高三数学一轮复习课时作业51 双曲线B 文 北师大版

[时间：35分钟 分值：80分]

基础热身

1．下列双曲线中，离心率为6

2

的是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 2

6＝1 C ．－x 22＋y 24＝1 D ．－x 22＋y 2

6

＝1 2．[2011·厦门质检] 双曲线x 2m －y 2

3m

＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( )

A ．1

B ．－1

C ．－

105 D.105

3．若k ∈R ，则“k >5”是“方程

x 2

k －5－

y 2

k ＋2

＝1表示双曲线”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．[2011·上海春招卷] 若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线x 25－y 2

4

＝1的顶点和焦点，

则椭圆C 的方程是________．

能力提升 5．[2011·古田县适应测试] 与椭圆x 2

4

＋y 2

＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是

( )

A.x 2

4－y 2

＝1 B.x 2

2

－y 2

＝1 C.x 23－y 2

3＝1 D ．x 2

－y 2

2

＝1 6．[2010·辽宁卷] 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )

A. 2

B. 3

C.3＋12

D.5＋1

2

7．[2011·山西四校四联] 已知双曲线x 2

－y 2

3

＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双

曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→

的最小值为( )

A ．－2

B ．－81

16

C ．1

D ．0

8．[2011·福州质检] 双曲线

x 2

16

－y 2

9

＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是( )

A ．0

B ．2

C ．3

D ．4

9．[2011·上海黄浦区二模] 双曲线2x 2－3y 2

＝1的渐近线方程是________．

10．[2010·上海卷] 在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点

P ，若OP →

＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________．

11．[2011·上饶二模] 已知点P 为双曲线x 2

－y 2

8

＝1的右支上一点，F 1、F 2分别为双

曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝SIPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为________．

12．(13分)点M (x ，y )到定点F (5,0)距离和它到定直线l ：x ＝95的距离的比是5

3

.

(1)求点M 的轨迹方程；

(2)设(1)中所求方程为C ，在C 上求点P ，使|OP |＝34(O 为坐标系原点)．

难点突破

13．(12分)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0)． (1)求双曲线方程；

(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →

|，求直线l 的方程．

课时作业(五十一)B

【基础热身】

1．C [解析] 计算知，选项C 正确，故选C.

2．B [解析] 由焦点坐标知，焦点在y 轴上，m <0，∴双曲线的标准方程为

y 2

－3m －

1

－m

＝

1，∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.

3．A [解析] 当k >5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k >5或k <－2.故选A.

4.x 29＋y 24＝1 [解析] 由题意可知，双曲线x 25－y 2

4

＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)、(5，0)．设椭圆C 的方程是x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，则a ＝3，c ＝5，b ＝2，所以椭

圆C 的方程为x 29＋y 2

4

＝1.

【能力提升】

5．B [解析] 椭圆的焦点坐标为(±3，0)，四个选项中，只有x 2

2－y 2

＝1的焦点为

(±3，0)，且经过点P (2,1)．故选B.

6．D [解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1，设F (c,0)，B (0，b )，直线FB 的斜率为－

b c ，与其垂直的渐近线的斜率为b a ，所以有－b 2ac

＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2

＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2

－e －1＝0，解得e ＝1＋52

.

7．A [解析] 由已知可得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，则PA 1→·PF 2→

＝

(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23

＝1(x ≥1)，所以PA 1→·PF 2→＝4x 2

－

x －5，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→

有最小值－2.故选A.

8．C [解析] (5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这样的点．

9．y ＝±63x [解析] 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程为2x ±3y ＝0，即y ＝±

6

3

x .

10．4ab ＝1 [解析] 易知双曲线Γ的方程为x 2

4

－y 2

＝1，设P (x 0，y 0)，又e 1＝(2,1)，

e 2＝(2，－1)，由OP →

＝a e 1＋b e 2，得(x 0，y 0)＝a (2，1)＋b (2，－1)，

即(x 0，y 0)＝(2a ＋2b ，a －b )， ∴x 0＝2a ＋2b ，y 0＝a －b ， 代入x 2

4－y 2

＝1整理得4ab ＝1.

11.1

3

[解析] I 为△PF 1F 2的内心，所以其到三角形三边的距离d 相等．由S △IPF 1＝SIPF 2

＋λS △IF 1F 2，

得12|PF 1|·d ＝12|PF 2|·d ＋1

2λ|F 1F 2|·d ，即|PF 1|－|PF 2|＝λ×2c ，得2＝λ×2×3，λ＝13

.

12．[解答] (1)|MF |＝

x －5

2

＋y 2

，