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2012年西城区初三数学第一学期期末试题及答案(北区)

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2012-2013初三上期末各区县精选题

2012-2013初三上期末各区县精选题

北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2013.18．如图，△ABC 中，∠B =60°，∠ACB =75°，点D 是BC 边上一动点， 以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、AC 于E 、F ，若弦EF 的最小值 为1，则AB 的长为 A. 22 B. 632C. 1.5D.12．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于(1,0)和(1x ,0)，其中121x -<<-，与y 轴交于正半轴上一点．下列结论：①0>b ；②241b ac <；③a b >；④a c a 2-<<-．其中所有正确结论的序号是_______． 22．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x ≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2； 若m ≥5，则m x =时，y 的最大值为26m -请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y （2）若p ≤x ≤2，求二次函数1422++=x x y （3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数1422++=x x y23．已知抛物线212(1)y x m x n =+-+经过点（1-，132m +）． （1）求n m -的值；（2）若此抛物线的顶点为（p ，q ），用含m 的式子分别表示p 和q ，并求q 与p 之间 的函数关系式； （3）若一次函数2128y mx =--，且对于任意的实数x ，都有1y ≥22y ，直接写出m 的取值范围.24．以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，FMEM=_______；②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（060α<<），其他条件不变，判断FMEM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．图2CBOMEFADMBOFCEA图125．如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB .直线BE 与y 轴平行，点F 是射线BE 上的一个动点，连接AD 、AF 、DF .（1）若点F 的坐标为（92，1），AF ①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线上一个动点，点Q 在此抛物线的对称轴上，以点A 、F 、P 、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标；（2）若22b c +=-，2b t =--，且AB 的长为kt ，其中0t >.如图2，当∠DAF =45°时，求k 的值和∠DF A 的正切值.东城区2012—2013学年第一学期期末统一检测 初三数学试题 2013.18. 已知点A （0，2），B （2，0），点C 在2y x =的图象上，若△ABC 的面积为2，则这样的C 点有A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个 12．如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在射线EF 上，BP交CE 于D ，点Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .当CQ =21CE 时，y 与x 之间的函数式是 ； 当CQ =n1CE （n 为不小于2的常数）时， y 与x 之间的函数关系式是 .23．已知，二次函数2y ax bx =+的图象如图所示.（1）若二次函数的对称轴方程为1x =，求二次函数的解析式；（2）已知一次函数y kx n =+，点(,0)P m 是x 轴上的一个动点．若在（1）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数2y ax bx =+的图象于点N ．若只有当1＜m ＜53时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式；（3）若一元二次方程20ax bx q ++=有实数根，请你构造恰当的函数，根据图象直接写出q 的最大值．24．如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(1)6y x m x m =---+-交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B （0 , 3），顶点C 位于第二象限，连结AB ，AC ，BC ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 点D 是y 轴正半轴上一点，且在B 点上方，若∠DCB =∠CAB ，请你猜想并证明CD 与AC 的位置关系；(3) 设与△AOB 重合的△EFG 从△AOB 的位置出发，沿x 轴负方向平移t 个单位长度(0＜t ≤3)时，△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期期末统一考试九年级数学试卷8.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4cm ，AD =2cm ，∠A =60°，动点E 自A 点出发沿折线AD —DC 以1cm/s 的速度运动，设点E 的运动时间为x （s ），0<x <6, 点B 与射线BE 与射线AD 交点的距离为y （cm ），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是12. 如图，抛物线y=4-9x 2通过平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点B （6，0）和O （0，0），它的顶点为A ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=4-9x 2交于点C ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为 ．24．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt △OBC 的两条直角边分别落在x 轴、y 轴上， 且OB=1,OC=3,将△OBC 绕原点O 顺时针旋转90°得到△OAE ，将△OBC 沿y 轴翻折得到△ODC ，AE 与CD 交于点F.（1）若抛物线过点A 、B 、C, 求此抛物线的解析式;（2）求△OAE 与△ODC 重叠的部分四边形ODFE 的面积; （3）点M 是第三象限内抛物线上的一动点，点M 在何处时△AMC 的面积最大？最大面积是多少？求出此时点M 的坐标.O6xy y O6xy O 6 xO6 xy ABCD25.已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC ，点M 为⊙O 上一点，且在弦BC 下方. （1）如图①，若∠ABC =60°，BM =1，CM =3，则AM 的长为 ； （2）如图②，若∠ABC =45°，BM =1，CM =3，则AM 的长为 ； （3）如图③，若∠ABC =30°，BM =1，CM =3，则AM 的长为 ；（4）如图④，若∠ABC =n °，BM a =，CM b =（其中b a >），求出AM 的长(答案用含有a ，b 及n °的三角函数的代数式表示).图① 图② 图③ 图④图1 图2 图3 图4昌平区2012—2013年第一学期初三年级期末质量抽测数学 试 卷 2013．18．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，以B 为圆心，AB 为半径作在扇形BAC 内作⊙O 与AB 、BC 、AC 都相切，则⊙O 的周长等于A. 49π B.23π C. 43π D. π12．如图，已知正方形ABCD 的边长为8cm ，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°. 当EF =8cm 时，△AEF 的面积是 cm 2； 当EF =7cm 时，△EFC 的面积是 cm 2． 22. 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC 内有一点P ，且P A =3 ，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数.小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP C '，连接PP '，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．PCBAABC PP 'D PACBABC DP FE请你回答：图1中∠APB 的度数等于 . 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且P A =PB =1，PD ，则∠APB 的度数等于 ，正方形的边长为 ；（2）如图4，在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =2，PB =1，PF 则∠APB 的FEDC BA度数等于，正六边形的边长为．23.如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡P A与水平方向PC的夹角为30o，AC⊥PC于点C，P、A两点相距解决下列问题.（1）求水平距离PC的长；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A．24．如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC—CB—BA做匀速运动.（1）求BD的长；P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由；（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为a cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求a的值.25.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（- 4），且在x轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y轴上确定一点M，使MA+MC的值最小，求出点M的坐标；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点N，使得以N、A、B三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.大兴区2012~2013学年度第一学期期末试题 初三数学8.已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数bax y +=的图象可能正确的是12．现有直径为2的半圆O 和一块等腰直角三角板（1）将三角板如图1放置，锐角顶点P 在圆上，斜边经过点B ，一条直角边交圆于点Q ，则BQ 的长为________；（2）将三角板如图2放置，锐角顶点P 在圆上，斜边经过点B ，一条直角边的延长线交圆于Q ，则BQ 的长为______ .图1 图222.操作：如图①，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图①画出一对以点O 为对称中心的全等三角形。

精品解析：北京市西城区2012届第一学期期末考试数学(文)试题解析(教师版)

精品解析：北京市西城区2012届第一学期期末考试数学(文)试题解析(教师版)

高三数学（文科） 2012.1【试题总体说明】本套试卷严格按照2011年北京卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。

所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。

如选择题1，2,3，4，9,10；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题6,7.11.（4）深入探究2011高考试题，精选合适的试题进行改编；如填空题9,12.（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．如填空题14和解答题20等；（6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

如20题。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．复数i (1i)⋅+=（ ）（A ）1i +（B ）1i -（C ）1i -+（D ）1i -- 【答案】C【解析】i (1i)1,i ⋅+=-+故选C 。

2．若向量(3,1)=a ，(0,2)=-b ，则与2+a b 共线的向量可以是（ ） （A ）(3,1)-（B ）(1,3)--（C ）(3,1)--（D ）(1,3)- 【答案】D【解析】(3,1)= ，a (0,2)=-b ， 2(3,3)3(1,3)(1,3).k ∴+=-=--=∴-可以为a b c,c3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ） （A ）1y x=-（B ）||e x y =（C ）23y x =-+（D ）cos y x = 【答案】B 【解析】1y x=-为奇函数，故错；||e x y =偶函数又在(0,)+∞单调递增，B 对；23y x =-+为偶函数但是在(0,)+∞单调递减，故C 错；cos y x =为偶函数，但是单调性有时递增有时递减，故D 错.4．“直线l 的方程为0x y -=”是“直线l 平分圆221x y +=的周长”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】若直线l 的方程为0x y -=，因过（0,0）点，故一定能够平分圆的周长；但反之不成立，过圆心的直线无数多条，不一定为0x y -=. 5．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个 几何体的俯视图不可能．．．是（ ）【答案】D【解析】因该几何体的主视图和左视图都是正方形，其可能为正方体、底面直径与高相等的圆柱体以及底面是等腰直角三角形且腰长等于高的三棱柱，但不可能为一个长与宽不相等的长方体，故选D 。

北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷(数学理)

北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷(数学理)

北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2012.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i1i =+（ ） （A ）1i 22+ （B ）1i 22-（C ）1i22-+ （D ）1i 22-- 2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ） （A ）2cos ρθ= （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-3．已知向量=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ）（A）1)-（B）(1,-（C）(1)-（D）(1-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4] （B ）[1,5] （C ）4[,4]5（D ）4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） （A ）1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b >（D ）22ab>7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的 体积是（ ） （A ）8 （B ）83 （C ）4 （D ）438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ②0)y x =≤≤；③ 1(0)y x x=->． 其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 函数21()log f x x=的定义域是______． 10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______． 11．如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O的割线．若PA BC =PB BC =______． 12. 已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++= ______． 13. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若b =4B π∠=，sin C =，则c = ；a = ． 14. 有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅ ，且card()2A=，card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____. （用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x +，π[,π]2x ∈. （Ⅰ）求()f x 的零点； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-， 其中2,3,,k n = ，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n = 项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω .证明：i Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2. B ；3. D ；4. C ；5. D ；6. A ；7. D ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.{|01x x <<，或1}x >； 10.18； 11.12；12.2，1(14)3n--； 13.6； 14.256，672. 注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分所以sin 0x =，或tan x =………………3分 由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ………………4分由 tan x =π[,π]2x ∈，得5π6x =. ………………5分综上，函数)(x f 的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-+） ………………8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为12-+. ………………13分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-+）………………3分令()0f x =，得 πsin(2)3x -=. ………………4分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………5分 所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. ………………7分即 5π6x =或πx =时，()0f x =.综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ………………9分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为12-+. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A ，则2()7P A =. ………………2分 所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C ()()77343P ==. ……5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为2,3,4. ………………7分2227C 1(2)C 21P X ===； 115227C C 10(3)C 21P X ===；2527C 10(4)C 21P X ===. ………………10分X :………………11分11010242342121217EX =⨯+⨯+⨯=. ………………13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1AC ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1AC 的中点.又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线，所以 1A B ∥OD ， ………………2分 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . ………………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. ………………5分 设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .所以 (1,2,0)AD =-，1(2,2,1)AC =-设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………7分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………………8分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v . ………………9分 所以二面角1C AD C --的余弦值为23.（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤.所以 (0,2,1)AE λ=-，1(1,0,1)DC = . ………………11分因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅= . ………………12分12=，解得1λ=，舍去3λ=. ………………13分 所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………………4分 （Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. ………………8分 所以 212324234x x k x k+==+，3323(1)34k y k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kk k y 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k+≥.所以00y ≤<，或00y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[. ………………13分19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. ………………3分经检验，13a =时，符合题意. ………………4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. …6分 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. …8分 ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………………3分 （Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………4分 ① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立； ② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()k k k n b a a a =+--. 当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+---- 111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………7分 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n = .由于n 为偶数，所以11(1)()n n n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()i i i i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n = .因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二： 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n个式子都乘以1-，相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+ 即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-= ，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分 （Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+= 即可. ……10分 由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()i i i n y x x x =+--，1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+-- 12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2i i i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………13分 证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-= ， 所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--= .- 11 - 所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分 对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n - 这12n -个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ，因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列.同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列.即 1Ω是等差数列.所以 i Ω成等差数列. ………………13分。

北京市西城区北区数学2012年初三毕业试题与答案

北京市西城区北区数学2012年初三毕业试题与答案

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．-6的倒数是A．6 B．C．D．2．PM2.5是大气中粒径小于等于2.5微米的颗粒物，称为细颗粒物，是表征环境空气质量的主要污染物指标．2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科学记数法表示为A．B．C． D．3．右图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A．球B．圆锥C．圆柱 D．三棱柱4．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是A．8 B．6 C．5 D．35．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为A．B．C．D．6．已知圆锥侧面展开图的扇形半径为2cm，面积是，则扇形的弧长和圆心角的度数分别为A．B．C．D．7．甲、乙两人进行射击比赛，他们5次射击的成绩（单位：环）如下表所示：甲 7 9 8 6 10乙 7 8 9 8 8设甲、乙两人射击成绩的平均数依次为、，射击成绩的方差依次为、，则下列判断中正确的是A．，B．，C．，D．，8．如图，在平行四边形ABCD中，AC = 12，BD = 8，P是AC上的一个动点，过点P作EF∥BD，与平行四边形的两条边分别交于点E、F．设CP=x，EF=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在函数中，自变量的取值范围是．10．分解因式：．11．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点 A的仰角为，则建筑物AB的高度是m．12．如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD上，落点记为E（不与点C，D重合），点A落在点F处，折痕MN交AD于点M，交BC于点N．若，则BN的长是，的值等于；若（，且为整数），则的值等于（用含的式子表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：．14．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．15．已知，求的值.16．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90º，BD⊥AC于点D，点E在BC的延长线上，且BE=AB，过点E作EF⊥BE，与BD的延长线交于点F.求证：BC=EF .17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x的图象与反比例函数的图象的一个交点为A(1, m)．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在直线OA上，且满足PA=2OA，直接写出点的坐标．18．列方程或方程组解应用题：为帮助地震灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，且两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．求该校第二次捐款的人数．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60º，AC平分∠DAB，BC⊥AC，AC与BD交于点E，AD=6，CE= ，，求BC、DE的长及四边形ABCD的面积．20．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC ．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点O作OF∥AD，分别交BD、CD于点E、F．若OB =2，求 OE和CF的长．21．某校为了了解该校初二年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学生，对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表．分组阅读课外书籍时间n(小时) 人数A 0≤n＜3 3B 3≤n＜6 10C 6≤n＜9 aD 9≤n＜12 13E 12≤n＜15 bF 15≤n＜18 c请你根据以上信息解答下列问题：（1）这次共调查了学生多少人？E组人数在这次调查中所占的百分比是多少？（2）求出表1中a的值，并补全图1；（3）若该年级共有学生300人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12小时的学生约有多少人．22．如图1，矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD为矩形，且，．（1）在图2、图3中，点E、F分别在BC、CD边上，图2中的四边形EFGH是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH；（2）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长各是多少；（3）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积各是多少．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O，点B(-2,n)在这条抛物线上.（1）求抛物线的解析式；（2）将直线沿y轴向下平移b个单位后得到直线l，若直线l经过B点，求n、b的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标.24．已知：在△AOB与△COD中，OA＝OB，OC＝OD，．（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，将图1中的△COD绕点逆时针旋转，旋转角为 ( )．连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的△COD绕点 O逆时针旋转到使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点．请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B（1，0）、C（3，0）．直线AC与y轴交于点G（0，6）．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点 Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）求直线AC的解析式；（2）当t为何值时，△CQE的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？。

北京市西城区(北区)2012-2013学年七年级上学期期末考试数学试题

北京市西城区(北区)2012-2013学年七年级上学期期末考试数学试题

北京市西城区（北区）2012-2013学年七年级上学期期末考试数学试题（试卷满分100分，考试时间100分钟）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．6-的绝对值等于（ ）．A. 6-B. 6C. 16-D.162．根据北京市公安交通管理局网站的数据显示，截止到2012年2月16日，北京市机动车保有量比十年前增加了3 439 000 辆，将3 439 000 用科学记数法表示应为（ ）． A ．70.343 910⨯ B ．63.43910⨯ C ．73.43910⨯ D ．534.3910⨯3．下列关于多项式22521ab a bc --的说法中，正确的是（ ）． A.它是三次三项式 B.它是四次两项式 C.它的最高次项是22a bc - D.它的常数项是14．已知关于x 的方程72kx x k -=+的解是2x =，则k 的值为（ ）．A.3-B.45C. 1D.545． 下列说法中，正确的是（ ）．A ．任何数都不等于它的相反数B ．互为相反数的两个数的立方相等C ．如果a 大于b ，那么a 的倒数一定大于b 的倒数D ．a 与b 两数和的平方一定是非负数6．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角．．α∠与β∠相等的是（ ）．A B CD7．下列关于几何画图的语句正确的是 A ．延长射线AB 到点C ，使BC =2ABB ．点P 在线段AB 上，点Q 在直线AB 的反向延长线上C ．将射线OA 绕点O 旋转180︒，终边OB 与始边OA 的夹角为一个平角D ． 已知线段a ，b 满足20a b >>，在同一直线上作线段2AB a =，BC b =，那么线段2AC a b =-8．将下列图形画在硬纸片上，剪下并折叠后能围成三棱柱的是A B CD9．已知a ，b 是有理数，若a 在数轴上的对应点的位置如图所示，0a b +<，有以下 结论：①0b <；②0b a ->；③a b ->-；④1b a<-．则所有正确的结论是（ ）．A.①，④B. ①，③C. ②，③D. ②，④10．右图中的长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成的，那么其中第一部分所对应的几 何体应是二、填空题（本题共20分，11～14题每小题2分，15～18题每小题3分）11．用四舍五入法将1.893 5取近似数并精确到0.001，得到的值是 ．12．计算：135459116''︒-︒=．13．一件童装每件的进价为a 元（0a >），商家按进价的3倍定价销售了一段时间后，为了吸引顾客，又在原定价的基础上打六折出售，那么按新的售价销售，每件童装所得的利润用代数式表示应为 元．14．将长方形纸片ABCD 折叠并压平，如图所示，点C ，点D 的对应 点分别为点C'，点D '，折痕分别交AD ，BC 边于点E ，点F ．若30BFC '∠=︒，则CFE ∠= °．15．对于有理数a ，b ，我们规定a b a b b ⊗=⨯+．（1）(3)4-⊗= ；ABC D（2）若有理数x 满足 (4)36x -⊗=，则x 的值为 ．16．如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为2-和6，数轴上的点C 满足AC BC =，点D 在线段AC 的延长线上， 若32AD AC =，则BD = ，点D 表示的数为 ．17．右边球体上画出了三个圆，在图中的六个□里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等． （1）这个相等的和等于 ； （2）在图中将所有的□填完整．18．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长都是3 cm ，点P 从点D 出发，先到点A ，然后沿箭头所指方向运动 （经过点D 时不拐弯），那么从出发开始连续运动2012 cm 时，它离点 最近，此时它距该点 cm ．三、计算题（本题共12分，每小题4分）19．2742()(12)(4)32⨯-÷--÷-． 解：20．3212(3)4()23-÷⨯-． 解：21．211312()49(5)64828-⨯+-÷-． 解：四、先化简，再求值（本题5分）22．222225(3)(3)2a b ab ab a b ab --++，其中21=a ，3b =． 解：五、解下列方程（组）（本题共10分，每小题5分）23．321123x x x --+=-． 解：24．231445 6.x y x y +=⎧⎨-=⎩，解：六、解答题（本题4分）25． 问题：如图，线段AC 上依次有D ，B ，E 三点，其中点B 为线段AC 的中点，AD BE =， 若4DE =，求线段AC 的长． 请补全以下解答过程．解：∵ D ，B ，E 三点依次在线段AC 上， ∴ DE BE =+． ∵ AD BE =，∴ DE DB AB =+=． ∵ 4DE =， ∴ 4AB =．∵ ， ∴ 2 AC AB ==．七、列方程（或方程组）解应用题（本题共6分）26． 有甲、乙两班学生，已知乙班比甲班少4人，如果从乙班调17人到甲班，那么甲班人数比乙班人数的3倍还多2人，求甲、乙两班原来各有多少人． 解：八、解答题（本题共13分，第27题6分，第27题7分）27．已知当1x =-时，代数式3236mx nx -+的值为17．（1）若关于y 的方程24my n ny m +=--的解为2y =，求n m 的值；（2）若规定[]a 表示不超过a 的最大整数，例如[]4.34=，请在此规定下求32n m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值．解：28．如图，50DOE ∠=︒，OD 平分∠AOC ，60AOC ∠=︒，OE 平分∠BOC ． （1）用直尺、量角器画出射线OA ，OB ，OC 的准确位置； （2）求∠BOC 的度数，要求写出计算过程；（3）当DOE α∠=，2AOC β∠=时（其中0βα︒<<，090αβ︒<+<︒），用α，β的代数式表示∠BOC 的度数．（直接写出结果即可）解：北京市西城区（北区）2012— 2013学年度第一学期期末试卷七年级数学参考答案及评分标准 2013.1一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BBCDDBCCAAEOD二、填空题（本题共20分，11～14题每小题2分，15～18题每小题3分） 题号 11 121314 答案 1.894 4429'︒45a 75 题号15161718答案 8- 5 2 4 14 其中正确的一个答案是：G 1阅卷说明：15～18题中，第一个空为1分，第二个空为2分；17题第（2）问其他正确答案相应给分.三、计算题（本题共12分，每小题4分）19．2742()(12)(4)32⨯-÷--÷-． 解：原式2242337=-⨯⨯- ………………………………………………………………2分83=-- ………………………………………………………………………3分 11=-．…………………………………………………………………………4分20．3212(3)4()23-÷⨯-．解：原式2227()99=-⨯⨯- ………………………………………………………………3分113=． …………………………………………………………………………4分（阅卷说明：写成43不扣分）21．211312()49(5)64828-⨯+-÷-．解：原式1125(1212)(50)2564828=-⨯-⨯--÷11(2)(2)428=---- ……………………………………………………… 2分1122428=---+114()428=---3414=--3414=-． ………………………………………………………………………4分 四、先化简，再求值（本题5分）22．解： 222225(3)(3)2a b ab ab a b ab --++ 22222(155)(3)2a b ab ab a b ab =--++2222215532a b ab ab a b ab =---+ ………………………………………………… 2分 （阅卷说明：去掉每个括号各1分）22124a b ab =-． ……………………………………………………………………3分 当21=a ，3b =时， 原式221112()34322=⨯⨯-⨯⨯ …………………………………………………… 4分9189=-=-． …………………………………………………………………5分 五、解下列方程（组）（本题共10分，每小题5分）23．321123x x x --+=-． 解：去分母，得 3(3)2(21)6(1)x x x -+-=-． …………………………………… 2分去括号，得 394266x x x -+-=-．…………………………………………… 3分 移项，得 346926x x x +-=+-． …………………………………………… 4分 合并，得 5x =． ………………………………………………………………… 5分24．231445 6.x y x y +=⎧⎨-=⎩，解法一：由①得 2143x y =-．③ ………………………………………………… 1分 把③代入②，得 2(143)56y y --=．………………………………………2分 去括号，得 28656y y --=． 移项，合并，得 1122y =．系数化为1，得 2y =． …………………………………………………… 3分 把2y =代入③，得 28x =．系数化为1，得 4.x = ………………………………………………………4分所以，原方程组的解为 42.x y =⎧⎨=⎩，……………………………………………5分解法二：①×2得 4628x y +=．③ ………………………………………………… 1分③－②得 6(5)286y y --=-．………………………………………………2分 合并，得 1122y =．系数化为1，得 2y =． …………………………………………………… 3分 把2y =代入①，得 28x =．系数化为1，得 4.x = ………………………………………………………4分所以，原方程组的解为 42.x y =⎧⎨=⎩，……………………………………………5分① ②六、解答题（本题4分）25．解：∵ D ，B ，E 三点依次在线段AC 上，∴ DE DB BE =+． ………………………………………………………… 1分 ∵ AD BE =，∴ DE DB AD AB =+=． …………………………………………………… 2分 ∵ 4DE =， ∴ 4AB =．∵ 点B 为线段AC 的中点 ， …………………………………………………… 3分 ∴ 2 8 AC AB ==． ……………………………………………………………4分 七、列方程（或方程组）解应用题（本题共6分）26．解：设甲班原来有x 人．……………………………………………………………… 1分 则乙班原来有 (4)x -人．依题意得 []173(4)172x x +=--+．…………………………………………… 3分 去括号，得 17312512x x +=--+． 移项，合并，得 278x =．系数化为1，得 39x =．……………………………………………………………4分 439435x -=-=． ……………………………………………………………… 5分答：甲班原来有39人，乙班原来有35人．……………………………………………6分 八、解答题（本题共13分，第27题6分， 第28题7分） 27．解：∵ 当1x =-时，代数式3236mx nx -+的值为17， ∴ 将1x =-代入，得 23617m n -++=．整理，得 3211n m -=． ① ……………………………………………………1分 （1）∵ 关于y 的方程24my n ny m +=--的解为 2y =， ∴ 把2y =代入以上方程，得 442m n n m +=--．整理，得 534m n +=． ② ……………………………………………… 2分由①，②得 321153 4.n m m n -=⎧⎨+=⎩，②-①，得 77m =-．系数化为1，得 1m =-．把1m =-代入①，解得 3n =．∴ 原方程组的解为 13.m n =-⎧⎨=⎩， ……………………………………………… 4分此时3(1)1n m =-=-．…………………………………………………………5分 （2）∵ 3211n m -=，[]a 表示不超过a 的最大整数， ∴ []32311 5.56222n m n m -⎡⎤⎡⎤⎡⎤-==-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．………………………… 6分 ①②阅卷说明：直接把第（1）问的1m =-，3n =代入得到第（2）问结果的不 给第（2）问的分．28．解：（1）①当射线OA 在DOE ∠外部时，射线OA ，OB ，OC 的位置如图1所示． ②当射线OA 在DOE ∠内部时，射线OA ，OB ，OC 的位置如图2所示． ……………………………………………………………………… 2分 （阅卷说明：画图每种情况正确各1分，误差很大的不给分）（2）①当射线OA 在DOE ∠外部时，此时射线OC 在DOE ∠内部，射线OA ，OD ，OC ，OE ，OB 依次排列，如图1．∵ OD 平分∠AOC ，60AOC ∠=︒，∴ 1302DOC AOC ∠=∠=︒．…………………………………………… 3分 ∵ 此时射线OA ，OD ，OC ，OE ，OB 依次排列，∴ DOE DOC COE ∠=∠+∠．∵ 50DOE ∠=︒，∴ 503020COE DOE DOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∵ OE 平分∠BOC ，∴ 222040BOC COE ∠=∠=⨯︒=︒．…………………………………… 4分②当射线OA 在DOE ∠内部时，此时射线OC 在DOE ∠外部，射线OC ，OD ，OA ，OE ，OB 依次排列，如图2．∵ OD 平分∠AOC ，60AOC ∠=︒，∴ 1302COD AOC ∠=∠=︒． ∵ 此时射线OC ，OD ，OA ，OE ，OB 依次排列，50DOE ∠=︒，∴ 305080COE COD DOE ∠=∠+∠=︒+︒=︒．∵ OE 平分∠BOC ，∴ 2280160BOC COE ∠=∠=⨯︒=︒．………………………………… 5分阅卷说明：无论学生先证明哪种情况，先证明的那种情况正确给2分，第二种 情况正确给1分．（3）当射线OA 在DOE ∠外部时，22BOC αβ∠=-； 图1 C B A E O D C B A E O D 图2当射线OA 在DOE ∠内部时，22BOC αβ∠=+．……………………………………………7分阅卷说明：两种情况各1分;学生若直接回答22BOC αβ∠=-或22αβ+不扣分．。

西城区 学年度第一学期初三期末数学试题及答案 北区

西城区 学年度第一学期初三期末数学试题及答案 北区

北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2011.1考生须知 1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（ ）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°， 则∠BOC =（ ）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15° 3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都 是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan ∠ACB 的值为（ ）.A ．1B ．13C ．12 D ． 2 4．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ）.A ．2(3)2y x =++B ．2(3)2y x =--C ．2(6)2y x =--D ．2(3)2y x =-+ 5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的 位似图形，则P 点的坐标是（ ）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-. 若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程 正确的是（ ）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切， 切点为E ，并分别交OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于23，则扇形OCED 的面积等于（ ）.A ．23π B ．43π C ．83π D ．163π 8. 如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆心， OB 为半径的圆上运动，P A 的中点为Q .当点Q 也落在 ⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（ ）.A ．12B ．13C ．14D ．23二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ， 若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .10. 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，若圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系为 . 11. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A (2,0)，以OA 为半径作⊙O ，若点P ，B 都在⊙O 上，且四边形AOPB 为菱形，则点P 的坐标为 .12．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>； （3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分） 13．计算：26tan 303sin 60cos45︒︒-︒． 14．若关于x 的方程 2430x x a +-+=有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．15．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC 3D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ． 求AD 的长．16．右图为抛物线c bx x y ++-=2的一部分，它经过A (1,0)-，B (0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 求平移后的抛物线的解析式．17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为50m ，求这栋楼的高度.2取1.414，3取1.732）18．对于抛物线 243y x x =-+.（1）它与x 轴交点的坐标为 ，与y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=（t 为实数）在1-＜x ＜72的范围内有 解，则t 的取值范围是 ．四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8，D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ． （1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD 和矩形EFGH 如图1所示摆放在直线l 上，DE =2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转α角（090α︒<<︒） ，将矩形EFGH 绕点E 逆时针旋转相同的角度．（1）当两个矩形旋转到顶点C ，F 重合时（如图2），∠DCE = °，点C 到直线l 的距离等于 ，α= °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD 和矩形EFGH 重合部分为正方形时，α= °．21点E ，交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，∠D=∠BFC . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若AC=8，tan B =12，求AD 的长.22．请阅读下面材料：x … …y … …若10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线122x x x += 为此抛物线的对称轴.有一种方法证明如下：证明：∵ 10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，∴ 20112022 , ,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩ 且 1x ≠2x . ①-②得 221212()()0a x x b x x -+-=. ∴ []1212()()0x x a x x b -++=. ∴ 12b x x a+=-. 又∵ 抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴为2b x a=-， ∴ 直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，直线122x x x +=为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x ，2x 时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程； （2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21y x bx =+- 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式； （2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 24. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）. （1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）①②（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-， 求此抛物线的解析式；（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若1tan tan 4POB POC ∠=∠，求点P 的坐标； （4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N ， 则N 关于n 的函数关系式为 .25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE . （1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3） 设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13ABC S ∆ 时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBDAABC二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.35. 10. 相交. 11. (3)-，(1,3)--.（每个2分） 12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分） 三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．解： 26tan 303sin 60cos45︒︒-︒ 23326(3=⨯……………………………………………………………3分3222=--122=-. ……………………………………………………………………………5分14．解：（1）244(3)a ∆=--44a =+.…………………………………………………… 1分∵ 该方程有实数根，∴ 44a +≥0．…………………………………………………………………2分 解得a ≥1-．……………………………………………………………………3分 （2）当a 为符合条件的最小整数时，a = 1-． ………………………………… 4分此时方程化为2440x x ++=，方程的根为122x x ==-．…………………5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC =3， ∴ 2sin 60ACAB ==︒，BC =1．……………………2分 ∵ D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴ BD =4，CD =5． …………………………………………………………………4分∴ 2227AD CD AC =+=．……………………………………………………5分16．解：（1）∵ 抛物线经过A (1,0)-，B (0,3)两点，∴ 10,3.b c c --+=⎧⎨=⎩……………………………………………………………1分解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩ …………………………………………………………………2分∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++． ……………………………………3分 （2）∵ 抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)， ∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)-．∴ 平移后的抛物线的解析式为22(2)341y x x x =-++=---．…………5分17．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°，∴ BD =AD =50(m)． …………………………………………2分 在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°， ∴ 3503CD AD ==(m) ． ………………………………4分 ∴ BC= BD+CD =50503+50(31)136.6=+≈(m)．……5分 答：这栋楼约高136.6 m ．18．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y 轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为(2,1)-； ………………………………………3分（2）列表：x … 0 1 23 4 …y … 3 0 -1 0 3 …图1图2……………………………4分图象如图3所示． ……………………………5分 （3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．……………………………1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ，∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ． ………………………………………………………2分 ∴ △BDE ∽△CAD ． ………………………………………………………3分 （2）解：由（1）得DB ACBE CD=．…………………………………………………………4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2， ∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 622.45DB CD BE AC ⨯⨯===． ………………………………………………5分 20．解：（1）∠DCE = 60 °，点C 到直线l 的距离等于3，α= 30 °； …………………3分 （2）α= 45 °． ………………………………………………………………………4分21．（1）证明：∵ OD ⊥AC 于点E ， ∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°． ∵ ∠D=∠BFC ，∠BFC=∠1， ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．∴ OA ⊥AD 于点A ．………………………1分 ∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AD 是⊙O 的切线． ……………………2分 （2）解：∵ OD ⊥AC 于点E ，AC 是⊙O 的弦，AC=8，∴ 42ACAE EC ===．………………………………………………………3分 ∵ ∠B =∠C ，tan B =12，∴ 在Rt △CEF 中，∠CEF =90°，tan C =12．∴ tan 2EF EC C =⋅=．设⊙O 的半径为r ，则2OE r =-．在Rt △OAE 中，由勾股定理得 222OA OE AE =+，即 222(2)4r r =-+． 解得 r =5．……………………………………………………………………4分∴ 在Rt △OAE 中，4tan 23AE OE ∠==．∴ 在Rt △OAD 中，420tan 2533AD OA =⋅∠=⨯=． ………………………5分22．解：（1）结论：自变量取1x ，2x 时函数值相等． ……………………………………1分 证明：∵ 11(,)M x y ，22(,)N x y 为抛物线2y ax bx c =++上不同的两点，图4 图5由题意得 21112222, ,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩ 1x ≠2x ． ①-②，得 []221212121212()()()()y y a x x b x x x x a x x b -=-+-=-++. ……………………………………………………………2分∵ 直线122x x x +=是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴， ∴ 1222x x bx a+==-. ∴ 12bx x a+=-.∴ []121212()()0y y x x a x x b -=-++=，即12y y =.………………3分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而 没有用代数方法进行证明的不给分）（2）∵ 二次函数21y x bx =+-当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数21y x bx =+-的对称轴为直线20112x =. ∴ 201122b -=，2011b =-. ∴ 二次函数的解析式为220111y x x =--. …………………………………4分 ∵20112012(1)22+-=， 由（1）知，当x = 2012的函数值与1x =-时的函数值相等. ∵ 当x =1-时的函数值为2(1)2011(1)12011--⨯--=，∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.解：（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※ …………………………………………1分 ① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =. ………………………………………………………2分∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2.∴ m= 1. ……………………………………………………………………3分 （阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分） ② ∵ k 为原方程的非零实数根，①②∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=.…………………4分 整理，得 1()21m k k m k+-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.……………………………………………5分（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .………6分当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点. …………………………6分 ∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.…………6分结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图6） 当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4； 当1＜m ＜2时，1＜∆＜4. ∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. …………………………………………7分24.解：（1）抛物线2()y ax a c x c =-++与x 轴交点的横坐标是关于x 的方程2()0ax a c x c -++=（其中a ≠ 0，a ≠c ）的解.解得 11x =，2cx a=. ………………………………………………………… 1分 ∴ 抛物线与x 轴交点的坐标为(1,0)，(,0)ca .……………………………… 2分（2）抛物线2()y ax a c x c =-++的顶点A 的坐标为2()(,)24a c a c a a+--.∵ 经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-， ① ②图622() ,42 , ()().a c a c k a a a c c k a a c a c c a a c c a a ⎧-+-=-+⎪⎪+⎪∴-=-+⎨⎪++⎪-=-+⨯+⎪⎩由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分将其代入①、② 得 1 ,4201.ak k ⎧-=-+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 2a =-.∴ 所求抛物线的解析式为 222y x x =-+.…………………………………… 4分 （3）作PE ⊥x 轴于点E ， PF ⊥y 轴于点F .（如图7）抛物线222y x x =-+的顶点A 的坐标11(,)22， 点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,1).设点P 的坐标为(,)m n .∵ 点P 在x 轴上方的抛物线222y x x =-+上， ∴ 222n m m =-+，且0＜m ＜1，102n <<. ∴ tan PE n POB OE m ∠==，tan PF mPOC OF n∠==. ∵ 1tan tan 4POB POC ∠=∠， ∴ 224m n =.解得 m =2n ，或2m n =-（舍去）. ………………………………………………5分 将m =2n 代入222n m m =-+，得2830n n -=. 解得138n =，20n =（舍去）.∴ 324m n ==. ∴ 点P 的坐标为33(,)48. …………………………………………………………6分（4）N 关于n 的函数关系式为N=4n . ………………………………………………7分说明：二次函数222y x x =-+的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值，此时y 随x 的增大而减小，∴ 222n n --＜y ≤222n n -+，其中的整数有2221n n --+，2222n n --+，…222n n -+.22(22)(22)4N n n n n n =-+---=.25.（1）当''A B 边经过点B 时，α= 60 °； ………………………………………… 1分 （2）猜想：①如图8，点D 在AB 边上时，m =2；②如图9，点D 在AB 的延长线上时，m =4.图7西城区九年级数学第一学期期末试卷 第 11 页 （共 12 页）（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）证明：① 当090α︒<<︒时，点D 在AB 边上（如图8）.（阅卷说明：①、②两种情况没写α的取值范围不扣分）∵ DE ∥''A B ，∴ CD CE CA CB =''. 由旋转性质可知，CA ='CA ，CB ='CB ，∠ACD=∠BCE . ∴CD CE CA CB =. ∴ △CAD ∽△CBE . ……………2分∴ ∠A =∠CBE=30°. ∵ 点D 在AB 边上，∠CBD=60°，∴ 2CBD CBE ∠=∠，即 m =2. ………………………………………3分② 当90120α︒<<︒时，点D 在AB 的延长线上（如图9）.与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 的延长线上，180120CBD CBA ∠=︒-∠=︒，∴ 4CBD CBE ∠=∠，即 m =4. ……………………………………4分（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣1分.）（3）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A =30°，BC =1，∴ AB = 2 ，3AC =，3ABC S =V . 由 △CAD ∽△CBE 得AD BE AC BC =. ∵ AD =x ，∴ 13BE =，3BE x =. ①当点D 在AB 边上时，AD =x ，2BD AB AD x =-=-，∠DBE=90°.此时，2113323(2)22BDE x x x S S BD BE x -+==⨯=-⨯=V . 当S =13ABC S ∆时，23233x x -+=. 整理，得 2210x x -+=.解得 121x x ==，即AD =1.…………………5分 此时D 为AB 中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE .（如图10） ∴ EC = EB .∵ ''90A CB ∠=︒，点E 在'CB 边上，∴ 圆心E 到'A C 的距离EC 等于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相切. …………………………………………………6分 ②当点D 在AB 的延长线上时，AD =x ，2BD x =-，∠DBE=90°.（如图9）. 2113323(2)22BDE x x x S S BD BE x -==⨯=-⨯=V . 当S =13ABC S ∆时，23233x x -=. 整理，得 2210x x --=.图9 图8 图10西城区九年级数学第一学期期末试卷 第 12 页（共12 页） 解得 112x =+212x =.即2AD =……………………………………………………………… 7分 此时∠BCE=α，而90120α︒<<︒，∠CBE =30°，∴ ∠CBE ＜∠BCE .∴ EC ＜EB ，即圆心E 到'A C 的距离EC 小于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相交. ……………………………………………………8分。

西城区初三数学期末考试题及答案南区

西城区初三数学期末考试题及答案南区

北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学 2013.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是A ．1-B ．1C ．2-D ．2 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC ＝40°，则∠AOC 的度数为 A ．20° B ．40° C ．60° D ．80° 3．两圆的半径分别为2和3，若圆心距为5，则这两圆的位置关系是 A ．相交B ．外离C ．外切D ．内切4．三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示. 若20cm 50cm OA OA '==，，则这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是 A ．5∶2 B ．2∶5 C ．4∶25D ．25∶45．如图，正方形ABCD 的内切圆和外接圆的圆心为O ，EF 与GH 是此 外接圆的直径，EF =4，AD ⊥GH ，EF ⊥GH ，则图中阴影部分的面积是 A ．π B ．2π C ．3πD ．4π6．袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的．从中随机同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是A ．41B ．21C ．32D ．317．如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO B ''，则点B 的对应 点B '的坐标为 A ．（3，4） B ．（7，4） C ．（7，3） D ．（3，7）8．如图，△ABC 中，∠B =60°，∠ACB =75°，点D 是BC 边上一个动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若弦EF 长度的最小值为1，则AB 的长为A. 22B. 632C. 1.5D.E二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为_______.10．已知抛物线23y x x =--经过点)2(1y A ，、)3(2y B ，，则1y 与2y 的大小关系是_______．11．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，且OP =2，∠APB =60°．若点C 在⊙O 上，且AC∠CAB 的度数为_______．12．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于(1,0)和(1x ,0)，其中121x -<<-，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①0>b ；②241b ac <；③a b >；④a c a 2-<<-．其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题（本题共30分，每小题5分）132604cos 30+sin 45tan 60-⋅o o o o．14．已知抛物线241y x x =-+．（1）用配方法将241y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式；（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 边上．若DB =6，AD =12CD ，sin ∠CBD =23，求AD 的长和tan A 的值．16．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB于点E ．（1）求证：∠BCO =∠D ； （2）若CD=AE =2，求⊙O 的半径．17．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6，点P 为AC 边中点，点M 是BC 边上一点．将△CPM 沿直线MP 翻折，交AB 于点E ，点C 落在点D 处，∠BME =120°． （1）求∠CMP 的度数；（2）求BM 的长．18．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的EDCMBPAA 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处. （1）B 处距离灯塔P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔200海里的O 处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，并说明理由．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知抛物线322--=x x y .（1）它与x 轴的交点的坐标为_______； （2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；（3）将该抛物线在x 轴下方的部分(不包含与x 轴的交点)记为G ，若直线b x y +=与G 只有一个公共点，则b 的取值范围是_______．20．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 与AB 的延长线交于点P ，∠COB =2∠PCB . （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ， 若MN · MC =8，求⊙O 的直径.21．平面直角坐标系xOy 中，原点O 是正三角形ABC 外接圆的圆心，点A 在y 轴的正半轴上，△ABC 的边长为6．以原点O 为旋转中心将△ABC 沿逆时针方向旋转α角，得到△A B C '''，点A '、B '、C '分别为点A 、B 、C 的对应点． （1）当α=60°时，①请在图1中画出△A B C '''；②若AB 分别与C A ''、B A ''交于点D 、E ，则DE 的长为_______；（2）如图2，当C A ''⊥AB 时，B A ''分别与AB 、BC 交于点F 、G ，则点A '的坐标为_______，△FBG 的周长为_______，△ABC 与△A B C '''重叠部分的面积为 _______．22．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x ≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2；若m ≥5，则m x =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y 的最大值为_______（2）若p ≤x ≤2，求二次函数1422++=x x y 的最大值；（3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数1422++=x x y 的最大值为31，则t 的值为_______． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知抛物线212(1)y x m x n =+-+经过点（1-，132m +）． （1）求n m -的值；（2）若此抛物线的顶点为（p ，q ），用含m 的式子分别表示p 和q ，并求q 与p 之间的函数关系式； （3）若一次函数2128y mx =--，且对于任意的实数x ，都有1y ≥22y ，直接写出m 的取值范围.24．以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO =∠DCO =30°．（1）点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、EM ．①如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FM EM=_______；②如图2，将图1中的△AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角（060α<<o o ），其 他条件不变，判断FM EM 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO =，点N 在线段OD 上，且NO =2．点P 是线段AB 上的一个动点，在将△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为_______，最大值为_______．25．如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB ．直线BE 与y 轴平行，点F 是射线BE 上的一个动点，连接AD 、AF 、DF .（1）若点F 的坐标为（92，1），AF ①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线上一个动点，点Q 在此抛物线的对称轴上，以点A 、F 、P 、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标；（2）若22b c +=-，2b t =--，且AB 的长为kt ，其中0t >．如图2，当∠DAF =45°时，求k 的值和∠DF A 的正切值.北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学参考答案及评分标准2013.1阅卷说明：第11题写对一个答案得2分．第12题只写②或只写④得2分;有错解得0分．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式242=⨯+⎝⎭................................................................. 4分3=. ........................................................................................................ 5分14．解：（1）241y x x=-+2(44)3x x=-+-2(2)3x=--........................................................................................... 2分（2）∵抛物线241y x x=-+的顶点坐标为(2,3)-， .................................... 3分∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,1)-. .................................................. 4分∴平移后所得抛物线的解析式为22(3)168y x x x=--=-+. . ............ 5分15．解：如图1.在Rt△DBC中，∠C=90°，sin∠CBD=23，DB=6，∴2sin643CD DB CBD=⋅∠=⨯=. ………… 1分∴AD=12CD=1422⨯=. ……………………2分∵CB=.............................................................. 3分AC= AD+CD=2+4=6， ......................................................................................... 4分在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tan A=CBAC==. ...................................................................................... 5分16．（1）证明：如图2.∵OC=OB，∴∠BCO=∠B. …………………………………1分∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D. ………………………………2分（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，ADBC图1图2∴CE =12CD=12⨯= ………… 3分 在Rt △OCE 中，222OC CE OE =+，设⊙O 的半径为r ，则OC =r ，OE =OA -AE =r -2，∴222(2)r r =+-. ………………… 4分 解得3r =.∴⊙O 的半径为3. ……………………… 5分 17．解：如图3.（1）∵将△CPM 沿直线MP 翻折后得到△DPM ，∴∠CMP =∠DMP . ............................................ 1分 ∵∠BME =120°，∴∠CMP =30°. .................................................... 2分（2）∵AC =6，点P 为AC 边中点，∴CP =3. ................................................................. 3分 在Rt △CMP 中，CP =3，∠MCP =90°，∠CMP =30°， ∴CM =33. .......................................................... 4分∴BM =336-. .................................................................................................... 5分 18．解：（1）作PC ⊥AB 于C .（如图4）在Rt △P AC 中，∠PCA =90°，∠CP A =90°-45°=45°.∴cos 45100PC PA =⋅==o ................... 2分在Rt △PCB 中，∠PCB =90°，∠PBC =30°.∴2PB PC ==答：B 处距离灯塔P有. ....................... 3分（2）海轮若到达B 处没有触礁的危险. .......................... 4分理由如下：∵200OB OP PB =-=-而150，∴200200150->-.∴50OB >. .................................................................................................... 5分 ∴B 处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险.19 图4图3EDCMBP A图象（如图5）；………………… 3分（3）b 的取值范围是31b -≤<或421-=b ． .......................................................... 5分阅卷说明：只写31b -≤<或只写421-=b 得1分.20．（1）证明：∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO . ∴∠COB =2∠ACO . 又∵∠COB =2∠PCB ，∴∠ACO =∠PCB . ....................................................................................... 1分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO +∠OCB =90° .∴∠PCB +∠OCB =90°, 即OC ⊥CP . ∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线. ................................................................................. 2分（2）解：连接MA 、MB .（如图6） ∵点M 是弧AB 的中点，∴∠ACM =∠BAM . ∵∠AMC =∠AMN ，∴△AMC ∽△NMA . …………………… 3分∴AM MCNM MA=. ∴2AM MC MN =⋅.∵MC·MN =8,∴AM = .............................................................................................. 4分∵AB 是⊙O 的直径，点M 是弧AB 的中点， ∴∠AMB =90°，AM =BM=∴4AB =. ....................................................................... 5分21．解：（1）①如图7所示； (1)②DE 的长为2； ................................................ 2（2）点A '的坐标为(，△FBG 的周长为 6 ， △ABC 与△A B C '''重叠部分的面积为27- .......................... 5 阅卷说明：第（2）问每空1分.22．解：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y ................ 1 （2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线x ∴由对称性可知，4-=x 和2=x 时函数值相等.∴若24≤<-p ，则2=x 时，y 的最大值为17. ................................... 2分 若4-≤p ，则p x =时，y 的最大值为1422++p p . ......................... 3分图6（3）t 的值为1或-5 . .............................................................................................. 5分 阅卷说明：只写1或只写-5得1分;有错解得0分.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）∵抛物线212(1)y x m x n =+-+经过点（1-，132m +）， ∴213(1)2(1)(1)2m m n +=-+-⨯-+.∴32n m -=. ................................................................................................ 1分（2）∵2132(1)2y x m x m =+-++，∴1p m =-， ................................................................................................ 2分2132q m m =-++. .................................................................................. 3分∵1p m =-， ∴1m p =+.∴21(1)3(1)2q p p =-++++.∴252q p p =-++. ........................................................................................ 5分（3）m 的取值范围是3122m -≤≤且0m ≠. ........................................................ 7分阅卷说明：只写3122m -≤≤或只写0m ≠得1分.24．解：（1）①FMEM=2； .......................................................... ………………………1分 ②结论：FMEM的值不变.（阅卷说明：判断结论不设给分点） 证明：连接EF 、AD 、BC .（如图8） ∵Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠ABO=30°， ∴tan 30AO BO ==o . ∵Rt △COD 中，∠COD =90°，∠DCO =30°， ∴tan 30DO CO ==o ∴AO DO BO CO ==又∵∠AOD =90°+∠BOD ，∠BOC =90°+∠BOD ， ∴∠AOD=∠BOC.∴△AOD ∽△BOC ． .................................................................................... 2分 ∴AD BC =1=∠2. AFEMOBDC123456图8∵点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，∴EF ∥AD ，FM ∥CB ，且12EF AD =，12FM CB =.∴EF FM =............................................................................................ 3分 ∠3=∠ADC =∠1+∠6，∠4=∠5. ∵∠2+∠5+∠6=90°，∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°.∴∠EFM =90°. ............................................................................................. 4分∵在Rt △EFM 中，∠EFM =90°，tan EF EMF FM ∠==∴∠EMF =30°.∴cos FM EMF EM =∠=......................................................................... 5分（2）线段PN2，最大值为2. .......................... 7分阅卷说明：第（2）问每空1分.25．解：（1）①∵直线BE 与y 轴平行，点F 的坐标为（92，1）， ∴点B 的坐标为（92，0），∠FBA =90°，BF =1.在Rt △ABF 中，AF∴4AB . ∴点A 的坐标为（12，0）. ∴抛物线的解析式为2119159()()222228y x x x x =--=-+. ................. 1分②点Q 的坐标为1Q （52，3），2Q （52，5），3Q （52，7）. ........... 4分 阅卷说明：答对1个得1分. （2）∵22b c +=-，2b t =--， ∴22c t =+. ∴21(2)222y x t x t =-+++. 由21(2)2202x t x t -+++=， (2)(22)0x x t ---=. 解得 12x =，222x t =+. ∵0t >，∴点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（22t +，0）.∴AB =2222t t +-=，即 2k =. ............................................................... 5分方法一：过点D 作DG ∥x 轴交BE 于点G ，AH ∥BE 交直线DG 于点H ，延 长DH 至点M ，使HM =BF ，连接AM.（如图9）∵DG ∥x 轴，AH ∥BE ，∴四边形ABGH 是平行四边形. ∵∠ABF =90°， ∴四边形ABGH 是矩形. 同理四边形CBGD 是矩形. ∴AH =GB =CD =AB =GH =2t . ∵∠HAB =90°，∠DAF =45°， ∴∠1+∠2=45°. 在△AFB 和△AMH 中，AB =AH ，∠ABF =∠AHM =90°，BF =HM ，∴△AFB ≌△AMH . ..................................................................................... 6分 ∴∠1=∠3，AF =AM ，∠4=∠M . ∴∠3+∠2=45°. 在△AFD 和△AMD 中， AF =AM ， ∠F AD =∠MAD ， AD =AD ， ∴△AFD ≌△AMD .∴∠DF A =∠M ，FD =MD .∴∠DF A =∠4. ……………………………………………………………7分∵C 是AB 的中点， ∴DG =CB =HD =t .设BF =x ，则GF =2t x -，FD =MD =t x +. 在Rt △DGF 中，222DF DG GF =+， ∴222()(2)t x t t x +=+-，解得 23t x =.∴2tan tan 4233AB t DFA t FB ∠=∠==÷=.…8 方法二：过点D 作DM ⊥AF 于M .（如图10） ∵CD ⊥AB ，DM ⊥AF ， ∴∠NCA =∠DMN =90°. ∵∠1=∠2， ∴∠NAC =∠NDM. ∴tan ∠NAC =tan ∠NDM.∴NC NMAC DM=. ……………………………6分∵C是AB的中点，CD=AB=2t，∴AC=t，AD==.∵∠DAM=45°，∴sin45DM AM AD==⋅==o.设CN=x，则DN=2t x-.∴xt=.∴NM x=.在Rt△DNM中，222DN DM NM=+，∴222(2)))t x-=+.223830x tx t+-=.(3)(3)0x t x t-+=.∴13tx=，23x t=-（舍）.∴CN=3t，…………………………………………………………………7分AN.∵EB∥y轴，∴EB⊥x轴.∵CD⊥AB，∴CD∥EB.∴12AC ANAB AF==.∴AF.∴MF= AF-AM=.∴tan3DMDFAMF⎫∠==÷=⎪⎪⎝⎭. ………………………………8分。

北京市西城区(北区)2012-2013学年七年级上学期期末考试数学试题

北京市西城区(北区)2012-2013学年七年级上学期期末考试数学试题

北京市西城区（北区）2012-2013学年七年级上学期期末考试数学试题（试卷满分100分，考试时间100分钟）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．6-的绝对值等于（ ）．A. 6-B. 6C. 16- D.162．根据北京市公安交通管理局网站的数据显示，截止到2012年2月16日，北京市机动车保有量比十年前增加了3 439 000 辆，将3 439 000 用科学记数法表示应为（ ）．A ．70.343 910⨯B ．63.43910⨯C ．73.43910⨯D ．534.3910⨯3．下列关于多项式22521ab a bc --的说法中，正确的是（ ）． A.它是三次三项式 B.它是四次两项式 C.它的最高次项是22a bc - D.它的常数项是14．已知关于x 的方程72kx x k -=+的解是2x =，则k 的值为（ ）．A.3-B.45C. 1D.545． 下列说法中，正确的是（ ）．A ．任何数都不等于它的相反数B ．互为相反数的两个数的立方相等C ．如果a 大于b ，那么a 的倒数一定大于b 的倒数D ．a 与b 两数和的平方一定是非负数6．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角．．α∠与β∠相等的是（ ）．A B CD7．下列关于几何画图的语句正确的是 A ．延长射线AB 到点C ，使BC =2ABB ．点P 在线段AB 上，点Q 在直线AB 的反向延长线上C ．将射线OA 绕点O 旋转180︒，终边OB 与始边OA 的夹角为一个平角D ． 已知线段a ，b 满足20a b >>，在同一直线上作线段2AB a =，BC b =，那么线段2AC a b =-8．将下列图形画在硬纸片上，剪下并折叠后能围成三棱柱的是A B CD9．已知a ，b 是有理数，若a 在数轴上的对应点的位置如图所示，0a b +<，有以下 结论：①0b <；②0b a ->；③a b ->-；④1ba<-则所有正确的结论是（ ）．A.①，④B. ①，③C. ②，③D. ②，④10．右图中的长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成的，那么其中第一部分所对应的几 何体应是二、填空题（本题共20分，11～14题每小题2分，15～18题每小题3分）11．用四舍五入法将1.893 5取近似数并精确到0.001，得到的值是 ．12．计算：135459116''︒-︒=．13．一件童装每件的进价为a 元（0a >），商家按进价的3倍定价销售了一段时间后，为了吸引顾客，又在原定价的基础上打六折出售，那么按新的售价销售，每件童装所得的利润用代数式表示应为元．14．将长方形纸片ABCD 折叠并压平，如图所示，点C ，点D 的对应 点分别为点C '，点D '，折痕分别交AD ，BC 边于点E ，点F ．若30BFC '∠=︒，则CFE ∠= °．ABC D15．对于有理数a ，b ，我们规定a b a b b ⊗=⨯+．（1）(3)4-⊗= ； （2）若有理数x 满足 (4)36x -⊗=，则x 的值为 ．16．如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为2-和6，数轴上的点C 满足AC BC =，点D 在线段AC 的延长线上， 若32AD AC =，则BD = ，点D 表示的数为 ．17．右边球体上画出了三个圆，在图中的六个□里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等． （1）这个相等的和等于 ； （2）在图中将所有的□填完整．18．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长都是3 cm ，点P 从点D 出发，先到点A ，然后沿箭头所指方向运动 （经过点D 时不拐弯），那么从出发开始连续运动2012 cm 时，它离点 最近，此时它距该点 cm ．三、计算题（本题共12分，每小题4分）19．2742()(12)(4)32⨯-÷--÷-． 解：20．3212(3)4()23-÷⨯-． 解：21．211312()49(5)64828-⨯+-÷-． 解：四、先化简，再求值（本题5分）22．222225(3)(3)2a b ab ab a b ab --++，其中21=a ，3b =． 解：五、解下列方程（组）（本题共10分，每小题5分）23．321123x x x --+=-． 解：24．231445 6.x y x y +=⎧⎨-=⎩，解：六、解答题（本题4分）25． 问题：如图，线段AC 上依次有D ，B ，E 三点，其中点B 为线段AC 的中点，AD BE =， 若4DE =，求线段AC 的长． 请补全以下解答过程．解：∵ D ，B ，E 三点依次在线段AC 上， ∴ DE BE =+． ∵ AD BE =，∴ DE DB AB =+=． ∵ 4DE =， ∴ 4AB =．∵ ， ∴ 2 AC AB ==．七、列方程（或方程组）解应用题（本题共6分）26． 有甲、乙两班学生，已知乙班比甲班少4人，如果从乙班调17人到甲班，那么甲班人数比乙班人数的3倍还多2人，求甲、乙两班原来各有多少人． 解：八、解答题（本题共13分，第27题6分，第27题7分）27．已知当1x =-时，代数式3236mx nx -+的值为17．（1）若关于y 的方程24my n ny m +=--的解为2y =，求n m 的值；（2）若规定[]a 表示不超过a 的最大整数，例如[]4.34=，请在此规定下求32n m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值．解：28．如图，50DOE ∠=︒，OD 平分∠AOC ，60AOC ∠=︒，OE 平分∠BOC ． （1）用直尺、量角器画出射线OA ，OB ，OC 的准确位置； （2）求∠BOC 的度数，要求写出计算过程；（3）当DOE α∠=，2AOC β∠=时（其中0βα︒<<，090αβ︒<+<︒），用α，β的代数式表示∠BOC 的度数．（直接写出结果即可） 解：北京市西城区（北区）2012— 2013学年度第一学期期末试卷七年级数学参考答案及评分标准 2013.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）EOD二、填空题（本题共20分，11～14题每小题2分，15～18题每小题3分）阅卷说明：15～18题中，第一个空为1分，第二个空为2分；17题第（2）问其他正确答案相应给分.三、计算题（本题共12分，每小题4分）19．2742()(12)(4)32⨯-÷--÷-． 解：原式2242337=-⨯⨯- ………………………………………………………………2分83=-- ………………………………………………………………………3分 11=-．…………………………………………………………………………4分20．3212(3)4()23-÷⨯-．解：原式2227()99=-⨯⨯- ………………………………………………………………3分113=． …………………………………………………………………………4分（阅卷说明：写成43不扣分）21．211312()49(5)64828-⨯+-÷-．解：原式1125(1212)(50)2564828=-⨯-⨯--÷11(2)(2)428=---- ……………………………………………………… 2分1122428=---+114()428=---3414=--3414=-． ………………………………………………………………………4分四、先化简，再求值（本题5分）22．解： 222225(3)(3)2a b ab ab a b ab --++ 22222(155)(3)2a b ab ab a b ab =--++2222215532a b ab ab a b ab =---+ ………………………………………………… 2分 （阅卷说明：去掉每个括号各1分）22124a b ab =-． ……………………………………………………………………3分 当21=a ，3b =时， 原式221112()34322=⨯⨯-⨯⨯ …………………………………………………… 4分9189=-=-． …………………………………………………………………5分 五、解下列方程（组）（本题共10分，每小题5分）23．321123x x x --+=-． 解：去分母，得 3(3)2(21)6(1)x x x -+-=-． …………………………………… 2分去括号，得 394266x x x -+-=-．…………………………………………… 3分 移项，得 346926x x x +-=+-． …………………………………………… 4分 合并，得 5x =． ………………………………………………………………… 5分24．231445 6.x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解法一：由①得 2143x y =-．③ ………………………………………………… 1分把③代入②，得 2(143)56y y --=．………………………………………2分 去括号，得 28656y y --=． 移项，合并，得 1122y =．系数化为1，得 2y =． …………………………………………………… 3分 把2y =代入③，得 28x =．系数化为1，得 4.x = ………………………………………………………4分所以，原方程组的解为 42.x y =⎧⎨=⎩，……………………………………………5分解法二：①×2得 4628x y +=．③ ………………………………………………… 1分③－②得 6(5)286y y --=-．………………………………………………2分 合并，得 1122y =．① ②系数化为1，得 2y =． …………………………………………………… 3分 把2y =代入①，得 28x =．系数化为1，得 4.x = ………………………………………………………4分所以，原方程组的解为 42.x y =⎧⎨=⎩，……………………………………………5分六、解答题（本题4分）25．解：∵ D ，B ，E 三点依次在线段AC 上，∴ DE DB BE =+． ………………………………………………………… 1分 ∵ AD BE =，∴ DE DB AD AB =+=． …………………………………………………… 2分 ∵ 4DE =， ∴ 4AB =．∵ 点B 为线段AC 的中点 ， …………………………………………………… 3分 ∴ 2 8 AC AB ==． ……………………………………………………………4分 七、列方程（或方程组）解应用题（本题共6分）26．解：设甲班原来有x 人．……………………………………………………………… 1分 则乙班原来有 (4)x -人．依题意得 []173(4)172x x +=--+．…………………………………………… 3分 去括号，得 17312512x x +=--+． 移项，合并，得 278x =．系数化为1，得 39x =．……………………………………………………………4分 439435x -=-=． ……………………………………………………………… 5分答：甲班原来有39人，乙班原来有35人．……………………………………………6分 八、解答题（本题共13分，第27题6分， 第28题7分）27．解：∵ 当1x =-时，代数式3236mx nx -+的值为17， ∴ 将1x =-代入，得 23617m n -++=．整理，得 3211n m -=． ① ……………………………………………………1分 （1）∵ 关于y 的方程24my n ny m +=--的解为 2y =， ∴ 把2y =代入以上方程，得 442m n n m +=--．整理，得 534m n +=． ② ……………………………………………… 2分由①，②得 321153 4.n m m n -=⎧⎨+=⎩， ②-①，得 77m =-．系数化为1，得 1m =-．把1m =-代入①，解得 3n =．∴ 原方程组的解为 13.m n =-⎧⎨=⎩， ……………………………………………… 4分①②此时3(1)1n m =-=-．…………………………………………………………5分（2）∵ 3211n m -=，[]a 表示不超过a 的最大整数，∴ []32311 5.56222n m n m -⎡⎤⎡⎤⎡⎤-==-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．………………………… 6分 阅卷说明：直接把第（1）问的1m =-，3n =代入得到第（2）问结果的不 给第（2）问的分．28．解：（1）①当射线OA 在DOE ∠外部时，射线OA ，OB ，OC 的位置如图1所示． ②当射线OA 在DOE ∠内部时，射线OA ，OB ，OC 的位置如图2所示．……………………………………………………………………… 2分 （阅卷说明：画图每种情况正确各1分，误差很大的不给分）（2）①当射线OA 在DOE ∠外部时，此时射线OC 在DOE ∠内部，射线OA ，OD ，OC ，OE ，OB 依次排列，如图1．∵ OD 平分∠AOC ，60AOC ∠=︒，∴ 1302DOC AOC ∠=∠=︒．…………………………………………… 3分 ∵ 此时射线OA ，OD ，OC ，OE ，OB 依次排列，∴ DOE DOC COE ∠=∠+∠．∵ 50DOE ∠=︒，∴ 503020COE DOE DOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∵ OE 平分∠BOC ，∴ 222040BOC COE ∠=∠=⨯︒=︒．…………………………………… 4分②当射线OA 在DOE ∠内部时，此时射线OC 在DOE ∠外部，射线OC ，OD ，OA ，OE ，OB 依次排列，如图2．∵ OD 平分∠AOC ，60AOC ∠=︒， 图1 C B A E O D C B A E O D 图2∴ 1302COD AOC ∠=∠=︒． ∵ 此时射线OC ，OD ，OA ，OE ，OB 依次排列，50DOE ∠=︒，∴ 305080COE COD DOE ∠=∠+∠=︒+︒=︒．∵ OE 平分∠BOC ，∴ 2280160BOC COE ∠=∠=⨯︒=︒．………………………………… 5分阅卷说明：无论学生先证明哪种情况，先证明的那种情况正确给2分，第二种 情况正确给1分．（3）当射线OA 在DOE ∠外部时，22BOC αβ∠=-；当射线OA 在DOE ∠内部时，22BOC αβ∠=+．……………………………………………7分阅卷说明：两种情况各1分;学生若直接回答22BOC αβ∠=-或22αβ+不扣分．。

西城区初三数学期末考试题及答案(南区)

西城区初三数学期末考试题及答案(南区)

北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学 2013.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是A ．1-B ．1C ．2-D ．2 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC ＝40°，则∠AOC 的度数为 A ．20° B ．40° C ．60° D ．80° 3．两圆的半径分别为2和3，若圆心距为5，则这两圆的位置关系是 A ．相交B ．外离C ．外切D ．内切4．三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示. 若20cm 50cm OA OA '==，，则这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是 A ．5∶2 B ．2∶5 C ．4∶25D ．25∶45．如图，正方形ABCD 的内切圆和外接圆的圆心为O ，EF 与GH 是此 外接圆的直径，EF =4，AD ⊥GH ，EF ⊥GH ，则图中阴影部分的面积是 A ．π B ．2π C ．3πD ．4π6．袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的．从中随机同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是A ．41B ．21C ．32D ．317．如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO B ''，则点B 的对应 点B '的坐标为 A ．（3，4） B ．（7，4） C ．（7，3） D ．（3，7）8．如图，△ABC 中，∠B =60°，∠ACB =75°，点D 是BC 边上一个动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若弦EF 长度的最小值为1，则AB 的长为A. 22B.632C. 1.5D.E二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为_______.10．已知抛物线23y x x =--经过点)2(1y A ，、)3(2y B ，，则1y 与2y 的大小关系是_______．11．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，且OP =2，∠APB =60°．若点C 在⊙O 上，且AC∠CAB 的度数为_______．12．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于(1,0)和(1x ,0)，其中121x -<<-，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①0>b ；②241b ac <；③a b >；④a c a 2-<<-．其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题（本题共30分，每小题5分）132604cos 30+sin 45tan 60-⋅．14．已知抛物线241y x x =-+．（1）用配方法将241y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式；（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 边上．若DB =6，AD =12CD ，sin ∠CBD =23，求AD 的长和tan A 的值．16．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB于点E ．（1）求证：∠BCO =∠D ； （2）若CD=AE =2，求⊙O 的半径．17．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6，点P 为AC 边中点，点M 是BC 边上一点．将△CPM 沿直线MP 翻折，交AB 于点E ，点C 落在点D 处，∠BME =120°． （1）求∠CMP 的度数；（2）求BM 的长．18．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿EDCMBPA正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处. （1）B 处距离灯塔P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔200海里的O 处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，并说明理由．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知抛物线322--=x x y .（1）它与x 轴的交点的坐标为_______； （2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；（3）将该抛物线在x 轴下方的部分(不包含与x 轴的交点)记为G ，若直线b x y +=与G 只有一个公共点，则b 的取值范围是_______．20．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 与AB 的延长线交于点P ，∠COB =2∠PCB . （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ， 若MN · MC =8，求⊙O 的直径.21．平面直角坐标系xOy 中，原点O 是正三角形ABC 外接圆的圆心，点A 在y 轴的正半轴上，△ABC 的边长为6．以原点O 为旋转中心将△ABC 沿逆时针方向旋转α角，得到△A B C '''，点A '、B '、C '分别为点A 、B 、C 的对应点． （1）当α=60°时，①请在图1中画出△A B C '''；②若AB 分别与C A ''、B A ''交于点D 、E ，则DE 的长为_______；（2）如图2，当C A ''⊥AB 时，B A ''分别与AB 、BC 交于点F 、G ，则点A '的坐标为_______，△FBG 的周长为_______，△ABC 与△A B C '''重叠部分的面积为 _______．22．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x ≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2；若m ≥5，则m x =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y 的最大值为_______； （2）若p ≤x ≤2，求二次函数1422++=x x y 的最大值；（3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数1422++=x x y 的最大值为31，则t 的值为_______． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知抛物线212(1)y x m x n =+-+经过点（1-，132m +）． （1）求n m -的值；（2）若此抛物线的顶点为（p ，q ），用含m 的式子分别表示p 和q ，并求q 与p 之间的函数关系式； （3）若一次函数2128y mx =--，且对于任意的实数x ，都有1y ≥22y ，直接写出m 的取值范围.24．以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO =∠DCO =30°．（1）点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、EM ．①如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FM EM=_______；②如图2，将图1中的△AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角（060α<<），其 他条件不变，判断FM EM 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO =，点N 在线段OD 上，且NO =2．点P 是线段AB 上的一个动点，在将△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为_______，最大值为_______．25．如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB ．直线BE 与y 轴平行，点F 是射线BE 上的一个动点，连接AD 、AF 、DF .（1）若点F 的坐标为（92，1），AF ①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线上一个动点，点Q 在此抛物线的对称轴上，以点A 、F 、P 、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标；（2）若22b c +=-，2b t =--，且AB 的长为kt ，其中0t >．如图2，当∠DAF =45°时，求k 的值和∠DF A 的正切值.北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学参考答案及评分标准2013.1阅卷说明：第11题写对一个答案得2分．第12题只写②或只写④得2分;有错解得0分．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式242=⨯+⎝⎭................................................................. 4分3=. ........................................................................................................ 5分14．解：（1）241y x x=-+2(44)3x x=-+-2(2)3x=--........................................................................................... 2分（2）∵抛物线241y x x=-+的顶点坐标为(2,3)-， .................................... 3分∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,1)-. .................................................. 4分∴平移后所得抛物线的解析式为22(3)168y x x x=--=-+. . ............ 5分15．解：如图1.在Rt△DBC中，∠C=90°，sin∠CBD=23，DB=6，∴2sin643CD DB CBD=⋅∠=⨯=. ………… 1分∴AD=12CD=1422⨯=. ……………………2分∵CB=.............................................................. 3分AC= AD+CD=2+4=6， ......................................................................................... 4分在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tan A=CBAC==. ...................................................................................... 5分16．（1）证明：如图2.∵OC=OB，∴∠BCO=∠B. …………………………………1分∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D. ………………………………2分（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，ADBC图1图2∴CE =12CD=12⨯= ………… 3分 在Rt △OCE 中，222OC CE OE =+，设⊙O 的半径为r ，则OC =r ，OE =OA -AE =r -2，∴222(2)r r =+-. ………………… 4分 解得3r =.∴⊙O 的半径为3. ……………………… 5分 17．解：如图3.（1）∵将△CPM 沿直线MP 翻折后得到△DPM ，∴∠CMP =∠DMP . ............................................ 1分 ∵∠BME =120°，∴∠CMP =30°. .................................................... 2分（2）∵AC =6，点P 为AC 边中点，∴CP =3. ................................................................. 3分 在Rt △CMP 中，CP =3，∠MCP =90°，∠CMP =30°， ∴CM =33. .......................................................... 4分∴BM =336-. .................................................................................................... 5分 18．解：（1）作PC ⊥AB 于C .（如图4）在Rt △P AC 中，∠PCA =90°，∠CP A =90°-45°=45°.∴cos 45100PC PA =⋅== ................... 2分在Rt △PCB 中，∠PCB =90°，∠PBC =30°.∴2PB PC ==答：B 处距离灯塔P有. ....................... 3分（2）海轮若到达B 处没有触礁的危险. .......................... 4分理由如下：∵200OB OP PB =-=-而150，∴200200150->-.∴50OB >. .................................................................................................... 5分 ∴B 处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险.19 图4图3EDCMBP A图象（如图5）；………………… 3分（3）b 的取值范围是31b -≤<或421-=b ． .......................................................... 5分阅卷说明：只写31b -≤<或只写421-=b 得1分.20．（1）证明：∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO . ∴∠COB =2∠ACO . 又∵∠COB =2∠PCB ，∴∠ACO =∠PCB . ....................................................................................... 1分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO +∠OCB =90° .∴∠PCB +∠OCB =90°, 即OC ⊥CP . ∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线. ................................................................................. 2分（2）解：连接MA 、MB .（如图6） ∵点M 是弧AB 的中点，∴∠ACM =∠BAM . ∵∠AMC =∠AMN ，∴△AMC ∽△NMA . …………………… 3分∴AM MCNM MA=. ∴2AM MC MN =⋅.∵MC·MN =8,∴AM = .............................................................................................. 4分∵AB 是⊙O 的直径，点M 是弧AB 的中点， ∴∠AMB =90°，AM =BM=∴4AB =. ....................................................................... 5分21．解：（1）①如图7所示； (1)②DE 的长为2； ................................................ 2（2）点A '的坐标为(，△FBG 的周长为 6 ， △ABC 与△A B C '''重叠部分的面积为27- .......................... 5 阅卷说明：第（2）问每空1分.22．解：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y ................ 1 （2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线x ∴由对称性可知，4-=x 和2=x 时函数值相等.∴若24≤<-p ，则2=x 时，y 的最大值为17. ................................... 2分 若4-≤p ，则p x =时，y 的最大值为1422++p p . ......................... 3分图6（3）t 的值为1或-5 . .............................................................................................. 5分 阅卷说明：只写1或只写-5得1分;有错解得0分.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）∵抛物线212(1)y x m x n =+-+经过点（1-，132m +）， ∴213(1)2(1)(1)2m m n +=-+-⨯-+.∴32n m -=. ................................................................................................ 1分（2）∵2132(1)2y x m x m =+-++，∴1p m =-， ................................................................................................ 2分2132q m m =-++. .................................................................................. 3分∵1p m =-， ∴1m p =+.∴21(1)3(1)2q p p =-++++.∴252q p p =-++. ........................................................................................ 5分（3）m 的取值范围是3122m -≤≤且0m ≠. ........................................................ 7分阅卷说明：只写3122m -≤≤或只写0m ≠得1分.24．解：（1）①FMEM=2； .......................................................... ………………………1分 ②结论：FMEM的值不变.（阅卷说明：判断结论不设给分点） 证明：连接EF 、AD 、BC .（如图8） ∵Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠ABO=30°， ∴3tan 303AO BO ==. ∵Rt △COD 中，∠COD =90°，∠DCO =30°， ∴3tan 303DO CO ==∴AO DO BO CO ==又∵∠AOD =90°+∠BOD ，∠BOC =90°+∠BOD ， ∴∠AOD=∠BOC.∴△AOD ∽△BOC ． .................................................................................... 2分 ∴AD BC =∠1=∠2. AFEMOBDC123456图8∵点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，∴EF ∥AD ，FM ∥CB ，且12EF AD =，12FM CB =.∴EF FM =............................................................................................ 3分 ∠3=∠ADC =∠1+∠6，∠4=∠5. ∵∠2+∠5+∠6=90°，∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°.∴∠EFM =90°. ............................................................................................. 4分∵在Rt △EFM 中，∠EFM =90°，tan EF EMF FM ∠==∴∠EMF =30°.∴cos FM EMF EM =∠=......................................................................... 5分（2）线段PN2，最大值为2. .......................... 7分阅卷说明：第（2）问每空1分.25．解：（1）①∵直线BE 与y 轴平行，点F 的坐标为（92，1）， ∴点B 的坐标为（92，0），∠FBA =90°，BF =1.在Rt △ABF 中，AF∴4AB . ∴点A 的坐标为（12，0）. ∴抛物线的解析式为2119159()()222228y x x x x =--=-+. ................. 1分②点Q 的坐标为1Q （52，3），2Q （52，5），3Q （52，7）. ........... 4分 阅卷说明：答对1个得1分. （2）∵22b c +=-，2b t =--， ∴22c t =+. ∴21(2)222y x t x t =-+++. 由21(2)2202x t x t -+++=， (2)(22)0x x t ---=. 解得 12x =，222x t =+. ∵0t >，∴点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（22t +，0）.∴AB =2222t t +-=，即 2k =. ............................................................... 5分方法一：过点D 作DG ∥x 轴交BE 于点G ，AH ∥BE 交直线DG 于点H ，延 长DH 至点M ，使HM =BF ，连接AM.（如图9）∵DG ∥x 轴，AH ∥BE ，∴四边形ABGH 是平行四边形. ∵∠ABF =90°， ∴四边形ABGH 是矩形. 同理四边形CBGD 是矩形. ∴AH =GB =CD =AB =GH =2t . ∵∠HAB =90°，∠DAF =45°， ∴∠1+∠2=45°. 在△AFB 和△AMH 中，AB =AH ，∠ABF =∠AHM =90°，BF =HM ，∴△AFB ≌△AMH . ..................................................................................... 6分∴∠1=∠3，AF =AM ，∠4=∠M . ∴∠3+∠2=45°. 在△AFD 和△AMD 中， AF =AM ， ∠F AD =∠MAD ， AD =AD ， ∴△AFD ≌△AMD .∴∠DF A =∠M ，FD =MD .∴∠DF A =∠4. ……………………………………………………………7分∵C 是AB 的中点， ∴DG =CB =HD =t .设BF =x ，则GF =2t x -，FD =MD =t x +. 在Rt △DGF 中，222DF DG GF =+， ∴222()(2)t x t t x +=+-，解得 23t x =.∴2tan tan 4233AB t DFA t FB ∠=∠==÷=.…8 方法二：过点D 作DM ⊥AF 于M .（如图10） ∵CD ⊥AB ，DM ⊥AF ， ∴∠NCA =∠DMN =90°. ∵∠1=∠2， ∴∠NAC =∠NDM. ∴tan ∠NAC =tan ∠NDM.∴NC NM AC DM =. ……………………………6分∵C 是AB 的中点，CD =AB =2t ，∴AC =t，AD =. ∵∠DAM =45°，∴sin 455DM AM AD t ==⋅==.设 CN =x ，则DN =2t x -.∴x t =.∴NM x =.在Rt △DNM 中，222DN DM NM =+， ∴222(2)))t x -=+. 223830x tx t +-=. (3)(3)0x t x t -+=.∴13t x =，23x t =-（舍）.∴CN =3t ， …………………………………………………………………7分AN . ∵EB ∥y 轴， ∴EB ⊥x 轴. ∵CD ⊥AB ， ∴CD ∥EB .∴12ACAN AB AF ==. ∴AF. ∴MF =AF -AM=. ∴tan 3DM DFA MF ⎫∠==÷=⎪⎪⎝⎭. ………………………………8分。

2012北京西城北区初三毕业试题及答案

2012北京西城北区初三毕业试题及答案

北京市西城区（北区）2012年初中毕业考试数 学 试 卷2012.4一、选择题答题表下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的，请将答案填写在指定的表格中．．．．．．．．．．．．．． 1. -3的绝对值是A .3B . -3C .13D .13-2．8的平方根是 A . 2B .2±C .D .±3．下列运算正确的是A .32545m m m += B. m 3·m 4=m 12C. m 8÷m 4=m 2D. 236()m m =4．在下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 5．等腰△ABC 中，AB=AC ，若∠A=70°，则∠B 的度数是 A ．40° B ．55° C ．65° D ．60°6．函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 A ．3x ≠B ．3x ≠-C ．3x >D ．3x >-7．如图，△ABC 中，DE ∥AB ，DE 与AC ，BC 的交点分别为D ，E ，若25CD AC =，则DEAB等于 A ．23B ．25C ．32D ． 358．如图，若直线y kx b =+经过(1,2)A -和(0,4)B -两点，直线y mx =经过A 点，则关于x 的不等式kx b mx +>的解集是 A . 1x > B . 1x < C . 01x << D . 12x <<9．如图， AB 和AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于D 点，若OA=4，∠A=30°，则BD 等于A ．4 BC ．D ． 10．若反比例函数k y x =的图象经过点A 1(,2)2-，则一次函数y kx k =-+与k y x =在同一坐标系中的大致图象是A B D二、填空题（本题共16分，每小题4分）请将答案填写在第．．．．．．．．1．页指定的表格中．．．．．．．．． 11．若正n 边形的每一个外角等于45°，则n 等于 ．（n 为整数，n ≥3） 12．计算：2(2)(1)(5)x x x -++-= ．13．如图，平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点B ，D的坐标分别为(0,1)B -，(0,3)D ，A 点在第二象限．则A 点 的坐标为 ，以B 点为顶点，经过A ，C 两点的抛物线 的解析式为 ．14．如图，平面直角坐标系xOy 中，M 点的坐标为（3，0）， ⊙M 的半径为2，过M 点的直线与⊙M 的交点分别为A ，B ，则△AOB 的面积的最大值为 ，此时A ，B 两点 所在直线与x 轴的夹角等于 °．三、解答题（本题共34分，第17、20题每小题5分，其余每小题6分）15212()2tan 60-+︒．16．用公式法解一元二次方程 2420x x -+=．17．化简22319()m m m ----÷ ，并求2m =-时代数式的值．18．已知：如图，BE ∥CF ，BE 上的一点A 满足AE= CF ，AD ∥BC ，E ，D ， F 三点在一条直线上，EF 与BC 交于G 点． （1）求证：△ADE ≌△CGF ；（2）连结AG ，写出AG 与DC 的位置关系和数量关系．19．某单位有部分职工参与了一项“你最喜欢的球类运动”的调查，每人必须从所给出的球类运动中选出一项，将调查结果绘制成了以下统计图（图中信息不完整），又知道喜欢网球和排球的人数之和等于喜欢其它三项球类的所有人数之和，而且喜欢网球的人数比喜欢排球人数的2倍少5人，根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出喜欢排球和喜欢网球的各有多少人；（2）补全统计图；（3）在调查时，有小明、小王、小李和小陈共四人选择了喜欢羽毛球，现要从这四人中随机选出两人去参加一项羽毛球比赛，用列举法或画树形图求小明被选中的概率.20．如图1，扇形AOB中，∠AOB=120°，C为半径OA上一点，CD∥OB，交AB于D点．（1）当CD =6，AC=1时，直接写出半径OB的长，以及CD与OB的大小关系；（2）在图1中画出以OA，OB为邻边的菱形AOBE，并说明E点的位置；（不要求写菱形AOBE的画法）（3）若将图1中扇形的圆心角∠AOB改为105°（如图2），C仍为半径OA上一点（C点不与O，A两点重合），CD∥OB，交AB于D点，在图2中画图．．说明．．满足CD≤OB时D点运动的范围．四、解答题（本题共12分，第21题7分，第22题5分）21．已知：k ，m 为实数，且k ＜1-，关于x 的方程22(2)()0x k m x k km ++++=有两个相等的实数根. 抛物线22(64)22y x m x k =-+++与直线y kx =的交点分别为A 点，B 点，与y 轴的交点为C ，顶点为D . （1）求m 的值； （2）求D 点的坐标；（3）若2ABD ABC S S ∆∆=，求k 的值.22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B．（1）画出△ABC关于直线AC对称的△AGC：（不要求写画法）（2）在AG边上找一点D，使得BD的中点E满足CE=AD．请利用直尺和圆规作．出．图形，并写出你的简要作图步骤；（只能利用直尺画直线不能测量线段长度）（3）在（1）、（2）和未添加辅助线及其他字母的条件下，直接写出图中与∠ABC相等的角，要求该角以C点为顶点．北京市西城区(北区)2012年初三毕业试卷参考答案及评分标准数 学 2012.4阅卷说明：第12题答案正确但未化简只得2分；13题、14题每空各2分。

2013西城北区初三上期末数学答案

2013西城北区初三上期末数学答案

北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（北区）初三数学参考答案及评分标准2013.1 一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）第12题只写②或只写④得2分；有错解得0分.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式24222=⨯+ .......................................................... 4分3=. ........................................................................................... 5分14．解：（1）241y x x=-+2(44)3x x=-+-2(2)3x=--................................................................................. 2分（2）∵抛物线241y x x=-+的顶点坐标为(2,3)-， .................................... 3分∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,1)-. ............................................... 4分∴平移后所得抛物线的解析式为22(3)168y x x x=--=-+. ............ 5分15．解：在Rt△DBC中，∠C=90°，sin∠CBD=23，DB=6，(如图1)∴2sin643C D D B C B D=⋅∠=⨯=. ……………1分∴12A D C D==1422⨯=. ………………………2分∵CB==........................................................................ 3分AC=AD+CD=2+4=6， ......................................................................................... 4分在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tan63C BAAC===. ................................... 5分ADBC图116．（1）证明：如图2.∵OC=OB，∴∠BCO=∠B.∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D. ………………………………2分（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，∴1 2C E C D==12⨯=................................................................ 3分在Rt△OCE中，222OC CE OE=+，设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA-AE=r-2，∴222(2)r r=+-. ............................................................................. 4分解得3r=.∴⊙O的半径为3. ..................................................................................... 5分17．（1）证明：如图3.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC.∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．……2分又∵∠DAE=∠F，∴∠AEB=∠F.∴△ABE∽△ECF． ...................................................................................................... 3分（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴A B B EE C C F=. ..................................................................................................... 4分∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8.∴EC=BC-BE=8-2=6.∴526C F=.∴125C F=. ……………………………………………5分18．解：（1）作PC⊥AB于C.（如图4）在Rt△P AC中，∠PCA=90°，∠CPA=90°-45°=45°.∴cos451002PC PA=⋅==………………2分在Rt△PCB中，∠PCB=90°，∠PBC=30°.∴2PB PC==答：B处距离灯塔P有. …………………3分（2）若海轮到达B处没有触礁的危险. ................................................................... 4分理由如下：∵200OB OP PB=-=-而150<，FEA DCB图3图4图2∴200200150->-. ∴50O B >. ............................................................................................................... 5分 ∴B 处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险.四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）它与x 轴的交点的坐标为(1-，0)，（3，0）； ..................................... 1分 （2）列表：图象（如图5）； (3)（3）b 的取值范围是31b -≤<或421-=b ．…5 阅卷说明：只写31b-≤<或只写421-=b 得1分.20．（1）证明：∵OA =OC ， ∴∠A =∠ACO . ∴∠COB =2∠ACO .又∵∠COB =2∠PCB ， ∴∠ACO =∠PCB . ................................................................................... 1分∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO +∠OCB =90° .∴∠PCB +∠OCB =90°， 即OC ⊥CP . ∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线. ………………………2分 （2）解：连接MA 、MB .（如图6） ∵点M 是弧AB 的中点， ∴∠ACM =∠BAM . ∵∠AMC =∠AMN ，∴△AMC ∽△NMA . …………………………3分∴A M M C N MM A=.∴2AM MC MN =⋅. ∵M C M N ⋅=8， ∴AM =.............................................................................................4分 ∵AB 是⊙O 的直径，点M 是弧AB 的中点， ∴∠AMB =90°，AM =BM= ∴4AB ==. ....................................................................... 5分图621．解：（1）①如图7所示.②DE 的长为 2 ； （2）点A '的坐标为(3)，△FBG △ABC 与△A B C ''' 阅卷说明：第（2）问每空1分.22．解：（1）当24x -≤≤时，二次函数2=x y （2）∵二次函数2241y x x =++ ∴由对称性可知，当4-=x 和2=x 时函数值相等.∴若4p ≤-，则当p x =时，y 的最大值为1422++p p . ............... 2分 若42p -<≤，则当2=x 时，y 的最大值为17. ........................... 3分 （3）t 的值为 1或5- . ............................................................................. 5分阅卷说明：只写1或只写5-得1分；有错解得0分.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵抛物线212(1)y x m x n =+-+经过点（1-，132m +），∴213(1)2(1)(1)2m m n +=-+-⨯-+.∴32n m -=. ......................................................................................1分 （2）∵2132(1)2y x m x m =+-++，∴1p m =-， ......................................................................................2分 2132q m m =-++. ........................................................................... 3分∵1m p =+，∴21(1)3(1)2q p p =-++++.∴252q p p =-++. .............................................................................. 5分（3）m 的取值范围为3122m -≤≤且0m≠. ................................................. 7分 阅卷说明：只写3122m -≤≤或只写0m≠得1分.24．解：（1）①F M E M=2；.................................................................................... 1分②结论：F M E M的值不变. （阅卷说明：判断结论不设给分点）证明：连接EF 、AD 、BC .（如图8） ∵Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠ABO =30°，∴tan 303AO BO==∵Rt △COD 中，∠COD =90°，∠DCO=30°，∴tan 303D O C O ==∴3AO D O BOC O==.∵∠AOD =90°+∠BOD ，∠BOC =90°+∠BOD ， ∴∠AOD=∠BOC.∴△AOD ∽△BOC ． ........................................................................... 2分∴3AD BC=∠1=∠2.∵点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点， ∴EF ∥AD ，FM ∥CB ，且12E F A D =，12F M C B =.∴3EF FM=................................................................................. 3分∠3=∠ADC =∠1+∠6，∠4=∠5. ∵∠2+∠5+∠6=90°， ∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°. ∴∠EFM =90°. ................................................................................. 4分∵在Rt △EFM 中，∠EFM =90°，tan 3EF EM F FM∠==∴∠EMF =30°. ∴cos 2FM EM F EM=∠=. ................................................................ 5分（2）线段PN 2，最大值为2. ...................... 7分阅卷说明：第（2）问每空1分.25．解：（1）①∵直线BE 与y 轴平行，点F 的坐标为（92，1），∴点B 的坐标为（92，0），∠FBA =90°，BF =1.在Rt △EFM 中，AF ，∴4AB ===.AFEMOBDC123456图8∴点A 的坐标为（12，0）.∴抛物线的解析式为2119159()()222228y x x x x =--=-+. .................... 1分②点Q 的坐标为1Q （52，3），2Q （52，5），3Q （52，7）. ............... 4分阅卷说明：答对1个得1分.（2）∵22b c +=-，2b t =--， ∴22c t =+. ∴21(2)222y x t x t =-+++.由21(2)2202x t x t -+++=，(2)(22)x x t ---=. 解得 12x =，222x t =+.∵0t >， ∴点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（22t +，0）. ∴AB =2222t t +-=，即 2k =. ......................................................... 5分 方法一：过点D 作DG ∥x 轴交BE 于点G ， AH ∥BE 交直线DG 于点H ，延长 DH 至点M ，使HM =BF.（如图9）∵DG ∥x 轴，AH ∥BE ，∴四边形ABGH 是平行四边形. ∵∠ABF =90°， ∴四边形ABGH 是矩形. 同理四边形CBGD 是矩形.∴AH =GB =CD =AB =GH =2t . ∵∠HAB =90°，∠DAF =45°，∴∠1+∠2=45°.在△AFB 和△AMH 中， AB =AH ， ∠ABF =∠AHM =90°， BF=HM ， ∴△AFB ≌△AMH . ................................................................................ 6分 ∴∠1=∠3，AF =AM ，∠4=∠M . ∴∠3+∠2=45°. 在△AFD 和△AMD 中， AF =AM ， ∠F AD =∠MAD ， AD =AD ， ∴△AFD ≌△AMD .∴∠DFA=∠M，FD=MD.∴∠DFA=∠4. ....................................................................................... 7分∵C是AB的中点，∴DG=CB=HD=t.设BF=x，则GF=2t x-，FD=MD=t x+.在Rt△DGF中，222DF DG GF=+，∴222()(2)t x t t x+=+-，解得23tx=.∴2tan tan4233A B tD F A tF B∠=∠==÷=. .............................................. 8分方法二：过点D作DM⊥AF于M.（如图10）∵CD⊥AB，DM⊥AF，∴∠NCA=∠DMN=90°.∵∠1=∠2，∴∠NAC=∠NDM.∴tan∠NAC=tan∠NDM.∴N C N MA C D M=. ……………………………∵C是AB的中点，CD=AB=2t，∴AC=t，AD===∵∠DAM=45°，∴sin4522DM AM AD==⋅=⋅=设CN=x，则DN=2t x-.∴2xt=∴2N M x=.在Rt△DNM中，222DN DM NM=+，∴222(2)))22t x-=+.223830x tx t+-=.(3)(3)0x t x t-+=.∴13tx=，23x t=-（舍）.∴CN=3t，.......................................................................................... 7分AN3=.∵EB ∥y 轴， ∴EB ⊥x 轴. ∵CD ⊥AB ， ∴CD ∥EB . ∴12A C A N A BA F==.∴AF 3.∴MF = AF -AM 326-=.∴tan )326D M D FA M F∠==÷=. .............................................8分。

3.北京市西城区2012年初三一模数学试卷与答案

3.北京市西城区2012年初三一模数学试卷与答案

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．6-的相反数是A ．6B ．6-C ．16- D ．162．国家体育场“鸟巢”建筑面积达258 000平方米，258 000用科学记数法表示应为A ．2.58×103B ．25.8×104C ．2.58×105D ．258×103 3．正五边形各内角的度数为A ．72°B ．108°C ．120°D ．144° 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是A ．21B ．31C ．41D ．515．如图，过O ⊙上一点C 作O ⊙的切线，交O ⊙直径AB 的延长线于点D . 若∠D =40°，则∠A 的度数为 A ．20° B ．25° C ．30° D ．40°6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间(单位：小时)，并绘制了如图 所示的折线统计图，下列说法中错误．．的是 A ．众数是9B ．中位数是9C ．平均数是9D ．锻炼时间不低于9小时的有14人7．由n 个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如下所示，则n 的最大值是A ．16B ．18C ．19D ．208．对于实数c 、d ，我们可用min{ c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min{3，1-}=1-.若关于x 的函数y = min{22x ，2()a x t -}的图象关于直线3x =对称，则a 、t 的值可能是A ．3，6B ．2，6-C ．2，6D ．2-，6二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．函数2+=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 10．分解因式：2212123b ab a +-= ．11．如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 是DC 边上一点，DE =1，将线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上，落点记为F ， 则FC 的长为 .12．如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别 为D 、E . (1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线 AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：12)21(30tan 3201+-+︒--．14．解不等式组 并求它的所有的非负整数解.15．如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90º，D 为AB 延长线 上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC . (1) 求证：△ABE ≌△CBD ；(2) 若∠CAE=30º，求∠BCD 的度数.⎪⎩⎪⎨⎧-+<-21 15)1(3x x x ，≥2x -4，16．已知20a b +=，其中a 不为0，求22222b a ab a bab a --÷+的值.17. 平面直角坐标系xOy 中，反比例函数 的图象经过点),2(m A ，过点A 作 AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1.(1) 求m 和k 的值； (2) 若过点A 的直线与y 轴交于点C ，且∠ACO =45°，直接写出点C 的坐标.18. 列方程（组）解应用题：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场. 现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.)0(>=k xky四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动. 对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）. 已知A 、B 两组捐款户数的比为1 : 5.请结合以上信息解答下列问题.(1) a= ，本次调查样本的容量是 ； (2)先求出C 组的户数，再补全“捐款户数分组统计图1”；(3) 若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是多少？20．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，BC=2，15ABD ∠=︒，60C ∠=︒．(1) 求∠BDC 的度数； (2) 求AB 的长．捐款户数分组统计表 组别 捐款额（x ）元 户数 A 1≤x <100 a B 100≤x <200 10 C 200≤x <300 D 300≤x <400 Ex ≥400捐款户数分组统计图1捐款户数分组统计图221．如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．(1) 求点O到BD的距离及∠OBD的度数；(2) 若DE=2BE，求cos OED的值和CD的长．22. 阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=5，PB=2，PC=1，求∠BPC 的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1) 图2中∠BPC的度数为；2，PB=4，PC=2，则∠(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=13BPC的度数为，正六边形ABCDEF的边长为．图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2． (1) 用含p 的代数式表示q ；(2) 求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；(3) 设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++ 顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A ，直线DE 交直线CH 于点F ． (1) 求证：BF ∥AC ；(2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM =；(3) 当AB =BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE 相等的线段，并证明你的结论．图1 图225．平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ． (1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．北京市西城区2012年初三一模试卷 数学答案及评分标准 2012. 5一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBCBDBC二、填空题（本题共16分，每小题4分）9 101112x ≥-2()223b a -13 13+-或（各2分）4，4（各2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=32133321++⨯- …………………………………………………………4分 =323+．…………………………………………………………………… 5分14．解：由①得2->x ．……………………………………………………………………1分由②得x ≤37． ……………………………………………………………………3分 ∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤37．………………………………………………4分 ∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 15.（1）证明：如图1.∵ ∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分在△ABE 和△CBD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90º，∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分①② 图1⎪⎩⎪⎨⎧-+<-2115)1(3x x x ，≥2x -4，又∵ ∠CAE=30º，∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分∵ △ABE ≌△CBD ，∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分16. 解：原式=()()()()2a ab a b a b b a a b ++-⋅- =()22b b a +. ..….….….….….……………………3分 ∵ 2a +b =0，∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分∴ 原式=22224)2()(aa a a =--. ∵ a 不为0， ∴ 原式=41. ..….….….….……………………………………………………… 5分17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点),2(m A ， ∴ 2m k =，且m ＞0.∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，∴1212m ⋅⋅=. 解得 1=m . ........................................................................ 1分 ∴ 点A 的坐标为)1,2(. (2)分∴ 22k m ==. …………………………………………………………… 3分 （2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 18．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品.依题意得 105.112001200+=x x . ……………………………………………………2分解得40=x . …………………………………………………………………… 3分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分∴ 605.1=x .答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分)0(>=k x ky 捐款户数分组统计图1四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）2，50；…………………………………2分 （2）5040%20⨯=，C 组的户数为20. … 3分补图见图2． …………………………4分 （3）∵ 500(28%8%)180⨯+=，∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是180．……………………………… 5分20．解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，60C ∠=︒，∴ 90ABC ∠=︒，180120ADC C ∠=︒-∠=︒． 在Rt △ABD 中，∵90A ∠=︒，15ABD ∠=︒， ∴ 75ADB ∠=︒．∴ 45BDC ADC ADB ∠=∠-∠=︒．…… 2分 （2）作BE CD ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（如图3）在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=︒， ∴ sin 3BE BC C =⋅=，cos 1CE BC C =⋅=． ∵ 45BDC ∠=︒， ∴ 3DE BE ==．∴ 31CD DE CE =+=+． …………………………………………… 3分 ∵ BC DF CD BE ⋅=⋅，∴ (31)33322CD BE DF BC ⋅+⋅+===． …………………………… 4分 ∵ AD ∥BC ，90A ∠=︒，DF BC ⊥，∴ 332AB DF +==． …………………………………………………… 5分 21．解：（1）作OF BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4） ∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB =OD ，∴ 30OBD ∠=︒．……………………… 2分∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4， ∴ OB= OD= 2．在Rt △BOF 中，∵∠OFB =90°， OB=2，︒=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =︒=∠⋅=OBF OB OF ，图3FEADBC 图4FE DAOCB即点O 到BD 的距离等于1. ………………………………………… 3分（2）∵ OB= OD ，OF BD ⊥于点F ，∴ BF=DF ．由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ． ∵ cos303BF OB =⋅︒=，∴ 33x =， EF=33． 在Rt △OEF 中，90OFE ∠=︒， ∵ tan 3OFOED EF∠==， ∴ 60OED ∠=︒，1cos 2OED ∠=． …………………………………… 4分 ∴ 30BOE OED OBD ∠=∠-∠=︒． ∴ 90DOC DOB BOE ∠=∠-∠=︒． ∴ 45C ∠=︒．∴ 222CD OC ==． ………………………………………………… 5分 22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分（2）120°；………………………………………………………………………… 3分27 ． ……………………………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，∴ 22 210p q +++=．…………………………………………………… 1分 整理，得 25q p =--． …………………………………………………… 2分 （2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>．∴ 0∆>． ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．………………………… 4分（3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2px =-，且开口大小相同， 抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x px q =++沿y 轴方向向上平移一个单位得到， （如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1．y 2y 1FEN M∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………5分 由题意得 22FEMN pS EF =⨯-=四边形． 解得4p =±．………………………………………7分24．证明：（1）如图6．∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，直线DE 交直线CH 于点F ，∴ BF=DF ，DH=BH ．…………………1分 ∴ ∠1=∠2．又∵ ∠EDA =∠A ，∠EDA =∠1， ∴ ∠A ＝∠2．∴ BF ∥AC ．……………………………………………………………… 2分 （2）取FD 的中点N ，连结HM 、HN . ∵ H 是BD 的中点，N 是FD 的中点，∴ HN ∥BF ． 由（1）得BF ∥AC ， ∴ HN ∥AC ，即HN ∥EM ． ∵ 在Rt △ACH 中，∠AHC =90°， AC 边的中点为M ，∴ 12HM AC AM ==．∴ ∠A ＝∠3． ∴ ∠EDA =∠3． ∴ NE ∥HM ．∴ 四边形ENHM 是平行四边形．……………………………………… 3分 ∴ HN=EM ．∵ 在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF 的中点为N ， ∴ 12HN DF =，即2DF HN =．∴ 2DF EM =． ………………………………………………………… 4分 （3）当AB =BC 时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE 相等的线段是EF 和CE ． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD ．（如图8）图6图7∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，∴ BC=CD ，∠ABC ＝∠5． ∵ AB ＝BC ，∴ 1802ABC A ∠=︒-∠，AB ＝CD ．① ∵ ∠EDA =∠A ，∴ 61802A ∠=︒-∠，AE =DE ．② ∴ ∠ABC ＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE 是△ADE 的外角， ∴ 6BDE A ∠=∠+∠． ∵ 45BDE ∠=∠+∠， ∴ ∠A ＝∠4．③由①，②，③得 △ABE ≌△DCE ．………………………………………5分 ∴ BE = CE ． ……………………………………………………………… 6分 由（1）中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC ． 由（1）中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF ． ∴ ∠CFE=∠ECF ． ∴ EF=CE ．∴ BE=EF ． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE =EF =CE ．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE =EF 或BE =CE 只得2分）25．解：（1）∵ 2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．∵ 抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．图9xyO 1DCBA图8将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）…………………… 3分（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 5EA =． ∴ 15EP EA ==． ∴ 点1P 的坐标为1(2,25)P +．…………………………………………… 5分 由对称性得点2P 的坐标为2(2,25)P --． ……………………………… 6分 ∴符合题意的点P 的坐标为1(2,25)P +、2(2,25)P --. （3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11） 若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上． ∵ 2QA QB -=，∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA 作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin 451A N BA ''=⋅︒=，cos 451BN BA '=⋅︒=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．解得114x =． 经检验，114x =在23x <<的范围内．∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -． …………………………………………… 7分 此时1115()2(1)2244QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分图10xyO 1FP 2EP 1DCBA图11xyO QMA'DB AN。

精品解析：北京市西城区2012届第一学期期末考试数学(理)试题解析(教师版)

精品解析：北京市西城区2012届第一学期期末考试数学(理)试题解析(教师版)

高三数学（理科） 2012.1【试题总体说明】本套试卷严格按照2011年北京卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。

所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。

如选择题1，2,3，4，9,10；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题6,7.11.（4）深入探究2011高考试题，精选合适的试题进行改编；如填空题9,12.（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．如填空题14和解答题20等；（ 6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

如20题。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．复数i1i =+（ ） （A ）1i 22+（B ）1i 22-（C ）1i 22-+（D ）1i 22--【答案】A 【解析】i i(1-i)1,1i (1i)(1-i)2i+==∴++选A. 2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）（A ）2cos ρθ=（B ）2sin ρθ=（C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-【答案】B【解析】222220(1)1,x y y x y +-=⇒+-=该方程表示圆心为（0,1）半径为1的圆，如图，在圆上任取一点(,),M ρθ则2sin ,2sin .OM θρθ=∴=3．已知向量(3,1)=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足，则c 可以是（ ） （A ）(3,1)-（B ）(1,3)--（C ）(3,1)--（D ）(1,3)-xyMO【答案】D【解析】(3,1)= ，a (0,2)=-b ，2(3,3)3(1,3)(1,3).k ∴+=-=--=∴-可以为a b c,c4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15- 【答案】C【解析】执行程序框图可得：1,1;2,3;3,6;4,10;5,i S i S i S i S i ==-====-=== 程序结束，输出10.S =5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4]（B ）[1,5]（C ）4[,4]5（D ）4[,5]5【答案】D【解析】作出不等式组所表示的平面区域，因原点到直线22=0x y +-的最短距离为220022,52+1⨯+-=此时可得22x y +的最小值为4;5点（1,2）到原点的距离最大为5,此时可得22x y +的最大值为5,故选D 。

2012北京西城北区初三毕业试题及答案

2012北京西城北区初三毕业试题及答案

北京市西城区（北区）2012年初中毕业考试数 学 试 卷 2012.4考生须知1．本试卷共6页，四道大题，22道小题，满分100分。

考试时间60分钟。

2．在密封线内认真填写学校名称、班级、姓名。

3．试题答案一律书写在指定区域内，否则成绩无效。

一、选择题（本题共38分，第1～8题每小题4分，第9、10题每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将答案填写在指定的表格中． 1. -3的绝对值是A.3B. -3C.13 D.13-2．8的平方根是 A. 2B.2±C.22 D .22±3．下列运算正确的是A.32545m m m += B. m3·m4=m12C. m8÷m4=m2D. 236()m m =4．在下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 5．等腰△ABC 中，AB=AC ，若∠A=70°，则∠B 的度数是 A ．40° B ．55° C ．65° D ．60°6．函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是A ．3x ≠B ．3x ≠-C ．3x >D ．3x >-7．如图，△ABC 中，DE ∥AB ，DE 与AC ，BC 的交点分别为D ，E ，若25CD AC =，则DEAB 等于A ．23B ．25C ．32D ． 358．如图，若直线y kx b =+经过(1,2)A -和(0,4)B -两点，直线y mx =经过A 点，则关于x 的不等式kx b mx +>的解集是A. 1x >B. 1x <C. 01x <<D. 12x <<9．如图， AB 和AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于D 点，若OA=4，∠A=30°，则BD 等于 A ．4 B ．7 C ．27 D ．4310．若反比例函数k y x =的图象经过点A 1(,2)2-，则一次函数y kx k =-+与ky x =在同一坐标系中的大致图象是A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分） 请将答案填写在第1页指定的表格中．11．若正n 边形的每一个外角等于45°，则n 等于 ．（n 为整数，n ≥3）12．计算：2(2)(1)(5)x x x -++-= ． 13．如图，平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点B ，D 的坐标分别为(0,1)B -，(0,3)D ，A 点在第二象限．则A 点 的坐标为 ，以B 点为顶点，经过A ，C 两点的抛物线的解析式为 ．14．如图，平面直角坐标系xOy 中，M 点的坐标为（3，0）， ⊙M 的半径为2，过M 点的直线与⊙M 的交点分别为A ， B ，则△AOB 的面积的最大值为 ，此时A ，B 两点 所在直线与x 轴的夹角等于 °．三、解答题（本题共34分，第17、20题每小题5分，其余每小题6分）15．计算：2132()272tan 602--++-︒．16．用公式法解一元二次方程 2420x x -+=．17．化简22319()3693m m m m m m m m ----÷++++ ，并求2m =-时代数式的值．18．已知：如图，BE ∥CF ，BE 上的一点A 满足AE= CF ，AD ∥BC ，E ，D ， F 三点在一条直线上，EF 与BC 交于G 点． （1）求证：△ADE ≌△CGF ；（2）连结AG ，写出AG 与DC 的位置关系和数量关系．19．某单位有部分职工参与了一项“你最喜欢的球类运动”的调查，每人必须从所给出的球类运动中选出一项，将调查结果绘制成了以下统计图（图中信息不完整），又知道喜欢网球和排球的人数之和等于喜欢其它三项球类的所有人数之和，而且喜欢网球的人数比喜欢排球人数的2倍少5人，根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出喜欢排球和喜欢网球的各有多少人； （2）补全统计图；（3）在调查时，有小明、小王、小李和小陈共四人选择了喜欢羽毛球，现要从这四人中随机选出两人去参加一项羽毛球比赛，用列举法或画树形图求小明被选中的概率. 解：（1）喜欢排球的有 人 ； （2） 喜欢网球的有 人. （3）20．如图1，扇形AOB 中，∠AOB=120°，C 为半径OA 上一点，CD ∥OB ，交AB 于D 点．（1）当CD =6，AC=1时，直接写出半径OB 的长，以及CD 与OB 的大小关系； （2）在图1中画出以OA ，OB 为邻边的菱形AOBE ，并说明E 点的位置；（不要求写菱形AOBE 的画法）（3）若将图1中扇形的圆心角∠AOB 改为105°（如图2），C 仍为半径OA 上一点（C 点不与O ，A 两点重合），CD ∥OB ，交AB 于D 点，在图2中画图说明满足 CD ≤OB 时D 点运动的范围．解：（1）OB= ，CD OB ． （3）答： （2）所画菱形AOBE 见图1， E 点的位置是 ． ．四、解答题（本题共12分，第21题7分，第22题5分）21．已知：k ，m 为实数，且k ＜1-，关于x 的方程22(2)()0x k m x k km ++++=有两个相等的实数根. 抛物线22(64)22y x m x k =-+++与直线y kx =的交点分别为A 点，B 点，与y 轴的交点为C ，顶点为D.（1）求m 的值； （2）求D 点的坐标；（3）若2ABD ABC S S ∆∆=，求k 的值.22．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A≠∠B ．（1）画出△ABC 关于直线AC 对称的△AGC ： （不要求写画法） （2）在AG 边上找一点D ，使得BD 的中点E 满足CE=AD ．请利用直尺和圆规作出图 形，并写出你的简要作图步骤；（只能利用直尺画直线不能测量线段长度） （3）在（1）、（2）和未添加辅助线及其他字母的条件下，直接写出图中与∠ABC 相等的角，要求该角以C 点为顶点．解：（2）画图简要步骤如下：（3）在（1）、（2）和未添加辅助线及其他字母的条件下，图中以C点为顶点，且与∠ABC 相等的角的是．北京市西城区(北区)2012年初三毕业试卷参考答案及评分标准数学2012.4一、选择题（本题共38分，第1～8题每小题4分，第9、10题每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A D D C B A B A C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号11 12 13 14答 案82281x x --(2,1)-6 2112y x =-90阅卷说明：第12题答案正确但未化简只得2分；13题、14题每空各2分。

2012年西城区初三上学期数学期末试题及答案

2012年西城区初三上学期数学期末试题及答案

北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准2012.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案ACCBBADC二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 9 1011 12答案5022y x x =-60，32（1）12；（2）-4，0说明：第10题写成2(1)1y x =--不扣分；第11题每空各2分；第12题第（1）问2分，第（2）问每空各1分．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式= 232332()22+⨯-⨯ …………………………………………………3分=322+． ……………………………………………………………………5分14．解：（1）2(2)4(23)8(2)k k ∆=---=-． ……………………………………………1分∵ 该方程有两个不相等的实数根， ∴ 8(2)k -＞0．……………………………………………………………… 2分解得2k <．…………………………………………………………………… 3分 （2）当k 为符合条件的最大整数时，1k =．…………………………………… 4分此时方程化为2210x x --=，方程的根为112x =+212x =-．………5分15． 解：（1）抛物线与x 轴的交点的坐标为(5,0) (1,0)-和． ………………………2分抛物线与y 轴的交点的坐标为(05)-，． …………………………………3分 （2）245y x x =+-2(44)9x x =++-…………………………………………………………4分2(2)9x =+-． …………………………………………………………5分16．（1）证明：如图1．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AD ∥BC ．∴ 12∠=∠． …………………………2分 又∵ ∠B =∠AED ， ∴ △ABE∽△DEA．…………………3分（2）解：∵ △ABE ∽△DEA ，∴AEABD A D E=．…………………………………………………………………4分∴ AE DE AB DA ⋅=⋅．∵ 四边形ABCD 是菱形，AB = 4，∴ AB =DA = 4．∴ 216AE DE AB ⋅==．………………………………………………………5分图117．解：（1）∵ 四边形ABCD 是矩形，AB 的长为x 米， ∴ CD=AB=x （米）．∵ 矩形除AD 边外的三边总长为36米，∴ 362BC x =-（米）．………………………………………………………1分 ∴ 2(362)236S x x x x =-=-+． ……………………………………………3分 自变量x 的取值范围是012x <<． …………………………………………4分 （说明：由0362x x <<-可得012x <<．）（2）∵222362(9)162S x x x =-+=--+，且9x =在012x <<的范围内 ，∴ 当9x =时，S 取最大值．即AB 边的长为9米时，花圃的面积最大．…………………………………5分18．解：（1）在Rt △ACD 中，90C∠=︒，AD =10，4sin 5AD C ∠=，（如图2）∴ 4sin 1085AC AD AD C =⋅∠=⨯=．……1分3c o s 1065C D A D A D C =⋅∠=⨯=． ∵ DE 垂直平分AB ，∴ 10BD AD ==．……………………………………………………………2分 ∴ 16BC C D BD =+=．………………………………………………………3分 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒， ∴ 81tan 162AC B BC===． ……………………………………………………4分（2）sin tan21cos ααα=+．（写成1cos sin αα-也可） ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）第三个和第四个正方形的位置如图3所示．…………………………………………………2分 第三个正方形中的点P 的坐标为(3,1)．……3分 （2）点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4）如图3所示．…………………………………………………4分它与x 轴所围成区域的面积等于1π+． ……………………………………5分20．解：（1）∵ 函数2y x bx c =++（x ≥0）满足当x =1时，1y =-， 且当x = 0与x =4时的函数值相等，∴ 11,2.2b c b ++=-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得 4b =-，2c =．…………………………………………………………2分 ∴ 所求的函数解析式为242y x x =-+（x ≥0）． …………………………3分 它的函数图象如图4所示．……………………………………………………4分图2图3（2）k的取值范围是22k-<≤．（如图5）……………………………………………5分21．（1）证明：连接OD．（如图6）∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．…………………………………………………………………1分∵OA=OD，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴∠AED=90°．∴18090O D E AED∠=︒-∠=︒．…………2分∴DE⊥OD．∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．………………………3分（2）解：作OG⊥AE于点G．（如图6）∴∠OGE=90°．∴∠ODE=∠DEG=∠OGE=90°．∴四边形OGED是矩形．∴OD=GE．……………………………………………………………………4分在Rt△OAG中，∠OGA=90°，4cos5BAC∠=，设AG=4k，则OA=5k．∴GE=OD =5k．∴AE=AG+GE=9k．∵OD∥GE，∴△ODF∽△EAF．图6∴59D F O D AFAE==．……………………………………………………………5分22．解：（1）∵ 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=，∴ 222,22 3.b c a a c b a ⎧+=-⎨-=+⎩消去b 并整理，得 243c a =+．……………1分消去c 并整理，得2423b a a =--． ………2分（2）∵ 22423(3)(1)(1)4b a a a a a =--=-+=--，将4b 看成a 的函数，由函数24(1)4b a =--的性质结合它的图象（如图7所示），以及a ，b 均为非负数得a ≥3．又 ∵ a ＜5， ∴ 3≤a ＜5．……………………………………………………………………3分 ∵ 224()63(3)12b a a a a -=--=--，将4()b a -看成a 的函数，由函数24()(3)12b a a -=--的性质结合它的图象（如图8所示）可知，当3≤a ＜5时，4()0b a -<．∴ b ＜a ． ……………………………………………4分∵ 24()43(1)(3)c a a a a a -=-+=--，a ≥3， ∴ 4()c a -≥0．∴ c ≥a ．∴ b ＜a ≤c ． ………………………………………5分阅卷说明：“b ＜a ，b ＜c ，a ≤c ”三者中，先得出其中任何一个结论即可得到第4分，全写对得到5分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）令0y =，则 2(2)20kx k x +--=． 整理，得 (1)(2)0x kx +-=． 解得 11x =-，22x k=．∴ 该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，2(,0)k． ………………………2分抛物线2(2)2y kx k x =+--的顶点坐标为2244(,)24k k k kk-++-． ………3分（2）|n |的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分（3）平移后抛物线的顶点坐标为214(,)4k k k k+-．…………………………………5分由1,14x kk y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得 114y x =--． ∴ 所求新函数的解析式为114y x=--．…………………………………7分图7 图824．解：（1）与△ABM相似的三角形是△NDA，2BM DN a⋅=；……………………2分（2）由（1）△ABM∽△NDA可得BM ABD A N D=．（如图9）………………3分∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC，DA= BC，90ABC BC D AD C BAD∠=∠=∠=∠=︒．∴BM D C BC N D=．∵BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，∴45C BM ND C∠=∠=︒．∴△BCM∽△DNC．…………………………………………………………4分∴BC M D N C∠=∠．∴360M C N BC D BC M D C N∠=︒-∠-∠-∠270()270(180)D N C D C N C D N=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒．………5分（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是222BM DN M N+=．（只猜想答案不证明不给分）证法一：如图9，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则△ABF≌△ADN．…………………………………………………6分∴13∠=∠，AF=AN，BF=DN，AFB AN D∠=∠．∴122345M AF BAD M AN∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒．∴M AF M AN∠=∠．又∵AM= AM，∴△AMF≌△AMN．∴MF=MN．可得(1)45(3)4590MBF AFB AND∠=∠+∠+︒=∠+∠+︒=︒．∴在Rt△BMF中，222BM BF FM+=．∴222BM DN MN+=．…………………………………………7分证法二：连接BD ，作ME ∥BD ，与DN 交于点E ．（如图10）可知45BD C ∠=︒，90BD N ∠=︒．……………………………………6分 ∵ ME ∥BD ，∴ 18090M EN BD N ∠=︒-∠=︒． ∵ 90D BM D BC C BM ∠=∠+∠=︒， ∴ 四边形BDEM 是矩形． ∴ ME =BD ，BM =DE ．在Rt △MEN 中，90M EN ∠=︒，∴ 22222()MN ME EN BD DN DE =+=+-2222(2)()2()a DN BM a DN BM =+-=+-2222()BM DN DN BM BMDN =⋅+-=+．……………………7分25．解：（1）图2中的m =13．……………………………………………………………1分（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m ，∴ 12E D y y ==，此时原题图1中点P 运动到与点B 重合，∵ 点B 在x 轴的正半轴上，∴ 1131222BO C C S O B y O B ∆=⨯⨯=⨯⨯=．解得 8O B =，点B 的坐标为(8,0)． ………………………………………2分此时作AM ⊥OB 于点M ，CN ⊥OB 于点N ．（如图12）．∵ 点C 的坐标为(,3)C n -， ∴ 点C 在直线3y =-上．又由图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12中的点C 在过点O 与AB 平行的直线l 上，∴ 点C 是直线3y =-与直线l 的交点，且ABM C O N ∠=∠． 又∵ 3A C y y ==，即AM= CN ，可得△ABM ≌△CON ．∴ ON=BM=6，点C 的坐标为(6,3)C -．……………………………………3分 ∵ 图12中 22223635AB AMBM=+=+=．∴ 图11中35DE =，221335D O F x D E =+=+． …………………4分（3）①当点P恰为经过O，B两点的抛物线的顶点时，作PG⊥OB于点G．（如图13）∵O，B两点的坐标分别为(0,0)O，(8,0)B，∴由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4，即OG=BG=4．由3tan6AM PGABMBM BG∠===可得PG=2．∴点P的坐标为(4,2)P．………………5分设抛物线W的解析式为(8)y ax x=-（a≠0）．∵抛物线过点(4,2)P，∴4(48)2a-=．解得18a=-．∴抛物线W的解析式为218y x x=-+．…………………………………6分②如图14．i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的边时，∵点Q在直线1y=-上方的抛物线W上，点P为抛物线W的顶点，结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况，点Q与原点重合，其坐标为1(0,0)Q．……………………………………7分ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时，可知BP的中点的坐标为(6,1)，BP的中垂线的解析式为211y x=-．∴点2Q的横坐标是方程212118x x x-+=-的解．将该方程整理得28880x x+-=．解得4226x=-±．由点Q在直线1y=-上方的抛物线W上，结合图14可知点2Q的横坐标为2264-．∴点2Q的坐标是2(2264,42619)Q--．…………………………8分综上所述，符合题意的点Q的坐标是1(0,0)Q，2(2264,42619)Q--．图13图14。

2012-2013学年北京市西城区(北区)九年级(上)期末数学试卷

2012-2013学年北京市西城区(北区)九年级(上)期末数学试卷

A．π
B．2π
C．3π
D．4π
【分析】由于圆是中心对称图形和轴对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四
分之一，即可求解．
【解答】解：由于圆是中心对称图形和轴对称图形，则阴影部分的面积等于大圆
的四分之一．
故阴影部分的面积= ×π了旋转的性质以及圆的面积求法，利用了圆是中心对称图
19．（5 分）已知抛物线 y=x2﹣2x﹣3．
（1）它与 x 轴的交点的坐标为
；
（2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；
（3）将该抛物线在 x 轴下方的部分（不包含与 x 轴的交点）记为 G，若直线 y=x+b
与 G 只有一个公共点，则 b 的取值范围是
．
20．（5 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 的延
长线交于点 P，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N，若 MN•MC=8，求⊙O 的直径．
21．（5 分）平面直角坐标系 xOy 中，原点 O 是正三角形 ABC 外接圆的圆心，点 A 在 y 轴的正半轴上，△ABC 的边长为 6．以原点 O 为旋转中心将△ABC 沿逆 时针方向旋转α角，得到△A′B′C′，点 A′、B′、C′分别为点 A、B、C 的对应点．
（）
A．5：2
B．2：5
C．4：25
D．25：4
5．（4 分）如图，正方形 ABCD 的内切圆和外接圆的圆心为 O，EF 与 GH 是此外
接圆的直径，EF=4，AD⊥GH，EF⊥GH，则图中阴影部分的面积是（ ）
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A．π
B．2π

北京市西城区2011-2012学年度第一学期期末试卷八年级数学B卷及参考答案

北京市西城区2011-2012学年度第一学期期末试卷八年级数学B卷及参考答案

北京市西城区2011–2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（B 卷）2012.1（时间100分钟，满分100分）题号一二三四五总分得分一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）1．下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（）．A ．B ．C ．D ．2．计算33-的结果是（）．A ．9-B ．27-C ．271 D ．271-3．下列说法中，正确的是（ ）．A ．16的算术平方根是4-B ．25的平方根是5C ．1的立方根是1±D ．27-的立方根是3-4．下列各式中，正确的是（ ）．A ．2121+=++a b a bB ．21422-=--a a a C ． 22)1(111--=-+a a a a D ．aba b --=--115．下列关于正比例函数5y x =-的说法中，正确的是（）．A ．当1x =时，5y =B ．它的图象是一条经过原点的直线C ．y 随x 的增大而增大D ．它的图象经过第一、三象限6．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ． 若∠CBD : ∠DBA =3:1，则∠A 为（ ）． A ．18°B ．20°C ．22.5°D ．30°7．已知点A （2，3-）关于x 轴对称的点的坐标为点B （2m ，m n +），则m n -的值为（ ）．A ． 5-B ． 1-C ． 1D ． 58．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）．A ．两锐角对应相等B ．斜边和一条直角边对应相等E DC BANMC ．两直角边对应相等D ．一个锐角和斜边对应相等9．若一次函数y kx b =+不等式0≥+b kx 的解集为（ ）．A ．0≥xB ．1≥xC ．2≥xD ．2≤x 10号为1，2，3别被标号为4，5，6，7，8，9）的记录，那么标号为100的微生物会出现在（ ）．A ．第3天B ．第4天C ．第5天D ．第6天二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．在54，11-，∙7.0，π2，38这五个实数中，无理数是_________________．12．函数1+=x y 中，自变量x 的取值范围是______________．13．如右图，△ABC 为等边三角形，DC ∥AB ，AD ⊥CD 于D ．若△ABC 的周长为12 cm ，则CD =________ cm ．14．若将直线)0(≠=k kx y 的图象向下平移1个单位长度后经过点（1，5），则平移后直线的解析式为______________________．15．如右图，在△ABC 中，AC = BC ，D 是BC 边上一点，且AB =AD =DC ，则∠C =_________°．16．已知等腰三角形的周长为40，则它的底边长y 关于腰长x 的函数解析式为_____________________，自变量x 的取值范围是___________________．17．如右图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C =90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ，DE ⊥AB 于E ．若△ADE 的周长为8cm ，则AB =_________ cm ．18．将如图1所示的长方形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 边上，折痕为AE （如图2）；再继续将纸片沿过点E 的直线折叠，使点A 落在EC 边上，折痕为EF （如图3），则在图3中，∠FAE =_______°，∠AFE =_______°．ABC D EABCDA DCB图1 图2 图3三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分）19．因式分解：（1）25)(10)(2++-+n m n m ； （2）22218ax ay -．解： 解：20．计算：322536-+-．解：21．先化简，再求值：21)21441(22++÷++++x x xx x x ，其中x =3． 解：22．解分式方程：2353114=-+--xx x ．解：A BCD四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分）23．已知：如图，CB =DE ，∠B =∠E ，∠BAE =∠CAD ．求证：∠ACD =∠ADC ．证明：24．已知：如图1，长方形ABCD 中，AB =2，动点P 在长方形的边BC ，CD ，DA 上沿AD C B →→→的方向运动，且点P 与点B ，A 都不重合．图2是此运动过程中，△ABP 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数图象的一部分．请结合以上信息回答下列问题：（1）长方形ABCD 中，边BC 的长为________；（2）若长方形ABCD 中，M 为CD 边的中点，当点P 运动到与点M 重合时，x =________，y=________；（3）当106<≤x 时，y 与x 之间的函数关系式是___________________；（4图1 25．已知：直线321+-=x y 与x （1）分别求出A ，B 两点的坐标；（2）过A 点作直线AP 与y 轴交于点P ，且使OP 求△ABP 的面积．解：（1）EA BCD（2）五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分）26．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°．点D 为△ABC 内一点，且DB =DC ，∠DCB =30°．点E 为BD 延长线上一点，且AE =AB ．（1）求∠ADE 的度数；（2）若点M 在DE 上，且DM=DA ，求证：ME=DC ．解：（1）27．有甲、乙两个均装有进水管和出水管的容器，水管的所有阀门都处于关闭状态．初始时，同时打开甲、乙两容器的进水管，两容器都只进水；到8分钟时，关闭甲容器的进水管，打开它的出水管，甲容器只出水；到16分钟时，再次打开甲容器的进水管，此时甲容器既进水又出水；到28分钟时，关闭甲容器的出水管，并同时关闭甲、乙两容器的进水管．已知两容器每分钟的进水量与出水量均为常数，图中折线O-A-B-C 和线段DE 分别表示两容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1) 甲容器的进水管每分钟进水______升，它的出水管每分钟出水______升；(2) 求乙容器内的水量y 与时间x 的函数关系式；(3) 求从初始时刻到最后一次两容器内的水量相等时所需的时间．解：（2）B分28．已知：在△ABC 中，∠CAB =2α，且030α<< ，AP 平分∠CAB ．（1）如图1，若21α= ，∠ABC =32°，且AP 交BC 于点P ，试探究线段AB ，AC 与PB 之间的数量关系，并对你的结论加以证明；答：线段AB ，AC 与PB 之间的数量关系为：___________________________．证明：（2）如图2，若∠ABC =60α- ，点P 在△ABC 的内部，且使∠CBP =30°，求∠APC 的度数（用含α的代数式表示）． 解：图1ABCP图2AC PB北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（B 卷）参考答案及评分标准一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）题号12345678910答案BCDCBABADC二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．11-，π2；（答对1个给1分） 12．x ≥1-；13．2；14．16-=x y ； 15．36；16．402+-=x y ，2010<<x ；（每空1分）17．8；18．45，67.5．（每空1分）三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分）19．（1）解：25)(10)(2++-+n m n m =2)5(-+n m ． -----------------------------------------------------------------------2分（2）解：22218ax ay-=)9(222y x a - ------------------------------------------------------------------------4分=)3)(3(2y x y x a -+． -------------------------------------------------------------6分20．解：322536-+-=32256-+- ----------------------------------------------------------------------1分=32256+-- ----------------------------------------------------------------------2分=269-． --------------------------------------------------------------------------------3分21．解：2121441(22++÷++++x x x x x x =21])2(1)2(1[2++÷+++x x x x x=21)2(222++÷++x x x x x ----------------------------------------------------------------------2分=22(1)2(2)1x x x x x ++⋅++ =222x x+． ---------------------------------------------------------------------------------4分当3=x 时，原式=22323+⨯=152． --------------------------------------------------5分22．解：方程两边同乘(3)x -，得 625114-=--x x ． ------------------------------2分 解得 5=x ． -----------------------------------------------------------------------------4分检验：5=x 时30x -≠，5=x 是原分式方程的解． -------------------------5分四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分）23．证明：如图1．∵∠BAE =∠CAD ，∴∠BAE -∠CAE =∠CAD -∠CAE ，即∠BAC =∠EAD ． ----------------------------------1分在△ABC 和△AED 中， ∠BAC =∠EAD ，∠B =∠E ，BC =ED ，∴△ABC ≌△AED ． ------------------------------------------------------------------4分∴AC =AD ． -----------------------------------------------------------------------------5分∴∠ACD =∠ADC ． -------------------------------------------------------------------6分24．解：（1）4； -------------------------------------------1分（2）5，4；（每空1分） ---------------------3分 （3）10+-=x y ； -----------------------------4分（4）如图2． --------------------------------------5分25．解：（1）令0=y ，则6=x ；∴点A 的坐标为A （6，0）；令0=x ，则3=y ；∴点B 的坐标为B （0，3）． （2）如图3．E A B C D 图1∵OB =3，且OP =2OB ，∴OP =6． ∵点P 在y 轴上，∴点P 的坐标为（0，6）或（0，6-）．（两个坐标各1分） ------4分若点P 的坐标为（0，6），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)36(21⨯-⨯=9； --------------------------------5分若点P 的坐标为（0，6-），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)63(21⨯+⨯=27． -------------------------------6分∴△ABP 的面积为9或27．五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分）26．解：（1）如图4．∵△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°，∴∠ABC =∠ACB =2)30180(÷- =75°．∵DB =DC ，∠DCB =30°，∴∠DBC =∠DCB =30°．∴∠1=∠ABC －∠DBC =75°－30°=45°．∵AB =AC ，DB =DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ．∴AD 平分∠BAC ．∴∠2=21∠BAC =3021⨯=15°． -----------------------------------------------2分∴∠ADE =∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． -----------------------------------------3分证明：（2）证法一：连接AM ，取BE 的中点N ，连接AN ．（如图5）∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°，∴△ADM 为等边三角形． -----------------4分∵△ABE 中，AB =AE ，N 为BE 的中点，∴BN =NE ，且AN ⊥BE ．∴DN =NM ． -----------------------------------5分∴BN －DN =NE －NM ，即 BD =ME ．∵DB =DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分证法二：连接AM ．（如图6）∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°，∴△ADM 为等边三角形． ------------------4分∴∠3=60°．∵AE =AB ，∴∠E =∠1=45°．∴∠4=∠3－∠E =60°－45°=15°．∴∠2=∠4．在△ABD 和△AEM 中，B BB∠1 =∠E ， AB =AE ，∠2 =∠4，∴△ABD ≌△AEM ． ------------------------------------------------------------5分∴BD =EM ．∵DB = DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．27．解：（1）5， 2.5 ；（每空1分） -----------------------------------------------------------2分（2）设线段DE 所在直线为(0)y kx b k =+≠．∵点（5，15），（10，20）在此直线上，则1552010.k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得110.k b =⎧⎨=⎩，∴10y x =+． ----------------------------------------------------------------------3分∴当0≤x ≤28时，10y x =+．（3）设线段BC 所在直线为(0)y mx n m =+≠．∵点（16, 20），（28, 50）在此直线上，则20165028.m n m n =+⎧⎨=+⎩， 解得5220.m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴5202y x =-． --------------------------------------------------------------------4分∴当16≤x ≤28时，5202y x =-．由（2）知线段DE 所在直线为10y x =+，则10520.2y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得2030.x y =⎧⎨=⎩， --------------------------------------------5分∴线段DE 与线段BC 的交点坐标为（20, 30）．答：从初始时刻到最后一次两容器内的水量相等时所需的时间为20分钟．----------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．28．解：（1） AB －AC = PB ； --------------------------------------------------------------------1分 证明：在AB 上截取AD ，使AD =AC ．（如图7）∵AP 平分∠CAB ，12345DPCBA∴∠1=∠2．在△ACP 和△ADP 中，AC =AD ，∠1 =∠2，AP =AP ，∴△ACP ≌△ADP ．∴∠C =∠3．∵△ABC 中，∠CAB =α2=2×21°=42° ，∠ABC =32°，∴∠C =180°－∠CAB －∠ABC =180°－42°－32° = 106°．∴∠3 =106°． --------------------------------------------------------------2分∴∠4 =180°－∠3=180°－106°=74°，∠5 =∠3－∠ABC =106°－32°=74°．∴∠4 =∠5．∴PB =DB ．∴AB －AC = AB －AD =DB =PB ． ---------------------------------------3分（2）方法一：延长AC 至M ，使AM =AB ，连接PM ，BM ．（如图8）∵AP 平分∠CAB ，∠CAB =α2，∴∠1=∠2=α221⋅=α．在△AMP 和△ABP 中， AM =AB ， ∠1 =∠2， AP =AP ，∴△AMP ≌△ABP ．∴PM =PB ，∠3 =∠4．∵∠ABC =60°－α，∠CBP =30°，∴∠4=(60°－α)－30° =30°－α．∴∠3 =∠4 =30°－α． -----------------------------------------------------------4分∵△AMB 中，AM =AB ，∴∠AMB =∠ABM =(180°－∠MAB )÷2 =(180°－α2)÷2 =90°－α．∴∠5=∠AMB －∠3= (90°－α)－(30°－α)=60°．∴△PMB 为等边三角形．∵∠6=∠ABM －∠ABC = (90°－α)－(60°－α)=30°，∴∠6=∠CBP ．∴BC 平分∠PBM ．∴BC 垂直平分PM ．∴CP =CM ．∴∠7 =∠3 = 30°－α．---------------------------------------------------------------5分∴∠ACP =∠7＋∠3=(30°－α)＋(30°－α)=60°－2α．∴△ACP 中，∠APC =180°－∠1－∠ACP=180°－α－(60°－2α)=120°＋α． ----------------------------------------------6分方法二：在AB 上截取AM ，使AM =AC ，连接PM ，延长AP 交BC 于N ，连接MN ．（如图9） ∵AP 平分∠CAB ，∠CAB =α2，7654321MB C P A 图8图9N M12346578A CP B∴∠1=∠2=α221⋅=α．在△ACN 和△AMN 中，AC =AM ，∠1 =∠2，AN =AN ，∴△ACN ≌△AMN ．∴∠3 =∠4．∵∠ABC =60°－α，∴∠3=∠2＋∠NBA =α＋(60°－α) =60°．∴∠3 =∠4 =60°．∴∠5=180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°．∴∠4 =∠5． ------------------------------------------------------------------------4分∴NM 平分∠PNB ．∵∠CBP =30°，∴∠6=∠3－∠NBP =60°－30°=30°．∴∠6=∠NBP ．∴NP =NB ．∴NM 垂直平分PB ．∴MP =MB ．∴∠7 =∠8．∴∠6＋∠7 =∠NBP ＋∠8，即∠NPM =∠NBM =60°－α． --------------------------------------------------5分∴∠APM =180°－∠NPM =180°－(60°－α)=120°＋α．在△ACP 和△AMP 中，AC =AM ，∠1 =∠2，AP =AP ，∴△ACP ≌△AMP ．∴∠APC =∠APM ．∴∠APC =120°＋α． -------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。

西城区学年度第一学期初三期末数学试题及答案北区

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西城区学年度第一学期初三期末数学试题及答案北区Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（ ）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°， 则∠BOC =（ ）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15° 3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都 是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ）.A ．1B ．13C ．12D ．2 4．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ）.A ．2(3)2y x =++B ．2(3)2y x =--C ．2(6)2y x =--D ．2(3)2y x =-+ 5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到111A B C （顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中位似图形，则P 点的坐标是（ ）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-. 若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程 正确的是（ ）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 切点为E ，并分别交OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于OCED 的面积等于（ ）. A ．23π B ．43π C ．83π D ．163π8. 如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆OB 为半径的圆上运动，PA 的中点为Q .当点Q 也落在 ⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（ ）. A ．12B ．13C ．14D ．23二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E 若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .10. 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，若圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系为 .11. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A (2,0)，以OA O ，若点P ，B 都在⊙O 上，且四边形AOPB 为菱形，则点P的坐标为 .12．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43cc a <<，其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分） 13．计算：26tan 303sin 60cos45︒︒-︒． 14．若关于x 的方程 2430x x a +-+=有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．15．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC 3D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ． 求AD 的长．16．右图为抛物线c bx x y ++-=2的一部分，它经过A (1,0)-，B (0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 求平移后的抛物线的解析式．17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球与高 楼的水平距离AD 为50m ，求这栋楼的高度.2取，3取）18．对于抛物线 243y x x =-+.（1）它与x 轴交点的坐标为 ，与y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=（t 为实数）在1-＜x ＜72的范围内有 解，则t 的取值范围是 ．四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8，∠ADE =∠C ．D ，E 分别为BC ，AB 边上一点， （1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD 和矩形EFGH 如图1所示摆放在直线l 上，DE =2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转α角（090α︒<<︒） ，将矩形EFGH 绕点E 逆时针旋转相同的角度． （1）当两个矩形旋转到顶点C ，F 重合时（如图2），∠DCE = °，点C 到直线l 的距离等于 ，α= °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD 和矩形EFGH 重合部分为正方形时，．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，∠D=∠BFC . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若AC=8，tan B =12，求AD 的长.22．请阅读下面材料：若10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线122x x x += 为此抛物线的对称轴.有一种方法证明如下：证明：∵ 10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，∴ 20112022 ,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩1x ≠2x . ①-②得 221212()()0a x x b x x -+-=. ∴ []1212()()0x x a x x b -++=. ∴ 12b x x a+=-.又∵ 抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴为2b x a=-， ∴ 直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，直线122x x x +=为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x ，2x 时函数值相等吗写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程； （2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21y x bx =+- 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ，① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式； （2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 24. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）.（1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-， 求此抛物线的解析式；（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若1tan tan 4POB POC ∠=∠，求点P 的坐标；（4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N ， 则N 关于n 的函数关系式为 .25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE .（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3） 设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13ABC S ∆ 时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）9.35.10. 相交. 11. (-，(1,-.（每个2分）12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分） 三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分） 13．解： 26tan 3060cos45︒︒-︒ 26=⨯3分 322=- 12=. ……………………………………………………………………………5分 14．解：（1）244(3)a ∆=--44a =+.…………………………………………………… 1分∵ 该方程有实数根，∴ 44a +≥0．…………………………………………………………………2分 解得a ≥1-．……………………………………………………………………3分 （2）当a 为符合条件的最小整数时，a = 1-． ………………………………… 4分此时方程化为2440x x ++=，方程的根为122x x ==-．…………………5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC∴ 2sin 60ACAB ==︒，BC =1．……………………2分 ∵ D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴ BD =4，CD =5． …………………………………………………………………4分 ∴ AD =．……………………………………………………5分16．解：（1）∵ 抛物线经过A (1,0)-，B (0,3)两点，∴ 10,3.b c c --+=⎧⎨=⎩……………………………………………………………1分解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩ …………………………………………………………………2分 ∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++． ……………………………………3分 （2）∵ 抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)，∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)-．∴ 平移后的抛物线的解析式为22(2)341y x x x =-++=---．…………5分17．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°， ∴ BD =AD =50(m)． …………………………………………2分 在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°， ∴ 3503CD AD ==(m) ． ………………………………4分 ∴ BC= BD+CD =50503+50(31)136.6=+≈(m)．……5分 答：这栋楼约高136.6 m ．18．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y 轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为(2,1)-； ………………………………………3分（2）列表：……………………………4分图象如图3所示． ……………………………5分 （3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．……………………………1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ， ∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ． ………………………………………………………2分 ∴ △BDE ∽△CAD ． ………………………………………………………3分 （2）解：由（1）得DB ACBE CD=．…………………………………………………………4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2，x … 0 1 2 3 4 …y … 3 0 -1 0 3 …图4图3图2∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 622.45DB CD BE AC ⨯⨯===． ………………………………………………5分 20．解：（1）∠DCE = 60 °，点C 到直线l 的距离等于3，α= 30 °； …………………3分（2）α= 45 °． ………………………………………………………………………4分21．（1）证明：∵ OD ⊥AC 于点E ，∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°． ∵ ∠D=∠BFC ，∠BFC=∠1， ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．∴ OA ⊥AD 于点A ．………………………1分 ∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AD 是⊙O 的切线． ……………………2分 （2）解：∵ OD ⊥AC 于点E ，AC 是⊙O 的弦，AC=8，∴ 42ACAE EC ===．………………………………………………………3分 ∵ ∠B =∠C ，tan B =12，∴ 在Rt △CEF 中，∠CEF =90°，tan C =12．∴ tan 2EF EC C =⋅=．设⊙O 的半径为r ，则2OE r =-．在Rt △OAE 中，由勾股定理得 222OA OE AE =+，即 222(2)4r r =-+．解得 r =5．……………………………………………………………………4分∴ 在Rt △OAE 中，4tan 23AE OE ∠==．∴ 在Rt △OAD 中，420tan 2533AD OA =⋅∠=⨯=． ………………………5分22．解：（1）结论：自变量取1x ，2x 时函数值相等． ……………………………………1分 证明：∵ 11(,)M x y ，22(,)N x y 为抛物线2y ax bx c =++上不同的两点，由题意得 21112222 ,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩ 且1x ≠2x ． ①-②，得 []221212121212()()()()y y a x x b x x x x a x x b -=-+-=-++. ……………………………………………………………2分∵ 直线122x x x +=是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴， ∴ 1222x x bx a+==-. ∴ 12bx x a+=-.∴ []121212()()0y y x x a x x b -=-++=，即12y y =.………………3分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而① 图5没有用代数方法进行证明的不给分）（2）∵ 二次函数21y x bx =+-当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数21y x bx =+-的对称轴为直线20112x =. ∴ 201122b-=，2011b =-. ∴ 二次函数的解析式为220111y x x =--. …………………………………4分 ∵ 20112012(1)22+-=， 由（1）知，当x = 2012的函数值与1x =-时的函数值相等.∵ 当x =1-时的函数值为2(1)2011(1)12011--⨯--=，∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解：（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※ …………………………………………1分① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =. ………………………………………………………2分∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2.∴ m= 1. ……………………………………………………………………3分（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分）② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0m m k m k ---+=.…………………4分 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.……………………………………………5分（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .………6分当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分 解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点. …………………………6分∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.…………6分结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图6） 当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2…………………………………………7分 24.解：（1）抛物线2()y ax a c x c =-++与x 轴交点的横坐标是关于x 的方程2()0ax a c x c -++=（其中a ≠ 0，a ≠c ）的解.解得 11x =，2cx a =. ………………………………………………………… 1分∴ 抛物线与x 轴交点的坐标为(1,0)，(,0)ca .……………………………… 2分（2）抛物线2()y ax a c x c =-++的顶点A 的坐标为2()(,)24a c a c a a +--.∵ 经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a +-，22() ,42 , ()().a c a c k a aa c c k aa c a cc a a c c a a ⎧-+-=-+⎪⎪+⎪∴-=-+⎨⎪++⎪-=-+⨯+⎪⎩ 由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分将其代入①、② 得 1 ,42 01.a k k ⎧-=-+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 2a =-.∴ 所求抛物线的解析式为 222y x x =-+.…………………………………… 4分（3）作PE ⊥x 轴于点E ， PF ⊥y 轴于点F .（如图7抛物线222y x x =-+的顶点A 的坐标11(,)22，点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,1).设点P 的坐标为(,)m n .∵ 点P 在x 轴上方的抛物线222y x x =-+上，∴ 222n m m =-+，且0＜m ＜1，102n <<.∴ tan PE n POB OE m ∠==，tan PF m POC OF n∠==. ∵ 1tan tan 4POB POC ∠=∠，∴ 224m n =.解得 m =2n ，或2m n =-（舍去）. ………………………………………………5分 将m =2n 代入222n m m =-+，得2830n n -=.解得138n =，20n =（舍去）.∴ 324m n ==.∴ 点P 的坐标为33(,)48. …………………………………………………………6分（4）N 关于n 的函数关系式为N=4n . ………………………………………………7分说明：二次函数222y x x =-+的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值，此时y随x 的增大而减小，∴ 222n n --＜y ≤222n n -+，其中的整数有2221n n --+，2222n n --+，…222n n -+.22(22)(22)4N n n n n n =-+---=.25.（1）当''A B 边经过点B 时，α= 60 °； ………………………………………… 1分（2）猜想：①如图8，点D 在AB 边上时，m =2；②如图9，点D 在AB 的延长线上时，m =4. （阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点） 证明：① 当090α︒<<︒时，点D 在AB 边上（如图8）.（阅卷说明：①、②两种情况没写α的取值范围不扣分）∵ DE ∥''A B ，∴ CD CE CA CB =''. 由旋转性质可知，CA ='CA ，CB ='CB ，∠ACD=∠BCE .∴ CD CE CA CB=. ∴ △CAD ∽△CBE . ……………2分∴ ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 边上，∠CBD=60°，∴ 2CBD CBE ∠=∠，即 m =2. ………………………………………3分② 当90120α︒<<︒时，点D 在AB 的延长线上（如图9）.与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 的延长线上，180120CBD CBA ∠=︒-∠=︒，∴ 4CBD CBE ∠=∠，即 m =4. ……………………………………4分（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣1分.）（3）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A =30°，BC =1，∴ AB = 2 ，3AC =，3ABC S=. 由 △CAD ∽△CBE 得AD BE AC BC=. ∵ AD =x ，∴ 13BE =，3BE x =. ①当点D 在AB 边上时，AD =x ，2BD AB AD x =-=-，∠DBE=90°. 此时，2113323(2)22BDE x x x S S BD BE x -+==⨯=-⨯=. 图9 图8当S =13ABC S ∆.整理，得 2210x x -+=.解得 121x x ==，即AD =1.…………………5分此时D 为AB 中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE .（如图10） ∴ EC = EB .∵ ''90A CB ∠=︒，点E 在'CB 边上，∴ 圆心E 到'A C 的距离EC 等于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相切. …………………………………………………6分 ②当点D 在AB 的延长线上时，AD =x ，2BD x =-，∠DBE=90°.（如图9）.11(2)22BDE S S BD BE x ==⨯=-.当S =13ABC S ∆.整理，得 2210x x --=.解得 11x =+21x =-.即AD =……………………………………………………………… 7分 此时∠BCE=α，而90120α︒<<︒，∠CBE =30°，∴ ∠CBE ＜∠BCE .∴ EC ＜EB ，即圆心E 到'A C 的距离EC 小于⊙E 的半径EB . ∴ 直线'A C 与⊙E 相交. ……………………………………………………8分。

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北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2012.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是 A ．2 B ．3 C ． 6 D ．113．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为A ．55 B ．255 C ．12D ．24．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于E ，连接BD ，若∠D =30°， BD =2，则AE 的长为A ．2B ．3C ．4D ．55．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于A ．483B ．243C ．123D ．436．如图，以点D 为位似中心，作△ABC 的一个位似三 角形A 1B 1C 1，A ，B ，C 的对应点分别为A 1，B 1，C 1， DA 1与DA 的比值为k ，若两个三角形的顶点及点D 均在如图所示的格点上，则k 的值和点C 1的坐标分 别为A ．2，(2,8)B ．4，(2,8)C ．2，(2,4)D ．2，(4,4)7．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)-，对称轴为1x =，则下列结论中正确的是A ．0>aB ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大C ．0<cD ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆 心为点(1,0)C -，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段 DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是 A ．2 B ． 83C ．222+D ．222-二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠OCB ＝40°，则∠A= °．10．将抛物线2y x =先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个 单位长度，所得抛物线的解析式是 ．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4 ．以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把△ABC 按逆时针方向旋转α角 （0120α︒<<︒），当点A 的对应点与点C 重合时，B ，C 两点 的对应点分别记为E ，F ，EF 与AB 的交点为G ，此时α等于 ° ，△DEG 的面积为 ．12．已知二次函数212y x x =-+，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m ，n 使得当自变量x 的取值范围是m ≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围恰好是3m ≤y ≤3n ，则m= ，n= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2cos303tan602sin 45︒+︒-︒．14．已知关于x 的方程22230x x k -+-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若k 为符合条件的最大整数，求此时方程的根．15．已知抛物线245y x x =+-.（1）直接写出它与x 轴、y 轴的交点的坐标；（2）用配方法将245y x x =+-化成2()y a x h k =-+的形式．16．已知：如图，在菱形ABCD 中，E 为BC 边上一点，∠AED =∠B ．（1）求证：△ABE ∽△DEA ；（2）若AB =4，求AE D E ⋅的值．17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形 的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ），矩形ABCD 的面 积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？18．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与BC ，AB 的交点分别为D ，E ． （1）若AD =10，4sin5ADC ∠=，求AC 的长和tan B 的值；（2）若AD=1，ADC ∠=α，参考（1）的计算过程直接写 出tan 2α的值（用sin α和cos α的值表示）．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形PABC 的边长为1，将其沿x 轴的正方向连续滚动，即先以顶点A 为旋转中心将正方形PABC 顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n 个正方形．设滚动过程中的点P 的坐标为(,)x y ．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标； （2）画出点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4），并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的面积．20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等．（1）求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并画出它的 图象（不要求列表）；（2）若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++≥=⎨-<⎩又已知关于x 的方程 ()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线与 ⊙O 的交点为D ，DE ⊥AC ，与AC 的延长线交于点E ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）若OE 与AD 交于点F ，4cos 5BAC ∠=，求DFAF的值．22．阅读下列材料：题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax 与a x +的差()y ax a x =-+，再 说明y 的符号即可.现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断y 的符号可借助函数(1)y a x a =--的图象和性质解决.参考以上解题思路解决以下问题：已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=． （1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ； （2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．（1）求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值； （3）将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．24．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足MAN∠=︒，连结MC，NC，MN．45⋅= ；（用含a的代（1）填空：与△ABM相似的三角形是△，BM DN数式表示）∠的度数；（2）求MCN（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．A，25．已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为(2,3)C n-（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC(,3)的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ；（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，①求此抛物线W的解析式；y=-上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，②若点Q在直线1P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2012.1一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCBBADC二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 9 1011 12答案5022y x x =-60，32（1）12；（2）-4，0 说明：第10题写成2(1)1y x =--不扣分；第11题每空各2分；第12题第（1）问2分， 第（2）问每空各1分．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=232332()22+⨯-⨯ …………………………………………………3分 = 322+． ……………………………………………………………………5分14．解：（1）2(2)4(23)8(2)k k ∆=---=-． ……………………………………………1分∵ 该方程有两个不相等的实数根，∴ 8(2)k -＞0．……………………………………………………………… 2分 解得2k <．…………………………………………………………………… 3分 （2）当k 为符合条件的最大整数时，1k =．…………………………………… 4分此时方程化为2210x x --=，方程的根为112x =+212x =-．………5分15． 解：（1）抛物线与x 轴的交点的坐标为(5,0) (1,0)-和． ………………………2分 抛物线与y 轴的交点的坐标为(05)-，． …………………………………3分 （2）245y x x =+-2(44)9x x =++-…………………………………………………………4分2(2)9x =+-． …………………………………………………………5分16．（1）证明：如图1．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AD ∥BC ． ∴ 12∠=∠． …………………………2分 又∵ ∠B =∠AED ， ∴ △ABE ∽△DEA ．…………………3分（2）解：∵ △ABE ∽△DEA ，∴AE ABDA DE=．…………………………………………………………………4分 ∴ AE DE AB DA ⋅=⋅．∵ 四边形ABCD 是菱形，AB = 4， ∴ AB =DA = 4．∴ 216AE DE AB ⋅==．………………………………………………………5分17．解：（1）∵ 四边形ABCD 是矩形，AB 的长为x 米， ∴ CD=AB=x （米）．∵ 矩形除AD 边外的三边总长为36米，∴ 362BC x =-（米）．………………………………………………………1分 ∴ 2(362)236S x x x x =-=-+． ……………………………………………3分 自变量x 的取值范围是012x <<． …………………………………………4分 （说明：由0362x x <<-可得012x <<．）（2）∵222362(9)162S x x x =-+=--+，且9x =在012x <<的范围内 ，∴ 当9x =时，S 取最大值．即AB 边的长为9米时，花圃的面积最大．…………………………………5分18．解：（1）在Rt △ACD 中，90C ∠=︒，AD =10，4sin5ADC ∠=，（如图2） ∴ 4sin 1085AC AD ADC =⋅∠=⨯=．……1分 3c o s 1065C D A D A D C =⋅∠=⨯=．∵ DE 垂直平分AB ， ∴ 10BD AD ==．……………………………………………………………2分 ∴ 16BC CD BD =+=．………………………………………………………3分 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒， ∴ 81tan 162AC B BC ===．……………………………………………………4分 图2（2）sin tan21cos ααα=+．（写成1cos sin αα-也可） ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）第三个和第四个正方形的位置如图3所示．…………………………………………………2分 第三个正方形中的点P 的坐标为(3,1)．……3分 （2）点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4）如图3所示．…………………………………………………4分它与x 轴所围成区域的面积等于1π+． ……………………………………5分20．解：（1）∵ 函数2y x bx c =++（x ≥0）满足当x =1时，1y =-， 且当x = 0与x =4时的函数值相等，∴ 11,2.2b c b ++=-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得 4b =-，2c =．…………………………………………………………2分 ∴ 所求的函数解析式为242y x x =-+（x ≥0）． …………………………3分 它的函数图象如图4所示．……………………………………………………4分（2）k 的取值范围是22k -<≤．（如图5）……………………………………………5分 21．（1）证明：连接OD ．（如图6） ∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分 ∵ OA =OD ，图3∴ ∠1=∠3． ∴ ∠2=∠3．∴ OD ∥AE ．∵ DE ⊥AC ， ∴ ∠AED =90°．∴ 18090ODE AED ∠=︒-∠=︒．…………2分 ∴ DE ⊥OD ． ∵ OD 是⊙O 的半径，∴ DE 是⊙O 的切线．………………………3分（2）解：作OG ⊥AE 于点G ．（如图6） ∴ ∠OGE =90°．∴ ∠ODE =∠DEG =∠OGE =90°． ∴ 四边形OGED 是矩形．∴ OD =GE ．……………………………………………………………………4分 在Rt △OAG 中，∠OGA =90°，4cos 5BAC ∠=，设AG =4k ，则OA =5k ． ∴ GE =OD =5k ． ∴ AE =AG +GE =9k ． ∵ OD ∥GE ， ∴ △ODF ∽△EAF ． ∴59DF OD AF AE ==．……………………………………………………………5分22．解：（1）∵ 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=，∴ 222,22 3.b c a a c b a ⎧+=-⎨-=+⎩消去b 并整理，得 243c a =+．……………1分 消去c 并整理，得2423b a a =--． ………2分（2）∵ 22423(3)(1)(1)4b a a a a a =--=-+=--，将4b 看成a 的函数，由函数24(1)4b a =--的性质结合它的图象（如图7所图6图7示），以及a ，b 均为非负数得a ≥3．又 ∵ a ＜5，∴ 3≤a ＜5．……………………………………………………………………3分 ∵ 224()63(3)12b a a a a -=--=--，将4()b a -看成a 的函数，由函数24()(3)12b a a -=--的性质结合它的图象（如图8所示）可知，当3≤a ＜5时，4()0b a -<． ∴ b ＜a ． ……………………………………………4分∵ 24()43(1)(3)c a a a a a -=-+=--，a ≥3， ∴ 4()c a -≥0．∴ c ≥a ．∴ b ＜a ≤c ． ………………………………………5分阅卷说明：“b ＜a ，b ＜c ，a ≤c ”三者中，先得出其中任何一个结论即可得到第4分，全写对得到5分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）令0y =，则 2(2)20kx k x +--=． 整理，得 (1)(2)0x kx +-=． 解得 11x =-，22x k=． ∴ 该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，2(,0)k． ………………………2分抛物线2(2)2y kx k x =+--的顶点坐标为2244(,)24k k k k k-++-． ………3分 （2）|n |的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分（3）平移后抛物线的顶点坐标为214(,)4k kk k+-．…………………………………5分 由1,14x kk y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得 114y x =--．∴ 所求新函数的解析式为114y x=--． …………………………………7分24．解：（1）与△ABM 相似的三角形是△ NDA ，2BM DN a ⋅=； ……………………2分（2）由（1）△ABM ∽△NDA 可得BM ABDA ND=．（如图9） ………………3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB=DC ，DA= BC ，90ABC BCD ADC BAD ∠=∠=∠=∠=︒．图8∴BM DCBC ND=． ∵ BM ，DN 分别平分正方形ABCD 的两个外角， ∴ 45CBM NDC ∠=∠=︒．∴ △BCM ∽△DNC ．…………………………………………………………4分∴ BCM DNC ∠=∠．∴ 360MCN BCD BCM DCN ∠=︒-∠-∠-∠270()270(180)D N C D C N C D N =︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒．………5分（3）线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系是222BM DN MN +=．（只猜想答案不证明不给分）证法一：如图9，将△AND 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF ，连接MF ．则 △ABF ≌△ADN ． …………………………………………………6分∴ 13∠=∠，AF=AN ，BF=DN ，AFB AND ∠=∠． ∴ 122345MAF BAD MAN ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒． ∴ MAF MAN ∠=∠． 又∵ AM= AM ， ∴ △AMF ≌△AMN ． ∴ MF=MN ．可得(1)45(3)4590MBF AFB AND ∠=∠+∠+︒=∠+∠+︒=︒． ∴ 在Rt △BMF 中，222BM BF FM +=．∴ 222BM DN MN +=． …………………………………………7分证法二：连接BD ，作ME ∥BD ，与DN 交于点E ．（如图10）可知45BDC ∠=︒，90BDN ∠=︒．……………………………………6分 ∵ ME ∥BD ，∴ 18090MEN BDN ∠=︒-∠=︒． ∵ 90DBM DBC CBM ∠=∠+∠=︒， ∴ 四边形BDEM 是矩形． ∴ ME =BD ，BM =DE ．在Rt △MEN 中，90MEN ∠=︒，∴ 22222()MN ME EN BD DN DE =+=+-2222(2)()2()a DN BM a DN BM =+-=+-2222()BM DN DN BM BM DN =⋅+-=+．……………………7分25．解：（1）图2中的m =13．……………………………………………………………1分（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m ，∴ 12E D y y ==，此时原题图1中点P 运动到与点B 重合， ∵ 点B 在x 轴的正半轴上，∴ 1131222BOC C S OB y OB ∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解得 8OB =，点B 的坐标为(8,0)． ………………………………………2分此时作AM ⊥OB 于点M ，CN ⊥OB 于点N ．（如图12）．∵ 点C 的坐标为(,3)C n -， ∴ 点C 在直线3y =-上．又由图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12中的点C 在过点O 与AB 平行的直线l 上，∴ 点C 是直线3y =-与直线l 的交点，且ABM CON ∠=∠． 又∵ 3A C y y ==，即AM= CN ，可得△ABM ≌△CON ．∴ ON=BM=6，点C 的坐标为(6,3)C -．……………………………………3分 ∵ 图12中 22223635AB AM BM =+=+=．∴ 图11中35DE =，221335D OF x DE =+=+． …………………4分（3）①当点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线的顶点时，作PG ⊥OB 于点G ．（如图13）∵ O ，B 两点的坐标分别为(0,0)O ，(8,0)B ，∴ 由抛物线的对称性可知点P 的横坐标为4，即OG=BG=4．由3tan 6AM PGABM BM BG∠===可得PG=2． ∴ 点P 的坐标为(4,2)P ．………………5分 设抛物线W 的解析式为(8)y ax x =-（a ≠0）． ∵ 抛物线过点(4,2)P ，∴ 4(48)2a -=．解得 18a =-．∴ 抛物线W 的解析式为218y x x =-+．…………………………………6分②如图14．i ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 为顶点的菱形的边时，∵ 点Q 在直线1y =-上方的抛物线W上，点P 为抛物线W 的顶点，结合抛 物线的对称性可知点Q 只有一种情况，点Q 与原点重合，其坐标为1(0,0)Q ．……………………………………7分ii ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 为顶点的菱形的对角线时，可知BP 的中点的坐标为(6,1)，BP 的中垂线的解析式为211y x =-．∴ 点2Q 的横坐标是方程212118x x x -+=-的解．将该方程整理得 28880x x +-=．解得4226x =-±．由点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，结合图14可知点2Q 的横坐标图13图14为2264-．∴ 点2Q 的坐标是2(2264,42619)Q --． …………………………8分 综上所述，符合题意的点Q 的坐标是1(0,0)Q ，2(2264,42619)Q --．。

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