利用勾股定理解决立体图形问题
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利用勾股定理解决立体图形问题
勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系,可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题,在现实生活中有着极其广泛的应用,下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明,供参考。
一、长方体问题
例1、如图1,图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、变形忽略不计),要求木条不能露出木箱,请你算一算,能放入的细木条的最大长度是( )
A 、41cm
B 、34cm
C 、50cm
D 、75cm
分析:图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度,可先连接BC ,根据已知条件,可以判断BD 是Rt △BCD 的斜边,BD 是Rt △BCD 的斜边,根据已知条件可以求出BC 的长,从而可求出BD 的长。
解:在Rt △ABC 中,AB=5,AC=4,根据勾股定理,
得BC=22AC AB +=41,
在Rt △BCD 中,CD=3,BC=41, BD=22CD BC +=50。所以选C 。
说明:本题的关键是构造出直角三角形,利用勾股定理解决问题。
二、圆柱问题
例2、如图2,是一个圆柱形容器,高18cm ,底面周长为60cm ,在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇,急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度是多少?
分析:勾股定理是平面几何中的一个重要定理,在遇到立体图形时,需根据具体情况,把立体图形转化为平面图形,从而使空间问题转化为平面问题。由题意可知,S 、F 两点是曲面上的两点,表示两点间的距离显然不能直接画出,但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形,,于是我们就可以画出如图3的图,这样就转化为平面中的两点间的距离问题,从而使问题得解。
解:画出圆柱体的侧面展开图,如图3,由题意,得SB=60÷2=30(cm ),FB=18―1―1=16(cm ),在Rt △SBF 中,∠SBF=90°,由勾股定理得,SF=22FB SB +=221630+=34(cm ),所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。
说明:将立体图形展开,转化为平面图形,或将曲面转化为平面,然后再运用“两点之间,线段最短”和勾股定理,则是求立体图形上任意两点间的最短距离的常用的方法,这也是一种重要的数学思想----转化思想。