝k 时，不等式左边为121121k +++-， 当n ＝k +1时，不等式左边为1111+21221112k k k ++++-+-+， 可得增加了121212k k k +-+=-项，故①错误； 对于②，如果()00f x '=，则0x x =不一定函数()f x 的极值点，若()f x 在0x x =处附近导数同号，就不是极值点，故②正确； 对于③，可将三棱锥补为以互相垂直的三条侧棱为边的长方体，可得长方体的对角线为外接球的直径，可得该三棱锥外接球的半径为R =，故③错误，故答案为①③．16．【答案】2015413-【解析】由题意得(),()g n n n =为奇数，()(),()2ng n g n =为偶数，所以20152015201521(1)(2)(3)(4)(22)(21)S g g g g g g -=+++++-+- 20142015(1)(1)(3)(2)(21)(21)g g g g g g =+++++-+-20142015(1)(2)(3)(21)13(21)g g g g =++++-++++-201420142013201420152014201320142121212(121)4442S S S ---+-=+=+=++120151201320141201320142114444144414S --==++++=++++=- 2015413-=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）证明见解析；（2）11616，16464；（3）1144n n n n n n a b a b +≥+．【解析】（1）()()221144174041404ab a b ab ab ab ab +≥⇔-+≥⇔--≥，(22124a b ab ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，41ab ∴≤，知144ab ≤<，()()4140ab ab ∴--≥成立，1144ab ab +≥．（2）猜想当12a b ==时，不等式的括号内分别填11616和16464． （3）由此得到更一般性的结论：1144n n n n n n a b a b +≥+． 18．【答案】（1）该数列的第46项到第55项；（2）14；（3）945． 【解析】将已知数列分组：第一组一个“1”；第二组两个“2”；第三组三个“3”； 第四组四个“4”；…． （1）易知“10”皆出现在第十组，由于前九组中共有12945+++= (项)， 因此10是该数列的第46项到第55项． （2）由于12100n +++<，即使()11002n n +<成立的最大自然数为13， 又()131311213912⨯++++==，因此第100项为14． （3）由（2）知，前100项的和为10011221313914945S ⨯+⨯++⨯+⨯==．19．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）2221222110a b x x x x x +=-++=++=+≥（）． （2）证明：假设a b ，中没有一个不小于0，即00a b <<，，所以 0a b +<． 又2221222110a b x x x x x +=-++=++=+≥（），这与假设所得结论矛盾， 故假设不成立， 所以，a ，b 中至少有一个大于等于0． 20．【答案】证明见解析． 【解析】当1n =时，31(1)11222f =++-=是整数， 假设当,,0n k k k =∈>Z 时，3231()122f k k k k =++-是整数， 则当1n k =+时，3231(1)(1)(1)(1)122f k k k k +=+++++- 32223113(1)()3(1)22k k k k f k k =++-++=++，显然也是整数，所以当*n ∈N 时，3231()122f n n n n =++-一定是整数．21．【答案】（1）24a =，36a =，48a =；（2）*2,()n a n n =∈N ；（3）见解析．【解析】（1）11@12a ==，令1,1m n ==，则2q =，由@m n q =，()@12m n q +=+，得21@2224a ==+=，再令1,2m n ==，则4q =，得31@3426a ==+=，再令1,3m n ==，则6q =，得41@4628a ==+=，24a ∴=，36a =，48a =．（2）由（1）猜想：()*2,n a n n =∈N ，（3）证明：①当1n =时，11@12a ==，另一方面，1212a =⨯=， 所以当1n =时等式成立．②假设当n k =时，等式成立，即1@2k a k k ==，此时2q k =，那么，当1n k =+时，()()11@12221k a k k k +=+=+=+，所以当1n k =+时等式也成立．由①②知，等式对*n ∈N 都成立．22．【答案】在四面体中的结论为123cos cos cos S S S S αβγ=⋅+⋅+⋅，证明见解析．【解析】类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为123cos cos cos S S S S αβγ=⋅+⋅+⋅．证明：如图，设P 点在底面的射影为O 点，过O 点作OH AB ⊥，交AB 于H ， 连接PH ，OA ，OB ，PHO ∠就是平面PAB 与底面ABC 所成的二面角，则PHO α∠=， 12AOB S AB OH =⨯⨯△，12PAB S AB PH =⨯⨯△，1cos cos AOB S OH PHO PH S α=∠==△， ∴1cos AOB S S α=△，同理2cos COB S S β=△，3cos AOC S S γ=， 又AOB COB AOC S S S S =++△△△， ∴123cos cos cos S S S S αβγ=⋅+⋅+⋅．。
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F
垂足为E，过E作SC的垂线， E
垂足为F . 求证AF SC
A
C
B
事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和 分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化 结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转 化条件，得到中间结论 P．若由 P可以推出 Q 成 立，就可以证明结论成立.
用P表示已知条件、定义、定理、公理等, 用Q 表示要证明的结论, 则上述工程可用框图表示为:
PP1
P1P2
…
Pn P
例题3】
已知 , k (k Z ),且
2
sin cos 2sin , (1)
sin cos sin2 ,
(2)
求证
:
1 1
tan2 tan2
1 tan2 2(1 tan2 ) .
【课堂练习3】
ABC的三个内角A, B,C的对应边分别为 a, b, c,且A, B,C成等差数列.
新知探究
证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反 推回去，寻求保证Q成立的条件，即使Q成立的充分条 件P1。为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2； 为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3……直 到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、 公理等）为止。
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使 它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定 理、定义、公理等）。这种证明的方法叫做分析 法（analytical method）。
求证： c a 1. ab bc
作业布置 《同步导练》二单元第4课时
每个人都会有自己的特长。一个人做某些事会比 其他事做的更好。但许多人从未找到最适合自己 的事情，其根本原因往往是他们没有进行足够的 思考。如果你对一切都随遇而安，那总是会有一 天你会后悔莫及的。心，只有一颗，不要装的太 多。人，只有一生，不要追逐的太累。心灵的愉 悦，来自精神的富有；简单的快乐，来自心态的 知足。家，很平淡，只要每天都能看见亲人的笑 脸，就是幸福的展现。爱，很简单，只要每天都 会彼此挂念，就是踏实的温暖。幸福并不缥缈， 在于心的感受。爱并不遥远，在于两心知的默契
直接证明—综合法和分析法
【引例】
在数学证明中，我们经常从已知条件和某 些数学定义、定理、公理等出发，通过推理推 导出所要的结论。例如：已知a,b>0,求证
a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥4abc.
【新知探究】
一般地，利用已知条件和某些数学定义、 定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫 做综合法.
用Q表示要证明的结论, 则分析法可用框图表示为:
QP1
P1P2
P2P3
得到一个
… 明显成立 的条件
【例题2】
求证: 3 7 2 5.
【课堂练习】
1、已知a 0, b 0，求证：(a b)(1 1 ) 4. ab
2、如图：SA 平面ABC， S
AB BC，过A作SB的垂线，
用P表示已知条件、已有的定义、定理、公 理等，Q表示所要证明的结论.则综合法可用框图 表示为:
PQ1 Q1Q2 Q2Q3 … QnQ
【例题1】
在AB中 C ，三个 A， 内 B，C 角 的对边分别 为a，b，c，且 A，B，C成等差数 a,b,列 c成， 等 比数列，求 AB证 为 C： 等边三 . 角形