华科数理统计作业答案

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数理统计课后习题答案

数理统计课后习题解答应用数理统计第一章1.1 解：已知总体2(,)X N μσ ，则2(,)X N nσμ ，2(0,)X N nσμ-{1}0.95P X P μ-<=<=(0,1)N ,从而上式P=()σΦ查标准正态分布表得(1.96)0.975Φ=， n 最小要取221.96σ1.2 解：(1) 单个元件寿命长于800小时的概率为{800}1{800}i i P X P X >=-≤=0.001580010.0015e -⨯-⨯=0.9995∴ 该事件的概率为60.9995(2) 单个元件寿命短于3000小时的概率为{3000}i P X ≤=0.001530000.0015e -⨯⨯=40.166610-⨯∴ 该事件的概率为100.166610-⨯1.3 解：(1) X 1,X 2,X 3的联合概率函数为123331231123(,,)()!!!x x xs i i p x x x p x e x x x λλ++-===∏(2) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为1233()1231(,,)()x x x s i i f x x x f x e λλ-++===∏(3) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为当i a x b ≤≤时，3123311(,,)()()s i i f x x x f x b a ===-∏当i x 取其他值时，31231(,,)()0s ii f x x x f x ===∏(4) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为222123313[()()()]221231(,,)()(2)x x x s i i f x x x f x eμμμπ---+-+-===∏1.4 解：1,...,n X X 的联合概率密度为当0x <<∞时，2211(ln )2221111(,...,)()(2)ni i n nx s n ini ii f x x f x exμσπσ=---==∑==∏∏当x 为其他值时，1(,...,)0s n f x x =1.5 证明：原式＝21[()()]nii XX X a =-+-∑＝22111()2()()()nnnii i i i XX X a X X X a ===-+--+-∑∑∑∵1()nii XX =-∑＝0∴ 原式＝2211()()nnii i XX X a ==-+-∑∑＝221()ni nS X a =+-∑ ∴ 当a ＝X 时，21()nii Xa =-∑有最小值且其值等于2nS 。

华中科技大学数理统计第二次作业

学院：机械工程学院1、收集到 26 家保险公司人员构成的数据，现希望对目前保险公司从业人员受高等教育的程度和年轻化的程度进行推断，具体来说就是推断具有高等教育水平的员工平均比例是否低于 80%，35 岁以下的年轻人的平均比例是否为 0.5。

（数据见练习 2 数据.xls—练习 2.1）解：希望通过分析这26家保险公司人员构成的数据，研究目前保险公司从业人员受高等教育的程度和年轻化的程度。

（1）推断高等教育水平的员工平均比例是否低于80%设原假设：保险公司具有高等教育水平的员工比例平均值不低于0.8，即H 0: μ=μ0≥0.8 备择假设：H 1：μ<0.8n=26，属于小样本，由于σ2未知，选用t 检验，检验统计量 T =计算的 x =0.729273 ，s 2=0.039274 X -μ0S/，取α=0.05拒绝域： x -μ0 S / ≤ -t ∂ (n -1), t == -1.784查t 检验分布表知临界值t α(26-1)=-1.7081显然，t=-1.784<- t α(25) =-1.7081,因此在α=0.05 的水平上拒绝原假设，选择备择假设结论：保险公司具有高等教育水平的员工比例平均值低于0.8 （2）推断35 岁以下的年轻人的平均比例是否为0.5设原假设：年轻人比例的平均值与0.5 无显著性差异，即H 0: μ=μ0=0.5 备择假设H 1： μ≠0.5.n=26，属于小样本，由于σ2未知，选用t 检验，检验统计量 T =计算的 x =0.713875 ，s 2=0.022705X -μ0 S /，取α=0.05拒绝域： | x - μ0 | S / ≥ t ∂/2 (n -1), t == 7.097查表知α=0.05 的双尾t 检验临界值t α/2（25）=2.0595。

故超出[-2.0595,2.0595]的值均在拒绝域内由于t=7.097不在拒绝域[-2.0595,2.0595]范围内，因此在α=0.05 的水平上拒绝原假设，选择备择假设结论：保险公司 35 岁以下年轻人比例平均值不等于 0.52、练习 1 中保险公司的类别分为：1. 全国性公司；2. 区域性公司；3. 外资和中外合资公司。

数理统计习题答案-2

数理统计习题答案习题5.1解答1. 设总体服从()λP 分布，试写出样本的联合分布律. n X X X ,,,12 解:()的分布律为：即X P X ~,λ ()!k e P X k k λλ-==, 0,1,2,,,n k =n X X X ,,,12 的联合分布律为：()n n P X x X x X x ===,,,1122 = ()()()n n P X x P X x P X x === 1122=nx x x x e x e x e nλλλλλλ---⋅2121=λλn n x x xe x x x n-+++!!!1212, n i n x i 0,1,2,,,1,2,, ==2. 设总体X 服从()0,1N 分布，试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：，即()~0,1X N X 分布密度为：()2221x p x e -=π，+∞<<-∞xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x x x p x p112*(),,...=22222221212121n x x x eee --⋅-πππ=()}212exp{122∑=--n i i x n π x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-. 3. 设总体X 服从()2,μσN 分布,试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：()2~,μσX N ，即X 分布密度为：()p x =()}2exp{2122σμπσ--x ，∞<<∞-xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x xx p x p 112*,,...)(=)()}21exp{121222∑-⋅⋅-=-ni i n n x μσπσ, x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-.4. 根据样本观测值的频率分布直方图可以对总体作什么估计与推断? 解：频率分布直方图反映了样本观测值落在各个区间长度相同的区间的频率大小，可以估计X 取值的位置与集中程度，由于每个小区间的面积就是频率，所以可以估计或推断X 的分布密度. 5. 略. 6. 略.习题5.2解答1. 观测5头基础母羊的体重(单位：kg)分别为53.2,51.3,54.5,47.8,50.9，试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设53.2,51.3,54.5,47.8,50.954321=====x x x x x()257.7151=∑=i ix，()51.54251==∑=i ix x(3) ss =()2512512xx xnx i ii i-=-∑∑===13307.84－5×51.542=25.982(4)=2s ()∑=-51251i i x x =51ss =5.1964, (5)s =2.28; (6) =s s *ss n 11-=6.4955(7)=2.5486; (8)*s cv =100⨯*xs =4.945;(9)每个数都是一个,故没有众数.(10)中位数为=51.3; (11)极差为54.5－47.8=6.7;(12)0.75分位数为53.2. 3x2. 观测100支金冠苹果枝条的生长量(单位：cm)得到频数表如下：组下限 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 组上限 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 组中值 22 27 32 37 42 47 52 57 62频数 8 11 13 18 18 15 10 4 3试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设组中值依次为,频数依次为,129,,,x x x 129,,,n n n +=++=912n n n n 100,()=∑=911i i in x 3950;()=+=∑=911912i i in xn n x 39.5;()()-=-==∑∑==29129123ss n x x n xnx i i ii i i 210039.5166300-⨯=10275;()==s ss 100142102.75; ()=s 510.137;()=-=*ss n s 1162103.788 ()=*s 710.188;()=⨯=*1008xs cv 25.79;()93742或众数是()50,210=n ;中位数为39.523742=+;()11极差为:62-22=40;()4783,0.7568,12612512分位数为+++=+++=∴n n n n n n .3.略.4. 设是一组实数，a 和是任意非零实数，n x x x ,,,12 b bx ay i i -=(i n 1,, =)，x 、y 分别为、的均值， =i x i y 2xs ∑-iixn(x 2)1，=2ys 1n(y y i i-)∑2，试证明：① b x a y -=；② 222b s s x y =. 解①：∑∑==-==ni i ni i b x a ny ny 1111= ()∑=-ni i x a bn11= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i x na nb 11= b x a -;②=2y s 1n∑-ii y y 2()=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---ni i b x a b x a n121=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ni i b x x n 121=221x s b .1.求分位数（1），（2）()820.05x ()1220.95x 。

高等工程数学华科(数理统计)

Ch1 数理统计的基本概念1.1数理统计的基本问题1.1.1数理统计的任务例 1 实验：随机在一大批产品中抽取产品进行检验。

（1）一旦查出废品即停止试验，认为该批产品不合格；（2）若到第件还未查出废品也停止试验，认为该批产品合格。

设为检查件数，则z 的概率分布为⎪⎩⎪⎨⎧=--=-==--0101,)1(1,,2,1,)1()(0n k p n k p p k z P n k若p 已知，可解决概率问题：∑-=---+-=1110100)1()1()(n x n k p n p p k z E pp p n p n x p n n p x n x k 1010111000)1]()1(1[1)1()(---=-=--+-=-+'=∑（2）若未知，则需解决统计问题：有实验结果推断出：(Ⅰ)估计kp 1= ；(Ⅱ)检验p ≤p 0;(Ⅲ)设计n 0=？数理统计的基本思想：从全体研究对数中抽取一部分实验，由实验结果推断全体的数理规律。

1.1.2总体与样本总体研究对象（数量指标）的全体（统计规律）。

z 或其分布F(x) 样本独立同分布的个随机变量X 1, X 2,…, X n ，记X 1, X 2,…, X n iid~ F (x ) 样本观察值x 1,…x n ~样本的一次实现（n 个实数） 1.1.3经验分布与直方图（非高数统计）经验分布函数F n (x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-=≤≤<+)()1()()1(,11,,2,,,0n k k x x n k x x x n k x x其中 x 1,…,x n ,→-∞=x (1)≤…≤x (n)<x (n+1)=∞ 格列文科定理，1}0)()(sup lim {==-∞→x f x F P xn直方图 a=a 0<a 1<...<a m=b)2(x )(n x )1(-n x )1(x频率f j =n j /n~x 1,...,x n 中溶入[a j-1,a j ]的比例作(a j -a j-1)*f j /(a j -a j-1)的矩形大数定律 1)(l i m=<-∞→εj j n p f P ,其中p j =P(a j-1<z ≤a j )1.1.4 统计量统计量T=g(X 1, X 2,…, X n )~样本的（可测）函数，与总体未知函数无关如i i n n i i z z z z n min ,,1112-∑=是统计量，但∑=-ni i z 122)(σμ不是样本均值∑==ni i z n z 11 →Ez =μ样本方差∑---=n i i z z n S 122)(11 →Dz =2σ 样本阶原点矩)(,111z M z n M n i ki k ==∑= →k k Ez =μ样本阶中心矩)1~V (,)(12221S nn S z z n V n i k i k -==-=∑= →k k z E v )(μ-=次序统计量 z (1)≤z (2)≤…≤z (n)中位数 ⎪⎩⎪⎨⎧=++≤++m n z z m n z z m m m 2),(2112,~)1()()1(极差 R=X (n )-X (1)1.2 抽样分布1.2.1 几个重要的统计分布(1)正态分布),(2σμN ,X ~ ),(2σμN σμ-⇒X ～)1,0(N (2)2χ分布～22221nX X X Y +++= ～)(2n χ 其中X 1, X 2, …, X n ~ N(0,1) 数字特征：n EX EY ni i ==∑=1，n DX DY ni i 21==∑=可加性：Y 1 ~χ 2(n 1)与Y 2 ~χ 2(n 2) 相互独立⇒ Y 1+ Y 2 ~χ 2(n 1+n 2)a a j-1 a j b上侧分位点)(2n αχ：αχα=>))((2n y P)(2n x α(3)t 分布～nY X～)(n t其中X ~)1,0(N 与 Y ~)(2n χ独立对称性：)()(t T P t T P ≥=<⇒0=ET渐进正态性：)1,0(N T F−→−：2221)()(lim t T n et t f -∞→==πϕ上侧分位点)(n t α：αα=>))((n t T P ()()(1n t n t αα-=-))(n t α(4)F 分布～2211n Y n Y F =～),(21n n F其中Y 1 ~χ 2(n 1)与Y 2 ~χ 2(n 2)独立上侧分位点),(21n n F α：αα=>)),((21n n F F Pαα),(21n n F α 例2 证明：),(1)(122,11n n F n n F αα=-证明：由F 分布定义知若F ～),(21n n F ，则=F1),(12n n F=>-)),((211n n F F P α=<-),(11(211n n F FP α1-=>-),(11(211n n F FP α1-α即=>-),(11(211n n F FP αα 故),(1)(122,11n n F n n F αα=-1.2.2 抽样定理定理设X 1, X 2, …, X n ~),(2σμN ,则(1)X ～),(2n N σμ；(2)221S n σ-～)1(2-n χ；(3) X 与2S 独立证明：(1)由正态分布的线性性质n X nX n X 111 +=～),(X D X E Nμ==∑=n i i EX n X E 11，n DX n X D ni i 211σ==∑=(2)221S n σ-= ∑=-ni i XX 12)(σ,而σXX i -～?),0(N且∑=-ni i XX 1σ=)(11X n X ni i -∑=σ=0 故自由度为n -1(3)由于中心化X X i -过虑了μ 的信息，而X 则集中了μ 的信息推论1 n S X T μ-=～)1(-n t 01nX 2σμ-～)1,0(N ，02 221S n σ-～)1(2-n χ，03 01与02独立∴11)(222---=n S n nX T σσμ～)1(-n tα推论2 设X 1, X 2, …, X n ~),(21σμN ，Y 1, Y 2, …, Y n ~),(22σμN则212122221121112)1()1()()(n n n n Sn S n Y X +-+-+----μμ～)2(21-+n n t推论3设X 1, X 2, …, X n ~),(21σμN ，Y 1, Y 2, …, Y n ~),(222σμN则22222121σσSS ～)1,1(21--n n FCh2 参数估计2.1 基本概念2.1.1 问题的提法引例.已知（由机制或经验）某交通路口等待通行的车辆数)P(~λz ，为计算“堵车”的概率λλ-∞=∑=≥e k n z P n k k !)(。

数理统计教程课后重要答案习题

第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N(),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20.(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和 ()()()()∑∑∑===----=ni i ni ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E ()()=-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n 212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章：估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量. 解: ()322adx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i i x ∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα，得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。

数理统计课后题答案完整版

第一章3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11nii x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211n x i i s x xn ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c y n c y y n====+--=-=-∑∑∑又因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑所以 222xys c s = 成立 6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=- 2710yx=+= ()2211lyi i i s m y yn ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s == 7解：*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11li i i s m x xn ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--==== 9解：121211121211n n i j i j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n i ji j x xn n x x n x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n sn n n n +-++++-=+++-+=+++12. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX D x Dx n nn n λλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a b Ex += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中()1,1i x U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni ii i E X E x Ex n n DX D x Dx n nn ==========∑∑∑∑14.解：因为()2,iXN μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以 ()0,1i X N μσ- 1,2,,in =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nniii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为()0,1iX N1,2,,i n =⋅⋅⋅()1230,3X X X N ++0=1=所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解：（1）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x dx σχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200ny n nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311n i Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩ （4）因为()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 故()242000yY y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()Xt n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ 使X = ()221Uχ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑所以()1nniX Yt m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为()2Xn χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P ≤=≤22lim t n P dt -→∞-∞≤==Φ 故 {}PX c ≤≈Φ第二章 1.,0()0,0()()1()111x x x x xe xf x x E x f x xdx xe dxxe e d x e xλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1x λ∧= 2.()111121).()(1)(1)1111k k x x E x k p p p k p ppp ∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p ＝X所以有1p X ∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)ni i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np X X∧===∑３．解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=⎪⎨⎪=⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b 2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0nni i i nii in i i L x x i nL n x d L nx d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。

数理统计课后题标准答案

（2）n=64时，求 P{ x 40 1}
解：
x:
52 N (40, )
64
P{ x 40 1} P{ x 40 1 } p{U 8}
5/8 5/8
5
2(8) 1 0.8904 5
第二章
参数估计
1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度
为
ex , x 0
f(x)=
0, x 0
解：E＾1
E(2 3
x1
1 3
x2 )
2 3
Ex1
1 3
Ex2
2 3
1 3
同理：＾2和＾3都是的无偏估计。
D＾1
( 2 )2 3
(1)2 3
5 9
,
D＾2
(1)2 4
( 3)2 4
5 8
,
D＾3
(1)2 2
(1)2 2
1 2
＾3 方差最小为有效
对形如＾
n
xi xi ,且
xi
1时,
E
,以
e(x ) , x
f(x)=
0, x 0
试求的最大似然估计。
解：
e(x ) , x
X : f (x)
0, x 0
似然函数 n
n
L
f (xi ) e(xi )
i1
ln L ( xi
为了使L达到最大i，尽可能大，而＾
i
i 1
n
),
d
xi n
ln L 0无解
d0，尽可能小，
2
12
用
得
X
X和@aS22b分别估计EX＾a和 XDX
3S
S 2 @(b a)2

华科数理统计作业答案练习2

1. 收集到26家保险公司人员构成的数据，现希望对目前保险公司从业人员受高等教育的程度和年轻化的程度进行推断，具体来说就是推断具有高等教育水平的员工平均比例是否低于80%，35岁以下的年轻人的平均比例是否为0.5。

（数据见练习2数据.xls—练习2.1）解：（1）推断具有高等教育水平（大专及以上）的员工平均比例是否低于80%。

处理数据，结果如下设具有高等教育水平员工的平均比例为μ且服从正态分布。

原假设H 0：保险公司具有高等教育水平（大专及以上）的员工比例平均值不低于0.8，即 H 0 ：8.0≥μ备择假设：H 1：8.0<μ样本平均比例为 0.729273x = ，样本标准差198178.0=s 采用t 检验()()0.050.952525 1.7081t t =-=--1.8198=26/198178.08.0729273.0/s -x T =-==n μ，落在拒绝域内，拒绝原假设。

结论：没有足够的证据表明具有高等教育水平（大专及以上）的员工平均比例高于80%。

（2）35岁以下的年轻人的平均比例是否为0.5 处理数据，结果如下：设35岁以下的年轻人的平均比例μ服从正态分布。

原假设H 0：年轻人比例的平均值与0.5无显著性差异，即H 0：5.0=μ 备择假设H 1： 5.0≠μ样本平均比例为 0.713875x = ，标准差s =0.150683 采用双尾t 检验：t 0.25=2.0595T =x̅−μs √n =0.713875−0.50.150683√26=7.2374落在拒绝域内，拒绝原假设。

结论：没有足够的证据表明35岁以下的年轻人的平均比例为0.5。

2. 练习1中保险公司的类别分为：1. 全国性公司；2. 区域性公司；3. 外资和中外合资公司。

试分析公司类别1与3的人员构成中，具有高等教育水平的员工比例的均值是否存在显著性的差异。

（数据见练习2数据.xls—练习2.1）解：分别设1类、3类公司具有高等教育水平员工比例为12,μμ 处理数据，结果如下设具有高等教育水平员工比例12μμ、服从正态分布。

数理统计课后答案-第二章

证
（1） X n +1 =
= (1 −
（2）
1 1 1 )X n + X n +1 = X n + ( X n +1 − X n ) ； n +1 n +1 n +1 1 n +1 2 1 n +1 2 2 ( X − X ) = Xi − Xn ∑ ∑ +1 i n +1 n + 1 i =1 n + 1 i =1
1
（1）求样本均值 X ，修正样本方差 S * ，修正样本标准差 S * ，样本方差 S 和样本标准差 S 的观测值；（2）求样本极差 R 和样本中位数 med( X 1 , L , X n ) 的观测值。解（1）用计算器的统计功能可以求得 X = 2.125 ， S * = 0.017127 ， S * = 0.00029333 ，
2
1 n 1 X i − na ∑ n n X − a n i =1 1 X −a 1 n = = 解（1） Y = ∑ Yi = ∑ i ； n i =1 b b n i =1 b
（2） S y =
2
1 n 1 n Xi − a X − a 2 1 2 ( Y − Y ) = ( − ) = 2 ∑ ∑ i n i =1 b b n i =1 nb
2
( X1 + X 2 )2 ( X 3 + X 4 + X 5 )2 ⎛ X1 + X 2 ⎞ ⎛ X 3 + X 4 + X 5 ⎞ 2 ～ χ ( 2) 。 =⎜ ⎟ + ⎟ +⎜ ⎜ ⎟ 2 3 2 ⎠ ⎝ 3 ⎝ ⎠
可见，只有当 a = 布，其自由度为 2。（2）因为 X 1 ～ N (0 ,1) ， X 2 ～ N (0 ,1) ， X 1 , X 2 相互独立，所以由 χ 分布的定义可知

数理统计试题及答案[5篇范文]

数理统计试题及答案[5篇范文]第一篇：数理统计试题及答案数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差________；2、设为取自总体的一个样本，若已知,则=________；3、设总体，若和均未知，为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________；4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于检验的拒绝域为2≤，则相应的备择假设为________；5、设总体，已知，在显著性水平0.05下，检验假设,，拒绝域是________。

1、；2、0.01；3、；4、；5、。

二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。

（A）（B）（C）（D）2、设为取自总体的样本，为样本均值，则服从自由度为的分布的统计量为（）。

（A）（B）（C）（D）3、设是来自总体的样本，存在，, 则（）。

（A）是的矩估计（B）是的极大似然估计（C）是的无偏估计和相合估计（D）作为的估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为，在显著性水平下，检验的拒绝域为（）。

（A）（B）（C）（D）5、设总体，已知，未知，是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平时，检验假设的结果是（）。

（A）不能确定（B）接受（C）拒绝（D）条件不足无法检验 1、B；2、D；3、C；4、A；5、B.三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为：，其中未知参数，是来自的样本，求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。

解：(1)，令，得为参数的矩估计量。

(2)似然函数为：，而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。

四、（本题14分）设总体，且是样本观察值，样本方差，（1）求的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知，求的置信水平为0.95的置信区间；（，）。

数理统计第二章课后习题答案

第二章参数估计2.2 对容量为n 的子样，对密度函数其22(),0(;)0,0x x f x x x ααααα⎧-⎪=⎨⎪≤≥⎩ 中参数α的矩法估计。

解：1202()()a E x x x dx ααα==-⎰22022()x x dx ααα=-⎰2321221333ααααααα=-=-= 所以 133a x α∧== 其中121,21(),,,n n x x x x x x x n =+++ 为n 个样本的观察值。

2.6 设总体X 的密度函数为12(;),,,,n f x X X X θ 为其样本，求下列情况下θ∧的MLE 。

(ii)1,01(;)0,x x f x αθθ-⎧=⎨⎩ 其它 0θ （v ）1,0(;)0,x e x f x θθθ-⎧≥⎪=⎨⎪⎩其它 0θ 解：(ii)1111()n n n i i i i L x x θθθθθ--====∏∏1ln ()ln (1)ln n i i L n x θθθ==+-∑11111ln ()ln 01(ln )(ln )n i i n n i i i i d L n x d n x x n θθθθ=∧--===+==-=-∑∑∑ (v)111()n i i x n L e θθθ=-∑= 11ln ()ln()nii L n x θθθ==--∑211ln ()101,n i i n i i d L n X d x x X n θθθθθ=∧==-+===∑∑2.10 设总体123(,1),,,X N X X X μ 为一样本，试证明下述三个估计变量11232123312313151021153412111362X X X X X X X X X μμμ=++=++=++ 都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差，问哪一个最小？证：1123131()()()()5102E E X E X E X μ=++131()5102μμ=++= 同理：2123115()()()()3412E E X E X E X μ=++ 115()3412μμ=++= 3123111()()()()362E E X E X E X μ=++ 111()362μμ=++= ∴12,,μμμ是μ的无偏估计量。

精选-华中科技大学数理统计第二次作业

学院：机械工程学院1、收集到26家保险公司人员构成的数据，现希望对目前保险公司从业人员受高等教育的程度和年轻化的程度进行推断，具体来说就是推断具有高等教育水平的员工平均比例是否低于80%，35岁以下的年轻人的平均比例是否为0.5。

（数据见练习2数据.xls —练习2.1）解：希望通过分析这26家保险公司人员构成的数据，研究目前保险公司从业人员受高等教育的程度和年轻化的程度。

（1）推断高等教育水平的员工平均比例是否低于80%设原假设：保险公司具有高等教育水平的员工比例平均值不低于0.8，即H 0: μ=μ0≥0.8 备择假设：H 1：μ<0.8 n=26，属于小样本，由于σ2未知，选用t 检验，检验统计量T =，取α=0.05 计算的x =0.729273 ，s 2=0.039274(1)t n ∂≤-- , 1.784t ==- 查t 检验分布表知临界值t α(26-1)=-1.7081显然，t=-1.784<- t α(25) =-1.7081,因此在α=0.05 的水平上拒绝原假设，选择备择假设结论：保险公司具有高等教育水平的员工比例平均值低于0.8（2）推断35 岁以下的年轻人的平均比例是否为0.5设原假设：年轻人比例的平均值与0.5 无显著性差异，即H 0: μ=μ0=0.5备择假设H 1： μ≠0.5. n=26，属于小样本，由于σ2未知，选用t 检验，检验统计量X T =，取α=0.05 计算的x =0.713875 ，s 2=0.022705拒绝域：/2(1)x t n ∂≥- , 7.097t == 查表知α=0.05 的双尾t 检验临界值t α/2（25）=2.0595。

故超出[-2.0595,2.0595]的值均在拒绝域内由于t=7.097不在拒绝域[-2.0595,2.0595]范围内，因此在α=0.05 的水平上拒绝原假设，选择备择假设结论：保险公司35 岁以下年轻人比例平均值不等于0.52、练习1中保险公司的类别分为：1. 全国性公司；2. 区域性公司；3. 外资和中外合资公司。

概率论与数理统计第三版华中科技大学出版社

进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数”.
3. 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.
4. 考察某地区 10 月份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.
k 1

称 Ak 为可列个事件 A1, A2, 的积事件.
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 “在相同条件下生产同一种零件，观察它们的尺寸”. 结果: “它们的尺寸总会有一点差异 ”.
实例3 “抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
结果有可能为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
A7=“出现偶数点”, A8=“出现点数大于3点”等都是事件，但不是基本事件；
A9=“出现点数小于7”是必然事件, A10=“出现点数大于6”是不可能的事件, 在此试验中, Ω={ A1,A2, A3, A4, A5, A6}。
随机事件间的关系及运算
1. 包含关系若事件 A 出现, 必然导致 B 出现即属于A的每个样本点也属于B,则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B.
4) 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.
Ω4 {0, 1, 2, }.
5) 考察某地区 12月份的平均气温.
Ω5 {t T1 t T2}.
其中 t 为平均温度 . 6) 从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.
Ω6 {t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .

数理统计参考答案-(1)(1)

习题一1设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布.1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X .解设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ，1122334455511155(1)(,,,,)()(1)(1)i inx x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏其中：5115i i x x ==∑2）对总体~()X P λ11223344555115551(,,,,)()!!ixni i i i i xi i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λλλλ-==-==========∏∏∏其中：5115i i x x ==∑3）对总体~(,)X U a b5511511,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a==⎧≤≤=⎪==-⎨⎪⎩∏∏ ，其他4）对总体~(,1)X Nμ()()()25555/222151111(,,)()=2exp2ixi iii if x x f x xμπμ---===⎛⎫==--⎪⎝⎭∑∏2为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解设(=0,1,2,3,4)i i代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：经验分布函数的定义式为：()()()(1)10,(),,=1,2,,1,1,n k kkx xkF x x x x k nnx x+<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩，据此得出样本分布函数：200,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩图1.1 经验分布函数3某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.x()n F x解图1.2 数据直方图它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N .4设总体X 的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ.解()- 5P X k P k μ⎫⎪<=<⎪⎭()()555 P k X k μ=-<-< 因k 较大，由中心极限定理(0,1)X N ： ()()()-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-(5)(1(5))k k =Φ--Φ()2510.9k =Φ-=所以：()50.95k Φ=查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=. 5从总体2~(52,6.3)XN 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解()50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<< ⎪⎝⎭(0,1)X U N =()()50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=）6从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.解设两个独立的样本分别为：110,,X X 与115,,Y Y ，其对应的样本均值为：X 和Y .由题意知：X 和Y 相互独立，且：3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N (0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤1P =-~(0,0.5)~(0,1)(0.3)22(0.4243)0.6744X Y N X YN P X Y -->=-Φ=7设110,,X X 是总体~(0,4)X N 的样本，试确定C ，使得1021()0.05i i P XC =>=∑.解因~(0,4)i X N ，则~(0,1)2iX N ，且各样本相互独立，则有： 10122~(10)2i i X χ=⎛⎫⎪⎝⎭∑所以：10102211()()144iii i CP X C P X ==>=>∑∑1021110.0544i i c P X =⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭∑102110.9544i i c P X =⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.8设总体X 具有连续的分布函数()X F x ，1,,n X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量：1,,1,2,,0,i i i X Y i n X μμ>==≤⎧⎨⎩试确定统计量∑=ni i Y 1的分布.解由已知条件得：~(1,)i Y B p ，其中1()X p F μ=-.因为i X 互相独立，所以i Y 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有1~(,)ni i Y B n p =∑，1()Xp Fμ=-.9设1,,nX X 是来自总体X 的样本，试求2,,EX DX ES 。

数理统计课后习题答案(科学出版社)

数理统中章节号有所偏差，已全部更正）
第一章统计量与抽样分布
第二章参数估计
第三章统计决策与贝叶斯估计
第四章假设检验
第五章方差分析与实验设计
可编辑修改精选doc数理统计第三版科学出版社师义民徐伟秦超英徐勇编课后习题答案文中章节号有所偏差已全部更正第一章统计量与抽样分布可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc第二章参数估计可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc第三章统计决策与贝叶斯估计可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc第四章假设检验可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc第五章方差分析与实验设计可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc可编辑修改精选doc

数理统计课后习题答案

习题一、基本概念1．解：设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1）51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2）λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3）5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他 4）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ 2.解：由题意得：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x n x x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3．解：它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N 4．解：()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表5．解：()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭）0.9564(10.8729)0.8293=--=6．解：()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立，0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯= 7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.24 8．解：由已知条件得：(1,),1()iX Y B p p F μ=-由i X 互相独立，知i Y 也互相独立，所以1(,),1().niX i Y B n p p F μ==-∑9.解: 1))1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2)λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3)()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4)1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ10.解： 1)()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)nii n S n S DXX D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)ni i D X X n σ=∴-=-∑11.解：ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解：1)()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)2222,2u u X u E u du ue du +∞+∞---∞===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,16u n n⎛⎛⎫⎛=Φ-Φ-=Φ-≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解：()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解：设1(1,)p F n α-=，即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤=-()()12()2()12P T P T pP T ppP T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16．解：()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF == 17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X X X N nnn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=-又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E XX D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N nnσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x a f x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P XP X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m nii m Xn χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，21~(0,)m nii m XN n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故222221111~(2)mm ni i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 22.解：由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解：由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解： 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解： 1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解： 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a XP 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P c T P c S X P c S X P c X S P μμμ27．解：22cov(,)(,))(1()()1cov(,)()1(,)1i j j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X D X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=---=-=--=---=-∴--=--28.解：()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1．解：矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= ()()11111ln ln(1)ln nnni i i i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln n i i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X XX x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln n ii X nX X αα=⎛⎫⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑，12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2．解： 1）3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解，依定义：21ˆmax ii nX θ≤≤= 2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3． 1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑2)解：~()X P λ矩估计：X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x xλλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+==3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+==联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni na Xb X ≤≤≤≤== 4) 解：矩估计：00ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ln 0n L αθ∂==∂，无解；故，依照定义，(1)ˆX θ= 5)解：矩法：()/0()(1)(2)x txEX edx t e dt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰ X αβ=+=2222()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ=-===极大似然估计：()()/1111exp ,ln ln i nx ni n L enx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n nL L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解，依定义有：(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解：矩法：22223222(2)x x tx EX dx dte dt Xθθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆ2Mθ=极大似然估计：22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏222ln ln43ln ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解：矩法：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计：22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解：11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；5.解：1,ln lninx n nxiL e e L n nxλλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解：因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。

数理统计学课后答案

数理统计学课后答案数理统计学课后答案【篇一：数理统计习题】为总体（或母体），而把组成总体的每个元素称为个体。

1. 2 设随机样本（x1,x2,?,xn）来自总体为正态分布（x1,x2,?,xn）的联合分布函数为f(x1,x2,?,xn)?(2??)*2?n2n(?,?2)，则样本exp{?12?2(xi?1n2i)}。

1.3 若对一批n件产品的合格率进行检查，从中有放回地随机抽取n件。

分别以0，1表示某件产品为次品和合格品，?(0??的0—1分布，即1)表示产品的合格率，则总体x服从参数为?p(x?x)??x(1??)1?x,x?0,1。

所以样本（x1,x2,?,xn）的联合分布律数为p(x1?x1,x2?x2,?,xn?xn)?i?1n(1??)1?xi,xi?0,1.21.4 设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?数，则(x1?x2?x3)??，)，其中?,?2是未知参11(x1?x2)??和(x1?x2?x3)都不是统计量，2?11222因为它们都含有未知参数，而(x1?x2?x3)(x1?x2?x3)和x1?x2?x3 32都是统计量。

1.5 设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?知参数，则213)，其中?已知，?2是未12(x12?x22111(x1?x2?x3)??，(x1?x2)??(x1?x2?x3)和32312x3)都是统计量，而(x1?x2?x3)不都是统计量。

1．6 设x1,x2,?,xn是来自总体x的一个样本，则称统计量121ns?(xi?)2 ?nx??xi，ni?1ni?1n分别为样本的均值和样本方差；统计量1nk1nak??xi，bk??(xi?x)kni?1ni?1分别为样本k 阶原点矩和k 阶中心矩。

显然，a1?x， b2?sn。

1．7 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?任意一个确定线性函数2)的一个样本，统计量是样本的u?a1x1?a2x2anxn，则统计量u?a1x1?a2x2anxn也是服从正态分布的随机变量，其均值和方差分别为e(u)??(a1?a2an)??ai?1ni，nd(u)??(a1?a2an)??特别地，取a1?a2an?22222ai?12i。

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