广东省东莞市2020-2021学年第一学期高一七校联考数学试题
2021-2022学年广东省东莞市七校高三(上)联考数学试卷(12月份)(学生版+解析版)
2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣804．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3 C ．20√5π3D ．64√2π36．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．27．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．68．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π311．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9＝S 17，则下列说法正确的是（ ） A ．a 8＝0B ．a 9＝0C ．a 1＝S 16D ．S 8＞S 1012．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ ．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ ．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 ．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1a 2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD =√2，BC ＝2√2，P A ＝1． （1）求证：AB ⊥PC ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}【解答】解：∵集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：C ．2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i【解答】解：∵z ＝1﹣i ，∴z(z +2i)=（1+i ）（1﹣i +2i ）＝（1+i ）2＝2i ． 故选：D ．3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣80【解答】解：由于二项式(2x −√x)5展开式的通项公式为T r +1＝C 5r •（2x ）5﹣r(−√x)r =（﹣1）r •25﹣r C 5r x 5−r2，令5−r2=3，解得r ＝4，∴展开式中x 3的系数是（﹣1）4•25﹣4C 54＝10．故选：A ．4．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种【解答】解：这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的3名同学，有A 33种排法，出现4个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A 33A 43＝144种排法， 故选：B ．5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3C ．20√5π3D ．64√2π3【解答】解：圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为√2， 则圆柱的外接球的半径为√2，可得该圆柱的外接球的体积为V =43π×(√2)3=8√2π3． 故选：B ．6．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．2【解答】解：∵tan α＝3，则1+cos2αsin2α=2cos 2α2sinαcosα=cosαsinα=1tanα=13，故选：B ．7．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6【解答】解：由题意知，点P 在右支上，则|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，又e =ca =√3，∴|F 1F 2|=2c =2√3a ，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=9a 2+a 2−12a 22⋅3a⋅a =−13， ∴sin ∠F 1PF 2=2√23，故S △PF 1F 2=12⋅a ⋅3a ⋅2√23=4√2，解得a ＝2， ∴实轴长为2a ＝4， 故选：C ．8．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1【解答】解：当x ＞0时，f （x ）=lnx x ，∴f '（x ）=1−lnx x 2， 令f '（x ）＝0，得x ＝e ，∴当x ∈（0，e ）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 又f （e ）=lne e =1e ，当x ≤0时，f （x ）＝1﹣x 2单调递增，画出函数f （x ）的图像，如图所示，∵函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，即方程f （x ）﹣k ＝0有三个不等实根， ∴函数y ＝f （x ）与y ＝k 有三个交点， 由图像可知，0＜k ＜1e， 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →【解答】解：由图知，四边形OABC 为菱形，选项A ，由平行四边形加法法则知，OB →=OA →+OC →，即A 正确；选项B ，|OA →|＝|OC →|=√17，|OB →|=√34，所以不满足|OA →|＝|OC →|=12|OB →|，即B 错误；选项C ，AC →=OC →−OA →=OC →−（OB →+BA →）=OC →−（OB →−OC →）=−OB →+2OC →，即C 错误；选项D ，因为四边形OABC 为菱形，所以∠AOB ＝∠COB ，且|OA →|＝|OC →|，由平面向量数量积的运算法则知，OA →•OB →=OC →•OB →成立，即D 正确． 故选：AD ．10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π3【解答】解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象， 可得A ＝2，14×2πω=2π3−5π12，∴ω＝2．结合五点法作图，可得2×5π12+φ＝π，∴φ=π6，故f （x ）＝2sin （2x +π6）．令x =−π12，求得f （x ）＝0，可得函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称，故A 正确； 令x =π2，求得f （x ）＝﹣1，不是最值，故函数f （x ）的图象关不于x =π2直线对称，故B 错误；在区间[−π3，π6]上，2x +π6∈[−π2，π2]，函数f （x ）单调递增，故C 正确；当x∈[−π12，23π12]，2x+π6∈[0，4π]，直线y＝1与图象y=f(x)(−π12≤x≤23π12)的4个交点关于直线2x+π6=3π2对称．设这4个交点的横坐标分别为a、b、c、d，a＜b＜c＜d，则（2a+π6）+（2d+π6）＝2×3π2，（2b+π6）+（2c+π6）＝2×3π2，故所有交点的横坐标之和为a+b+c+d=8π3，故D正确，故选：ACD．11．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，则下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10【解答】解：由{a n}是等比数列，得S17=172（a1+a17）＝17a9，又a9＝S17，得a9＝17a9，解得a9＝0，所以选项B正确；由于a8＝a9﹣d，且d≠0，所以a8≠0，选项A错误；由a9＝a1+8d＝0，得a1＝﹣8d，则S16＝16a1+16×152d＝16×（﹣8d）+15×8d＝﹣8d＝a1，所以选项C正确；若该数列a1＜0，d＞0，则当n≤8时，a n＜0，当n＝9时，a n＝0，当n≥10时，a n＞0，此时S8＜S10＝S8+a9+a10，选项D错误；故选：BC．12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，下列说法正确的是（）A．对任意点P，DP∥平面AB1D1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3【解答】解：连接DB ，由BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1， 得四边形DD 1B 1B 为平行四边形，∴DB ∥D 1B 1，由DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1， 得BD ∥平面AB 1D 1，同理DC 1∥平面AB 1D 1，又BD ∩DC 1＝D ，可得平面DBC 1∥平面AB 1D 1， ∴对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确； V P−A 1DD 1=V C 1−A 1DD 1=13×12×1×1×1=16，故B 正确； 当P 为BC 1中点时，DP ⊥BC 1，此时线段DP 长度的最小值为12+(√22)2=√62，故C正确；当P 在线段BC 1上运动时，DP 长度的最小值为√62，最大值为√2， 则PC 长度的范围为[√22，1]，而P 到平面ADD 1A 1的距离为定值1， 则DP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值∈[√22，1]． 最大值小于√3，则不存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ 3 ．【解答】解：令n ＝3时，则随机变量X ～B （3，13），E （X ）=3×13=1∈N ∗， 故n ＝3，符合题意． 故答案为：3．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ 1 ．【解答】解：函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，则g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）+2+f （x ）+2＝[f （﹣x ）+f （x ）]+4＝0+4＝4， 所以g （﹣1）＝4﹣g （1）＝4﹣3＝1． 故答案为：1．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 (0，π6) ． 【解答】解：函数f(x)=1+12x +cosx ，可得f ′（x ）=12−sin x ，令12−sin x ＞0，因为x ∈(0，π2)，所以，解得x ∈(0，π6)， 故答案为：(0，π6)．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 8 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771） 【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为23•13，第三次操作去掉的线段长度之和为23•23•13，……第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1•13，由题意知，(23)n−1•13≥160，则(23)n ≥130， 则nlg 23≥−lg 30＝﹣1﹣lg 3，所以n （lg 2﹣lg 3）≥﹣1﹣lg 3，即n ≤1+lg3lg3−lg2， 又lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771， 可得n ≤8，故n 的最大值为8． 故答案为：8．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{1a2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．【解答】解：（1）当n ＝1时，2S 1＝4，∴a 1＝2，当n ≥2时，2S n−1=(n −1)2+3(n −1)，又2S n =n 2+3n ， 两式相减得2a n ＝2n +2，所以a n ＝n +1， 故{a n }的通项公式为a n =n +1(n ∈N ∗)． （2）由（1）知1a 2n−1a 2n+1=12n(2n+2)=14×1n(n+1)=14(1n−1n+1)，∴T n =14[(11−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)=n 4n+4． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长． 【解答】解：（1）因为a sin B cos C +c sin B cos A =12b ， 由正弦定理得sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =12sin B ，因为sin B ≠0，整理得sin A cos C +sin C cos A =12，即sin （A +C ）=12，得sin B =12，又a ≥b ，所以0＜B ＜π2，可得B =π6．（2）由（1）知B =π6，若A =π6，可得C =2π3， 则S △ABC =12ab sin C =12a 2sin2π3=4√3，所以a ＝4，a ＝﹣4（舍），又在△AMC 中，AM 2＝AC 2+MC 2﹣2AC •MC cos 2π3，所以AM 2＝AC 2+（12AC ）2﹣2AC •12AC cos2π3=42+22﹣2×4×2×（−12）＝28，所以AM ＝2√7．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ， “该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ， 则P （A ）=34P （B ）=45所以P （C ）=34⋅C 21⋅45⋅15=625；（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X＝0）=(1−34)⋅C20⋅(45)0⋅(15)2=1100，P（X＝1）=(1−34)⋅C21⋅45⋅15=8100，P（X＝2）=34⋅C20⋅(45)0⋅(15)2+14⋅C22⋅(45)2=19100，P（X＝3）=34⋅C21⋅45⋅15=24100，P（X＝4）=34⋅C22⋅(45)2=48100，所以X的分布列为：X01234P11008100191002410048100故E（X）＝0×1100+1×8100+2×19100+3×24100+4×48100=3.1，则该同学得分的数学期望是3.1分．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD ＝CD=√2，BC＝2√2，P A＝1．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD=CD=√2，BC=2√2，可得AB＝AC＝2，故△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又P A∩AC＝A，∴AB⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴AB⊥PC．（2）解：取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），C(√2，√2，0)，D(0，√2，0)，P （0，0，1）， B(√2，−√2，0)，PD →=(0，√2，−1)，AC →=(√2，√2，0)， 设PM →=tPD →(0≤t ≤1)， 则点M 为(0，√2t ，1−t)， 所以AM →=(0，√2t ，1−t)，设平面MAC 的法向量是n →=(x ，y ，z)， {AC →⋅n →=√2x +√2y =0AM →⋅n →=√2ty +(1−t)z =0， 令x ＝1，n →=(1，−1，√2t1−t )，又m →=(0，0，1)是平面ACD 的一个法向量，∴|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=|√2t 1−t |√2+(√2t 1−t)=cos45°=√22，解得t =12，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC 的一个法向量可取n →=(1，−1，√2)，BM →=(−√2，2√2，12)， 设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sinθ=|cos〈n →，BM →〉|=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=2√69， ∴BM 与平面MAC 所成角的正弦值为2√69．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 【解答】解：（1）∵直线x +y −√3=0与x 轴的交点为(√3，0)，∴c =√3． 又∵e =ca =√32，∴a ＝2， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1． ∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0）．由题知过点N （﹣1，0）的斜率不为0，故设直线的方程为x ＝my ﹣1， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．联立{x =my −1x 24+y 2=1，整理，得（4+m 2）y 2﹣2my ﹣3＝0，Δ＝4m 2+12（4+m 2）＞0，∴y 1+y 2=2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2． 设直线AC 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y2x 2−2(x −2)， 联立两条直线方程，解得x =2⋅y 1(x 2−2)+y 2(x 1+2)y 2(x 1+2)−y 1(x 2−2)①， 将x 1＝my 1﹣1，x 2＝my 2﹣1代入①，得x =2⋅2my 1y 2+(y 1+y 2)−4y 1(y 1+y 2)+2y 1②， 将y 1+y 2=m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2代入②，得x ＝2.−4(m4+m 2+y 1)2(m 4+m 2+y 1)=−4，∴直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值﹣4． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．【解答】解：（1）因为f ′（x ）=1x +a （x ＞0）， 当a ≥0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，若x ∈（0，−1a）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 若x ∈（−1a，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，−1a ）上单调递增，f （x ）在（−1a ，+∞）上单调递减． （2）证明：因为lnx +x ≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立， 所以b ≥lnx +x ﹣k （x +1）在（0，+∞）上恒成立， 设g （x ）＝lnx +x ﹣k （x +1）， 所以g ′（x ）=1x +1﹣k （x ＞0），当k ≤1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 此时b ≥g （x ）不恒成立， 当k ＞1时，若x ∈（0，1k−1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，若x ∈（1k−1，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）max ＝g （1k−1）＝ln1k−1+1k−1−k （1k−1+1）＝﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1，所以b ≥﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1， 又因为2k+b−2k−1=2+bk−1≥2+−ln(k−1)−k−1k−1=1−ln(k−1)+2k−1， 令t ＝k ﹣1＞0， h （t ）＝1−lnt+2t， 所以h ′（t ）=lnt+1t 2， 当t ∈（0，1e）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减， 当t ∈（1e ，+∞）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以h （t ）min ＝h （1e）＝﹣e +1，所以2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．。
广东省东莞七校联考2024届高三上学期七校联考数学试卷及答案
东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（ ）A. ∅B. SC. TD. Z2. 在复平面内，复数z 对应点为()1,1-，则1iz=+（ ）A. 2 B. 1C. D.123. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（ ）A. ()()0f x f x -->B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤ D. ()()0f x f x ⋅->4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（ ）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（ ）A. 1B. 1- C.23D. 23-7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（ ）的A. 9B. 8C. 3D.838. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a 上的投影向量为（ ）A ()2,0 B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x 568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（ ）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r 增大10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下..列结论正确的是（ ）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔/m第一级阶梯4000≥第二级阶梯10002000~第三级阶梯2001000~若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（ ）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．14. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-值为______.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率的是________．16. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC 的面积为ABC 的周长.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.05000100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过0.7t亩产量不超过0.7t 合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投.进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（ ）A. ∅B. SC. TD. Z【答案】C 【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.2. 在复平面内，复数z 对应的点为()1,1-，则1iz=+（ ）A. 2B. 1C.D.12【答案】B 【解析】【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，所以1i z =-.所以()()()()212i i i 1i 1i 1i i 21i 1i 11i z -⨯----+====-+++⨯，所以11iz ==+.故选：B.3. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（ ）A. ()()0f x f x --> B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤D. ()()0f x f x ⋅->【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.【详解】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()()()()2=0f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅-=-≤⎣⎦⎣⎦，又()0=0f ，∴()20f x -≤⎡⎤⎣⎦，故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<【答案】B 【解析】【分析】设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列，然后求出投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，即可判断大小．【详解】解：设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，则40n a =，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．设投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，则10400A =；101091010105502B ⨯=⨯+⨯=；10100.4(12)409.212C -==-，所以101010B C A >>．故选：B ．【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题.5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（ ）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得()y x x t =-的单调性，从而可求得t 的取值范围.【详解】因为函数e x y =在R 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数()y x x t =-在()2,3上单调递减，则32t≥，解得6t ≥.故选：A6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（ ）A. 1B. 1- C.23D. 23-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】如图所示，由ABC 是边长为2的等边三角形，且13BD BC = ，可得AD AB BD =+，所以()2222cos120233AD BC AB BD BC AB BC BD BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-.故选：D.7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（ ）A. 9 B. 8C. 3D.83【答案】C 【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可【详解】由条件知113a b+=，1111414(4)553333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当21a b ==时取等号.故选：C8. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a上投影向量为（ ）A. ()2,0B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-【答案】D 【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】b 在a 上的投影向量为.()··30,3a b a a a a=-=-故选：D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912的y 1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（ ）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本相关系数r 增大【答案】ABC 【解析】【分析】计算样本中心点可得验证选项A ；由样本中心点计算 a验证选项B ；根据残差的定义计算验证选项C ；根据相关系数r 的分析验证选项D ．【详解】56891285x ++++==，1720252835255y ++++==，所以样本中心点为(8,25)，则A 正确；由ˆ2.6y x a=+，得ˆ 2.625 2.68 4.2a y x =-=-⨯=，则B 正确；由B 知，ˆ 2.6 4.2yx =+，当5x =时，ˆ 2.65 4.217.2y =⨯=+，则残差为1717.20.2-=-，则C 正确；由相关系数公式可知，去掉样本点(8,25)后，相关系数r 的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数r 的大小不变，故D 不正确．故选：ABC ．10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B. ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的图象确定函数的表达式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可结合选项逐一求解.【详解】由图可知：1πππ24126T T ω⎛⎫=--⇒=⇒= ⎪⎝⎭，又()f x 经过点π,112⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈,故π2π,Z 3k k ϕ=+∈，由于ππ,,23ϕϕ<∴=故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π6个单位长度得到，故A 错误，对于B ，()ππππcos 2=sin 2=sin 26623f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确，对于C ， ()2πsin π03f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，故C 正确，对于D ，令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得ππ,Z 5ππ1212k k x k ≤≤++∈-，故()f x 的其中两个单调递增区间为7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19π25π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故()f x 在7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调递增，故D 错误，故选:BC11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下列结论正确的是（ ）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO 的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据SO ⊥面ABC ，由cos OCSCO SC<=判断；对于B ，由圆锥SO 的侧面积公式求解判断；对于C ，由π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭求解判断；对于D ，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，易得SDO ∠为二面角S BC O --的平面角求解判断.【详解】对于A ，因为SO ⊥面ABC ，所以SCO ∠是SC 与底面所成角，在Rt SOC △中，圆锥的母线长是，半径2r OC ==，则cos OC SCO SC ∠===，所以SCO ∠=45︒，则A 正确；对于B ，圆锥SO 的侧面积为rl π=，表面积为+4π，则B 错误；对于C ，当点B 与点A 重合时，0ASB ∠=为最小角，当点B 与点C 重合时π2ASB ∠=，达到最大值，又因为B 与A ，C 不重合，则π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又2πSAB ASB ∠+∠=，可得ππ,42SAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则C 正确；对于D ，如图所示，，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，又O 为AC 的中点，则//OD AB ，因为AB BC ⊥，所以BC OD ⊥，又SO ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以BC SO ⊥，又SO OD O = ，BC ⊥面SOD ，故BC SD ⊥，所以SDO ∠为二面角S BC O --的平面角，因为点B 为弧AC的中点，所以AB =，12OD AB ==tan SO SDO OD∠==D 错误.故选：AC.12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔/m第一级阶梯4000≥第二级阶梯10002000~第三级阶梯2001000~若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（ ）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，列出不等式，根据对数函数的性质解对数不等式即可求解.【详解】设在第一级阶梯某处的海拔为1h ，则4011ln ln 10p p h --=，即41110lnp h p =.因为14000h ≥，所以40110ln4000p p ≥，解得010.4ep p ≤A 正确；由0ln ln p p kh -=，得0ekhp p =.当0h >时，0e 1khp p=>，即0p p >，所以03p p >，B 错误；设在第二级阶梯某处的海拔为2h ，在第三级阶梯某处的海拔为3h ，则40224033ln ln 10ln ln 10p p h p p h --⎧-=⎨-=⎩两式相减可得()43232ln 10p h h p -=-.因为[][]231000,2000,200,1000h h ∈∈，所以[]230,1800h h -∈，则4320ln1018000.18p p -≤≤⨯=，即0.18321e p p ≤≤，故0.18232e C,D p p p ≤≤，均正确.故选:ACD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．【答案】10【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.【详解】依题意，2235C (1)10a =-=.故答案为：1014. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-的值为______.【答案】43【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】()222222sin π2sin22sin cos 2tan 4tan 2,2cos 1cos sin cos sin 1tan 3αααααααααααα+---=====----.故答案为:43.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________．【答案】1537【解析】【分析】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，由题可得()()(),,P A P B P AB ，后由条件概率公式可得答案.【详解】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，则()11111137343536180P A =⨯+⨯+⨯=， ()1113412P AB =⨯=.则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为()()()115123737180P AB P B A P A ===.故答案为：153716. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.【答案】48π【解析】【分析】当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥体积最大，设球O 的半径为R ，列方程求解即可.【详解】如图所示，当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，此时11sin 60632P OAB R V R R =⨯⨯⨯⨯⨯= －，故R =，则球O 的表面积为24π48πS R ==.故答案为：48π.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC的面积为ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）6+的【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出1cos 2B =，进而求出B ；（2）根据余弦定理可得到()2312a b ab +-=，再根据三角形面积公式得到 8ab =，即可求出6a b +=，进而求出ABC 的周长.【详解】解：（1）cos cos 2cos a C c A b B += ，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，整理得：()sin 2sin cos sin A C B B B +==，∵在ABC 中，0B π<<，∴sin 0B ≠，即2cos 1B =，∴1cos 2B =，即3B π=；（2）由余弦定理得：(222122a c ac =+-⋅，∴()2312a c ac +-=，∵1sin 2S ac B ===，∴8ac =，∴()22412a c +-=，∴6a c +=，∴ABC 的周长为6+.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）1【解析】【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．【小问1详解】如图，连接1AD ，11B D ，BD .因为长方体1111ABCD A B C D -中,1//BB 1DD 且11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形.所以E 为1BD 的中点，在1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点，所以//EF 1AD .因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以//EF 平面11ADD A .【小问2详解】如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为长方体中12A A AD ==,CD =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A，(0,C，B，F，1B，E .所以(1,CE =，(2,CF =，.设平面CEF 的法向量为111(,,)m x y z =，则0,0,m CE m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111020x z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x =，则1y =，11z =，可得m =.AF =，所以点A 到平面CEF 的距离为||1||AF m d m ⋅== .19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．【答案】（1）3nn a = （2）12【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系计算即可；（2）利用等比数列、等差数列的求和公式及分组求和法求n T ，再由函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】当1n =时，1112332S a a =-=，解得13a =，当2n ≥时，11233n n S a --=-，因为233n n S a =-，所以1122233n n n n n S S a a a ---==-，即13n n a a -=，所以()132nn a n a -=≥，所以，{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为3nn a =；【小问2详解】由题意知：1213n nb n =+-，所以()211112111331122313nn nn n T n ⎛⎫-⎪+-⎛⎫⎝⎭=+=-+ ⎪⎝⎭-，易知{}n T 在*n ∈N 上单调递增，而1213121311111441150,16911502323T T ⎛⎫⎛⎫=+-<=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以满足150n T <的n 的最大值为12．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.0500.0100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过0.7t亩产量不超过0.7t 合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？【答案】（1）0.75（2）用河水灌溉是比井水灌溉好.【解析】【分析】（1）先根据频率之和为1求出b 的值，再根据公式求出平均值；（2）运用卡方公式进行求解.【小问1详解】由题：(0.752 1.252 1.75 2.25)0.1=1b ⨯+⨯+++⨯，解得=2b ，所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为：(0.450.750.55 1.250.65 1.750.75 2.250.8520.95 1.25 1.050.75)0.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯0.75≈；【小问2详解】()()()()222()400(180607090) 6.154250*********n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯，因为6.154 3.841>，所以根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关,用河水灌溉是比井水灌溉好.21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．【答案】（1）最大值点023=p （2）小李应选规则一参加比赛．【解析】【分析】（1）先求出连续投篮6次，恰好投进4次的概率()f p 的解析式，再利用导数研究其单调性及其最值即可；（2）若选规则一,利用二项分布概念即可求出其数学期望；若选规则二，可分别求出离散型随机变量的各种情况概率，从而可求得其分布列，进而得出其数学期望，比较这两种规则下求得的数学期望，进而判断即可.【小问1详解】由题意得则()()()2446C 1,0,1f p p p p =-∈，则()()()()()24344366C 4121C 146f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦，令()0f p '=，得23p =，当20,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，当2,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在区间2,13⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，所以()f p 的最大值点023=p ．【小问2详解】若选规则一，记X 为小李投进的次数，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．的则2~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2643E X =⨯=，记Y 为小李所得鸡蛋的盒数，则2Y X =，()()28E Y E X ==．若选规则二，记Z 为小李投进的次数，则Z 的所有可能取值为0，1，2，3．记小李第k 次投进为事件()1,2,3k A k =，未投进为事件k A ，所以投进0次对应事件为123,,A A A ，其概率为()()1231255033627P Z P A A A ===⨯⨯=；投进1次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2121121217133333333627P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；投进2次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2212111117133333333327P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．投进3次对应事件为123A A A ，其概率()2228333327P Z ==⨯⨯=，所以Z 的分布列为Z 0123P527 727 727 827所以()577850123272727273E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=；记L 为小李所得鸡蛋的盒数，则4L Z =，()203E L =，因为()()E Y E L >，所以小李应选规则一参加比赛．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分0m ≤和0m >两种情况，得到函数的单调性；（2）变形为12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，构造函数()e (2)xg x x =-，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到0e m <<，再构造差函数，证明出122x x +<.小问1详解】()f x 的定义域为R ，由题意，得e ()1e exx x m f x m'-=-=，x ∈R ，当0m ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增；当0m >，且当(,ln )x m ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上，当0m ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0m >时，()f x 在区间(),ln m -∞上单调递减，在区间()ln ,m +∞上单调递增．【小问2详解】证明：由()()122f x f x ==，得1x ，2x 是方程2e xmx +=的两个实数根，即12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根．令()e (2)xg x x =-，则()e (1)xg x x '=-，所以当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()max 1e g x g ==．因为当x →-∞时，()0g x →；当x →+∞时，()g x →-∞，()20g =，所以0e m <<．不妨设12x x <，因为1x ，2x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，则1212x x <<<．要证122x x +<，只需证122x x <-．因为11<x ，221x -<，【所以只需证()()122g x g x <-．因为()()12g x g x =，所以只需证()()222g x g x <-．今()()(2)h x g x g x =--，12x <<，则()22()()(2)e (1)e(1)(1)e e xxx xh x g x g x x x x --'''=+-=-+-=--22e e (1)0ex xx -=-⋅<在()1,2恒成立．所以()h x 在区间(1,2)上单调递减，所以()(1)0h x h <=，即当12x <<时，()(2)g x g x <-．所以()()222g x g x <-，即122x x +<成立．【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数.。
2020年广东省东莞市中学高一数学文联考试卷含解析
2020年广东省东莞市中学高一数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5D．a≥5参考答案：A【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2其对称轴为：x=1﹣a∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数∴1﹣a≥4∴a≤﹣3故选A【点评】本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键．2. 已知函数的周期为2，当，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（）A.10个B.9个C.8个D.1个参考答案：A略3. 函数，若，则的值为 ( ）A．3 B．0 C．-1 D．-2参考答案：B4. 等差数列项的和等于（）A． B． C． D．参考答案：B5. 已知等差数列中，有，且该数列的前项和有最大值，则使得成立的的最大值为（）A．11 B．19 C． 20 D．21参考答案：B6. 若函数上是减函数，则实数a的取值范围是A． B． C． D．参考答案：A由题意知，对称轴x＝1－a≥4，∴a≤－3.7. （5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m 的值为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：平面向量的基本定理及其意义．分析：由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值解答：∵P是BN上的一点，设，由，则=====∴m=1﹣λ，解得λ=，m=故选D点评：本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于λ，m的方程组，是解答本题的关键．8. 下列各式成立的是：A．B．C．D．参考答案：Ａ9. 若和分别是的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是A. B.C. D.参考答案：C略10. 设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A 中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是( )A．（3，1）B．（，）C．（，﹣）D．（1，3）参考答案：B【考点】映射．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义结合题意可得 x+y=2，x﹣y=1，解得x，y的值，即可求出原像（x，y）【解答】解：由映射的定义结合题意可得 x+y=2，x﹣y=1，解得 x=，y=，故像（2，1）的原像是（，），故选B．【点评】本题主要考查映射的定义，在映射f下，像和原像的定义，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若等差数列的首项，前三项的和为15，则通项公式参考答案：12. 已知函数，，若关于x的不等式恰有两个非负整数解，则实数a的取值范围是__________．参考答案：【分析】由题意可得f（x），g（x）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a＞0，a＜0时，f（x）＞g （x）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．【详解】由函数，可得，的图象均过，且的对称轴为，当时，对称轴大于0.由题意可得恰有0，1两个整数解，可得；当时，对称轴小于0.因为,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得的范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．13. 在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O，（0，0），A（1，1），且，则 .参考答案：114. 若，则参考答案：115. 在数列中，，，那么的通项公式是。
2021年广东省东莞市七校联考中考数学模拟试卷(解析版)
2021年广东省东莞市七校联考中考数学模拟试卷一．选择题（共10小题）.1．下列实数中，无理数是（）A．0B．﹣4C．D．2．2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（）A．99×10﹣10B．9.9×10﹣10C．9.9×10﹣9D．0.99×10﹣83．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A．95B．90C．85D．804．在平面直角坐标系中，点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），则点A的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（2，﹣3）C．（3，2）D．（﹣3，﹣2）5．正多边形的内角和是1440°，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正九边形D．正十边形6．若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（）A．﹣10B．﹣9C．9D．107．不等式组的解集在数轴表示正确的是（）A．B．C．D．8．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A．πB．πC．πD．π9．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（）A．18B．25C．32D．3610．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1B．2C．3D．4二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．计算：20210+＝．12．分式有意义的条件是．13．分解因式：1﹣16n2＝．14．若2m+n＝4，则代数式6﹣2m﹣n的值为．15．已知在半径为3的⊙O中，弦AB的长为4，那么圆心O到AB的距离为．16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．17．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第6个图案中有根小棒．三．解答题（共8小题，满分62分）18．先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．19．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．20．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．21．在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△DPQ面积的最大值．23．如图，已知点P是⊙O外一点，直线PA与⊙O相切于点B，直线PO分别交⊙O于点C、D，∠PAO＝∠PDB，OA交BD于点E．（1）求证：OA∥BC；（2）当⊙O的半径为10，BC＝8时，求AE的长．24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，D为第一象限内抛物线上一点，过D做DT⊥x轴交x轴于T，交BC于点K，设D点横坐标为m，线段DK的长为d，求d与m之间的关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，D在对称轴右侧，Q、H为直线DT上一点，Q点纵坐标为4，H在第四象限内，且QD＝TH，过D作x轴的平行线交抛物线于点E，连接EQ 交抛物线于点R，连接RH，tan∠ERH＝2，求点D的坐标．25．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G．（1）求证：△BGO是等腰三角形；（2）求点E的坐标；（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形O′D′E′F′，当移动到点O′与点B重合时，停止运动，设矩形O'D'E′F′与△OBC重叠部分的面积为y，OO′＝x，求y关于x的函数关系式．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列实数中，无理数是（）A．0B．﹣4C．D．解：0，﹣4是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数是．故选：C．2．2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（）A．99×10﹣10B．9.9×10﹣10C．9.9×10﹣9D．0.99×10﹣8解：0.0000000099＝9.9×10﹣9，故选：C．3．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A．95B．90C．85D．80解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90．故选：B．4．在平面直角坐标系中，点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），则点A的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（2，﹣3）C．（3，2）D．（﹣3，﹣2）解：∵点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），∴点A的坐标为（﹣3，2），故选：A．5．正多边形的内角和是1440°，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正九边形D．正十边形解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，解得：n＝10，∴这个正多边形是正十边形．故选：D．6．若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（）A．﹣10B．﹣9C．9D．10解：∵关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，∴△＝62﹣4×1×（﹣a）＜0，解得：a＜﹣9，∴只有选项A符合，故选：A．7．不等式组的解集在数轴表示正确的是（）A．B．C．D．解：解不等式x+1≤3，得：x≤2，解不等式﹣2x﹣6＜﹣4，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，故选：C．8．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A．πB．πC．πD．π解：弧长＝＝π，故选：A．9．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（）A．18B．25C．32D．36解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED，AF＝AD，∴tan∠EFC＝＝，设CE＝3k，则CF＝4k，由勾股定理得DE＝EF＝＝5k，∴DC＝AB＝8k，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝＝tan∠EFC＝，∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝＝＝5k＝5，解得：k＝1，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（8k+10k）＝36（cm），故选：D．10．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1B．2C．3D．4解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∴①的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，∴0＜＜，故②的结论正确；∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比点B（2，y2）到对称轴的距离远，∴y1＞y2，∴③的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，∴am2﹣a+bm+b＝0，a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0，∴a（m﹣1）+b＝0，∴④的结论正确；故选：B．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．计算：20210+＝﹣2．解：原式＝1+3﹣6＝﹣2．故答案为：﹣2．12．分式有意义的条件是x≠﹣1．解：要使分式有意义，必须x+1≠0，解得，x≠﹣1，故答案是：x≠﹣1．13．分解因式：1﹣16n2＝（1﹣4n）（1+4n）．解：1﹣16n2＝（1﹣4n）（1+4n）．故答案为：（1﹣4n）（1+4n）．14．若2m+n＝4，则代数式6﹣2m﹣n的值为2．解：∵2m+n＝4，∴6﹣2m﹣n＝6﹣（2m+n）＝6﹣4＝2，故答案为2．15．已知在半径为3的⊙O中，弦AB的长为4，那么圆心O到AB的距离为．解：作OC⊥AB于C，连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×4＝2，在Rt△AOC中，OA＝5，∴OC＝＝＝，即圆心O到AB的距离为．故答案为：．16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是①④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；不正确；正确的是①④．故答案为：①④．17．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第6个图案中有31根小棒．解：观察图形的变化可知：第1个图案中有6根小棒，即5×1+1＝6；第2个图案中有11根小棒，即5×2+1＝11；第3个图案中有16根小棒，即5×3+1＝16；…，则第6个图案中有：5×6+1＝31（根）小棒．故答案为：31．三．解答题（共8小题，满分62分）18．先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．解：原式＝•＝x+2，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．19．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ABE＝∠CAD＝180°﹣60°＝120°，在△ABE与△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE＝CD．20．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．解：（1）本次调查的学生总人数有：16÷20%＝80（人）；重视的人数有：80﹣4﹣36﹣16＝24（人），补全条形统计图如图：（2）画树状图如下：共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．21．在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？解：（1）设A种防疫物品x元/件，B种防疫物品y元/件，依题意得：，解得：．答：A种防疫物品12元/件，B种防疫物品16元/件．（2）设A种防疫物品购买m件，则B种防疫物品购买（300﹣m）件，依题意得：12m+16（300﹣m）≤4000，解得：m≥200．答：A种防疫物品最少购买200件．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△DPQ面积的最大值．解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，，解得，，∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，∴点C（3，2），∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的关系式为y＝，答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），∴PQ＝﹣（2n﹣4），∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，∵﹣1＜0，∴当n＝1时，S最大＝4，答：△DPQ面积的最大值是4．23．如图，已知点P是⊙O外一点，直线PA与⊙O相切于点B，直线PO分别交⊙O于点C、D，∠PAO＝∠PDB，OA交BD于点E．（1）求证：OA∥BC；（2）当⊙O的半径为10，BC＝8时，求AE的长．【解答】证明：（1）如图，连接OB，∵PA与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∴∠ABE+∠OBE＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠PAO＝∠PDB，∴∠PAO＝∠OBD，∴∠ABE+∠PAO＝90°，∴∠AEB＝90°，∵CD是直径，∴∠CBD＝90°，∴∠CBD＝∠AEB，∴OA∥BC；（2）∵CD＝2OD＝20，BC＝8∴BD＝＝＝4，∵OE⊥BD，∴BE＝DE＝2，∵∠BAE＝∠D，∠AEB＝∠CBD＝90°∴△ABE～△DCB，∴∴∴AE＝21．24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，D为第一象限内抛物线上一点，过D做DT⊥x轴交x轴于T，交BC于点K，设D点横坐标为m，线段DK的长为d，求d与m之间的关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，D在对称轴右侧，Q、H为直线DT上一点，Q点纵坐标为4，H在第四象限内，且QD＝TH，过D作x轴的平行线交抛物线于点E，连接EQ 交抛物线于点R，连接RH，tan∠ERH＝2，求点D的坐标．解：（1）对于y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝﹣3a，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∵OB＝OC＝3，∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由点BC的坐标得：直线BC解析式为y＝﹣x+3，∴设D（m，﹣m2+2m+3），K（m，﹣m+3），∴d＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）连接EH，∵QH平行y轴，Q点的纵坐标为4，QD＝TH，∴QT＝DH＝4，∴QD＝4﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣2m+1，∵ED＝2m﹣2，∴tan∠QED＝，∴tan∠EHD＝，∴∠QED＝∠EHD，∴∠QEH＝90°，过E作y轴平行线l，过R、H分别作直线l的垂线交l于M和N，连接EH，∵∠QEH＝90°，∴∠REM+∠HEN＝90°，∵∠EHN+∠HEN＝90°，∴∠REM＝∠EHN，∴Rt△RME∽Rt△ENH，∴＝tan∠ERH＝2，∵NH＝DE＝2m﹣2，∴ME＝m﹣1，∴RF＝﹣m2+3m+2，∵EN＝DH＝4，∴RM＝2，∴FT＝NH﹣MR＝2m﹣4，∴OF＝OT﹣OF＝4，∴R（4﹣m，﹣m2+3m+2），将R点代入抛物线表达式得：﹣m2+3m+2＝﹣（4﹣m）2+2（4﹣m）+3，解得：m＝，当x＝时，y＝﹣x2+2x+3＝，∴D（，）．25．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G．（1）求证：△BGO是等腰三角形；（2）求点E的坐标；（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形O′D′E′F′，当移动到点O′与点B重合时，停止运动，设矩形O'D'E′F′与△OBC重叠部分的面积为y，OO′＝x，求y关于x的函数关系式．解：（1）由题意知：tan∠CBO＝，∴∠CBO＝30°，∵AO∥BC，∴∠BOA＝∠CBO＝30°，∵∠GOB＝∠GBO＝30°，∴GO＝GB，∴△BGO是等腰三角形；（2）在Rt△BCO中，OC＝2，BC＝OA＝6，∴OB＝OE＝＝4，作EH⊥x轴于点H，∵∠BOA＝∠EOB＝30°，∴∠EOH＝∠BOA+∠EOB＝60°，在Rt△EOH中，OE＝4，∴OH＝2，EH＝6，故E点坐标为（2，6）；（3）OO′＝x，O′D′＝6，D'B＝4﹣x﹣6，令F'O'与CO交点为点M．，E'D'与CB交点为点N，S△OMO′＝x2，S△ND′B＝，S△OCB＝6，当0≤x﹣6，y＝6﹣x2﹣，当4﹣6＜x，y＝6﹣x2，当，y＝．。
广东省东莞中学2023-2024学年高一上学期第一次段考数学试题
广东省东莞中学2023-2024学年高一上学期第一次段考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．函数()r f p=的图象如图所示（图中曲线l与直线m无限接近，但永不相交），则下列选项正确的有（）(1)求证：A BÍ；(2)设()2=++，若{}f x x ax bA=-，求集合B．1,3若{}0,1,2A =,此时集合B 可以为{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4,共4个结果；若{}1,2,3A =,此时集合B 可以为{}{}{}{}1,2,1,2,0,1,2,4,1,2,0,4,共4个结果；若{}1,2,4A =,此时集合B 可以为{}{}{}{}1,2,1,2,0,1,2,3,1,2,0,3,共4个结果；若{}0,1,2,3A =,此时集合B 可以为{}{}1,2,1,2,4,共2个结果；若{}0,1,2,4A =,此时集合B 可以为{}{}1,2,1,2,3,共2个结果；若{}1,2,3,4A =,此时集合B 可以为{}{}1,2,1,2,0,共2个结果；若{}0,1,2,3,4A =,此时集合B 可以为{}1,2共1个结果；所以共有8444222127+++++++=个结果，故选:C.9．AC【分析】利用函数图象求值域求解选项A ；利用函数图象与定义域的关系求解选项B ；根据图象，数形结合求解选项C ；利用函数图象以及数形结合思想求解选项D.【详解】对A ，由图象可知，函数()r f p =的值域为[)0,¥+，A 正确；对B ，由图象可知，函数()r f p =的定义域为[][)5,02,6-È，B 错误；对C ，由图象可知，对[]2,5r "Î，都有两个不同的p 值与之对应，C 正确；对D ，由图象可知，当函数y k =（k 为常数）与函数()r f p =的图象只有一个交点时，k 的取值范围为[)()0,25,È+¥，D 错误；故选:AC.10．BD【分析】利用函数的定义判断.。
2020-2021学年广东省高一上学期12月大联考数学试题 PDF版
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诗莞四中2020_2021学年高一上学期10月考试数学试题
广东省东莞四中2020-2021学年高一上学期10月考试数学试题一、单选题(共40分)1．（本题5分)已知集合{|14,}A x x x Z =-≤<∈,则集合A 中元素的个数为( ） A ．3B ．4C ．5D ．62．（本题5分）已知集合{0,1,2,3}A =，{|02}B x R x =∈≤≤，则A B 的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．7D ．83．（本题5分)已知集合{}10,2,1,0,1,21x A x B x ⎧⎫+=≤=--⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．{2,2}-B ．{2,1,2}--C ．{1,0,1}-D ．{1,0}-4．（本题5分）设a R ∈,则4a >的一个必要不充分条件是( ） A ．1a >B ．1a <C ．5a >D ．5a <5．(本题5分）若0a b <<，R c ∈则下列不等式正确的是（ ）． A ．22a b <B ．11a b >C ．22acbc < D ．a b >-6．（本题5分）若不等式2210axax +-<对于一切实数x 都恒成立，则实数a 的取值范围是（ ) A ．(],1-∞-B ．()1,0-C ．(]1,0-D ．[)0,+∞7．(本题5分）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]38．（本题5分）已知()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩则关于a 的不等式()()21f a f a -<的解集为（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多选题(共（共20分）9．(本题5分）在下列结论中，正确的有( ） A ．29x=是327x=-的必要不充分条件B ．在ABC ∆中，“222AB AC BC +=”是“ABC ∆为直角三角形”的充要条件C ．若,a b ∈R ,则“220ab +≠”是“a ，b 全不为0”的充要条件 D ．若,a b ∈R ,则“220ab +≠”是“a ，b 不全为0”的充要条件E.一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件10．(本题5分)下列各组函数是同一函数的是（ ） A ．2()21f x x x =--与2(s)s 21g s =-- B ．()f x =与()g x =C ．()x f x x=与01()g x x =D ．()f x x =与()g x11．(本题5分）对于实数,,a b c ，下列说法正确的是（ )A ．若0a b >>，则11a b <B ．若a b >，则22ac bc≥C ．若0a b >>，则2ab a <D ．若c a b >>,则a bc a c b>-- 12．(本题5分)关于函数()1x f x x，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象过原点B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在区间(1，＋∞）上单调递增D ．()f x 是定义域上的增函数三、填空题(共(共20分) 13．（本题5分)函数(4),0,()(4),0,x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩若f （x )＝12，则x ＝_____________。
广东省东莞市光明中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题含答案
不等式 在 上恒成立,
即 在 上恒成立
根据指数函数单调可知: 是减函数
在 上恒成立--9
即 在 上恒成立,
当 时,不等式化为 成立；
当 时 则需满足 ,
解得 ,
综上所述,实数 的取值范围是 .--12
11.若 , ,则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
12.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数“为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=[x],g(x)=x-[x],则关于函数f(x)和g(x)的叙述中正确的是
（2）若 ，求实数m的取值范围．
【解析】 时， ；--2 ；--4
由 得 ；--5
当 时，有 ，则 ；--7
当 时，有 解得 ．--9
综上所述，实数m的取值范围是 ，或 --10
20．（12分）
已知关于 的不等式：
（1）若不等式的解集为 ，求 的值；
（2）若不等式的解集为 ，求 的取值范围．
【解析】（1）因为关于 的不等式： 的解集为 ，
A. B. C. D.
二、不定项选择题（每题5分，共20分，部分选对得3分）
9．下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是
A． B．所有正方形都是矩形
C． D．至少有一个实数x，使
10．下列结论正确的是
A．当 时， B．当 时， 的最小值是2
C．当 时， 的最小值是5
D．设 ， ，且 ，则 的最小值是
当且仅当x－1＝ ，即x＝3时，等号成立，
∴－2 ≤－2×5＝－10.
广东省东莞市两校2024-2025学年高一上学期期中联合学业质量监测考试数学试题含答案
2024~2025学年度第一学期期中联合学业质量监测考试高一数学（答案在最后）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合(){},2A x y y x ==，(){},|42B x y y x ==-，则A B = （）A.{}1,2 B.(){}1,2 C.(){}2,1 D.∅【答案】B 【解析】【分析】根据条件，知两集合中的元素是点，进而求出公共点，再利用集合的运算，即可求解.【详解】因为(){},2A x y y x ==，(){},|42B x y y x ==-，由242y xy x=⎧⎨=-⎩，解得1,2x y ==，所以A B = (){}1,2，故选：B2.Q 是有理数集，R 是实数集，命题:Q p x ∀∈R Q ð，则（）A.p 是真命题，:Q p x ⌝∃∈R Q ðB.p 是真命题，:Q p x ⌝∃∉R Q ðC.p 是假命题，:Q p x ⌝∃∈R Q ðD.p 是假命题，:Q p x ⌝∃∉R Qð【答案】C 【解析】【分析】根据特值可判断命题p 的真假，再结合命题的否定的概念可得p ⌝.【详解】命题:Q p x ∀∈R Q ð，由4Q ∈R 2Q =∉ð，则命题p 为假命题，且命题p 的否定为:Q p x ⌝∃∈R Q ð，故选：C.3.“方程210x ax -+=有实根”是“2a ≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由240a ∆=-≥得到210x ax -+=有实数根满足的条件，根据真包含关系得到答案.【详解】210x ax -+=有实数根，故240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-，由于[)2,+∞是[)(]2,,2+∞⋃-∞-的真子集，故“方程210x ax -+=有实根”是“2a ≥”的必要不充分条件.故选：B4.函数()232f x x x =-+的定义域是（）A.[)0,+∞ B.[)()0,11,+∞ C.[)()0,22,+∞ D.[)()()0,11,22,+∞ 【答案】D 【解析】【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得20320x x x ≥⎧⎨-+≠⎩，解得0x ≥且1x ≠且2x ≠，故定义域为[)()()0,11,22,+∞ .故选：D5.函数1()21f x x =++在[]0,1上的最小值为（）A.2B.52C. D.3【答案】B 【解析】【分析】由反比例函数的性质判断()f x 的单调性即可得出答案.【详解】因为1()21f x x =++在[]0,1上单调递减，所以当1x =时取最小值为15(1)2112f =+=+.故选：B ．6.设 1.20.9a =，0.31.2b =，0.31.1c =，则（）A.b c a >>B.a b c >>C.b a c >>D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】利用函数()0.9x f x =，0.3()g x x =和() 1.1x m x =的单调性，结合条件，即可求解.【详解】因为()0.9x f x =是减函数，所以201.0.910.9a <==，因为0.3()g x x =在[)0,+∞上单调递增，又1.2 1.1>，所以0.30.31.2 1.1b c =>=，又() 1.1x m x =是增函数，所以0.301.1 1.11>=，则b c a >>，故选：A.7.若()()22,031,0x ax a x f x a x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩在(),-∞+∞上是减函数，则（）A.03a ≤≤B.03a ≤<C.13a ≤≤D.13a ≤<【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数的定义及单调性列不等式组，解不等式即可.【详解】由已知函数()f x 在(),∞∞-+上单调递减，当0x <时，()()2222f x x ax a x a a a =-+=--+单调递减，则0a ≥，当0x ≥时，()()31f x a x =-+单调递减，则30a -<，即3a <，又结合分段函数可知1a ≥，综上所述13a ≤<.故选：D.8.已知正实数a ，b 满足26a b +=，则212a b ++的最小值为（）A.45B.43 C.98D.94【答案】C 【解析】【分析】利用乘1法即得.【详解】∵26a b +=，∴()214114122222822a b a b a b a b ⎛⎫+=+=+++ ⎪+++⎝⎭()(42121941582288b a b a +⎡⎤=+++≥⨯+=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当()42222b ab a+=+,即23b =，83a =时，取等号.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分不必要条件的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若22ac bc >，则a b >C.若0a b <<，则11a b > D.若11a b>，则0a b <<【答案】BC 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】对于选项A ，若a b >，0c =时，推不出22ac bc >，所以选项A 错误，对于选项B ，由22ac bc >，得到2()0a b c ->，又20c >，所以0a b ->，即a b >，所以22ac bc >可以推出a b >，由选项A 知a b >推不出22ac bc >，所以p 是q 的充分不必要条件，故选项B 正确，对于选项C ，易知0a b <<可以推出11a b >，取2,3a b ==，显然满足11a b>，但不满足0a b <<，即11a b>推不出0a b <<，所以p 是q 的充分不必要条件，故选项C 正确，对于选项D ，由选项C 知，11a b>推不出0a b <<，所以选项D 错误，故选：BC.10.下列与函数有关的命题中，正确的是（）A.若()24121f x x x -=--，则()32f =B.若幂函数()f x 的图象经过点(8,，则124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.若奇函数()f x 在()0,∞+有最小值4，则()f x 在(),0-∞有最大值4-D.若偶函数()f x 在()0,∞+是减函数，则()f x 在(),0-∞是增函数【答案】CD 【解析】【分析】利用换元法和待定系数法分别求得AB 选项函数解析式，进而可得函数值，再根据函数奇偶性可判断CD 选项.【详解】A 选项：()24121f x x x -=--，设41t x =-，则14t x +=，()22111323214416816t t f t t t ++⎛⎫⎛⎫=-⨯-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2132316816f x x x =--，()32f =-，A 选项错误；B 选项：设幂函数()kf x x =，过点(8,，则8k =，解得12k =，所以()12f x x =，则1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 选项错误；C 选项：由已知()f x 为奇函数，则−=−，()f x 在0,+∞有最小值4，即()0,x ∞∀∈+，()()04f x f x ≥=，则(),0x ∞-∈-时，()()04f x f x --≥--=，即()()04f x f x -≤-=-，即()f x 在(),0∞-有最大值4-，C 选项正确；D 选项：由已知()f x 为偶函数，又()f x 在0,+∞是减函数，设1x ∀，()2,0x ∞∈-，12x x <，则1x -，()20,x ∞-∈+，12x x ->-，故()()12f x f x -<-，故()()12f x f x <即()f x 在(),0∞-是增函数，D 选项正确；故选：CD.11.下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A.当0x <时，()112x x x x ⎡⎤+=--+≤-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x =取等，解得1x =-或1，又由0x <，所以1x =-，故0x <时，1x x+的最大值是2-.B.当1x >时，21x x +≥-当且仅当21x x =-取取等，解得1x =-或2，又由1x >，所以2x =，故1x >时，21x x +-的最小值为4.C.由于222299444244x x x x +=++-≥-=++，当且仅当22944x x =++取等，故2294x x ++的最小值是2.D.当,0x y >，且42x y +=时，由于24x y =+≥=，∴12≤，又114x y +≥=，当且仅当4x y =，x y =取等，故当,0x y >，且24x y =+时，11x y +的最小值为4.【答案】BCD 【解析】【分析】根据基本不等式的应用条件“一正，二定，三取等”分别判断各选项.【详解】A 选项：满足基本不等式的应用条件，正确；B 选项：不满足基本不等式的应用条件中的定值，错误；正确的为当1x >时，22111111x x x x +=-++≥=+--，当且仅当211x x -=-时取等，解得1x =+1-，又1x >，所以1x =+1x >时，21x x +-的最小值为1；C 选项：不满足基本不等式的应用条件中的取等，错误；正确的为2222994444x x x x +=++-++，设244t x =+≥，则94y t t =+-，又函数94y t t=+-在[)4,t ∞∈+上单调递增，所以当4t =即0x =时，y 取最小值为94y =，即2294x x ++的最小值为94；D 选项：选项中运用两次基本不等式，且两次的取等条件不一致，所以错误；正确的为：当,0x y >，且42x y +=时，()1111142x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭14141914552222y x y x x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫=+++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即23x =，13y =时等号成立，即11x y +的最小值为92，故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数()()02,0x f x x x x ≥=-<⎪⎩，则()()2f f -=______.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的定义直接计算函数值.【详解】由已知20-<，则()()()28222f =----⋅=，所以()()()82ff f -=，且80>，所以()8f ==，故答案为：.13.函数y =______.【答案】[]1,3-【解析】【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可求解.【详解】由题意可得2760x x +-≥，即2670x x --≤，解得：17x -≤≤，所以函数y =[]1,7-，y =267u x x =-++和y =复合而成，因为267u x x =-++对称轴为3x =，开口向下，所以267u x x =-++在区间[]1,3-上单调递增，在区间[]3,7上单调递减，而y =单调递增，所以y =的单调递增区间是[]1,3-，故答案为：[]1,3-.14.()(){}max ,f x g x 表示()f x 与()g x 中的较大者，设(){}2max 1,23h x x x x =+-++，则函数()h x 的最小值是______.【答案】0【解析】【分析】画出(){}2max 1,23h x x x x =+-++的图象，数形结合得到ℎ的最小值.【详解】令2123x x x -=+++，解得2x =或-1，令2231x x x -++=--，解得4x =或-1，画出(){}2max 1,23h x x x x =+-++的图象，如下：显然ℎ的最小值为0.故答案为：0四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.集合{}|()(2)0A x x a x =--<，{}2230B x x x =--<.（1）R 是实数集，若3a =-，求()()A B R RI痧；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(){R R|3A B x x ⋂=≤-痧或}3x ≥（2）13a -≤≤【解析】【分析】（1）根据条件，先求出集合,A B ，进而求得R R,A B 痧，利用集合的运算，即可求解；（2）根据条件得A B ⊆，再利用一元二次不等式的解法，对a 进行分类讨论，求出集合A ，再利用集合间的关系，即可求解.【小问1详解】当3a =-时，{}|(3)(2)0A x x x =+-<，由(3)(2)0x x +-<，得到32x -<<，所以{}|32A x x =-<<，得到{R |3A x x =≤-ð或}2x ≥，由2230x x --<，得到13x -<<，所以{}|13B x x =-<<，得到{R |1B x x =≤-ð或}3x ≥,所以()(){R R|3A B x x ⋂=≤-痧或}3x ≥.【小问2详解】由A B B = ，得到A B ⊆，又{}|13B x x =-<<，当2a <时，{}|2A x a x =<<，所以21a a <⎧⎨≥-⎩，得到12a -≤<，当2a =时，A =∅，满足A B ⊆，所以2a =满足题意，当2a >时，{}|2A x x a =<<，所以23a a >⎧⎨≤⎩，得到23a <≤，综上，实数a 的取值范围为13a -≤≤.16.已知函数()41f x x x =++（1）用定义法证明函数()f x 在区间[)1,+∞上是增函数；（2）函数()f x 的定义域为[)1,+∞，若()()21112f m m f m --<-，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）41m -<≤-或23m ≤<【解析】【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组221112111121m m mm m m ⎧--<-⎪--≥⎨⎪-≥⎩，即可求解.【小问1详解】任取12x x <，且[)12,1,x x ∞∈+，则()2112121212121221124()[(1)(1)4]44()11(1)(1)(1)(1)()f f x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+--=-+=-+++-=+++，又12x x <，[)12,1,x x ∞∈+，则1212,22x x +≥+>，所以12120,(1)(1)4x x x x -<++>，得到()12()0f x f x -<，即()12()f x f x <，所以函数()f x 在区间[)1,+∞上是增函数.【小问2详解】因为函数()f x 的定义域为[)1,+∞，且在区间[)1,+∞上是增函数，由()()21112f m m f m --<-，得到221112111121m m mm m m ⎧--<-⎪--≥⎨⎪-≥⎩，解得41m -<≤-或23m ≤<，所以实数m 的取值范围为41m -<≤-或23m ≤<.17.幂函数()()25af x a a x =+-的定义域是全体实数.（1）求()f x 的解析式；（2）若不等式()()14f x k x >+-在区间0,4上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()2f x x =（2）(),3-∞【解析】【分析】（1）根据幂函数定义得到系数为1，故()2f x x =；（2）()2140x k x -++>在区间0,4上恒成立，当0x =时，40>恒成立，当(]0,4x ∈时，参变分离，得到41x k x +>+在(]0,4x ∈恒成立，由基本不等式求出44x x+≥，从而得到3k <，得到答案.【小问1详解】由题意得251a a +-=，解得=2或3-，当3a =-时，()3f x x -=，此时定义域不是全体实数，故舍去；当=2时，()2f x x =，满足题意；【小问2详解】()214x k x >+-在区间0,4上恒成立，即()2140x k x -++>在区间0,4上恒成立，当0x =时，40>恒成立，满足要求，当(]0,4x ∈时，变形为41x k x +>+在(]0,4x ∈恒成立，其中44y x x =+≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，故41k >+，解得3k <，实数k 的取值范围是(),3∞-.18.如图，OAB △是以OA 为斜边的等腰直角三角形，且4OA =.动直线x t =与OAB △的边共有两个公共点，即04t <<，在OAB △内且位于直线x t =右侧的区域面积为()f t .（1）求()f t 的解析式；（2）设()()22g x f x =+-，证明：()g x 是奇函数.【答案】（1）()2214,0222,2184,242t t f t t t t t ⎧-<<⎪⎪==⎨⎪⎪-+<<⎩（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据分段函数的定义，分段讨论即可求出函数()f t 的解析式；（2）由（1）中结果，结合条件得()2212,2020,012,022x x x g x x x x x ⎧---<<⎪⎪==⎨⎪⎪-<<⎩，再利用奇偶函数的判断方法，即可证明结果.【小问1详解】因为OAB △是以OA 为斜边的等腰直角三角形，且4OA =，得到OB AB ==，所以142OAB S =⨯= ，当02t <<时，()2142f t t =-，当2t =时，()2f t =，当24t <<时，()21(4)2f t t =-，所以()2214,0222,2184,242t t f t t t t t ⎧-<<⎪⎪==⎨⎪⎪-+<<⎩.【小问2详解】因为()()22g x f x =+-，由（1）知()2214,0222,2184,242x x f x x x x x ⎧-<<⎪⎪==⎨⎪⎪-+<<⎩，所以()2212,2020,012,022x x x g x x x x x ⎧---<<⎪⎪==⎨⎪⎪-<<⎩，当20x -<<时，02x <-<，则2211()()2()222g x x x x x -=---=+，当0x =时，x 0-=，则()0g x -=，当02x <<时，20x -<-<，2211()()2()222g x x x x x -=----=-+，所以2212,202()0,012,022x x x g x x x x x ⎧+-<<⎪⎪-==⎨⎪⎪-+<<⎩，故()()g x g x -=，又()g x 的定义域为[]22-,，关于原点对称，所以()g x 是奇函数.19.已知函数()21ax b f x x +=+是R 上的奇函数，()512f =（1）求实数,a b 的值；（2）求函数()()()()2123g x f x mf x x =--≤≤⎡⎤⎣⎦的值域.【答案】（1）5,0a b ==（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，可得()00f b ==，再利用条件()512f =，可求得5a =，即可求解；（2）利用函数单调性的定义得到()251x f x x =+在区间[]2,3上单调递减，从而得到()3,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()3,22t f x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，将问题转化成求23122y t mt t ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭的值域，再利用二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】因为函数()21ax b f x x +=+是R 上的奇函数，则()00f b ==，又()512f =，()5122a f ==，得到5a =，所以()251x f x x =+，此时有()25()1x f x f x x --==-+，所以5a =，0b =，满足题意，故实数5a =，0b =.【小问2详解】由（1）知()251x f x x =+，任取[]1212,,2,3x x x x <∈，则22121221121212222222121212555(1)5(1)5()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，因为[]1212,,2,3x x x x <∈，则12120,4x x x x -<>，得到1212()(1)0x x x x -->，所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()251x f x x =+在区间[]2,3上单调递减，所以[]2,3x ∈时，()3,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()3,22t f x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，由()()()()2123g x f x mf x x =--≤≤⎡⎤⎣⎦，得到23122y t mt t ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭，对称轴为2m t =，当322m ≤时，21y t mt =--在区间3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时，min max 53,3242y m y m =-=-，当22m ≥时，21y t mt =--在区间3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时，max min 53,3242y m y m =-=-，当3222m <<时，22min ()11224m m m y m =-⨯-=--，①37224m <<时，max 32y m =-，②7242m ≤<是，max 5342y m =-，综上，当3m ≤时，函数()g x 的值域为53,3242m m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当732m <<时，函数()g x 的值域为21,324m m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦，当724m ≤<时，函数()g x 的值域为2531,442m m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦，当4≥m 时，函数()g x 的值域为5332,42m m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.。
广东省东莞实验中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题
广东省东莞实验中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合A ＝{x |0≤x <3，x ∈N}的真子集的个数是( )A ．7B ．8C ．16D ．42．已知集合{}{|32,},6,8,10,12,14A x x n n N B ==+∈=，则集合A B ⋂中的元素个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．23．b 克糖水中含a 克糖()0b a >>，若再加入m 克糖()0m >，则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式（ ）A ．a m a b m b +<+B ．a m a b m b +>+C ．a a m b b m -<-D ．a a b b m <+ 4．命题“[)x 0,∞∀∈+，22x x 0-≥”的否定是( )A ．[)x 0,∞∀∉+，22x x 0-<B ．[)x 0,∞∀∉+，22x x 0-≥C ．[)x 0,∞∃∈+，22x x 0-<D ．[)x 0,∞∃∈+，22x x 0-≥ 5．对于实数a ，b ，c 下列命题中的真命题是( )A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＞b ＞0，则11a b > C ．若a ＜b ＜0，则b a a b > D ．若a ＞b ，11a b >，则a ＞0，b ＜0 6．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，2=0x B xx ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1} 7．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，则y ＝14a b+的最小值是（ ） A ．245 B ．285 C ．92 D ．58．小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ）A ．B ．C 2a b +D ．v=2a b + 9．一元二次不等式2kx 2+kx ﹣38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ） A ．（﹣3，0）B ．（﹣3，0]C ．[﹣3，0]D ．（﹣∞，﹣3）∪[0，+∞） 10．在R 上的定义运算*：2,a b ab a b *=++则满足(2)0*-<x x 的解集为（ ） A ．(0，2)B ．(-2，1)C ． (,2)(1,)-∞-+∞D ．(-1，2)二、多选题11．下面命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“11a<”的 充 分不 必 要条件 B ．命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要 不 充 分 条件12．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ）A ．22a b ab a b +≥+B ．2a b +≤C ．22a b a b b a+≤+ D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2三、填空题 13．设全集U ＝{a ，b ，c ，d }，集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则()()U U A B ⋃=_____． 14．{}1,4,A x =，{}21,B x =，且A B B =，则x =______.15．若不等式220ax bx ++> 的解为1123x -<< ，则不等式220x bx a ++< 的解集是__________．四、双空题16．设x ＞0，y ＞0，x +2y =5_____，此时x ＝_____．五、解答题 17．设全集为R ，集合{}37A x x =≤<，{}26B x x =<<，求()R A B ⋂，R A B ．18．求下列不等式的解集（1）2560x x -+->； （2）22310x x -+>； （3）210x x -+>.19．已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠∅.(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．20．已知集合{}1,1A =-，}{220B x x ax b =-+=，若B ≠∅，且A B A ⋃= 求实数,a b 的值．21．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么（1）要保证每天所赚的利润在320元以上，应该怎么制定这种商品的销售价格？ （2）要保证每天所赚的利润最大，应该怎么制定这种商品的销售价格？22．已知关于x 不等式2220()x mx m m R -++≤∈的解集为M .(1)当M 为空集时,求m 的取值范围；(2)在(1)的条件下,求225()1m m f m m ++=+的最小值； (3)当M 不为空集,且[]1,4M ⊆时，求实数m 的取值范围.参考答案1．A【分析】首先用列举法表示集合A ，含有n 个元素的集合的真子集的个数是21n -个.【详解】{}0,1,2A =，集合含有3个元素，真子集的个数是3217-=，故选A.【点睛】本题考查集合的真子集个数的求解，属于基础题型，一个集合含有n 个元素，其子集个数是2n 个，真子集个数是21n -个.2．D【解析】由已知得A B ⋂中的元素均为偶数，n ∴ 应为取偶数，故{}8,14A B ⋂= ，故选D.3．B【分析】根据题意得出加糖前后糖水中糖的浓度的表达式，结合题意可得出不等关系，进而可得出结果.【详解】b 克糖水中含a 克糖，糖水中糖的浓度为a b ，再加入m 克糖()0m >后，糖水中糖的浓度为m a m b++， 加糖后，糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度变大了，则有a m ab m b +>+. 故选：B.【点睛】本题考查不等关系的求解，属于基础题.4．C根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，据此可得命题“[)0,x ∞∀∈+，220x x -≥”的否定是[)0,x ∃∈+∞，220x x -<， 故选C ．【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.5．D【分析】逐一分析选项，得到正确答案.【详解】A.当0c 时，22ac bc =，所以不正确；B.当0a b >>时，11a b <，所以不正确； C.()()22b a b a b a b a a b ab ab+---==，当0a b <<时， 0,0,0ab b a b a >+<-> ，0b a a b ∴-<，即b a a b<，所以不正确； D.110b a a b ab--=>， a b >0ab ∴< ，即0,0a b ><，所以D 正确.故选D.【点睛】本题考查不等式性质的应用，比较两个数的大小，1.做差法比较；2.不等式性质比较；3.函数单调性比较.6．B分别求出两个集合A 和B ，然后求A B .【详解】 1213x -≤+≤，解得11x -≤≤，{}11A x x ∴=-≤≤，()20200x x x x x ⎧-≤-≤⇒⎨≠⎩ ， 02x <≤ ，{}02B x x =<≤，{}01A B x x ∴⋂=<≤.故选B.【点睛】本题考查不等式的解法，以及集合的交集，意在考查转化与计算能力，属于基础题型. 7．C【分析】 由题可得()1142y a b a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求解即可 【详解】 0,0,2a b a b >>+=，()1141419552222b a y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即24,33a b ==时等号成立. 故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.8．A【分析】设甲乙两地相距S ，则平均速度22S ab v S S a b a b ==++，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】设甲乙两地相距S ，则平均速度22S ab v S S a b a b ==++，又∵a b <，∴22ab ab a a b b b>=++，∵a b +>∴2ab a b <=+∴a v <<A ．【点睛】 本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可， 属于基础题型.9．A【分析】根据二次函数的图象列式可解得结果.【详解】由一元二次不等式2kx 2+kx ﹣38＜0对一切实数x 都成立， 则2034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得﹣3＜k ＜0. 综上，满足一元二次不等式2kx 2+kx ﹣38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是（﹣3，0）. 故选：A .【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.10．B【分析】根据运算*：2,a b ab a b *=++将(2)0*-<x x ，转化为220x x +-<，再利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为运算*：2,a b ab a b *=++所以(2)=(2)+220*--+-<x x x x x x ，即220x x +-<，解得21x -<<.所以(2)0*-<x x 的解集为：(-2，1).故选：B【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题 11．ABD【分析】选项A:先判断由1a >,能不能推出11a <,再判断由11a <,能不能推出1a >,最后判断本选项是否正确；选项B: 根据命题的否定的定义进行判断即可.选项C:先判断由2x ≥且2y ≥能不能推出224x y +≥,然后再判断由224x y +≥能不能推出2x ≥且2y ≥,最后判断本选项是否正确；选项D:先判断由0a ≠能不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确.【详解】选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a >,能推出11a <,但是由11a <,不能推出1a >,例如当0a <时,符合11a<,但是不符合1a >,所以本选项是正确的； 选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.所以本选项是正确的；选项C:根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥,本选项是不正确的； 选项D: 因为b 可以等于零,所以由0a ≠不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确.故选ABD【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断,考查了命题的否定,属于基础题.12．ABD【分析】运用比较法、结合不等式的性质、反证法、基本不等式对四个选项逐一判断即可.【详解】选项A:222()4()22022()2()220,0a b ab a b ab a b a b ab a b ab a b a b a b a b a b a b++--++-==∴-≥∴≥+++>+>+,故本选项是正确的；选项B:因为0,0a b >>,22222222()()02244a b a b a b ab a b ++++--=-=≥,所以2a b +≤,因此本选项是正确的； 选项C:222233222()()()()()a b a b ab a b a b a b a b a b b a a b b a ab ab ab+---+-+-+-+===-,因为0,0a b >>,所以22222()()()0a b b a b a a b a b a b b a ab b a+-+-+=-≤⇒+≥+,因此本选项是不正确的；选项D:根据本选项特征,用反证法来解答.假设三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2不成立,则三个数111,,a b c b c a+++都小于2,所以这三个数的和小于6,而111111()()()6a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥=（当且仅当1a b c ===时取等号）,显然与这三个数的和小于6矛盾,故假设不成立,即三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2,故本选项是正确的. 故选ABD【点睛】本题考查了不等式的性质、做差比较法、反证法、基本不等式的应用,属于基础题.13．{},,a c d【分析】先分别求出U A ，U B ，即可求出并集. 【详解】{},U A c d =，{}U B a =，()(){},,U U A B a c d ∴⋃=.故答案为：{},,a c d .【点睛】本题考查集合的补集并集混合运算，属于基础题.14．2,0,2-【分析】根据集合的运算结果可得B A ⊆，令24x =或2x x =，解方程即可求解.【详解】由A B B =可得B A ⊆，当24x =时，则2x =±，当2x x =时，解得0x =或1x =（舍去），综上所述，2,2,0x =-，故答案为：2,0,2-【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数值，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 15．{}23x x -<<【解析】根据不等式的解集可知0112311223a b a a⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩ ，解得12,2a b =-=- ，即不等式为()()222212060230x x x x x x --<⇔--<⇔+-< ，所以不等式的解集为{}23x x -<<.16．122或3 【分析】16=，再利用基本不等式即可求出. 【详解】0,0,25x y x y >>+=，16===≤=，当且仅当=，即232x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或31x y =⎧⎨=⎩时，等号成立.故答案为：12；2或3. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.17．(){3R A B x x ⋂=<或}6x ≥，{2R A B x x ⋃=≤或}3x ≥.【分析】利用交集、补集的定义可求得()R A B ⋂，利用补集和并集的定义可求得集合R A B .【详解】全集为R ，集合{}37A x x =≤<，{}26B x x =<<，则{}36A B x x ⋂=≤<， 所以，(){3R A B x x ⋂=<或}6x ≥， {2R B x x =≤或}6x ≥，因此，{2R A B x x ⋃=≤或}3x ≥.【点睛】 本题考查交集、并集与补集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.18．(1){}23x x <<； (2)112x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；(3)x ∈R 【分析】（1）把不等式2560x x -+->化为(2)(3)0x x -->，即可求解；（2）把不等式22310x x -+>可化为(21)(1)0x x -->，即可求解；（3）由30∆=-<，即可得到不等式210x x -+>的解集为R .【详解】（1）由题意，不等式2560x x -+->，等价于256(2)(3)0x x x x -+=-->，解得23x <<，所以不等式2560x x -+->的解集为{}23x x <<.（2）不等式22310x x -+>，可化为(21)(1)0x x -->，解得12x <或1x >， 即不等式22310x x -+>的解集为112x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或. （3）不等式210x x -+>，因为224(1)4130b ac ∆=-=--⨯=-<，所以不等式210x x -+>的解集为R .【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 19．（1）43≤a ≤2.（2）0＜a ≤23或a ≥4. 【分析】（1）根据条件可知，A B ⊆，列不等式求参数a 的取值范围；（2）根据A B φ⋂=，且B φ≠，可知4a ≥或032a a >⎧⎨≤⎩，求a 的取值范围.【详解】解:(1)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B .,234a a ≤⎧∴⎨≥⎩解得a 的取值范围为43≤a ≤2. (2)由B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠∅，∴a ＞0.若A ∩B ＝∅，∴a ≥4或032a a >⎧⎨≤⎩，所以a 的取值范围为0＜a ≤23或a ≥4. 【点睛】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题，属于简单题型，一般涉及子集问题时，需考虑集合是空集或非空集两种情况，分析问题时还需借助数轴分析问题.20．11a b =-⎧⎨=⎩或11a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 【解析】分析：根据A B A ⋃=，可得B A ⊆，利用B ϕ≠，且{}1,1A =-，可知{}{}{}1,1,1,1B =--，结合{}2|20B x x ax b =-+= ，即可求得,a b 的值.详解：若，且，则B A ⊆,当时，则，解得，当时，则，解得，当时，则，解得所以或或.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求集合A 的元素组成的不同集合. 21．（1）销售价格需定在[]12,16内；（2）销售价格应定为14元.【分析】构造利润y 与销售价格x 之间的函数关系式，（1）令320y ≥，解一元二次不等式可得价格区间；（2）根据二次函数性质可知最大值点，从而确定销售价格.【详解】设销售价格为()1020x x ≤≤元，每天的利润为y 元，则()()281001010102801600y x x x x =---=-+-⎡⎤⎣⎦，1020x ≤≤， （1）若每天的利润在320元以上，即320y ≥，则2102801600320x x -+-≥，解得：1216x ≤≤，∴要保证每天所赚的利润在320元以上，这种商品的销售价格需定在[]12,16内. （2）由二次函数性质可知：当2801420x =-=-时，max 196039201600360y =-+-=， ∴要保证每天所赚的利润最大，这种商品的销售价格应定为14元.【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，解题关键是能够建立起利润和销售价格之间的函数关系式，属于基础题.22．(1)(1,2)-(2)最小值为4(3)182,7m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 【分析】(1) 当M 为空集时,说明方程2220x mx m -++=无实根,利用用根的判别式求出m 的取值范围；(2)把函数()f m 的解析式变形为4()(1)1f m m m =+++,运用基本不等式,求出函数()f m 的最小值；(3) 当M 不为空集,且[]1,4M ⊆时,说明方程2220x mx m -++=在[]1,4上存在两个实根,利用二次函数的图象与性质,可得到关于实数m 的不等式组,解这个不等式组即可求出实数m 的取值范围.【详解】解：(1)M 为空集, 方程2220x mx m -++=无实根,244(2)0m m ∴∆=-+<,即220m m --<,解得12m -<<,实数m 的取值范围为(1,2)-;(2)由（1）知(1,2)m ∈-,则013m <+<,2225(1)44()(1)4111m m m f m m m m m ++++∴===++≥=+++ 当且仅当411m m +=+,即1m =时等号成立. 所以225()1m m f m m ++=+的最小值为4. (3)令22222()2x mx m x m m m -++=--++,当M 不为空集时,由[]1,4M ⊆,得 0(1)0(4)014f f m ∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤≤⎩，解得1827m ≤≤.综上,实数m 的取值范围为182,7m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了已知不等式的解集求参数问题,考查了利用基本不等式求函数最小值问题,考查了已知集合之间的关系求参数问题.。
广东省东莞市2020-2021学年第一学期高一七校联考数学试题
(x)
=
x2
−
x,
x
0
（1）画出函数 f (x) 的图象，写出 f (x) 的单调区间，并指出每个区间的单调性；
（2）若关于 x 的不等式[ f (x)]2 − (a + 2) f (x) + 2a 0 恰有 3 个整数解，求实数 a 的取值范围．
2020-2021 学年第一学期东莞市七校联考答案 高一数学
…………………1 分
∴ A B = x | −1 x 5
…………………3 分
又 A B = x | 3 x 4
…………………5 分
∴ CR (A B) = x | x 3 或 x 4 .
…………………7 分
(2) 因为 A B = ， 所以 m + 2 −1或 m 4 ，
…………9 分
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．命题“ x R ， x2 + 2x + 2 0 ”的否定是（ ）
A． x R ， x2 + 2x + 2 0
B． x R ， x2 + 2x + 2 0
C． x R ， x2 + 2x + 2 0
D． x R ， x2 + 2x + 2 0
则中间区域的长为 x − 4(m) ，宽为 200 − 4(m) ， x (4,50) …………………4 分
x
则
y
=
100
(
x
−
4)
200 x
−
4
+
200
200
−
(
x
−
广东省东莞市东莞中学松山湖学校2024-2025学年高一上学期第一次检测数学试卷(含答案)
松山湖学校2024-2025学年高一上学期第一次检测数学试卷满分150分考试用时120分钟一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.3.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.B.C. D.4.已知，则的取值范围是（）A. B. C. D.5.若正数满足，则的最小值是（ ）A.4 B.6 C.8 D.106.在自然数集上定义的函数，则的值是（ ）A.997 B.998 C.999 D.10007.已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）A. B. C.D.8.已知定义在上的函数在上的图象由左至右是下降的，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.{}{}220,2M xx x Q x x =+-≤=∈≤N ∣∣M Q ⋂={}0,1{}2,1,0,1--[]2,1-[]0,121,1x x m ∀>->21,1x x m ∃>-≤21,1x x m ∃≤-≤21,1x x m ∀>-≤21,1x x m ∀≤-≤[]21,1,20x x x a ∃∈--->2a <3a <3a ≤2a ≥][5,27,6,30ab a b ⎡⎤-∈+∈⎣⎦75a b -[]24,192-[]24,252-[]36,252[]36,192,x y 32x y +=31x y+N ()()()310007(1000)n n f n f n n ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩()90f ()21y f x =-[]1,3-y =(]2,5-(]2,3-[]1,3-[]2,5-R ()221f x x tx =-+(],1-∞[]12,0,1x x t ∈+()()122f x f x -≤x ⎡⎣[]1,1-[]0,1[]1,3二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四合选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，则（ ）A.B.C. D.10.下列说法正确的是（）A.若，则B.命题“”的否定是“或”C.若，则函数的最小值为2D.当时，不等式恒成立，则的取值范围是11.已知函数，则下列说法不正确的是（ ）A.B.，都有成立C.当时，D.若满足不等式的整数恰好有2个，则的值仅有8个三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知集合为整数，则的所有真子集的个数是__________.13.已知函数，则的解析式为__________.14.已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）集合.{}{}210,A x x B =∈+==∅R ∣A =∅AB =A B ≠A B⊆a b >22ac bc >(),12x fx ∃∈<≤R (),1x f x ∀∈≤R ()2f x >x ∈R y =+x ∈R 210kx kx -+>k [)0,4()236,0362,0x x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨---<⎪⎩()20f =()()120,,,0x x ∀∈+∞∈-∞()()123f x f x -≤0,0a b >>()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()()()0x f x m m -≥∈N x m {523|M x x =∈--R }M )22f x =++()f x ()f x m =[](),(1a b b a >≥-()f x [],a b []2,2a b m {}(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=∣∣（1）若，写出集合的真子集；（2）若，求实数的取值范围.16.（15分）设：实数满足：实数满足.（1）若，且均为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.17.（15分）已知二次函数满足，且该函数的图象过点，在轴上截得的线段长为2.（1）求函数的解析式；（2）对于每个实数，设取两个函数值中的最大值，用分段函数的形式写出的解析式，并求出的值域.18.（17分）已知函数.（1）若，且，求的值；（2）当时，若函数的值域和函数的值域相同，求的取值范围；19.（17分）已知函数.（1）当时，求的值；（2）若函数的图象与直线有三个不同的交点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，设三个交点的横坐标分别为，若恒成立，求实数的取值范围.{}2A B ⋂=B A B A ⋃=a p x ()223200,x ax a a q -+≤>x 305x x -<-2a =,p q x p q a ()f x ()()11f x f x +=-()1,3-x ()f x x ()g x (),2y f x y x ==()g x ()g x ()()22,f x x ax b a b =++∈R ()()2f x f x =-()23f =,a b 1a =()f x ()()ff x b ()()222222,0022,0x ax a a x f x a x ax a a x ⎧-+-+>=>⎨++-<⎩2a =()()5f f ()f x 3y =a ()123123,,x x x x x x <<123x t x x <+t2024-2025学年度第一学期第一次检测高一数学试卷参考答案与试题解析一､选择题（共8小题）1.A.2.A.3.A.4.D.5.C.6.A.7.A.8.A.二､多选题（共3小题）9.ACD.10.BD.11.AC.三､填空题（共3小题）12.511.13.所以所以14..四､解答题（共5小题）15.解：（1）集合，若，则，22t +=≥22,(2)t x t =-=-()()()22(2)222222f t t t t t t =-+-+=-+≥()[)()2222,f x x x x =-+∈+∞1728m m ⎧⎫-<-⎨⎬⎩⎭…{}{}23201,2A x x x =-+==∣{}2A B ⋂=2,1B B ∈∉.所以，解得或，当时，，所以集合的真子集为：.当时，，所以集合的真子集为：；综上，当时，集合的真子集为：；当时，集合的真子集为：.（2）对于集合中的方程，，因为，所以，当，即，此时，显然满足；当，即，此时，满足；当，即，当，才能满足条件，由韦达定理有，，即，无解.故实数的取值范围是.16.解：（1）时，由命题，可得得，由命题，解得，均为真命题，取值范围是；（2）设，则，得，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，则有（等号不同时成立），化简得，(){}222150B x x a x a =+++-=∣()()222224150,12150a a a a +++-=+++-≠3a =-1-3a =-{}{}24402B x x x =-+==∣B ∅1a =-{}{}2402,2B x x =-==-∣B {}{},2,2∅-1a =-B {}{},2,2∅-3a =-B ∅B ()()224(1)4583a a a ∆=+--=+A B A ⋃=B A ⊆()830a ∆=+<3a <-B =∅()830a ∆=+=3a =-{}2B =()830a ∆=+>3a >-{1B A ==2}()21221125a a ⎧+=-+⎨⨯=-⎩2527a a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩a {}3a a -∣…2a =p ()()2680240x x x x -+⇔--……24x ……q ()()303505x x x x -<⇔--<-35x <<,p q x ∴(3,4](){}2233200,05x A x x ax a a B x x ⎧⎫-=-+>=<⎨⎬-⎩⎭∣…()3,5B =()()223220x ax a x a x a -+=--…[],2A a a =p q B A 325a a ⎧⎨⎩ (5)32a ……所以实数的取值范围是.17.解：（1）设二次函数，因为，所以的图象关于对称，所以，即，因为函数的图象过点，所以①，因为在轴上截得的线段长为2，设的两个零点为，且，则，所以，即②，由①，②两式解得：，所以；（2）因为，所以当时，，当或时，，所以，当或时，由二次函数的性质可知，当时，，所以的值域为.18.a 5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦()2f x ax bx c =++()()11f x f x +=-()f x 1x =2b a =-()22f x ax ax c =-+()f x ()1,3-33a c +=()f x x ()0f x =12,x x 12x x <1212212,,2c x x x x x x a+==-=444c a-⋅=0c =1,0a c ==()22f x x x =-()2224x x x x x --=-04x ……222x x x -…4x >0x <222x x x ->()22,402,04x x x x g x x x ⎧-><=⎨⎩或……4x >0x <()0g x >04x ……()08g x ……()g x [)0,+∞解：（1）由函数，因为，且，可得，解得.（2）当，函数，令，则，因为函数的值域和函数相同，可得，解得，所以实数的取值范围为.19.解：（1）当时，，所以.（2）函数的图象与直线有三个不同的交点，当，即时，，故；当，即时，，故；当，即时，无解；当，即时，，故无解.综上，实数的取值范围是.（3）由题知，是的较小根，是方程的根，所以，令，())22(,f x x ax b a b =++∈R ()()2f x f x =-()23f =()2282322(2)2a b x ax b x a x b ++=⎧⎨++=-+-+⎩4,3a b =-=1a =()2211122,488f x x x b x b b ⎛⎫⎡⎫=++=++-∈-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭()t f x =()()()2211122,,488f f x f t t t b t b t b ⎛⎫⎡⎫==++=++-∈-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭()f x ()()f f x 1184b --…18b -…b 1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦2a =()224,04,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+<⎩()()()555f f f =-=()f x 3y =220a a -…02a <…2232a a a -<<322a <…2220a a a -<-<24a <<2232a a a -<…23a <…222a a a -=-4a =a 222a a a -<-4a >23a =a a 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦1x 22223x ax a a ++-=23,x x 22223x ax a a -+-+=1232x a x x a =-+=12312x z x x ==-+设上单调递减，所以时，，因为恒成立，所以，所以实数的取值范围.1121,,332m z a ⎡⎫=∈=-⎪⎢⎣⎭12,33m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭13m =max z 1=-123x t x x <+1t >-t ()1,-+∞。
广东省东莞市2020-2021学年高一上学期教学质量检查(期末)数学试卷 (解析含)
广东省东莞市2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，2}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩（∁U B）＝（）A．{0，2，3}B．{2，3}C．{2}D．{﹣1，1}2．命题“∀x＞0，”的否定是（）A．∃x0＞0，B．∃x0≤0，C．∃x0＞0，D．∀x＞0，3．如图是函数f（x）的图象，则下列说法不正确的是（）A．f（0）＝﹣2B．f（x）的定义域为[﹣3，2]C．f（x）的值域为[﹣2，2]D．若f（x）＝0，则或24．圆心角为1弧度的扇形弧长为，则扇形的面积为（）A．B．2C．D．15．2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心．已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200m3，高为3m．如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为（）A．204000元B．228000元C．234500元D．297000元6．使“不等式x2﹣2x+a＞0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．a＞1B．a＞0C．a＜1D．a＜07．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若，，则A⊗B为（）A．{x|﹣2≤x＜0，或x＞1}B．{x|﹣2≤x≤0，或x≥1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|x≥﹣2}8．三角形△ABC中，，BC边上的高等于，则tan∠BAC＝（）A．B．C．2D．﹣2二、多项选择题（共4小题）.9．设b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A．|a|+b＞0B．C．D．lna2＜lnb210．如图是函数f（x）的部分图象，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．11．若一个函数的图象能将圆的周长和面积同时分成相等的两部分，则称该函数为“太极函数”．则下列函数可以作为“太极函数”的是（）A．f（x）＝2sin x+3cos xB．f（x）＝C．f（x）＝e x﹣e﹣xD．12．已知函数f（x）＝，若存在x1＜x2＜x3＜x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列选项正确的是（）A．x1+x2＝﹣1B．x3•x4＝1C．D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13．己知幂函数f（x）经过点，则＝．14．已知f（x）＝，若f（a）＝﹣2，则a＝．15．已知角α的终边经过点（1，2），则＝．16．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，x∈（﹣1，+∞），若，则b﹣a的取值范围为．四、解答题（共6小题，第17题10分，18/19、20、21、22题各12分，共70分）. 17．已知集合A＝{x|1≤3x≤27}，B＝（1，+∞）．（1）求A∪（∁R B）；（2）若C＝{x|a﹣4≤x≤a}，且A∩C＝A，求实数a的取值范围．18．已知函数．（1）若，，求f（α）；（2）把f（x）的图象向左平移个单位长度，然后把图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．19．某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离，他在每个测试点投篮30次，得到投篮命中数量y（单位：个）与测试点投篮距离x（单位：米）的部分数据如表：x3568y25292820为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系，现有以下三种y＝f（x）函数模型供选择：①f（x）＝ax3+b，②f（x）＝﹣x2+ax+b，③f（x）＝ab x．（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数f（x）在闭区间[0，m]上的最大值为29，最小值为4，求m的取值范围．20．已知函数．（1）当a＝2时，判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）探究函数f（x）的奇偶性，并证明．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了简车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m．简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为．（1）求A，ω，φ，b的值；（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t 的函数解析式，并求出高度差的最大值．22．已知奇函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且当x＞0时，f（x）＝x+log2x．（1）求f（x）的解析式；（2）已知g（x）＝x+2x，存在x1，x2使得f（x1）＝g（x2）＝0，试判断x1，x2的大小关系并证明．广东省东莞市2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，2}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩（∁U B）＝（）A．{0，2，3}B．{2，3}C．{2}D．{﹣1，1}解：全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，2}，B＝{﹣1，0，1}，∴∁U B＝{2，3}，∴A∩（∁U B）＝{2}．故选：C．2．命题“∀x＞0，”的否定是（）A．∃x0＞0，B．∃x0≤0，C．∃x0＞0，D．∀x＞0，解：根据含有量词的命题的否定，即先改变量词，然后再否定结论，所以命题“∀x＞0，”的否定是∃x0＞0，．故选：A．3．如图是函数f（x）的图象，则下列说法不正确的是（）A．f（0）＝﹣2B．f（x）的定义域为[﹣3，2]C．f（x）的值域为[﹣2，2]D．若f（x）＝0，则或2解：由图象值f（0）＝﹣2正确，函数的定义域为[﹣3，2]正确，函数的最小值为﹣3，即函数的值域为[﹣3，2]，故C错误，若f（x）＝0，则或2，故D正确故选：C．4．圆心角为1弧度的扇形弧长为，则扇形的面积为（）A．B．2C．D．1解：因为：扇形的弧长为，圆心角为1弧度，所以：圆的半径为：r＝＝＝，所以：扇形的面积为：S＝lr＝××＝1．故选：D．5．2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心．已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200m3，高为3m．如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为（）A．204000元B．228000元C．234500元D．297000元解：设实验室的长为xm，由体积为1200m3，高为3m，可得底面积为，则宽为m，则底面造价为400×150＝60000（元），房顶造价为400×300＝120000（元）．墙壁造价为3x×200×2+＝1200（x+），故总造价为W＝60000+120000+1200（x+）＝180000+1200（x+）．当且仅当x＝，即x＝20时等号成立．故选：A．6．使“不等式x2﹣2x+a＞0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．a＞1B．a＞0C．a＜1D．a＜0解：因为不等式x2﹣2x+a＞0在x∈R上恒成立，所以﹣a＜（x2﹣2x）min＝[（x﹣1）2﹣1]min＝﹣1，即a＞1，而a＞1可以推出a＞0，a＞0不能推出a＞1，所以“不等式x2﹣2x+a＞0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是a＞0，故选：B．7．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若，，则A⊗B为（）A．{x|﹣2≤x＜0，或x＞1}B．{x|﹣2≤x≤0，或x≥1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|x≥﹣2}解：∵＝{y|y≥0}，＝{x|﹣2≤x≤1}，∴A∪B＝{x|x≥﹣2}，A∩B＝{x|0≤x≤1}，∴A⊗B＝∁（A∪B）（A∩B）＝{x|﹣2≤x＜0，或x＞1}．故选：A．8．三角形△ABC中，，BC边上的高等于，则tan∠BAC＝（）A．B．C．2D．﹣2解：如图所示，设AD＝x，则BD＝x，DC＝3x，所以AB＝，在△ABC中，由余弦定理可得，则，所以．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小颗5分，共20分，在每小顾给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，右选错的得0分，部分选对的得3分，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9．设b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A．|a|+b＞0B．C．D．lna2＜lnb2解：∵b＜a＜0，不妨设b＝﹣2，a＝﹣1，则|a|+b＝﹣1，故A不正确；∵＝﹣，＝﹣，故B不正确；∵b+＝﹣3，a+＝﹣，∴b+＜a+，故C正确；∵0＜a2＜b2，∴lna2＜lnb2，故D正确，故选：CD．10．如图是函数f（x）的部分图象，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．解：由已知图象可得：A＝2，＝﹣，解得T＝π＝，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ），∵f（x）图象过点（，2），可得2sin（2×+φ）＝2，可得：2×+φ＝+2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ+，k∈Z，∴当k＝0时，可得φ＝，可得f（x）＝2sin（2x+），故A正确；由于＝2sin[π﹣（+2x）]＝2sin（2x+），故B正确；由于＝2sin[﹣（2x+）]＝﹣2sin（2x+），故C错误；由于＝2cos[﹣（+2x）]＝2sin（2x+），故D正确．故选：ABD．11．若一个函数的图象能将圆的周长和面积同时分成相等的两部分，则称该函数为“太极函数”．则下列函数可以作为“太极函数”的是（）A．f（x）＝2sin x+3cos xB．f（x）＝C．f（x）＝e x﹣e﹣xD．解：因为f（x）＝2sin x+3cos x＝，它的图象是由函数y＝sin x左右平移得到的，而函数y＝sin x是中心对称图形，所以函数f（x）也是中心对称图形，故选项A 正确；因为函数f（x）＝为偶函数，故函数f（x）不是中心对称图形，故选项B 错误；因为f（x）＝e x﹣e﹣x，则有f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，函数f（x）不是中心对称图形，故选项C正确；因为＝，它的图象是由函数向左平移1个单位，向上平移1个单位得到的，而函数关于原点对称，故函数f（x）关于（﹣1，1）对称，故函数f（x）是中心对称图形，故选项D正确．故选：AC．12．已知函数f（x）＝，若存在x1＜x2＜x3＜x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列选项正确的是（）A．x1+x2＝﹣1B．x3•x4＝1C．D．解：作出函数f（x）＝的图象如图所示，∵存在x1＜x2＜x3＜x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝m，∴x1+x2＝﹣2，﹣log2x3＝log2x4，得log2（x3x4）＝0，即x3x4＝1．又，x3≠x4，∴x3+x4＞2，∵f（x）＝1时，，x4＝2，∴，故C错误；x≤0时，f（x1）＝f（x2）＝m，方程4x2+8x+1﹣m＝0有两解，∴，又m∈（0，1]，∴x1x2∈[0，）．故选：BD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13．己知幂函数f（x）经过点，则＝．解：设幂函数f（x）＝xα，∵它的图象经过点，∴3α＝，∴α＝，f（x）＝＝，则＝＝，故答案为：．14．已知f（x）＝，若f（a）＝﹣2，则a＝．解：f（x）＝，若f（a）＝﹣2，当a≤0时，则4a＝﹣2，此时a不存在，当a＞0时，则log2a＝﹣2，解得，a＝．综上，a＝．故答案为：．15．已知角α的终边经过点（1，2），则＝．解：∵角α的终边经过点（1，2），∴sinα＝＝，cosα＝＝，则＝sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，故答案为：．16．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，x∈（﹣1，+∞），若，则b﹣a的取值范围为（0，2）．解：作出函数f（x）＝|2x﹣1|，x∈（﹣1，+∞）的图象如图，x∈（﹣1，0），f（x）∈（0，），x∈（0，+∞），f（x）∈（0，+∞），由，得x＝，则b∈[，+∞），∴当a→+∞，b→+∞时，b﹣a→0，当a→﹣1时，f（a）→，此时令f（b）＝1，b﹣a最大，此时b→1．∴b﹣a的最大值→2．∴b﹣a的取值范围为（0，2）．故答案为：（0，2）．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18/19、20、21、22题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17．已知集合A＝{x|1≤3x≤27}，B＝（1，+∞）．（1）求A∪（∁R B）；（2）若C＝{x|a﹣4≤x≤a}，且A∩C＝A，求实数a的取值范围．解：（1）由1≤3x≤27，得30≤3x≤33，所以0≤x≤3，所以A＝[0，3]，由B＝（1，+∞），得∁R B＝（﹣∞，1]，所以A∪（∁R B）＝（﹣∞，3]．（2）由A∩C＝A，得A⊆C，所以，解得，所以3≤a≤4．故实数a的取值范围是[3，4]．18．已知函数．（1）若，，求f（α）；（2）把f（x）的图象向左平移个单位长度，然后把图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．解：（1）由已知得，因为，所以，所以＝．（2）把f（x）的图象向左平移个单位得到，然后把图象上各点的横坐标变为原来的，得到，由，得，所以函数g（x）的单调增区间是．19．某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离，他在每个测试点投篮30次，得到投篮命中数量y（单位：个）与测试点投篮距离x（单位：米）的部分数据如表：x3568y25292820为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系，现有以下三种y＝f（x）函数模型供选择：①f（x）＝ax3+b，②f（x）＝﹣x2+ax+b，③f（x）＝ab x．（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数f（x）在闭区间[0，m]上的最大值为29，最小值为4，求m的取值范围．解：（1）由表中数据可知，f（x）先单调递增后单调递减，∵f（x）＝ax3+b与f（x）＝ab x都是单调函数，∴不符合题意；∵f（x）＝﹣x2+ax+b先单调递增后单调递减，∴符合题意．由表格数据得，解得，∴f（x）＝﹣x2+10x+4；（2）由（1）知f（x）＝﹣x2+10x+4，故对称轴为x＝5，∴f（x）在（﹣∞，5]上单调递增，在（5，+∞）上单调递减，∵f（0）＝4，f（5）＝29，∴m≥5，又∵f（x）＝﹣x2+10x+4＝4时，x＝0或10，∴m≤10，综上所述，5≤m≤10，故m的范围是[5，10]．20．已知函数．（1）当a＝2时，判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）探究函数f（x）的奇偶性，并证明．解：（1）当a＝2时，，在区间[1，+∞）上单调递增，证明：∀x1，x2∈[1，+∞），令x1＜x2，则＝因为1≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞1，x1+x2＞2，所以（x1+x2）x1x2＞2，即（x1+x2）x1x2﹣2＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．（2）f（x）的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f（x）＝x2，因为f（﹣x）＝（﹣x）2＝x2＝f（x），所以f（x）是偶函数．当a≠0时，因为f（﹣1）＝1﹣a，f（1）＝1+a，所以f（﹣1）≠f（1），因为f（﹣1）+f（1）＝2≠0，所以f（﹣1）≠﹣f（1），所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．综上所述，当a＝0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了简车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m．简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为．（1）求A，ω，φ，b的值；（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t 的函数解析式，并求出高度差的最大值．解：（1）由题知，得ω＝π，由题意得A＝3，，；（2）方法一：∵盛水筒出水后到最高点至少经历个圆周，∴．方法二：由，得，∴，即，当k＝0时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时；（3）设两个相邻的盛水筒分别用A和B表示（A领先于B），则，经过tmin相邻两个盛水筒距离水面的高度分别和，∴，t∈[0，+∞），∴h的最大值为．22．已知奇函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且当x＞0时，f（x）＝x+log2x．（1）求f（x）的解析式；（2）已知g（x）＝x+2x，存在x1，x2使得f（x1）＝g（x2）＝0，试判断x1，x2的大小关系并证明．解：（1）令x＜0，则﹣x＞0，因为f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x+log2（﹣x））＝x﹣log2（﹣x），所以．（2）当x＞0时，f（x）＝x+log2x，易知f（x）在（0，+∞）上单调递增，因为，所以f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，因为f（x）为奇函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上也存在唯一零点，所以f（x）有两个零点，易知g（x）＝x+2x在R上单调递增，因为，所以g（x）＝x+2x在R上存在唯一零点x2，且﹣＜x2＜0，因为，所以，即log2（﹣x2）＝x2，即x2﹣log2（﹣x2）＝0，所以x2也是f（x）的一个零点，所以当x1＜0时，x1＝x2；当x1＞0时，x1＞0＞x2．。
2023-2024学年广东省东莞市七校联考高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省东莞市七校联考高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1．设集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2+2x ﹣3＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{﹣1，0}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣2，﹣1，0}2．“|x |＜2”是“x ＜2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=log 2(x +3)+1x+2的定义域是（ ） A ．[﹣3，+∞） B ．（﹣3，﹣2）∪（﹣2，+∞） C ．（﹣3，+∞）D ．[﹣3，2）∪（2，+∞）4．若不等式x 2+ax +b ＞0的解集是{x |x ＜﹣3或x ＞2}，则a ，b 的值为（ ） A ．a ＝1，b ＝6B ．a ＝﹣1，b ＝6C ．a ＝1，b ＝﹣6D ．a ＝﹣1，b ＝﹣65．函数y ＝a x +2+1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过的定点是（ ） A ．（﹣2，0）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（﹣2，2）6．设a ＝log 0.52，b ＝0.52，c ＝20.5，则a 、b 、c 的大小顺序是（ ） A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b7．函数f （x ）＝﹣x 2﹣4x +2在[m ，0]上的值域为[2，6]，则m 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣4，0]C ．[﹣2，0]D ．（﹣∞，﹣2]8．已知函数f （x ）＝ax 3+bx +2在[2，3]上的值域为[2，3]，则g （x ）＝ax 3+bx ﹣1在[﹣3，﹣2]上的值域为（ ） A ．[﹣5，﹣4]B ．[﹣4，﹣3]C ．[﹣3，﹣2]D ．[﹣2，﹣1]二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ） A ．f （x ）＝﹣x B ．f(x)=−√x 3C ．f （x ）＝x 3+xD ．f （x ）＝e ﹣x ﹣e x11．下列说法正确的是（ ） A ．x +1x(x ＞0)的最小值是2B ．2√x 2的最小值是2C ．x x 2+x+1(x ＜0)的最小值是﹣1D ．若x ＞0，则2−3x −4x的最大值是2−4√312．已知函数f （x ）={log a (8−ax)，x ＜24−x ，x ≥2是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a 的值可以是（ ）A ．12B ．43C ．2D ．3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13．命题：“∀x ∈（1，+∞），x 2﹣1＞0”的否定是 ． 14．1634−4log 4π+√(3−π)2+log 62+log 63= ． 15．写出一个最小值为2的偶函数f （x ）＝ ． 16．已知函数f （x ）={x 3+2，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，若f [f （0）]＝﹣2，则实数a ＝ ．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17．（10分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣2＜x ＜2}，B ＝{x |3a ﹣2＜x ＜2a +1}． （1）当a ＝1时，求A ∪（∁U B ）； （2）若B ⊆A ，求a 的取值范围．18．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x 4m−m 2是奇函数． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ），求x 的取值范围． 19．（12分）已知函数f(x)=log 2(x 2+2ax +a)． （1）若f （x ）的定义域为R ，求a 的取值范围； （2）若f （0）+f （1）＝log 35•log 59，求a ．20．（12分）给定函数f （x ）＝x +2，g （x ）＝x 2﹣6x +8，h （x ）＝﹣x +8，∀x ∈R ，用m （x ）表示f （x ），g（x ），h （x ）中的较小者，记为m （x ）＝min {f （x ），g （x ），h （x ）}． （1）求函数y ＝m （x ）的解析式，画出其图象，根据图象写出函数的单调区间； （2）求不等式0＜m （x ）≤3的解集．21．（12分）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x 万件电子芯片需要投入的流动成本为f （x ）（单位：万元），当年产量不超过14万件时，f(x)=23x 2+4x ；当年产量超过14万件时，f(x)=17x +400x−80．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．（1）写出年利润g （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 22．（12分）已知函数f （x ）=3x+a3x +b，且f （x ）是定义域为R 的奇函数．（1）求a 和b 的值；（2）判断f （x ）的单调性，用定义法证明；（3）若对任意实数m ，不等式f （m ﹣1）+f （m 2+t ）≥0恒成立，求实数t 的取值范围．2023-2024学年广东省东莞市七校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0}解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜0}＝{﹣1，0}．故选：B．2．“|x|＜2”是“x＜2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当|x|＜2时，可得﹣2＜x＜2，即x＜2成立；反之，若x＜2，则可能x＝﹣3，不能得到|x|＜2．综上所述，“|x|＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．故选：A．3．函数f(x)=log2(x+3)+1x+2的定义域是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，﹣2）∪（﹣2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．[﹣3，2）∪（2，+∞）解：f(x)=log2(x+3)+1x+2，令{x+3＞0x+2≠0，解得﹣3＜x＜﹣2或x＞﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣3，﹣2）∪（﹣2，+∞）．故选：B．4．若不等式x2+ax+b＞0的解集是{x|x＜﹣3或x＞2}，则a，b的值为（）A．a＝1，b＝6B．a＝﹣1，b＝6C．a＝1，b＝﹣6D．a＝﹣1，b＝﹣6解：由题意得﹣3，2是方程x2+ax+b＝0的两个根，所以﹣3+2＝﹣a，﹣3×2＝b，解得a＝1，b＝﹣6．故选：C．5．函数y＝a x+2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过的定点是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣2，2）解：∵y＝a x+2+1，∴当x+2＝0时，x＝﹣2，此时y＝1+1＝2，即函数过定点（﹣2，2）．故选：D．6．设a＝log0.52，b＝0.52，c＝20.5，则a、b、c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b解：∵a＝log0.52＜log0.51＝0，0＜b＝0.52＜0.50＝1，c＝20.5＞20＝1，∴a＜b＜c．故选：B．7．函数f（x）＝﹣x2﹣4x+2在[m，0]上的值域为[2，6]，则m的取值范围是（）A．[﹣4，﹣2]B．[﹣4，0]C．[﹣2，0]D．（﹣∞，﹣2]解：由二次函数f（x）＝﹣x2﹣4x+2的对称轴为：x＝﹣2，在[m，0]上的值域为[2，6]，x＝﹣2时，f（0）＝2，可得函数在区间[m，﹣2]上是增函数，且f（m）≥2，﹣m2﹣4m+2≥2，求得m∈[﹣4，0]，综上m∈[﹣4，﹣2]．故选：A．8．已知函数f（x）＝ax3+bx+2在[2，3]上的值域为[2，3]，则g（x）＝ax3+bx﹣1在[﹣3，﹣2]上的值域为（）A．[﹣5，﹣4]B．[﹣4，﹣3]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣2，﹣1]解：令h（x）＝ax3+bx，则h（x）＝f（x）﹣2，因为函数f（x）＝ax3+bx+2在[2，3]上的值域为[2，3]，所以h（x）在[2，3]上的值域为[0，1]，又h（x）＝ax3+bx为奇函数，所以h（x）在[﹣3，﹣2]上的值域为[﹣1，0]，又g（x）＝ax3+bx﹣1＝h（x）﹣1，则g（x）＝ax3+bx﹣1在[﹣3，﹣2]上的值域为[﹣2，﹣1]．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确； y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ） A ．f （x ）＝﹣x B ．f(x)=−√x 3C ．f （x ）＝x 3+xD ．f （x ）＝e ﹣x ﹣e x解：对于①②可知：“理想函数”f （x ）在定义域内为奇函数且单调递减． 对于选项A ：f （x ）＝﹣x 定义域R 内为奇函数且单调递减，故A 正确； 对于选项B ：f(x)=−√x 3定义域R 内为奇函数且单调递减，故B 正确； 对于选项C ：因为y ＝x 3，y ＝x 定义域R 内均为奇函数且单调递增， 所以f （x ）＝x 3+x 定义域R 内为奇函数且单调递增，故C 错误；对于选项D ：因为f （x ）+f （﹣x ）＝（e ﹣x ﹣e x ）+（e x ﹣e ﹣x ）＝0，故f （x ）为R 上的奇函数． 而y ＝e ﹣x ，y ＝﹣e x 定义域R 内均为单调递减，所以f （x ）＝e ﹣x ﹣e x 定义域R 内为奇函数且单调递减，故D 正确． 故选：ABD ．11．下列说法正确的是（ ） A ．x +1x(x ＞0)的最小值是2B ．2√x 2+4的最小值是2C ．x x 2+x+1(x ＜0)的最小值是﹣1D ．若x ＞0，则2−3x −4x的最大值是2−4√3解：对于A ，因为x ＞0，所以x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x ＝1时取等号，故A 正确；对于B ，2√x 2+4=2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4，令t =√x 2+4，则t ≥2且√x 2+41√x 2+4=t +1t，因为y ＝t +1t 在[2，+∞）上单调递增，所以t +1t ≥2+12=52，即√x 2+4+1√x +4≥52，当且仅当x ＝0时取等号，故B 错误；对于C ，因为x ＜0，所以x +1x =−[(−x)+1−x ]≤−2√(−x)⋅1−x =−2，当且仅当﹣x =−1x，即x ＝﹣1时取等号， 所以x x 2+x+1=1x+1x+1≥−1，当且仅当x =1x，即x ＝﹣1时取等号，故C 正确；对于D ，因为x ＞0，所以2−3x −4x =2−(3x +4x )≤2−2√3x ⋅4x =2−4√3，当且仅当x =2√33时取等号，故D 正确． 故选：ACD ． 12．已知函数f （x ）={log a (8−ax)，x ＜24−x ，x ≥2是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a 的值可以是（ ）A ．12B ．43C ．2D ．3解：因为f （x ）={log a (8−ax)，x ＜24−x ，x ≥2是（﹣∞，+∞）上的减函数，所以{a ＞1log a (8−2a)≥28−2a ≥0，解得1＜a ≤2．故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13．命题：“∀x ∈（1，+∞），x 2﹣1＞0”的否定是 ∃x 0∈（1，+∞），x 02−1≤0 ． 解：由全称命题的否定为特称命题知，原命题的否定为∃x 0∈（1，+∞），x 02−1≤0． 故答案为：∃x 0∈（1，+∞），x 02−1≤0．14．1634−4log 4π+√(3−π)2+log 62+log 63= 6 ．解：1634−4log 4π+√(3−π)2+log 62+log 63=(24)34−π+π﹣3+log 62+log 63＝8﹣3+1＝6． 故答案为：6．15．写出一个最小值为2的偶函数f （x ）＝ x 2+2（答案不唯一）． ． 解：对于f （x ）＝x 2+2，因为f （﹣x ）＝（﹣x ）2+2＝x 2+2＝f （x ）， 所以f （x ）＝x 2+2为偶函数，因为x 2+2≥2，所以f （x ）＝x 2+2的最小值为2， 所以f （x ）＝x 2+2符合题意， 故答案为：x 2+2（答案不唯一）． 16．已知函数f （x ）={x 3+2，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，若f [f （0）]＝﹣2，则实数a ＝ 3 ．解：因为f （x ）={x 3+2，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，所以f （0）＝2，f （2）＝4﹣2a ，若f [f （0）]＝﹣2，则4﹣2a ＝﹣2，所以a ＝3． 故答案为：3．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17．（10分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣2＜x ＜2}，B ＝{x |3a ﹣2＜x ＜2a +1}． （1）当a ＝1时，求A ∪（∁U B ）； （2）若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：（1）当a ＝1时，B ＝{x |1＜x ＜3}，全集U ＝R ， 所以∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 所以A ∪（∁U B ）＝{x |x ＜2或x ≥3}； （2）因为B ⊆A ，当B ＝∅时，满足B ⊆A ，所以3a ﹣2≥2a +1，解得a ≥3， 当B ≠∅时，则{3a −2＜2a +13a −2≥−22a +1≤2，解得0≤a ≤12，综上所述，a 的取值范围是[0，12]∪[3，+∞)．18．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x 4m−m 2是奇函数． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ），求x 的取值范围． 解：（1）幂函数f(x)=(m 2−3m +3)⋅x 4m−m 2是奇函数． ∴m 2﹣3m +3＝1解得m ＝1或m ＝2．又∵f （x ）是奇函数，∴m ＝1． ∴函数f （x ）的解析式为f （x ）＝x 3． （2）∵f （x ）＝x 3在R 上单调递增．则由f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）得：2x ﹣1＜2﹣x ，解得x ＜1． ∴x 的取值范围是（﹣∞，1）．19．（12分）已知函数f(x)=log 2(x 2+2ax +a)． （1）若f （x ）的定义域为R ，求a 的取值范围； （2）若f （0）+f （1）＝log 35•log 59，求a ． 解：（1）由题意得Δ＝4a 2﹣4a ＜0，解得0＜a ＜1， 即a 的取值范围为（0，1）；（2）由题意得f （0）＝log 2a ，f （1）＝log 2（3a +1）， 所以f （0）+f （1）＝log 2（3a 2+a ）＝log 35•log 59=lg5lg3•lg9lg5=2，得3a 2+a ＝4，解得a ＝1或−43． 由{a ＞03a +1＞0，得a ＞0，故a ＝1．20．（12分）给定函数f （x ）＝x +2，g （x ）＝x 2﹣6x +8，h （x ）＝﹣x +8，∀x ∈R ，用m （x ）表示f （x ），g （x ），h （x ）中的较小者，记为m （x ）＝min {f （x ），g （x ），h （x ）}． （1）求函数y ＝m （x ）的解析式，画出其图象，根据图象写出函数的单调区间； （2）求不等式0＜m （x ）≤3的解集．解：（1）f （x ）={x +2，x ≤1x 2−6x +8，1＜x ＜5−x +8，x ≥5，（2）f （x ）的图象如图所示，单调增区间：（﹣∞，1），（3，5），单调减区间：（1，3），（5，+∞）， （3）由图可知，﹣2＜x ＜2或4＜x ＜8，此不等式的解集为（﹣2，2）∪（4，8）．21．（12分）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x 万件电子芯片需要投入的流动成本为f （x ）（单位：万元），当年产量不超过14万件时，f(x)=23x 2+4x ；当年产量超过14万件时，f(x)=17x +400x−80．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．（1）写出年利润g （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 解：（1）根据题意得，当0≤x ≤14时，g(x)=16x −f(x)−30=−23x 2+12x −30，当14＜x ≤35时，g(x)=16x −f(x)−30=50−x −400x， 故g(x)={−23x 2+12x −30，0≤x ≤14，50−x −400x ，14＜x ≤35.（2）当0≤x ≤14时，g(x)=−23x 2+12x −30，且当0≤x ≤9时，g （x ）单调递增，当9＜x ≤14时，g （x ）单调递减， 此时g(x)max =g(9)=−23×81+12×9−30=24．当14＜x ≤35时，g(x)=50−x −400x ≤50−2√x ⋅400x=10，当且仅当x ＝20时，等号成立． 因为24＞10，故当x ＝9时，g （x ）取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片．22．（12分）已知函数f （x ）=3x+a3x +b，且f （x ）是定义域为R 的奇函数．（1）求a 和b 的值；（2）判断f （x ）的单调性，用定义法证明；第11页（共11页） （3）若对任意实数m ，不等式f （m ﹣1）+f （m 2+t ）≥0恒成立，求实数t 的取值范围． 解：（1）因为f （x ）是定义域为R 的奇函数，所以{f(0)=0f(−1)=−f(1)，即{ 1+a 1+b =013+a 13+b=−3+a 3+b ，解得a ＝﹣1，b ＝1， 当a ＝﹣1，b ＝1时，f(x)=3x −13x +1， 则f(−x)=3−x −13−x +1=1−3x1+3x =−f(x)， 所以f （x ）是奇函数，满足题意，所以a ＝﹣1，b ＝1．（2）f （x ）在R 上单调递增，证明：f(x)=3x−13x +1=1−23x +1， ∀x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，所以f （x 1）﹣f （x 2）＝1−23x 1+1−（1−23x 2+1）=2(3x 1−3x2)(3x 1+1)(3x 2+1)， 因为y ＝3x 是增函数，x 1＜x 2，所以3x 1−3x 2＜0，又因为3x 1+1＞0，3x 2+1＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在R 上单调递增．（3）因为f （x ）是奇函数，所以f （m ﹣1）+f （m 2+t ）≥0等价于f （m 2+t ）≥﹣f （m ﹣1）＝f （1﹣m ）， 因为f （x ）在R 上单调递增，所以m 2+t ≥1﹣m ，即t ≥﹣m 2﹣m +1对任意实数m 恒成立，因为−m 2−m +1=−(m +12)2+54≤54，所以t ≥54， 所以t 的取值范围为[54，+∞）．。
2020-2021学年广东省普通高中高一上学期12月大联考数学试卷及答案
2020-2021学年广东省普通高中高一上学期12月大联考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
3.本卷命题范围：人教版A 版必修一第1页至第230页。
第I 卷(选择题 共75分)一、选择题：本题共15小题，每小题5分，共75分。
在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求，第11～15题有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有错选的得0分。
1.设集合A ＝{(x ，y)|y ＝x ＋1}，B ＝{(x ，y)|y ＝x 2－1}，则A ∩B ＝A.0B.{－1，2}C.{(－1，0)，(2，0)}D.{(－1，0)，(2，3)} 2.“x ＝2k π＋3π(k ∈Z)”是“tanx ＝3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数y ＝a x 在[1，2]上最大值与最小值的差为2，则a ＝A.－1或2B.2C.12D.144.若tanα＝－2，则sin(α－π)·cos(π＋α)＝A.45B.25C.25±D.25- 5.函数f(x)＝xcosx ＋x 在[－π，π]上的图象大致为6.若a ＝sin44°，b ＝cos50°，c ＝tan46°，则A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a7.已知a>0，b>0，则(a ＋b)(28a b+)的最小值为 A.4 B.8 C.12 D.18 8.若函数f(x)是周期为2的函数，且x ∈[0，2]时，f(x)＝(x －1)2＋sin πx ，则f(－112)＝ A.94 B.74 C.54 D.349.已知b>0，log 5b ＝a ，lgb ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是A.d ＝acB.a ＝cdC.c ＝abD.d ＝a ＋c10.若函数f(x)＝4x －m ·2x ＋m ＋3有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，则实数m 的取值范围为A.(－2，2)B.(6，＋∞)C.(2，6)D.(2，＋∞)11.已知函数f(x)＝1x ＋12x 2－2，利用零点存在定理确定各零点所在的范围，下列区间中存在零点的是A.(－3，－2)B.(－1，12) C.(12，1) D.(2，3) 12.下列不等式中错误的是A.x 2－2x>－3(x ∈R)B.a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(a ，b ∈R)C.a 2＋b 2≥2(a －b －1)D.f(x)＝x 2＋221x -≥＋1 13.已知角α为锐角，则A.tan(α＋90°)>0B.sin(α＋180°)<0C.cos(α－90°)>0D.cos(α－180°)<0 14.若函数f(x)＝sin(ωx －6π)(ω>0)在(2π，π)上是减函数，则ω的取值可以是 A.43 B.53 C.2 D.23 15.已知函数f(x)＝x 2x sin x x sin θθ⎧≥⎨<⎩，－，，若函数f(x)存在零点，则θ的取值可能为A.2πB.πC.56πD.2π 第II 卷(非选择题 共75分)。
广东省东莞市七校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷
广东省东莞市七校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷一、单选题1．已知集合{}355A x x =-<<，{}33B x x =∈-≤≤Z ，则A B = （）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2,3C ．{}1,1-D ．{}1,0,2-2．下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（）A ．梯形是四边形B ．R x ∀∈，310x +≠C ．R x ∃∈，11x +≥D ．存在一个实数x ，使2230x x +-=3．“2320x x ++>”成立的一个充分不必要条件是（）A ．2x <-或1x >-B ．2x >C ．1x ≥-D ．0x <4．函数()()lg 1f x x =++的定义域是（）A ．(],1-∞B ．()1,1-C ．(]1,1-D ．()1,-+∞5．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（）A ．y x=B ．2log y x=C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x=+6．设 2.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 12b =， 2.12c -=，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b<<7．已知函数()121,12,1x a x a x f x a x ⎧⎛⎫--+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩（0a >且1a ≠）在R 上具有单调性，则实数a 的取值范围为（）A ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()10,1,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且()f x ，()g x 在[)0,+∞上单调递减，则（）A ．()()f f x 是偶函数B ．()()f g x 是奇函数C ．()()()()12f f f f -<-D ．()()()()12g f g f -->-二、多选题9．下列各组函数中是同一函数的是（）A ．()f x x =与()2x g x x=B ．()f x ()2g x =C ．()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()()11,f x g t x t=+=+10．下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则2a c +=C ．当3x ≥时，41x x +-的最小值是5D ．函数11x y a -=+（0a >，且1a ≠）过定点()1,211．下列说法正确的是（）A ．若命题“R x ∀∈，20x ax a -+>”为真命题，则实数a 的取值范围是[]0,4B ．已知()33bf x ax x=++，()45f =，则()41f -=C ．记{}max ,x y 表示x ，y 中最大的数，则{}2max 1,21x x x +-+的最小值为1D ．函数()[]f x x x =-，R x ∈，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()f x 的最大值为1三、填空题12．计算23558log 35log 7+-的结果是．13．已知函数221y ax x =--在(),1-∞上是减函数，则a 的取值范围是.14．若{}1,1,,2,32A αβ⎧⎫=⊆-⎨⎬⎩⎭，且函数()f x x α=与()g x x β=的图象若只有1个交点，则写出一个符合条件的集合A =；若有两个交点，则满足条件的不同集合A 有个．四、解答题15．已知全集为R ，集合{}2|2{|124}.A x x xB x x a =+<=-<+<,(1)当1a =时，求A B ;(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围.16．已知函数2()1x af x x +=+是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)证明()y f x =在区间()1,+∞上单调递减；(3)解不等式2(2)(4)f x x f -+<.17．某公司打算在2023年度建设某型手机芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本V （x ）（单位：万元），已知当05x <≤时，()125V x =；当520x <≤时，()240100V x x x =+-；当20x >时，()160081600V x x x=+-，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出．(1)设2024年该型芯片生产线的利润为()P x （单位：万元），试求出()P x 的函数解析式；(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，要产出多少万枚芯片才能使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-．(1)求函数()f x 的解析式；(2)在给定的直角坐标系内画出()f x 的图象，并指出()f x 的单调区间（不必说明理由）；(3)求()f x 在[]2,1-上的最大值和最小值（不必说明理由）；(4)求不等式()104f x <≤的解集．19．我们知道，函数()y f x =的图象关于原点中心对称的充要条件是()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于(),a b 中心对称的充要条件是()y f x a b =+-为奇函数.(1)类比上述推广结论，写出“函数()y f x =的图象关于y 轴对称的充要条件是()y f x =为偶函数”的一个推广结论；(2)直接写出函数()4523x f x x +=-的图象的对称中心，并证明你的结论；(3)已知函数()32331g x x x x =-+-，函数()h x 满足()1y h x =+为奇函数，若函数()y g x =与()y h x =的图象的交点为()()()()11223322,,,,m m x y x y x y x y ，，，，，其中m 为正整数，求1232m x x x x ++++ (结果用m 表示)。
广东省东莞市七校2021-2022学年高一12月联考数学试题及答案
东莞市2021—2022学年第一学期七校联考试题高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．设集合{0,1,2,3,4}U =，{1,2}A =，{2,3}B =，则()=U C AB （ ） A ．∅ B ．{1,2,3}C ．{4}D ．{0,4} 2．已知0p xy ：>，0,0q x y ：>>，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()()21log 31f x x x =-+-的定义域为（ ） A ．[]1,3 B ．[)1,3 C ．[)1,+∞ D ．()1,34．下列四组函数中，表示同一组函数的是 （ ）A ．2,y x u v ==B ．()22,y x s t == C ．21,11x y y x x -==+- D ．211,1y x x y x =+⋅-=- 5．如右图是函数()f x 的图象，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．(0)2f =- B ．()f x 的定义域为[3,2]-C ．()f x 的值域为[2,2]-D ．若()0f x =，则12x =或2 6．函数3()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,e C ．(),3e D ．()3,+∞7．已知0.9 1.10.5log 1.1, 1.1,0.9a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递减，()30f -=，则不等式()0xf x >的解集为 （ ）A ．()(),30,3-∞- B ．()(),33,-∞-+∞ C ．()()3,00,3- D ．()()3,03,-+∞ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正第5题 12确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．有以下四个结论：①()lg lg100=；②()lg ln 0e =；③若ln e x =，则2x e =；④()ln lg10=．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④10．设0b a <<，则下列不等式中正确的是（ ）A ．0a b +>B ．11b a a b +<+ C ．2211ab a b< D ．22ln ln a b < 11．记函数()223f x x ax =--在区间(],3-∞上单调递减时实数a 的取值为集合A ，函数()()122g x x x x =+>-的值域为集合B ，则（ ） A ．[)3,A =+∞ B ．A B ⊆C ．[)4,B =+∞D ．“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件12．已知函数()()2log 1,11,12x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，下列结论正确的是（ ）A ．若()1f a =，则3a =B ．202120202020f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()2f a ≥，则1a ≤-或5a ≥D ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则12k ≥三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分其中第16题第一空2分，第二空3分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13．命题1"0,2"x x x ∀>+≥的否定是____________________________． 14. 342216log 12log 3+-= ________.15. 已知函数3()3g x ax bx =++（,a b 为常数），若(2)1g =，则(2)g -=________.16．形状､声音等现象可以分解成自复制的结构，即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去.如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”，此时图2周长是图1周长的_______倍；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n 次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n 最小值是_______..（参考数据：lg30.4771,lg 20.3010≈≈）四、解答题: 本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（本小题满分10分）已知函数()223,0ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩. （1）在所给的坐标系中作出()y f x =的图象；（2）观察图象，求使方程()f x k =的实数解个数为3时k 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知集合{}|33A x a x a =-≤≤+，{}2|40B x x x =-≥．（1）当2a =时，求A B ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分） 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()44x f x x =+ （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减.20．（本小题满分12分） 已知函数()42x x a g x -=是奇函数. （1）求a 的值；。
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x
x
…………………9 分
当且仅当 x = 200 ，即 x = 10 2 (4,50) 时取等号，
x
…………………10 分
y
= 18400
+
400
x
+
200 x
18400
+
400
20
2 = 18400 + 8000
2
………………11 分
所以当 x = 10 2 时，总造价最低为18400 + 8000 2 元.
则中间区域的长为 x − 4(m) ，宽为 200 − 4(m) ， x (4,50) …………………4 分
x
则
y
=
100
(
x
−
4)
200 x
−
4
+
200
200
−
(
x
−
4
)
200 x
−
4
…………………6 分
整理得
y
=
18400
+
400
x
+
200 x
，
x
(
4,
50)
…………………7 分
（2） x + 200 2 x 200 = 20 2
14．不等式 x2 + 3x − 4 0 的解集．是 _____________．
15．已知函数
f
(x)
=
l o ga
x −1 +1且 x +1
f
(5)
=
7, 则
f
(−5) =___________
16．
设函数
−x2 + 2ax − 7,
f
(
x)
=
a
x−1
,
x 3是定义在 R 上的增函数，则实数 a 的的取值范围是_____ x3
2020-2021 学年第一学期东莞市七校联考试题
高一数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知 A={-1，0，1}，B={x|x2<1}，则 A∩B 等于（ ）
A．{-1，0，1}
B．
C．{0}
D．{0，1}
2．“ lg x 0 ”是 “ x 2 ”的（ ）
B．（1，2）
C．（2，3）
6．函数
f
(x) = ex
− e−x x2
的图像大致为
（
）
D．（3，4）
7．已知
a
=
(
1 2
)
1 2
，
b
=
(
1 2
1
)3
，
c
=
log2
3
，则
a，b，c
的大小关系为（
）
A． a b c
B． c b a
C． a c b
D． b c a
8．
中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： C
t = 2时， log2 x = 2, x = 4， t = 4 时， log2 x = 4, x = 16 因此函数 f (x) 的零点为 x = 4 和 x = 16
（3） f (x) = (log2 x)2 − 6log2 x + 8 = t2 − 6t + 8 = (t − 3)2 −1
由(1)得 0 t 5，所以 t = 3 时， f (x) 有最小值 −1
选择题：
1、C 2． A 3．D 4．D 5．B 6． B 7．A 8． B
9．AD 10．BC 11．BC 12．BD
填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．_ (1, 4]_． 14．_ (−4,1) _
15．__ −5 _．
16．[3, +) ．
解答题
17．解：（1）若 m = 3 ，则 B = x | 3 x 5
（3）由（2）可知， x [t, +) 时，不等式 f (x) 3 恒成立， 5
……………7 分 ……………8 分 ……………9 分 ……………10 分 ……………11 分 ……………12 分
……………1 分 ……………3 分 ……………4 分 ……………5 分
……………6 分 ……………7 分 ……………8 分 ……………9 分
所以当 t = 0 时, f (x) = 8 ，当 t = 5 时, f (x) = 3 ，
因此,函数 f (x) 的值域为[−1,8]
21．解（1）函数
f
(x)
=
a
−
2
2 x+
1
（
a
R
）为奇函数，
所以
f
(−x)
=
−
f
(x)
，即 a
−
2 2−x +1
=
−a
+
2， 2x +1
所以 2a
=
2+ 2x +1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．命题“ x R ， x2 + 2x + 2 0 ”的否定是（ ）
A． x R ， x2 + 2x + 2 0
B． x R ， x2 + 2x + 2 0
C． x R ， x2 + 2x + 2 0
D． x R ， x2 + 2x + 2 0
(x)
=
x2
−
x,
x
0
（1）画出函数 f (x) 的图象，写出 f (x) 的单调区间，并指出每个区间的单调性；
（2）若关于 x 的不等式[ f (x)]2 − (a + 2) f (x) + 2a 0 恰有 3 个整数解，求实数 a 的取值范围．
2020-2021 学年第一学期东莞市七校联考答案 高一数学
A． y = x2
B． y = lg10x
C． y = 3 x3
D． y = x2 x
11．下列函数中，即是奇函数，又是 R 上的增函数的是（ ）
A． y = 3x
B． y = x x C． y = x3
D． y = x2
12．已知函数
f
(x)
=
−x2
− 2x, x
m ，如果函数
f
(x)
恰有两个零点，那么实数 m
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题 10 分）设 m 为实数，集合 A = x | −1 x 4 ， B = x | m x m + 2 .
（1）若 m = 3 ，求 A B ， CR (A B) ； （2）若 A B = ，求实数 m 的取值范围．
地面硬化以方便后期放置各类健身
器材，硬化造价为 100 元/ m2 ．设矩形的长为 x (m) ．
（1）将总造价 y （元）表示为长度 x (m) 的函数，并求出定义域；
（2）当 x (m) 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．
20．（本小题 12 分）已知函数 t = log2 x ， f (x) = (log2 x)2 − 6log2 x + 8 （1）求函数 t = log2 x 在区间[1, 32]上的最大值与最小值； （2）求函数 f (x) 的零点； （3）求函数 f (x) 在区间[1, 32]上的值域．
…………………12 分
20．解:（1）因为对数函数 t = log2 x 是增函数，在区间[1, 32]上，
x = 1时， t 有最小值 log2 1 = 0 ， x = 32 时， t 有最大值 log2 32 = 5
……………4 分
（2）令 f (x) = (log2 x)2 − 6log2 x + 8 = t2 − 6t + 8 = 0 ，解得 t = 2 或 t = 4 ……………5 分
4
44 4
…………12 分
（如果结果没有全对，算出式子中的 3 和 1 ，对一个给 1 分，能化出 2 lg 5 + 2 lg 2 给 1 分，能得出 44
2(lg 5 + lg 2) = 2 再给 1 分）
19．解：（1）因为矩形的长为 x (m) ，则矩形的宽为 200 (m) ，
x
…………………1 分
= W log2 1+
S N
.它表示：在
受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 C 取决于信道带宽 W、信道内信号的平均功率 S、信道内部的高斯噪声
功率 N 的大小。其中 S 叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计。按照香农公式，若不 N
改变带宽 W，而将信噪比 S 从 1000 提升至 8000，则 C 大约增加了( lg 2 0.3010 ， lg 3 0.4771 )（ ） N
21．（本小题
12
分）已知函数
f
(x)
=
a
−
2
2 x+
1
（
a
R
）为奇函数．
（1）求 a 的值；
（2）判断函数 f (x) 的单调性，并用定义证明； （3）若对任意 x [t, +) ，不等式 f (x) 3 恒成立，求实数 t 的最小值．
5
−x2 + x, x 0
22．（本小题
12
分）已知函数
f
…………………1 分